Las funciones de Bessel y la función Gamma

Traballo Fin de Grao Las funciones de Bessel y la función Gamma Ana Acebrás Bouza 2019/2020 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao Las funciones de Bessel y la función Gamma Ana Acebrás Bouza Febreiro, 2020 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA Las funciones de Bessel y la función Gamma Área de Coñecemento: Análise Matemática Título: Las funciones de Bessel y la función Gamma Breve descrición do contido Estudar a orixe das funcións de Bessel e da función Gamma. Concepto de función de Bessel e da función gamma. Propiedades elementais. Ecuación diferencial de Bessel. Por último se verán algunhas aplicacións de ditas funcións á algúns problemas físicos Recomendacións Outras observacións iii Índice general Resumen vii Introducción ix 1. La función gamma 1 2. Las funciones de Bessel 7 2.1. LaecuacióndeBessel .............................. 8 2.2. Las funciones de Bessel de primera clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3. La solución general de la ecuación de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4. Ecuaciones de Bessel que no parecen serlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3. Propiedades de las funciones de Bessel 21 3.1. Identidades .................................... 21 3.2. Las funciones de Bessel esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3. Ceros de las funciones de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.4. Propiedades de ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.5. SeriesdeBessel.................................. 29 3.6. Lafuncióngeneratriz............................... 32 3.7. La fórmula integral de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.8. Algunas fracciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4. Funciones de Bessel y membranas vibrantes 39 4.1. La ecuación del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.2. Lamembranacircular .............................. 41 4.3. Condiciones iniciales especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Bibliografía 47 v Resumen Las funciones de Bessel son unas funciones especiales con múltiples aplicaciones en ecuaciones diferenciales, matemática aplicada y física matemática. Surgen en distintos contextos y de diferentes maneras, siendo una de ellas como soluciones de una ecuación diferencial ordinaria llamada ecuación de Bessel. La función gamma es una función muy importante en muchas ramas de las matemáticas que extiende la definición del factorial de un número entero no negativo. El objetivo de introducirla en este trabajo es la utilización en el estudio de las funciones de Bessel. Comenzamos con un capítulo dedicado a esta función y a ver algunas de sus interesantes propiedades. Posteriormente, definimos la ecuación de Bessel y nos centramos en la búsqueda de su solución general. Es durante el procedimiento de búsqueda de la solución general cuando aparecen las funciones de Bessel. Deducimos algunas de sus propiedades, definimos las series de Bessel, vemos la función generatriz, probamos la fórmula integral y mostramos una fracción continua infinita. También representamos algunas funciones en MAPLE y escribimos el código para una fórmula de recurrencia en MATLAB. Finalmente, aplicamos las funciones de Bessel en el estudio de las vibraciones de una membrana circular. vii 4CAPÍTULO 1. LA FUNCIÓN GAMMA Puesto que Γ(p)nunca llega a ser cero, la función 1 Γ(p)está definida para todo psi asignamos a 1 Γ(p)el valor cero para p= 0,−1,−2,.... Teniendo en cuenta estas ideas , podemos definir p! = Γ(p+ 1) (1.3) para todo pque no sea un entero negativo. Su función recíproca es 1 p!=1 Γ(p+ 1) está definida para todo p∈Ry es cero cuando pes un entero negativo. Otra posibilidad, que no desarrollaremos aquí es, a partir de la anterior construcción, extender analíticamente la función gamma al plano complejo. Algunos valores interesantes de la función gamma 1) Se verifica que Γ1 2=√π. En efecto, mediante el cambio de variable t=s2obtenemos Γ1 2= 2 Z∞ 0 e−s2ds. Como ses una variable muda, podemos escribir Γ1 22 = 4 Z∞ 0 e−x2dxZ∞ 0 e−y2dy= 4 Z∞ 0Z∞ 0 e−(x2+y2)dx dy. Escribiendo esta integral doble en coordenadas polares Γ1 22 = 4 Zπ 2 0Z∞ 0 e−r2r dr dθ. Calculamos esta última integral y llegamos a que Γ1 22 =π, por tanto, Γ1 2=√π. (1.4) 2) Aplicando (1.3), la proposición 1.1, y (1.4) vemos fácilmente que 1 2! = √π 2y3 2! = 3√π 2 5 3) Se tiene que n+1 2! = (2n+ 1)! 22n+1n!√π(1.5) para todo entero nno negativo. En efecto, ya que por (1.3) 1 2+n!=Γn+1 2+ 1 Aplicando la fórmula (1.3), la proposición 1.1 y la fórmula (1.4), Γn+1 2+ 1=n+1 2Γn+1 2 =n+1 2n−1 2Γn−1 2 =n+1 2n−1 2··· 3 2·1 2·Γ1 2 =n+1 2n−1 2··· 3 2·1 2·√π =2n+ 1 22n−1 2··· 3 2·1 2·√π =1 2n+1 (2n+ 1)(2n−1) ···3·1·√π =1 2n+1 ·(2n+ 2)(2n+ 1)(2n)(2n−1) ···4·3·2·1 (2n+ 2)(2n)···2·1·√π =1 2n+1 ·(2n+ 2)! 2n+1(n+ 1)n···2·1·√π =1 (2n+1)2·2(n+ 1)(2n+ 1)! (n+ 1)n!·√π =(2n+ 1)! 22n+1n!·√π. 4) Se verifica n−1 2! = (2n)! 22nn!√π(1.6) para todo entero nno negativo. Por la fórmula (1.3), n−1 2!=Γn−1 2+ 1 6CAPÍTULO 1. LA FUNCIÓN GAMMA Haciendo algo similar a lo que hemos hecho para probar (1.5), Γn−1 2+ 1=n−1 2Γn+1 2 =n−1 2n−3 2Γn−3 2 =n−1 2n−3 2··· 3 2·1 2·Γ1 2 =n−1 2n−3 2··· 3 2·1 2·√π =2n−1 22n−3 2··· 3 2·1 2·√π =1 2n(2n−1)(2n−3) ···3·1·√π =1 2n·(2n)(2n−1)(2n−2)(2n−3) ···4·3·2·1 (2n)(2n−2) ···4·2·√π =1 2n·(2n)! 2n·n!·√π =(2n)! 22n·n!·√π. Capítulo 2 Las funciones de Bessel Las funciones de Bessel son muy importantes en física matemática y en ingeniería. Tienen aplicaciones en la propagación de ondas, el movimiento de fluidos y especialmente en la teoría del potencial y la teoría de la difusión con simetría cilíndrica. También aparecen en problemas interesantes de matemática pura. El matemático Daniel Bernoulli(1700-1782) fue el primero en encontrar las funciones de Bessel cuando estaba estudiando las vibraciones de una cadena colgante. Posteriormente aparecieron en la teoría de Euler(1707-1782) de las vibraciones de una membrana circular y en los trabajos de Bessel acerca del movimiento de los planetas. Friedrich Wilhelm Bessel(1784-1846) fue un astrónomo alemán. Era íntimo amigo de Gauss(1777-1855),con el que mantuvo correspondencia durante muchos años. Fue el primero en determinar con precisión la distancia a una estrella fija. Descubrió también que Sirio, la estrella más brillante del firmamento es una estrella binaria, es decir, una estrella que va acompañada en su movimiento por otra. Esta compañera de Sirio fue la primera estrella muerta descubierta y es muy importante en las modernas teorías de la evolución estelar. Friedrich Bessel 7 8CAPÍTULO 2. LAS FUNCIONES DE BESSEL 2.1. La ecuación de Bessel La ecuación diferencial x2y00 +xy0+ (x2−p2)y= 0,(2.1) donde p≥0, se llama ecuación de Bessel. Se trata de una ecuación diferencial ordinaria de orden dos con coeficientes no constantes. Sus soluciones reciben el nombre de funciones de Bessel. (2.1) es la forma canónica de la ecuación de Bessel. Vamos a hallar su forma normal. Dividimos (2.1) por x2y vemos que los nuevos coeficientes de y0ey00 son P(x) = 1/x yQ(x)=(x2−p2)/x2respectivamente. Obtenemos la ecuación diferencial y00 +1 xy0+x2−p2 x2y= 0. Hacemos el cambio de variable u(x) = √xy(x). Tenemos que y(x) = u(x)·1 √x. Por tanto, y0(x) = −u(x)1 2x√x+u0(x)1 √x y y00(x) = u(x)3 4x2√x−2u0(x)1 2x√x+u00(x)1 √x. Sustituimos estas expresiones en la nueva ecuación diferencial: 1 √xu00 +−2·1 2x√x+1 x·1 √xu0+3 4x2√x−1 x·1 2x√x+(x2−p2) x2·1 √xu= 0. Igualando a cero el coeficiente de u0, tenemos u00 +1 + 1−4p2 4x2u= 0,(2.2) que es la forma normal de la ecuación de Bessel. - 2.2. Las funciones de Bessel de primera clase En esta sección vamos a hallar una solución particular de la ecuación de Bessel. Un punto x0de la ecuación diferencial y00 +P(x)y0+Q(x)y= 0 2.2. LAS FUNCIONES DE BESSEL DE PRIMERA CLASE 9 es un punto singular si una de las funciones coeficientes P(x),Q(x), o ambas a la vez son no analíticas en x0. Se dice que x0es un punto singular regular si las funciones (x−x0)P(x) y(x−x0)2Q(x)son analíticas. Enunciamos el siguiente teorema, que necesitaremos en lo que sigue Teorema 2.1. Supongamos que x= 0 es un punto singular regular de la ecuación diferencial y00 +P(x)y0+Q(x)y= 0 (∗) y que los desarrollos en serie de potencias xP(x) = ∞ X n=0 pnxnyx2Q(x) = ∞ X n=0 qnxn son válidos sobre un intervalo |x|< R, con R > 0. Sean m1, m2las raíces de la ecuación indicial m(m−1) + mp0+q0= 0 con m2≤m1. Entonces la ecuación (∗)tiene al menos una solución y1=xm1∞ X n=0 anxn(a06= 0) sobre el intervalo 0< x < R, donde los anquedan determinados en términos de a0por la fórmula de recurrencia an[(m+n)(m+n−1) + (m+n)p0+q0] + n−1 X k=0 ak[(m+k)pn−k+qn−k]=0 con msustituido por m1, y la serie Panxnconverge para |x|< R. Además, si m1−m2 no es un entero positivo o cero, la ecuación (∗)tiene una segunda solución independiente y2=xm2∞ X n=0 anxn(a06= 0) sobre ese mismo intervalo, y en este caso los anquedan determinados en términos de a0 por la fórmula de recurrencia anterior con msustituido por m2, y de nuevo la serie Panxn es convergente para |x|< R. Ahora, procedemos a buscar la solución particular de la ecuación de Bessel. Hemos visto anteriormente que P(x)=1/x yQ(x) = (x2−p2)/x2. Multiplicando P(x)por xyQ(x) por x2obtenemos dos funciones analíticas. Por tanto, el origen es un punto singular regular. 10 CAPÍTULO 2. LAS FUNCIONES DE BESSEL La ecuación indicial es m2−p2= 0 y sus exponentes son m1=pym2=−p. Entonces, aplicando el teorema que hemos enunciado previamente, (2.1) admite una solución y=xp∞ X n=0 anxn=∞ X n=0 anxn+p,(2.3) donde a06= 0 y la serie de potencias Xanxnes convergente para todo x∈R. Calculamos la primera y la segunda derivada de y y0=∞ X n=1 (n+p)anxn+p−1, y00 =∞ X n=2 (n+p−1)(n+p)anxn+p−2. Sustituimos en (2.1) ∞ X n=0 (n+p−1)(n+p)anxn+p+∞ X n=0 (n+p)anxn+p+∞ X n=2 an−2xn+p+∞ X n=0 −p2anxn+p= 0. Agrupando los términos, llegamos a ∞ X n=0 [n(2p+n) + an−2]xn+p= 0,(2.4) igualamos a cero el coeficiente de xn+pen (2.4) y obtenemos la siguiente fórmula de recurrencia para los an n(2p+n)an+an−2= 0,(2.5) es decir, an=−an−2 n(2p+n).(2.6) a0es no nulo y arbitrario. Como a−1= 0, por (2.6), a1= 0. Aplicando (2.6) repetidas veces deducimos que an= 0 si nes impar. Los coeficientes no nulos de (2.3) son los ancon npar, es decir, a0 a2=−a0 2(2p+ 2) a4=−a2 4(2p+ 4) =a0 2·4(2p+ 2)(2p+ 4) a6=−a4 6(2p+ 6) =−a0 2·4·6(2p+ 2)(2p+ 4)(2p+ 6),··· 2.2. LAS FUNCIONES DE BESSEL DE PRIMERA CLASE 11 Una solución particular de (2.1) es y=a0xp1−x2 22(p+ 1) +x4 242!(p+ 1)(p+ 2) −x6 263!(p+ 1)(p+ 2)(p+ 3) +··· =a0xp∞ X n=0 (−1)nx2n 22nn!(p+ 1) ···(p+n) (2.7) Sustituyendo a0= 1/2pp!en (2.7), definimos la función de Bessel de orden p. La denotamos por Jp(x). Es decir, Jp(x) = xp 2pp! ∞ X n=0 (−1)nx2n 22nn!(p+ 1) ···(p+n)=∞ X n=0 (−1)n(x/2)2n+p n!(p+n)! (2.8) Observemos que al haber introducido la función gamma la función Jp(x)definida por (2.8) tiene sentido para todo p≥0, y que también hemos conseguido que (2.8) esté definida para todo p∈R, ya que 1 (p+n)! ha adquirido significado para todo p+n. Cabe destacar las funciones de Bessel de orden 0 y de orden 1 J0(x) = ∞ X n=0 (−1)n1 (n!)2x 22n= 1 −x2 22+x4 22·42−x6 22·42·62+··· Figura 2.1: Función de Bessel de orden 0 12 CAPÍTULO 2. LAS FUNCIONES DE BESSEL J1(x) = ∞ X n=0 (−1)n1 n! (n+ 1)! x 22n+1 =x 2−1 1!2! x 23+1 2!3! x 25−··· , Figura 2.2: Función de Bessel de orden 1 2.3. La solución general de la ecuación de Bessel Hemos hallado una solución particular de la ecuación de Bessel correspondiente al exponente m1=p, que hemos denotado por Jp(x). Ahora procederemos a hallar la solución general, para ello tenemos que buscar una solución independiente de Jp(x), es decir, una solución que no sea múltiplo constante de Jp(x). Esta solución se denominará función de Bessel de segunda clase. Probamos ensayando con el otro exponente m2=−p, pero cuando la diferencia m1−m2= 2psea un entero positivo o cero encontraremos dificultades; equivalentemente, cuando la constante no negativa psea un entero o un semientero. Dado que en el segundo caso los problemas se pueden solucionar fácilmente empezaremos suponiendo que pno es entero. El proceso para la obtención de la solución J−pes 2.3. LA SOLUCIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN DE BESSEL 13 similar al de obtención de Jp. La única diferencia es que (2.5) se convierte en n(−2p+n)an+an−2= 0. Si en esta expresión p= 1/2yn= 1, no es necesario tomar a1= 0. Lo mismo ocurre cuando p= 3/2yn= 3, no es necesario tomar a3= 0. Esto es así para todos los an con nimpar. Pero lo que queremos es una solución particular, por tanto podemos poner a1=a3=··· = 0. Todos los demás coeficientes se calculan como antes, y obtenemos una segunda solución J−p(x) = ∞ X n=0 (−1)n(x/2)2n−p n!(−p+n)!. Desarrollamos la suma J−p(x) = ∞ X n=0 (−1)n(x/2)2n−p n!(−p+n)! =x 2−p∞ X n=0 (−1)n(x/2)2n n!(−p+n)! =x 2−p1 (−p)! −x 221 1!(−p+ 1)! +x 241 2!(−p+ 2)! +··· y vemos que J−p(x)no está acotada cerca de x= 0. Como Jp(x)es acotada cerca de x= 0, estas dos soluciones son independientes e y=c1Jp+c2J−p, p no entero,(2.9) es la solución general de (2.1) . Cuando pes un entero m≥0tenemos J−m(x) = ∞ X n=0 (−1)n(x/2)2n−m n!(−m+n)! En el primer capítulo vimos que 1 p!= 0 si pes negativo, por tanto los factores 1 (−m+n)! son cero si n= 0, . . . , m −1y podemos escribir J−m(x) = ∞ X n=m (−1)n(x/2)2n−m n!(−m+n)!, o, empezando la suma en cero, J−m(x) = ∞ X n=0 (−1)n+m(x/2)2(n+m)−m (n+m)!n!= (−1)m∞ X n=0 (−1)n(x/2)2n+m (n+m)!n!= (−1)mJm(x) 20 CAPÍTULO 2. LAS FUNCIONES DE BESSEL Capítulo 3 Propiedades de las funciones de Bessel Recordemos que la función de Bessel de primera clase se ha definido para todo número real pcomo Jp(x) = ∞ X n=0 (−1)n(x/2)2n+p n!(p+n)!.(3.1) En este cap´ tulo veremos algunas propiedades importantes de estas funciones. 3.1. Identidades Proposición 3.1. Se verifican las fórmulas 1) d dx [xpJp(x)] = xpJp−1(x) 2) d dx x−pJp(x)=−x−pJp+1(x). Demostración. 1) Multiplicamos (3.1) por xpy derivamos: d dx [xpJp(x)] = d dx ∞ X n=0 (−1)x2n+2p 22n+pn!(p+n)! =∞ X n=0 (−1)nx2n+2p−1 22n+p−1n!(p+n−1)! =xp∞ X n=0 (−1)n(x/2)2n+p−1 n!(p−1 + n)! =xpJp−1(x). 21 22 CAPÍTULO 3. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE BESSEL 2) Se prueba de manera similar a 1). Multiplicamos (3.1) por x−py derivamos d dx x−pJp(x)=d dx ∞ X n=0 (−1)nx2n 22n+pn!(p+n)! =∞ X n=1 (−1)nx2n−1 22n+p−1(n−1)!(p+n)!. Reemplazando la variable muda npor n+1, hacemos que la suma comience en n= 0. Por tanto, d dx x−pJp(x)=∞ X n=0 (−1)n+1x2n+1 22n+p+1n!(p+n+ 1)! =−∞ X n=0 (−1)nx2n+1 22n+p+1n!(p+n+ 1)! =−x−p∞ X n=0 (−1)nx2n+p+1 22n+p+1n!(p+1+n)! =−x−pJp+1(x). Proposición 3.2. Se verifican las fórmulas J0 p(x) + p xJp(x) = Jp−1(x)(3.2) y J0 p(x)−p xJp(x) = Jp+1(x),(3.3) Demostración. Derivamos 1) y en 2) de la Proposición 3.1: pxp−1Jp(x) + xpJ0 p(x) = xpJp−1(x)(3.4) −px−p−1Jp(x) + x−pJ0 p(x) = −x−pJp+1(x),(3.5) Dividimos (3.4) por xpy (3.5) por x−py obtenemos J0 p(x) + p xJp(x) = Jp−1(x). J0 p(x)−p xJp(x) = −Jp+1(x), Proposición 3.3. Se verifican las fórmulas 2J0 p(x) = Jp−1(x)−Jp+1(x).(3.6) y2p xJp(x) = Jp−1(x) + Jp+1(x).(3.7) 3.2. LAS FUNCIONES DE BESSEL ESFÉRICAS 23 Demostración. Sumamos y restamos (3.2) y (3.3). Por tanto 2J0 p(x) = Jp−1(x)−Jp+1(x).(3.8) 2p xJp(x) = Jp−1(x) + Jp+1(x).(3.9) Estas fórmulas nos permiten expresar las funciones de Bessel y sus derivadas en términos de otras funciones de Bessel. Por ejemplo, aplicando (3.9) escribimos J2(x),J3(x)yJ4(x) en términos de J0(x)yJ1(x): J2(x) = 2 xJ1(x)−J0(x), J3(x) = 4 xJ2(x)−J1(x) = 8 x−1J1(x)−4 xJ0(x). J4(x) = 6 xJ3(x)−J2(x) = 48 x2−8 xJ1(x)−−24 x2+ 1J0(x). También será de utilidad escribir las fórmulas de la proposición 3.1 de la forma ZxpJp−1(x)dx =xpJp(x) + c, (3.10) Zx−pJp+1(x)dx =−x−pJp(x) + c. (3.11) ya que nos permitirán integrar expresiones que involucren funciones de Bessel. Por ejemplo, cuando p= 1, aplicando (3.10) obtenemos ZxJ0(x)dx =xJ1(x) + c. (3.12) 3.2. Las funciones de Bessel esféricas LLamamos funciones de Bessel esféricas a las funciones Jm+1/2(x). Este nombre se debe a que aparecen al resolver la ecuación de ondas en coordenadas esféricas. Recordemos las fórmulas J1/2(x) = r2 πx sen x y J−1/2(x) = r2 πx cos x Aplicando (3.9) podemos escribir, por ejemplo J3/2(x) = 1 xJ1/2(x)−J−1/2(x) = r2 πx sen x x−cos x, 24 CAPÍTULO 3. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE BESSEL J5/2(x) = 3 4J3/2(x)−J1/2(x) = r2 πx 3 sen x x2−3 cos x x−sen x, J−3/2(x) = −1 xJ−1/2(x)−J1/2(x) = r2 πx −cos x x−sen x, J−5/2(x) = −3 xJ−3/2(x)−J−1/2(x) = r2 πx 3 cos x x2+3 sen x x−cos x. Es evidente que este proceso puede continuar indefinidamente. En consecuencia, toda Jm+1/2, con mentero es elemental. Liouville probó que estas eran las únicas funciones de Bessel elementales. 3.3. Ceros de las funciones de Bessel Los ceros de algunas funciones de Bessel están tabulados en muchos libros de tablas matemáticas. Es el caso de la funciones J0(x)yJ1(x), cuyos ceros se conocen con mucha precisión. Los primeros cinco ceros de J0(x)son, aproximadamente, 2,4048, 5,5201, 8,6537, 11,7915 y 14,9309 ; y los primeros cinco ceros de J1(x)son 3,8317, 7,0156, 10,1735, 13,3237, y 16,4706. Enunciamos ahora dos teoremas que serán de utilidad. Teorema 3.4. Sea u(x)cualquier solución no trivial de u00 +q(x)u= 0, donde q(x)>0, para todo x > 0. Si Z∞ 1 q(x)dx =∞ entonces u(x)tiene infinitos ceros en el semmieje xpositivo. Teorema 3.5 (teorema de comparación de Sturm).Sean y(x),z(x)soluciones no triviales de y00 +q(x)y= 0 y z00 +r(x)z= 0, donde q(x)yr(x)son funciones positivas tales que q(x)> r(x). Entonces y(x)se anula al menos una vez entre dos ceros sucesivos de z(x). Vamos a estudiar el comportamiento de los ceros de las funciones de Bessel. Proposición 3.6. Toda solución no trivial de la ecuación de Bessel tiene infinitos ceros positivos. 3.3. CEROS DE LAS FUNCIONES DE BESSEL 25 Demostración. Sea u(x)una solución no trivial de la ecuación de Bessel. Recordemos que la forma normal es u00 +1 + 1−4p2 4x2u= 0. Cuando xes grande, q(x) = 1 + 1−4p2 4x2 es mayor que cero. Calculamos la integral Z∞ 1 q(x)dx =Z∞ 11 + 1−4p2 4x2dx = l´ım b→∞ Zb 11 + 1−4p2 4x2dx = l´ım b→∞ b−1 + 1−4p2 4−1 b+ 1=∞. Por el teorema 3.4, u(x)tiene infinitos ceros en el semieje positivo. Teorema 3.7. Sea u(x)una solución no trivial de la ecuación de Bessel x2y00 +xy0+ (x2−p2)x= 0 sobre el semieje xpositivo. Se verifica: 1) Si 0≤p < 1/2, entonces todo intervalo de longitud πcontiene al menos un cero de u(x). 2) Si p= 1/2, la dstancia entre dos ceros sucesivos de u(x)es exactamente π. 3) Si p > 1/2, entonces todo intervalo de longitud πcontiene a lo sumo un cero de u(x). Demostración. Consideremos la ecuación de Bessel en su forma normal u00 +1 + 1−4p2 4x2u= 0. 1) Si 0≤p < 1 2, q(x) = 1 + 1−4p2 4x2>1. Sean u(x)una solución no trivial de u00 +q(x)u= 0 yz(x)una solución no trivial de z00 +z= 0. Como q(x)> r(x) = 1, por el teorema 3.5, u(x)se anula al menos una vez entre dos ceros sucesivos de z(x). Las soluciones de z00 +z= 0 son sen xycos x. La distancia entre dos ceros de sen xy la distancia entre dos ceros de cos xes π, por tanto, u(x)se anula al menos una vez en un intervalo de longitud π. 2) Cuando p=1 2, la ecuación es u00 +u= 0, cuyas soluciones son las funciones sen xy cos x. Entonces yp(x)se anula exactamente una vez en un intervalo de longitud π. 26 CAPÍTULO 3. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE BESSEL 3) Si p≥2 2, q(x) = 1 + 1−4p2 4x2<1. Sean u(x)una solución no trivial de u00 +q(x)u= 0 yz(x)una solución no trivial de z00 +z= 0. Como 1 = r(x)> q(x), aplicando el teorema 3.5, tenemos que z(x)se anula al menos una vez entre dos ceros sucesivos de u(x). Sabemos que la distancia entre dos ceros sucesivos de z(x)es π, entonces z(x)se anula al menos una vez entre dos ceros sucesivos de u(x). Por tanto, u(x)se anula a lo sumo una vez entre dos ceros de z(x). En consecuencia, un intervalo de longitud πcontiene a lo sumo un cero de u(x). Proposición 3.8. Entre dos ceros de Jp(x)hay al menos un cero de Jp+1(x). Demostración. Por la proposición 3.6, Jp(x)tiene infinitos ceros positivos. Los ceros positivos de Jp(x)y los ceros positivos de x−pJp(x)son los mismos. Sean a, b dos ceros positivos de x−pJp(x), supongamos que a<b. La función x−pJp(x)es continua en [a, b], derivable en (a, b)ya−pJp(a) = b−pJp(b). Por el teorema de Rolle, existe un punto c∈(a, b)tal que d dx x−pJp(x)x=c = 0. Por el apartado 2) de la proposición 3.1, d dx x−pJp(x)x=c =−c−pJp+1(c) y, entonces, Jp+1(c)=0. Hemos probado que entre dos ceros positivos sucesivos de x−pJp(x)hay al menos un cero positivo de Jp+1(x). Por tanto, entre dos ceros positivos sucesivos de Jp(x)existe al menos un cero positivo de Jp+1(x). Proposición 3.9. Entre dos ceros de Jp+1(x)hay al menos un cero de Jp(x). Demostración. Sabemos por la proposición 3.6 que Jp+1(x)tiene infinitos ceros positivos. Los ceros positivos de Jp+1(x)son los mismos que los ceros positivos de xp+1Jp+1(x). Sean a, b dos ceros positivos de xp+1Jp+1(x),supongamos que a < b.xp+1Jp+1(x)es continua en [a, b], derivable en (a, b)yap+1Jp+1(a) = bp+1Jp+1(b). Por el teorema de Rolle, existe c∈(a, b)tal que d dx xp+1Jp+1(x)x=c = 0. Aplicando el apartado 1) de la proposición 3.1, tenemos que d dx xp+1Jp+1(x)x=c =cp+1Jp(c). 3.3. CEROS DE LAS FUNCIONES DE BESSEL 27 Por tanto, Jp(c)=0Hemos probado que entre dos ceros positivos sucesivos de Jp+1(x) hay al menos un cero positivo de Jp(x). Por tanto, entre dos ceros positivos sucesivos de Jp+1(x)existe al menos un cero positivo de Jp(x). Figura 3.1: Funciones de Bessel J0yJ1 Como consecuencia inmediata de la proposición 3.8 y la proposición 3.9, los ceros positivos de Jp(x)y de Jp+1(x)ocurren alternadamente, es decir, entre cada par de ceros positivos sucesivos de una de ellas hay exactamente un cero de la otra. Esto se ve en la figura 3.1, donde hemos representado la función J0(x)de color azul y la J1(x), de color rojo. 28 CAPÍTULO 3. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE BESSEL 3.4. Propiedades de ortogonalidad Por cuestión de comodidad trabajaremos en el intervalo [0,1]. Mediante un cambio de variable es posible adaptar todas la fórmulas que escribamos en la siguiente proposición a intervalos de la forma [0, a]. Proposición 3.10. Sean x∈[0,1], y λnyλmlos ceros positivos de alguna función de Bessel fija Jp(x)con p≥0. Se verifica: Z1 0 xJp(λmx)Jp(λnx) =        0si m 6=n, 1 2Jp+1 (λn)2si m =n. Demostración. La función y=Jp(x)es solución de y00 +1 xy0+1−p2 x2u= 0. Sean aybson constantes positivas distintas. La función u(x) = Jp(ax)satisface la ecuación u00 +1 xu0+a2−p2 x2u= 0 (3.13) y la función v(x) = Jp(bx)satisface la ecuación v00 +1 xv0+b2−p2 x2v= 0.(3.14) Multiplicando (3.13) por v, obtenemos u00v+1 xu0v+a2−p2 x2uv = 0 (3.15) y multiplicando (3.14) por u, v00u+1 xv0u+b2−p2 x2vu = 0.(3.16) Restamos (3.15) y (3.16), entonces d dx u0v−v0u+1 xu0v−v0u=b2−a2uv. (3.17) Multiplicamos (3.17) por x. Por tanto, d dx xu0v−v0u=b2−a2xuv. 3.5. SERIES DE BESSEL 29 Integramos entre 0y1esta última expresión y resulta b2−a2Z1 0 xuv dx =xu0v+v0u1 0. Es claro que [x(u0v−v0u)] se anula en el extremo x= 0. En el extremo x= 1, tenemos u(1) = Jp(a)yv(1) = Jp(b). Por tanto, b2−a2R1 0xuv dx = 0 si a=λmyb=λnson dos ceros distintos positivos de Jp(x). Es decir, Z1 0 xJp(λmx)Jp(λnx)dx = 0. Con esto tenemos probada la primera parte de la proposición. Ahora vamos a calcular Z1 0 xJp(λnx)Jp(λnx).(3.18) Multiplicamos (3.13) por 2x2u0. Entonces, 2x2u0u00 + 2xu02+ 2a2x2uu0−2p2uu0= 0,(3.19) o lo que es lo mismo, d dx x2u02+d dx a2x2u2−2a2xu2−d dx p2u2= 0.(3.20) Integrando entre x= 0 yx= 1: 2a2Z1 0 xu2dx =x2u02+a2x2−p2u21 0.(3.21) x2u02+a2x2−p2u21 0se anula en x= 0, y u0(1) = aJ0 p(a). Por tanto, Z1 0 xJp(ax)2dx =1 2J0 p(a)2+1 21−p2 a2Jp(a)2 en virtud de (3.21). Finalmente, ponemos a=λny, aplicando la fórmula (3.3) obtenemos Z1 0 xJp(λnx)2dx =1 2J0 p(λn)2=1 2Jp+1 (λn)2 y hemos terminado la demostración. 3.5. Series de Bessel Muchas veces, en física matemática es útil desarrollar una función dada en términos de fuunciones de Bessel. Los desarrollos más simples son las series de la forma f(x) = ∞ X n=1 anJp(λnx) = a1Jp(λ1x) + a2Jp(λ2x) + ··· ,(3.22) 36 CAPÍTULO 3. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE BESSEL Por tanto, sen(xsen θ)=2 ∞ X n=1 J2n−1(x) sen((2n−1)θ).(3.31) Cuando θ=π 2en (3.31) tenemos sen x= 2 ∞ X n=1 J2n−1(x) cos(nπ) = 2J1(x)−2J3(x)+2J5(x)−··· ,(3.32) En (3.29) y (3.32) se ve claramente la estrecha relación entre las funciones trigonométricas seno y coseno y las funciones de Bessel. Proposición 3.17. Sea nun entero, Jn(x)la función de Bessel de orden nyθ∈[0, π]Se verifica la fórmula integral de Bessel: Jn(x) = 1 πZπ 0 cos (nθ −xsen θ)dθ. Demostración. Multiplicamos (3.27) por cos(mθ)y multiplicamos (3.30) por sen(mθ). Obtenemos cos(mθ) cos(xsen θ) = ∞ X n=−∞ Jn(x) cos(nθ) cos(mθ) y sen(mθ) sen(xsen θ) = ∞ X n=−∞ Jn(x) sen(nθ) sen(mθ). Sumamos los primeros miembros de estas expresiones cos(mθ −xsen θ) y sumamos los dos segundos miembros ∞ X n=−∞ Jn(x) cos((n−m)θ).(3.33) Igualamos los dos resultados anteriores y obtenemos cos(mθ −xsen θ) = ∞ X n=−∞ Jn(x) cos((n−m)θ)(3.34) El término n=mde (3.33) es Jm(x). Por tanto, podemos escribir (3.34) de la forma cos(mθ −xsen θ) = Jm(x) + ∞ X n=−∞ n6=m Jn(x) cos((n−m)θ)(3.35) 3.8. ALGUNAS FRACCIONES CONTINUAS 37 Integrando entre θ= 0 yθ=πa ambos lados de (3.35) tenemos Zπ 0 cos(mθ −xsen θ) = Jm(x)π. o, equivalentemente, Jm(x) = 1 πZπ 0 cos(mθ −xsen θ).(3.36) Sustituimos mpor nen (3.36) y llegamos a Jn(x) = 1 πZπ 0 cos (nθ −xsen θ)dθ, que es la fórmula integral de Bessel. 3.8. Algunas fracciones continuas Escribimos la identidad (3.7) de la forma Jp−1(x) = 2p xJp(x)−Jp+1(x) y la dividimos por Jp(x). Entonces Jp−1(x) Jp(x)=2p x−1 Jp(x)/Jp+1(x).(3.37) Aplicando (3.37) a Jp(x)/Jp+1(x)tenemos Jp−1(x) Jp(x)=2p+ 2 x−1 Jp+1(x)/Jp+2(x), y a Jp+1(x)/Jp+2(x), Jp+1(x) Jp+2(x)=2p+ 4 x−1 Jp+2(x)/Jp+3(x). Repitiendo indefinidamente este proceso llegamos a que (3.37) se puede escribir de la forma Jp−1(x) Jp(x)=2p x−1 2p+2 x−1 2p+4 x−··· , que es un desarrollo en fracción continua infinita de Jp−1(x)/Jp(x). Cuando p=1 2tenemos que J−1/2(x) J1/2(x)=1 x−1 1 x−1 3 x−1 5 x−··· . 38 CAPÍTULO 3. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE BESSEL Teniendo en cuenta las fórmulas (2.23) y (2.24), podemos escribir cotg x=J−1/2(x) J1/2(x)=1 x−1 3 x−1 5 x−··· y entonces, tg x=1 1 x−1 3 x−1 5 x−··· . La fracción continua que hemos obtenido fue descubierta por Lambert en 1761. La utilizó para probar que πes un número irracional. Su razonamiento tenía algunas pequeñas lagunas que Legendre corrigiría unos 30 años más tarde. Capítulo 4 Funciones de Bessel y membranas vibrantes En este capítulo vamos a tratar una aplicación sencilla de las funciones de Bessel en la teoría de Euler sobre las vibraciones de una membrana circular. Una membrana, en nuestro caso, es una fina lámina uniforme de un material flexible en un estado de tensión uniforme y sujeta a lo largo de una curva cerrada del plano xy. La membrana se desplaza ligeramente de su posición de equilibrio y se suelta. Vamos estudiar el movimiento vibratorio que tiene lugar debido a las fuerzas de recuperación producidas por la deformación. 4.1. La ecuación del movimiento Nuestro objetivo es formular una ecuación en derivadas parciales que describa el movimiento. Por este motivo sólo consideraremos pequeñas oscilaciones de una membrana vibrante libre. Aunque la membrana es atómica y no continua, esperamos que esa ecuación diferencial describa el movimiento con una precisión razonable. Comenzamos suponiendo que las vibraciones son muy pequeñas y que la membrana sólo se mueve en la dirección zcon desplazamiento dado en el instante tpor una función z=z(x, y, t). Trabajaremos en un pequeño trozo de membrana limitado por los planos verticales que pasan por los puntos (x, y),(x+ ∆x, y),(x+ ∆x, y + ∆y),(x, y + ∆y)del plano xy. La masa del trozo considerado es m∆x∆y, donde mes la masa por unidad de área. Por la segunda ley de Newton la fuerza que actúa sobre él en la dirección zviene dada por m∆x∆y∂2z ∂t2.(4.1) 39 40 CAPÍTULO 4. FUNCIONES DE BESSEL Y MEMBRANAS VIBRANTES Cuando la membrana se encuentra en la posición de equilibrio, el significado físico de la tensión constante Tes el siguiente: A lo largo de cualquier segmento de longitud ∆s, el material de un lado ejerce una fuerza sobre el material del otro lado. Esta fuerza tiene magnitud T∆sy es normal al segmento ∆s. De esta manera, las fuerzas sobre aristas opuestas en el pequeño trozo de membrana son paralelas al plano xy y se cancelan entre si. Cuando la membrana está ligeramente curvada, aunque que la deformación es muy pequeña y la tensión es todavía T, ahora no actúa paralelamente al plano xy; actúa paralelamente al plano tangente y, por tanto, presenta componente vertical apreciable. La curvatura de nuestro trozo de membrana produce magnitudes diferentes para las componentes verticales sobre aristas opuestas y es responsable de las fuerzas de recuperación que producen el movimiento. Consideremos un fragmento de membrana que denotamos por ABCD. Vamos a estudiar las fuerzas que en él se producen. Supongamos que ABCD está sólo ligeramente curvado. Sobre las aristas AB yDC, las fuerzas son perpendiculares al eje xy casi paralelas al eje y. Sus pequeñas componentes en los puntos (x, y)y(x, y +∆y)son aproximadamente iguales a −T∆x∂z ∂y yyT∆x∂z ∂y y+∆y; y su suma, T∆x"∂z ∂yy+∆y−∂z ∂yy#. Hacemos algo análogo para las aristas AD yBC, entonces las componentes en los puntos (x, y)y(x+ ∆x, y)son aproximadamente −T∆y∂z ∂x xyT∆y∂z ∂x x+∆x; y su suma T∆y∂z ∂xx+∆x−∂z ∂xx. En consecuencia la fuerza total en la dirección z, despreciando todas las fuerzas externas, es aproximadamente F=T∆y∂z ∂xx+∆x−∂z ∂xx+T∆x"∂z ∂yy+∆y−∂z ∂yy#. y, así, podemos expresar (4.1) en la forma T(∂z/∂x)x+∆x−(∂z/∂x)x ∆x+T(∂z/∂y)y+∆y−(∂z/∂y)y ∆y=m∂2z ∂t2. 4.2. LA MEMBRANA CIRCULAR 41 Hacemos ∆x→0y∆y→0, y obtenemos l´ım ∆x→0 (∂z/∂x)x+∆x−(∂z/∂x)x ∆x=∂2z ∂x2 y l´ım ∆y→0T(∂z/∂y)y+∆y−(∂z/∂y)y ∆y=∂2z ∂y2. Finalmente, denotando a2=T mllegamos a a2∂2z ∂x2+∂2z ∂y2=∂2z ∂t2,(4.2) que es la ecuación de ondas bidimensional. 4.2. La membrana circular Cuando la membrana es circular es lógico usar coordenadas polares con el origen en su centro. La ecuación de ondas (4.2) en coordenadas polares es a2∂2z dr2+1 r ∂z ∂r +1 r2 ∂2z ∂θ2=∂2z ∂t2,(4.3) donde z=z(r, θ, t)es una función de las coordenadas polares y del tiempo. Supongamos, por comodidad, que la membrana tiene radio r= 1. Así, la posición de equilibrio tendrá lugar cuando r= 1. Teniendo esto en cuenta nuestra condición de contorno es z(1, θ, t) = 0.(4.4) Más adelante impondremos ciertas condiciones iniciales. Tendremos que hallar unas solución que satisfaga esas condiciones iniciales y la condición de contorno (4.4). Aplicamos el método de separación de variables. Empezamos buscando soluciones particulares de la forma z(r, θ, t) = u(r)v(θ)w(t).(4.5) Sustituimos (4.5) en (4.3) y reordenamos: u00(r) u(r)+1 r u0(r) u(r)+1 r2 v00(θ) v(θ)=1 a2 w00(t) w(t).(4.6) El miembro de la izquierda en (4.6) es sólo función de ryθy el de la derecha es sólo función de t. Por tanto, ambos miembros deben ser constantes. Para que la membrana vibre w(t)debe ser periódica. El lado derecho de (4.6) garantiza que esto ocurre cuando la 42 CAPÍTULO 4. FUNCIONES DE BESSEL Y MEMBRANAS VIBRANTES constante de separación sea negativa. Entonces, igualamos cada lado de (4.6) a −λ2. con λ > 0y obtenemos las dos ecuaciones w00(t) + λ2a2w(t)=0 (4.7) y u00(r) u(r)+1 r u0(r) u(r)+1 r2 v00(θ) v(θ)=−λ2.(4.8) Vemos que la solución de (4.7) es w(t) = c1cos λat +c2sen λat. (4.9) y que (4.8) se puede escribir de la forma r2u00(r) u(r)+ru0(r) u(r)+λ2r2=−v00(θ) v(θ).(4.10) El miembro de la derecha en (4.10) es función e ry el de la derecha es función de θ. Por tanto, ambos tienen que ser iguales a una constante. Debido a la utilización de coordenadas polares, θ=θ+ 2πn y, entonces, la función vdebe ser constante o periódica con período 2π. A la vista del lado derecho de (4.10), es claro que esas posibilidades quedan cubiertas si tomamos como constante de separación n2, donde n= 0,1,2,···, entonces obtenemos las dos ecuaciones siguientes v00(θ) + n2v(θ) = 0 (4.11) y r2u00(r) + ru0(r) + λ2r2−n2u(r)=0.(4.12) Cuando n6= 0, la solución general de (4.11) es v(θ) = d1cos(nθ) + d2sen(nθ).(4.13) Cuando n= 0, la solución general es de la forma v(θ) = Aθ +B, donde, al imponer la periodicidad, A= 0. Podemos incluir este caso en (4.13) ya que, cuando n= 0, (4.13) también cumple (4.11). La ecuación diferencial (4.12) se obtienene haciendo el cambio de variable z=λr y w=ua la ecuación de Bessel z2d2w dz2+zdw dz +z2−n2u= 0 Entonces, su solución general viene dada por u=c1Jn(λr) + c2Yn(λr), 4.3. CONDICIONES INICIALES ESPECIALES 43 donde Jn(λr)es acotada e Yn(λr)es no acotada. Como u(r)es necesariamente acotada cerca de r= 0, nos quedamos sólo con la primera solución y escribimos u(r) = kJn(λr). Podemos satisfacer la condición de contorno (4.4) haciendo que u(1) = 0, es decir Jn(λ)=0. Vemos que los valores admisibles de λson los ceros positivos de la función Jn(x). La Proposición 3.6 nos garantiza que Jn(x)tiene infinitos ceros positivos. Por consiguiente, las soluciones particulares de (4.5) son múltiplos constantes de Jn(λr) (d1cos(nθ) + d2sen(nθ)) (c1cos(λat) + c2sen(λat)) ,(4.14) donde n= 0,1,2,··· ,yλson los ceros positivos de Jn(x)para cada n= 0,1,2··· 4.3. Condiciones iniciales especiales Por motivos de simplicidad, en lo que sigue nos limitamos al caso de que la membrana esté desplazada a una z=f(r), independiente de la variable θy que en el instante t= 0 se suelta partiendo del reposo. Es, decir, imponemos las condiciones iniciales z(r, θ, 0) = f(r)(4.15) y dz dt t=0 = 0.(4.16) Tenemos que determinar la forma z(r, θ, t)en cualquier instante posterior t > 0. De acuerdo con (4.15), la forma inicial es independiente de θ; luego v(θ)tiene que ser constante yntiene que ser cero en (4.13). Entonces, denotando los ceros positivos de J0(x)por λ1, λ2,··· , λn,···, (4.14) se reduce a J0(λnr) (c1cos (λnat) + c2sen (λnat)) , n = 1,2,··· Por (4.16), tenemos que c2= 0 y, entonces, en este caso, las soluciones particulares de (4.5) son los múltiplos constantes de las funciones J0(λnr) cos (λnat), n = 1,2,··· Las sumas de soluciones de (4.13) son también soluciones, por tanto las soluciones más generales son las series infinitas z=∞ X n=1 anJ0(λnr) cos (λnat).(4.17) 44 CAPÍTULO 4. FUNCIONES DE BESSEL Y MEMBRANAS VIBRANTES Para satisfacer la condición inicial (4.15) , ponemos t= 0 en (4.17) e igualamos el resultado a f(r). El Teorema 3.11 garantiza que, siempre que f(r)se comporte sufientemente bien, la serie convergerá a f(r). Definiendo los coeficientes mediante la expresión an=2 J1(λn)2Z1 0 rf(r)J0(λnr)dr, (4.17) es una solución formal de (4.3) que satisface la condición de contorno y las condiciones iniciales dadas. Apéndice La función Gamma y las funciones de Bessel están implementadas en MAPLE. Escribimos los códigos requeridos para representar las gráficas: ·Código MAPLE utilizado para representar la figura 1.1: > plot(GAMMA(z),z=-5..5); ·Código MAPLE utilizado para representar la figura 2.1: > plot(BesselJ(0,x),x=0..10,y=-1..1); ·Código MAPLE utilizado para representar la figura 2.2: > plot(BesselJ(1,x),x=0..10,y=-1..1); ·Código MAPLE utilizado para representar la figura 2.3: > plot(BesselY(0,x),x=-10..10,y=-1..1); ·Código MAPLE utilizado para representar la figura 3.1: > plot({BesselJ(0,x), BesselJ(1,x)}, x=0..10, color=[blue, brown]); Podemos programar la fórmula de recurrencia (2.6) en MATLAB para un py un a0 dados. Un posible código para p= 1 ya0= 0 es: p=1 a_0=2 a(1)=0; disp(’a_1=’); disp(a(1)); 45