Clasificación das superficies compactas por cirurxía

Trabajo Fin de Grado Clasificaci´on das superficies compactas por cirurx´ıa Daniel Exp´osito Pati˜no 2020/2021 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRADO DE MATEM´ ATICAS Trabajo Fin de Grado Clasificaci´on das superficies compactas por cirurx´ıa Daniel Exp´osito Pati˜no Xullo 2021 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA Traballo proposto ´ Area de Co˜necemento: Xeometr´ıa e Topolox´ıa T´ıtulo: Clasificaci´on das superficies compactas por cirurx´ıa Director/a: Fernando Alcalde Cuesta Breve descrici´on do contido O obxectivo do traballo ´e unha demostraci´on de E.C. Zeeman do teorema de Rad´o de clasificaci´on das superficies compactas mediante cirurx´ıa. O traballo incl´ue unha demostraci´on de A. Weil da triangulaci´on das superficies diferenciables de clase C1 Recomendaci´ons Outras observaci´ons ´ Indice xeral RESUMO vii INTRODUCCI ´ ON x 1. Espazos de identificaci´on 1 1.1. Pegadodeespazos ................................... 2 1.2. Acci´ons de grupos topol´oxicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. Triangulaci´ons 9 2.1. Construcci´oncono ................................... 12 2.2. Subdivisi´on baric´entrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3. Triangulaci´on das superficies diferenciables de clase C∞.............. 15 2.3.1. Preliminares .................................. 15 2.3.2. Construcci´on dun b´o atlas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.3. Nervio dun recubrimento e proxecci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.4. Triangulaci´on.................................. 19 3. Superficies 21 3.1. Superficies combinatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2. Veci˜nanzastubulares.................................. 25 3.3. Caracter´ıstica de Euler-Poincar´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.4. Cirurx´ıa......................................... 30 3.5. O teorema de clasificaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 AP´ ENDICES 34 A. Exemplo motivador 35 BIBLIOGRAF´ IA 39 v Resumo Comezamos o traballo cun cap´ıtulo introductorio no que presentamos noci´ons b´asicas de espazos de identificaci´on e pegados de espazos, as´ı como unha visi´on elemental sobre acci´ons de grupos. Engadimos a definici´on de superficie pechada e describimos dous m´etodos para constru´ır as da lista para irnos familiarizando con elas. Ambas perspectivas conducen a diferentes probas do teorema de clasificaci´on, a cl´asica de Rad´o e a baseada no teorema de uniformaci´on de Riemann-Poincar´e. A nosa perspectiva ´e outra, a´ında que combina ideas presentes nos traballos de Poincar´e e Rad´o. No segundo cap´ıtulo desenvolveremos os conceptos de s´ımplice e complexo simplicial, para poder descompo˜ner os espazos en pezas sinxelas coas que poderemos traballar, ´e dicir, triangulalo. Definimos isomorfismo de complexos, a construcci´on cono e maila subdivisi´on baric´entrica, que ser´a de vital importancia no ´ultimo cap´ıtulo. Adem´ais, probamos que as superficies C∞ diferenciables (basta C1 en realidade) son triangulables seguindo unha idea de Andr´e Weil: atopamos un recubrimento da superficie con boas propiedades, definimos o nervio deste recubrimento e unha proxecci´on na superficie val´endonos dunha m´etrica de Riemann e dividimos os pol´ıgonos xeod´esicos en tri´angulos. No terceiro cap´ıtulo estamos en condici´ons de abordar finalmente a proba do teorema de clasificaci´on dada por Christopher Zeeman. Describimos o pegado de asas e bandas de M¨obius para fixar as superficies modelo da nosa lista e, traballando sobre a s´uas triangulaci´ons, concretamos a idea de engrosar un subcomplexo e definimos a cararcter´ıstica de Euler-Poincar´e χ ( S ). Chegamos ent´on ´a idea clave, o proceso de cirurx´ıa, que xunto con χ ( S ) perm´ıtenos transformar calquera superficie nunha esfera combinatoria nun n´umero finito de pasos. Dende al´ı revertermos a modificaci´on pegando asas ou bandas para recuperar unha superficie est´andar, probando desta forma o teorema de clasificaci´on. CAP´ ITULO 1. ESPAZOS DE IDENTIFICACI ´ ON 3 (3) A restricci´on de ¯ı = q◦i a X−A ´e inxectiva, tam´en aqu´ı a relaci´on de equivalencia inducida ´e trivial. Pero dado que X−A ´e un aberto saturado de XtY , tam´en ´e unha identificaci´on sobre q ( X−A ) = Z−Y , como restricci´on dunha identificaci´on. Temos as´ı que ´e un homeomorfismo. Definici´on 1.8. Unha superficie pechada ´e un espazo compacto e Hausdorff no que cada punto ten un entorno homeomorfo ´o espazo euclidiano de dimensi´on 2. Consideraremos, a non ser que se especifique o contrario, superficies conexas. Ser´an estes obxetos os que clasificaremos, deixando aparte consideraci´ons sobre superficies con bordo (e cantas compo˜nentes conexas ten ese bordo) e casos onde a superficie non estea acotada. Definici´on 1.9. Dise que unha superficie ´e non orientable se cont´en un subespazo homeomorfo a unha banda de M¨obius, e orientable noutro caso. Definici´on 1.10. Ch´amase suma conexa de d´uas superficies pechadas S1 e S2 ´o resultado de sacarlle o interior dun disco a cada unha delas e pegalas pola fronteira dos discos. Den´otase S1#S2. Superficies obtidas por adxunci´on de celas Definici´on 1.11. Se X = Dn e A = Sn−1 , dise que Z = Dn∪fY ´e o espazo obtido por pegado ou adxunci´on dunha n-cela a Y. Usando esta construcci´on obtemos as superficies da seguinte maneira: A esfera S2 ´e homeomorfa ´a adxunci´on Z = D2∪fY dunha 2-cela a Y = {y} mediante a aplicaci´on constante f : ∂D2 = S1−→ Y . Pechamos o disco nunha esfera beliscando todos os puntos da s´ua fronteira nun. Podemos pensalo asemade coma o caso extremo de pegar dous discos pola s´ua fronteira. A superficie pechada orientable de x´enero g≥ 1, Σ g = T2 # g . . . # T2 , que m´ais adiante conceptualizaremos como unha esfera con g asas ´e homeomorfa ´o pegado dunha 2-cela ´a W2g i=1 S1×{i} , a uni´on de 2 g circunferencias por un punto (figura 1.1). A superficie pechada non orientable de x´enero g≥ 1, Σ g = RP2 # g . . . # RP2 , que m´ais adiante conceptualizaremos como unha esfera con g bandas de M¨obius ´e homeomorfa ´o pegado dunha 2-cela ´a Wg i=1 S1×{i} , a uni´on de g circunferencias por un punto (figura 1.2). Esta forma de pensar as superficies levar´ıanos ´a proba cl´asica do teorema de clasificaci´on de Rad´o, usando esquemas planos. CAP´ ITULO 1. ESPAZOS DE IDENTIFICACI ´ ON 4 D2 Σg p S1 W2g i=1 S1×{i} a1 b1a1 b1 bg agbg ag f Figura 1.1: Superficie orientable Σg. D2 Mg p S1 Wg i=1 S1×{i} a1 a1a2 a2 ag ag f Figura 1.2: Superficie non orientable Mg. CAP´ ITULO 1. ESPAZOS DE IDENTIFICACI ´ ON 5 1.2. Acci´ons de grupos topol´oxicos Introducimos agora o concepto de grupo topol´oxico con miras a constru´ır as superficies como espazos de ´orbitas. Definici´on 1.12. Un grupo topol´oxico ´e un espazo topol´oxico con estrutura de grupo de modo que a multiplicaci´on e a inversi´on m:G×G G i :G G (g, h)gh g g−1 son continuas cando G×G ten a topolox´ıa producto. Un grupo topol´oxico ´e Hausdorff se, e s´o se, {1}´e pechado. Definici´on 1.13. Sexa G un grupo topol´oxico e X un espazo topol´oxico. Unha aplicaci´on ϕ:G×X X (g.x)g.x ´e unha acci´on se cumple: a) 1.x =x∀x∈X b) g.(h.x) = (gh).x ∀h, g ∈G,∀x∈X c) ϕ´e continua coa topolox´ıa producto en X×G e escribimos Gϕ yX(Gact´ua sobre Xpola esquerda) Fixando g∈G, por ser ϕcontinua, a aplicaci´on Lg:X X x g.x ´e un homeomorfismo pois ( Lg ) −1 = Lg−1 . Debido a isto dise que G act´ua como un grupo de homeomorfismos. Definici´on 1.14. Ch´amaselle ´orbita dun elemento x∈X´o conxunto G.x ={g.x ∈X / g ∈G}. ´ E sinxelo comprobar que x∼Gy⇔y = g.x para alg´un g∈G⇔G.x = G.y ´e unha relaci´on de equivalencia. Definici´on 1.15. Dado X un espazo topol´oxico e G un grupo topol´oxico ´o espazo cociente X/G =X/ ∼Gch´amaselle espazo de ´orbitas. Proposici´on 1.16. Se XyG , c´umplese que π : X−→ X/G ´e unha identificaci´on aberta CAP´ ITULO 1. ESPAZOS DE IDENTIFICACI ´ ON 6 0 (x,y) (x+1,y) (-x,y+1) (1-x,y+1) Figura 1.3: A botella de Klein como espazo de ´orbitas de R2. Demostraci´on. Se temos U⊂Xun aberto c´umplese: π−1(π(U)) = [ x∈U G.x =[ g∈G Lg(U) que ´e aberto por ser uni´on numerable de abertos, xa que U ´e aberto e Lg ´e un homeomorfismo para cada g∈G. Superficies como espazos de ´orbitas A partir da esfera obtemos o espazo proxectivo RP2 facendo actuar o grupo de isometr´ıas xerado pola aplicaci´on antipodal f ( x ) = −x , con x∈S2 . Dado que f◦f = id , o grupo ´e isomorfo a Z2 . A partir do plano R2 obtemos o toro T2 , facendo actuar o grupo de isometr´ıas xerado por f ( x, y ) = ( x + 1 , y ) e g ( x, y ) = ( x, y + 1) para cada ( x, y ) ∈R2 . O cadrado de lado 1 tesela o plano e o espazo de ´orbitas ´e o toro, posto que obtemos un cadrado cos lados paralelos identificados co mesmo sentido. Sen embargo, se facemos actuar sobre o plano R2 o subgrupo de isometr´ıas xerado por f ( x, y )=( x + 1 , y ) e g ( x, y )=( −x, y + 1) temos a botella de Klein, M2 . Neste caso, como pode verse na figura 1.3, os lados paralelos do cadrado est´an identificados conservando a orientaci´on nun dos pares e invirt´ındoa no outro. As superficies orientables de x´enero ≥ 2 e as non orientables de x´enero ≥ 3, requiren m´ais coidado. O plano hiperb´olico, que ´e H2 = {z∈C|Im ( z ) > 0 } CAP´ ITULO 1. ESPAZOS DE IDENTIFICACI ´ ON 7 coa m´etrica ds =pdx2+dy2 y, p´odese teselar con pol´ıgonos de seis ou m´ais lados. As´ı, facendo actuar un grupo de transformaci´ons que leven os lados dos pol´ıgonos noutros seguindo un esquema adecuado, obtemos as superficies desexadas. Os grupos en cuesti´on ch´amanse grupos Fuchsianos e p´odese atopar unha descripci´on detallada do proceso en [ K ]. Na figura 1.4 vemos un exemplo con H2 na s´ua forma equivalente de disco de Poincar´e. Figura 1.4: O doble toro, Σ 2 , como cociente de H polo grupo xerado polas aplicaci´ons f1 e f2 (en azul); e g1eg2(en vermello) [C]. Este plantexamento leva a outra proba do teorema de clasificaci´on, que se vale de conceptos de an´alise complexo como o teorema de uniformizaci´on de Riemann-Poincar´e, que di que toda superficie pechada pode obterse como cociente da esfera S2, do plano R2ou do plano hiperb´olico H2. N´os prentendemos desenvolver nos seguintes cap´ıtulos unha terceira proba que centra a interpretaci´on xeom´etrica, o papel dos lazos esenciais e mostra un procedemento que pode xeneralizarse a maior dimensi´on para distinguir variedades. Cap´ıtulo 2 Triangulaci´ons A demostraci´on do Teorema de Clasificaci´on das superficies e mesmo o c´alculo dos seus invariantes alx´ebricos, sexa o grupo fundamental ou os grupos de homolox´ıa, requiren que descompo˜namos os espazos en pezas sinxelas chamadas s´ımplices, que encaixan adecuadamente, para podelos abordar. Os espazos nos que podemos facelo son os chamados espazos triangulables, que comprenden as superficies. Comecemos construindo os s´ımplices: Definici´on 2.1. Sexa {v0, v1, . . . , vn} un conxunto de puntos de Rm . Dise que os puntos {v0, v1, . . . , vn} son xeometricamente independentes se os vectores v1−v0, . . . , vn−v0son linealmente independentes. Definici´on 2.2. Ch´amase plano af´ın xerado por {v0, v1, . . . , vn} ´o conxunto de puntos v=v0+ n X i=1 ti(vi−v0) = n X i=0 ti(vi−v0) onde t0= 1 − n P i=1 ti, ou de xeito equivalente n P i=0 ti= 1. Definici´on 2.3. Ch´amase n-s´ımplice xerado polos puntos xeometricamente inependentes {v0, v1, . . . , vn} ´o conxunto σ = hv0, v1, . . . , vni formado polos puntos v= n X i=0 tivi onde n P i=0 ti = 1 e 0 ≤ti≤ 1 , para i = 0 , 1 , . . . , n. Dise que ( t0, t1, . . . , tn ) son as coordenadas baric´entricas de σ. Os puntos {v0, v1, . . . , vn} ch´amanse v´ertices e σ corresp´ondese coa envoltura convexa dos seus v´ertices. 9 CAP´ ITULO 2. TRIANGULACI ´ ONS 10 Figura 2.1: S´ımplices de dimensi´on 0 a 3. Definici´on 2.4. Dado un s´ımplice σ , ch´amase cara de σ a calquera subs´ımplice τxerado por un subconxunto dos v´ertices de σe escribimos τ < σ. Concretemos agora a noci´on de que os s´ımplices encaixen adecuadamente. Definici´on 2.5. Unha colecci´on finita de s´ımplices K nalg´un espazo euclidiano de dimensi´on finita ch´amase complexo simplicial se todas as caras dun s´ımplice da colecci´on est´an na colecci´on e se a intersecci´on de dous s´ımplices ´e sempre unha cara com´un ou vac´ıa. Figura 2.2: Un exemplo de complexo simplicial. D´ıse que L ´e un subcomplexo de K se ´e unha subcolecci´on dos s´ımplices de Kque a s´ua vez ´e un complexo simplicial. A uni´on dos s´ımplices dun complexo simplicial ´e un subconxunto dun certo espazo euclidiano e como tal podemos dotalo da topolox´ıa de subespazo inducida. Este espazo topol´oxico ch´amase poliedro e escr´ıbese |K|. Definici´on 2.6. Unha triangulaci´on dun espazo topol´oxico X consiste nun complexo simplicial K e un homeomorfismo h : |K| −→ X . Polo tanto un espazo X´e triangulable se admite unha triangulaci´on. CAP´ ITULO 2. TRIANGULACI ´ ONS 11 A tri´angulaci´on dun espazo non ´e ´unica, temos liberdade ´a hora de elexir o complexo simplicial e o homeomorfismo. A parte importante ´e a s´ua existencia, que nos permitir´a probar resultados ou facer determinados c´alculos. Definici´on 2.7. Dous complexos K e L , non necesariamente mergullados no mesmo espazo euclidiano, dinse isomorfos se existe unha aplicaci´on bixectiva φ do conxunto de v´ertices de K ´os de L tal que cada subconxunto {v0, v1, . . . , vn} ´e o conxunto de v´ertices dun s´ımplice en K se e s´o se {φ ( v0 ) , φ ( v1 ) , . . . , φ ( vn ) } ´e o conxunto de v´ertices dun s´ımplice en L. Ent´on dous complexos isomorfos ter´an o mesmo n´umero de s´ımplices de cada dimensi´on e exhibir´an o mesmo patr´on de intersecci´ons entre eles. Independentemente do espazo no que estean mergullados, esta correspondencia na s´ua estrutura resulta en poliedros homeomorfos. Ch´amase interior dun s´ımplice ´os puntos que te˜nen todas as s´uas coordenadas baric´entricas positivas. Esta noci´on coincide co interior no caso en que o s´ımplice ten a mesma dimensi´on que o espazo euclidiano no que se atopa e difire noutro caso. Proposici´on 2.8. Dado Kun complexo simplicial, verif´ıcase: a) |K| ´e pechado e acotado no espazo euclidiano e en consecuencia |K| ´e un espazo compacto. b) Cada punto de |K|pertence ´o interior de exactamente un s´ımplice de K. c) Se collemos os s´ımplices de K por separado e dotamos ´a s´ua uni´on da topolox´ıa feble, obtemos |K|. d) Se |K|´e conexo, ent´on ´e conexo por cami˜nos. Demostraci´on. Dado que K ´e finito e cada s´ımplice ´e pechado e acotado, temos (a). Para demostrar ( b ) consideramos un punto no interior de dous s´ımplices. Temos ent´on que se cortan e por ser un complexo deben facelo nunha cara com´un, pero a ´unica cara que ten puntos do interior ´e o propio s´ımplice. Daquela os dous s´ımplices son iguais. Para probar ( c ), dado que os s´ımplices son pechados no espazo euclidiano, tam´en o son en |K| . Ent´on dado un conxunto C en |K| , se C∩σ ´e pechado para un s´ımpl´ıce σ , tam´en o ´e en |K| . Desta maneira, a uni´on finita C = S{C∩σ|σ∈K} ´e pechada en |K| . Temos ent´on a topolox´ıa feble, un subconxunto de |K| ´e pechado se e s´o se interseca a cada s´ımplice nun pechado relativo. Tr´atase por definici´on dun caso particular de topolox´ıa de identificaci´on. Por ´ultimo, para demostrar ( d ), vexamos que |K| ´e localmente conexo por cami˜nos. Dado un punto x∈ |K| , denotamos por L ´o subcomplexo de K consistente nos s´ımplices de K que non conte˜nen a x . Como |L| ´e pechado, a distancia  de x a |L| verifica que  > 0. Sexa  a distancia de x a |L| . Para δ <  , o conxunto B ( x, δ ) ∩|K| ´e conexo por cami˜nos, xa que calquer punto pode unirse con x mediante unha recta contida nalg´un dos s´ımplices. As´ı, se |K| ´e conexo temos o resultado. CAP´ ITULO 2. TRIANGULACI ´ ONS 12 2.1. Construcci´on cono Consideramos o espazo euclidiano Rn de dimensi´on n como o subespazo con ´ultima coordenada igual a cero do espazo euclidiano Rn+1 de dimensi´on n + 1. Dado un complexo K en Rn , para constu´ır o complexo CK en Rn+1 , chamado cono de K , procedemos da seguinte maneira: se v0, v1, . . . , vk son os v´ertices dun k-s´ımplice τ en Rn⊂Rn+1 e v = (0 , 0 ,..., 1) ∈Rn+1 , ent´on v0, v1, . . . , vk, v son xeometricamente independentes e determinan un ( k +1)-s´ımplice chamado uni´on de τ a v . O cono CK comprende os s´ımplices de K , as uni´ons desos s´ımplices a v e o apex v pensado como 0-s´ımplice. ´ E sinxelo comprobar que os seus s´ımplices encaixan adecuadamente e polo tanto ´e un complexo. Observaci´on 2.9. Na construcci´on do cono eliximos v = (0 , 0 ,..., 1) como apex, pero calquera outro de Rn+1 \Rn valer´ıa e resultan en complexos isomorfos coa aplicaci´on que deixa fixos os v´ertices orixinais e leva vno novo v´ertice elixido. Observaci´on 2.10. A construcci´on cono que definimos en complexos coincide coa definida para calquera espazo topol´oxico X: CX =X×[0,1] X×{1} no sentido de que |CK|∼ =C|K|. Figura 2.3: Cono dun complexo K. 2.2. Subdivisi´on baric´entrica Buscamos producir un novo complexo K1 a partir dun complexo K de forma que te˜na o mesmo poliedro que K pero os seus s´ımplices te˜nan menor di´ametro. CAP´ ITULO 2. TRIANGULACI ´ ONS 19 Buscamos definir unha proxecci´on π : N ( U ) −→ S e far´emolo val´endonos das xeod´esicas que nos garantiza a terceira propiedade do atlas. Se ci ´e o centro da bola Ui∈ U, fixamos π(hii) = ci. Agora, para cada 1-s´ımplice hi, ji sabemos que existe unha ´unica xeod´esica que une π ( hii ) = ci e π ( hji ) = cj , xa que est´an a unha distancia menor que conv ( S ) / 4. Usaremos unha parametrizaci´on σi,j : [0 , 1] −→ S da xeod´esica proporcional ´a lonxitude de arco e definimos π ( t ) = σi,j ( t ) para punto x∈ hi, ji de coordenadas baric´entricas (1 −t, t). Inductivamente, supo˜namos definida a proxecci´on para os ( n− 1)-s´ımplices e defin´amola en dimensi´on n . Para cada punto x∈ hi0, i1, . . . , ini con coordenadas baric´entricas ( t0, t1, . . . , tn ) que non pertenza a unha cara do s´ımplice –onde xa estar´ıa definida a proxecci´on– hai unha ´unica recta que une i0 = (1 , 0 ,..., 0) con x. Esta recta cortar´a ´a cara hi1, i2, . . . , inien y= (0, t1/(1 −t0), t2/(1 −t0), . . . , tn/(1 −t0)). Como o punto π ( y ) pertence ´a estrela estr ( π ( i0 ) ,U ) existe unha ´unica xeod´esica γ : [0 , 1] −→ S que une γ (0) = π ( i0 ) e γ (1) = π ( y ) e definimos π ( x ) = γ (1 −t0 ). Recorremos a xeod´esica seg´un 1 −t0 xa que, en coordenadas baric´entricas, canto maior sexa t0 m´ais cerca est´a o punto de i0 m´ais a xeod´esica comeza na imaxe de i0. As´ı definida π´e unha aplicaci´on continua e sobrexectiva. Adem´ais, elixindo con coidado os centros, a aplicaci´on π ´e inxectiva cando nos restrinximos a cada s´ımplice. Figura 2.7: Construcci´on da proxecci´on no interior dun n-s´ımplice. 2.3.4. Triangulaci´on A proxecci´on dos k -s´ımplices determina unha familia de 2-s´ımplices xeod´esicos que recubre S , pero non necesariamente encaixan adecuadamente, pois poden cortarse en conxuntos diferentes a caras (v´exase Figura 2.8). Engadimos v´ertices en todos os puntos nos que dous 1-s´ımplices se corten. Temos ent´on a superficie teselada con pol´ıgonos xeod´esicos ben encaixados. Para ter ´unicamente tri´angulos, engadimos o centro de masas de cada pol´ıgono e un´ımolo por medio de xeod´esicas con cada un dos v´ertices. CAP´ ITULO 2. TRIANGULACI ´ ONS 20 Figura 2.8: Obtemos tri´angulos a partir dos pol´ıgonos xeod´esicos [ALM]. Deste xeito temos un complexo simplicial K de dimensi´on 2, onde cada 2-s´ımplice est´a contido na proxecci´on dalg´un k -s´ımplice de N ( U ) e o mergullo na superficie est´a inducido pola restricci´on da proxecci´on π . Daquela as aplicaci´ons locais p´eganse nun homeomorfismo de |K|en Sque define a triangulaci´on. Observaci´on 2.27. O teorema de triangulaci´on das superficies topol´oxicas compactas ´e un resultado cl´asico demostrado por T. Rad´o en 1925 usando o teorema de separaci´on de Jordan-Sch¨onflies. Hai varias demostraci´ons curtas do teorema de Rad´o que usan este mesmo ingrediente: a variante de C. O. Christenson y W. L. Voxman [ CrV ] mediante discos con buratos, v´alida no caso non compacto, ou a proba curta de P. H. Doyle e D. A. Moran en [ DM ]. Os discos con buratos xogan o mesmo papel que os pol´ıgonos da nosa proba. Cap´ıtulo 3 Superficies O prop´osito deste cap´ıtulo ´e probar o Teorema de Clasificaci´on das superficies pechadas, seguindo unha idea de Zeeman [ Z ] detallada no libro Basic Topology de M. A. Armstrong [ Arm ]. Un m´etodo cl´asico de demostraci´on do teorema de clasificaci´on das superficies compactas consiste na reducci´on a un modelo plano tal e como se describe en [ M ] ou [ CrV ]. (Por oposici´on ao m´etodo de Zeeman, m´ais curto e menos delicado) Para poder formular o teorema, precisamos ver antes que significa pegar asas epegar bandas de M¨obius. Pegado de asas. Dados dous discos disxuntos D1 e D2 nunha superficie S sempre podemos atopar un terceiro disco que conte˜na ´os dous anteriores. Por exemplo conectando os dous discos por un arco na superficie e engrosando o resultado do modo que veremos na seguinte secci´on. Deste xeito, reducimos o pegado de asas a unha superficie ´o caso dun disco. Para pegar un asa a un disco D usamos a construcci´on X∪fY da secci´on 1.1 considerando o cilindro X = S1× [0 , 1], o bordo A = S1×{ 0 , 1 } , o pantal´on Y = D\ ( ˚ D1∪˚ D2 ) e un homeomorfismo f : S1×{ 0 , 1 } −→ ∂D1∪∂D2 . Agora ben, dependendo de se f respecta ou non as orientaci´ons das fronteiras dos discos, podemos pegar o cilindro de formas distintas que dan como resultado espazos non homeomorfos. Dada unha orientaci´on no cilindro e as orientaci´ons inducidas nas circunferencias dos bordos (unha resulta oposta ´a outra), consideramos pegar un asa a un disco cando f mant´en ambas orientaci´ons (ou invirte ambas) e pegar un asa ´o rev´es a un disco cando f mant´en a orientaci´on dunha e invirte a outra. Os resultados destas operaci´ons son homeomorfos a un toro furado ( T2\˚ D ) e unha botella de Klein furada (K2\˚ D), respectivamente (v´exase Figura 3.1 e 3.2). Observaci´on 3.1. Nunha superficie non orientable as d´uas formas de pegar son homeomorfas, xa que o son no caso dunha banda de M¨obius (v´exase Figura 3.3). En xeral, nunha superficie non orientable podemos unir a banda de M¨obius que 21 CAP´ ITULO 3. SUPERFICIES 22 Figura 3.1: Pegado dunha asa respectando as orientaci´ons Figura 3.2: Pegado dunha asa respectando as orientaci´ons cont´en co disco onde pegamos usando un arco engrosado. Unha banda de M¨obius que conecta cun disco a trav´es dunha banda ´e homeomorfa a unha banda de M¨obius e reducimos o caso xeral ´o caso da banda de M¨obius. Figura 3.3: Pegados de asas nunha banda de M¨obius CAP´ ITULO 3. SUPERFICIES 23 Pegado de bandas de M¨obius. Pegar unha banda de M¨obius ´e considerablemente m´ais sinxelo: basta sacarlle un disco aberto ´a superficie e pegar a banda ´o longo do seu bordo, que se recordamos ´e unha soa circunferencia. Estamos agora en condici´ons de enunciar o Teorema de Clasificaci´on, e dedicaremos o resto do cap´ıtulo en desenvolver ferramentas que nos permitan probalo. Teorema 3.2 (de clasificaci´on).Toda superficie pechada compacta ´e homeomorfa a un ´unico elemento da lista: a esfera S2, unha esfera con n asas pegadas, que denotaremos por H(n), unha esfera con q bandas de M¨obius pegadas, que denotaremos por M(q). Resulta sinxelo ver que H (1) ´e homeomorfo a un toro e H ( n ) ´a superficie orientable de x´enero n . No caso non orientable, xa que un plano proxectivo sen un disco ´e homeomorfo a unha banda de M¨obius (v´exase Figura 3.4), M (1) ´e homeomorfo ´o plano proxectivo. Figura 3.4: O plano proxectivo ´e M(1) Asemade, M (2) ∼ =K2 (botella de Klein). A esfera sen dous discos disxuntos ´a que lle pegamos as bandas ´e homeomorfa a un cilindro. Pegando d´uas bandas de M¨obius pola circunferencia do bordo obtemos unha botella de Klein. En efecto, sabemos que a botella de Klein ´e homeomorfa ao pegado de d´uas bandas de M¨obius polo seu bordo (v´exase a figura 3.5). Como consecuencia da observaci´on anterior, un disco cunha asa pegada ´o rev´es ´e homeomorfo a unha botella de Klein furada K2\˚ D . Tendo en conta ademais que podemos darlle a volta ´as asas, como na Figura 3.3, obtemos o seguinte resultado: Teorema 3.3. Se q > 0, pegarlle k asas a M ( q )resulta homeomorfo a M ( q +2 k ). 3.1. Superficies combinatorias Nas pr´oximas secci´ons definiremos as ferramentas que nos permitir´an abordar o problema de clasificaci´on como o engrose de subcomplexos, a caracter´ıstica de Euler e o proceso de cirux´ıa. CAP´ ITULO 3. SUPERFICIES 24 Figura 3.5: D´uas bandas na botella de Klein Definici´on 3.4. Ch´amase superficie combinatoria a un complexo simplicial que cumple: 1. ten dimension 2, 2. podemos unir calquera dous v´ertices cun cami˜no de aristas (´e conexo), 3. cada unha das s´uas aristas pertence a exactamente dous tri´angulos, 4. cada v´ertice pertence a polo menos tres tri´angulos, que constit´uen un cono con apex o v´ertice e base unha curva poligonal simple e pechada. Como vimos na secci´on 2.3, baixo a hip´otese adicional de diferenciabilidade de clase C1 , toda superficie compacta admite unha triangulaci´on. Calquera triangulaci´on dunha superficie pechada cumple as propiedades (1) - (4). A partir deste punto traballaremos ent´on con superficies combinatorias. Vexamos agora outra forma de definir superficie orientable e como orientar unha superficie combinatoria. Definici´on 3.5. Dise que unha superficie combinatoria ´e orientable se ´e posible orientala, e non orientable noutro caso. Para orientar unha superficie combinatoria comezamos orientando un tri´angulo. Unha orientaci´on nun tri´angulo ´e unha tripla ordeada dos seus v´ertices. Dous triplas determinan a mesma orientaci´on se unha ´e unha permutaci´on par da outra: (v1, v2, v3) e (v3, v1, v2) ou (v2, v1, v3) e (v1, v3, v2). Definici´on 3.6. Dise que as orientaci´ons de dous tri´angulos que comparten unha arista son compatibles se recorren a arista en sentido contrario (v´exase Figura 3.6) Orientar unha superficie combinatoria consiste en orientar todos os seus tri´angulos de forma compatible. Esta perspectiva da orientabilidade coincide coa definici´on anterior xa que a banda de M¨obius non se pode orientar de forma compatible, pois ´e xusto no pegado dos extremos cun medio xiro onde falla. CAP´ ITULO 3. SUPERFICIES 25 Figura 3.6: Orientaci´ons compatibles de dous tri´angulos. Deste xeito, nunha superficie combinatoria que non se poda orientar poderemos atopar unha cadea de tri´angulos tal que cada un comparte unha cara co seguinte e as s´uas orientaci´ons son compatibles en todos os pasos menos en un. Desa cadea obtemos a banda de M¨obius da definici´on. 3.2. Veci˜nanzas tubulares Nesta secci´on trataremos a idea de engrose de subcomplexos e en concreto de curvas poligonales simples pechadas, que ´e b´asico para definir con rigor o proceso de cirurx´ıa. Definici´on 3.7. Sexa K unha superficie combinatoria e L un subcompexo 1-dimensional de K .Engrosar L consiste en subdividir baricentricamente K d´uas veces e formar un novo subcomplexo cos tri´angulos da segunda subdivisi´on K2 que cortan a L e todas as s´uas caras. Consideramos ent´on o poliedro obtido a partir deste subcomplexo e obtemos as´ı unha veci˜nanza N ( L ) de |L| en |K| co mesmo tipo de homotop´ıa de |L| . Diremos que N ( L ) ´e unha veci˜nanza tubular de L. Definici´on 3.8. Dada unha superficie combinatoria K e un v´ertice v∈K . A estrela pechada de v en K ´e a uni´on dos s´ımplices de K que te˜nen a v como v´ertice e denotamos como estr ( v, K ). A estrela aberta de v en K def´ınese an´alogamente cos interiores dos s´ımplices e den´otase por estr(v, K). Proposici´on 3.9. O resultado de engrosar unha ´arbore ´e homeomorfo a un disco. Demostraci´on. Por induci´on no n´umero de v´ertices. Se unha ´arbore T ten un s´o v´ertice v , o seu engrose ser´a un disco estr ( v, K2 ) ∼ =D pola propiedade (4) da definici´on 3.4. Supo˜nemos que se cumple para n− 1 v´ertices, e consideramos unha ´arbore T con n v´ertices. Atopamos un v´ertice terminal v en T , que eliminamos xunto coa ´unica arista e que o cont´en, obtendo unha ´arbore T1 de n− 1 v´ertices. Engrosalo resulta nun disco D por hip´otese. Agora s´o resta engadir B = estr ( b ( e ) , K2 ) e A = estr ( v, K2 ) onde b ( e ) ´e o v´ertice central da arista e que CAP´ ITULO 3. SUPERFICIES 26 Figura 3.7: Exemplo: engrose dun 1-s´ımplice. aparece na primeira divisi´on baric´entrica. Como D e B son discos que intersecan nun arco na s´ua fronteira, a s´ua uni´on e´u un disco. O mesmo ´e certo de D∪B e A co que obtemos que D∪B∪A , o engrose de T , ´e un disco. V´exase a figura 3.8. Proposici´on 3.10. Engrosar unha curva poligonal pechada e simple resulta ou ben nun cilindro ou ben nunha banda de M¨obius. Demostraci´on. Eliminando unha arista e da curva obtemos unha ´arbore na superficie combinatoria, que ´o engrosala resultar´a nun disco. Para completar o engrose da curva precisamos engadirlle o disco D = estr ( b ( e ) , K2 ), sendo b ( e ) o v´ertice central de e pocedente da primeira subdivisi´on baric´entrica, que interseca ´o disco procedente da ´arbore en dous arcos poligonales disxuntos. Pegamos un dos lados primeiro obtendo un disco e s´o resta identificar os outros dous arcos, cousa que se pode facer de dous maneiras; se se mant´en a orientaci´on dos tri´angulos compatible d´a un cilindro e se non a respeta d´a unha banda de M¨obius, pois os dous arcos que identificamos est´an separados na fronteira do disco e resulta homeomorfo a un cadrado con lados paralelos identificados. 3.3. Caracter´ıstica de Euler-Poincar´e Definici´on 3.11. Sexa L un complexo simplicial de dimensi´on n e αi o n´umero de i-s´ımplices de L. Definimos a s´ua caracter´ıstica de Euler-Poincar´e como χ(L) = n X i=0 (−1)iαi. CAP´ ITULO 3. SUPERFICIES 27 Figura 3.8: En vermello, A; en verde, B e en azul, D. Se L´e unha superficie combinatoria, ent´on χ(L) = V−A+C, onde V ´e o n´umero de v´ertices, A o n´umero de aristas e C o n´umero de caras. A caracter´ıstica de Euler dun grafo ser´ıa V−A. Proposici´on 3.12. Dado un grafo Γ, temos que χ (Γ) ≤ 1, d´andose a igualdade se e s´o se Γ´e unha ´arbore. Demostraci´on. Para ver que a caracter´ıstica de Euler dunha arb´ore ´e 1 usaremos un argumento de induci´on no n´umero de aristas. Se Γ ten un s´o v´ertice, c´umplese que χ (Γ) = 1. Supo˜nemos o resultado certo para unha ´arbore de n− 1 aristas. Dada unha ´arbore de n aristas, podemos atopar un nodo terminal (se non puidesemos haber´ıa un ciclo e non ser´ıa ´arbore). Retirando ese v´ertice e arista CAP´ ITULO 3. SUPERFICIES 28 incidente, obtemos unha ´arbore de n− 1 aristas que ten caracter´ıstica de Euler 1. Como esta non cambia ´o retirar unha aresta e un v´ertice obtemos o resultado. No caso xeral basta notar que se G non ´e unha ´arbore, podemos atopar un ciclo. Se quitamos unha arista que desfaga o ciclo e chamamos G1 os grafo resultante, ent´on χ(G1) = χ(G) + 1. Se G1non ´e unha ´arbore podemos repetir o proceso ata que o grafo resultante Gn o sexa tras un n´umero finito de pasos, cumplindo 1 = χ(Gn) = χ(G) + n⇒χ(G)=1−n < 1. Definici´on 3.13. Dada unha superficie combinatoria K , ch´amase grafo dual ´o grafo que ten como v´ertices os baricentros dos tri´angulos de K e unha aresta unindo os baricentros dos tri´angulos que te˜nan unha cara com´un. Se T ´e unha ´arbore maximal en K (que cont´en todos os v´ertices), ch´amase grafo dual Γ de T ´o subgrafo do grafo dual de K obtido ´o eliminar as arestas cada vez que as caras com´uns dos tri´angulos pertenzan a T. Figura 3.9: No toro, en negro a ´arbore e en vermello o seu grafo dual. Para demostrar a seguinte proposici´on imos considerar as veci˜nanzas tubulares N ( T ) e N (Γ) de T e K obtidas a partir da segunda subdivisi´on baric´entrica K2 . Proposici´on 3.14. Se K ´e unha superficie combinatoria e T ´e unha ´arbore maximal en K, ent´on o grafo dual Γde T´e conexo. Demostraci´on. Por construcci´on, as veci˜nanzas N(T) e N(Γ) verifican: Ap´endice A Exemplo motivador Volvemos ao exemplo das superficies formadas pegando botellas de Klein entre s´ı, formando un ciclo. Eleximos as seguintes curvas para facer a cirurx´ıa, e comprobamos que, unha vez operada, calquera outra curva simple pechada que elixamos separa a superficie. Xa temos unha esfera. Visualmente, podemos convencernos de que a veci˜nanza tubular de cada unha das curvas elixidas ´e un cilindro. Pero poder´ıa pasar que estivesemos ante unha asa pegada ´o rev´es, equivalente a pegar unha botella de Klein furada. Comprobamos ent´on a orientabilidade para saber se debemos pegar unha asa ou d´uas bandas de M¨obius. Atopamos desta maneira unha banda de M¨obius na superficie formada con tres botellas de Klein. Un argumento m´ais sinxelo ser´ıa o seguinte: escollemos unha das botellas da superficie e pintamos a cara interior de negro e a exterior 35 AP ´ ENDICE A. EXEMPLO MOTIVADOR 36 de branco. Cada vez que pasamos ´a seguinte botella inv´ırtese o color. No caso das tres botellas cando chegamos ´a terceira cambiou a cor d´uas veces e est´a en branco, pero ten que cambiar unha vez m´ais, e a primeira botella era branca por f´ora tam´en. Esto significa que a superficie unicamente ten unha cara e exterior e interior son o mesmo: ´e non orientable. Este argumento xeneral´ızase e obtemos que calquera superficie formada analogamente cun n´umero par de botellas ´e orientable e homeomorfa a H (1) e no caso dun n´umero impar ´e non orientable e homeomorfa a M (2). Este feito est´a relacionado con que as ´unicas fibraci´ons da circunferencia S1 con fibra S1 son o toro T2e a botella de Klein K2. En efecto, se collemos a curva sobre a que fixemos a cirurx´ıa, homeomorfa a S1 , eliximos un punto dela e arrastramos a curva recorrendo toda a superficie ata volver ´a posici´on inicial, podemos visualizar a fibra do punto como a curva que traza o punto ´o longo do movemento. No caso de d´uas, tres e catro botellas de Klein pegadas obtemos: Figura A.1: Fibras de dous puntos opostos na circunferencia para cada unha das superficies anteriores, no caso non orientable coinciden. Se levantamos a curva do plano do papel para evitar autointersecci´ons ´e claro ver que son homeomorfas ´a circunferencia. M´ais exemplos Recuperamos as superficies presentadas na introducci´on. Eleximos as seguintes curvas para operar: Ent´on, dado que a primeira superficie ´e orientable e a segunda non orientable AP ´ ENDICE A. EXEMPLO MOTIVADOR 37 (por suposto, pois non ´e m´ais que K2 # K2 # K2 ) obtemos que son homeomorfas aH(3) e M(6). Bibliograf´ıa [ALM] F. Alcalde Cuesta, M. Macho Stadler, ´ A. Lozano Rojo, Transversely Cantor laminations as inverse limits. Proc. Amer. Math. Soc., 139 (2011), 2615-2630. [Arm] M.A. Armstrong, Basic Topology. Springer-Verlag, New York, 1983. [B] M. Berger, A Panoramic View of Riemannian Geometry, Springer Berlin Heidelberg, 2012. [C] ´ A. Carballido Costas, Acciones propiamente discontinuas de grupos discretos. Trabajo Fin de Grado USC, 2018. [Ca] Manfredo P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces: Revised and Updated Second Edition, Dover Publications, 2016. [CrV] C.O. Christenson, W. L. Voxman, Aspects of topology. Pure and Applied Mathematics, 39, Marcel Dekker, New York, 1977. [DM] P.H. Doyle, D. A. Moran, A short proof that compact 2-manifolds can be triangulated. Inventiones Mathematicae,5(1968), 160–162. [H] M.W. Hirsch, Differential Topology, Springer New York, 2012. [K] Svetlana Katok, Fuchsian Groups, University of Chicago Press, 1992. [L] ´ Alvaro Lozano Rojo, Din´amica transversa de laminaciones definidas por grafos repetitivos, Ph.D. Thesis, Universidad del Pa´ıs Vasco - Euskal Herriko Unibersitatea, 2008. [M] W. S. Massey, Algebraic Topology: An Introduction. Springer, New York, 1967. [R] T. Rad´o, ¨ Uber den Begriff der Riemannschen Fl¨ache, Acta. Litt. Sci. Szeged, 2, (1925), 101-121. [Ro] D. Rolfsen, Knots and Links. AMS Chelsea Publishing Series, Providence, 2003. 39 BIBLIOGRAF´ IA 40 [W] Andr´e Weil, Sur les th´eor`emes de de Rham, Commentarii mathematici Helvetici,26, (1952), 119-145. [Z] E.C. Zeeman, An Introduction to Topology: The Classification Theorem for Surfaces, Mathematics Institute, University of Warwick, 1966.