Sucesións e series de funcións reais

32 - UNIDADE 3. SUCESIÓNS E SERIES DE FUNCIÓNS REAIS BIBLIOGRAFÍA BÁSICA Apostol, T. M., (1990) Análisis Matemático, Reverté. Bartle, R. G. e Sherbert, D. R., (1999) Introducción al Análisis Matemático de una Variable (2ª Ed.), Limusa Wiley. Linés, E., (1991) Principios de Análisis Matemático, Reverté. Larson. R., Hostetler, R.P., Edwards, B.H., (2006) Cálculo (8ª Ed.), McGraw-Hill. Recoméndase consultar a páxina web: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/index.html M. Victoria Otero Espinar Departamento de Análise Matemática Facultade de Matemática unidade didáctica 3 SUCESIÓNS E SERIES DE FUNCIÓNS REAIS © Universidade de Santiago de Compostela, 2008 Deseño Unidixital Edita Vicerreitoría de Cultura da Universidade de Santiago de Compostela Servizo de Publicacións da Universidade de Santiago de Compostela Imprime Unidixital Servizo de Edición Dixital da Universidade de Santiago de Compostela Dep. Legal: C 869-2008 ISBN 978-84-9750-998-5 ADVERTENCIA LEGAL: reservados todos os dereitos. Queda prohibida a duplicación parcial ou total desta obra, en calquera forma ou por calquera medio (electrónico, mecánico, gravación, fotocopia ou outros) sen consentimento expreso por escrito dos editores. UNIDADE 3. SUCESIÓNS E SERIES DE FUNCIÓNS REAIS - 31 Como obter a función suma dalgunhas series de potencias. 1.- As series xeométricas P e P converxen puntual e absolutamente en a 1 n=0 xn P1 n=0 xn1 n=0(¡1)nxn P1 n=0(¡1)nxn (¡1;1)(¡1;1) 1 1¡x= 1 X n=0 xn 1 1¡x= 1 X n=0 xn 1 1+x= 1 X n=0 (¡1)nxn 1 1+x= 1 X n=0 (¡1)nxn Destes desenvolvementos dedúcese por integración, tendo en conta que a converxencia é uniforme en compactos contidos en (, que ¡1;1)(¡1;1) log(1 ¡x)=¡Zx 0 1 1¡tdt =¡ 1 X n=0 Zx 0 tndt =¡ 1 X n=0 xn+1 n+1 log(1 ¡x)=¡Zx 0 1 1¡tdt =¡ 1 X n=0 Zx 0 tndt =¡ 1 X n=0 xn+1 n+1 log(1 + x)= 1 X n=0 (¡1)nxn+1 n+1 log(1 + x)= 1 X n=0 (¡1)nxn+1 n+1 Restando, para x, podemos escribir 2(¡1;1)x2(¡1;1) log(1+x 1¡x)=2 1 X n=0 x2n+1 2n+1:log(1+x 1¡x)=2 1 X n=0 x2n+1 2n+1: 2.- A serie xeométrica P é converxente puntual e absolutamente en ( á función f 1 n=0(¡1)nx2n P1 n=0(¡1)nx2n¡1;1)(¡1;1) (x)= 1 1+x2 f(x)= 1 1+x2 (¿que acontece nos extremos do intervalo?). Por integración obtense que arctan(x)= 1 X n=0 (¡1)nx2n+1 2n+1 arctan(x)= 1 X n=0 (¡1)nx2n+1 2n+1 Con isto simplificamos moito a determinación da serie de Taylor da función ar no punto 0 (pódese ver para comparar como se calcula a serie de forma directa). ctan(x)arctan(x) Podemos utilizar a igualdade anterior, tendo en conta que arctan(1) = ¼ 4 arctan(1) = ¼ 4, para aproximar o número ¼¼, non obstante esta serie non proporciona unha maneira práctica de aproximar ¼¼, pois a converxencia é tan lenta que necesitaríanse demasiados termos para obter unha aproximación razoable. Vexamos como temos unha aproximación moi boa de ¼¼ usando dúas series de potencias (ver pag. 673 de Larson et al). Pódese demostrar que se xy 6=1xy 6=1 arctan(x)¡arctan(y)=arctan(x+y 1¡xy)arctan(x)¡arctan(y)=arctan(x+y 1¡xy) cando o primeiro termo da igualdade está entre e , polo que 4arctan(1 5)¡arctan( 1 239)=¼ 4 4arctan(1 5)¡arctan( 1 239)=¼ 4 Con 5 termos de cada unha das series obtemos o valor exacto de cun erro menor que 10 . ¡6 10¡6 30 - UNIDADE 3. SUCESIÓNS E SERIES DE FUNCIÓNS REAIS order=4,output=polyinomial); Para obter polinomios de distintos graos, por exemplo dende o grao 4 ao 10, podemos poñer >TaylorApproximation(cos(x),0,view[-10..10,-10..10], order=4..10,output= polyinomial); Se o que pretendemos é ver gráficamente a aproximación da función polos seus polinomios de Taylor >TaylorApproximation(cos(x),0,view[-10..10, -10..10], order=4..10, output=plot); Para ver unha animación do anterior >TaylorApproximation(cos(x),0,view[-10..10, -15..15], order=4..10, output=animation); Podedes facer desenvolvementos de Taylor doutras funcións, como a función seno, a exponencial e o arcotanxente. Buscade intervalos adecuados. Explicade que ocorre coas aproximacións do arcotanxente. Exemplo 4 Cálculo do raio de converxencia dalgunha serie de potencias 1.- Consideramos a serie de potencias con centro a orixe P. O raio de converxencia da serie pódese calcular facendo 1 n=0 n2xn P1 n=0 n2xn >a:=n->n^2: >limit(abs(a(n+1)/a(n)),n=infinity): >Limit(abs(a(n+1)/a(n)),n=infinity)=limit(abs(a(n+1)/a(n ),n=infinity); A saída é o raio de converxencia da serie, é dicir R. Por tanto o intervalo de converxencia da serie é (. Como as series P e P son diverxentes, o campo de converxencia coincide co intervalo de converxencia. =1R=1 ¡1;1)(¡1;1) 1 n=0 n2 P1 n=0 n21 n=0(¡1)nn2 P1 n=0(¡1)nn2 2.- Cálculo do raio de converxencia da serie P1 n=0 1+n2 n!xn P1 n=0 1+n2 n!xn >a:=n->(1+n^2)/n!: >limit(abs(a(n+1)/a(n)),n=infinity): >Limit(abs(a(n+1)/a(n)),n=infinity)=limit(abs(a(n+1)/ a(n)),n=infinity); o raio de converxencia da serie é 00 e o seu intervalo de converxencia é RR. UNIDADE 3. SUCESIÓNS E SERIES DE FUNCIÓNS REAIS - 3 MATERIA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL TITULACIÓN: LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS PROGRAMA XERAL DO CURSO Localización da presente unidade didáctica I. DIFERENCIACIÓN DE FUNCIÓNS REAIS A DERIVADA OS TEOREMAS DO VALOR MEDIO DO CÁLCULO DIFERENCIAL FÓRMULA DE TAYLOR E APLICACIÓNS II. INTEGRACIÓN DE FUNCIÓNS REAIS INTEGRAL DE RIEMANN DUNHA FUNCION LIMITADA NUN INTERVALO COMPACTO INTEGRAIS IMPROPIAS DE RIEMANN INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES III. SUCESIÓNS E SERIES DE FUNCIÓNS REAIS SUCESIÓNS FUNCIONAIS SERIES FUNCIONAIS UNIDADE 3. SUCESIÓNS E SERIES DE FUNCIÓNS REAIS - 29 Exemplo 3 Nesta práctica obtemos a serie de Taylor dunha función, por exemplo da función coseno. Ademais, realizamos unha animación que mostra como os polinomios de Taylor se aproximan á gráfica da función. > with(Student): Definimos a función > f1:=cos(x); Para calcular a serie de Taylor da función no punto x=0 temos o comando > t_1:=taylor(f1,x=0,8); que dá a expresión da serie de f en x con oito termos, os sete primeiros corresponden ao polinomio de Taylor de orde 7 de f no punto x e o último, O (x)=cos(x)f(x)=cos(x)=0x=0 =0x=0 (x8 ) O(x8 ) , significa que os termos que faltan da serie, é dicir os termos do error, son todos de grao maior ou igual a 8. O resultado obtido convertémolo en polinomio truncando a serie mediante o comando >pol_1:=convert(t_1,polynom); e transformamos a expresión en unha función >p1:=unapply(pol_1,x); Podemos agora debuxar a gráfica do polinomio no intervalo [ ¡4;4 ] [ ¡4;4 ] . >plot2:=plot(p1(x),x=-4..4, style=point,color= red): e a gráfica do polinomio xunto coa gráfica da función para ter unha idea da aproximación >plot1:=plot(f1,x=-4..4,style=line,color=black): > with(plots): > display({plot1,plot2}); Facemos outro desenvolvemento de Taylor da función cambiando o número de termos que queiramos coñecer, por exemplo n=12 >t_2:=taylor(f1,x=0,12); >pol_2:=convert(t_2,polynom); >p2:=unapply(pol_2,x); >plot3:=plot(p2(x),x=-4..4,style=point,color=green): e as tres gráficas xuntas. > display({plot1,plot2, plot3}); Outra forma máis sinxela de obter os polinomios de Taylor de distinto grao dunha función é mediante o comando TaylorApproximation que está dispoñible no paquete Student[Calculus1] >with(Student[Calculus1]): Se o que queremos é calcular o polinomio de Taylor da función coseno de grao 4 (restrinximos a gráfica aos valores de x entre -10 e 10 e os de y entre -10 e 10) >TaylorApproximation(cos(x),0,view[-10..10,-10..10], 28 - UNIDADE 3. SUCESIÓNS E SERIES DE FUNCIÓNS REAIS > C:=[n*(1-x)*x^n$n=0..8]: > plot(C,x=0..1); Temos as gráficas dos oito primeiros termos da sucesión. Xa se pode adiviñar que a converxencia da sucesión é puntual a función límite f, pero non vai ser uniforme no intervalo =0f=0 [ 0;1 ] [ 0;1 ] . Para verificalo, calculamos os puntos críticos das funcións f en (0 . Primeiro derivamos a función n fn;1)(0;1) > de:=diff(fn(x),x); transformamos a expresión en función > der:=unapply(%,x); e obtemos os puntos nos que se anula a derivada > solve({der(x)},{x}); a saída da última sentenza é n 1+n n 1+n. A forma da derivada permite deducir facilmente que fn fn é crecente en ( 0;n 1+n ] ( 0;n 1+n ] e decrecente en [ n 1+n;1 ] [ n 1+n;1 ] , polo que maxffn(x): x2[0;1]g=fn(n 1+n)=³n 1+n´n+1 maxffn(x): x2[0;1]g=fn(n 1+n)=³n 1+n´n+1. Tomando límites > c:=n->(n/(n+1))^(n+1): > lim(c(n),n=infinity); obtemos e. Queda probado que a sucesión non converxe uniformemente en ¡1 e¡1 [ 0;1 ] [ 0;1 ] . Outra forma máis directa de analizar os extremos relativos das funcións da sucesión e usando o paquete >with(Student[Calculus1]): >assume(n,nonnegint): >CriticalPoints(fn(x),0..1); >ExtremePoints(fn(x),0..1); Fagamos agora unha animación coas gráficas das 100 primeiras funcións (Intentade variar algúns dos parámetros que aparecen a ver que ocorre). >animate(plot,[n*(1-x)*x^n,x=0..1,thickness=2], n=1..100); Se en lugar das gráficas en [ 0;1 ] [ 0;1 ] considéranse no intervalo [0 e cun número menor de gráficas, por exemplo 10, a animación ;1=2][0;1=2] >animate(plot,[n*(1-x)*x^n,x=0..1/2,thickness=2], n=1..10); mostra claramente que a converxencia é uniforme en [0 , ¿sabedes explicalo? Podedes experimentar facendo a gráfica de f e f para distintos valores de ee, e ver cal é o índice N a partir do cal as gráficas das funcións f ;1=2][0;1=2] +ef +e¡ef ¡e n fn están entre elas, como se fixo na práctica anterior. UNIDADE 3. SUCESIÓNS E SERIES DE FUNCIÓNS REAIS - 5 ÍNDICE Presentación .................................................................................................7 Os obxectivos ...............................................................................................7 Os principios metodolóxicos .....................................................................8 Os contidos básicos ...................................................................................9 1. SUCESIÓNS DE FUNCIÓNS .......................................................9 1.1. Converxencias puntual e uniforme dunha sucesión funcional ............................................................................10 1.2. Converxencia uniforme de sucesións de funcións continuas, derivables ou integrables .....................................14 Actividades propostas .......................................................17 2. SERIES DE FUNCIÓNS .............................................................17 2.1. Series de funcións ............................................................18 Actividades propostas .......................................................20 2.2. Series de potencias ..........................................................20 Actividades propostas .......................................................25 Avaliación da unidade ................................................................................25 Anexo: Algunhas prácticas .......................................................................26 Bibliografía básica......................................................................................32 UNIDADE 3. SUCESIÓNS E SERIES DE FUNCIÓNS REAIS - 27 >display([plot1,plot2]); Observando as gráficas dámonos conta que canto máis próximo está x a 1 máis lenta é a converxencia, é dicir, necesitamos un NN maior para conseguir a mesma aproximación a 0. Para facernos a idea da rapidez con que a sucesión numérica f se aproxima a 0 para , podemos facer o seguinte: fn(x)gffn(x)g x6=1x6=1 Queremos calcular o índice N a partir do que os termos da sucesión numérica f, para xx fixado, aproxímanse a 0 cun erro menor que e=10 (podedes experimentar ao variar e). É dicir, o natural N tal que j, para todo n> , o que é o mesmo, tal que , ou n> fn(x)gffn(x)g ¡4 10¡4 fn(x)¡f(x)j=xn<10¡4 jfn(x)¡f(x)j=xn<10¡4Nn>N nln(x)<ln(10¡4)nln(x)<ln(10¡4)ln(10¡4) ln(x) n>ln(10¡4) ln(x). Se N=E[ln(10¡4) ln(x)]+1N=E[ln(10¡4) ln(x)]+1 , onde E[x ] E[x ] é a función parte enteira, é dicir o maior enteiro menor que xx, xa serviría. >e:=10^(-4); dámoslle un valor a x=0.9 (denotámolo por A, e podedes ir variando para ver os cambios) >A:=0.9; >N:=floor(ln(e)/ln(A))+1; Vemos que canto máis próximo está A a 1 este NN farase máis grande, polo que hai que tomar valores de n maiores para lograr a mesma aproximación, e así a converxencia nestes puntos será máis lenta. =xA =x Por último, pintamos as gráficas de f e f para distintos valores de ee, +ef +e¡ef ¡e >plot3:=plot(f(x)+e,x=0..1.,discont=true,style=point): >plot4:=plot(f(x)-e,x=0..1.,discont=true,style=point): >display([plot1,plot2,plot3,plot4]); Vemos que ningunha gráfica das funcións da sucesión están entre as gráficas de f e f, calquera que sexa ee, o que indica que a converxencia non é uniforme. +ef +e¡ef ¡e Para comprobar o rápido que poderiamos visualizar a converxencia puntual e non uniforme da sucesión facemos a seguinte animación >with(plots,animate): >animate( plot, [x^n, x=0..1, thickness=2], n=1..50 ); Podedes experimentar variando o intervalo, é dicir, os valores de xx na sentencia anterior ¿que ocorre? Se tomades , calculade o índice NN a partir do que as funcións da sucesión están entre f e f para distintos valores de ee, ¿é a converxencia uniforme en [0 ? x2[0;1=2]x2[0;1=2] +ef +e¡ef ¡e;1=2][0;1=2] Exemplo 2 Estudamos a converxencia puntual e uniforme da sucesión de funcións definidas no intervalo [ 0;1 ] [ 0;1 ] por fn(x)=n(1 ¡x)xn fn(x)=n(1 ¡x)xn. Primeiro abrimos os paquetes para facer animacións > with(plots,animate): Definimos a función > fn:=x->n*(1-x)*x^n; 26 - UNIDADE 3. SUCESIÓNS E SERIES DE FUNCIÓNS REAIS ANEXO: ALGUNHAS PRÁCTICAS Algunhas prácticas de ordenador O obxectivo destas prácticas é o de ilustrar mediante gráficas e animacións gráficas os conceptos de converxencia puntual e uniforme dunha sucesión de funcións. Ademais, calcularemos a serie e os polinomios de Taylor dunha función, valorando as aproximacións obtidas. Utilizaremos as posibilidades que nos ofrece Maple para representar gráficas de moitas funcións xuntas, avaliar funcións, calcular derivadas,… Exemplo 1 Definimos, para cada n, as funcións f dadas por f. 2Nn2Nn:[0;1] !Rfn:[0;1] !Rn(x)=xn fn(x)=xn Representaremos as gráficas das oito primeiras funcións. Para isto creamos unha lista e utilizamos o comando plot para debuxar as gráficas das funcións da lista no intervalo [ 0;1 ] [ 0;1 ] >C:=[x^n$n=0..8]: >plot(C,x=0..1); >plot1:=plot(C,x=0..1): A última sentencia servirá para representar posteriormente esta gráfica xunto a outras. Observando as gráficas podemos intuír que para cada x, a sucesión numérica f converxe a 00, e para x, converxe a 1. Se queremos calcular o límite da sucesión numérica para algúns valores de x, podemos dar valores (neste exemplo x) e ir variando, 2[0;1)x2[0;1) xngfxng =1x=1 =0:9x=0:9 >b:=0.9 >assume(n,integer): >a:=n->b^n: >limit(a(n), n=infinity); o límite está calculado e é igual a 0. Podedes dar a b calquera outro valor entre 0 e 1, e comprobar o que pasa. Neste caso, resulta trivial calcular li para todo , e li . mn!1 fn(x)=f(x)=0limn!1 fn(x)=f(x)=0 x2[0;1)x2[0;1) mn!1 fn(1) = f(1) = 1limn!1 fn(1) = f(1) = 1 A sucesión converxe a función límite >f:=piecewise(x<1,0,x=1,1): que ten por gráfica >plot(f(x),x=0..1.,discont=true,thickness=2); >plot2:=plot(f(x),x=0..1.,discont=true,thickness=2,color =black): Representamos xuntas as gráficas dos primeiros termos da sucesión e da función ff sucesión. Para iso descargamos o paquete plots >with(plots): UNIDADE 3. SUCESIÓNS E SERIES DE FUNCIÓNS REAIS - 7 PRESENTACIÓN Esta unidade didáctica forma parte do curso de Cálculo Diferencial e Integral, e está destinada a estudantes que inician o estudo da análise matemática. A súa fi nalidade é presentar de maneira gradual os conceptos fundamentais e as técnicas básicas das sucesións e series funcionais. As sucesións e series de funcións, que xa foron motivadas en temas anteriores do curso, posúen unha importancia e interese intrínsecos. Por un lado, con elas pódense defi nir novas funcións, polo outro, permiten aproximar funcións por outras máis sinxelas, de xeito que das propiedades destas se poidan inferir as da función orixinal, idea esta última que subxace en moitos dos métodos da análise. A representación de funcións mediante series de potencias xogou un importante papel no desenvolvemento da análise. Moito do traballo de Newton con derivación e integración foi realizado no contexto das series de potencias. Gregory (un dos primeiros matemáticos que traballaron con elas), Euler, Lagrange, Leibniz e Joham e Jacob Bernoulli usaron amplamente as series de potencias no cálculo. Os traballos de Fourier neste campo obrigaron a cuestionar o concepto de función existente na época, e motivaron a outros matemáticos, como a Cauchy e Dirichlet. Dende o punto de vista histórico o uso das series de potencias precede e motiva o estudo de sucesións e series funcionais. Disposición que podería ser mellor dende o punto de vista didáctico. Non obstante, para facilitar a presentación formal da unidade didáctica escollemos outra orde, que coincide coa formulación usual en manuais sobre o tema. Pretendemos desenvolver os temas coa motivación real que propiciou a súa orixe de modo que os estudantes sexan participantes activos da evolución das ideas e non queden como meros observadores pasivos dos resultados. Os conceptos e resultados da unidade con frecuencia irán precedidos dunha discusión xeométrica ou intuitiva para dar unha idea máis profunda dos resultados. Aínda que nos contidos da unidade non se inclúen as demostracións dos teoremas, estas serán feitas nas aulas; as demostracións dos resultados máis importantes considéranse parte esencial no desenvolvemento das ideas matemáticas. 8 - UNIDADE 3. SUCESIÓNS E SERIES DE FUNCIÓNS REAIS OS OBXECTIVOS Defi nir a converxencia puntual e uniforme das sucesións e series de • funcións. Distinguir ambos os conceptos. Relacionar as propiedades da función límite uniforme dunha sucesión e • da función suma dunha serie de funcións uniformemente converxente coas propiedades dos termos da sucesión e da serie correspondente. Dominar algúns métodos para a análise da converxencia puntual e uni-• forme de series funcionais. Defi nir unha serie de potencias e determinar o seu raio e o seu intervalo • de converxencia. Analizar o campo de converxencia dunha serie de potencias.• Construír a serie de Taylor dunha función.• Diferenciar entre a función coa que se constrúe a serie de Taylor e a • función que representa a serie. Demostrar con precisión e rigor algúns dos resultados máis importantes • da unidade e relacionar conceptos, propiedades e técnicas que se estudan no desenvolvemento do programa. Dar a coñecer algúns dos problemas que infl uíron no desenvolvemento • histórico das sucesións e series de funcións. Conxecturar, formular e resolver algúns problemas sinxelos que se • presentan noutros campos científi cos e técnicos (bioloxía, economía, enxeñaría, física, etc.). Conseguir unha boa intuición gráfi ca e “visualizar” os conceptos trata-• dos por medio de exemplos. Habituarse ao manexo de distintas referencias bibliográfi cas.• Comprobar as vantaxes do uso de software matemático.• Fomentar o espírito refl exivo, rigoroso, intuitivo, crítico...• Adquirir a capacidade de aprendizaxe autónoma e desenvolver a capa-• cidade do traballo en grupo. OS PRINCIPIOS METODOLÓXICOS Nas clases teóricas presentaremos e desenvolveremos os contidos • esenciais da unidade, poñendo máis énfase en dotar ós estudantes de ferramentas para a construción da súa propia aprendizaxe que na simple acumulación de contidos. As clases prácticas dedicarémolas á resolución de problemas (tanto • teóricos como do ámbito das aplicacións) que desenvolvan os diferentes aspectos dos contidos que deban aprenderse e as habilidades que deban adquirirse. Procurarase unha activa participación do alumnado. Como as cuestións teóricas e a resolución de problemas e exercicios • están relacionadas, e unhas serven de complemento das outras, procuraremos mesturalas, agás aquelas que teñen un compoñente simplemente práctico. Nas clases de seminario, ao estar programadas en grupos reducidos, • poderán ter cabida diversos enfoques que axuden a asentar os conceptos esenciais (construción de exemplos, resolución de problemas sinxelos, exposicións por parte dos estudantes de traballos previamente propostos, discusión de aspectos fundamentais da materia, lecturas matemáticas adecuadas, etc.). UNIDADE 3. SUCESIÓNS E SERIES DE FUNCIÓNS REAIS - 25 Actividades propostas Calcular raios e intervalos de converxencia de series de potencias.• Práctica de ordenador para o cálculo do raio de converxencia dalgunha • serie de potencias. Integrar e derivar funcións que veñan defi nidas a partir de series de • potencias. Construír series de potencias aplicando operacións a outras series.• Obter series xeométricas de potencias que representen certas fun-• cións. Debate sobre as vantaxes de aproximar unha función polos seus poli-• nomios de Taylor. Determinar a serie de Taylor para algunhas funcións.• Discutir cando unha función é analítica.• Buscar algún problema na historia das matemáticas que teña relación • coas series de potencias. Facilitarase o material preciso para o desenvolvemento das actividades que irán sendo propostos na aula segundo o ritmo de traballo do grupo. AVALIACIÓN DA UNIDADE A realización de todas as actividades programadas da unidade terán infl uencia na avaliación da unidade. Os estudantes deberán entregar por escrito algunhas das actividades • programadas. Tamén deberán facer unha exposición oral dalgún dos traballos reali-• zados. Terase en conta a participación activas nas clases, seminarios e tito-• rías. Terase en conta a continuidade no traballo, a actitude e o aproveitamen-• to que demostre. En calquera caso, realizarase un exame fi nal escrito que permita ao • estudante mostrar o grao de coñecemento adquirido, no que se refi re á comprensión dos conceptos e técnicas propias da materia, a madurez no seu manexo e a capacidade de relacionalos diversos aspectos involucrados nos distintos temas de estudo. Teorema.- Unha condición necesaria para que ff sexa analítica en x é que exista tal que ff é de clase infinito en 0 x0 r>0r>0 ( x0¡r; x0+r ) ( x0¡r; x0+r ) . As series de potencias poden usarse para obter táboas de valores de funcións transcendentes. Tamén son útiles para estimar valores de integrais definidas para as que non se poden encontrar as primitivas. (Ver anexo) 9 9 9 9 9 9 9 9 24 - UNIDADE 3. SUCESIÓNS E SERIES DE FUNCIÓNS REAIS Unha das cuestións á que se facía referencia anteriormente era a de cando unha función era representada por unha serie de potencias. Da propiedade de derivación resulta que é condición necesaria para a representatividade dunha función en serie de potencias nun dominio que sexa infinitamente derivable no mesmo. Non obstante esta condición non é suficiente, se existen as derivadas de calquera orde dunha función pódese construír formalmente unha serie de potencias, a serie de Taylor da función, pero esta ¡non ten por que representar a función! é dicir, pode ocorrer que f(x)6=1 X n=0 f(n)(x0) n!(x¡x0)n f(x)6=1 X n=0 f(n)(x0) n!(x¡x0)n calquera que sexa . Isto ocorre coa serie de Taylor da función de Cauchy f(x)=(e¡1 x2se x6=0 0sex=0 f(x)=(e¡1 x2se x6=0 0sex=0 que é 00, e non representa a función no intervalo de converxencia. Para comprender que a serie de Taylor dunha función poida converxer a outra función distinta, débese observar que os coeficientes da serie veñen dados polas derivadas da función nun só punto e que poden existir moitas funcións distintas nas que coincidan as derivadas de todas as ordes nun punto. Por exemplo, toda función que teña derivadas de toda orde nunha veciñanza do punto 00 e tal que para todo verifique f, ten a mesma serie de Taylor en 00 que a función do exemplo anterior. n2Nn2N(n)(0) = 0f(n)(0) = 0 ¿Cando se pode dicir que a serie de Taylor dunha función ff con derivadas de toda orde nunha veciñanza de x representa a función ff nun intervalo? Pódese conseguir unha condición como consecuencia da fórmula de Taylor para a función, isto é 0 x0 f(x)= n X k=0 f(k)(x0) k!(x¡x0)k+Rn(x)f(x)= n X k=0 f(k)(x0) k!(x¡x0)k+Rn(x) sendo Rn(x ) Rn(x ) o resto de ff de orde nn en torno a x. 0 x0 Teorema.- Unha condición necesaria e suficiente para que a sucesión de sumas parciais da serie de Taylor de ff converxa a ff nun intervalo I=(x0¡r; x0+r ) I=(x0¡r; x0+r ) no que ten derivadas de todas as ordes, é que o resto Rn(x ) Rn(x ) converxa a cero cando n, para cada x. !1n!1 2Ix 2I As funcións que verifican esta propiedade son as chamadas funcións analíticas. Máis concretamente: Se ff é unha función real definida nun conxunto aberto E e x, entón ff é analítica en x se existen r> e unha serie de potencias con centro x tal que para cada x ½RE½R02Ex02E 0 x00r>00 x0 2(x0¡r; x0+r ) x2(x0¡r; x0+r ) verifícase f(x)= 1 X n=0 an(x¡x0)n:f(x)= 1 X n=0 an(x¡x0)n: 9 9 9 9 9 9 9 9 UNIDADE 3. SUCESIÓNS E SERIES DE FUNCIÓNS REAIS - 9 Estableceremos grupos de traballo, máis ou menos numerosos en fun-• ción do número de estudantes do grupo, os que se lles asignarán traballos que entregarán por escrito e exporán na aula. Esta asignación irá acompañada de diversas propostas de traballos individuais (para facer na aula ou nas horas non presenciais). Todos eles serán corrixidos e comentados con cada grupo ou, no seu caso, con cada alumno. As titorías activas estarán especialmente deseñadas para estimular a • actividade fóra da clase e orientar o estudante no seu progreso, a fi n de que quen estea interesado poida examinar en cada momento o seu proceso de aprendizaxe. Programaranse, se fose necesario, algunhas actividades de reforzo so-• bre os contidos básicos da tema. Farase coincidir o horario de estas actividades con algunha das titoría activas. Utilizaranse programas informáticos que resolvan, simplifi que ou axu-• den a asentar certos aspectos relativos á materia (cálculos formais, interpretacións xeométricas…). Concretamente usaremos o programa Maple, polo seu sinxelo manexo. OS CONTIDOS BÁSICOS SUCESIÓNS DE FUNCIÓNS1. As sucesións de funcións, é dicir sucesións nas que os termos son funcións reais con dominio o mesmo conxunto de números reais, xorden de forma natural na análise real. Son particularmente útiles, por un lado para construír novas funcións como límite de funcións coñecidas, polo outro para substituír nalgúns problemas unha función dada por funcións que a aproximan e que poden ter un comportamento mellor controlado respecto á situación que interesa. A razón de ser da defi nición formal de sucesión de funcións é o problema da converxencia da sucesión a outra función. En calquera caso, no estudo de sucesións converxentes ten especial interese cales son as propiedades dos termos da sucesión que se conservan na función límite, e en que condicións ten lugar tal transferencia. É dicir, supoñendo que todas as funcións da sucesión teñen unha propiedade (continuidade, derivabilidade, integrabilidade e outras), trátase de precisar condicións que ten que cumprir a converxencia para que a propiedade considerada se manteña na función límite. A condición máis natural e simple é que a converxencia sexa uniforme, o que equivale a que as gráfi cas das funcións da sucesión se aproximen globalmente á gráfi ca da función límite. Unha gran parte do tema estará ilustrado por numerosos exemplos de sucesións que mostren as distintas posibilidades que poden aparecer na súa converxencia. 16 - UNIDADE 3. SUCESIÓNS E SERIES DE FUNCIÓNS REAIS Exemplo.- A sucesión de funcións derivables f, dada por n:R!Rfn:R!R fn(x)=sen nx pn fn(x)=sen nx pn converxe uniformemente á función en RR, pois jfn(x)j· 1 pn;n2N;x2Rjfn(x)j· 1 pn;n2N;x2R, 0·lim n!1 sup x2[0;1] jfn(x)¡f(x)j· lim n!1 1 pn;=0:0·lim n!1 sup x2[0;1] jfn(x)¡f(x)j· lim n!1 1 pn;=0: Como f0 n(x)= p ncos nxf0 n(x)= p ncos nx, a sucesión f non converxe puntualmente en RR. f0 ngff0 ng Exemplo.- A sucesión de funcións derivables de termo xeral f, n:R!Rfn:R!R fn(x)=8 < : ¡xse x<¡1=n n 2x2+1 2nse x2[¡1=n; 1=n] xse x>1=n fn(x)=8 < : ¡xse x<¡1=n n 2x2+1 2nse x2[¡1=n; 1=n] xse x>1=n converxe uniformemente á función f, que non é derivable en RR. En efecto, se x, existe un natural NN tal que x (x)=jxj;x2Rf(x)=jxj;x2R 0<0x0<00<¡1 n x0<¡1 n e por tanto, ff , se , o que implica que f!1 f!1 . Analogamente, se x, existe un natural NN tal que f se n> , e f. A converxencia uniforme é consecuencia de n(x0)=¡x0n(x0)=¡x0 mxf(x0)=¡x0 (x0)=lim xf(x0)=¡x0 n>Nn>N (x0)=li 0>0x0>0 n(x0)=x0 fn(x0)=x0Nn>N (x0)=lim x!1 fn(x0)=x0 f(x0)=lim x!1 fn(x0)=x0 lim n!1 sup x2Rjfn(x)¡f(x)j=lim n!1 sup x2[¡1=n;1=n]jfn(x)¡f(x)j=lim n!1 1 2n=0lim n!1 sup x2Rjfn(x)¡f(x)j=lim n!1 sup x2[¡1=n;1=n]jfn(x)¡f(x)j=lim n!1 1 2n=0 Na figura 5 pódense ver as gráficas dalgúns termos da sucesión. Cómpre aumentar as hipóteses para que a derivabilidade se transmita por converxencia á función límite. Teorema.- Se f é unha sucesión de funcións derivables no intervalo fngffng ( a; b ) ( a; b ) de RR que verifica 1. Existe x02(a; b ) x02(a; b ) no que a sucesión numérica f é converxente. fn(x0)gffn(x0)g 2. f converxe uniformemente a unha función gg en f0 ngff0 ng ( a; b ) ( a; b ) . Entón converxe uniformemente a unha función ff que é derivable en ffngffng ( a; b ) ( a; b ) , e f0(x)=g(x ) para todo x2(a; b ) x2(a; b ) . 9 9 9 9 9 Figura 5.- Algúns termos da sucesión ffngffng . UNIDADE 3. SUCESIÓNS E SERIES DE FUNCIÓNS REAIS - 17 Actividades propostas Preparación e exposición das demostracións dalgún dos resultados • máis relevantes. Construción de sucesión de funcións que converxan puntualmente e • non uniformemente. Analizar a converxencia puntual e uniforme de varias sucesión.• Obter a función límite de sucesións, e estudar a súa continuidade, deri-• vabilidade e integrabilidade. Prácticas de ordenador.• Facilitarase o material preciso para o desenvolvemento das actividades que irán sendo propostos na aula segundo o ritmo de traballo do grupo. Con todo iso cada alumno poderá compoñer o seu propio cartafol de prácticas, complementaria do presente texto teórico. SERIES DE FUNCIÓNS2. Relacionadas coas sucesións de funcións están as series funcionais. Deixando á parte outros aspectos formais, as cuestións que interesan en análise son as relacionadas coa converxencia. Por un lado, as series funcionais converxentes permiten defi nir novas funcións por medio da súa suma. Polo outro, é de gran interese o proceso inverso, representar unha función dada como suma dunha serie funcional dun tipo determinado, por exemplo, dunha serie de potencias. Estas representacións permiten unha análise sistemática e profunda das funcións representadas. Unha vez introducido o concepto de serie de funcións reais a partir da sucesión funcional de sumas parciais, defínense as converxencias puntual e uniforme da serie de funcións como a converxencia puntual e uniforme desta sucesión de sumas parciais. Deste xeito todas as cuestións referentes a series de funcións respóndense examinando as cuestións correspondentes relativas a sucesión de funcións. De feito, todos os resultados obtidos para sucesións de funcións poderán ser traducidos a este caso. Non obstante, moitas veces resulta máis cómodo o estudo de series funcionais de forma directa que a partir da súa sucesión de sumas parciais. Xa que a converxencia puntual dunha serie de funcións equivale a converxencia de series numéricas, pódense utilizar para o seu estudo os criterios de converxencia de series numéricas. Ademais, o criterio maiorante de Weierstrass facilita a análise da converxencia uniforme dunha serie de funcións. A representación de funcións mediante series de potencias tivo un importante papel no desenvolvemento do cálculo. Esta é unha clase importante de series de funcións que posúen propiedades que non son válidas para outras series de funcións en xeral. Todas as series de potencias teñen en común a converxencia absoluta, e por tanto puntual nun intervalo, o intervalo de converxencia da serie de potencias, que se pode obter a partir do cálculo do raio de converxencia da serie, e a diverxencia no exterior do intervalo de converxencia. Analizaranse as propiedades das funcións defi nidas mediante series de potencias e a serie de Taylor dunha función de clase infi nito.