Rafael Dieste e a xeometría. Argumentos para unha concepción filosófica do espazo como índice de realidade

PROGRAMA DE DOUTORAMENTO FILOSOFÍA E ANTROPOLOXÍA SOCIAL Rafael Dieste e a xeometría. Argumentos para unha concepción filosófica do espazo como índice de realidade XOSÉ DÍAZ DÍAZ 2012 PROGRAMA DE DOUTORAMENTO FILOSOFÍA E ANTROPOLOXÍA SOCIAL XOSÉ DÍAZ DÍAZ Rafael Dieste e a xeometría. Argumentos para unha concepción filosófica do espazo como índice de realidade Tese de doutoramento presentada por Xosé Díaz Díaz e orientada polo Prof. Dr. Rafael Martínez Castro (USC) e o Prof. Dr. Arturo Casas Vales (USC) Visto e prace: Asdo. Xosé Díaz Díaz Asdo. Rafael Martínez Castro Asdo. Arturo Casas Vales 2012 Para Belén Algunhas palabras de gratitude para quen me acompañou neste proceso. A quen debo o camiño. Aos profesores Rafael Martínez Castro e Arturo Casas Vales, co seu excepcional mestrado. Pola atención permanente, pola xenerosidade. Por atreverse con proxectos arriscados. A miña nai, tan pendente. Tamén a meu pai, ben seguro. Aos meus amigos Rubén Martínez e Elena Montero. E, por suposto, a Belén Fernández, sempre a carón. Le preguntamos, pues: ¿por qué siendo ante todo poeta (en prosa, en verso o diálogo dramático, es igual) le han preocupado las matemáticas? FERMÍN F. GARCÍA ARMESTO, “¿Qué es un axioma? de Rafael Dieste”, La Voz de Galicia, 30 de xuño de 1968 [...] las matemáticas me parecen una cosa majestuosa, tan extraordinaria casi desde el principio de los tiempos, desde que se comienza a medir algo, desde el momento en que se empiezan a contar los días o a hacer marcas en unas piedras y en unos árboles para tener conciencia de la marcha rítmica del universo, o desde el momento en que se empieza a hacer los primeros calendarios... En fin, es algo tan distintivo del hombre como apasionante y majestuoso en sí mismo. RAFAEL DIESTE, charla-coloquio celebrada na Sociedade de Cultura Valle Inclán (Ferrol), 4 de xuño de 1981 Y después miraba el libro de Dieste, el Testamento Geométrico, que colgaba impávido del cordel, sujeto por dos pinzas, y le daban ganas de descolgarlo y limpiar el polvo ocre que se le había ido adhiriendo aquí y allá, pero no se atrevía. ROBERTO BOLAÑO, “La parte de Amalfitano”, 2666 16 marxe do Atlántico (1939-1961); e outro interno, un tránsito da propia creatividade fraguado paso a paso nas etapas e destinos vitais que afronta. O espazo diesteano de creación suxéitase aos treitos de maior ou menor adversidade, de menor ou maior comodidade, nos que o rianxeiro ten que vivir. Nin a vida do autor se entende á marxe da obra nin, por suposto, a obra debe ser disociada do pulso vital que a acompasa. Isto non constitúe, ben seguro, unha singularidade exclusiva do rianxeiro, unha fasquía propia do seu carácter intelectual que non poida merecer outro autor sometido a idénticos avatares. Porén, si implica unha maneira de ser da creación que debemos adiantar: ao noso ver, a obra de Dieste é, antes que calquera outra cousa, un proxecto vital en marcha, unha produción afectada e modulada polas circunstancias da vida e as demandas que esta vai interpoñendo. A obra diesteana é, así, obra-afeita-á-vida, obravivida en medio século de exilios, búsquedas e loitas íntimas. Xa pois, o estudo das vocacións creadoras de Dieste confróntanos ante un pensador que non sortea, por controvertidas, algunhas zonas espesas de reflexión que a propia vida achega. Non obstante, malia a amplitude de rexistros e asuntos abordados, existe un consenso xeralizado entre os distintos intérpretes da obra diesteana á hora de recoñecer o espírito de cohesión creativa e reflexiva en torno ao que se reúnen todas as súas ocupacións e traxectos vitais. Gabriel Zaid (1995a: 76), alumno, amigo e frecuente interlocutor do rianxeiro, asimila a figura e vagar autoriais ao dun “cristal de moitas facetas, pero dunha soa peza”. O ethos intelectual de Dieste asenta sobre a base dun firme compromiso coa diversidade da cultura e co mundo que funda tanto a amplitude creativa e xenérica como a participación social en diversos proxectos colectivos, caso das Misións Pedagóxicas ou das redaccións de P.A.N. e Hora de España. A integración diesteana do múltiple adquire o carácter propio do consubstancial e do irrenunciable, o que ubica ao autor nos pasos do ronsel ético zambraniano xestado en torno á “cultura da 17 libertade” da xeración de 19301. Todas as súas dedicacións –aquí o narrador, o dramaturgo ou o xornalista; alí o poeta, o ensaísta ou o dinamizador social e cultural– veñen impulsadas por unha vocación iluminadora común, un desexo de apertura, contacto e ofrecemento ao home dos confíns do saber que alude a un dobre nivel, ético e gnoseolóxico, da participación diesteana no mundo. Neste sentido, non sorprende que un dos rasgos principais da biografía e estratexia autoriais de Dieste, no seu modo de estar e relacionarse co mundo, sexa o carácter especulativo e de reflexión de boa parte das súas direccións creativas. O contrato que o noso polígrafo asume coa indagación e coa meditación invade, con presenzas diversas, o común das súas dedicacións. A angueira especulativa é unha pulsión que atravesa a súa produción, “un desexo de filosofía” (Sampedro 1995: 117) constatable nas primeiras colaboracións para o xornalismo liberal vigués2 pero aínda intensificada nos transos persoais máis adversos como reduto salvífico interior3. A necesidade vital de indagación 1 Entrevista de J. C. Marsé a María Zambrano, publicada en Tiempo en 1989: “Yo atravesaba entonces, y creo que no he dejado de atravesar, por una situación en que me imponían la necesidad de «elegir»: las personas que me querían me pedían que decidiera entre la literatura, la filosofía o la política. Yo no podía [...] La filosofía me era irrenunciable, pero más irrenunciable me eran la vida, el mundo [...] las tres actividades eran, siendo tres, una y la misma [...] Ortega una vez me dijo que mi acción era tan múltiple que no se veía... sin embargo –sonríe– lo que yo amaba era la unidad”. 2 A etapa xornalística viguesa comprende os anos 1923-27, ao regreso da campaña militar en Marrocos para a que fora mobilizado en 1921. Durante eses anos alterna colaboracións para as cabeceiras Faro de Vigo, Galicia de Paz Andrade e El Pueblo Gallego de Portela Valladares. Xéstase neses anos, de par do narrador e dramaturgo –téñase presente que diversos contos de Dos arquivos do trasno (1926) así como escenas d’A fiestra valdeira (1927) foron dados a coñecer inicialmente a través das páxinas viguesas–, o pensador en clave ética, estética ou política. Axeitos (1995b: 17) ten advertido que unha lectura completa e rica da obra creativa de Dieste non escapa da pegada que os escritos e pensamentos desta etapa exerceron sobre a súa traxectoria intelectual e produción posterior. De igual modo, as bases da súa ollada estética e o seu “galeguismo universalista”, enfrontado aos dogmas do enxebrismo sentimental risquiano tanto como aos do arredismo individualista manuelantoniano, remóntanse a esta xeira de colaboracións dos anos 20. Para unha aproximación ao Dieste xornalista, vid. Axeitos (1995b: 9-38), Capelán (1995: 19-25), Casas (1997: 100-136) ou Nicolás Rodríguez (1995: 95-108), entre outros. 3 Destaca unha nota a rodapé en Casas (1997: 467: n. 6) a propósito do borrador inédito dunha carta de Dieste a Sánchez Barbudo (ca. 1951). Dieste rememora os momentos seguintes ao estalido da Guerra Civil e o confinamento no campo de internamento de Saint-Cyprien como intres decisivos na súa introspección. Cito por Casas aquelas evocacións do propio Dieste sobre o seu intenso exercicio de concentración (p. 8 do borrador): “Recordarás aquellos misteriosos cuadernos que yo escribía en el campo de concentración. Venían ya de Madrid, de Valencia, de Barcelona, donde se dio el caso de estar de noche en el Café de la Rambla, cuando aún había café, entregado a mi soliloquio escrito, y 18 e intimidade con propósitos liberadores e de esclarecemento por parte deste “buceador infatigable en el campo de las ideas”, segundo o describiu Gurméndez (1995b: 20), deu ao cabo cunha serie de títulos ensaísticos que apenas gozaron de favor crítico e lector, en boa parte escritos e editados no camiño permanente do exilio. Sen facer conta das reedicións de escritos literarios, de textos sobre lingüística –Pequeña clave ortográfica (1956), A vontade de estilo na fala popular (discurso de entrada na Real Academia Galega, resposta de García-Sabell, 1970)– nin de compilacións xornalísticas –Antre a terra e o ceo (1981)–, o groso da súa produción a partir de mediados do decenio de 1940 refire un común propósito reflexivo destinado á reconciliación de antagonismos, ao “saber atar y desatar” (HIFM, p. 119) que xa aconsellaba don Ramón en Historias e invenciones de Félix Muriel (1943) e que aventuraba o signo futuro que definiría a traxectoria autorial do rianxeiro nos anos seguintes. Unha destas reaccións creativas e de indagación, cremos que a máis descoñecida da súa obra, é a investigación xeométrica. Na etapa de madurez, o noso polígrafo deu ao prelo tres tratados coas súas pesquisas sobre xeometría, no que constitúe a sección máis esquecida da súa produción, pero coa que asumiría un compromiso vixente durante os últimos trinta anos da súa vida. Os textos, Nuevo Tratado del Paralelismo (Bos Aires, 1956), ¿Qué es un axioma? Movilidad y semejanza (Vigo, 1967) e Testamento Geométrico (A Coruña, 1975), son, como dicimos, os momentos menos estudados da súa produción e constitúen, en palabras do propio autor, un “inesperado aspecto de mis aventuras especulativas” (EP, carta 528, p. 784). Pretextan a cuestión da demostrabilidade do V Postulado de Euclides e, en consecuencia, a disxuntiva entre xeometrías euclidiana e non euclidianas como modelos lexítimos e definitivos de de seguir escribiendo a oscuras cuando habían sonado las sirenas, se apagaban las luces y más o menos precipitadamente se iba la gente a los refugios. Nada de lo que escribía pensaba publicarlo, y ni siquiera conservarlo. Era un modo de hablar conmigo, de someterme a cierta pausa y rigor en la meditación. Pues bien, eso siguió en Buenos Aires”, en mención inequívoca ao traballo de Luchas con el desconfiado e a posterior investigación xeométrica. 19 verdade e representación. Os arquivos matemáticos de Dieste complétanse coa súa varia correspondencia sobre o tema, algunhas opinións espalladas en entrevistas e conferencias e un feixe de textos inéditos compilados baixo o título Teoría del espacio / Anotaciones cosmológicas, pertencentes ao Arquivo Dieste. Houbo en Dieste un gusto pola matemática e os seus mecanismos de determinación ao que non é allea a historia intelectual da humanidade. Apoia esta afirmación a nómina de pensadores, homes de letras e artistas que non agacharon a súa predilección pola disciplina: Goethe, Schopenhauer, Marx, Valéry ou Borges, entre varios4. Na correspondencia diesteana sobre tema xeométrico, que transcorreu eminentemente na etapa de madurez, hai oco, entre aquela maioritaria na que se discute sobre teoremas e dificultades concretas das súas investigacións, para algunhas liñas dedicadas a acertixos matemáticos propostos aquén ou alén mar5. Estes recreos matemáticos descobren unha non escasa bagaxe do rianxeiro no manexo e cálculo de expresións matemáticas abstractas, así como no rigor e limpeza da notación empregada e a economía da cadea de razonamentos6. Aínda sen pertencer á órbita matemática, posuía unha formación infrecuente fóra do gremio, mellorada no autodidactismo durante toda a vida. En 1925, opositaría en Madrid a unha praza de auxiliar do corpo de 4 A unha pregunta do público pola súa dedicación xeométrica durante o coloquio do 4 de xuño de 1981 na Sociedade de Cultura Valle Inclán de Ferrol, Dieste reduce a estrañeza que poida provocar esta súa faciana do autor poliédrico (Rei Núñez 1995: 5) ao colocar un rexistro doutros poetas e literatos inclinados pola matemática: “En algunos se ha producido tardíamente; por ejemplo, Goethe empezó a preocuparse tarde por la física, en especial por la luz. No le cabía en la cabeza que la luz se pudiese descomponer. Era para él, como si dijéramos, el ejemplo primario de lo simple [...] Entonces inventó toda su teoría en contra de la de Newton [...] Desde luego, abundan los ejemplos de artistas preocupados por las matemáticas: Durero, Leonardo, los pintores italianos y, obviamente, los arquitectos” (EV, p. 220). 5 “Ahora una duda matemática. En el cuento del ratón se dice que este royó primero un centímetro de cada decímetro y que en días sucesivos fue royendo del resto un centímetro, un milímetro, etc., en progresión decreciente”. Carta a Eduardo Dieste, Bos Aires, 25 de marzo de 1940 (EP, carta 83, p. 161). 6 Véxanse senllas cartas a Isaac Díaz Pardo, 31 de xullo de 1958 e 8 de agosto de 1958 (http://firgoa.usc.es/drupal/node/38448). En ambas, resolve problemas clásicos de xeometría (problema da distancia máis curta de dous puntos en determinadas condicións). A solución de Díaz Pardo usa semellanza de triángulos, mentres que a de Dieste resolve por reflexión sobre unha recta, un método máis directo e “elegante”, como o describe Alcalde. 20 Estatística –supoñemos que con pouca expectativa7– e, de sempre, alternou lecturas de temática científica e matemática como parte do seu vital “degoiro analítico” (Rei Núñez 1995: 8). Nos seus textos xeométricos (tratados e correspondencia), recoñécese a un Dieste atento ao curso de desenvolvementos e técnicas da nova ciencia, bo coñecedor dos nomes e obras que ditaban a matemática ou a física do momento: Klein, Poincaré, Hadamard, Hilbert, Helmhöltz, Einstein... Se, como indica Irizarry (1985: 25), algo hai no Félix Muriel de exercicio de memoria e autocoñecemento, algún significado poden ter as seguintes liñas de “El quinqué color guinda” sobre unha precoz afección do autor pola matemática presente naquilo que o rodea: Aquel rellano fue siempre lugar en que se dieron cita a la vez la gran franqueza y el dilatado misterio [...] Allí aprendí a amar los planos justos con que se define el espacio, la maravilla de los ángulos, las paredes blancas, el techo de cristal, los limpios escalones que pueden contarse, doce hasta allí desde el zaguán y tres después en ángulo recto hacia el pasillo; y luego, muy liso y veloz, el pasamanos sobre el cual puede uno dejarse resbalar, resumiendo todos los números posibles, los quince, los infinitos escalones (HIFM, p. 85) Desde o inicio, as teses xeométricas de Dieste padeceron unha significativa postración e trivialización crítica que as relegaron á desatención8, un destino compartido por boa parte da súa obra, en especial pola súa xeira reflexiva aínda que tamén, en 7 Son anos de incertezas e tentativas: por aquel entón abandonará tamén senllos ingresos nas escolas de maxisterio e náutica. 8 Para coñecer tanto a opinión académica como as reaccións de Dieste á mesma, resulta reveladora a súa correspondencia a partir de 1951, na que actuaron como principais interlocutores da súa viaxe por pagos xeométricos o seu sobriño Eladio Dieste, Gabriel Zaid e Otero Espasandín. Nela dásenos conta dos matemáticos e homes de ciencia que someteron a exame ben un borrador dalgún dos textos, ben un exemplar recén editado. Son, entre outros, Risco (EP, carta 221, p. 383), Duperier (ibid.), Aller Ulloa (EP, carta 294, p. 477), Masseras (EP, carta 298, p. 484), Forteza (EP, carta 302, p. 489), Santaló (EP, carta 382, p. 582). Como conta o propio autor, Antonio Sánchez Barbudo dálle noticias de que “buenos geómetras compostelanos, con don María Aller a la cabeza, lo están examinando [Nuevo Tratado del Paralelismo] con mucha lucidez, liberalidad, respeto y simpatía” (EP, carta 294, p. 477); ao que se sabe, un destes bos xeómetras que atendeu ás investigacións de Dieste foi Enrique Vidal Abascal, á sazón profesor do Departamento de Xeometría fundado por Aller Ulloa na Universidade de Santiago de Compostela. 21 distintos graos, pola súa lírica, dramática e narrativa en español9. Con todo, no rexistro de desleixos críticos e historiográficos que adoito padeceu a escrita diesteana e, especialmente, as zonas ensaísticas e de especulación, a investigación xeométrica ocupa un lugar destacado. Malia o valor informativo que poidan ter na ordenación dos perfís autoriais, os escritos xeométricos son, sen dúbida, os exercicios do seu pensamento máis deixados pola crítica. Como ironicamente refire Rei Núñez (1995: 8), estas obras foron colocadas decontado no “arquivo dos intrusos, sección mirar dentro de cen anos”. Desde o máis de medio século que media entre a redacción orixinal do primeiro dos textos xeométricos ata a presente investigación, apenas teñen sido estudados desde o punto de vista matemático-dedutivo para consignar as súas sombras, que evidentemente ten (avanzamos que Dieste dará ata tres “demostracións” alternativas do V Postulado), así como algún importante triunfo. Completa soidade autorial no antes e no despois dos textos, debido en parte ás circunstancias pouco propicias nas que os textos foron publicados (o exilio, a España franquista), como á dificultade de obter atención da comunidade científica e do público lector ante o considerado como un paréntese discursivo e temático na obra do autor. Porén, sorprende o escaso interese comentarista por descubrir o entramado de relacións que a xeometría diesteana tece co resto do seu pensamento, excepción feita das lecturas esexéticas de Gabriel Zaid, Domingo GarcíaSabell e do seu sobriño Eladio Dieste. Aos tres acáelle o non pouco meritorio título de intérpretes e divulgadores do Rafael Dieste xeómetra. Aos tres corresponden tamén tanto as revisións como as escasas recensións críticas do traballo xeométrico do 9 En relación con isto, a memoria de Díaz Pardo (1999: 139) relata, non sen amargura, o certo baleiro e escaso recoñecemento que sufriu o Dieste regresado: “A resistencia a aceptar a Dieste nos medios académicos de aquel tempo debeu ser tan importante que Fernández del Riego, que era quen máis sabía do valor de Rafael, recurriu a tódolos medios para que o propuxesen para ocupar un posto na Real Academia Galega, incluso escribiunos a Arxentina para recabar apoios e especialmente para lle pedir a Sebastián Martínez Risco, que presidía a Academia, a súa axuda, cousa que non faltaba nel, mais a resistencia víñalle por parte de outros”. 22 rianxeiro feitas sobre o pano de fondo da súa obra literaria e de reflexión, onde se trazan apuntamentos básicos para unha ecdótica xeométrica aínda pendente. Varios son os motivos que explican a súa marxinación crítica: en primeiro termo, as condicións pouco favorables para o intercambio, a difusión e o estudo nas que os volumes foron publicados, xunto as características precarias das súas edicións10. Non son estas razóns exclusivas que afecten ás publicacións xeométricas; antes ao contrario, atinxen tamén a boa parte da súa obra de reflexión. En efecto, a obra ensaística de Dieste viu a luz en transos pouco propicios para a súa visibilidade. A edición orixinal de La vieja piel del mundo (1936) desapareceu na súa práctica totalidade baixo as primeiras vagas de bombas nacionais sobre Madrid, no inicio da Guerra Civil española. Luchas con el desconfiado (1948), froito do exercicio de reflexión que Dieste consolida no exilio, apareceu nun contexto igualmente contrario para o seu recoñecemento, cando os republicanos españois perderan parte do favor da clase política e intelectual arxentina que os acollera en inicio, nun escenario, o do exilio arxentino de finais dos 40, determinado polo cada vez máis presente e activo cooperacionismo entre os réximes peronista e franquista. Algunhas das súas outras obras de pensamento publicadas ao regreso a España, como Diálogo de Manuel y David (1965), aqueixaron edicións e distribucións deficientes en boa parte autofinanciadas polos Dieste, e outra parte do seu íntimo recollemento quedou inédito na gabeta ata moito despois da súa redacción, caso senlleiro de Tablas de un naufragio, que cumpre, ao noso entender, unha función matriz 10 Polos epistolarios de Dieste e Carmen Muñoz coñecemos os traxectos de difusión e distribución das monografías diesteanas. Eladio Dieste fíxolle chegar un exemplar de Nuevo Tratado ao profesor uruguaio Forteza (EP, carta 302, p. 489) e actuou como interlocutor e defensor da obra ante Massera (EP, carta 298, p. 483; carta 300, p. 486). Zaid intercambiou correspondencia con Luis Santaló, na que se discutía sobre a natureza dos resultados obtidos en Nuevo Tratado e precisados en extenso en Tratado Mínimo, título inicial de ¿Qué es un axioma?. Despois de prologar o Testamento Geométrico, García-Sabell fíxolle chegar unha copia a Xavier Zubiri, quen “lo leyó y comentó, interesado, conmigo” (García Sabell 1991: 65). No retablo de distribuidores non se debe esquecer, aínda que só sexa a nivel testemuñal, a Rafael Alberti, quen solicitou do autor tres exemplares de Nuevo Tratado para seren enviados a “matemáticos de la U.R.S.S.” (EP, carta 399, p. 605). 23 na comprensión do seu pensamento, e cuxa edición póstuma xunto a La Isla, ditada á súa dona en 1955, tivo que agardar ata 1985. Como dicimos, as teses xeométricas de Dieste foron editadas en circunstancias análogas ás que vimos de detallar para a obra ensaística, o que dá algunha razón da súa invisibilidade na distribución e comentario. Nuevo Tratado del Paralelismo publicarase no exilio arxentino, mentres que ¿Qué es un axioma? e Testamento Geométrico serán momentos editoriais do Dieste regresado. Os tres son o resultado, en tempos e contextos pouco favorables, de edicións e tiraxes humildes: de feito, o Testamento Geométrico publicarase mercé a unha xestión conxunta de varios intelectuais galegos feita con carácter de homenaxe11, sen cuxo mecenazgo talvez tería sido outro o seu rumbo editorial. Por outra banda, máis de trinta anos despois da morte do autor, outra parte da súa obra xeométrica, a colección de ensaios Teoría del espacio / Anotaciones cosmológicas12, permanece inédita no Arquivo Dieste. 11 Foron Ramón Baltar Domínguez, Isaac Díaz Pardo, Felipe Fernández Armestro, Fermín Fernández Armesto, Francisco Fernández del Riego, Álvaro Gil Varela, Domingo García-Sabell, Valentín Paz Andrade e Luís Seoane. Non obstante, segundo conta Rei Núñez (1987: 198), o custo económico da edición correu exclusivamente a conta do editor. 12 Estes textos ofrecen algunhas orientacións complementarias aos argumentos dos tres libros xeométricos. Os escritos versan sobre os seguintes aspectos (indícanse os seus títulos na orde na que figuran no cartafol 56): “Sobre la recta (I)”, “Sobre la recta (II). Génesis de la recta total. Problema”, “Suma y crecimiento continuo. Teoría de los discos”, “Sobre el continuo y el movimiento”, “Sobre [el] uso de la noción de movimiento en Geometría”, “La noción como orientadora”, “Axioma. Procedencia y función”, “Intuición y primitivismo – Piaget”, “Proceso constructivo y demostración”, “Demostrable, indemostrable... Distinciones clásicas vistas con otro ángulo”, “Libertad de horizonte...”, “Noción de espacio como antecedente y acompañante en cualquier cuadro de hipótesis (relativas a él)”, “Imaginación, intuición, «signo» (Ambiente sobre valor gnoseológico de imaginación, intuición...). El «signarista» puro, etc.”, “Principios y consecuencias. Comentario en forma de entremés”, “Lo deficiente no contradictorio”, “Confrontación de espacios. Divulgación”, “Triplicidad (hipotética) frente a unicidad”, “Sobre el sentido común”, “Infinitud”, “Espacio, tiempo – Espacial, temporal”, “Entes absolutos, su relación con el tiempo”, “Primitivismo e intuición”, “Experimento geométrico” e “Anotaciones cosmológicas”. Esta ordenación foi feita polo propio Dieste en xullo de 1981, apenas tres meses antes do seu falecemento. Algúns dos textos foron redactados para o opúsculo Tres investigaciones geométricas (“Primitivismo e intuición”, pensado inicialmente como unha carta a Eladio Dieste, reescrito en “Intuición y primitivismo – Piaget” e datada probablemente en 1960) que ficou inédito e antecedeu a redacción do Tratado mínimo que logo acabaría reescrito e publicado como ¿Qué es un axioma?. O feixe de textos foi correxido e anotado por Eladio Dieste e Gabriel Zaid; constátase alí, por algunhas cartas que Eladio Dieste e Gabriel Zaid mandaron a Carmen Muñoz, que era vontade desta tirar deles unha publicación póstuma. Deuse practicamente ultimado en marzo de 1991, pero non se chegou a editar. 24 Pero, xunto ás circunstancias pouco propicias e as edicións deficientes, é evidente que na escasa acollida dos tratados xeométricos interviu como razón destacada a súa aridez formal, que o afastaba do público lector en xeral, e as consecuencias obtidas, que o enfrontaban abertamente co canon académico, cos especialistas. Dieste prometía demostración do V Postulado de Euclides, un afán que quedara proscrito para a comunidade matemática máis dun século atrás con Gauss, Riemann, Bolyai e Lobatchevsky, e que achamos como razón substantiva do escepticismo académico suscitado. Durante vinte séculos, a historia da xeometría estivo dirixida polo impulso de determinación da natureza lóxica e ontolóxica do V Postulado de Euclides (ben como postulado efectivo, isto é, como axioma independente dos catro anteriores; ben como teorema deducible daqueles): V POSTULADO (DE EUCLIDES OU DAS PARALELAS) Se ao incidir unha recta sobre dúas rectas fai os ángulos internos do mesmo lado menores que dous rectos, as dúas rectas prolongadas indefinidamente atoparanse no lado no que están os ángulos menores que dous rectos.13 O estatuto do V Postulado ou Postulado das Paralelas deu para unha secular controversia xeométrica que animou o propio curso da disciplina. Os esforzos máis denodados centráronse en atopar unha demostración definitiva do V Postulado ou dunha formulación equivalente a partir dos catro anteriores (que arbitran propiedades evidentes para a intuición xeométrica sobre a ontoloxía de punto, recta e círculo). Será no s. XIX cando se propoñan varios modelos xeométricos loxicamente consistentes derivados ben da negación do enunciado das paralelas, ben da súa exclusión, o que confirma a súa natureza postulacional. A descuberta de xeometrías non contraditorias á marxe do V Postulado probou a independencia do mesmo respecto dos outros catro (isto é, a súa 13 Cítase pola coidada edición dos Elementos da Editorial Gredos, a cargo de Vega (1991). 25 indemostrabilidade a partir deles) así como a pertinencia dun marco de coexistencia lóxica das estruturas euclidiana e non euclidianas e, por tanto, de diferentes nocións xeométricas do espazo que desprazaban de vez a concepción absoluta do espazo euclídeo mantida durante a Modernidade. Asemade, esta diversidade lóxica e ontolóxica de xeometrías e espazos contrapostos desvelou o fracaso da intuición como instrumento de validez, ao manexaren as xeometrías non euclidianas nocións de rectitude e paralelismo que erguen estruturas con propiedades incapaces para o esquema intuitivo “usual” que caracteriza a xeometría euclidiana. Para Dieste, o escenario aberto polas xeometrías non euclidianas devén dun erro filosófico de base. Esta sospeita leva ao autor a se impoñer o designio de procurar, de intentar, un sistema xeométrico consistente que demostre o V Postulado e preserve a súa preeminencia lóxica e ontolóxica. Desde fóra do estamento académico, Dieste reabre un asunto que para a comunidade matemática era un problema pechado, insistindo ademais nunha opción que contraviña abertamente o estándar académico vixente: o restablecemento do carácter absoluto da concepción espacial euclídea e da xeometría euclídea como modelo de verdade e representación. Que motiva que Dieste, o poeta, dramaturgo e novelista, entre neste problema, na cuestión do espazo e na da posibilidade dun modelo xeométrico lexítimo e prevalente sobre os demais? É ese interese puramente xeométrico? Antes de responder a estes asuntos, cómpre lembrar que, malia que a xeometría do espazo é unha prerrogativa do autor no exilio, non o é como inquedanza instalada na cerna propia, xa que hai constancia que a remonta aos anos de mocidade, talvez motivado polo coñecemento da cosmovisión manuelantoniana que asumía o espazo como limitado. Evocarao anos despois nunha carta ao seu sobriño Eladio: 32 algún refunda ao pensador, senón que convoca baixo o signo xeométrico as mesmas coordenadas vitalistas que acaen para o conxunto da súa escrita. Zaid, ao reseñar a publicación de Nuevo Tratado del Paralelismo (nº 29 de Galicia emigrante, 1957), declara o seguinte: Acaba de aparecer el Nuevo Tratado del Paralelismo, que da un rumbo imprevisto – aunque tal vez sólo en apariencia– a la múltiple obra de Rafael Dieste [...] no ha de extrañar, a quien conozca el ámbito de su obra, y la refiera no a esquemas categóricos sino a la fiel unidad de un proceso íntimo, vital, comunicativo [...] He aquí un poeta que va cantanto siempre lo de siempre, ya con versos o apólogos, ya con farsas, relatos o discursos, ya con figuras lógicas o geométricas. (Zaid 1957 1991: 177) García-Sabell, no limiar do Testamento Geométrico (p. 8), advirte esta mesma raíz común a toda a produción diesteana e, nela, a xeométrica: Los textos del autor de este libro son siempre, en máxima medida, como regatos de agua cristalina en cuyo hervor late el recuerdo del primer hilo líquido, pero cuyo caudal, acrecido, es río caudaloso y espejo de múltiples imágenes. De ahí los variopintos meandros, las vueltas y revueltas del curso, los tornasoles y las ocultas corrientes que surcan, una y otra vez, sus prosas. Hay, pues, un módulo de literatura diesteana. Pero hay, al tiempo, y esto no conviene olvidarlo, un fondo de actividad especulativa, un borbotón de ideas que surcan el lecho diáfano del río y le dan sentido, permanencia, operatividad intelectiva. Ahora, en el Testamento Geométrico parece, a primera vista, que la estructura dinámica de ese pensamiento se ha quebrado. Asistimos, en apariencia, a una demostración matemática. Así, sin más. Y, aún, a una demostración matemática ardua, difícil. Sin embargo, quien siga con el rigor necesario esta demostración, pronto se percatará de que la tónica creadora de Rafael Dieste continúa siendo la misma. Y no puede ser otra, en verdad, ya que también aquí se ha colocado, fatalmente, la personalidad del escritor18. 18 O propio Dieste, nunha entrevista publicada en La Noche (14-09-1963), decanta nun sentido ético a integración da diversidade xenérica do conxunto da súa obra, adiantando algunhas das pautas que erguen o seu degoiro intelectual e vital: 33 A xeométrica é, pois, algo máis que unha veleidade contrapuntística e estética do autor maduro. Antes que unha “manía extemporánea”, a xeometría é a expresión clara dunha necesidade raciovital do autor (Casas 1995a: 8) común ao resto da súa produción; dun pretexto para o coñecemento asumido como “deber esencial” (EP, carta 517, p. 764) extensivo ás súas “obras serias” (Eiré 1995: 92), ben nestes textos xeométricos, ben noutros de especulación filosófica como Luchas con el desconfiado, Diálogo de Manuel y David ou Tablas de un naufragio19 ou mesmo naqueloutros de reflexión estética ou teatral. En efecto, a aporía das paralelas concita no autor unha pesquisa de máis amplo percorrido sobre a natureza ontognoseolóxica do espazo, como preocupación nuclear, e as súas relacións coa realidade, a verdade e a experiencia; pero, nun segundo plano, convoca tamén unha reflexión en torno á delimitación dos perfís poético e gnoseolóxico do home, o que ocupará, como veremos, a escrita específica de certos lances de importancia de ¿Qué es un axioma?. Por estes motivos, a disposición argumental da presente investigación basearase no propio itinerario temático e discursivo de Dieste na obra xeométrica, que podemos esquematizar da seguinte maneira: Mi anhelo es siempre rescatar la fuente en que se concilian, reconociendo un sólo origen, nuestras diversas potestades, ¡hoy tan divorciadas! Eso explicaría la diversidad de géneros que me han solicitado, o a los que no he tenido más remedio que acudir. 19 O calificativo de “serio” é posto por A. Eiré nunha entrevista para o nº 101 da A Nosa Terra (semana do 11 ao 17 de abril de 1980), e reeditada polo mesmo selo editorial no número de homenaxe “Era un tempo de entusiasmo...” en 1995 co gallo da concesión do Día das Letras Galegas ao autor (por onde se cita, pp. 92-93). Pregunta Eiré polos motivos, se forzados ou voluntarios, da súa condición de escritor en lingua galega e española. Responde o escritor: “[...] algunhas destas obras que ti chamas sérias, e que eu penso que o son –anque a literatura tamén sea séria–, de tipo filosófico, ou no campo da matemática, son obras polémicas e ao escrebelas en castellano abren o campo da polémica posíbel. Ao mellor hai xente dabondo en Galicia á que lle interesen estes temas, pero van mellor en castellano para que así poidan intervir o resto dos españois e mesmamente os europeus”. 34 Figura 1. Estrutura expositiva dos tratados xeométricos de Rafael Dieste Unha das características máis destacadas da obra e da actitude intelectual do autor é a súa capacidade de xerar disidencia racional, unha tendencia a instalarse á marxe de espazos transitados e de respostas doadas. Neste sentido, os itinerarios creativos de Dieste veñen marcados por unha vontade de clarificar e de clarificarse aínda a costa do establecido e do acomodado. A xeometría como vivencia e como empresa especulativa iniciada nos anos do exilio non é allea ao logos actuante e comprometido que define a maneira intelectual de Dieste. De feito, antes de afondar nos aspectos técnicos, fundacionais e críticos que ensanchan a exposición xeométrica de Dieste, deberemos centrar a xeometría como unha reacción autorial e creativa no camiño de obter unha delimitación precisa do mundo e do lugar que nela ocupa o ser humano. Estes son os propósitos que se perseguen no primeiro capítulo, “Vivencia e compromiso no matemático ao seu pesar”. Non obstante, se se trata de afondar na pesquisa diesteana en torno ao V Postulado, cremos inevitable, máis aló do que xa levamos anticipado, dedicar algunhas NIVEIS DISCURSIVOS - Xeométrico. - Ético. - Hermenéutico. - Fenomenolóxico. TEMAS - Telos / Intencionnalidade. - Crise do axioma. - Xeometría e historia. - Convencionalismo. REALIDADE Espazo, tempo, movemento. 35 páxinas a unha exposición somera da historia e evolución do problema xeométrico que Dieste convirte en obxecto de estudo. Este é un dos propósitos do segundo capítulo, “O Postulado de Euclides e o programa xeométrico diesteano”. De porparte, pretendemos repasar as estratexias e propostas empregadas polo autor na súa “demostración” do V Postulado. Abordaremos os erros de natureza dedutiva e conceptual que presentan, para o que tomaremos como referencia os traballos de Sueiras, Díaz e Buceta (1995: 69-74) e Alcalde (2005), os dous únicos que coñecemos que tratan as insuficiencias da xeometría de Dieste na perspectiva dunha teoría con ambición de completitude e consistencia lóxicas. No terceiro capítulo, “Ambicións da xeometría novoeuclidiana. Dos perfís estilístico, hermenéutico e ontolóxico”, acometemos unha primeira prospección sobre o rexistro diverso de temas aos que serve a xeometría diesteana desde as marxes da cuestión do espazo. Estes elementos anuncian un interese máis amplo que o estritamente xeométrico, nos primeiros pasos para unha visión da xeometría de bases fenomenolóxica e hermenéutica. Chamaremos a atención sobre o casamento de dous modos estilísticos e discursivos ben diferenciados, o netamente xeométrico e outro de alento ensaístico, nos que a obra xeométrica está escrita, para logo adiantar as súas ambicións fundacionalistas e hermenéuticas. Nun seguinte paso, argumentaremos en favor dunha concepción da xeometría como experiencia impulsiva e obxectiva da nosa participación na realidade, na verdade e no mundo. Neste lugar, o axioma desempeñará un papel fundamental como comparecente ou testemuña da realidade. No cuarto capítulo, “A xeometría como descrición fenomenolóxica da razón e da realidade”, aproximaremos as trazas do talante fenomenolóxico do xeómetra Rafael Dieste, sempre en consideración das achegas de estudos precedentes e a partir da dispersión e riqueza de motivos que poboan as páxinas xeométricas. A fenomenoloxía 36 marca en boa medida os rumbos das concepcións e desenvolvementos propios do programa xeométrico de Dieste, nun diálogo aberto xeometría-fenomenoloxía que en grande medida pautará as indagacións e solucións achegadas polo autor. Sen desconsiderar as pautas e angueiras dedutivas usuais do matemático, o cariz fenomenolóxico da xeometría diesteana abre ante o lector un espectro amplo de debate, desde perfís antropolóxicos, críticos e racionais, tamén egolóxicos e concienciais de forte trabazón. Isto resólvese dunha importancia crucial á hora de confirmarmos a pretensión fundacionalista que preside os traballos xeométricos do autor. En efecto, a través da pesquisa xeométrica Dieste investiga as condicións de posibilidade do coñecemento, nunha liña que nos guía tras o camiño andado noutras obras de reflexión como poden ser Sobre la libertad contemplativa ou Diálogo de Manuel y David. Neste camiño, a xeometría euclídea preséntase como unha tarefa cognoscitiva aberta aos fundamentos e ás potencias do ser, isto é, como unha experiencia participativa nos redutos do coñecemento, a verdade e a realidade. Todo este operativo vén envolto nun tramado fenomenolóxico ou, mellor, nun pathos fenomenolóxico-hermenéutico moi consolidado no modo intelectual do xeómetra maduro, ao fío do cal xurden ricas reflexións sobre intencionalidade, telos e representación; sobre intuición, verdade e realidade. A crise dos fundamentos é o tema do seguinte capítulo. En “A crise da noción de axioma. Por unha concepción dual xeometría-historia” analízanse as características do programa de investigación de fundamentos que Dieste afronta ao fío da cuestión do V Postulado. A crise da noción de axioma, etiqueta empregada como tal en ¿Qué es un axioma?, é un dos argumentos principais dos tratados xeométricos, a través do cal o autor denuncia a posición confusa que as xeometrías non euclidianas provocaron nas nocións de validez e método, con repercusións evidentes no concerninte ás concepcións 37 de verdade, realidade e representación. Este problema sobre os límites da validez obriga a Dieste a iniciar unha pesquisa sobre o curso da xeometría co obxecto de rastrexar o pouso acrítico de presuncións metodolóxicas que deron, ao cabo, co advento das xeometrías non euclidianas. Nos ensaios e na correspondencia diesteana advírtese a convición, mantida ante o estendido silencio comentarista e académico que recibiron os seus textos, de que no V Postulado e na historia das súas tentativas de demostración acae un papel de relevo no concerninte á clarificación das causas da crise universal e as súas saídas. Trátase, como queremos amosar, dunha dilucidación do fundamento feita sobre o substrato histórico da xeometría. O autor válese do mitoloxema de Xano para afirmar a historicidade como compoñente eidética da xeometría, no que constitúe unha das grandes chegadas desta parte da súa investigación, pero tamén como unha outra dimensión problemática que constitutivamente intervén no asunto das paralelas. Permite, dunha man, concretar unha concepción “real” da disciplina, afastada de consideracións ahistóricas da mesma e cinguida, en troques, ao seu propio curso metodolóxico; mentres que, doutra, especifica as singulares características do método fenomenolóxico que Dieste pon en práctica na xeometría. Esta indagación de fundamentos que Dieste emprende sobre o curso metodolóxico da disciplina deterase de modo explícito nas bases ontoepistemolóxicas do convencionalismo. No capítulo sexto, “Ante o convencionalismo: aspectos dialogal e antropolóxico”, estúdanse as claves e resultados da crítica diesteana ao paradigma convencionalista, tomado polo autor como un dos fracaso antropolóxico e racional da racionalidade contemporánea. A introdución do “convenio” ou do “acordo” como criterio da razón teórica é visto como parte na quebra das concepcións absolutas de verdade e realidade vixentes no tempo previo da Modernidade. No proceso de investigación de fundamentos que atravesa a obra xeométrica de Dieste, subsiste a 38 preocupación polo sometemento –provocado polo convencionalismo e o positivismo lóxico– das nocións de verdade, realidade e representación a un dominio de discurso determinado. Isto leva consigo a inserción de formas escépticas nos usos racionais do home á vez que afecta á propia natureza do modo de estarmos no mundo. Por paradoxal que pareza –en tanto que a fixación dun “convenio” de verdade suxire a participación doutros suxeitos activos–, Dieste considera que o convencionalismo, emerxido na sombra da coexistencia lóxica das xeometrías non euclidianas, acaba por arrastrar cara a unha fundamentación solipsista dos redutos da razón, cunha evidente significación no concerninte á nosa radicación no mundo e na realidade. Finalmente, en “Espazo e tempo como índices referentes de realidade” conflúe o camiño anterior na proposta de posturas propias sobre espazo, tempo e movemento. Toda a obra xeométrica avanza na investigación do grao de competencia na realidade que teñen as nocións de espazo, tempo e movemento. Para Dieste, espazo e tempo non son outra cousa que modos intuídos de realidade, é dicir, realidade-en-modo-intuído. Bótase de ver a conexión coa fenomenoloxía que aquí ten o argumento diesteano, na vez que é o seu propósito conciliar a concepción do espazo-tempo emerxida da nosa intuición artellada na base do Lebenswelt e a concepción auspiciada pola ciencia. En efecto, Dieste trata de presentar o espazo como un índice ou un horizonte de realidade que se nos dá a través da intuición. A afirmación dunha temporalidade implícita no espazo constitúe un dos puntos de maior importancia das teses xeométricas do autor. Dieste concibe espazo e tempo como materias incardinadas de realidade: o espazo como ámbito de experiencia de contidos obxectuais de realidade e o tempo como valor de permanencia e continuidade de ditos contidos. Isto ten consecuencias no eido da composición literaria, en particular na radicación e imaxe cronotópicas que Dieste imprime a boa parte das personaxes das súas narracións. Asemade, esta textura 39 imbricada espazo-tempo abre no autor un punto de choque co pensamento de Bergson, en particular coa disociación que este fai de espazo e tempo como razóns disxuntas de pensamento. Neste esquema, a postulación do movemento cumpre unha función esencial, en canto lle corresponde a comparecencia, lexitimación e individuación dos entes da realidade. O movemento determina deste xeito as características principais da nosa forma de participación na realidade en clave espazo-temporal. Esta nosa participación no real, baseada na postulación de Libre Mobilidade (mobilidade sen deformación), entraña unha orde de homoxeneidade e permanencia na disposición dos obxectos sobre o trasfondo espazo-temporal referente da realidade. O movemento permítelle a Dieste culminar o programa xeométrico coa grande conclusión que resume os tres tratados: a afirmación da euclidianidade na distribución de contidos obxectuais de realidade ou, noutro modo, a disposición euclídea dos obxectos da realidade con arreglo a propiedades de homoxeneidade, continuidade e permanencia. Esta razón explicará tamén o feito de sermos quen de intuír en euclidianidade, é dicir, o feito de que a métrica do mundo que se dá á nosa intuición usual corresponda coa métrica euclídea. 40 41 1. VIVENCIA E COMPROMISO NO MATEMÁTICO AO SEU PESAR A xeira de problematicidade que se anuncia nas marxes da xeometría diesteana (de carácter crítico, fundacional e ontolóxico, principalmente), non pode ser plenamente comprendida se non atendemos, en primeiro lugar, á pulsión ética propia do carácter indagatorio do rianxeiro. O facer intelectual e vital de Dieste suxéitase a unha fasquía principal de compromiso, creación e integración, que preside todas as facetas da súa obra. Isto obsérvase nos dispares contratos que o autor asume ao longo da vida, como animador cultural, como docente, como poeta ou como dramaturgo, pero tamén como exilado ou como pensador retirado na procura de novos camiños de reflexión. Este é o chanzo desde o que Dieste vive, medita e escribe. Defínese así unha actitude en torno á que se vertebra un programa intelectual, de crítica cultural e actitude filosófico-vital unitarios no que se incardina a xeometría como algo máis que unha simple audacia do autor maduro. En diversos estudos e acoutacións precedentes da figura diesteana tense aludido con frecuencia á súa disidencia racional como marca da súa conciencia comprometida20, tan esquiva ás etiquetas e á marxe da ortodoxia das escolas. Este de seu disidente, este “carácter hipercrítico” aposto por Vicente Risco ao Dieste xornalista 20 Para a xénese infantil, precoz, da disidencia intelectual, vid. EV (1990: 222–223). 48 inéditos e algunha correspondencia. Tal foi a dedicación ao tema xeométrico a partir dese momento que, tras a morte do autor, Carmen Muñoz o rememorou como unha das maiores probas que ten superado a carón do rianxeiro. Relatáballo a Gabriel Zaid en carta do 31 de maio de 1967: “Pero yo deseo mucho que acabe Rafael de sacárselo no tanto de entre las manos como de «entre la cabeza»” (EPCM, carta 128, p. 259)34. Muñoz, nas que a admiración suscitada pola intensa labor do rianxeiro no eido xeométrico contrasta con certa impaciencia provocada ante o longo traballo e a relegación que esta comportou na creación literaria: Nosotros seguimos con el mismo plan en Atlántida, que nos resulta cómodo, completando con algunas cosillas que se hacen aparte, y en régimen un poco ascético mientras Rafael termina. Porque Rafael hace medio año que está terminando un trabajo (lo cual es ya ocasión de bromas entre los más íntimos). Lo que sucede es que el asunto tiene muchas vueltas y él quiere dejarlo claro como un cristal. Pronto vais a recibir un ensayo de Geometría [Nuevo Tratado del Paralelismo] que, según Rafael, te va a sorprender más de lo que esperas. Pero yo añado que te va a gustar. Rafael te tiene muy presente mientras lo hace, y son muchas las veces que dice: “Esto le va a gustar a Espasandín”. (EPCM, carta 55, p. 127) A carta, remitida a Otero Espasandín e á súa dona, para daquela instalados en Washington, ten data de 12 de marzo de 1956. Regresados a Bos Aires despois de dous anos en México, os Dieste reanudaran as súas colaboracións coa editorial Atlántida, e da que Rafael fora director literario desde 1940 a 1948, momento no que abandona o posto para asumir o lectorado de español en Cambridge. 34 Así consta tamén nunha carta a Carlos Gurméndez de varios anos despois (15 de abril de 1983) recollida con ocasión da publicación póstuma do volume La Isla. Tablas de un naufragio (1985: 17): Una de las mayores pruebas que yo he tenido que sufrir ha sido la dedicación de Rafael, durante años –en el tiempo no dedicado al duro trabajo de ganar el pan– a sus investigaciones filosóficomatemáticas. Desde luego, me parecía necesario y admirable que lo hiciese; pero lo que yo más deseaba era otro tipo de creación: narración, teatro, poesía. Era como estar al lado de una fuente clarísima que por un fenómeno geológico desvía temporalmente su cauce. Y hay que esperar a que cambien esas circunstancias. Rafael sabía –no olvidaba– que yo estaba allí, esperando otras cosas, y se sentía seguro de dármelas. De cuando en cuando me decía: Pronto voy a hacer otras cosas. Nesta liña, Dieste relata as súas emocións, atrapamentos e compromisos co problema das paralelas nunha carta a José Carou, escrita desde Cambridge en 1951 no albor do esforzo xeométrico: [...] andaba en persecución de una “lagartija” que tenía que atrapar –era fundamental para mi espíritu– y que no bien yo alargaba la mano se escabullía entre las zarzas. “Lagartija” es el nombre que usamos mi hermano Eduardo y yo para referirnos a esos problemas que nos atraen y nos huyen [...], y que cuando parecen dormidos y prestos a dejarse asir y ver de cerca, de pronto se cuelan entre la maleza y, a veces, por la rendija de una piedra durísima, que no se puede hacer saltar ni con dinamita [...] (Seguramente estarás pensando: “Y bien, ¿qué pasó con la lagartija?”. Pues verás... Me parece que le di alcance, y que además es la que buscaba –la conozco bien por las pintas– y no otra. Pero ahora le estoy pidiendo todos los certificados. Nunca está de más...) (EP, carta 217, p. 376) 49 Nestas memorias biográficas bótase de ver a urdidura ética do xeómetra malgré tout no que Dieste se converte. No inédito titulado “Buscando la unidad de las «dos» unidades” (Teoría del espacio, AD)35, o autor expón as orixes e preocupacións que precederon o traballo xeométrico así como a súa vivencia inevitable, comprometida e consecuente36: Noté de pronto que el relativismo geométrico (improviso un nombre entre varios posibles) estaba minando toda posibilidad de hablar seriamente de certeza, y ya no pude permanecer impávido al margen del milenario problema de las paralelas, ligado al más radical de nuestro entendimiento del mundo y del espacio [...] Al salir de Buenos Aires hacia Europa, llevaba el propósito de “liberarme del problema”. Logré tenerlo a raya, pero el hecho es que, de vez en cuando, no podía evitar del todo su asedio. ¡El geómetra a su pesar! Llegó después a parecerme irreverente rehuirlo, algo así como una falta de obediencia, en el sentido más digno de esta palabra. Me puse a obedecer y en un mes fulminante descubrí multitud de corolarios de la exclusión del Postulado de Euclides. Logré sistematizarlos, tener la “negación” redonda, perfecta como una esfera armilar en la palma de la mano y resultó ser... (¡espanto y maravilla!) la sombra fiel de la geometría de Lobatchevski [...] Al retornar a Buenos Aires me puse a revisar papeles que había dejado, con ánimo de ponerlos en orden y quemar luego todos los posibles, según mi sana costumbre [...] Había allí algo, algo no muy explícito y que esperaba ser perfeccionado. Sería la última prueba, la ocasión de poner definitivamente término al asunto... A los dos o tres días me hallé de pronto fuera del laberinto, pero también muy lejos de todos los posibles desenlaces que antes hubiera podido sospechar. 35 Redactado no seu día como posible limiar para Nuevo Tratado del paralelismo e posteriormente recuperado polo propio autor como sección dun novo texto sobre xeometría á fin inacabado. 36 O inédito ao que nos referimos reproduce unha carta que Dieste escribiu con anterioridade á publicación de Nuevo Tratado coa intención de remitila, xunto co manuscrito do libro, a un dos seus habituais interlocutores. Se ben Dieste non menciona explicitamente o nome do correspondente para o que ía dirixida a carta, refíreo en cambio como pertencente á clase de lectores “que han padecido ese conflito; y más aún, los que no logran sofocarlo, ponerse a tono con los varios modos de conciliación (un tanto ambiguos, pese, en algunos casos, a su apariencia «sistemática») que en nuestros días se les ofrecen”. Sabendo que resulta totalmente aventurado, acoutamos os posibles remitentes a dous: Eladio Dieste e Gabriel Zaid, a cuxo criterio someteu Dieste a lectura e comentario do manuscrito. Vid. EP (carta 276, pp. 460-461; carta 277, pp. 461-462; carta 279, pp. 463-464; carta 280, pp. 464-465; carta 283, p. 467). 50 O que en apariencia é un Dieste intelectualmente atrapado nun problema sen saída, en realidade encobre a un Dieste comprometido nas adentras. En Nuevo Tratado, resume a substancia de compromiso que orixina a meditación xeométrica desta maneira rotunda: ¿Por qué [o autor] ha escrito este libro? No ha podido evitarlo... (NTP, p. 11) O Dieste xeómetra conságrase a un deber “con todo el sello de la fatalidad” (EP, carta 221, p. 383) contraído de porparte coa intimidade e coa alteridade. Fronte a unha actitude meramente contemplativa, na que “hacer un canto a ese misterio de la capacidad matemática del home” (EV, p. 221), Dieste inscríbese noutra de signo ético e hermenéutico na que “relacionarse con la matemática haciéndola” (EV, p. 221)37. Reúnese deste xeito unha múltiple vontade actuante, creativa, ética e identitaria na procura da “definida realidad objetiva” na forma de “cuadros, novelas, cuentos, poesía, drama, escultura” (Gurméndez 1995b: 19) e, engadimos, tamén teoremas: Ahí me embarqué de repente porque me pareció que el problema era muy sencillo; y resultó que no era tan sencillo. Puede ser que al final resulte muy sencillo [...], pero, en principio, era bastante más intrincado de lo que se suele suponer. Entonces me quedé como bloqueado; es decir, que fui, como si dijéramos, el matemático a su pesar. (EV, p. 229) Estando aínda na etapa formativa que supuxo o lectorado de español en Cambridge (curso 1951-52), o autor confésalle ao seu correspondente e amigo Otero 37 Para Gadamer, a falsa responsabilidade é aquela que, modulada desde a mentalidade científica, esquece a propia situación histórica e deixa en mans dos técnicos, científicos e expertos o futuro da humanidade. Pola contra, afecta a todos, sexan ou non expertos. Para unha panorámica do pensamento gadameriano, vid. Acero et al. (2004), particularmente, Grondin, Conill e Domingo Moratalla. 51 Espasandín38 que, unha vez confrontado o problema e albiscada a súa entraña, “no me parecía honesto abandonar con susto y de cualquier manera” (EP, carta 221, p. 383). No atrevemento xeométrico organízanse as claves dunha razón non acomodada, comprometida e crítica, e que irremediablemente incumbe tanto ao Dieste poeta, dramaturgo ou narrador como ao xeómetra no cuestionamento dos teoricismos nos eidos epistemolóxico, ético, estético e político. Esta resolución de forte compromiso non estraña nun “home ponte”, como o denominou Zaid (1995a: 75), nalguén que “coma Goethe, coma Valéry, coma Reyes”, asegunda Zaid, “vive na unidade da súa persoa as rachaduras da cultura universal”. Pero que motiva este esmero e dedicación ao tema xeométrico? Que acha Dieste de tan substantivo no asunto do V Postulado de Euclides para asumir dito compromiso? Especificamente, a navegación xeométrica permite aproximar un ronsel de cuestionamentos comúns nos que se apoia a súa angueira reflexiva noutros retallos discursivos, e que nomeadamente atinxen á posibilidade e fundamentos do coñecemento e á clarificación da noción de mundo e realidade. En efecto, os tratados xeométricos presentan unha investigación sobre a ontoloxía ostensible do espazo, a súa forma e a dimensión intuitiva-antropolóxica asociada, o problema da “proxección” no ser humano da forma do espazo. O estudo da cuestión das paralelas non é, pois, un asunto de índole menor no referido ás misións do ser humano no mundo e ás súas ambicións ontoepistemolóxicas, senón que ademais recolle un perfil de interese antropolóxico. O V Postulado discute unha noción medular que xa o é noutras marxes do pensamento diesteano como La vieja piel del mundo, “Sobre la reflexión”, El alma y el espejo. En efecto, o asunto das paralelas supón o regreso a unha cuestión que ocupa un lugar significativo na indagación diesteana, a saber: a salvación, entendida como 38 De traxectorias tantas veces coincidentes: ambos soldados na guerra de Marrocos; ambos misioneiros; ambos con recoñecida inclinación á matemática. 52 “conformidad real [do ser] con su propio fundamento” (EAE, p. 24)39. De que xeito se concreta isto en xeometría? O V Postulado serve como pretexto para trazar unha investigación en torno ás condicións de posibilidade do coñecemento e a compatibilidade destas con seccións presenciais e potenciais do ser do mundo: La gente, aun la que puede recitar alguna de las varias formulaciones del V Postulado, tiende a asimilar su posible discusión a la de un “problema particular”, como el de la trisección del ángulo y tantos otros que, resueltos o no, han servido de estímulo al proceso teórico de la Geometría. De ahí la conveniencia de hacer visible la amplitud del problema. Este no sólo afecta a la Geometría en su totalidad (así como al posible modo de entender el Entendimiento), sino también a la noción del Mundo, que incluye –o demanda– la de Fundamento. Un paso más en esta escala de problemas y estamos bordeando el más serio de todos: la salvación del alma. ¿Cómo puede ser esto ajeno a los intereses del poeta (o de cualquier hombre)? (EP, carta 517, p. 764) Ao igual que Vilavedra (1995: 126) recoñece para o módulo de literatura, a xeometría actúa como “instrumento de revelación”, como “vía privilexiada de coñecemento” non só nos eidos científico e epistemolóxico, senón tamén nos referentes existenciais, ontolóxicos e antropolóxicos nos que estamos insertos. Xa que logo, a xeometría diesteana comparece como unha especie de salvatio philosophiae desde a que perfilar un pensamento que conxugue orientacións resoltas a salvar o mundo, entendido por isto a obtención dunha xustificación plausible do mesmo, como expresou GarcíaSabell (1995a: 10), que case coas nosas demandas internas e percepcións: a xeometría intervén así como un momento máis da comunicación total (García-Sabell 1991: 65; 1995a: 9-10) de Dieste coa vida, isto é, co “que eu levo dentro, e o que está fóra de min, 39 Isto redunda en certas marcas da análise existenciaria da hermenéutica ontolóxica de Heidegger, no punto que a etiqueta da salvación alude a unha tarefa de determinación da natureza e estruturas básicas do Dasein en canto ser-no-mundo cuxa existencia é o seu propio fundamento, fundamentode-seu ou, mellor, fundamento-de-ser. Para o tema da salvación en Dieste, vid. Casas (1997: 552– 555). 53 o mundo, coas súas criaturas, coas súas paisaxes, coas súas transparencias, e as súas opacidades”. A problemática xeométrica revela así un “sentimento da responsabilidade na busca dun modelo interior” (Dónega 1995: 72) que sirva en inicio non só para si, senón tamén para os outros, para toda esa “multitud acompañante” (EV, p. 228). En efecto, a angueira de salvación non só vai dirixida “para mí en particular –sería horrible salvarse uno solo– sino para el hombre en general o para todos los hombres en particular” (ibid.). Así, e como parece connatural ao que levamos exposto, hai no cometido xeométrico un recoñecible afán por achegar e achegarse sen o cal non cabería falar do compromiso ético e da natureza e alcances antropolóxico, existencial e salvífico a que aludimos. Se atendemos ao epistolario diesteano dos anos de investigación e publicación xeométrica, percíbese unha constante solicitude de interlocución e intercambio non sempre doada de atopar fóra da órbita da amizade (Zaid, Otero Espasandín) ou da familia (Eladio Dieste). Déixase ver unha certa desilusión ante o abandono crítico que nada ten que ver co arrebato autorial vaidoso, senón co afán dialogal no que delimitar, tamén, a xeometría. Cando, no limiar de Nuevo Tratado, Dieste describe, non sen certa ironía e queixa, o esforzo solitario que precedeu a publicación do libro como empresa de robinsonismo xeométrico (NTP, p. 6), parece aventurar en verdade o destino que correrán tanto aquela como as súas incursións xeométricas futuras. Porén, a entrega de Dieste á xeometría en completa soidade intelectual só equiparable á propia do exilio –iluminada soidade, que diría Axeitos (1991: 12)–, ensancha aínda máis a súa fondura ética e intelectual. Este compromiso ético explica a certa incomodidade que a fría recepción dos textos xeométricos ocasiona no autor, explicable se facemos conta, como xa anunciamos, do carácter ético e entregado ao home que ten o conxunto da súa obra e, tamén, a xeométrica: Dieste 54 necesita que se divulguen as súas propostas para seren confrontadas, discutidas, examinadas40. Dada a súa significación para o ser humano, Dieste pretendía traer o problema do V Postulado desde o isolamento do centro académico á primeira liña da discusión, a un terreo compartido e extensivo de saber cómplice. O noso polígrafo busca a leximitidade do lector ou, seguindo a opinión de Zaid (1995b: 63), a “complicidade na cal intercámbian lugares o autor e o lector [e] estabelecen un saber igualitario frente ao saber hierárquico”. Advírteo así García-Sabell no limiar do Testamento: El Testamento Geométrico no es el libro de un sabio destinado a superespecialistas. Es, en última instancia, una reflexión ceñida a los fundamentos. Y los fundamentos de la Matemática, como los fundamentos de cualquier otra Ciencia, son universales, tanto por las realidades que manejan, como por el estilo de pensamiento con que se utilizan [...] Ya se sabe que la gente siente una marcada prevención contra “lo matemático”. Mas si esa prevención se vence, y uno se mete en el libro, pronto notará, con sorpresa, que la actividad intelectiva avanza y se abre paso holgadamente entre postulados, axiomas, corolarios y geométricas demostraciones. La holgura es suficiente para captar lo que allí se dilucida y, a su través, para experimentar el goce de la ampliación y la clarificación del propio horizonte mental. (García-Sabell, TG, pp. 12-13)41 40 Sulíñese a carta que o autor remitiu a Demetrio Díaz a propósito dunha recensión deste publicada na Revista de Filosofía. Dieste responde a algunhas das contraargumentacións técnicas que Díaz opuxo aos desenvolvementos matemáticos de Nuevo Tratado del Paralelismo, non sen antes agradecerlle o artigo, que talvez contribúa á “difusión y discusión del libro” (EP, carta 306, p. 493). Cando a edición de ¿Qué es un axioma?, pregúntalle a Gabriel Zaid desde Rianxo: “¿Salió alguna crítica o reseña que nos convenga conocer?” (EP, carta 468, p. 681). En 1976, Carmen Muñoz ilustra a pouca solicitude crítica recibida polo Testamento Geométrico neste fragmento pertencente ao seu epistolario: No ha habido críticas. Es difícil tema. Por otra parte, es el destino de las ediciones medio privadas. Y apareció en un tiempo en que yo estaba loca de trabajo; de haber sido ahora, acaso hubiese podido intervenir de algún modo en la promoción del libro. (EPCM, carta 147, p. 309). 41 García-Sabell parece ubicar así ao noso polígrafo no ronsel landgrebeano no que comprender é reencontrarse o eu co ti. “Lo sabemos sabiéndonos”, afirmará Dieste en Sobre la libertad contemplativa (p. 62), nunha reacción de rexeitamento do idealismo neutralizador da outredade derivado da aplicación dialéctica de Hegel, nun punto de contacto expreso co pensamento dialóxico bakhtiniano (Sánchez-Mesa 1999: 80) tanto como coa ponte que Ortega tende entre o autocoñemento e a relación co Outro. 55 Deste punto de vista, Dieste manexa unha concepción da xeometría tan ontolóxica como funcional, ao servizo dun discurso de arquitectura horizóntica que pretende, de vez, rastrexar os fundamentos do mundo e da realidade e facelos presentes e compartidos. Para isto traballa Dieste en xeometría, para a obtención dunha “demostración” do V Postulado como, sobre todo, para a exposición das súas consecuencias ontolóxicas e antropolóxicas. Así, home, coñecemento e deber configúranse, á fin, como os termos definitorios do programa xeométrico e aínda da actitude do autor noutros eidos creativos e de actuación. Nestes tres pés equilíbranse a “euritmia espiritual” e a “xenerosidade cordial” coas que Piñeiro (1995: 87) describe a forma intelectual de Dieste, e que poderiamos reexpresar agora baixo o marbete, inspirado nas reflexións de Zaid sobre a obra do rianxeiro, de “probidade creadora” pola súa proxección comprometida e actuante, pero tamén consecuente, leal e inequívoca consigo e coa outredade. 56 57 2. O POSTULADO DE EUCLIDES E O PROGRAMA XEOMÉTRICO DIESTEANO Os Elementos, compendiados en 13 libros, constitúen a primeira presentación sistemática dun sistema hipotético-dedutivo. Abranguen diversos campos da matemática e xeometrías elementais, entre os que figura a xeometría plana (libros I-IV), a xeometría do espazo (libros XI-XIII), a teoría xeralizada da proporción (V-VI), a teoría aritmética (VII-IX) e a inconmensurabilidade (X). Os Elementos fixaron un primeiro estándar metodolóxico ou nivel básico de esixencia tanto no que atinxe á sistematización dedutiva como ao rigor expositivo dunha teoría matemática42. Estes dous aspectos, o metodolóxico ou sistemático e o disciplinario ou expositivo, supoñen unha normalización da exposición demostrativa das proposicións xeométricas e determinaron, en opinión de Vega (1991: 39 e ss.), a institucionalización da xeometría como disciplina demostrativa exemplar. Ambos aspectos influíron nas presentacións científicas posteriores e marcaron o modelo de sistematización rigorosa. Atribúese aos Elementos a introdución do método axiomático como paradigma de organización racional e económica dun corpo de coñecemento, que culmina nunha tendencia cara á abstracción conceptual e á autonomía racional. Esta visión chegou ata o s. XX con 42 Proclo resumiu a opinión dominante do mundo cultural da Grecia clásica acerca dos Elementos, que se mantivo en vigor, con apenas modulacións, ata ben entrado o s. XIX: a obra de Euclides era considerada unha guía incontestable e perfecta da exposición científica (Com. 70, 16-18). 64 Fig. 2 A construción do cuadrilátero ABCD é a seguinte: tómese como base un segmento calquera AB e trácese perpendicularmente a el outros dous segmentos AD e BC de igual lonxitude. Sen o uso do V Postulado, Saccheri probou que os ángulos C e D son iguais sexa cal sexa a dimensión da base AB e dos segmentos iguais AD e BC. En consecuencia, caben unicamente tres posibilidades para o valor dos ángulos C e D: 1) O ángulo en C e en D é, respectivamente, un recto (hipótese do ángulo recto). 2) O ángulo en C e en D é, respectivamente, obtuso (hipótese do ángulo obtuso). 3) O ángulo en C e en D é, respectivamente, agudo (hipótese do ángulo agudo). Equivalentes, á súa vez, a estoutras formulacións relativas á suma dos ángulos dun triángulo calquera: 1’) A suma dos ángulos dun triángulos é igual a dous rectos (hipótese do ángulo recto). 2’) A suma dos ángulos dun triángulo é maior que dous rectos (hipótese do ángulo obtuso). 3’) A suma dos ángulos dun triángulo é menor que dous rectos (hipótese do ángulo agudo). 65 A estratexia de Saccheri foi a seguinte: se lograba probar que as hipóteses do ángulo obtuso (2’) e do ángulo agudo (3’) conducían a contradición con respecto aos primeiros catro postulados, ambas quedarían excluídas como posibilidade lóxica e concluiría, por redución ao absurdo, que a hipótese do ángulo recto é verdadeira e, por tanto, daríase por demostrado o V Postulado. Conseguiuno coa hipótese do ángulo obtuso, ao levar á conclusión de que as rectas son finitas, incompatible coa potencial infinitude que se consideraba implícita no II Postulado. En troques, malia desbotala por considerar que contraviña a propia natureza da liña recta, non obtivo ningunha contradición lóxica da hipótese do ángulo agudo. En efecto, tal contradición non existe e é precisamente a súa búsqueda o que levaría, un século despois de Saccheri, á formulación das xeometrías non euclidianas50. O argumento inconcluso de Saccheri coa hipótese do ángulo agudo sementou o convencemento de que o Postulado das paralelas era efectivamente un verdadeiro postulado. Xa que logo, no caso de selo, a súa negación ou omisión non debería inducir a contradición. Esta foi a idea xerminal da que naceron, no s. XIX –época heroica da xeometría, en palabras de Boyer (1969 trad. 2007: 657)–, as xeometrías non euclidianas. A historia recoñece as figuras de Gauss (1777-1855), Lobatchevski (1793-1856), Bolyai (1802-1860) e Riemann (1826-1866) como algúns dos principais matemáticos que capitularon as bases de formas consistentes de xeometría que prescinden do V Postulado. 50 Unha tentativa semellante á de Saccheri foi a proposta por Lambert (1728-1777). Lambert propón un cuadrilátero con tres ángulos rectos, e formula as tres posibles hipóteses sobre o cuarto, agudo, recto ou obtuso, con idénticos éxitos: mentres que a hipótese do ángulo obtuso implica contradición mediante un procedemento construtivo sinxelo, non ocorre o mesmo coa hipótese do ángulo agudo. Legendre (1752-1833) aprópiase do método de Lambert e céntrase na demostración de que a suma dos ángulos dun triángulo é igual a dous rectos. 66 A exploración e extensión dos horizontes abertos nas hipóteses de Saccheri deu lugar a dous grandes bloques de teorías xeométricas que, con propiedades contrapostas, emerxeron como alternativa lóxica ao sistema desenvolto nos Elementos: a) XEOMETRÍA HIPERBÓLICA (Gauss, Lobatchevski, Bolyai): O Postulado das Paralelas substitúese polo seguinte: Por un punto exterior a unha recta pasa máis dunha paralela a dita recta. Equivalentemente, a suma dos ángulos dun triángulo é menor que dous rectos. Pódense presentar varios modelos teóricos: do semiplano superior, de Poincaré, de Klein-Beltrami, son algúns dos máis destacados. - Modelo do semiplano superior: O dominio de puntos é a parte superior do plano de coordenadas cartesianas XY excluídos os puntos do eixo OX. As rectas son ben semicírculos euclidianos con centro no eixo OX, ben as semirrectas verticais x=x0 (por tanto, abertas e ilimitadas). Paralelismo: As rectas r, p e q son diverxentemente paralelas, mentres que r e s son asintoticamente paralelas (As rectas p e s non son paralelas porque teñen un punto en común). Por un punto exterior a unha recta hai infinitas paralelas a esa recta. Fig. 3 67 - Modelo de Poincaré: O dominio de puntos é un disco aberto D. As rectas son arcos euclidianos que intersecan perpendicularmente á fronteira de D (por tanto, abertas e ilimitadas). Paralelismo: As rectas r e t son diverxentemente paralelas, mentres que r e s son asintoticamente paralelas (As rectas s e t non son paralelas porque teñen un punto en común). Por un punto exterior a unha recta hai infinitas paralelas a esa recta. Fig. 4 - Modelo de Klein-Beltrami: O dominio de puntos é un disco aberto D. As rectas son cordas euclidianas con extremos na fronteira de D (por tanto, abertas e ilimitadas). Paralelismo: As rectas s e t son diverxentemente paralelas, mentres que r e s son asintoticamente paralelas (As rectas r e t non son paralelas porque teñen un punto en común). Por un punto exterior a unha recta hai infinitas paralelas a esa recta. Fig. 5 b) XEOMETRÍA ELÍPTICA (Riemann): Non existen rectas paralelas. O V Postulado de Euclides substitúese polo seguinte: Dúas rectas calesquera sempre se cortan. Equivalentemente, a suma dos ángulos dun triángulo é maior que dous rectos. 68 - Modelo esférico: O dominio de puntos é unha superficie esférica E. As rectas son as circunferencias máximas sobre E (por tanto, pechadas e ilimitadas). Paralelismo: Por un punto exterior a unha recta non pasan rectas que non a corten. Fig. 6 Logo de vinte séculos, a descuberta de novos rexistros de axiomatizacións51 dos que derivar modelos xeométricos consistentes á marxe do V Postulado probou a independencia do mesmo respecto dos catro precedentes, isto é, a súa indemostrabilidade e, por tanto, o seu estatuto postulacional. Este novo escenario supuxo unha profunda revolución na orde do pensamento, non só por favorecer teorías e resultados ata entón descoñecidos senón, sobre todo, pola súa repercusión nas concepcións e representacións do coñecemento. Evidenciouse unha nova problemática en torno ás relacións do espazo coas figuras contidas nel, o movemento de ditas figuras, a definición de movemento como transformación do espazo en si mesmo ou a idea de grupo de movementos. De porparte, a nova técnica matemática fixo prosperar orixinais 51 Sobra dicir que a listaxe de teorías xeométricas non euclidianas é moito máis ampla. As xeometrías non arguesianas exclúen o teorema de Desargues (Se en dous triángulos os lados homólogos se cortan en puntos dunha recta, as rectas que unen vértices homólogos concorren nun punto) mentres que as xeometrías non pascalianas desbotan o teorema de Pappus-Pascal (Nun hexágono inscrito en dúas rectas, cos vértices alternativamente sobre unha e outra, os puntos en que cortan os pares de lados opostos están en liña recta). Nas xeometrías non arquimedianas, que prescinden do axioma de Arquímedes (Dadas dúas magnitudes calesquera, sempre podemos atopar un múltiplo dunha delas que supere á outra), por un punto exterior a unha recta pasan infinitas rectas non secantes mentres que a suma dos ángulos dun triángulo é maior que dous rectos. Se o teorema de Pitágoras, equivalente ao V Postulado de Euclides, deixa de ser válido (Nun triángulo rectángulo, a suma dos cadrados dos catetos é igual ao cadrado a hipotenusa), entramos no campo operativo das xeometrías non pitagóricas con novas relacións e propiedades métricas. Por outra banda, a fins do s. XIX xurdiu unha interpretación máis xeral das xeometrías, a xeometría proxectiva, da que se valeu Klein na súa memoria Ueber die sogenanne nicht-Euklidische Geometrie para probar que a consistencia lóxica das xeometrías non euclidianas era subsidiaria das euclídea, é dicir, que de darse contradición nun modelo non euclidiano, tamén habería contradición no euclídeo. 69 e contrapostas cosmovisións que rachaban definitivamente co primado do monismo racionalista, de raigame galileana, e coa teoría kantiana do coñecemento (Majer 1995: 141-165), ata daquela última grande empresa de interpretación da relación entre a xeometría (euclidiana) e a nosa experiencia da natureza. A diversificación dos estándares de obxectividade, o fundamento das ciencias, a constitución de disciplinas centradas na análise da representación e a nova imaxe do mundo marcou boa parte dos rumbos do pensamento no cambio de século XIX-XX. O ámbito de coexistencia de modelos euclidiano e non euclidianos orixinou un debate fundacional de amplo percorrido cun rigor e alcance sen precedentes que, ao cabo, desestabilizaría o aparato ontoepistemolóxico vixente e aparellaría unha profunda mutación nas ordes racional e cultural do ser humano. 2.1. A “demostración” do V Postulado. Corpos axiomático e teoremático A estratexia dedutiva empregada por Dieste para a “demostración” do V Postulado inspírase, en esencia, no argumento inconcluso de Saccheri. A súa intención pasa por derivar as regras de paralelismo dunha axiomática pre-euclídea do espazo que prescinda da formulación explícita do V Postulado ou de calquera outro enunciado que o presupoña, para obter delas unha contradición coa relación de principios e nocións primitivas que ergue dita axiomática. Dieste trata de comprobar que dita construción axiomática pre-euclídea conduce a contradición, o que evidenciaría a necesidade formal do V Postulado para render consistencia lóxica. Este esquema reprodúcese nos tres tratados, se ben nos dous últimos, ¿Qué es un axioma? e Testamento Geométrico, obsérvase o esforzo de Dieste por precisar e simplificar tanto a colección de axiomas como os teoremas previos necesarios para a 70 “demostración” do enunciado das paralelas52. De feito, Nuevo Tratado necesita dun total de 35 axiomas divididos en cincos grandes grupos relativos á estrutura do espazo, do segmento, da recta, da circunferencia e dos movementos ríxidos, mentres que nas obras seguintes simplifícanse de maneira significativa. Dita exposición axiomática, ademais de ser demasiado extensa, carece da claridade e autoevidencia que a historiografía tradicionalmente apón á construción euclídea. Dos tres volumes sobre xeometría, Nuevo Tratado é o que ten o percurso argumentativo máis extenso e, atrevémonos a dicir, confuso. Así é que Dieste, talvez movido por certa desazón ante a complexidade argumental e expositiva do libro, decidiu de inmediato poñerse á redacción dun segundo volume co obxectivo de acadar unha maior brevidade e sinxeleza demostrativa, o que ao cabo, tras varias reescrituras, daría no título ¿Qué es un axioma?. Como dicimos, o método xeométrico de Dieste vertébrase, desde a edición de Nuevo Tratado, nun mesmo patrón dedutivo. Podemos aproximar os pasos fundamentais dos tres tomos da seguinte maneira: 1) Principio de Libre Mobilidade. Postula a independencia das formas xeométricas respecto da súa posición espacial ou, conversamente, estatúe a posibilidade de movementos sen deformación de figuras xeométricas no espazo, isto é, de movementos que conserven as distancias métricas entre os puntos da figura. Fala, por tanto, de propiedades de continuidade, homoxeneidade e isoxenia espaciais sobre as que recaerá boa parte do peso argumentativo da investigación e concepción xeométrica de Dieste. 52 Podemos entrever esta razón nunha carta de Carmen Muñoz a Gabriel Zaid datada o 12 de setembro de 1959, aos tres anos da edición de Nuevo Tratado: “Rafael [...] está embaladísimo en otro libro, y muy contento de lo que está saliendo. Figúrate que ha logrado replantear y resolver en pocos y sorprendentes pasos (teoremas) lo que más le importaba del Nuevo Tratado del Paralelismo para fines teóricos ulteriores. Es un ensayo muy bonito y sencillo para quienes encuentren difícil el NTP” (EPCM, carta 82, p. 170). 71 En efecto, como precepto primitivo do espazo, a Libre Mobilidade convertirase na peza fundamental das teses xeométricas do rianxeiro. É importante notar que un espazo estruturado sobre a base deste principio non interfire na natureza dos seus obxectos. En troques, a Libre Mobilidade establece algunhas analoxías de relevo (tamén diferenzas, veremos) entre a perspectiva espacial de Dieste e a noción kantiana do espazo, en particular no relativo á súa anterioridade lóxica e ontolóxica respecto dos obxectos contidos nel53. O movemento posible no espazo, lonxe de alterar as propiedades e características dos obxectos, fainos presentes. O espazo é entendido, pois, como unha presentación do dado (ou presentificación, en linguaxe fenomenolóxica), como un facer presente o obxecto de dación: [...] se podría decir [...] que el movimiento de una figura o su movimiento posible, la «individualizan», la ponen –aun cuando sólo sea conceptualmente– en el orden de lo presente, dado o actual. (TG, p. 100) Porén, a súa significación é máis ampla e non só involucra cuestións relativas ao comportamento e textura do espazo senón que encobre tamén unha noción de temporalidade implícita. Segundo Dieste, dito principio sustenta unha lóxica temporal, 53 Vid. Olesti (1991). Segundo amosa este autor, Kant valerase do argumento das contrapartes incongruentes para probar a anterioridade do espazo respecto dos obxectos. O paradoxo das contrapartes incongruentes establece o seguinte: A nosa intuición sensible obriga a recoñecer como incongruentes (isto é, non superponibles nin mutuamente substituíbles) dous obxectos simétricos, idénticos en canto ás súas determinacións conceptuais. Tómese como ilustración o que ocorre coa man dereita e a esquerda pousadas sobre unha superficie lisa, unha mesa: se ben ambas, simétricas, son idénticas en canto á relación coas súas partes, non son congruentes (substituíbles, superponibles) sobre a superficie da mesa; na matemática actual, estes obxectos singulares do espazo reciben o nome de enantiomorfos. Kant reflexiounou sobre este paradoxo e atopou un argumento decisivo en contra da postura leibniziano-wolffiana que define o espazo como un substrato relacional. Olesti divide a postura de Kant atendendo a dúas perspectivas: desde unha perspectiva gnoseolóxica, o espazo é intuición, non un concepto, non é unha mera idea abstracta da relación entre os corpos que se poida definir conceptualmente; desde unha perspectiva ontolóxica negativa, o espazo non é a orde de relación entre corpos, ten unha realidade orixinal e absoluta. O caso de figuras enantiomorfas amosa que existen corpos no espazo con certas propiedades debidas a características propias do espazo no que se atopan, o que confirmaría a súa anterioridade respecto dos obxectos e refutaría a tese relacional leibniziano-wolffiana. 72 sucesiva, dinámica, do movemento á que a xeometría (e, por ende, o espazo) non debe ser allea. En efecto, baséase na noción de mobilidade que, tal e como a enuncia o autor, sobreentende un móbil que “coincide sucesivamente” (QEA, p. 108)54 con tres puntos do espazo, é dicir, “no desaparece de un lugar para reaparecer –sin transición– en otro” (TG, p. 119), onde visiblemente conectan nocións primitivas de temporalidade e continuidade. Este é un momento significado do desenvolvemento diesteano, crucial á hora de comprender o dispositivo lóxico e ontolóxico dos seus traballos. Aquí reside a base da súa concepción do espazo e a súa indisociable trabazón temporal a través da presenza ontolóxica incardinante do movemento. Como analizaremos máis adiante, esta concepción espacializada do tempo emerxerá implicitamente como antagónica da noción bergsoniana de durée: Movimiento es, en suma, la palabra que designa en geometría una variación interpuntual continua, conforme con las propiedades de los entes geométricos y, asimismo, con la lógica espacio-temporal de la continuidad. (TG, p. 95) O uso que Dieste fai da Libre Mobilidade soporta, ademais, outro dos extremos de relevo do seu programa demostrativo, no referido á súa concepción do que é postular. Para o autor, un conxunto de axiomas é algo máis que un mero rexistro formal e operativo de enunciados lóxicos. A formulación de axiomas é, na súa maneira de entender o quefacer matemático, a parte esencial que debe guiar os rumbos do método, máis aló de concepcións formalistas ou convencionalistas que poidan asimilar a construción axiomática a unha secuencia arbitraria de enunciados unicamente concertados pola súa rendibilidade dedutiva. De querermos contrapoñer ao Dieste 54 Cursiva propia. 73 xeómetra coas principais liñas da filosofía da matemática do s. XX55, a súa concepción do axioma parece cinguirse ben á tradición do realismo ontolóxico e epistemolóxico que ten a Kurt Gödel como un dos máximos expoñentes56. Cando Dieste fala do axioma está a pensar na preeminencia ontolóxica do contido referido nel. O axioma é, para o rianxeiro, un enunciado que predica propiedades sobre o ser da realidade, algo cuxa verdade é ou está de modo implítico e primitivo, á marxe, pois, de toda “opción 55 Vid. Shapiro (2000). 56 Para Gödel as matemáticas son unha ciencia descritiva. Conforme a iso, os teoremas matemáticos describen un dominio de obxectos abstractos. Establece unha comparanza entre os axiomas da lóxica e das matemáticas coas leis da natureza, e as implicacións lóxicas coa percepción dos sentidos. Os axiomas non teñen que ser evidentes en si mesmos, pero xustifícanse no feito de que permiten sucesivas implicacións lóxicas, como se foran sucesivas percepcións dos sentidos no ámbito das ciencias naturais. Esta analoxía entre obxectos matemáticos e obxectos físicos amplíase ata chegar a soster que as clases de obxectos (en estrita terminoloxía conxuntista) deben ser vistas como pluralidade de cousas e conceptos que existen independentemente das nosas definicións e construcións. Ten que ver con isto un dos estudos de caso máis distinguidos nos seus textos filósoficos: aquel que se interesa pola Hipótese do Continuo (Gödel 1947). Cantor probou que non é posible establecer unha correspondencia unívoca entre o conxunto dos números naturais e os reais, o que significa que son conxuntos de distinta cardinalidade. Cabe preguntarse entón se entre eses dous conxuntos existirá algún outro que teña infinitos elementos pero non estea en correspondencia unívoca con ningún deles. Sen poder nin querer ser riguroso, digamos que suporía dar con conxuntos de cardinalidade intermedia. O propio Cantor conxecturou que non existen tales conxuntos: ou ben están en correspondencia unívoca cos números naturais ou estano cos números reais. David Hilbert, no Congreso Matemático Internacional de París en 1900, incluía a Hipótese como un dos vinte e tres desafíos que a matemática do s. XX debía resolver. Gödel por unha banda e Cohen por outra probaron a consistencia da Hipótese do Continuo e a súa negación cos axiomas de ZermeloFraenkel. Podemos así asegurar a independencia da Hipótese do Continuo cos axiomas de ZermeloFraenkel que artellan a teoría de conxuntos. Dacordo con Gödel, unha proposición matemática debería poder demostrarse ou refutarse se os axiomas describiran adecuadamente unha determinada realidade. Dada a independencia da Hipótese do Continuo con Zermelo-Fraenkel, estes axiomas non describen completamente realidade ningunha xa que deberían permitir demostración ou contraexemplo. En coherencia, novos axiomas deben ser propostos que nos permitan unha teoría máis exitosa de cara a obter os valores de verdade. Gödel opinaba no contexto da teoría de conxuntos e dos fundamentos da matemática. Malia que os obxectos da teoría de conxuntos non pertencen ao mundo físico, posuímos unha capacidade de percepción por riba da percepción dos sentidos. Obviamente os sentidos teñen pouco que facer dado o feble elo entre obxectos da teoría de conxuntos e obxectos do mundo físico. Poderiamos percibir os obxectos en virtude dos axiomas que os obrigan a ser verdadeiros. De feito, Gödel di abertamente que non entende por que imos acreditar menos nesta nosa percepción –é a intuición matemática da que falabamos arribaque no que se nos fai evidente polos sentidos. É, conceptualmente, realismo ontolóxico. A intuición matemática é a responsable da invención comprensiva de axiomas dunha teoría así como das súas extensións. É un “feito puro”, di, a existencia desa capacidade. Que a intuición matemática lexitima os criterio de verdade, xa está dito; que, polo Primeiro Teorema de Completitude, novos axiomas (novas apostas da intuición matemática) deben ser aportados, tamén está dito; que, entón, a matemática debe ser constantemente reedificada, faltaba por dicir. Se Gödel confía na intuición matemática responsable dos axiomas, en coherencia debe facelo tamén no método axiomático e propoñelo como programa para afrontar a indecibilidade. 80 xeometría hiperbólica (lobatchevskiana) e apunta, por eliminación, cara á xeometría euclídea como único marco coherente “con la lógica de la movilidad” (TG, p. 142). A incompatibilidade entre a existencia de rectas asintóticas e a posibilidade do movemento de traslación paralela de rectas (4.b) é un momento decisivo do procedemento. A existencia deste tipo de movemento é para Dieste un feito de carácter pre-euclídeo, é dicir, anterior á formulación do V Postulado de Euclides e sen a necesidade da súa concorrencia, o que o fai válido tanto para a xeometría euclídea como para a lobatchevskiana (TG, p. 134). Dúas son as disxuntivas lóxicas que se ofrecen entón: ou ben aceptar a existencia de rectas asintóticas e, consecuentemente, desbotar deste escenario a posibilidade da traslación paralela, o que abertamente contraviría o principio de Libre Mobilidade; ou ben á inversa, negar as rectas asintóticas e, con elas, a xeometría hiperbólica. Visto que a existencia da traslación paralela, “establecida de manera inequívoca” (TG, p. 142), é para Dieste un feito claro e incuestionable suscrito ao principio de Libre Mobilidade, non queda outra opción, desde o punto de vista lóxico e ontolóxico, que negar a alternativa da existencia de rectas asintóticas, é dicir, excluír a hipótese do ángulo de paralelismo agudo en favor da outra alternativa vixente no teorema 4.a, a do ángulo recto de paralelismo, isto é, o V Postulado de Euclides. Con isto botaría abaixo a posibilidade da xeometría lobatchevskiana e “demostraría” a prevalencia lóxica da euclídea. Evidentemente, esta “demostración”, da que Dieste chegou a dar varias versións a cada cal cunha ambición de maior concisión e claridade, é incorrecta. Sueiras, Díaz e Buceta (1995), por unha banda, e Alcalde (2005), pola outra, teñen analizado os erros de consistencia lóxica que presenta. Como xa explicamos, no caso de aceptarmos o paralelismo asintótico estariamos forzados a excluír a posibilidade do movemento de traslación paralela ou, como Dieste expresa, “«transformarlo» en inmovilidad con efecto 81 final de movimiento” (TG, p. 142). A análise de Sueiras, Díaz e Buceta céntrase en amosar que o erro do percurso dedutivo exposto reside precisamente nesta conclusión sobre a suposta “fixación” ou “paralización” de rectas provocada polo paralelismo asintótico. As autoras matizan e confrontan a definición de traslación nos marcos euclídeo e lobatchevskiano, para argumentar despois como esta segunda noción, a traslación lobatchevskiana, non contravén as leis da mobilidade, se ben cunha explicación non suficientemente clara ao noso entender. O seu exame céntrase na terceira “demostración” do V Postulado de Euclides que Dieste dá no Testamento Geométrico (pp. 143-145). Dita tentativa parte dunha recta dada x, un hiperciclo h a x (en xeometría lobatchevskiana, curva equidistante a unha recta dada) e un oriciclo or (en xeometría lobatchevskiana, circunferencia de centro impropio y que toma por radios rectas asintóticas) coa recta x como un dos seus radios asintóticos (fig. 8): Fig. 8 A construción detense en particular en tres radios asintóticos do oriciclo or, os denotados con a, c e c’. A recta asintótica a é a que pasa polo punto de intersección A do oriciclo co hiperciclo h. As rectas c e c’, paralelas a a e a x, son tales que os seus puntos de intersección co hiperciclo, C e C’ respectivamente, forman arcos con A (AC e AC’) iguais. É doado ver que, así as cousas, os pares de rectas ac e ac’ son congruentes, 82 é dicir, iguais por superposición. Deste xeito, ao que varíen as posicións C e C’, teriamos dúas rexións varridas ou xeradas por pares de rectas asintóticas do tipo ac e ac’. Dieste argumenta que ditas rexións, que podemos denotar como R(ac) e R(ac’), “por ser congruentes todos los pares de rectas asintóticas, son congruentes entre sí” (TG, pp. 143-144). Xa que logo, as rectas c e c’ son xeratrices de infinitas rexións iguais entre si, delimitadas pola recta límite a e cunha diferenza esencial destacada polo autor: que “la Serie ac se halla enteramente en la región del plano de límites a y x; la Serie ac’ cubre enteramente un semiplano” (op. cit.: 144). Isto basea a suposta contradición que Dieste atopa, na vez que teriamos como congruentes o semiplano R(ac’), só limitado inferiormente pola recta a, e a banda do plano R(ac) comprendida entre as rectas a e x. Para Sueiras, Díaz e Buceta (1995: 72-73), isto sería “un bo razonamento se non fose que a série infinita de zonas ac’ non cobre o semiplano nunca”. Segundo se pode entender do artigo destas autoras –escrito, ao noso parecer, de maneira pouco rigorosa e mesmo empregando algunha notación non definida previamente–, Dieste erra ao equiparar a rexión R(ac’) co semiplano pois “para que o semiplano estivese cuberto faltarían as rectas paralelas a x no sentido contrario” (op. cit.: 73); noutras palabras, se no diagrama da figura 8 acordamos en convir na construción o paralelismo asintótico a x pola rama da dereita, cumpriría tamén o feixe de rectas asintoticamente paralelas a x construídas nas mesmas condicións pola rama da esquerda. Non obstante, sorprende que estas autoras non fagan referencia a unha breve observación do rianxeiro a propósito da rexión R(ac), que ao seu parecer amosa outra contradición entre a construción do paralelismo asintótico e a premisa da mobilidade que xa enunciamos. Para o autor, as infinitas rexións R(ac) xeradas conforme o punto C se alonxa de A abrangue a propia rexión R(ax), de modo que “la generación o «barrido» [...] de todas las regiones componentes de la región ax (o sea las de la Serie ac) equivale 83 al barrido del territorio íntegro, ax, infinitas veces” (TG, p. 145). Esta sorte de recursividade infinita da rexión R(ax) contravén un principio que Dieste enuncia como esencial e válido para todo tipo de construcións, sexan matemáticas ou non: “Pero un proceso, P, no puede componerse de infinitos procesos iguales al proceso P” (TG, p. 145). O feito de que a rexión R(ax), varrida por un feixe de rectas asintóticas ou, noutras palabras, xerada pola traslación paralela de rectas asintóticas, se convoque a si mesma infinitas veces delata a existencia dunha contradición entre a hipótese do paralelismo asintótico e a traslación paralela que forzaría a un escenario no que este movemento de rectas quedaría sen efecto, isto é, no que as rectas permanecerían fixas aos efectos da traslación paralela. Con arreglo á lóxica, é máis que cuestionable a introdución ad hoc desta especie de principio entrópico que parece regresar aos límites da metafísica aristotélica onde se predica que o todo é maior que calquera das súas partes propias, unha idea, en cambio, moi superada en matemática tras a irrupción da concepción múltiple da infinitude teorizada por Cantor a finais do s. XIX59. Do mesmo xeito, estas autoras tampouco prestan atención ao que, ao noso ver, é un dos feitos decisivos que explica o falso éxito da “demostración” diesteana do V Postulado: a aceptación por parte do rianxeiro de que os movementos ríxidos no plano (traslación, rotación e simetría) son conceptos pre-euclídeos, é dicir, á marxe do V Postulado de Euclides. Neste sentido camiña a análise de Alcalde (2005). De maior precisión, brevidade e xeralidade que o de Sueiras, Díaz e Buceta, o seu rastrexo do erro cometido por Dieste na “demostración” do V Postulado cínguese á exposición argumental do Testamento Geométrico, cunha atención especial ao uso que aquí se fai dos grupos de transformacións. Alcalde trata de averiguar a orixe da trabazón temporal 59 A idea cantoriana da infinitude emerxe nos seus traballos en teoría de conxuntos, organizando a posibilidade dunha variedade de “infinitos”. A través dunha correspondencia unívoca, Cantor amosou que hai “tantos” números naturais como números pares ou, á inversa, “tantos” pares como números naturais; deste xeito, o conxunto dos números pares como parte propia é equivalente ao todo dos números naturais. 84 que a noción de movemento ten para Dieste en relación coas referencias bibliográficas que manexou, algunhas das cales este intérprete estima como pouco “recomendábeis para entender as xeometrías non euclidianas” (p. 7). Un dos tomos citados por Dieste no Testamento é a tradución inglesa de Anschauliche Geometrie (1932) coescrito por Hilbert e Cohn-Vossen, cuxa definición cinemática de movemento “non fai senón confundir”, en palabras de Alcalde, “sobre a verdadeira natureza do movemento en xeometría” (p. 7). Por outra banda, a asunción de que o grupo das traslacións, rotacións e simetrías no plano é de carácter pre-euclídeo, “suficiente para formalizar la superposición de figuras [...] al margen de la previa adopción o exclusión del V Postulado” (TG, p. 109), débese, como achou Alcalde, a unha “frase desafortunada” (p. 7) tirada do tomo Les géométries de L. Godeaux que establece que a xeometría euclídea é o grupo principal do grupo das semellanzas do espazo. É aquí onde reside a pexa fundamental da “demostración” diesteana do V Postulado xa que o grupo de movementos ríxidos é distintivo da xeometría euclídea e, por tanto, subsidiario do V Postulado. 85 3. AMBICIÓNS DA XEOMETRÍA NOVOEUCLIDIANA. DOS PERFÍS ESTILÍSTICO, HERMENÉUTICO E ONTOLÓXICO A lectura do percurso xeométrico de Dieste debe persuadir do feito de que o autor non practica unha matemática ao uso, ben polo fallido propósito demostrativo que se marca, ben polas bases estilísticas e discursivas nas que os textos veñen tramados. Por máis que a “demostración” do V Postulado sexa o obxectivo declarado, o pretexto, a súa non é unha matemática exclusivamente centrada nos desenvolvementos algorítmicos, senón aberta a unha multiplicidade de temas e reflexións que estenden a propia concepción xeométrica aos terreos da fenomenoloxía e a hermenéutica, feito que de modo natural modula as peculiares claves discursivas dos textos. É importante notar, pois, que os traballos diesteanos sobre xeometría non se limitan á angueira demostrativa. En troques, trascéndena para abrir ante o lector un abano de reflexións paralelo de carácter crítico, fundacionalista e antropolóxico. Ao noso parecer, máis importante que o percurso dedutivo é o rexistro de temas e reflexións que engrosan as estremas do discurso xeométrico, xurdidos todos eles baixo unha cabeceira unitaria, cal é a aproximación ás formas e fundamentos da realidade. Os tres tomos, a correspondencia específica sobre tema xeométrico e os inéditos reunidos na cabeceira Teoría del espacio / Anotaciones cosmológicas pretenden erguer un edificio 86 de reflexión que trascende o eido meramente dedutivo. A tentativa de “demostración” do V Postulado adianta un catálogo de elementos de pensamento que serven para dar unha primeira aproximación da concepción xeométrica diesteana nos aspectos do postular, do axioma, do obxecto matemático ou do movemento como radical ontolóxico de espazo e tempo. Xunto a estas primeiras achegas, emerxe de porparte un proxecto de ambición fundacional e hermenéutica que dirixirá o debate cara a unha crítica racional, cultural e antropolóxica. Tras a publicación de Nuevo Tratado del Paralelismo en 1956, Dieste iniciou decontado a escrita dunha primeira versión do que logo sería ¿Qué es un axioma?, apremado por un afán de claridade expositiva e simplificación do aparato teoremático que prepara a “demostración” do Postulado de Euclides. Polo contido dunha misiva remitida pola súa dona Carmen Muñoz a Gabriel Zaid o 2 de xuño de 1960 (EPCM carta 88, p. 180), sabemos que Dieste titulara ese primeiro borrador Tres ensayos de Geometría Novoeuclidiana60. Desde o noso punto de vista, o adxectivo “novoeuclidiano” encobre o verdadeiro sentido do seu programa demostrativo por canto nel se proxecta a recuperación dun referente monolóxico para a obxectividade e a representación que contrarreste a subordinación dos criterios da ciencia e da verdade a unha multiplicidade de modelos teóricos e “estándares do correcto” xurdidos tras o advento das xeometrías non euclidianas. Así se declara unha das principais vontades, se non a principal, da angueira xeométrica de Dieste, cal é a de trascender o ámbito dedutivo na dirección dunha pesquisa de signo ontognoseolóxico, antropolóxico e cultural subtendida na base do edificio demostrativo. É sobre estes preceptos amplos sobre os que se explicará, en boa parte, o recurso discursivo a unha linguaxe non 60 Dito tomo incluía os ensaios “Tratado Mínimo de las paralelas”, “Un teorema y dos experimentos geométricos” e “La hipótesis de la recta finita”. 87 específica, non espidamente técnica, presente ao longo do groso das páxinas do seu persoal achegamento ao problema das paralelas. O resultado do desenvolvemento das xeometrías non euclidianas provocou, ao ver do autor, un proceso de degradación das nocións de verdade e realidade que lle resulta inadmisible. De inicio, o programa xeométrico diesteano ten como o obxectivo visible a obtención dunha “demostración” lóxica do V Postulado que permita conciliación teórica coa representación intuitiva da realidade pero tamén, nunha reacción de cariz hermenéutico, substraer os conceptos de verdade e de realidade do certo teoricismo reificador61 que os impregna tras a instauración das xeometrías non euclidianas como modelos aceptados de verdade e representación. Hai, pois, unha vontade de carácter fundacionalista que agroma como primeiro designio do programa xeométrico. Unha das mostras máis explícitas deste sentido fundacional do programa xeométrico diesteano é a análise da crise da noción de axioma, da que alerta no limiar de ¿Qué es un axioma? (p. 5). Dieste considera que o marco de coexistencia das xeometrías non euclidianas conlevou un descenso das nocións de verdade e realidade desde o estamento de absolutez no que figuraban ubicadas desde a Modernidade, ata quedaren circunscritas en termos de validez ao dominio do discurso manexado en cada caso. Isto constitúe, ao seu parecer, unha problemática central pendente de análise que, 61 Nun artigo para El Pueblo Gallego (“Para X. Y.”, 22-05-1927), Dieste declara unha precoz vontade hermenéutica que o emparenta prematuramente co pensamento bakhtiniano e que anuncia algúns dos centros de reflexión que ocuparán a atención do autor maduro varios anos máis tarde: Comparanzas tomadas da mecánica e levadas con abuso a outros ordes de coñecimento, fixeron esbardar moi valiosas evidenzas e pecharon o paso a moitas evidenzas novas [...] O pensamento mecanoide tópase mergullado onde menos se agarde, comprindo a súa funceón de falsa poda [...] lévase á sicoloxía e dá de si a conceición dos actos como «resultantes». Lévase á cencia das comunidades e resta delas a estirpe [...] Da hestoria réstase a irmandá de cada tempo cos que se foron e cos que virán e soio queda a marcha da hestoria. Débese resaltar a coincidencia argumental do mozo Dieste neste artigo co que María Zambrano escribiría xusto un ano máis tarde en Aire Libre, na común denuncia do “saber de dominación que ha hecho posible el maquinismo de hoy” (Zambrano) fronte ao humanismo contemplativo, no que encaixan mellor as coordenadas intelectuais de ambos. 88 en efecto, “tiene su origen en los varios intentos de fundamentar el postulado euclídeo de las paralelas y, ulteriormente, en el supuesto –más difundido que explicado con rigor inequívoco– de que las consecuencias de admitir dicho postulado no son ni más ni menos «válidas» que las que, a título de geometrías no euclidianas, resultan de excluirlo” (ibid.). A súa indagación xorde, pois, como unha denuncia ante unha crise de fundamentos orixinada no eido xeométrico pero que se fai extensiva a todos os ámbitos do home. A coexistencia de teorías xeométricas contrapostas abre ante o autor unha amplitude de interrogantes que van do ontolóxico ao epistemolóxico, do metodolóxico ao sistemático. Xa que logo, a primeira cuestión que debemos resaltar á hora de abordar unha lectura dos traballos xeométricos de Dieste é o feito de que estes achegan unha ambición maior que a estritamente dedutiva ou puramente xeométrica, como insistimos. Non se trata, entón, dunha indagación de natureza técnica que pretenda refutar a lóxica interna dos modelos hiperbólicos e elípticos. Dieste non pon en cuestión a súa validez lóxica; ao contrario, no texto inédito “Lo deficiente no contradictorio” (Teoría del espacio, cartafol 56, AD), destaca da xeometría lobatchevskiana o feito de nacer “de una investigación axiomática, de una encendida, «ingenua» busca de fundamentos [...] Desde el principio es, pues, Geometría que mira a sus adentros, aunque después, por algún embrujo, salga diciendo que es «una de tantas»”. Do mesmo xeito, en “Sobre [la] investigación axiomática” (Teoría del espacio, cartafol 56, AD) é aínda máis rotundo ao afirmar que “las llamadas geometrías no euclidianas son lo que son desde su origen: pura investigación axiomática, cuya hondura, claro, depende de la hondura del geómetra [...] Son algo más portentoso de lo que se obstinan en ser o parecer”. Ora ben, non obxecta Dieste contra o aparato lóxico das xeometrías non euclidianas sempre que “nos mantengamos, diplomáticamente, al margen de la llamada representación intuitiva del 89 plano” (NTP, p. 30). En efecto, na declaración de principios coa que empeza Nuevo Tratado (p. 9) comprobamos que a súa pesquisa vai destinada á busca dalgunha contradición derivada da exclusión ou negación do V Postulado non no “campo analítico”, senón noutra “orden de relaciones mucho más primitivas” que atinxe á sucesión, á lóxica temporal, aos axiomas de ordenación e, manifestamente, á noción xeométrica de movemento, involucradas todas elas na nosa representación intuitiva do mundo. De porparte, e como xa expuxemos, a “demostración” diesteana do V Postulado anticipa varios elementos sobre a concepción que no autor ten o feito do postular, isto é, o que para Dieste é (e debe ser) o método axiomático, que vai máis aló dunha simple relación de enunciados baleiros de contido (caso propio de posturas anexas a correntes formalistas, convencionalistas e lóxico-positivistas) en favor dun postular ontolóxico que anuncia e informa aspectos do ser da realidade. Como dixemos, esta ambición ampla que anima os textos xeométricos de Dieste déixase ver xa no estilo propio do discurso, que alterna a linguaxe formal das partes teoremáticas con outra de tipo ensaístico e especulativo coa que atinxir o debate de fundamentos subxacente ao asunto do V Postulado. Dita amplitude reflexiva non debe sorprender vista a natureza singular do seu pensamento. É moi da forma do autor, en especial da súa ensaística, un reflexionar proteico aberto a múltiples fugas argumentais coas que propoñer novos escenarios. Á maneira dun Galois romántico, o seu discurso parece máis próximo aos afectos da filosofía que aos da propia matemática. Fronte ás seccións dedutivas e teoremáticas presentes nos tres volumes, hai sempre unha marxe (epilogal en Nuevo Tratado, central en ¿Qué es un axioma? e Testamento Geométrico) de carácter especulativo, divagatorio, ensaístico, que ensancha o discurso xeométrico cara a novos espazos de meditación que agroman na adxacencia do problema do V Postulado: nomeadamente, as cuestións de mundo, entendemento, verdade e realidade. 96 Grundlagen de Hilbert, onde se confronta e proba a independencia e compatibilidade de cada axioma cos demais: un sistema de axiomas independentes non pode levar a contradición nin, de porparte, ningún dos seus axiomas pode implicar nin vir implicado por ningún dos outros. A razón mínima do V Postulado pódese ver ensalzada, ao igual que noutras pasaxes da produción novoeuclidiana, neste lance do Testamento Geométrico: Euclides procede, pues, con elegante economía, deslindando cuestiones y situando cada una en su lugar, o sea con perfecto decoro geométrico; y ello bastantes siglos antes de que se hablase de “axiomas independientes” y todo lo demás. Ciertamente, ese concepto de la “independencia” puede extralimitarse, de un modo anfibológico, acabando por eclipsar el de “integridad”. (TG, p. 37) Esta pasaxe é importante para comprender que Dieste non concibe a postulación de axiomas como un feito arbitrario modulado exclusivamente por criterios formalistas segundo a súa riqueza e posibilidades dedutivas. Ao contrario, o establecemento dun sistema axiomático ou, na súa propia expresión, a “puesta por delante” (TG, p. 27) dun paquete de premisas, esixe ante todo un nivel total de integridade ou correspondencia con respecto ao contido do mundo. Para Dieste, unha cousa é a “forma-axioma” entendida como regra de natureza “relacional y comunicativa (posible convenio entre usted y yo, o entre yo y yo mismo)” (QEA, p. 76), isto é, como mero elemento sintáctico ou gramatical carente de sentido fóra do propio dominio, e outra ben distinta o axioma como testemuño revelado dun estado de cousas. O axioma é algo máis que unha simple vocación de dedutividade que poida vir dada en concepcións formalistas. En efecto, no limiar de ¿Qué un axioma? Dieste establece unha remisión do axioma a unha luz e a unha orde ontognoseolóxica previa “que [...] hacen, desde el principio, presentir su posible función demostrativa” (p. 97 5). O axioma é, para o rianxeiro, un contrato co real e cos nexos que este establece co verdadeiro “a través de señales inequívocas, dignas de confianza” (QEA, p. 80), isto é, coa “verdad presencial” (ibid.). Neste punto, o encontro de Dieste e Zubiri é explícito68: o axioma como aquilo postulado é algo máis que un enunciado lóxico na medida en que informa contidos de realidade. Por esta razón, a súa postulación debe vir suxeita a contención á vez que operada con arreglo sistemático, tan depurada como concisa e suficiente para evitar un pacto con seccións de natureza ficcional, convencional ou formal. O axioma é un pacto coa realidade e co mundo, un testemuño da nosa relación de pertenza ao mundo. Xa pois, a súa postulación debe ser necesariamente contida e coidada toda vez que anticipa e declara tomos de realidade. Este precepto basea a concepción diesteana da xeometría como enerxía indagatoria sobre o ser da realidade, nun sentido moi próximo á propia concepción e facer poéticos. En todo isto pensaba Zaid so pretexto da linguaxe nunha recensión de 1968 á publicación de ¿Qué es un axioma? que ficou inédita ata 1991: El libro de Dieste admite dos tipos de lectura. Quien se interese en la parte geométrica encontrará en “Movilidad y semejanza” la esencia de lo que aportó el Nuevo Tratado del Paralelismo en una secuencia brevísima y elegante. Quien se interese en ¿Qué es un axioma? encontrará un penetrante examen de la noción de validez y una imaginativa mostración de lo que significa “postular”. En un intento de “traducción” literaria, Gödel y Dieste vendrían a decir que ningún diccionario agota el lenguaje (Gödel) y que cualquier palabra alude a todo el lenguaje (Dieste). Los diccionarios no son la última instancia del lenguaje. Al revés: los diccionarios tienen sentido en el horizonte del lenguaje, que es su última instancia. Pero esta “traducción”, tan fácil de aceptar en términos literarios, no da idea de la profunda novedad y rigor de Dieste en el lugar de origen del problema. (Zaid 1968 1991: 182) 68 Vid. Zubiri (1996). 98 O de seu vaticinador do xeómetra, anunciado no lance transcrito máis arriba das páxinas epilogais de ¿Qué es un axioma? (pp. 103-104), vén a falar dunha apertura da nosa cerna particular e individual á cerna universal e latente do mundo, en pagos que en algo lembran o mirar de Merleau-Ponty (1960). “La geometría es adivinación”, dise en ¿Qué es un axioma? (p. 102). De feito, o Dieste “suscitador de la realidad oculta” como o describiu García-Sabell (1991: 66) concibe o axioma como unha primeira peza dun acceso anticipativo e trascendente a seccións de realidade; dito doutro xeito, o axioma, como elemento de comparecencia da realidade, non fai outra cousa que afirmar o carácter antecedente, previo, desta con respecto ao suxeito de experiencia. Tal e como entendemos, o axioma é visto polo rianxeiro como un exercicio de ruptura coa idea do “mundo de fenómenos pechado para a presencia fronteiriza do noumeno” (Rodríguez Álvarez 1995: 67) en favor da trascendencia da “elocuencia visible” do mundo (LLSI en TN, p. 152) e a declaración ou posta en comparecencia da realidade. É neste sentido no que Dieste esixe que a postulación de axiomas deveña con arreglo á integridade e competencia, é dicir, sen contravir o ser da realidade como primeira esixencia. A postulación do axioma non pode ser, pois, arbitraria nin con axuste a criterios de optimización dedutiva. Pola contra, remite a unha sorte de apertura intencional estética da realidade xa aludida por Casas (1994) e Gurméndez (1995b: 15-25) para o resto da ensaística do rianxeiro. Serven para este sentido do axioma unhas palabras do propio Dieste en “Sobre la reflexión” (TN, p. 143), onde se insta a unha apertura da “realidad estética trascendente del mundo en que nacemos o, si se quiere, en que despertamos” (SR en TN, p. 143). O axioma aparece así como signo revelado do real que se nos dá na nosa habitude ou radicación no mundo como suxeitos participantes nos ámbitos da realidade e da verdade, aquí como xeómetras, noutros pagos como poetas. 99 4. A XEOMETRÍA COMO DESCRICIÓN FENOMENOLÓXICA DA RAZÓN E DA REALIDADE Nos capítulos precedentes temos rexistrado algúns dos motivos polos que a concepción e usos da xeometría en Dieste trascende os obxectivos de coherencia e sistematización propios dunha axiomática formalmente constituída. Algo levamos exposto sobre a radicación ética, hermenéutica e ontolóxica que a disciplina asume no autor, que fai traspasar o ámbito da estrita dedutividade. Neste capítulo adentrarémonos na afección fenomenolóxica subxacente aos tratados novoeuclidianos e á propia concepción da xeometría subtendida nesta, tan aberta á dedutividade como á indagación da súa orixe e finalidade para o ser humano na descrición de contidos do real. A urda fenomenolóxica en Dieste ten sido estudada con anterioridade a este traballo nas análises de García-Sabell, Casas ou Marín Escudero sobre o pano de fondo da súa ensaística e das súas concepcións estética e hermenéutica, se ben pouco se ten avaliado ata o de agora sobre a posible correspondencia que fenomenoloxía e xeometría tecen nas pezas novoeuclidianas. Casas (1997: 138 e ss.) desintricou polo miúdo as marcas dun pensamento que, ao igual que o de Ortega, garda maior vinculación coa fenomenoloxía do que o propio autor puido crer no seu día69. Dúas son, para este 69 Lémbrese a visita de Ortega ao “admirable Husserl” en Friburgo en novembro de 1934, que o propio filósofo moravo describiu con palabras entusiastas: “Esta semana hemos recibido la muy interesante visita filosófica de Ortega y Gasset, quien nos ha dejado vivamente impresionados. Durante todos los días ha mantenido largas y profundas conversaciones conmigo y con Fink. De 100 intérprete, as características principais que definen a actitude filosófica de Dieste: unha “tenaz negativa” ao sometemento dogmático-institucional do seu espírito integrador, e unha inspiración fenomenolóxica ao servizo dunha crítica cultural nunha posición indisociable con outras zonas da súa ensaística na determinación dos “contornos de la duda” que monitorizaban a cultura, o pensamento ou a arte (EPG, 14 de xuño de 1927)70. Estas dúas trazas toman sentido pleno no traballo xeométrico do autor. Así é: a persistente angueira de “demostración” do V Postulado sostida por Dieste ao longo de trinta anos non pode ser entendida desde outra perspectiva que a dun exercicio intelectual conscientemente disidente, pero xenuíno e comprometido á vez. Por outra banda, a investigación xeométrica ten unha visible vontade de crítica cultural. O seu argumento principal, a demostrabilidade do V Postulado, non pode ser disociado do correlato problemático xerado tras a formalización das xeometrías non euclidianas e a súa configuración dun ámbito múltiple de verdade e representación. En efecto, a historia do V Postulado leva aparellada unha problemática de carácter racional, antropolóxica e cultural que, no cambio de século XIX-XX71, culmina na crise do fundamentismo hecho, no es sólo [...] el educador de la nueva España, sino también jefe de una escuela fenomenológica” (Briefe an Ingarden, Phaenomenologica, Band 25, M. Nijhoff, A Haia, 1968, p. 90, carta do 26-11-1934). Para Ortega tratouse dunha visita menos proveitosa do agardado por mor da idade e enfermidades do pensador moravo; vid. La Idea del principio en Leibniz, en Obras completas, VIII, p. 273, n. 2. Como expón Lerín Riera (1992a: 144), a célebre frase de Ortega na que declara ter abandonado a fenomenoloxía no mesmo momento de recibila, vén a reflexar a tensa e necesaria relación que o pensamento filosófico español mantivo coa fenomenoloxía. Se ben o panorama español marcado en Ortega e na primeira Escola de Madrid recibiu a obra husserliana como un dobre momento fundante e culminante do racionalismo, tamén o fixo como un pago necesario na superación do idealismo esixida no programa raciovitalista. Na análise de Pintos Peñaranda (1992: 135), Ortega desvaloriza a radicalidade de pensamento fenomenolóxico por canto non toma en consideración o estamento prerreflexivo como “posición constitutiva” da filosofía a vida, que conduciu ao home a ese coñecemento filosófico. Vid. Montero (1992: 147 e ss.). 70 “A un joven pintor. Y a todos los aprendices del mirar”, El Pueblo Gallego. A este artigo seguiron outros tres os días 15, 18 (pertencentes a unha mesma serie) e 19 de mes, e constitúen, en opinión de Mª Antonia Pérez (1995a: 11), o manifesto estético do movemento renovador da plástica galega. 71 É un momento de intensas contribucións á filosofía da matemática, que se poden reunir en dúas olladas complementarias: a) Cara ao obxecto da matemática. Destacan as seguintes correntes: 101 científico, un proceso no que as novas teorías científicas, moitas delas amparadas no marco teórico das xeometrías non euclidianas, convulsionaron o estándar vixente e mudaron os paradigmas establecidos, non sen afectar unha progresiva deshumanización da ciencia e a conseguinte perda de autonomía e identidade no individuo. Para abordarmos as presenzas que a xeometría diesteana recibe da fenomenoloxía, cómpre suliñar de antemán, pois, o dobre carácter de crítica cultural e racional delineado nas páxinas dos tres tratados. O traballo de Dieste no asunto das paralelas asume, entre os principais, o propósito de revalidación dun proxecto consonante, no esencial, cunha razón sistemática de pleno alcance cognoscitivo, non modulada por un dominio do discurso concreto senón transversal e competente en todos eles, e complementaria coa intuición. Dieste observa na xeometría euclídea un caso de aplicación canónica dunha concepción racional como a que se demanda, afecta a esixencias de coherencia, normatividade e sistematicidade formais e rigor e competencia na descrición de contidos de realidade. Xa que logo, a intención de Dieste - Loxicista: todas as verdades da aritmética e da matemática poden ser analizadas a través de nocións lóxicas e probadas desde os axiomas da lóxica segundo o xogo da inferencia; con enfoques tan diversos como os de Frege, Russerll, Carnap. - Formalista: no razonamento matemático, a linguaxe asume un papel non-representacional máis aló de contidos semánticos, sen adquirir significación cognitiva por forza de significados semánticos; o principal teórico desta liña de filosofía da matemática foi Hilbert. - Intuicionista: como manifestación construtivista, concibe as matemáticas como unha creación consustancial á mente humana e, en consecuencia, forza a redefinición dos dominios da lóxica clásica e da matemática sustentada nela, para dar unha fundamentación de lóxica intuicionista sobre a eliminación como lei lóxica do tertium non datur ( ) ppp ¬ ∨ ∀ ; Brouwer, Heyting. - Estruturalista: ao fío da tradición Dedekind-Noether-Bourbaki, asúmese que a tarefa irrevocable do matemático é o estudo da estrutura, isto é, das compoñentes máis xerais e abstractas dun universo dado; Eilenberg, MacLane ou Grothendieck. b) Cara ao obxecto matemático. Contrapoñen as seguintes correntes internas: - Realista. Como perspectiva óntica, realismo ante rem (os obxectos abstractos existen real e obxectivamente á marxe do espazo, o tempo e a nosa mente, e o matemático chega a eles por medio de intuición matemática), e realismo in re (a existencia dos obxectos matemáticos está emprazada no mundo físico); e como perspectiva epistémica, onde se tematiza non a existencia do obxecto senón a verdade ou falsedade dos enunciados; entre os realistas, Gödel e Quine. - Idealista. Do mesmo xeito, fálase dun idealismo ontolóxico para a cuestión do obxecto e dun idealismo epistémico para o valor de verdade das proposicións; Field, Chihara. - Quietista. O debate realismo-idealismo, nas súas derivacións óntica e epistémica, é espúreo por propia natureza. Para unha excelente revisión destas posturas e expoñentes, vid. Shapiro (2000). 102 coa xeometría non é, como levamos insistido nas páxinas precedentes, un mero exercicio teórico-dedutivo na transgresión do establecido. En troques, desde o pretexto do V Postulado, a xeometría diesteana propicia un estudo de descrición e caracterización da vida conciencial, intencional, do home ou, se se prefire, dos procesos teleolóxicos do saber; estudo este mediado por cuestións fulcrais como o espazo, o axioma e a intuición. Este obxectivo de presentar a xeometría como ciencia descritiva do saber e dos usos da razón faise notar a través dun ronsel de preocupacións de clara textura fenomenolóxica que, no endiante, queremos debullar: por citar algúns, a suspensión do carácter histórico da experiencia, o estrañamento tecnificador das orixes e, talvez o de maior centralidade, o divorcio entre ciencia e Lebenswelt, entre xeometría e mundo-da-vida-concreto. Este camiño, á fin, reúne os elementos para unha investigación das fasquías principais que definen a participación intencional do home na realidade, nuns esquemas que, xa o avanzamos, refiren analoxías de interese coas visións estética e poética sostidas polo autor noutros momentos da súa produción. Porén, á hora de achegármonos, como pretendemos, aos puntos de confluencia que a xeometría novoeuclidiana ten coa fenomenoloxía, convén tomar algunhas precaucións establecidas polo común para as lecturas fenomenolóxicas: a primeira delas, non se debe buscar a univocidade de significado e usos dos procedementos fenomenolóxicos –epokhé e redución– nin, como apuntaba Merleau-Ponty (1945 trad. 1975: 7-8), a súa competencia cunha tese concreta propia dunha totalización filosófica. A historia do pensamento do s. XX prodiga bo número de aproximacións denunciadas como fenomenolóxicas que, na súa heteroxeneidade, acaban confrontando teses dispares. En troques, para non comprometermos a análise subseguinte, debemos falar, antes que dunha adscrición fenomenolóxica plena, dunha actitude básica, como a refire Pintor-Ramos (1983: 51), no tocante a propósitos fundacionais e motivacións. Dicimos 103 isto porque se complexo resulta xa o establecemento dunha liña normativa de pensamento axustada a criterio para o caso da fenomenoloxía, máis aínda no caso dun autor como o que tratamos, sempre resistente a encadre, e particularmente nun ámbito de pensamento, a xeometría, que mantén coa fenomenoloxía unha relación tan estreita e particular como en ocasións difusa. En todo caso, non podemos disociar a receptividade fenomenolóxica de Dieste dos momentos propios do contexto intelectual español. Diversos recensionistas describen o proceso de incorporación da fenomenoloxía ao pensamento español, no primeiro terzo do s. XX, dentro das coordenadas dun movemento de “europeización” que aspiraba a superar o atraso filosófico de España, e no que Ortega y Gasset, Arnáiz ou Zubiri, entre outros, ocupan un lugar preeminente. Con todo, e precisamente pola multivocidade que o termo “fenomenoloxía” acolle, hai acordo á hora de soster a recepción diversa que a corrente tivo en España. Lonxe dunha fidelidade historiográfica plena co mestrado husserliano, a fenomenoloxía foi vista polo común como inicio e aínda medio para a meditación e o modelo de pensamento propios72. É nesta senda de apropiación múltiple que a corrente tivo na intelectualidade española, na que boa parte dos intérpretes e estudosos da obra diesteana inscriben ao autor. Se, nun primeiro momento, García-Sabell (1966: 237) advirte sobre o aquel fenomenolóxico do amigo na “potencia amostradora, o coidado dos detalles, a consideración prós matices, a visión en perspectiva múltiple”, moi logo alude aos camiños diversos que detecta no pensamento do rianxeiro, e que parecen apuntar ás mesmas ideas de superación e necesidade coas que o pensamento filosófico español integrou a fenomenoloxía: 72 Para a recepción da fenomenoloxía en España, vid. Orringer (1985; 1992), Lerín Riera (1992a) ou Pintor-Ramos (1992). 104 Pro algo hai nos testos diestianos que se sae dos vieiros fenomenolóxicos. Algo que é como un non desbotar na evolución dialéctica ningún dato [...] Digo con isto que Dieste, deixando a un lado a téinica fenomenolóxica, non pón rén «entre paréntese». Todo lle sirve prá sua lucidía elucidación. (ibid.)73 73 Neste punto, convén pasar brevemente por dúas nocións centrais do pensamento husserliano, epokhé e redución. Husserl toma conciencia das nocións de epokhé e redución no contexto dos seus estudos sobre as bases intencionais da percepción, na análise do tempo da conciencia (anos 19041905) e máis logo nas súas investigacións sobre o espazo e a noción de cousa (1907). Como recolle San Martín (1987 2008: 61, 67), ambas nocións parten da imposibilidade de explicar o coñecemento no “suposto psicoloxista” e ambas van orientadas a asegurar que as nosas descricións refiren o ámbito subxectivo no que a fenomenoloxía opera. A primeira fixa unha ollada abstencionista que permita facer abstracción de toda constitución do mundo allea á conciencia, desconectando a tese da actitude natural que fundamenta a “seguridade” nas representacións obxectuais. A aplicación da epokhé pode dar dous efectos, dous movementos reflexivos que orientan senllas concepcións fenomenolóxicas presentes no evoluír do pensamente husserliano: ben un “prescindir”, un “reducir”, unha “posta entre paréntese” do contido trascendente do coñecemento, en cuxo caso falaremos dunha redución eidética e dunha fenomenoloxía psicolóxica; ben unha re(con)dución da perspectiva á subxectividade trascendental, unidade das funcións da conciencia e fonte en que se xustificará toda pretensión de validez e de ser, e que demarcará a redución e a fenomenoloxía trascendentais. No Husserl de Die Idee pártese dun “reconocimiento de la enigmaticidad de lo trascendente del conocimiento” (San Martín 1987 2008: 62) e, por tanto, dunha desconexión coa realidade efectiva do trascendente, do que non está realmente dado –“El conocimiento es, pues, tan sólo conocimiento humano, ligado a las formas intelectuales humanas, incapaz de alcanzar la naturaleza de las cosas mismas, de las cosas en sí” (Husserl 1907 trad. 1982: 30)–. Husserl (1907 trad. 1982: 51) proclamará por tanto que “hay que afectar a toda trascendencia que intervenga con el índice de la desconexión, o con el índice de la indiferencia, con el índice gnoseológico cero”, apartando todo xuízo sobre a existencia desas trascendencias. Feita unha epokhé das aspiracións de realidade absoluta (isto é, reducido o contido trascendente), “queda el mismo hecho del conocimiento” (San Martín 1987 2008: 63), as súas estruturas esenciais e a súa relación coas funcións da subxectividade: retense, pois, o inmanente, o que se dá a si mesmo de modo absoluto máis os ingredientes reais da noesis (acto intencional da conciencia que ten como obxecto intencional o noema ou cogitatum); en suma, queda o contido esencial, eidético, do coñecemento. A redución eidética oriéntase ao eidos, á esencia pura do suxeito non psicolóxico na que, logo de prescindir do trascendente, retense aquilo que é fundamental. O propio Husserl abandonaría esta orientación por considerar que a redución eidética anulaba a vida subxectiva, en favor dun “aparentemente insignificante «cambio de actitud» por el cual dejamos de co-ejecutar la creencia en la realidad implícita en todos los actos y decisiones de nuestra experiencia natural” (Presas 1986 2006: 15) e, simultaneamente, dun nivel máis profundo de redución. A fenomenoloxía trascendental opta por unha concepción experiencial da realidade como correlato da subxectividade, de modo que o inmanente (o que resulta retido tras a redución), ademais de comprender o realmente dado e os ingredientes reais da vivencia, inclúe tamén o “dable”, aquilo que está implicado na conciencia natural efectiva. O trascendente, pola súa banda, adquire unha nova amplitude, pasando a ser o conxunto de obxectos que non poden darse en si mesmos, senón que se dan de forma mediata, a través de “aspectos”. Como advirte Casas (1997: 142) a propósito da cita de García-Sabell arriba transcrita, convén reparar na orientación fenomenolóxica dada alí, pois máis ben parece manexar unha redución eidética e, consecuentemente, unha interpretación psicolóxica da fenomenoloxía propia dun primeiro Husserl de Die Idee der Phänomenologie (1907; trad. 1982), antes que unha perspectiva trascendental decantada por unha interpretación experiencial, mediata, da realidade. Para unha introdución ao tema da fenomenoloxía e aos seus conceptos principais (epokhé, redución, intencionalidade, constitución), vid. San Martín (1987 2008). 105 Nesta mesma liña opera Casas (1997: 136-156), ao colocar a Dieste –sobre todo ao Dieste de Sobre la libertad contemplativa, El alma y el espejo ou Diálogo de Manuel y David– nunha intención compartida cos intelectuais españois –moi especialmente do grupo de discípulos orteguianos ordenados na Escola de Madrid– por superar as insuficiencias da fenomenoloxía, incorporándoa como limiar para o desenvolvemento dun programa filosófico persoal no que abordar elementos e problemáticas de signo diverso74. A actitude receptora da fenomenoloxía no ámbito intelectual español pasa, como lembramos, por acoller dita teoría como inspiración ou pretexto para a elaboración do propio programa filosófico, antes que como pauta pechada dun esquema de pensamento concertado. É neste sentido no que debemos interpretar, pois, o achegamento de Dieste á fenomenoloxía, non tanto como unha afección absoluta e incondicional cos postulados husserlianos, senón máis ben como un arrinque para o propio facer especulativo. Esta radicación singular da fenomenoloxía nun pensamento de signo propio como é o diesteano, permite decantar dous aspectos esenciais do labor reflexivo do autor, as súas motivacións filosóficas, dunha man, e os mecanismos do proceder especulativo. Polo que atinxe á segunta cuestión, esta ten sido caracterizada con anterioridade a este traballo por Casas. Para este estudoso (1997: 140) –quen, malia a amplitude da súa investigación sobre Dieste, apenas dedica espazo á tarefa xeométrica–, é unha constante no autor a formulación e reflexión filosófica en torno a un problema cognoscitivo concreto, nunha posición afecta á sistematización hartmanniana do pensamento tamén compartida polo neokantismo marburgués e a Escola de Madrid: Sobre la libertad 74 Casas reproduce unha memoria de María Zambrano (1985) para ilustrar o lugar de Dieste na corrente legataria de Husserl. Evoca Zambrano a primeira conversa mantida co noso autor na tertulia do café madrileño La Granja El Henar, onde ambos concordaron na “insuficiencia de la fenomenología, tan en auge entonces”. Oponse a esta anécdota outra relatada por Zambrano en carta a Dieste do 4 de xaneiro de 1974 desde Suíza, na que lle recoñece que, naquela primeira conversa entre os dous, levou a impresión de que “venías de Alemania de estudiar con Husserl” (Axeitos 1991: 122-123). 112 súa potencialidade dedutiva) e na visión da intuición como instrumento intermediador co mundo. Compréndese entón que a intención de Dieste en xeometría trascenda o propósito de erguer un edificio dedutivo, no camiño máis ambicioso dun proxecto de carácter óntico e fundacional entre cuxos primeiros anceios está o de ofrecer unha concepción do mundo compatible co pano de fondo do mundo intuído, isto é, unha argumentación da nosa conciencia e comprensión do mundo. Trátase, ao cabo, da angueira de lexitimación dun proceso de coñecemento non exclusivamente circunscrito ao ámbito conciencial senón atento e correspondente con aquilo real disposto no mundo. Como vemos, estamos a falar da pretensión xeométrica de dar unha fundamentación da razón e do coñecemento que, antes que como lapso creativo e divagatorio na obra do rianxeiro, debe ser tratada como parte coextensa de vellas preocupacións especulativas, do mesmo nobelo que algunhas das súas reflexións ensaísticas77. Se, como indicou Casas (1997: 571), “Sobre el Hábito y el destino de Europa” (Tablas de un naufragio) podería ser visto como interludio entre La vieja piel del mundo e Diálogo de Manuel y David en torno ás bases culturais de Occidente (de Europa) con “atención particular [...] a la II Guerra Mundial y al lugar de Alemania en Europa, a Nietzsche, a Heidegger, al intuicionismo, a la metafísica, al positivismo lógico, al idealismo trascendental, al psicoanálisis”, a problemática xeométrica completa de modo natural as angueiras fundacionalistas desenvoltas en Sobre la libertad contemplativa, Diálogo de Manuel y David ou Tablas de un naufragio. En concreto, e 77 Nunha carta de Gabriel Zaid a Carmen Muñoz datada o 3 de marzo de 1991 con motivo da revisión duns textos xeométricos inéditos compilados para unha posible publicación póstuma (que finalmente non se levou a cabo, e cuxas correccións comprenden os cartafoles 56 e 57 do Arquivo Dieste, baixo dous títulos distintos: Teoría del espacio / Anotaciones cosmológicas e Sobre el espacio. Ensayos inconclusos), aquel suxire a eliminación da sección titulada “Anotaciones cosmológicas” porque “es totalmente otra cosa, y un comienzo muy preliminar de algo demasiado vasto”, pero engade unha afirmación interesante que apunta na liña da cohesión argumental que os traballos xeométricos tiveron co resto da súa obra e que, opinamos, non ten sido constatado na súa xusta medida: “Quizá iba a ser la «tecnificación» de cosas que están en las Luchas, pero todavía no lo es, ni se entiende muy bien a dónde iba, más allá de lo que está dicho en las Luchas”. 113 sempre desde a nosa lectura, os textos novoeuclidianos merecen ser considerados como parte coactiva dunha programática que Dieste explicita a propósito do Hábito Nativo, onde se constatan algunhas das posturas críticas sobre o decaemento da racionalidade contemporánea e a súa renuncia á realidade e á verdade. É mais, ao noso ver a investigación xeométrica engasta nalgúns dos pretextos fundamentais da “conversión de Kant en Kant”, un programa de pensamento debullado por Dieste en Tablas desde o solo previo de Diálogo de Manuel y David. Dita reconversión supón unha filiación expresa co mandato husserliano de Die Krisis (1936 trad. 1991: parág. 27, p. 104) en favor dunha reflexión que, desde unha metodoloxía de recoñecible cariz fenomenolóxico, continúe e perfeccione a iniciada por Kant de cara á fundamentación e sistematización do saber. A “conversión de Kant en Kant” non supón tanto, como a propia etiqueta indica, unha superación do kantismo senón unha renovación dunha parte esencial da súa herdanza filosófica, en ambicións comúns ao que Kerckhoven (1998: 61) ten sinalado como punto de confluencia das escolas husserliana e diltheyana78. Proba de que isto é así é o feito de que o Dieste xeómetra traballe na capitulación dun desenvolvemento xeométrico compatible con algúns dos elementos centrais da teoría kantiana do coñecemento, de modo que se preserven as relacións que esta estableceu entre a xeometría e a nosa experiencia da natureza e que foron recusadas coa irrupción das xeometrías non euclidianas. Neste encadre, debemos convir algo importante sobre a amplitude que a xeometría novoeuclidiana acada dentro da obra do rianxeiro, do que xa temos advertido en varias ocasións. A xeometría diesteana é, por enriba de todo, unha pesquisa que trascende “los terrenos de la ideación lógica” (García-Sabell 1991: 67) e a clausura a 78 En Tablas danse orientacións directas para este cometido: a transmutación das dúas primeiras Críticas, a da razón pura e da razón práctica, a través da terceira, a do xuízo, nunha Fenomenoloxía do hábito empírico, lóxico e práctico (TN, p. 96). 114 que poida ser reducida tras toda consideración da mesma como mero encadeamento formal. No autor, a xeometría non é entendida como mero engrosamento ou proliferación de sistemas aprióricos, senón como remisión ás potencias do ser da realidade, isto é, aos tomos de realidade e de verdade aínda non desvelados. Nesta prescrición común a outras seccións da súa obra, todas as direccións de pensamento iniciadas por Dieste ao longo dos tres tratados están encamiñadas a avanzar no coñecemento do que é a xeometría e do seu contido: nomeadamente, á disposición e natureza dos obxectos na realidade e aos procesos da razón e do coñecemento que participan daqueles. Desta maneira, podemos resumir o rexistro de finalidades ás que acode a xeometría en Dieste presentándoa como o estudo da relación que a obxectividade xeométrica establece coas potencias do ser da realidade, isto é, con seccións potenciais do ser da realidade coas que a xeometría conecta (tamén, por suposto, con seccións presenciais da realidade). No inédito “Sobre [el] uso de la noción de movimiento en Geometría” inserido no cartafol 56 do Arquivo Dieste, o autor define a xeometría como orde xeral da orientación posible, isto é, como rexistro de propiedades susceptibles de ser ou, se se prefire, compatibles co ser. Esta definición ubica a xeometría como xénero de pesquisa nas estremas da investigación fundacionalista, como unha forma de determinación de condicións de posibilidade do coñecemento concordantes co ser. Xa que logo, non debemos ver, na súa pretendida “demostración” do V Postulado, un cuestionamento do rigor dedutivo e da consistencia lóxica das xeometrías non euclidianas senón, en cambio, unha obxección contra un determinado rexistro de principios ontoepistemolóxicos que lexitima (e integra) a coexistencia de modelos diversos de verdade e representación. 115 A xeometría decántase así como unha actitude teorética orientada á tarefa de fundamentación do saber e, nisto, ás condicións de posibilidade do coñecemento, ás condicións que lexitiman a posibilidade dun saber correspondente co que se dá na realidade. Se Husserl (1936 trad. 1991: 21) ve na xeometría [...] una teoría deductiva sistemática y unitaria, orientada a un objetivo ideal de gran amplitud y elevación, sustentada sobre conceptos y principios fundamentales «axiomáticos» y capaz de progresar mediante sucesivas inferencias apodícticas. En una palabra: un todo puramente racional, intelectualmente inteligible en su verdad incondicionada y exclusivamente formado por verdades incondicionales, mediata e inmediatamente evidentes. Dieste, sen contravir ao filósofo moravo, precísaa como “modelo de coherencia sistemática” (TG, p. 34), como a “proveedora de modelos” (ibid.) de representación da realidade, nun sentido “a la vez unitario y constructivo” (op. cit., p. 36) sobre o que se artella o carácter apriórico da mesma. Esta intención da xeometría outórgalle un valor propedéutico, exemplar e reflexo (QEA, p. 32) como ideal de episteme, isto é, como modelo estándar de coñecemento ao servizo dunha indagación sobre as condicións da posibilidade do saber que aveña as distintas modulacións e tomas de conciencia teoréticas nunha posición unitaria conciliada co ser da realidade: a xeometría, en fin, como “campo de batalla” (QEA, p. 30) no que dirimir as condicións de posibilidade do coñecemento, do coñecemento posible consonte á natureza e estrutura da realidade. Así, a xeometría alude a unha posibilidade xeral de coñemento visibilizada como tal tras o “descubrimiento de la aprioridad de las matemáticas en general y la transgresión de las finitudes sensibles” (Derrida 1962 trad. 2000: 135). Noutras palabras, a xeometría constituída como tal refire un poder-ser da razón sobre o trasfondo da realidade. Para Dieste a xeometría euclídea, en favor de cuxa arquitectura 116 traballa na pretensión de “demostración” do V Postulado, constitúe un programa sistemático de indagación, manexado en propiedades coxentes e demostracións conclusivas, desde o que implementar a tarefa do saber, entendida como posibilidade xeral do coñecemento compatible co ser da realidade. Neste sentido, Dieste parece compartir a atribución que Husserl asigna á matemática clásica e, particularmente, á xeometría euclídea como “primer descubrimiento de ideales infinitos y de tareas infinitas” (Husserl 1935 trad. 1991: 351)79. Para o noso autor, a xeometría, que parte, en efecto, dun sistema de premisas finito e pechado, faculta en cambio a idealización e trasposición da finitude en favor dun ascenso cara ás potencias do ser, isto é, cara a faccións en potencia do ser da realidade (realidade expectante, por oposición ás faccións en presenza, ás faccións de realidade notoria e declarada) e cara á tarefa infinita de coñecemento que comportan: La geometría se origina de la experiencia geométrica, nace (continuamente) al experimentar la posibilidad de construir. No exactamente las Pirámides, sino (por ejemplo) la pirámide de una cierta clase, o un ente geométrico de una cierta clase, del cual –perfecta o imperfectas, antes y después de ser maltratadas por los vientos y por los ladrones– dan fe imponente y ostensible las Pirámides. (QEA, p. 103) É ben recoñecible a intertextualidade que a cita anterior garda con algúns lances de Die Krisis. “Pero –y este fue el descubrimiento que creó la geometría– [...] finalmente se presentó la posibilidad de generar constructivamente y de un modo unívoco, mediante un método apriorístico sistemático y omniabarcador, absolutamente 79 Esta afirmación corresponde a unha conferencia pronunciada por Husserl en Viena os días 7 e 10 de maio de 1935. Ricoeur (1950: 300) ten observado unha contradición entre esta declaración co sinalado en Die Krisis ao afirmar que “la geometría euclídea y, en general, la matemática antigua no conocían sino tareas finitas, un a priori finito y cerrado” (Husserl 1936 trad. 1991: 21). Tal e como analiza Ricoeur, alí onde o primeiro relatorio abre a xeometría euclídea a un campo de infinitización do saber, a afirmación de Die Krisis parece que “le quita al pensamiento griego, y singularmente a la geometría euclideana, la gloria de haber concebido una tarea infinita de saber”. 117 todas las formas ideales concebibles”, lemos alí (Husserl 1936 trad. 1990: 26). Xa que logo, é evidente observar que a investigación xeométrica de Dieste contén de seu unha vontade de describir non só as marxes dunha actitude teorética na apertura dos fundamentos do ser da realidade senón tamén, indisociablemente, da propia maneira da conciencia e dos seus resortes no cometido de participación en ditos contidos do ser. A iso dedicamos o seguinte apartado. 4.1. Intención e participación no ser da realidade Como vimos, na angueira fundacionalista que modula os traballos novoeuclidianos, a convocatoria do nivel latente e implícito de potencialidades do ser ofrece un achegamento de corte propio aos considerandos husserlianos da xeometría como problema intencional exposto no apéndice III de Die Krisis e no manuscrito póstumo Vom Ursprung der Geometrie. Falar da xeometría como proceso de argumentación fundacional é falar, á vez, dun modo de captación e aprehensión da conciencia, é dicir, dun axuste intencional dos actos producidos na conciencia. Na alusión á substancia idealizadora da xeometría feita na pasaxe transcrita arriba (QEA, p. 103) paira unha referencia, cremos que ben visible, a unha forma tendencial da conciencia nos procesos de apertura ás potencias do ser. De feito, en ¿Qué es un axioma?, nun capítulo titulado “Sobre la intuición” (pp. 33-36), Dieste ofrece unha concisa caracterización da vida intencional sobre a base de tres nocións fundamentais como son fidelidade, tensión e circunvidencia: c) Impide con su fidelidad que –sin explícita advertencia– la deducción originada en x, adopte una dirección según la cual debiera originarse en z, o referirse a z. [...] d) Al mismo tiempo que es “visión” es post-visión y previsión. Hereda lo visto y se anticipa a lo no visto, ya esperándolo, necesitándolo o vaticinándolo. Es, diríamos, tensa. 118 e) Implica el horizonte de lo posible. Se apaga sin ese horizonte. Es circunvidente. (QEA, p. 33) En primeiro lugar, estas tres asignacións veñen a amosar, nun punto de contacto expreso co pensamento de Husserl80, que Dieste non comparte a disociación kantiana entre intuición e intención xa que a intención dótase de contido a través da intuición, na vez que esta permite “contemplar la forma del concepto y, por lo tanto, de lo concebible –o no concebible” (ibid.). Esta é unha opción de clara demarcación fenomenolóxica que leva a Dieste, e a Husserl, ata as consideracións neokantianas de Natorp sobre a intuición. “La intuición es lógica”, escribe o autor en ¿Qué es un axioma? (p. 34). A apostila lóxica estatúe que a intuición mesma é pensamento, o que xoga un papel determinante na configuración cognoscitiva e cognoscente do ser humano. Asemade, tampouco debemos esquecer o basamento horizóntico que en boa relación emparenta a fenomenoloxía novoeuclidiana coa concepción kantiana da matemática como quefacer dinámico, actuante e non estritamente conceptual (De Lorenzo 1992: 82). Máis aló disto, os atributos de fidelidade, tensión e circunvidencia veñen a convocar unha caracterización da intencionalidade, da vida intuitivo-intencional, que supera a perspectiva da conciencia-de propia da fenomenoloxía husserliana. En efecto, a noción husserliana de intencionalidade –e, nela, da teleoloxía da razón que a subtende– cínguese en exclusiva ao decatarse-de-algo, isto é, á emerxencia das cousas como correlato da conciencia. É pago inevitable en toda introdución á evolución do pensamento de Husserl facer notar a influencia que o filósofo neoaristotélico Franz Brentano exerceu na delimitación do concepto de intencionalidade. Xunto á representación subxectiva das cousas e a aquilo que estas son en si mesmas, Brentano introduciu os obxectos intencionais como terceira orde de realidade que ocupa unha 80 Vid. Ricoeur (1954: 57). 119 posición intermedia entre o suxeito e o obxecto. Como recolle Walton (1993: 10), Brentano distingue “el acto de representar y el contenido representado”, caracterizando pasivamente este último como obxecto inmanente de existencia “tan solo fenoménica e intencional”. Así, para Brentano a intencionalidade limítase á mera direccionalidade do acto de conciencia ao contido como obxecto inmanente; dito doutro xeito, a intencionalidade en Brentano é “basicamente el modo de ser de lo conocido en la conciencia” (ibid.). Husserl, pola súa banda, abandona a caracterización brentaniana dos contidos representados pola súa inmanencia intencional (de neto impulso teolóxico) en favor dunha interpretación teleolóxica dos procesos conscientes. Na análise e caracterización da noción de intencionalidade en Husserl, é de capital importancia o papel que o binomio “expectativa-realización” (Erwartung-Erfüllung) xoga na disposición teleolóxica da vida intencional da conciencia. Esta caracterízase pola mediación entre a expectativa de realización e o cumprimento desa expectiva pola propia realización. O binomio expectativa-realización debe ser entendido como un elo entre hylé e morphé, entre sensibilidade e espírito, entre a pasividade e o principio doador de sentido. En troques, a aposta de Dieste na caracterización intencional da vida da conciencia achega unha visión próxima ás fontes da lectura zubiriana da intencionalidade. Fidelidade, tensión e circunvidencia como marcas da vida intencional veñen a referenciar a realidade como trasfondo presente ante a conciencia antes do decatarse, de vez que apelan a un telos animado sobre o horizonte da realidade e a súa organización entitativa. Ao igual que ocorre no pensamento de Zubiri, Dieste asume unha consideración do real como punto de partida da aprehensión e non só como punto de chegada á maneira da fenomenoloxía husserliana. É de aplicación no autor a 120 esquematización da noción da intencionalidade en Zubiri como un “movimiento «desdehacia»” (Walton 1993: 48) afincado no real: La intuición se refiere intencionalmente a lo que está ahí; o bien, a lo que está a la vista. No sólo al punto de partida, sino al camino –en cuanto pueda ser objeto de síntesis intuitiva–, y, finalmente a lo que se descubre. (“Intuición y primitivismo - Piaget”, Teoría del espacio, cartafol nº 56, AD)81 A explicitación do vínculo co real dase por medio da noción de tensión, sobre o que se apoia tanto a concepción da realidade como o lugar que a xeometría desempeña na propia intelección desta. Os tres elementos, fidelidade, tensión e circunvidencia, traballan en favor dunha concepción participativa do home no real a través do par intuición/intención que, como vemos, concita algúns aspectos esenciais da impronta zubiriana sobre a realidade. Dieste inicia a súa investigación xeométrica –tamén a poética, a dramática, a vital– e, nela, a fundamentación dos oficios da razón, desde a “confianza, no en la fórmula-axioma, sino en la luz que despide desde adentro, en su interioridad irradiante [...] No se refiere a su propia verdad ni a la verdad sabida [...] Se refiere a «no se sabe todavía qué», de lo contrario [...] sería dato, argumento, instrumento de prueba” (QEA, p. 83)82. Neste sentido, Dieste parece seguir a esixencia ricoeuriana (1975: 386) de que algo sexa para que algo poida ser dito, na senda dos versos propios dun soneto de Rojo farol amante no que proclama Si entre ser y decir hay preferir al más alto decir prefiero el ser y antes morir arriesgo que exponer 81 Este ensaio é un extracto doutro texto incluído no mesmo cartafol, titulado “Primitivismo o intuición” e anunciado como unha carta incompleta a Eladio Dieste datada en 1960. 82 “No intentaremos una definición limitante y dogmática de axioma: un axioma disfrazado de definición que diga [...] qué es axioma” (QEA, p. 32). 121 el ser a ser no ser en el decir. (p. 61) Por iso, en Nuevo Tratado advirte que “En geometría no se puede partir de un postulado como este: «No existe lo que se nombra, sino sólo el nombre»” (NTP, p. 30). Isto abre no autor unha concepción do real como aquilo que está ou que está en presenza, que naturalmente engasta cunha asunción totalizadora da realidade xa visitada por García-Sabell (1971; 1991) que comprende tanto o explicitamente declarado como aquilo enigmático, dous planos de realidade que mutuamente se interpelan e aos que complementariamente serve a xeometría como, noutros momentos, a poesía –“momentos dun mesmo impulso”, podemos dicir tirando de Axeitos (1995a: 34)–. Así é: podemos tomar a travesía xeométrica do rianxeiro como unha indagación ás adentras dos contornos declarado e enigmático da realidade, nun ánimo que conduce tras os camiños do realismo trascendente estudado por Casas (1994: 207-222) como “estratexia autorial ao servizo da razón poética; e, por tanto, tamén como unha diáfana opción ética” (p. 219) que abrangue tamén as motivacións literarias e artísticas. Deste xeito, a xeometría acode ao proxecto de desvelamento –poético, filosófico, xeométrico– do que García-Sabell ten referido en distintas voces: “realidade lóxica i a realidade trans-lóxica” ou “realidade total” (1971: 44), “realidad originaria” no limiar do Testamento Geométrico (p. 7), realidade real (1991: 65); ao servizo, en fin, dun exercicio de meditación certamente próximo á razón poética zambraniana83 que complementa a configuración xeométrica do autor cabo dos aspectos críticos e antropolóxicos. 83 Carta de María Zambrano a Dieste, 7 de novembro de 1944: “Hace ya años, en la guerra, sentí que no eran «nuevos principios» ni «una Reforma de la Razón» como Ortega había postulado en sus últimos cursos, lo que ha de salvarnos, sino algo que sea razón, pero más ancho, algo que se deslice también por los interiores, como una gota de aceite que apacigua y suaviza, una gota de felicidad. Razón poética... es lo que vengo buscando. Y ella no es como la otra, tiene, ha de tener muchas formas, será la misma en géneros diferentes”. Citada por Moreno Sanz (1996: 19). 128 existente, verdadero, justamente válido, junto con todas las determinaciones que le pertenecen, para nosotros, bajo el título de verdadero ser-así” (1929 trad. 2006: 80). Ortega, pola súa banda, dedica a lección VI de ¿Qué es filosofía? á xustificación da evidencia como peza básica na caracterización da vida intencional; e en El hombre y la gente, escribe que “no hay más verdad teorética rigorosa que las verdades fundadas en evidencia”. Non hai outro modo de verdade, afirmará Ortega, que a evidencia fundada en intuicións adecuadas (O. C. 1983: VII, p. 352). O autor, en camiños afíns, fala de “oportunas evidencias” (QEA, p. 34) reveladas na intuición. Por que oportunas? Que teñen que referir para selo, para seren oportunas e evidentes? Dieste fai depender a evidencia do seu compromiso coa realidade e coas potencias do ser: nada é evidente se non “anuncia o vislumbra” (“Axioma. Procedencia y función”, cartafol 56, AD) algo propio do ámbito de relacións do real, é dicir, nada é evidente se non se vincula con nada do real. Desta maneira, a evidencia non está a anunciar unha verdade teorética demarcada e concreta, senón a maneira de despregue, actualización e verificación de relacións pertencentes ao tecido de potencialidades do ser da realidade. A segunda compoñente primaria da intuición no acceso á verdade é o vaticinio que, cabo da memoria, ten sido visualizado como un dos medios de toma de conciencia da historicidade do Dasein (Casas 1995a: 19-24; 1997: 292-293). Debemos acudir ás páxinas finais ¿Qué es un axioma? para achar unha interesante conexión da xeometría co vaticinio –adiviñación, previsión ou captación profética– como lugar desde o que atinxir a dimensión epifánica dunha verdade e dunha realidade que latexa no misterio e que quere ser revelada, que “reclama apropiación” (García-Sabell 1991: 65). A concepción do axioma como peza revelada de contidos de realidade estende a experiencia teórica do xeómetra preto do ámbitos da experiencia estética, nuns afectos que levan ao autor a carón dalgunhas importantes paradas do pensamento bakhtiniano. 129 En efecto, a consideración do axioma como aquilo que se dá, como algo do real que se vaticina ou que se anticipa, supón unha ampliación práctica da capacidade cognoscente do suxeito-xeómetra máis aló do dominio teórico a través de formas de razón poética e hermenéutica. Este espertar poético do xeómetra á realidade constitúe un dos grandes asertos dos tratados diesteanos, na medida en que establece unha canle comunicativa entre xeómetra e poeta, entre teorema e poema, como un mesmo intre concreativo que cremos subsidiario da relación de necesidade que o autor, abertamente influído polo tomo Filosofía y poesía de María Zambrano, tece entre filosofía e poesía93: El hombre, sí, “habita en poeta” (Hölderlin-Heidegger). Pero poiesis es creación, producción, edificación, suscitación... Y este poeta, el hombre, no prueba la posibilidad de construir “construyéndola”, sino experimentándola, es decir, construyendo. No construye la “posibilidad de habitar en constructor”. No crea la “posibilidad de habitar en creador”. Pero la adivina o vaticina desde que empieza a construir o a suscitar. El vaticinio precede a la poiesis o la sigue a raíz de la sorpresa. Vate es, a la vez, poeta y adivino o vaticinador. Es así como el hombre “habita en poeta”. El hombre es testimonio de que se puede habitar así. La posibilidad de habitar así se funda en que no se hace –no es objeto de poiesis– la posibilidad de habitar así. El hombre habita en geómetra. Es un ejemplo, pero suficiente como premisa. Luego habita en poeta. (QEA, pp. 103-104) Dieste e Zambrano coinciden no desatino que supuxo a expulsión dos poetas da República platónica, “malo para la poesía, para Platón y para la república [...] Pero arreglarlo puede ser muy fecundo, porque exige plantear con plenitud humana [...] algunos de los problemas fundamentales de la filosofía, la cual sin el padre Homero se vuelve olvidadiza o frenética, pierde sentido épico y, en general, se desorienta y nos desorienta” (TN, p. 132). Zambrano encomenda aos filósofos a tarefa de abrir razóns 93 En carta a Francisco Caudet de 1973, Dieste recoméndalle a lectura desta obra zambraniana coa que recoñece afinidades expresas “con mis conflictos peculiares y personal proceso” (Testimonios y homenajes, p. 25). Vid. Casas (1997: 573). 130 para o poeta que fornezan o seu interese pola filosofía e, logo, o seu dereito na República platónica. Dieste, pola súa banda, afirma empraza ao xeómetra no mesmo designio vital que o poeta, capaces ambos na pauta común dunha comprensión-desde a experiencia obxectiva e impulsiva da posibilidade de construír. Así, poeta e xeómetra son concebidos como suxeitos correspondentes de participación nas capas mistéricas de verdade, ser e realidade. Ambos reclaman idéntica radicación concreativa no home así como unha medida teleolóxica que nos orienta tras os tomos de realidade. A habitude xeométrica non pode ser entendida doutro xeito que como un modo de participarmos no mundo e na realidade: non outra cousa anuncia que a potencialidade do home como suxeito de participación na realidade co propósito de sonsacarmos dela “todo un orden de vínculos posibles” (EP, carta 387, p. 589)94 tras o contacto intuitivo inicial. En liña co que suxeriu Manteiga Pedrares (1991: 128-129), é de interese rastrexar o contacto que a experiencia da posibilidade de construír establece coas concepcións zubirianas de habitude e intelixencia sentinte, e o entramado que de aquí se tende coa propia noción diesteana de hábito95. Manteiga Pedrares toma como referencia principal 94 Dunha reflexiva carta a Eladio Dieste, arquitecto de profesión, datada en 1963: Pues bien, el constructor [...] no escinde el plan en varios planes, o el concepto de casa en diversos conceptos que después haya que congregar o concertar. De ahí que para él «protegerse» del mundo circundante sea ya dialogar con él y responderle con todo un orden de vínculos posibles que sobrepasan por igual la idea negativa de protección y la no menos «negativa» de entrega o disolución. Y algo análogo siente o piensa –o, en definitiva, imagina, crea– al tratarse del orden de la convivencia. Lo uno es, en su obra, ejemplo de lo otro... (ibid.) 95 Da introdución de Diálogo de Manuel y David: “[...] dos especies de hábitos: unos, los que podríamos llamar –de acuerdo con la tradición inglesa– «asociativos» [...] y origen [...] de nuestra confianza en las llamadas leyes naturales; y otros, en cambio, libres, espontáneos, no contraídos o adquiridos, sino creados inspiradamente, o sea, con humildad de criatura, pero además conforme a un Hábito nativo, originario, que constituye algo así como un solo acto con el nacer o «venir al mundo»” (p. 109). Páxinas máis adiante, Manuel afirma dous niveis cognoscitivos: “Un orden natural –lo llamaremos mundo–, y un hábito anterior, no contraído –lo llamaremos hábito inexperto o, si quieres, nativo– que es desde el principio la raíz de mi posible orientación en el mundo” (p. 117). Nada ten que ver esta noción de hábito coa interpretación causal e xudicativa como tendencia do espírito a re-establecer, como un “estar familiarizado” do suxeito co presente que limitaría o carácter intencional da conciencia a unha mera facultade indutiva que se verifica –como signo conforme– na persistencia da forma (NTP, pp. 173-175), senón máis ben vencellada co “facer presente” (die Gegenwärtigung) de carácter horizóntico da intencionalidade desde “un pasado y [...] un futuro” (Walton 1993: 71). “El niño recién nacido”, escribe Walton máis adiante (94-95), “tiene 131 o Diálogo de Manuel y David para contrastar certo nivel de converxencia entre as teses diesteana e zubiriana, por canto a recorrente pregunta pola natureza dos hábitos adquiridos en Dieste presupón a “habitud originaria de la inteligencia sintiente” que enfunda ao home na realidade e presentifícaa como antecedente de carácter formal e permanente. Polo que atinxe á habitude xeométrica como experiencia da posibilidade de construír, esta indica un dobre signo aprehensivo e comprensivo do real nun sentido próximo ao contido na expresión zubiriana de “realidad en construcción” fronte a “construcción de realidad” (Zubiri 1996 2008: 73). Convén destacar neste extremo a semellanza que gardan as perspectivas diesteana e zubiriana no que atinxe á consideración da xeometría, pois para ambos pensadores a xeometría informa sobre un índice de realidade estatuído como principio das posibilidades de construción ou, conversamente, sobre determinada experiencia de realidade en forma de posibilidade de aprehensión, de suscitación ou de construción. Por outra banda, bótase de ver que este contacto co pensamento zubiriano recaba, como comentamos arriba, unha dimensión histórica da noción de intencionalidade, cuxo compromiso histórico baséase nunha temporalidade implícita ao ser-en do home na realidade vehiculado a través da actualización do índice de realidade. De feito, é a través do carácter circunvidente da intuición que se patentiza o acceso á estrutura histórica da intencionalidade a partir dun trasfondo pasivo de posibilidades que nos aproxima, entendemos que con nitidez, tras a percepciones con sus horizontes y de ese modo un presente fluente con retenciones y protenciones, y además cuenta con habitualidades originarias aun cuando no dispone de rememoraciones y por ende de habitualidades adquiridas porque carece de una temporalidad desarrollada”. Precísao así o propio Marín Escudero (1995: pp. 69): O novo elo que introduce Dieste [...] é, en primeiro termo, o acordar dunha faciana humana autobiográfica á apelación inmemorial [...] que relativiza e dignifica á par dos sucesivos hábitos que conformaron a nosa historia persoal, e, en segundo lugar, o cifrar esta incancelable convocatoria de alteridade que nos constitúe na condición de execución dos hábitos derivados da nosa ipseidade. 132 concepción zubiriana da historicidade como dación constitutiva do home, como actualización ou realización radical de posibilidades (Zubiri 1974: 55; 1989: 269)96. Descubrimos así a preocupación esencial do xeómetra Dieste ao que fala de axioma, de mundo, de intuición, nada distante da angueira do poeta, do ensaísta ou do dramaturgo: o recoñecemento do ser-na-realidade a través dun horizonte potencial de posibilidades cognoscitivas que mediatiza historicamente a vida intencional da conciencia. Asemade, a introdución da habitude xeométrica como eido desde o que signar as condicións de posibilidade do mundo en común non fai outra cousa que anunciar un deber-ser (Derrida 1962 trad. 2000: 153) do home na súa participación na realidade. A habitude xeométrica ten, como xulga Marín Escudero (1995: 69) para a teorización diesteana do Hábito Nativo –un dos motivos teóricos e de reflexión máis recorridos da ensaística diesteana (Diálogo de Manuel y David, Tablas de un naufragio)–, un principal mérito depsicoloxizador e existencial que o idealismo postkantiano non foi quen de evitar: o establecemento dunha “confianza existencial de base que todo o home debe descubrir nos outros e mais en canto o circunda, e debe, conversamente, ser confirmada sen cesar por estas dúas últimas instancias” (ibid.)97. Valéndonos do decálogo do hábito que Dieste detalla en Tablas de un naufragio98, 96 En El hombre y Dios (1984a: 72), Zubiri achégase á historia como un ámbito de capacitación do ser humano, é dicir, como o proceso de realización dunhas determinadas posibilidades. Inversamente, o home é comprendido entón como un ser histórico de seu. O presentismo da achega histórica zubiriana, tal e como o ten investigado Pintor-Ramos (1993: 266-269) a colación da súa concepción da realidade, é unha das súas características principais e explica unha desrealización do pasado como pasado e unha reactualización do mesmo no presente, como posibilidade actual para o presente. 97 “Hablo de nuestra fe espontánea, primerísima –osada y temerosa, confiada y alerta– en que algo pueda ser producido o suscitado por nosotros; algo ya conocido o aún no experimentado, pero que en todo caso tiene con las posibilidades de nuestro ser, con sus declives inminentes, un vínculo secreto –amistoso y pavoroso– insondablemente racional” (DMD, pp. 141-142). A cursiva é nosa. 98 “Para depurar esta noción podemos ver sus ángulos aforísticamente: I. Sin hábito específico no hay especie viva. II. El Hábito no procede de la Carne. La especie viva es la encarnación del hábito específico. III. El hábito fundamental de todo ser sensible [...] es el hábito empírico, o relación específica con el mundo sensible. 133 podemos concretar a nosa interpretación da habitude xeométrica de dous xeitos complementarios e correspondentes: dunha man, como “orientación teleológica anterior a la determinación de fines” (TN, p. 93) na que nós, homes-no-mundo, somos encarnados; e, doutra, como ocasión creadora e de reflexión sobre o ser da realidade na que se resolve boa parte da configuración estética do pensamento diesteano e que, de porparte, nos acaroa ao crisol das conceptuacións heideggeriana e gadameriana da verdade como apertura e desocultación (alétheia). IV. La encarnación del hábito empírico específico es la disposición general del organismo para la relación empírica que corresponde al Apetito y Destino del hábito específico. V. No hay Hábito específico sin individuación. VI. La individualidad más perfecta (la más perfecta que conocemos es la humana) implica la máxima identificación posible del hábito específico con el individual [...]. VII. El mundo sensible es expresivo para el conocimiento sensible, que es dialogal y comunicativo de raíz [...]. VIII. Volvemos a repetir –glosándolo– el I: Sin Hábito específico (sin orientación teleológica anterior a la determinación de fines, y esto ya como específico «antes» del individuo, pero requerido por él y requiriéndolo) no hay especie viva. IX. Repetimos con adiciones el II: El Hábito no procede de la Carne. La especie viva es encarnación de la orientación teleológica en cuanto ésta detemina espontáneamente sus medios y su ostentación natural en el mundo, su primera expresión, que es práctica y ostensible. X. El hombre se reconoce vivo, sensible, inteligente: en relación vital, empírica e ideal (nouménica en sentido clásico, no kantiano) con la naturaleza (incluída la propia) y la del mundo [...]”. (TN, pp. 91-94) 134 135 5. A CRISE DA NOCIÓN DE AXIOMA. POR UNHA CONCEPCIÓN DUAL XEOMETRÍAHISTORIA Como acabamos de expoñer, a “demostración” diesteana do V Postulado incorpora un discurso en cuxas marxes agroma todo un tecido de reflexións que estende o interese da xeometría novoeuclidiana máis aló dos erros dedutivos que presenta. A investigación das condicións de posibilidade do coñecemento non é allea, por propia condición, á cuestión de que fundamentos, preceptos e métodos concretos deben ser aceptados como base dun edificio de coñecemento correspondente co trasfondo pasivo e expectante da realidade. No camiño dunha concepción da xeometría como experiencia participativa no real, cobra especial importancia a propia historia metodolóxica da xeometría, por canto é nela onde podemos rastrexar as causas que comportaron a renuncia ao ideal da xeometría como canon cognoscitivo e de aprehensión da realidade, vixente durante a Modernidade. Como parte esencial da angueira de fundamentos que modula os traballos novoeuclidianos, Dieste advirte da insuficiencia implicada no marco múltiple de verdade e representación propiciado tras o advento das xeometrías non euclidianas. Para o autor, a coexistencia de modelos xeométricos diversos caracteriza unha nova actitude teorética desafecta da pesquisa do fundamento, da conciencia e da realidade. En efecto, 136 a irrupción de diversos modelos xeométricos consistentes e alternativos ao euclídeo, como o hiperbólico (lobatchevskiano) ou o elíptico (riemanniano), abriu un proceso de inversión ontoepistemolóxica no seo da matemática e, logo, no proxecto racional moderno. O eidos figural mudou progresivamente nunha concepción sígnica na que se suspende o contido da matemática en favor do razoamento semiótico, cunha perspectiva do coñecemento eminentemente contextual e relacional. O establecemento dun marco de coexistencia entre xeometrías de propiedades e consecuencias dispares suscitou unha reflexión de fondo calado en torno ás cuestións fundacional e representacional, cunha crecente conciencia de ruptura da relación de suxeición ou dominación da natureza no logos do suxeito (Zima 1989: 90). A posibilidade de derivar modelos xeométricos non euclidianos con arreglo á consistencia lóxica afastou de consideración o “concepto platónico que preside los Elementos” (Santaló 1961: 15) e, máis concretamente, a súa axiomática como ideal de coñecemento verdadeiro ou como patrón esquemático compatible co ser verdadeiro da natureza e a súa apariencia perceptiva. Neste escenario, a formulación de axiomas perdeu a carga ontolóxica que se presumía no rexistro euclídeo, en favor de concepcións formalistas e/ou convencionalistas que entendían a postulación do axioma como un exercicio carente de contido tomado tan só pola súa potencialidade ou rendibilidade dedutivas. O debate fundacional subseguinte centrouse na cuestión de que metodoloxía e axiomas debían ser admitidos, e como debía ser tratado o problema da experiencia e representación da realidade posto que a intuición quedara desprazada como ferramenta cognoscitiva e de aprehensión capaz. O corpo científico transformouse nun complexo de relacións abstractas que perseguía a obtención de ecuacións antes que de medicións. O pensamento pasou a tematizar así sobre o método e non sobre o obxecto, esquecendo o seu cometido primordial de patentizar a obxectividade. Isto implicou unha dislocación 137 escéptica entre certeza e daditude que finiquitou o patrón científico e racional da Modernidade e empuxou cara á emancipación do seu mundo “único”99. A imaxe intelectual do ser humano, homo designator durante a Modernidade, mudou á de animal symbolicum, unha etiqueta que describe esta nova afección da razón caracterizada polo sometemento das aspiracións de aprehensión do real ás marxes dun corpus simbólico de significados e verdades relativas instaurado como paradigma tras a aparición das xeometrías non euclidianas. Para resumir esta situación, Dieste emprega a etiqueta da crise da noción de axioma (QEA, p. 5). Este marbete aparece como tal no segundo tratado, ¿Qué es un axioma?, se ben non se trata dunha razón esgrimida unicamente neste título xa que en Nuevo Tratado del Paralelismo Dieste analiza o problema dos fundamentos xurdido a carón das xeometrías non euclidianas. A análise das súas causas e saídas constitúe un dos eixos discursivos de maior relevo dos tratados xeométricos. Con ela, o autor fai expresa unha denuncia do contexto xeral de crise de fundamentos no que acha inmersa á racionalidade e cientificidade contemporáneas. En particular, a crise da noción de axioma refire unha situación da razón marcada pola renuncia ás nocións absolutas de verdade e realidade en favor de concepcións válidas unicamente nun dominio do discurso determinado. Dieste rexeita de plano a asimilación de verdade e método aceptada pola racionalidade e cientificidade contemporáneas logo do xurdimento das xeometrías non euclidianas. En que sentido esta asimilación? O establecemento dun método (científico, racional) adscrito a un dominio do discurso limita a capacidade de predicar verdade á efectividade de dito método e á potencialidade do dominio de discurso. Isto, ao cabo, 99 Esta bifurcación ten sido referida como disolución do dado por Sandkühler (1999): a debilitación da idea dun mundo dado no que a ciencia con aspiracións de racionalidade, obxectividade e verdade só tería que extraer unha mera “copia”. 144 competencia no real. Isto permite presentar a investigación xeométrica como crítica de fundamentos, á vez que ofrece de volta unha interpretación da historicidade xeométrica que xoga un papel central á hora de comprendermos tanto a propia estratexia autorial como a concepción da xeometría sostida por Dieste. De volta, constitúe unha posición orixinal que confronta a Dieste cun dos debates epistemolóxicos de máis interese en filosofía da matemática durante o s. XX, relativo ao lugar que a historia interna (a historia dos métodos, a historia da linguaxe) xoga no coñecemento matemático obxectivo. Os planos discursivos interno e externo axudan a dirimir a posición de Dieste en dito debate sobre a prelación que serve ou non ao contido matemático respecto da tradición previa de coñecemento ou, noutras palabras, se hai ou non un grao de suxeición do contido matemático obxectivo ao que a xeometría ten de feito de tradición e de historia. Unha das alternativas en torno a esta cuestión é a denomidada internalismo, que dominou boa parte da concepción historiográfica da matemática (con H. G. Zeuthen e P. Tannery entre os expoñentes máis destacados) no cambio de século XIX-XX. Dita corrente aspira a reconstruír o desenvolvemento matemático na Grecia dos s. V e IV a. C. mediante unha análise técnica e conceptual dos textos clásicos, nomeadamente dos Elementos. Procedimentalmente, o internalismo analiza descontextualizadamente os textos helenísticos, separando o “contido matemático” das “formas de expresión”, que considera futís e irrelevantes. Nesta estratexia, de recoñecible cariz hermenéutico, a matemática consiste nunha estrutura de conceptos e proposicións interrelacionadas, de forma que o noso coñecemento matemático depende en exclusiva da comprensión desta rede de relacións conceptuais e nunca do peso das formas metodolóxicas e de expresión incorporadas. Como se deixa ver, unha tradición de pensamento tal concorda co estatismo propio da concepción platónica da matemática. 145 O feito de separar o contido matemático de toda carga incidental ou fáctica das formas de expresión, consideradas vás, presupón a validez ahistórica dos entes e verdades matemáticas e a súa existencia eterna. Fronte a esta visión, agroma unha outra concepción que podemos denominar contextual e que ten ao matemático A. Szabó –correspondente ocasional de Dieste106–, a G. Pólya e I. Lakatos como principais promotores. As doutrinas internalista e szabiana son radicalmente encontradas. Szabó traballou nunha historiografía que atendía a aqueles elementos tomados como incidentais ou fácticos pola tradición internalista. Na súa visión, o coñecemento matemático debía ser estudado e reencadrado no contexto de tradición no que foi creado, xa que a ollada ahistórica do internalismo non sería quen de explicar as tentativas infrutuosas e os problemas pendentes de resolución. Deste modo, o historiador da matemática evitaría as presuncións e os marcos de interpretación que ofrece o moderno coñecemento matemático. No seu lugar, estudaría a evolución do coñecemento matemático en atención á súa historia, linguaxe, métodos e estratexias concretas e ás conexións intelectuais e culturais da matemática considerada como tradición de pensamento107. 106 En 1963, Dieste diríxelle dúas cartas: a primeira, en setembro, para pedirlle algunhas das súas investigacións recentes, das que lle consta, polo seu sobriño Eladio, que apuntan conclusións moi semellantes ás publicadas en Nuevo Tratado del Paralelismo (EP, carta 388, p. 592); e a segunda, para agradecerlle o envío dos exemplares solicitados –son os traballos Anfänge des euklidischen Axiomensystems, previo ao texto Anfänge der griechischen Mathematik, Akadémiai Kiadó, Wien, Oldenbourg Verlag, Budapest 1969 (The Beginnings of Greek Mathematics na súa tradición inglesa)– e facerlle chegar, pola súa parte, o manuscrito de Tratado Mínimo de las Paralelas, que ao cabo reescribiría en ¿Qué es un axioma? (EP, carta 396, p. 601). 107 Szabó investigou o estilo dedutivo-argumentativo das matemáticas gregas, que constituía unha característica senlleira que ningunha tradición matemática anterior á grega presentara, e un dos feitos principais do pensamento matemático. Segundo a súa interpretación, a orixe desta forma de pensamento remontábase á tradición eleática, onde se recoñece por vez primeira o poder das argumentacións puramente intelectuais. Segundo Szabó, a matemática dedutiva ten a súa orixe na revolución intelectual iniciada pola tradición dialéctica eleática. Cfr. Greek Dialectics and Euclid’s Axiomatics, A. Szabó; ou The Beginnings of Greek Mathematics, A. Szabó, Akadémiai Kiadó – Dordrecht, Reidel Publishing Company, Budapest 1978. Cfr. Sobre la invención griega de la idea de demostración, Luis Vega, Llull, vol. 8, pp. 149-173, 1985. 146 En xustiza, a concepción diesteana en torno á substancia histórica da matemática non acae de modo exacto en ningunha das dúas correntes anteriores, senón nunha posición intermedia xa apuntada arriba a través dos dous planos discursivos interno e externo. Hai un Dieste internalista que esixe a exclusión de toda toma de postura previa e de toma forma de expresión que afecte ás pretensións de obxectividade e de verdade. Pero hai tamén, de porparte, un Dieste contextual que recoñece as construcións xeométricas encadradas como parte dun feito de tradición e de historia. Mentres que en Nuevo Tratado del Paralelismo (escrito con anterioridade ás súas lecturas de Szabó) desenvolve os seus razonamentos nun estilo eminentemente internalista, atento en especial ao establecemento dunha linguaxe matemática propia, novoeuclidiana, e aos ciclos de demostracións que dela se derivan; en ¿Qué es un axioma? e Testamento Geométrico talvez bótanse de ver as lecturas das teses de Szabó, no punto que a xeometría novoeuclidiana cede parte do protagonismo a unha relectura das claves histórico-metodolóxicas que deron para as teorías non euclidianas como elo decisivo da xeometría como feito de tradición. Porén, se a súa postura é intermedia entre ambas correntes, subsiste unha certa inclinación cara á opción contextual –nomeadamente nos dous últimos tratados, como dicimos–, por canto o autor parece convencido da incidencia que as formas metodolóxicas e de expresión exerceron sobre o contido matemático obxectivo e, nel, sobre as pretensións racionais de obxectividade, verdade e realidade. Este convencemento é o xustifica a revisión histórica que Dieste acomete sobre o curso da xeometría baixo a etiqueta da crise da noción de axioma. Esta recepción da xeometría na dobre cara historia e práctica, tradición e contido obxectivo, conleva unha posta en marcha propia dos recursos da fenomenoloxía. De entrada, a diferenza da fenomenoloxía eidética e dado que a xeometría é aceptada como feito de tradición, non se prescinde de nada (de ningún método, de ningunha teoría), 147 senón que muda a perspectiva, reorienta a ollada a través das definicións, demostracións, descubrimentos e fracasos. A epokhé que Dieste aplica responde en realidade a propósitos “tácticos” e “provisionais” –“funcionais”, expresaría Vilavedra (1995: 125)–: trátase dunha redución fenomenolóxica que, como Ortega, permita “tan sólo un distanciamiento, un abrir estratégicamente la duda” (Rodríguez Rial 1992: 99). En “Libertad de horizonte...”, pertencente á colección de inéditos sobre tema xeométrico Teoría del espacio (cartafol 56, AD), o autor deixa ver este sentido da epokhé como distancia sobre o coñecemento sen máis suxeicións e presuncións iniciais que as de considerar a xeometría como feito de razón e de tradición: Descubrir, progresivamente, en qué orden y con qué ángulos se transparentan o se proyectan unas nociones en otras, exige, ante todo, libertad de horizonte... nocional. Por último hay que decir, también, que en sus métodos y designios la investigación axiomática va, en cierto modo, más allá. Explora el dorso de ese horizonte. Nos parámetros desta aproximación fenomenolóxica, comézase botando unha ollada demorada ás matemáticas mesmas, ás técnicas e solucións introducidas ao longo da historia, para intentar dar resposta entón ás cuestións problemáticas da disciplina. Nos últimos tempos, os traballos de Rota (1991; 1997), Hersch (1997), Tragesser (2000) ou Leng (2002) teñen afondado nas virtudes desta actitude de investigación dos fundamentos baixo o nome de fenomenoloxía da matemática. A fenomenoloxía da matemática recolle as indicacións da tradición de pensamento lakatosiano para deseñar unha filosofía da matemática post-gödeliana que supere o formalismo e o loxicismo do s. XX108. Nesta perspectiva, a vivencia de carácter histórico-práctico institúese na peza basal do método de indagación por canto anticipa novos significados inherentes ao 108 Para Lakatos, formalismo e loxicismo son os últimos elos da longa cadea de filosofías dogmáticas da matemática. 148 ámbito problemático que dirixirán os procedementos analíticos subseguintes. Este é o sentido fenomenolóxico que Dieste imprime ao seu método, baseado nunha concreción dual histórico-práctica expresada a través do mitoloxema de Xano, e que non fai outra cousa que afirmar a historicidade como unha compoñente eidética das obxectividades xeométricas dun modo que nos leva, de novo, tras a pista de Husserl (Derrida 1962 trad. 2000: 39). Escribe Dieste: La Geometría tiene algo de Jano. Con una cara ve los teoremas. Con la otra ve o busca los principios. También la Historia tiene algo de Jano. Con una cara ve el presente y hace hipótesis sobre el porvenir. Con la otra ve o busca los orígenes o, si se quiere, los comienzos. En ambos casos las dos caras, o las dos perspectivas, tienen que conciliarse o entenderse, de lo contrario en vez de un Jano tendríamos dos. (QEA, p. 21) Hai, pois, unha dobre substancia histórica que afecta á xeometría. En primeiro termo, unha substancia histórica derivada dunha concepción da xeometría como devir ou como telos, isto é, como unha unidade da razón que está en nós en permanente elaboración (Husserl 1939 trad. 2000: 183): “Con una cara ve el presente y hace hipótesis sobre el porvenir”, di Dieste. No inédito “Lo deficiente no contradictorio” (Teoría del espacio, AD), a xeometría preséntase como “interiorización y denodado intento de saber sobre sí. Teleológicamente es eso desde su albor –sin duda «desde» Euclides– y el «ser teleológico» no es título postizo, atributo añadido. Es algo que se ve. No sólo en la dirección de un intento o en el hito señalado por tal dirección, sino en la franqueza misma del intento”. Dun xeito análogo ao que aplica Derrida (1962 trad. 2000: 45) ao fío da súa lectura do opúsculo husserliano Vom Ursprung der Geometrie, a alusión a un telos xeométrico remite a unha unidade de indagación da razón que “está por venir a partir de lo que se anuncia en su origen” (ibid.). Trátase, pois, dunha apertura teleolóxica da xeometría ás posibilidades xerais do coñecemento. Dita apertura 149 da xeometría é notoria, recoñece Dieste no inédito “Lo deficiente no contradictorio”, “sin duda «desde» Euclides”, é dicir, desde a presentación e sistematización da aprioridade xeométrica ou da dimensión idealizadora exposta na xeometría grega. Con todo, o autor parece persuadido de que esta pretensión non só traballa a historia desde a apertura grega do campo da aprioridade e a súa explicitación teorética nos Elementos, senón desde o momento do establecemento racional da conciencia. Fala Dieste, pois, dun Telos universal da razón sobre o que se artellan os procesos de participación na realidade e as súas estruturas e arbitra as condicións que permiten falar da posibilidade do seu coñecemento: El empirismo egipcio no es más moderno, sino más “antiguo” de lo que se podría suponer, pues no es post-crítico (aun cuando los tanteos implicasen ya, como toda busca, una cierta crítica), sino pre-axiomático. Y esto en dos sentidos. Significa, por una parte, falta de axiomas ostensibles; y por otra, confianza en ellos aun antes de que sean ostensibles como tales axiomas y con ese nombre. Tal confianza pre-axiomática, aun más que antigua es arcaica, previa al despuntar de los axiomas y a la primera luz no refractada de la noción de axioma. Y aun esa confianza arcaica es “demasiado moderna”, pero es imagen suficiente de algo interior –y, de ese modo, siempre más “anterior”, es decir, sin fecha– que, ante ciertas preguntas, promete respuesta, y que es origen, a su vez, de una cierta clase de preguntas que por sí mismas y con su propia luz son ya previos heraldos de la posibilidad de responder. La pregunta puede empezar por ser problema, y, encontrada la regla para resolverlo, toma la forma de misterio de la regla misma, e invita (sin desconfiar de ella) a investigar sus “antecedentes”, los cuales ya no son reglas “para” esto o lo otro; tienen función reguladora de un disciplina naciente. Pero en el seno de la disciplina naciente [...] se continúa la pregunta, o esa clase de preguntas, siempre en la misma dirección: hacia lo no ostensible, o no ostensible aún como fundamento. En ese aspecto la investigación axiomática es también pre-axiomática. (QEA, pp. 86-87) En segundo termo, o mitoloxema de Xano refire unha substancia histórica propia da xeometría concebida como orixe e tradición, afecta á concreción metodolóxica e 150 conceptual dada no transcurso da disciplina desde o seu nacemento ata o momento presente, e que involucra problemas, estratexias e solucións determinadas: “Con la otra ve o busca los orígenes o, si se quiere, los comienzos”. Deste modo, a xeometría pode ser considerada como unha linguaxe de duplo nivel que permite falar tanto dunha internalidade xeométrica pura concretada e recoñecida como feito de tradición a través dos seus conceptos, métodos e obxectos, como dunha teleoloxía universal da razón na que a xeometría vén inscrita ou, noutro modo, que a xeometría anuncia. Isto último, a mención a un telos universal da razón que podemos visibilizar na xeometría, apúntao tamén Derrida (1962 trad. 2000: 137) na súa introdución ao Vom Ursprung de Husserl. “El telos geométrico”, escribe Derrida, “no es, sin duda, sino el fragmento o el segmento particular de un Telos universal que lo atraviesa, lo precede y lo supera”, o que anuncia unha historicidade universal da razón recoñecible se se “orienta su mirada, por privilegio, hacia una tradición tan «ejemplar» como la de la matemática”. Desta maneira, a alusión ao éter de historicidade que é propio da disciplina a través do mitoloxema de Xano non só apunta cara a unha concreción da participación fenomenolóxica da xeometría diesteana nun sentido máis completo que o estritamente contido na liña husserliana e nas interpretacións usuais, cuxa posta en práctica de conceptos e estratexias principais implica unha suxeición dos mesmos á praxe matemática pura e obxectiva e, nela, á historia que a subtende. Alén disto, a xeometría, como unidade de tradición e de indagación, válelle a Dieste como pretexto para amosar de que modo é lícito falar dunha historicidade e dun telos como dinámicas contrapostas afectas á razón, isto é, como dúas caras sobre as que se implementan os seus procesos racionais de demanda da realidade. Ao cabo, a través da xeometría como feito de tradición apuntamos cara á pregunta pola orixe da xeometría como proxecto racional de indagación, de vez que a través da xeometría como unidade de indagación 151 indicamos as posibilidades da razón en canto devir. Dito doutro xeito, Dieste considera que a concreción metodolóxica e conceptual da xeometría como feito de tradición remite implicitamente á pregunta pola súa orixe como proxecto racional de indagación nos contornos do ser da realidade á vez que se suxeita ás ambicións e cometidos específicos do proxecto no que a xeometría nace como edificio de coñecemento. Tamén á inversa, ao aterse o proxecto racional no que se encadra a xeometría ao curso metodolóxico e conceptual que fai desta un feito de tradición. A xeometría permite amosar como a tradición e o telos son elementos correspondentes dos procesos de coñecemento que involucra a razón. Xa que logo, bótase de ver, a través da xeometría, unha mutua afección das unidades de tradición e de indagación a través do “polo infinito de la historia” (op. cit.: 136), unha mutua interpelación dos sentidos orixinario e teleolóxico que Dieste observa como cursos principais da razón. Isto valídase de xeito visible no autor ben na afirmación de que a xeometría “nace (continuamente) al experimentar la posibilidad de construir” (QEA, p. 103), ben na utilización do mitoloxema de Xano sobre a natureza dual xeometría-historia. Constátase así, a través do corpo da xeometría, a función eidética que a historia desempeña nos designios propios da razón e, en particular, na súa pretensión de obxectividade. A discusión en torno á crise da noción de axioma ilustra de xeito nítido a mutua dependencia e revelación das unidades de tradición e de razón a que nos vimos referindo. A crise da noción de axioma arbitra unha investigación sobre a correlación que manteñen a unidade de tradición da xeometría, isto é, o rexistro de formas conceptuais, metodolóxicas e de expresión xurdidas no transcurso da evolución da disciplina como edificio de coñecemento, e a unidade de razón, é dicir, a súa finalidade de contido obxectivo. Coa crise da noción de axioma, Dieste trata de evidenciar de que maneira a historia do método xeométrico (unidade de tradición) “interfiere 152 dramáticamente” no propósito e desenvolvemento da razón “y en la intriga de ese desarrollo” (QEA, p. 14). Dito doutro xeito, a crise da noción de axioma vén a estudar de que forma o proxecto racional “xeometría” se suxeita ao transcorrer metodolóxico da disciplina e se adapta a el. En concreto, Dieste quere amosar o xeito no que a historia metodolóxica da xeometría modulou as misións propias da razón de estatuír verdade e de representar realidade, pois é no curso metodolóxico da xeometría e na aparición das xeometrías non euclidianas onde xorden os rudimentos necesarios para lexitimar unha razón desafecta da pretensión de verdade e realidade absolutas que dominou o programa de coñecemento da Modernidade. A partir de aquí, Dieste emprende unha revisión polo miúdo da historia e etapas do método xeométrico. Porén, dita revisión feita sobre os métodos e as estratexias que se deron na historia da xeometría non se debe asimilar a un quefacer hermenéutico á maneira da “fisiognómica materialista” (Tiedemann 1983: 27; Muñoz 1998: 9) ou “fisiognómica dialéctica” (Schweppenhäuser 1992: 37) de W. Benjamin en canto “absorción más minuciosa en los pormenores de un contenido fáctico” (Benjamin 1990: 11) ou, en palabras de Adorno (1995: 19), “sumergimiento interpretativo en la concreción”. E non o fai por entendermos que confrontaría cunha advertencia de Dieste observada xa en La vieja piel de mundo: a impertinencia da pregunta filolóxicohistórica, isto é, a invalidez da filosofía da historia universal (filoloxía) fronte á filosofía universal da historia (LVPM, p. 209)109. A revisión histórica do método xeométrico en torno ao problema do V Postulado que Dieste acomete non busca unicamente desentrañar as formas fácticas de expresión incorporadas á xeometría e, máis concretamente, aos seus conceptos e ideas. Máis aló diso, e sobre a base da 109 Nesta contraposición, Gurméndez (1995b: 16) ten observado concomitancias entre as consideracións diesteana e heideggeriana da dialéctica como “pura metafísica, una repetición vacía del Tiempo”. 153 interpelación recíproca de tradición e telos no fío da historia como cursos complementarios da razón, o autor quere evidenciar de que maneira o proxecto racional se suxeitou ás formas metodolóxicas e de expresión xurdidas no transcorrer da xeometría, en que puntos ocorreu isto e cal foi a súa afectación nos propósitos de contido obxectivo absoluto que son propios da razón. Dieste trata de erguer así unha estratexia de fundamentación do coñecemento e dos procesos involucrados que evite a posibilidade de que unha certa forma metodolóxica e de expresión contraveña as pretensións de obxectividade e realidade que son propias da razón, sen esquecer niso que as construcións racionais deveñen de seu dun feito de tradición e de historia. Por outra banda, a referencia á historia que fai o xeómetra Dieste parece adiantar o sentido da célebre máxima de Lakatos (1963-1964) que, por oposición ás concepcións formalistas, advirte da mutua dependencia estratéxica da historia e da filosofía da matemática e da incapacidade da unha sen a outra. O mesmo parece observar don Ramón no capítulo “El loro disecado” de Historias e invenciones de Félix Muriel (pp. 113-129) cando lle retruca a Lisardo, o estudante de farmacia, o seguinte comentario: Farmacia sin filosofía, filosofía sin novia... Así va el mundo. (p. 117) Neste cometido, Dieste sitúa a Saccheri como un “antes” e un “a partir” (QEA, p. 12) na historia do problema das paralelas, como epónimo dunha metodoloxía apousada nun estándar de racionalidade e cientificidade que abriu os pasos para a crise da noción de axioma con repercusión nas ambicións de mundo, verdade e realidade, nas marxes dunha crise fundacional, cultural e antropolóxica. O autor empraza a Saccheri dun xeito que podemos contrastar co que Galileo simboliza en Husserl. Para o filósofo moravo, Galileo convértese no referente xeracional do albor da era Moderna (canda 256 2005 “¿Qué es razón histórica?”, estudo preliminar a J. Ortega y Gasset, En torno a Galileo, Madrid, Biblioteca Nueva, pp. 13-38. LAUTMAN, A. 1946 “La pensée mathématique”, Bulletin de la Société Française de Philosophie XL, pp. 3-17. LAVOR, B. 2001 “What is dialectical philosophy of mathematics?”, Philosophia Mathematica, (3) 9, 212-229. LEVINAS, Emmanuel 1979 Le Temps et l’autre, Saint Clément, Fata Morgana. Tradución ao español El Tiempo y el Otro, Barcelona, Paidós-I.C.E. Universidade Autónoma de Barcelona, 1993. LÓPEZ-CASANOVA, Arcadio 1991 “Actividad vanguardista y poética de ruptura (la generación del 22 en la literatura gallega)”, Ínsula, 529, pp. 14-16. LÓPEZ SANDE, María 1995 “Dos arquivos do trasno: unha poética aplicada”, en A. Casas (coord.), Tentativas sobre Dieste, Santiago de Compostela, Sotelo Blanco, pp. 159-162. LORENZ, Kuno 1972 “Der dialogische Wahrheitsbegriff”, Neue Hefte für Philosophie, 2/3, pp. 111123. Tradución ao español “El concepto dialógico de verdad”, en J. A. Nicolás e M. J. Frápolli (eds), Teorías de la verdad en el siglo XX, Madrid, Tecnos, pp. 529-542. LORENZANA, Salvador (Francisco Fernández del Riego) 1995 “Creación e pensamento en Rafael Dieste”, Rafael Dieste, un creador total, Vigo, Galaxia, pp. 79-84. LORENZO, Javier de 1973 La filosofía de la matemática de J. H. Poincaré, extracto tese doutoral, Madrid, Facultade de Filosofía e Letras. LOSADA, Basilio 1982 “O popular e o culto en Dos arquivos do trasno”, Grial, 78, pp. 421-425. Reeditado en Rafael Dieste, un creador total, Vigo, Galaxia, pp. 57-64. 1999 “A oralidade na obra de Rafael Dieste”, Xornadas sobre Rafael Dieste, Santiago de Compostela, Xunta de Galicia, pp. 111-116. 257 MACEIRA FERNÁNDEZ, Xosé Manuel 1995 A literatura galega no exilio. Consciencia e continuidade cultural, Vigo, Do Cumio. MADDY, P. 1980 “Perception and Mathematical Intuition”, Philosophical Review, 84/2, pp. 163196. MAJER, Ulrich 2004 “Husserl and Hilbert on Geometry”, en R. Feist (ed.), Husserl and the sciences. Selected perspectives, Ottawa, University of Ottawa Press, pp. 101-120. MANNHEIM, Karl 1935 Mensch und Gesellschaft im Zeitalter des Umbaus, Leiden, Sijthoff. Tradución ao español El hombre y la sociedad en la época de crisis, Bos Aires, La Pléyade, 1969. MARCO, Joaquín 1974 “Lo maravilloso en la narrativa de Rafael Dieste”, La Vanguardia, 665 (31-011965). Incluído en Documentos A, 1, 1991, pp. 174-175. MARÍN ESCUDERO, Xoán-Luís 1990 “A fenomenoloxía esencialista dos epígonos da xeneración Nós: os casos de García-Sabell e Ramón Piñeiro”, en X. L. Barreiro Barreiro (coord.), O pensamento galego na historia (Aproximación crítica), Santiago de Compostela, Universidade de Santiago de Compostela, pp. 357-369. MARION, Mathieu 2004 “Husserl’s Legacy in the Philosophy of Mathematics: From Realism to Predicativism”, en R. Feist (ed.), Husserl and the sciences. Selected perspectives, Ottawa, University of Ottawa Press, pp. 129-153. MARRA-LÓPEZ, José R. 1964 “Coloquio: Perfil de Rafael Dieste”, Ínsula, 211, pp. 4-5. MARRADES, Julián 2006 “Experiencia y verdad en la hermenéutica de Gadamer. Algunos problemas”, en J. Muñoz e A. M. Faerna (eds), Caminos de la hermenéutica, Madrid, Biblioteca Nueva, pp. 71-96. MARTÍN, Jorge 2004 “Introducción” en H. Bergson, Duración y simultaneidad, Bos Aires, Signo, pp. 7-35. 258 MARTÍN BERMÚDEZ, Santiago 1991 “Lírica pureza del enigma (sobre Rojo farol amante, de Dieste)”, Documentos A, 1, pp. 111-113. MARTÍN GAITE, Carmen 1980 “Viaje, duelo y perdición, de Rafael Dieste. La zozobra sagrada”, Diario 16 (1703-1980). Reproducido en Documentos A, 1, 1991, pp. 160-161. MARTÍNEZ CASTRO, Rafael 1998 “Planteamiento zubiriano del problema de la alteridad. Una crítica a Husserl”, en M. L. Pintos Peñaranda e J. L. Gónzález López, Congreso Fenomenología y Ciencias Humanas. Santiago de Compostela, 24-28 de septiembre de 1996, Santiago de Compostela, Universidade de Santiago de Compostela, pp. 267-277. MARTÍNEZ MARZOA, Felipe 1991 Cálculo y ser (Aproximación a Leibniz), Visor, Madrid. 1999 Heidegger y su tiempo, Madrid, Akal. MARTÍNEZ SÁNCHEZ, Alfredo 1998 “Filosofía y literatura en Paul Ricoeur”, en M. L. Pintos Peñaranda e J. L. Gónzález López, Congreso Fenomenología y Ciencias Humanas. Santiago de Compostela, 24-28 de septiembre de 1996, Santiago de Compostela, Universidade de Santiago de Compostela, pp. 361-368. MATAMORO, Blas 1982 “La emigración cultural española en Argentina durante la posguerra de 1939”, Cuadernos Hispanoamericanos, 384, pp. 576-590. MÁTÉ, A. 2006 “Árpád Szabó and Imre Lakatos, Or the relation between history and philosophy of mathematics”, Perspectives on Science, vol. 14, n. 3, MIT Press, Massachusetts. MAURIN, K. 1997 The Riemann Legacy, Dordrecht , Kluwer Academic Publishers. MAYOBRE RODRÍGUEZ, Purificación 1990 “O krausismo en Galicia”, en X. L. Barreiro Barreiro (coord.), O pensamento galego na historia. (Aproximación crítica), Santiago de Compostela, Universidade de Santiago de Compostela, pp. 231-235. MÉNDEZ FERRÍN, Xosé Luís 1984 De Pondal a Novoneyra. Poesía galega posterior á guerra civil, Vigo, Xerais. 259 1995 “Dieste ambute”, Faro de Vigo (15-05-1995), p. 2. MOLINA, César Antonio 1981 “La memoria y el espejo de Rafael Dieste”, Ínsula, 420, pp. 10-11. 1999 “Os arquivos de Rafael Dieste”, Xornadas sobre Rafael Dieste, Santiago de Compostela, Xunta de Galicia, pp. 13-28. MONASTYRSKY, M. 1987 Riemann, topology and physics, Boston, Birkhäuser. MONLEÓN, José 1995 “Hora de España: Rafael Dieste, dramaturgo antifascista”, Revista Galega de Teatro, 11, pp. 6-18. MONTEAGUDO, Henrique 1996 “Nación/creación. Estética e política no agromar do ensaio galego (1916-20)”, Anuario de Estudios Literarios Galegos 1995, pp. 63-108. MONTERO MOLINER, Fernando 1992 “El mundo en el sistema de Ortega”, en J. San Martín (ed.), Ortega y la fenomenología. Actas de la I Semana Española de Fenomenología, Madrid, UNED, pp. 147-180. 1994 Mundo y vida en la fenomenología de Husserl, Valencia, Universitat de Valencia. MORENO CASTILLO, Ricardo 1992 Pensamento matemático en Galicia, Sada-A Coruña, Publicacións do Seminario de Estudos Galegos, Ediciós do Castro. MOYA, Eugenio 2006 “Tradición y verdad. Límites del giro hermenéutico de la epistemología”, en J. Muñoz e A. M. Faerna (eds), Caminos de la hermenéutica, Madrid, Biblioteca Nueva, pp. 97-136. MUGUERZA, Javier 1995 “El lugar de Zubiri en la filosofía española contemporánea”, Del sentido a la realidad, Madrid, Fundación Xavier Zubiri-Editorial Trotta, pp. 19-32. MÜHLHÖLZER, Felix 1995 “Science without reference?”, en U. Majer e H.-J. Schmidt (eds.), Reflections on spacetime. Foundations, Philosophy, History, Dordrecht-Boston-London, Kluwer Academic Publishers, pp. 83-102. 260 MUNDI PEDRET, Francisco 1982 “El tema del «engaño a los ojos» desde Don Juan Manuel hasta Rafael Dieste”, Universitas Tarraconensis, III, pp. 97-108. 1984 “Rafael Dieste, prosista del 27”, Universitas Tarraconensis, V, pp. 25-38. MUÑOZ, J. 1998 “Algunas claves de un malentendido”, en Adorno, Th. W. y Benjamin, W., Correspondencia (1928-1940), Trotta, Madrid, pp. 9-19. NÁJERA PÉREZ, Elena 2003 Del ego cogito al vrai homme, Valencia, UPV. NATORP, Paul G. 1912 Kant und die Marburger Schule, Berlín-Nova Iork, KantStudien, Walter de Gruyter. NEBREDA, Jesús J. 2004 “El ser, que puede ser comprendido, es lenguaje”, en J. J. Acero, J. A. Nicolás, J. A. P. Tapias, L. Sáez, J. F. Zúñiga (eds.), El legado de Gadamer, Granada, Universidade de Granada, pp. 209-225. NICOLÁS, Juan A. 2004 “Explorando la experiencia de la verdad”, en J. J. Acero, J. A. Nicolás, J. A. P. Tapias, L. Sáez, J. F. Zúñiga (eds.), El legado de Gadamer, Granada, Universidade de Granada, pp. 153-170. NORTON, John D. 1995 “Did Einstein stumble? The debate over general covariance”, en U. Majer e H.-J. Schmidt (eds.), Reflections on spacetime. Foundations, Philosophy, History, Dordrecht-Boston-London, Kluwer Academic Publishers, pp. 103-125. ORTEGA Y GASSET, José 1913 “Sensación, construcción e intuición”, discurso lido no IV Congreso da Asociación Española para o Porgreso das Ciencias. En Obras Completas, t. XII, Alianza Editorial e Revista de Occidente, 1983, pp. 487-499. 1923 El tema de nuestro tiempo, Madrid, Calpe. En Obras Completas, t. III, Madrid, Revista de Occidente, 1946, pp. 141-242. 1930 La rebelión de las masas, Madrid, Revista de Occidente. En Obras Completas, t. IV, Madrid, Revista de Occidente, 1947, pp. 141-278. 1933 En torno a Galileo, curso na Universidade Central. Cítase por J. Ortega y Gasset, Madrid, Biblioteca Nueva, 2005. 261 1944 “Sobre la razón histórica”, en Obras Completas, t. XII, Madrid, Alianza Editorial e Revista de Occidente, pp. 239-330. 1958 La idea de principio en Leibniz y la evolución de la teoría deductiva, en Obras Completas, t. VIII, Madrid, Revista de Occidente, 1962, pp. 59-356. 1990 “Sobre la fenomenología”, Revista de Occidente, 108, pp. 13-28. 2007a “Introducción a los problemas actuales de la filosofía”, Obras completas, tomo VII, Madrid, Taurus/Fundación Ortega y Gasset. 2007b “Mesura a Einstein”, Obras completas, tomo VII, Madrid, Taurus/Fundación Ortega y Gasset. OTERO ESPASANDÍN, Xosé 1995 “Apoloxía de Rafael Dieste”, Rafael Dieste, un creador total, Vigo, Galaxia, pp. 89-96. OTERO PEDRAYO, Ramón 1927 “A marxe de Dieste”, El Pueblo Gallego, 969, pp.1-2. PALACIOS, Juan Miguel 1995 “Zubiri ante el problema del valor”, Del sentido a la realidad, Madrid, Fundación Xavier Zubiri-Editorial Trotta, pp. 129-134. PALMÁS, Ricardo 1995 “Rafael Dieste e as súas clases na AGUEA”, en A. Casas (coord.), Tentativas sobre Dieste, Santiago de Compostela, Sotelo Blanco, pp. 109-116. PARSONS, C. 1990 “The Structuralist View of Mathematical Objects”, Synthese, 843, pp. 303-46. PEÑA, Vidal 2006 “Introducción”, en B. Spinoza, Ética demostrada según el orden geométrico, Madrid, Alianza, pp. 7-39. POINCARÉ, Henri 1902 La Science et l'Hypothèse, París, Flammarion. Tradución ao español La ciencia y la hipótesis, Bos Aires, Espasa-Calpe, 1945. PEIRCE, Ch. S. 1931 Collected Papers, vols. I-VI, Massachussets, Cambridge.; vols. VII-VIII, Massachussets, Cambridge, 1958. 262 PÉREZ, Mª Antonia 1995b “Rafael Dieste: Crítica de arte e medios de comunicación”, en X. L. Axeitos (coord.), Rafael Dieste. Actas do Congreso celebrado na Coruña os días 25, 26 e 27 de maio de 1995, Santiago de Compostela, Xunta de Galicia, pp. 83-99. PERONA, Ángeles J. 2006 “Ruptura de relaciones y exceso de demandas. La polémica GadamerHabermas”, en J. Muñoz e A. M. Faerna (eds), Caminos de la hermenéutica, Madrid, Biblioteca Nueva, pp. 211-234. PHILIPSE, Herman 2004 “Edmund Husserl and the History of Classical Foundationalism”, en R. Feist (ed.), Husserl and the sciences. Selected perspectives, Ottawa, University of Ottawa Press, pp. 11-40. PILLADO MAYOR, Francisco 1995a “A Fiestra valdeira no teatro galego”, A Nosa Terra, col. «A Nosa Cultura», vol. 15: Rafael Dieste: “Era un tempo de entusiasmo...”, pp. 79-81. Anteriormente publicado en castelán (“A fiestra valdeira en el teatro gallego”) en Documentos A, 1, pp. 125-127. 1995b “O xornalista”, Rafael Dieste, un creador total, Vigo, Galaxia, pp. 107-111. PILLADO RIVADULLA, Francisco 1991 “Rafael Dieste, periodista”, Documentos A, 1, pp. 145-146. PINTOR-RAMOS, Antonio 1995 “Intelectualismo e inteleccionismo”, Del sentido a la realidad, Madrid, Fundación Xavier Zubiri-Editorial Trotta, pp. 109-128. POZO GARZA, Luz 1995 “Rafael Dieste: Diálogo estético coa Xeración do 27”, en X. L. Axeitos (coord.), Rafael Dieste. Actas do Congreso celebrado na Coruña os días 25, 26 e 27 de maio de 1995, Santiago de Compostela, Xunta de Galicia, pp. 267-278. 1999 “Da xente miúda”, Xornadas sobre Rafael Dieste, Santiago de Compostela, Xunta de Galicia, pp. 89-97. PUTNAM, Hilary 1967 “Mathematics without foundations”, Journal of Philosophy, 64/1, pp. 5-22 1975 “The Refutation of Conventionalism”, Mind, Lan-guage and Reality, Cambridge, Cambridge University Press. 263 QUINE, W.V. 1951 “Two Dogmas of Empiricism”, Philosophical Review, 60/1, pp. 20-43. RECAS, Javier 2006 “Hermenéutica crítica: seis modelos”, en J. Muñoz e A. M. Faerna (eds), Caminos de la hermenéutica, Madrid, Biblioteca Nueva, pp. 137-176. REI NÚÑEZ, Luis 1990 “Dieste, filósofo do pobo”, en X. L. Barreiro Barreiro (coord.), O pensamento galego na historia (Aproximación crítica), Santiago de Compostela, Universidade de Santiago de Compostela, pp. 347-350. RESNIK, M. 1981 “Mathematics as a Science of Patterns: Ontology and Reference”, Nous, 15, 529-550. RICKERT, H. 1899 Kulturwissenschaft und Naturwissenschaft, Freiburg. 1934 Grundprobleme der Philosophie. Methodologie, Ontologie, Anthropologie, Tübingen, Mohr. RICOEUR, Paul 1951 “Vérité el mensonge”, Esprit, 19/12, pp. 753-778. Tradución ao español “Verdad y mentira”, en Historia y verdad, Madrid, Encuentro, 1990, pp. 145168. RINOFER-KREIDL, Sonja 2004 “What Is Wrong with Naturalizing Epistemology? A Phenomenologist’s Reply”, en R. Feist (ed.), Husserl and the sciences. Selected perspectives, Ottawa, University of Ottawa Press, pp. 41-68. RODRÍGUEZ, Ramón 1993 Hermenéutica y subjetividad. Ensayos sobre Heidegger, Madrid. Trotta. RODRÍGUEZ ÁLVAREZ, Manuel 1983 “Risco e o pensamento filosófico”, Grial, 80, pp. 131-141. RODRÍGUEZ FER, Claudio 1991 “Rafael Dieste en la guerra civil”, Documentos A, 1, pp. 147-150. 1995a “Loitador antifacista”, A Nosa Terra, col. «A Nosa Cultura», vol. 15: Rafael Dieste: “Era un tempo de entusiasmo...”, pp. 48-54. 264 1995b “Rafael Dieste ante o escándalo Gide”, en X. L. Axeitos (coord.), Rafael Dieste. Actas do Congreso celebrado na Coruña os días 25, 26 e 27 de maio de 1995, Santiago de Compostela, Xunta de Galicia, pp. 109-121. ROLDÁN, Concha 1997 Entre Casandra y Clío. Una historia de la filosofía de la historia, Madrid, Akal. ROMERO, Marga 1995 “A poesía conciliada. Unha lectura de Rojo farol amante”, A Nosa Terra, col. «A Nosa Cultura», vol. 15: Rafael Dieste: “Era un tempo de entusiasmo...”, pp. 60-62. RORTY, Richard 1979 Philosophy and the Mirror of Nature. Princeton, Princeton University Press. Tradución La filosofía y el espejo de la naturaleza, Madrid, Cátedra, 1983. ROTA, Gian-Carlo 1997a The phenomenology of mathematical beauty, Synthese 111, pp. 171-182. 1997b The phenomenology of mathematical proof, Synthese 111, pp. 183-196. RUIBAL, Euloxio R. 1995a “Ecos valleinclanianos en Don Frontán”, en A. Casas (coord.), Tentativas sobre Dieste, Santiago de Compostela, Sotelo Blanco, pp. 149-158. 1995b “Breve aproximación á estética teatral de Rafael Diete”, en X. L. Axeitos (coord.), Rafael Dieste. Actas do Congreso celebrado na Coruña os días 25, 26 e 27 de maio de 1995, Santiago de Compostela, Xunta de Galicia, pp. 245-256. RUNGGALDIER, E. 1984 Carnap’s Early Conventionalism: An Inquiry into the Historical Background of the Vienna Circle, Amsterdam, Rodopi. RUSSELL, Bertrand 1903 The Principles of Mathematics, Londres, Allen & Unwin. SÁNCHEZ DURÁ, Nicolás 2006 “Tradiciones a medida. Descripción y juicios de valor en el uso del pasado”, en J. Muñoz e A. M. Faerna (eds), Caminos de la hermenéutica, Madrid, Biblioteca Nueva, pp. 265-298. SAN MARTÍN, Javier 1986 La estructura del método fenomenológico, Madrid, UNED. 1992 “Ortega y Gasset: a vueltas con una relación polémica”, Anthropos, 77, pp. I-IV. 1994 Ensayos sobre Ortega, Madrid, UNED. 265 1998 “La estructura de la reducción fenomenológica”, en M. L. Pintos Peñaranda e J. L. Gónzález López, Congreso Fenomenología y Ciencias Humanas. Santiago de Compostela, 24-28 de septiembre de 1996, Santiago de Compostela, Universidade de Santiago de Compostela, pp. 131-145. SAN MARTÍN, Javier (ed.) 1992 Ortega y la fenomenología. Actas de la I Semana Española de Fenomenología, Madrid, UNED. SHAPIRO, Stewart 1983a “Conservatiness and Incompleteness”, Journal of Philosophy, 80/9, pp. 521-31. 1983b “Mathematics and Reality”, Philosophy of Science, 50/4, pp. 523-548. SCHELER, Max 1912 Die Idole der Selbsterkenntnis, Bouvier Verlad. Tradución ao español Los ídolos del conocimiento de sí mismo, Madrid, Cristiandad. SCHMIDT, Heinz-Jürgen 1995 “A minimal interpretation of general relativistic spacetime geometry”, en U. Majer e H.-J. Schmidt (eds.), Reflections on spacetime. Foundations, Philosophy, History, Dordrecht-Boston-London, Kluwer Academic Publishers, pp. 71-82. SEPP, Hans Reiner 1998 “La esencia de ser en los análisis husserlianos de la conciencia de imagen”, en M. L. Pintos Peñaranda e J. L. Gónzález López, Congreso Fenomenología y Ciencias Humanas. Santiago de Compostela, 24-28 de septiembre de 1996, Santiago de Compostela, Universidade de Santiago de Compostela, pp. 147-159. SERRANO PLAJA, Arturo 1943 “Historias e invenciones de Félix Muriel”, De Mar a Mar, 7, 1943, pp. 34-40. Reproducido en Documentos A, 1, 1991, pp. 171-172. SPINOZA, Baruch 2006 Ética demostrada según el orden geométrico, Madrid, Alianza. STEIN, H. 1988 “Logos, Logic and Logistike” en W. Aspray e P. Kitcher (ed.), History and Philosophy of Modern Mathematics, Minnesota, University of Minnesota Press. STÖLTZNER, M. 2004 “On optimism and Oportunism in Applied Mathematics”, Erkenntnis, 60/1, Springer Netherlands.