Grupos e música: transformacións de acordes

Traballo Fin de Grao GRUPOS E MÚSICA: TRANSFORMACIÓNS DE ACORDES Lucía González Iglesias Xullo, 2022 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao GRUPOS E MÚSICA: TRANSFORMACIÓNS DE ACORDES Lucía González Iglesias Xullo, 2022 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA Traballo proposto Área de Coñecemento: Álxebra Título: Grupos e música: transformacións de acordes Breve descrición do contido Neste traballo abordaranse algúns conceptos de teoría de grupos e as súas accións. O obxectivo principal é aplicalo á teoría de acordes musicais. En concreto estudaremos dous grupos que actúan sobre os acordes da escala diatónica e as relacións entre ambos. Recomendacións Coñecer os elementos básicos da linguaxe musical incluíndo a escala diatónica, intervalos e acordes. Outras observacións iii Índice Resumo vii Introdución ix 1. Teoría de grupos 1 1.1. Xeneralidades sobre grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Gruposcíclicos ..................................... 5 1.3. TeoremadeLagrange.................................. 8 1.4. Subgruposnormais................................... 8 1.5. Homomorsmosdegrupos............................... 10 1.6. Teoremasdeisomorfía ................................. 12 1.7. Acciónsdegrupos ................................... 14 1.8. Xeradores e relacións. Grupos libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2. O grupo simétrico 25 2.1. Permutacións...................................... 25 2.2. Permutacións pares e impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3. Clases de conxugación de Sn ............................. 33 2.4. Presentación de Sn ................................... 35 v vi ÍNDICE 3. As matemáticas e os acordes 39 3.1. Nociónsmusicais .................................... 39 3.2. Transformacións de acordes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2.1. Transposicións e inversións . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2.2. Tríades paralelas e relativas. O intercambio de sétima . . . . . . . . . . . 45 3.2.3. O isomorsmo entre TI e PLR ....................... 50 3.3. Accións dos grupos TI e PLR sobre M ....................... 52 3.3.1. O grupo TI .................................. 52 3.3.2. O grupo PLR ................................. 53 3.4. Conmutatividade e dualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Bibliografía 57 2 1. Teoría de grupos Existencia de elemento simétrico: ∀x∈G, ∃x′∈G tal que x·x′=e=x′·x . Se, ademais, se verica que ∀x, y ∈G, x ·y=y·x , o grupo G dise conmutativo ou abeliano . Pola denición, dedúcese que nun grupo G se verican as seguintes propiedades : O neutro é único. O simétrico dun elemento é único. (x·y)′=y′·x′,∀x, y ∈G . (x′)′=x, ∀x∈G . x·y=x·z⇒y=z , ∀x, y, z ∈G . x·y=e⇒x=y′ e y=x′ . Para denotar un grupo poden utilizarse dúas notacións distintas: Multiplicativa : denótase (G, ·) , o neutro por 1 , e o elemento simétrico (ou inverso) de x por x−1 . Ademais, por simplicar, tense que x·y=xy . Aditiva : denótase (G, +) , o neutro por 0 , e o simétrico dun elemento x por −x . En xeral, a segunda utilízase cando o grupo é conmutativo. Vexamos agora uns primeiros exemplos de grupos: Exemplo 1.2. Os exemplos máis clásicos de grupos son os números enteiros Z , os racionais Q , os reais R e os complexos C coa suma; así como os racionais sen o cero Q∗ , os reais sen o cero R∗ e os complexos sen o cero C∗ , coa multiplicación. Exemplo 1.3. Un anel é unha terna (R, +,·) , onde (R, +) é un grupo, (R, ·) é un monoide ( · é asociativa e ten elemento neutro 1) e vericando a propiedade distributiva de · respecto de + . Pode verse que, dado un anel R , o conxunto das súas unidades, que se dene como U(R) := {a∈R| ∃a−1∈R , aa−1=a−1a= 1} , é un grupo coa multiplicación. Exemplo 1.4. Outro exemplo é o grupo linear xeral GL(n, K) , que é o conxunto das matrices de orde n×n non singulares sobre un corpo K (un anel onde todo elemento distinto de 0 é unha unidade), coa operación a multiplicación de matrices. Este é un exemplo de grupo non conmutativo, debido a que o produto de matrices non ten por que selo. 1.1. Xeneralidades sobre grupos 3 Exemplo 1.5. O grupo diédrico Dn con n∈N é o grupo simétrico dun polígono regular de n lados e ten 2n elementos. Por exemplo, D3 é o grupo simétrico dun triángulo equilátero. Considérase un triángulo de vértices A, B e C. Téñense entón os xiros no sentido contrario ao das agullas do reloxo de 120◦,240◦ e 360◦ ( G120, G240, G360 ) así como as simetrías sobre cada un dos vértices do triángulo: SA, SB e SC . O grupo G é entón G={G120, G240, G360, SA, SB, SC} . Se se fai a composición entre cada par de transformacións, obtense a táboa seguinte: G120 G240 G360 SASBSC G120 G240 G360 G120 SBSCSA G240 G360 G120 G240 SCSASB G360 G120 G240 G360 SASBSC SASCSBSAG360 G240 G120 SBSASCSBG120 G360 G240 SCSBSASCG240 G120 G360 Introdúcese agora o concepto de subgrupo. Denición 1.6. Un subgrupo dun grupo (G, ·) é un subconxunto H⊂G , H=∅ de xeito que (H, ·) é un grupo. É dicir, 1∈H e para todo par de elementos x, y ∈H , tense que xy ∈H e x−1∈H . Denótase por H < G . Obviamente, {1}< G e G<G . Outros exemplos sinxelos son os seguintes. Exemplo 1.7. Xa se dixo que (Z,+) , (Q,+) , (R,+) e (C,+) son grupos. Entón, é claro que (Z,+) <(Q,+) <(R,+) <(C,+) . Exemplo 1.8. Se nZ , con n∈N é o grupo formado polos múltiplos de n en Z , terase que (nZ,+) <(Z,+) . Exemplo 1.9. Como xa se dixo no Exemplo 1.4, o grupo linear xeral GL(n, K) é un grupo, sendo K un corpo. En concreto, GL(2,C) é o grupo das matrices 2×2 invertibles con entradas en C . Considéranse dúas matrices neste grupo: A= i0 0−i!B= 0 1 −1 0! A partir destas dúas matrices, defínese a continuación o chamado grupo dos cuaternios Q8 , que está formado polos 8 elementos: Q8={A, A2, A3, A4=I, B, AB, A2B, A3B} . A2= −1 0 0−1!A3= −i0 0i! 4 1. Teoría de grupos AB = 0i i0!A2B= 0−1 1 0 !A3B= 0−i −i0! Téñense cinco subgrupos neste grupo. En primeiro lugar tense o subgrupo trivial {A4=I} . En segundo lugar, o subgrupo de dous elementos N={I, A2} . Finalmente, tres subgrupos de catro elementos H1={A, A2, A3, A4} , H2={B, B2, B3, B4=I} e H3={AB, (AB)2,(AB3), I} . Cabe destacar que, dado un grupo cun número nito de elementos, pode representarse gra- camente o seu retículo de subgrupos, como se ve a continuación. Exemplo 1.10. Considérese o grupo de Klein, un grupo de 4 elementos, V={1, a, b, c} , cuxa operación interna vén dada pola seguinte táboa: · 1 a b c 1 1 a b c a a 1 c b b b c 1 a c c b a 1 É un grupo conmutativo no que hai tres subgrupos non triviais: {1, a} , {1, b} e {1, c} . Non obstante, {1, a, c} non é un subgrupo, xa que ac =b /∈ {1, a, c} . Obtense, entón, o seguinte retículo de subgrupos: V {1, a} {1, b} {1, c} {1} Vese agora un resultado sobre a intersección de subgrupos. Proposición 1.11. Dado un grupo G , a intersección de subgrupos de G é un subgrupo de G : Hi< G, i ∈I⇒Ti∈IHi< G . Este resultado xeral que se verica coa intersección de subgrupos non ten por que cumprirse coa unión, como se pode ver a continuación. Exemplo 1.12. Sexa o grupo Z , e sexan 3Z<Z e 4Z<Z . Obsérvase facilmente que 3∈3Z e 4∈4Z . Non obstante, 3 + 4 = 7 /∈3Z∪4Z , e polo tanto 3Z∪4Z≮Z . 1.2. Grupos cíclicos 5 Deste xeito, aínda que a unión de subgrupos non sexa en xeral un subgrupo, pode denirse o menor subgrupo que contén á unión. De xeito aínda máis xeral, defínese a continuación o menor subgrupo contendo a un subconxunto. Denición 1.13. O subgrupo xerado por X , sendo G un grupo e X un subconxunto de G , é o menor subgrupo de G contendo a X , e denótase por ⟨X⟩ . Polo visto anteriormente, pode armarse que ⟨X⟩=T{H|H < G, X ⊂H} . A proposición seguinte dinos como son os elementos do subgrupo que se acaba de denir. Proposición 1.14. Se X=∅, X ⊂G con G grupo, tense que ⟨X⟩={a1···an|n∈N e para cada i, ai∈X ou a−1 i∈X} . 1.2. Grupos cíclicos Poden agora introducirse os conceptos de subgrupo e grupo cíclicos. Denición 1.15. Dado a∈G , o subgrupo cíclico xerado por a é ⟨a⟩:= {an|n∈Z} . Así, dise que un grupo G é cíclico se ∃a∈G tal que G=⟨a⟩ . Cabe destacar que todo grupo cíclico é abeliano, e que todo subgrupo dun grupo cíclico é cíclico. Entón, un grupo dise cíclico se pode xerarse por un solo elemento del. Vexamos un exemplo sinxelo de grupo cíclico. Exemplo 1.16. Considerando Z coa suma, é un grupo cíclico: Z=⟨1⟩ , e tamén Z=⟨−1⟩ . Exemplo 1.17. Pola súa banda, pode denirse en Z unha relación de equivalencia mediante a congruencia a≡b (mód m ), onde a, b, m ∈Z . Entón, polo algoritmo da división en Z , xado m∈N , tense que para todo a∈Z se verica a=mq +r , onde 0≤r < m . É dicir, cada a∈Z é congruente módulo m a r , isto é, a 0,1,2, ...., m −1 . Estes números son os residuos módulo m , que son as clases da relación de equivalencia. O conxunto das clases é Zm={1,2, ..., m −1} , que é un grupo coa suma. Ademais, resulta ser un grupo cíclico, pois Zm=⟨1⟩ . Posteriormente, estudarase o grupo Z12 polo seu signicado musical, xa que é un xeito sinxelo de representar a escala cromática equitemperada. Nunha sección posterior verase que tódolos grupos cíclicos son como Z ou Zm , para m∈N . Introdúcese a continuación o concepto de orde dun grupo e orde dun elemento do grupo. 6 1. Teoría de grupos Denición 1.18. Sexa G un grupo. A súa orde , |G| , é o número de elementos que ten se o conxunto G é nito. Noutro caso, dise que G é de orde innita. Ademais, se a∈G , defínese a súa orde , |a| , como a orde de ⟨a⟩ . Proposición 1.19. Dado un grupo G , a∈G , |a|=n : 1. Os elementos 1, a, ..., an−1 son todos distintos; ⟨a⟩={1, a, ..., an−1} e an= 1 . 2. Sexa m∈Z . Entón, am= 1 ⇔m= ˙n . En particular, n é o menor enteiro positivo non nulo de xeito que an= 1 . Unha forma sinxela de visualizar un grupo cíclico nito nas hipóteses da proposición anterior consiste en representar nun círculo os elementos 1, a, ..., an−1 do seguinte xeito: 1 = an a a2 as an−2 an−1 Así, obsérvase que un elemento as se atopa situado a s unidades, medidas no sentido das agullas do reloxo, do elemento an= 1 . Pode verse facilmente no seguinte exemplo. Exemplo 1.20. Tomando Un o conxunto das raíces n-ésimas da unidade, tense que é un grupo multiplicativo cíclico de orde n que está xerado por α= cos 2π n+isen 2π n . Represéntanse no círculo de raio unidade, dende αn= 1 situado no punto (1,0) , co resto situados equidistantes no sentido contrario ás agullas do reloxo. Proposición 1.21. Sexa G un grupo cíclico de orde n , G=⟨a⟩ . Entón: 1. |ar|=n (n,r) , onde (n, r) denota o máximo común divisor de n e de r . 2. ⟨ar⟩=G⇔(n, r)=1 Un grupo cíclico pode ter máis dun xerador como xa se viu con Z . A proposición anterior determina as potencias de a que xeran o grupo ⟨a⟩ . Introdúcese a continuación a función φ de Euler, que servirá para enunciar unha serie de resultados que caracterizan ós grupos cíclicos nitos. 1.2. Grupos cíclicos 7 Denición 1.22. A función φ de Euler defínese como segue: φ(n) := |{a≤n|a∈Z+ e (a, n)=1}| , para n∈Z+ e onde | · | representa o cardinal. Esta función é importante en teoría de números e proporciona o tamaño do grupo multiplicativo de enteiros módulo n . Máis precisamente, φ(n) é a orde do grupo de unidades do anel Zn . Lema 1.23. Sexa un grupo cíclico G de orde n . Entón, para cada divisor d de n existe un único subgrupo de G de orde d . Demostración. Supoñamos |G|=n < ∞ , G=⟨a⟩ e sexa d dividindo a n . Entón denotemos t=n d . Pola Proposición 1.21, tense que |at|=d , polo que existe un subgrupo ⟨at⟩< G de orde d . Vexamos agora que este subgrupo de G é o único de orde d . Sexa H outro subgrupo de G de orde d . Entón, H=⟨as⟩ , sendo s o mínimo enteiro positivo vericando as∈H . De novo pola Proposición 1.21, n (n,s)=|as|=|H|=d=n t , de onde se deduce que t= (n, s) . Así, t divide a s , e polo tanto as∈ ⟨at⟩ . Entón, H=⟨as⟩<⟨at⟩ , pero tamén se tiña |at|=d=|H| , o que implica que H=⟨at⟩ . Teorema 1.24. Dado un enteiro positivo n , verifícase que n=Pd|nφ(d) , onde d son os divisores de n tales que 1≤d≤n . Demostración. Se C é un subgrupo cíclico do grupo G , denótase por xen( C ) o conxunto dos seus xeradores. Deste xeito, G pode escribirse como a unión disxunta G=S xen( C ), onde C percorre tódolos subgrupos cíclicos de G . Entón, como se dixo no lema, se G é un grupo cíclico de orde n , hai un único subgrupo Cd cíclico de orde d para cada divisor d de n . Polo tanto, terase que n=|G|=Pd|n| xen (Cd)| . Ademais, dado un grupo cíclico G de orde n de xeito que G=⟨a⟩ , tense que G=⟨ak⟩ se, e só se, (k, n)=1 . Así, o número de xeradores de G é φ(n) . Conclúese entón que | xen (Cd)|=φ(d) , de onde se segue o resultado do teorema. Teorema 1.25. Un grupo G de orde n é cíclico se, e só se, existe ao sumo un subgrupo cíclico de G de orde d para cada divisor d de n . Demostración. A implicación cara a dereita séguese do lema anterior (Lema 1.23). Lembremos agora que, pola proba anterior, o grupo G é a unión disxunta G=S xen (C) , con C os distintos subgrupos cíclicos de G . Agora, polo teorema anterior, n=|G|=P| xen (Cd)| ≤ Pd|nφ(d) = n . Conclúese entón que, para cada divisor d de n , se ten un subgrupo cíclico de orde d . En particular, tomando d=n , G é cíclico. 8 1. Teoría de grupos 1.3. Teorema de Lagrange Nesta sección enúnciase o Teorema de Lagrange e algún resultado que se deduce a partir del. Dado un grupo G e H < G , defínese unha relación de equivalencia: x, y ∈G, x ∼y:⇔x−1y∈H As clases da relación de equivalencia son: [a] = {b∈G|a−1b∈H}=aH para a∈G . En particular, [1] = H , e tense así unha partición de G dada pola unión disxunta das clases. Denamos unha serie de conceptos necesarios para enunciar o teorema de Lagrange. Denición 1.26. O conxunto cociente de G por H é o conxunto das clases de equivalencia anteriores, e denótase por G/H . Denición 1.27. O índice de H en G , (G:H) , denota o cardinal de G/H . Teorema 1.28. ( Teorema de Lagrange ) Se G é un grupo nito, entón |G|=|H|(G:H) . Do teorema de Lagrange séguense os seguintes resultados: Corolario 1.29. Dado un grupo G nito, verifícase: 1. H < G ⇒ |H|||G| . 2. a∈G⇒ |a|||G| . 3. a∈G⇒a|G|= 1 . 4. Se |G| é un número primo, entón G é cíclico. É de interese mencionar que se ben o teorema de Lagrange di que se G é un grupo nito de orde n e H é un subgrupo de G , a orde de H divide a n , non se ten asegurada a existencia dun subgrupo de orde d para d un divisor de n . Este resultado é certo para os grupos cíclicos nitos e tal subgrupo tamén é cíclico como se viu no Lema 1.23 e tamén para as potencias de primos que dividen a n , resultado que está asegurado polo teorema de Sylow. No capítulo seguinte darase un exemplo dun grupo de orde 12 que non ten ningún subgrupo de orde 6 . 1.4. Subgrupos normais Séguese a continuación o estudo dun tipo de subgrupos N que permiten reectir no cociente G/N a estrutura de grupo de G . 1.4. Subgrupos normais 9 Denición 1.30. Dado un grupo G , dise que un subgrupo N < G é normal e denótase N ◁ G se aNa−1⊂N∀a∈G , onde aNa−1={ana−1|n∈N} . Vexamos unha caracterización dos subgrupos normais. Proposición 1.31. Sexa N un subgrupo dun grupo G . Equivalen: 1. N ◁ G . 2. aN =Na ∀a∈G . 3. aNbN =abN ∀a, b ∈G . 4. aNa−1=N∀a∈G . Poden verse uns primeiros exemplos de subgrupos normais dun grupo G . Exemplo 1.32. Sexa G un grupo. Entón, obviamente G e {1} son subgrupos normais de G . Denición 1.33. Dados dous elementos a, b ∈G con G grupo, dise que son conxugados se ∃x∈G tal que b=x−1ax . A relación "ser conxugados" é unha relación de equivalencia en G , e denótase por c ∼ . Deste xeito, a clase de conxugación dun elemento a∈G está formada por tódolos elementos de G que son conxugados con a . Así, pode dicirse que un subgrupo H dun grupo G é normal se, e soamente se, H contén ós conxugados de tódolos seus elementos: H ◁ G ⇔[x∈H, y c ∼x⇒y∈H] É dicir, un subgrupo é normal se contén tódalas clases de conxugación de tódolos seus elementos. Vexamos unha condición suciente para que un subgrupo sexa normal. Proposición 1.34. Sexa N un subgrupo de G . Entón (G:N) = 2 ⇒N ◁ G . Defínense a continuación dous subgrupos dun grupo G , que se verica que son normais. Denición 1.35. 1. O centro de G é Z(G) := {x∈G|xy =yx ∀y∈G} . 2. Dados a, b ∈G , o conmutador de a e b é o elemento [a, b] := aba−1b−1 . Entón, o conmutador de G é o subgrupo xerado por tódolos conmutadores de elementos de G, é dicir, [G, G] := ⟨aba−1b−1|a, b ∈G⟩ . Ademais, [G, G] queda caracterizado do xeito seguinte: a ) [G, G] é subgrupo normal de G . 10 1. Teoría de grupos b ) G/[G, G] é abeliano. c ) Se H ◁ G de xeito que G/H é abeliano, entón [G, G]⊂H . Obsérvese que dado un grupo G conmutativo e N < G , tense trivialmente que N ◁ G . Analicemos agora exemplos de subgrupos normais, comezando co grupo dos cuaternios, e seguindo co grupo simétrico dun triángulo equilátero. Exemplo 1.36. Considérese o grupo dos cuaternios, do que xa se falou no Exemplo 1.9. Pode verse que é un exemplo de grupo non conmutativo que ten tódolos subgrupos normais: Xa se dixo que os subgrupos son o trivial, e os subgrupos N={I, A} , H1={I, A, A2, A3} , H2={I, B, B2, B3} e H3={I, AB, (AB)2,(AB)3} . O subgrupo trivial sempre é normal. Por outra banda, os subgrupos de catro elementos son normais porque, por exemplo tomando H1 , tense que (Q8:H1) = 2 ⇒H1◁ Q8 . Finalmente, o subgrupo de 2 elementos N={1, A} tamén é normal, como se pode ver tomando calquera C∈Q8 facendo C−1A2C=A2 . Exemplo 1.37. Centrémonos no grupo D3 (Exemplo 1.5). Observamos que hai catro subgrupos distintos (que non son nin o trivial nin o propio grupo G ). N={G360, G120, G240}=⟨{G120}⟩ =⟨{G240}⟩ =⟨{G120, G240}⟩ , H1={G360, SA}=⟨{SA}⟩ , H2={G360, SB}=⟨{SB}⟩ , H3={G360, SC}=⟨{SC}⟩ . Como |N|=|G120|=|G240|= 3 e |G|= 6 , entón (G:N) = 6 3= 2 , e así N ◁ G . Por outra banda, tomando por exemplo SB∈G , SBSAS−1 B=SBSASB=G120SB=SC/∈H1 , e polo tanto H1 non é subgrupo normal de G . O mesmo sucede con H2 e H3 . A seguinte proposición garante que o cociente dun grupo por un subgrupo normal ten estrutura de grupo. Proposición 1.38. Se N ◁ G , entón G/N será un grupo, denominado grupo cociente de G por N , de orde (G:N) , e que está dado pola operación (aN)(bN) = abN . O neutro é N e o simétrico dun elemento aN é a−1N . 1.5. Homomorsmos de grupos Esta sección céntrase nas aplicacións entre grupos que son compatibles coas operacións dos grupos, e que serán denominadas homomorsmos de grupos. Denición 1.39. Dados dous grupos (G1,∗) e (G2,◦) , un homomorsmo de grupos é unha aplicación f:G1−→ G2 de xeito que ∀a, b ∈G1 , 1.5. Homomorsmos de grupos 11 f(a∗b) = f(a)◦f(b) . Segundo a aplicación sexa inxectiva, sobrexectiva ou bixectiva, teranse distintos tipos de homomorsmos, que se denen a continuación. Denición 1.40. Un monomorsmo é un homomorsmo inxectivo, e un epimorsmo é un homomorsmo sobrexectivo. Denición 1.41. Un isomorsmo é un homomorsmo que tamén é unha bixección. Se existe un isomorsmo entre dous grupos G1 e G2 , dirase que son isomorfos e denotarase por G1∼ =G2 . Exemplo 1.42. Considérese agora o grupo de Klein de catro elementos, do que xa se falou no Exemplo 1.10, e compárese co grupo cíclico de catro elementos (táboa da dereita). · 1 a b c 1 1 a b c a a 1 c b b b c 1 a c c b a 1 · 1 a b c 1 1 a b c a a b c 1 b b c 1 a c c 1 a b As dúas táboas son distintas, e así dannos un exemplo de dous grupos de catro elementos non isomorfos. Estudemos unha serie de propiedades que verican os homomorsmos de grupos. Proposición 1.43. Sexa f: (G1,∗)−→ (G2,◦) un homomorsmo de grupos. Entón verifícase: 1. f(1) = 1 , onde, por abuso de notación, se denota por 1 o neutro en ámbolos dous grupos. 2. f(a−1) = f(a)−1 para todo a∈G1 . 3. f(an) = f(a)n para todos a∈G1 e n∈Z . Vexamos algún exemplo de homomorsmo de grupos. Exemplo 1.44. Sexa S1 o grupo do círculo de raio 1, é dicir, o grupo multiplicativo de tódolos números complexos de módulo 1. Entón, para un número real xado y : fy:R−→ S1 x7−→ fy(x) = eiyx é un homomorsmo. De feito, as funcións fy son os únicos homomorsmos continuos R→S1 . Exemplo 1.45. Nun grupo G , é sinxelo ver que a conxugación por un elemento a∈G é un homomorsmo de grupos ca:G→G , onde ca(x) = axa−1∀x∈G . Observamos que non só é un homomorsmo, se non que ao ser unha aplicación bixectiva, tamén é un isomorsmo. 18 1. Teoría de grupos Proposición 1.76. Sexan F e F′ grupos libres con base o conxunto X . Verifícase que F e F′ son isomorfos. Demostración. Tomando na denición anterior como grupo G o grupo F′ e como aplicación f a inclusión i′ de X en F′ , por ser F libre de base X , existe un único homomorsmo h:F→F′ de xeito que hi =i′ , sendo i a inclusión de X en F . Razoando de xeito análogo, tómase como grupo G o grupo F , e como aplicación f a inclusión i de X en F . De novo a propiedade universal do grupo libre F′ dá a existencia dun único homomorsmo h′:F′→F tal que h′i′=i . Entón, hi =i′ e h′i′=i , polo que substituíndo en ambas ecuacións tense hh′i′=i′ e h′hi =i . Así, hh′ e h′h son ambas a identidade, e entón h e h′ son isomorsmos. A continuación, farase unha construción que proba a existencia de grupos libres. Comézanse dando unha serie de denicións que resultarán de utilidade. Ao longo desta sección, X será un conxunto, X−1 outro conxunto bixectivo con el e disxunto, e {1} un conxunto unitario de xeito que {1}∩(X∪X−1) = ∅ . Denición 1.77. Unha sucesión (x1, x2, ...) con xi∈ {1}∪X∪X−1 e de xeito que ∃n∈N tal que xi= 1 para todo i≥n denomínase unha palabra en X . En particular, a palabra baleira será aquela formada pola sucesión constante (1,1, ...) e denotarase por 1 . Poden pensarse as palabras da forma xλ1 1···xλn n , onde xi∈X , λ∈ {1,−1,0} se 1≤n−1 e λn∈ {1,−1} . Obsérvese que esta ortografía dunha palabra é única, xa que dúas series (ai) e (bi) son iguais se o son termo a termo. Denición 1.78. Unha palabra dise que é reducida se é a palabra baleira ou é da forma xλ1 1···xλr r con xi∈X , λi=±1 e xi e x−1 i nunca son adxacentes. Visualicemos estas dúas denicións nun exemplo. Exemplo 1.79. Se X={x, y, z} , xyx e x−1yzz−1y−1zxz son palabras, das cales a primeira é reducida e a segunda non. A palabra reducida desta é x−1zxz . Dúas palabras u=xλ1 1···xλn n e v=yµ1 1···yµl l poden multiplicarse denindo o produto de ambas como uv =xλ1 1···xλn nyµ1 1···yµl l . Pero hai un problema, e é que esta multiplicación non dene un produto como tal no conxunto das palabras reducidas sobre X , posto que o produto de dúas palabras reducidas non ten por que selo tamén. Para emendar isto defínese unha nova multiplicación de palabras reducidas, o que se coñece por xustaposición , entendendo por tal pegar dúas palabras reducidas e facer a reducida da palabra resultante. Vexámolo nun exemplo. 1.8. Xeradores e relacións. Grupos libres 19 Exemplo 1.80. Sexa X={x, y, z} , e considérense as palabras xyx , x−1yx−1z e z−1xy−1 . Entón, terase que o produto da primeira e da segunda sería xyxx−1yx−1z , que non é unha palabra reducida, pero a xustaposición desas dúas palabras sería xyyx−1z , que si que é reducida. A xustaposición da segunda e da terceira será, de xeito análogo, x−1 . Imos probar que o conxunto de palabras reducidas con esta operación que se acaba de denir é un grupo. Teorema 1.81. Para cada conxunto X , existe un grupo libre F de base X . Demostración. Denótase por F o conxunto das palabras reducidas sobre o conxunto e como operación en F considérase a xustaposición. A palabra baleira é a identidade para a xustaposición, e a inversa dunha palabra reducida xλ1 1···xλn n sería x−λn n···x−λ1 1 , que é tamén reducida, polo que só falta probar a asociatividade. Esta proba podería facerse por indución distinguindo casos como fai o texto de Carstensen, Fine e Rosenberger [2]. Porén, resulta unha demostración pesada, e por iso se fará seguindo a idea de van der Waerden. Sexa x∈X arbitrario e (xλ1 1, ..., xλn n)∈F , é dicir, unha palabra reducida. Entón, tómanse as funcións |xλ|:F→F , con λ=±1 que se denen do seguinte xeito: |xλ|(xλ1 1, ..., xλn n) =    xλxλ1 1···xλn n, se xλ=x−λ1 1 xλ2 2···xλn n, se xλ=x−λ1 1 Observamos que |x|◦|x−1|=|x−1|◦|x|= 1F , é dicir, son a identidade en F . Entón, |x| e |x−1| son permutacións de F que ademais son inversas entre si. Consideremos o grupo simétrico de F , SF , e F0 o subgrupo de SF xerado por {|x|:x∈X} . Veremos que F0 é libre con base {|x|:x∈X} . Tense unha bixección χ:{|x|:x∈X} → X dada por χ(|x|) = x . En primeiro lugar, un elemento h∈F0 arbitrario, con h= 1F , pode factorizarse da forma g=|xλ1 1|◦|xλ2 2|◦···◦|xλn n| (1.1) cos elementos |xλi| e |x−λi| nunca adxacentes e λi=±1 . Como g(1) = xλ1 1xλ2 2···xλn n e como a ortografía dunha palabra reducida é única, esta factorización é única. Agora, para ver que F0 é un grupo libre con base {|x|:x∈X} , consideremos unha aplicación f:{|x|:x∈X} → G con G grupo. Defínese unha aplicación h:F0→G que virá dada por f(|xλ1 1|◦···◦|xλn n|) = f(|x1|)λ1···f(|xn|)λn . Pola unicidade de factorización dun elemento g∈F0 dada pola ecuación 1.1, a función h está ben denida e estende f . Tense entón o seguinte diagrama conmutativo. 20 1. Teoría de grupos {|x|:x∈X}F0 G i fh Agora ben, como F0 está xerado por {|x|:x∈X} , é suciente probar que h é un homomorsmo. A unicidade deducirase de que dous homomorsmos que coinciden nun conxunto de xeradores son o mesmo. Sexan, pois, u e v elementos de F0 , é dicir, palabras reducidas sobre {|x|:x∈X} . Se uv é reducida, é claro que h(uv) = h(u)h(v) . Se non, u e v son da forma u=u′◦w e v=w−1◦v′ con u′v′ reducida. Por ser u e v reducidas, h(u) = h(u′)h(w) e h(v) = h(w−1)h(v′) = h(w)−1h(v′) , e así h(u)h(v) = h(u′)h(w)h(w)−1h(v′) = h(u′)h(v′) . Agora ben, por ser u′v′ reducida, h(u′)h(v′) = h(u′v′) = h(uv) . Entón chégase a que, efectivamente, h é un homomorsmo. Como se verica a propiedade universal da Denición 1.75, viuse que F0 é un grupo libre con base {|x|:x∈X} . Por outra banda, sexa ¯χ:F0→F con ¯χ(|xλ1 1|◦|xλ2 2|◦···◦|xλn n|) = xλ1 1xλ2 2···xλn n . ¯χ é bixectiva, e ademais ¯χ({|x|:x∈X}) = χ({|x|:x∈X}) = X . {|x|:x∈X}F0 X F i′ χ¯χ i Sábese que se G é un grupo, X un conxunto e f:G→X unha bixección, existe unha única operación en X tal que X é grupo e f é un isomorsmo. Con este resultado tense que considerando a xustaposición en f e por denición de ¯χ , ¯χ é un isomorsmo. Entón, F é un grupo isomorfo a F0 . Ademais, F é libre con base X : dado G grupo e f:X→G aplicación, consideramos fχ e como F0 é libre sobre {|x|:x∈X} , existe un único homomorsmo h:F0→G de xeito que hi′=fχ , sendo i′ a inclusión de {|x|:x∈X} en F0 . Entón, sexa h1:F→G con h1=h¯χ−1 . Se i é a inclusión de X en F , tense que h1i=f , xa que h1i=h¯χ−1i=hi′χ−1=fχχ−1=f . Por outra banda, se h2:F→G é tal que h2i=f , entón h2iχ =fχ , e así h2¯χi′=fχ =hi . Agora ben, como h é o único homomorsmo que verica hi′=fχ , entón h2¯χ=h⇒h2=h¯χ−1=h1⇒h1=h2 , e polo tanto h1:F→G é o único homomorsmo de xeito que h1i=f , e queda así visto que F é un grupo libre sobre X . Por último, cabe destacar que X xera F xa que {|x|:x∈X} xera F0 . Desta proposición, séguese un importante resultado. 1.8. Xeradores e relacións. Grupos libres 21 Corolario 1.82. Un grupo G calquera é imaxe homomórca dun grupo libre. Entón, G é cociente dun grupo libre F , é dicir, G=F/N . Demostración. Sexa G un grupo, X un conxunto de xeradores de G e F o grupo libre sobre o conxunto X . Dadas as inclusións j:X ,→F e i ,→G , por ser F libre existe un único homomorsmo h:F→G de xeito que hj =i . Agora, como G=⟨G⟩ , tense que h é un epimorsmo, xa que para g∈G arbitrario, g=xλ1 1···xλn n=h(xλ1 1···xλn n) . Así, polo primeiro teorema de isomorfía, G∼ =F/ ker h . Podemos agora ver dado un grupo arbitrario, que se entende por presentación do grupo. Denición 1.83. Sexa X un conxunto e Y un conxunto de palabras reducidas en X . Dirase que un grupo G está denido polos xeradores X , e as relacións Y se G∼ =F/R , sendo F o grupo libre xerado por X e R o subgrupo normal de F xerado por Y . Unha presentación de G é un par da forma ⟨X|Y⟩ . Coas notacións do corolario anterior (Corolario 1.82), tíñase que G∼ =F/ ker h , sendo ker h= {(a1, ..., ar)|a1···ar= 1} con ai ou a−1 i∈X . Así, ker h é o subgrupo de relacións, e a presentación de G será da forma G=⟨X|ker h⟩ . Vexamos algúns exemplos de presentacións de grupos. Exemplo 1.84. Sexa a presentación ⟨a, b |b2a=b, ba2b=a⟩ e probemos que é unha presentación do grupo trivial. Como b2a=b , multiplicando por b−1 pola esquerda obtense ba = 1 . Substituíndo na segunda ecuación terase ba2b=a⇔(ba)(ab) = a⇒ab =a . Se agora se multiplica esta expresión por a−1 pola esquerda, obterase b= 1 , e como se tiña ba = 1 , entón tamén se deduce que a= 1 , e así o grupo obtido é, efectivamente, o trivial. Tense, pois, que un grupo G está determinado, salvo isomorsmos, por un sistema de xeradores e un conxunto de relacións. Inversamente, dado un conxunto X e un conxunto Y de palabras reducidas sobre X , pode construírse un grupo que ten a X como conxunto de xeradores e no que se satisfán tódalas relacións de Y . A construción é a seguinte: Sexa X o conxunto dado, F o grupo libre sobre X e N o subgrupo normal de F xerado por Y . Tense así X ,→F→F/N =G . Identicando X coa imaxe en F/N , G está xerado por X e en G satisfanse tódalas relacións. Polo visto ata o de agora, o grupo denido por xeradores e relacións dados sempre existe. A continuación verase que é o grupo máis grande posible no seguinte senso. Teorema 1.85. (Van Dyck) Sexa G un grupo denido polos xeradores dun conxunto X e as relacións doutro conxunto Y de palabras reducidas de X . É dicir, G está denido polos xeradores 22 1. Teoría de grupos x∈X e as relacións u= 1 para u∈Y . Entón, se H é un grupo tal que está xerado por X e verica as relacións de Y , hai un epimorsmo G→H . Demostración. Sexa F o grupo libre sobre X . Polo tanto, como H=⟨X⟩ , tense a inclusión de X en H . Como F é libre sobre X , pode estenderse cun homomorsmo sobrexectivo h:F→H . Agora ben, tamén se ten que H verica as relacións de Y , é dicir, se u∈Y , tense u= 1 , e entón Y⊂ker h . Entón, o subgrupo normal N xerado por Y en F está contido en ker h . Como N ◁ F , 1◁ H e h:F→H é tal que h(N)=1 , existe un homomorsmo sobrexectivo ¯ h:F/N →H . Así, G∼ =F/N →H é un epimorsmo. A continuación, veranse algúns exemplos de grupos denidos por xeradores e relacións que serven para claricar a clase de razoamentos usados para estudar unha presentación. Exemplo 1.86. Sexa G o grupo xerado polos elementos s, t vericando as relacións s2= 1 , t3= 1 , e stst = 1 . O grupo diédrico D3 de orde 6 , que xa se deniu no Exemplo 1.5, está xerado por dous elementos s , t satisfacendo estas relacións, e polo tanto polo teorema anterior existe un epimorsmo ϕ:G→D3 . Así, é claro que |G| ≥ |D3|= 6 . Agora sexa F o grupo libre sobre {s, t} e N o subgrupo normal xerado por {s2, t3, stst} . Pode verse que todo elemento de F/N é da forma stjN con o≤i≤1 , 0≤j≤2 , polo que como G∼ =F/N , |G|=|F/N| ≤ 6 . Entón |G|= 6 e ϕ é un isomorsmo. Polo tanto, o grupo denido por eses xeradores e esas relacións é isomorfo a D3 . En xeral, a presentación por xeradores e relacións do grupo diédrico Dn de orde 2n será da forma ⟨s, t |tn=s2= (ts)2= 1⟩ . Razoemos de xeito análogo para ver cal é a presentación do grupo dos cuaternios de orde 8 , do que xa se falou anteriormente (Exemplo 1.9). Exemplo 1.87. Sexa o grupo G xerado por x e y coas relacións x4= 1 , x2y−2= 1 e xyxy−1= 1 . Agora ben, coma os elementos que xeran Q8 satisfán estas relacións, polo teorema anterior, existe un epimorsmo ϕ:G→Q8 , e polo tanto tense que |G| ≥ |Q8|= 8 . Sexa F o grupo libre sobre {x, y} e N o subgrupo normal xerado por {x4, x2y−2, xyxy−1} . Pode probarse que todo elemento de F/N será da forma aibjN con 0≤i≤3 e 0≤j≤1 . Deste xeito, |G|=|F/N| ≤ 8 . Entón, |G|= 8 e ϕ é un isomorsmo. Polo tanto, o grupo denido por eses xeradores e esas relacións é isomorfo a Q8 . 1.8. Xeradores e relacións. Grupos libres 23 Entón, o grupo dos cuaternios ten presentación Q8=⟨x, y |x4= 1, y2=x2, yxy−1=x−1⟩ . Non obstante, pode verse que tamén ten presentación ⟨x, y |xyx =y, x2=y2⟩ . Exemplo 1.88. Z6 ten presentacións Z6=⟨x|x6= 1⟩=⟨x, y |x2=y3=x−1y−1xy = 1⟩ . Obsérvese que, como se ve nestes exemplos, presentacións distintas poden dar lugar a grupos isomorfos, o que se coñece como presentacións isomorfas . Cabe destacar que o problema de decidir cando dúas presentacións son isomorfas pode ser moi complicado, e en xeral non será resoluble. Capítulo 2 O grupo simétrico Neste capítulo centrarémonos no grupo simétrico e nas súas características principais, e máis adiante veremos que ten unha gran relación coa teoría musical. Para comezar, estudarase o que é unha permutación, certos tipos de permutacións como son os ciclos e as transposicións e verase o teorema de Cayley. Chegarase a resultados importantes, como que toda permutación se pode factorizar nun produto de transposicións, e que aínda que esta factorización non sexa única, a paridade do número de transposicións non cambia. Así, verase o que son as permutacións pares e impares. Estudaranse as clases de conxugación do grupo simétrico, e nalmente verase unha presentación deste grupo por xeradores e relacións. A bibliografía empregada ao longo deste capítulo volve ser a dos textos de Rotman [12], Cohn [3] e Hungerford [8]. Tamén se empregaron os textos de Dorronsoro [5], de Fraleigh [7], James [9] e Ledermann [10]. 2.1. Permutacións Denición 2.1. Dado un conxunto X , unha permutación en X é unha aplicación bixectiva f:X→X . Con esta información, pode denirse o grupo simétrico sobre un conxunto X como segue. Denición 2.2. Se X é un conxunto, entón SX={f:X→X|f é aplicación bixectiva } coa composición é un grupo, o grupo simétrico (SX,◦) . Se na denición anterior se ten X={1,2, ..., n} , entón o grupo simétrico denótase por Sn e chámase grupo simétrico de n elementos . Ademais se σ∈Sn escribirase: σ= 1 2 ... n σ(1) σ(2) ... σ(n)! (2.1) 25 26 2. O grupo simétrico O grupo Sn ten orde n! . Os elementos que quedan invariantes non adoitan escribirse. Por exemplo: Exemplo 2.3. A permutación σ= 1 4 4 1!∈S4 denota á permutación 1 2 3 4 4 2 3 1!. Introdúcese a continuación a noción de ciclo, un tipo de permutación. Denición 2.4. Un ciclo ou permutación circular de orde r é unha permutación σ∈Sn con r elementos {a1, ..., ar} non invariantes, e tal que σ(a1) = a2, σ(a2) = a3, ..., σ(ar) = a1 . É dicir, σ(ai) = ai+1 para i= 1, ..., r −1 e σ(ar) = a1 . Adoitan denotarse estes ciclos como σ= (a1, ..., ar) . Cando a orde do ciclo é 2 , a permutación chámase transposición; que non é máis ca o intercambio de dous elementos. Así, Denición 2.5. Unha transposición é un ciclo de orde 2 . Denición 2.6. Dúas permutacións σ1, σ2 dinse disxuntas se cada valor que unha deixa non invariante a outra o deixa xo. É dicir, dados dous ciclos σ1= (a1, ..., an) e σ2= (b1, ..., bm) dirase que son disxuntos se se verica que {a1, ..., an}∩{b1, ..., bm}=∅ . En xeral, o grupo simétrico non é conmutativo, vexámolo nun exemplo. Exemplo 2.7. Sexan σ= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 5 1 4 7 9 12 11 8 2 6 10!∈S12 γ= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 2 1 6 11 9 10 4 5 3 12 8 !∈S12 Tense que σ◦γ= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 5 3 9 6 8 2 4 7 1 10 11! γ◦σ= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 11 7 6 10 5 8 12 4 2 9 3 ! Entón, claramente, σ◦γ=γ◦σ , e así vese que S12 non é conmutativo. Vexamos agora un resultado xeral para Sn 2.1. Permutacións 27 Proposición 2.8. Sn non é abeliano para n≥3 . Demostración. Precisamos atopar dúas permutacións α, β ∈Sn tales que αβ =βα . Consideremos pois: α= 12345... n 13245... n!∈Snβ= 12345... n 32145... n!∈Sn Tense entón que αβ = 12345... n 23145... n!=βα = 12345... n 31245... n! Non obstante, cando os ciclos son disxuntos pode verse que estes si conmutan. Proposición 2.9. Se σ1 e σ2 son ciclos disxuntos de Sn , terase que estes conmutan. Isto é, σ1◦σ2=σ2◦σ1 . Demostración. Denotemos os ciclos por σ1= (a1, ..., an) e σ2= (b1, ..., bm) . Deste xeito, se 1≤j < n , tense que σ2◦σ1(aj) = σ2(aj+1) = aj+1 e σ1◦σ2(aj) = σ1(aj) = aj+1 , debido a que aj, aj+1 /∈ {b1, ..., bm} . Ademais, σ2◦σ1(an) = σ2(a1) = a1 e σ1◦σ2(an) = σ1(an) = a1 . Razoando de xeito análogo cos bj , chégase ao mesmo resultado. Agora ben, como σ1 e σ2 deixan xos aos elementos x tales que x /∈ {a1, ..., an}∪{b1, ..., bm} queda probado o resultado. A existencia dunha acción dun grupo sobre un conxunto permítenos obter o resultado expresado na proposición seguinte, da que o teorema de Cayley vai ser unha consecuencia importante. Proposición 2.10. Sexa G un grupo que actúa sobre un conxunto X . Existe un homomorsmo de grupos de G en SX . Demostración. Para cada elemento de G , defínese θ(g) como a aplicación que a un x de X lle fai corresponder θ(g)(x) = gx . Como x=g(g−1x) para todo x∈X , θ(g) é sobrexectiva. θ(g) tamén é inxectiva: para x, y ∈X , terase que gx =gy , e polo tanto, x=g−1(gx) = g−1(gy) = y . Entón, θ(g) é unha bixección, ou o que é o mesmo, unha permutación de X . Finalmente, a aplicación G→SX que a cada g∈G lle fai corresponder θ(g) é un homomorsmo de grupos debido a que θ(g1g2) = θ(g1)θ(g2) para todos g1, g2∈G . Como consecuencia: 34 2. O grupo simétrico vericando m1+m2+... +mr=n e m1≤m2≤... ≤mr . Sexa τ∈Sn : τ−1στ =τ−1(x1, x2, ...xm1)ττ−1(y1, y2, ..., ym2)τ···τ−1(w1, w2, ..., wmr)τ= = (τ−1x1, τ−1x2, ...τ−1xm1)(τ−1y1, τ−1y2, ..., τ−1ym2)···(τ−1w1, τ−1w2, ..., τ−1wmr) Entón é claro que σ e τ−1στ teñen a mesma estrutura en ciclos. Reciprocamente, sexan α, β ∈Sn dúas permutacións coa mesma estrutura en ciclos: α= (x1, ...xm1)(y1, ..., ym2)···(w1, ..., wmr) e β= (x′ 1, ...x′ m1)(y′ 1, ..., y′ m2)···(w′ 1, ..., w′ mr) . Como son produto de ciclos disxuntos, existe un τ∈Sn de xeito que τ(x1) = x′ 1, ..., τ(xm1) = x′ m1, ..., τ(w1) = w′ 1, ..., τ(wmr) = w′ mr . Así, polo visto antes, chégase a que τ−1βτ =α , ou o que é o mesmo, α e β son conxugadas. Vexamos un exemplo disto. Exemplo 2.27. As permutacións (2,3,1)(4,5)(6) e (5,6,2)(3,1)(4) son permutacións de S6 que son conxugadas. Entón, hai tantas clases de conxugación en Sn coma posibles estruturas en ciclos. É dicir, o número de clases de conxugación en Sn é igual ao número de particións de n en sumandos non negativos. Máis adiante denotaremos a partición por 1e12e2...nen (onde, lembremos, ei denota o número de ciclos de orde i ). Aínda que non hai ningunha fórmula que exprese o número de clases de conxugación de Sn coma unha función de n , o que si pode verse é cantos elementos hai en cada clase. Proposición 2.28. Sexa σ∈Sn con estrutura en ciclos dada pola partición 1e12e2...nen . Entón o número de permutacións que son conxugadas con σ en Sn é igual a hσ=n! 1e1e1!2e2e2!...nenen! . Demostración. A estrutura en ciclos de σ , denotada por 1e12e2...nen como xa se viu, pode verse do seguinte xeito: (.)(.)...(.) | {z } e1 (..)(..)...(..) | {z } e2 ... Téñense exactamente n espazos, que completados con n obxectos de calquera xeito, dan un elemento de Sn , que por construción terá a mesma estrutura en ciclos ca σ . Sábese que hai n! formas de ordenar os n elementos. Non obstante, haberá ordenacións que proporcionen o mesmo elemento de Sn . 2.4. Presentación de Sn 35 Centrémonos nos ei ciclos de orde i ( 1≤i≤n ). Estes ciclos, poden permutarse de ei! formas, de xeito que o resultado segue a ser o mesmo elemento de Sn . Ademais, cada ciclo (a1, a2, ..., ai) pode escribirse de i formas distintas ( (a1, a2, ..., ai)=(a2, a3, ..., ai, a1) = ... = (ai, a1, ..., ai−1) ). Entón, cada elemento de Sn foi contado ei!iei veces por cada ciclo de orde i . Polo tanto, cada elemento da clase de conxugación de σ repítese 1e1e1!2e2e2!...nenen! veces, e así chégase á fórmula dada pola proposición. No primeiro capítulo falouse de xeradores, relacións e presentacións de grupos. No seguinte epígrafe identicaranse estes conceptos no caso particular do grupo simétrico de n elementos. Para iso, utilizarase o texto de Dummit e Foote [6]. 2.4. Presentación de Sn En primeiro lugar estudaranse subconxuntos de Sn que xeran a Sn . Os máis sinxelos son as transposicións da forma (i, i + 1) = ti para 1≤i≤n . Aos n−1 elementos ti chamarémolos transposicións simples de Sn . Teorema 2.29. i . O grupo simétrico Sn está xerado polas n−1 transposicións simples. ii . Sn está xerado polas transposicións (1, i) , con 2≤i≤n . iii . Para n≥3 , Sn está xerado pola transposición (1,2) e o n− ciclo (1,2, ..., n) . iv . Para n≥3 , Sn está xerado pola transposición (1,2) e o (n−1)− ciclo (2,3, ..., n) . Demostración. i . Unha inclusión dase trivialmente, é dicir, ⟨t1, ..., tn−1⟩< Sn . En primeiro lugar, (i, n) = titi+1 ···tn−1 para todo 1≤i≤n−1 . Procedemos a probar o enunciado por indución en n . Para n= 1,2 non hai nada que probar. Agora, supoñamos que o resultado se cumpre para n−1 , é dicir, Sn−1 está xerado polas n−2 transposicións simples e vexamos que se cumpre para Sn . Consideremos a acción de Sn sobre o conxunto {1, ..., n} e E o seu estabilizador. Tense que E∼ =Sn−1 , que por hipótese de indución está xerado polas transposicións simples t1, ..., tn−2 de Sn . Sexa σ∈Sn . Por unha banda, se σ∈E , entón σ∈ ⟨t1, ..., tn−2⟩⊂⟨t1, ..., tn−2, tn−1⟩ . Por outra banda, se σ /∈E , terase que σ(n) = k=n . Consideremos agora τ= (k, n) = tktk+1 ···tn−1 . Así, τ∈ ⟨t1, ..., tn−1⟩ , e entón τσ(n) = τ(k) = n . Deste xeito, τσ ∈E , e polo tanto τσ ∈ ⟨t1, ..., tn−1⟩ . Finalmente, que σ=τ(τσ)∈ ⟨t1, ..., tn−1⟩ proba a outra inclusión Sn⊂ ⟨t1, ..., tn−1⟩ . 36 2. O grupo simétrico ii . Denotemos por S=⟨(1,2),(1,3), ..., (1, n)⟩ . Entón, ti= (i, i + 1) = (1, i)(1, i + 1)(1, i)∈S con 1≤i≤n . Non obstante, Sn é o menor subgrupo contendo ás transposicións ti , e polo tanto Sn< S . Non obstante, pola denición de S terase que S⊂Sn , e así S=Sn . iii . Denotando σ= (1,2, ..., n) , tense que σi(1) = i+ 1 para 1≤i≤n−1 . Agora, aplicando a Proposición 2.25, σi−1(1,2)σ−(i−1) = (σi−1(1), σi−1(2)) = (i, i + 1) = ti . Así, para todo 1≤i≤n−1 , ti∈ ⟨(1,2), σ⟩ . Polo tanto, como Sn está xerado polas n−1 transposicións simples ti , Sn<⟨(1,2), σ⟩ . Non obstante, tamén se ten que (1,2), σ ∈Sn e polo tanto Sn=⟨(1,2),(1,2, ..., n)⟩ . iv . (1,2)(2,3, ..., n) = (1,2, ..., n) , o que signica que (1,2, ..., n)∈ ⟨(1,2),(2,3, ..., n)⟩ . Ademais, (1,2) ∈ ⟨(1,2),(2,3, ..., n)⟩ . Agora ben, polo punto anterior, Sn=⟨(1,2),(1,2, ..., n)⟩ , e polo tanto Sn<⟨(1,2),(2,3, ..., n)⟩ . Como ⟨(1,2),(2,3, ..., n)⟩< Sn trivialmente, entón Sn=⟨(1,2),(2,3, ..., n)⟩ . As transposicións simples de Sn , que como se acaba de probar é un conxunto de xeradores de Sn , verican unhas relacións que se probarán a continuación e con todo darase unha presentación de Sn . Proposición 2.30. As transposicións simples de Sn , sempre que n≥2 , verican as relacións: t2 i= 1 , con 1≤i≤n−1 , titj=tjti , para |i−j|>1 e titi+1ti=ti+1titi+1 . Demostración. Como as ti son transposicións, a relación t2 i= 1 con 1≤i≤n−1 é inmediata. Por outra banda, cando |i−j|>1 tense que |i−j| ≥ 2 , e polo tanto ti e tj son disxuntos. Deste xeito, pola Proposición 2.9 conmutan, e así titj=tjti . Finalmente, se se ten que 1≤i≤n−2 verifícase que titi+1ti= (i, i+1)(i+1, i+2)(i, i+1) = (i, i+2) = (i+1, i+2)(i, i+1)(i+1, i+2) = ti+1titi+1 . A última destas relacións equivale a que (titi+1)3= 1 para 1≤i≤n−2 . A continuación defínese unha matriz simétrica M= (mij) de orde n−1×n−1 con entradas en Z : mij =       1, se i=j e 1≤i≤n−1 2, se |i−j|>1 3, se j=i+ 1 e 1≤i≤n−2 Agora podemos reescribir as relacións da anterior proposición do seguinte xeito: (titj)mij = 1 . 2.4. Presentación de Sn 37 Consideremos agora dous conxuntos. Un de xeradores X={x1, ..., xn−1} e outro de relacións R=⟨(xixj)mij |1≤i, j ≤n−1⟩ . Entón, tense que se F é o grupo libre xerado por X e R , Wn=⟨x1, ..., xn−1|(xixj)mij con 1≤i, j ≤n−1⟩ será da forma Wn=F/R . Ademais, como x−1 i=xi , os elementos ω∈Wn poden expresarse do seguinte xeito: ω=xi1xi2···xik , para todo 1≤i≤n−1 con 1≤i1, i2, ..., ik≤n . Lema 2.31. |Wn| ≤ n! cando n≥2 . Demostración. Verase esta demostración por indución en n . Para o primeiro caso, n= 2 , tense que W2={1, t1} , polo que |W2|= 2 ≤2! . Agora supóñase o resultado certo para n, é dicir, |Wn| ≤ n! , e vexamos que se cumpre para n+ 1 . Sexa V o subgrupo de Wn+1 xerado por x1, ..., xn−1 , V=⟨x1, ..., xn−1⟩< Wn+1 . Entón, como V é subgrupo de Wn+1 , os xi cumpren as relacións (xixj)mij = 1 , con 1≤i, j ≤n−1 . Deste xeito, polo Teorema de van Dyck 1.85, existe un epimorsmo Wn→V . Unindo isto coa hipótese de indución, terase que |V|≤|Wn| ≤ n! . Defínense a continuación os conxuntos V0=x1x2···xnV , V1=x2···xnV ,..., Vn−1=xnV , Vn=V . Probemos que, para 1≤i, j ≤n , xiVj=       Vi−1, se i=j Vi, se j=i−1 Vj, se i=j, i −1 En primeiro lugar, se i=j , xiVj=xiVi=xixi+1 ···xnV=Vi−1 . En segundo lugar, sexa j=i−1 . Así, xiVj=xiVi−1=xixixi+1 ···xnV=xi+1 ···xnV=Vi . Finalmente, consideremos o caso j=i, i −1 , que separaremos noutros dous: que j≥i+ 1 ou que j≤i−2 . En primeiro lugar, estudaremos o caso j≥i+ 1 . Nese caso, ∀j+ 1 ≤k≤n , |k−i|>1 , e entón xixk=xkxi . Ademais, como j≥i+ 1 , tense que i < n , o que implica que xi∈V , e polo tanto xiV=V . Deste xeito, xiVj=xixj+1xj+2 ···xnV=xj+1 ···xnxiV=xj+1 ···xnV=Vj . Consideremos agora o caso j≤i−2 . Neste outro caso, ∀1≤k≤i−2 , xixk=xkxi e ademais verifícase a terceira relación da Proposición 2.30, é dicir, xixi−1xi=xi−1xixi−1 . Así, xiVj= xixj+1xj+2 ···xnV=xj+1 ···xi−2xixi−1xixi+1 ···xnV=xj+1 ···xi−2xi−1xixi−1xi+1 ···xnV . Para todo i+ 1 ≤k≤n , xi−1xk=xkxi−1 , e ademais como i−1≤n , xi−1xk=xkxi−1 e entón xiVj=xj+1 ···xnxi−1V=xj+1 ···xnV=Vj . Así probouse que ∀1≤i, j ≤n , ∃1≤k≤n de xeito que xiVj=Vk . Por outra banda, xa se dixera que para ω∈Wn se ten que ω=xi1···xim . Entón, para algún j , ωV =ωVn=Vj , e 38 2. O grupo simétrico polo tanto, Wn+1/V ={V0, V1, ..., Vn} . En principio, os Vi non teñen por que ser disxuntos dous a dous, polo que (Wn+1 :V)≤n+ 1 . Así, |Wn+1|= (Wn+1 :V)|V| ≤ (n+ 1)n! = (n+ 1)! , co que queda probada a proposición. Deste xeito, estamos en condicións de ver cal é a presentación de Sn . Teorema 2.32. O grupo simétrico Sn ten presentación Sn∼ =⟨t1, t2, ..., tn−1|(titj)mij = 1 con 1≤i, j ≤n−1⟩ , sendo n≥2 . Demostración. Pola Proposición 2.29, as n−1 transposicións simples xeran Sn , e ademais verican as relacións da Proposición 2.30, que xa se dixo que se traducen en (titj)mij = 1 para todo 1≤i, j ≤n−1 . Deste xeito, pode aplicarse o Teorema de van Dyck 1.85, e así hai un epimorsmo Wn→Sn , levando xi en ti para 1≤i≤n−1 . Denotemos dito epimorsmo por f . Entón, tense trivialmente que |Wn| ≥ |Sn|=n! Ademais, acaba de verse no lema anterior a desigualdade oposta, é dicir, |Wn| ≤ n! para n≥2 . Así, terase que |Wn|=n! , e polo tanto como f é sobrexectiva, tamén e inxectiva, chegando así ao resultado do teorema. Capítulo 3 As matemáticas e os acordes Neste capítulo relacionarase o visto ata agora de teoría de grupos coa teoría musical. En concreto, estudaranse os acordes de tres notas. Con este propósito, deniranse algunhas transformacións de acordes, para posteriormente ver que estas transformación forman un grupo. Para iso, utilizaranse os textos de Agustín-Aquino, du Plessis, Lluis-Puebla e Montiel [1] e o de du Plessis [11]. 3.1. Nocións musicais Como sabemos, na escala diatónica hai exactamente sete notas musicais: Do, Re, Mi, Fa, Sol, La e Si. Despois do Si volve repetirse o Do. O intervalo que hai entre dous Dos consecutivos, e en xeral entre dúas notas co mesmo nome consecutivas, denomínase oitava. Outra forma de denir unha oitava é coma o intervalo que hai entre dúas notas que teñen a metade ou o dobre de frecuencia unha da outra. A anación equitemperada consiste en dividir unha oitava en 12 intervalos iguais, de xeito que a frecuencia de cada ton resulta de multiplicar por 12 √2 a do anterior. Tense entón que nunha oitava hai exactamente 12 notas, de maneira que a diferenza de frecuencia que hai entre dúas notas consecutivas se denomina semitón. A escala cromática é entón o conxunto das seguintes doce notas separadas por un semitón entre elas: Do, Do ♯ , Re, Re ♯ , Mi, Fa, Fa ♯ , Sol, Sol ♯ , La, La ♯ , Si. Denotaranse as notas con inicial maiúscula. O símbolo díese ♯ nunha nota enténdese como subir esa mesma nota un semitón. Igualmente, o símbolo bemol ♭ nunha nota enténdese como esa mesma nota un semitón por debaixo. Así, hai veces que dúas notas distintas representan un mesmo son, feito que se coñece coma equivalencia enharmónica. Por exemplo o Do ♯ é a mesma nota ca Re ♭ . 39 40 3. As matemáticas e os acordes Como xa se dixo, a seguinte nota ao Si é de novo o Do, e polo tanto volve repetirse esta secuencia. Isto pode lembrarnos a un grupo cíclico. Pola denición de oitava, os múltiplos dunha certa frecuencia represéntanse coa mesma nota. É por isto que podemos asociar o noso conxunto de doce notas co grupo cíclico de doce elementos Z12 . Deste xeito, adoitamos asociar a nota Do co primeiro elemento de Z12 , o 0 , Do ♯ co 1 e así sucesivamente. Esta correspondencia é a máis usual, aínda que podería ser calquera outra mentres conserve a orde pola disposición cíclica das notas. Por outra banda, en realidade o que estamos é a asociar clases de equivalencia, mais por abuso de notación cando se di que o Do é o 0 , o que se quere dicir é que é o ¯ 0 . Pode representarse o conxunto das notas coma o grupo cíclico de 12 elementos do seguinte xeito. Re ♯ Re Do ♯ Do Si La ♯ La Sol ♯ Sol Fa ♯ Fa Mi Cabe destacar que unicamente estaremos interesados nos acordes, que son conxuntos de notas que se tocan de forma simultánea. De xeito máis especíco, a nosa análise xirará en torno aos acordes de tres notas, denominados tríades. Porén, non estudaremos todos os tipos de tríades, se non que nos centraremos nos acordes de tres notas maiores e menores, que se denen a continuación. Este estudo non é arbitrario, se non que se debe a que a harmonía básica de moitas cancións e pezas musicais se basea neste tipo de tríades. Como se dixo, cando falamos dunha nota estamos a falar dunha clase de equivalencia, e polo tanto, cando falemos dun acorde pasará o mesmo. Así, cando nos reramos a unha tríade {x, y, x} , estaremos a referirnos á clase da tríade, {¯x, ¯y, ¯z} . Denición 3.1. Un acorde {x, y, z}∈P(Z12) dise maior se é da forma y=x+ 4 e z=x+ 7 . A primeira nota do acorde, x na denición, é a raíz do acorde. Denotaranse os acordes maiores coa nota da raíz en maiúsculas, para diferencialos das notas. Por exemplo, o acorde de Do maior, DO ={0,4,7} , vén dado na posición fundamental. Non obstante, a orde dos elementos non inúe no conxunto debido a que os acordes son conxuntos de notas que soan simultaneamente. É dicir, para denotar este mesmo acorde podemos utilizar indistintamente o conxunto deses mesmos tres números en calquera orde. 3.2. Transformacións de acordes 41 Analogamente, defínense os acordes menores: Denición 3.2. Un acorde {x, y, z}∈P(Z12) dise menor cando y=x+ 3 e z=x+ 7 . Denotaranse os acordes menores coa raíz en minúsculas e cun m minúsculo ao lado, diferenciándoos así dos maiores e das notas. Por exemplo, o acorde de Do menor será do m ={0,3,7} . Analogamente ao que ocorre cos acordes maiores, cambiar a orde das notas no conxunto non altera o acorde. Téñense entón 12 acordes maiores e outros tantos menores. Defínese o conxunto dos 24 acordes maiores e menores. Denición 3.3. M={{x, x+3, x+7},{X, X +4, X +7} | x, X ∈Z12} é o conxunto de tódolos acordes maiores e menores. Como se viu, as tríades son en realidade clases de tríades, e polo tanto os elementos de M serán tamén clases. Por exemplo, tomando do m ={0,3,7} , en realidade estamos a falar do conxunto {..., {−12,−9,−5},{0,3,7},{12,15,19}, ...} . Nótese que o conxunto M posúe 24 elementos. Pode representarse un acorde coma un triángulo cuxos vértices representan as tres notas que o forman. Por exemplo, para representar o acorde de Do maior, DO , terase: Re ♯ Re Do ♯ Do Si La ♯ La Sol ♯ Sol Fa ♯ Fa Mi Nas próximas seccións relacionaranse os coñecementos dos capítulos anteriores sobre accións de grupos, grupos libres, xeradores, relacións e grupo simétrico coa teoría musical. 3.2. Transformacións de acordes Para levar a cabo o noso estudo, comezaranse introducindo unha serie de transformacións sobre o conxunto dos acordes maiores e menores M . 42 3. As matemáticas e os acordes 3.2.1. Transposicións e inversións Deniranse a continuación dúas transformacións sobre o conxunto dos acordes maiores e menores. Consideraranse subgrupos do grupo de permutacións de M , SM . Denición 3.4. Dado x∈ M , con x={x1, x2, x3} , defínese unha transposición como unha función Tn:M→M con Tn(x) = x+n={x1+n, x2+n, x3+n} , e n∈Z . Musicalmente, pode interpretarse este concepto de transposición que se acaba de denir como a translación dun acorde por un intervalo constante. Cabe destacar que en realidade denindo T1 pode obterse Tn= (T1)n . Ademais, observamos que se pode aplicar Tn aos 24 elementos de M unha cantidade, en principio innita, de veces, xa que n∈Z . Porén, é fácil darse conta de que despois de aplicar T112 veces se obtén a tríade inicial. Deste xeito, é suciente con denir Tn para n∈Z12 . Así, Tn é un subgrupo cíclico de SM , un ciclo, que está xerado por T1 , un ciclo de orde 12 . Isto é debido a que é unha transformación bixectiva dentro do conxunto dos acordes maiores e menores. Por outra banda, observamos que T0 actúa coma a función identidade en M . Esta operación está ben denida, é dicir, tomando dúas tríades da mesma clase {¯x, ¯y, ¯z} con ¯x, ¯y, ¯z∈Z12 , terase que a súa imaxe por Tn é a mesma. Efectivamente, sexan {x1, y1, z1} e {x2, y2, z2}∈M dous representantes de dita clase. Así, Tn({x1, y1, z1}) = {x1+n, y1+n, z1+n}= {x2+n, y2+n, z2+n}=Tn({x2, y2, z2}) , debido a que a∈¯ b⇒a+n∈b+n . Pode observarse que aplicando sucesivamente T1 a un dos acordes maiores se obteñen os 12 que hai, e analogamente cos menores. Xa se dixo que se pode pensar un acorde coma un triángulo, con cada un dos vértices representando unha nota. Polo tanto, as transposicións non serán máis ca rotacións do triángulo no sentido das agullas do reloxo de 2πn/12 = nπ/6 radiáns. Entón, partindo por exemplo do acorde DO ={0,4,7} , represéntase T1({0,4,7}) = {1,5,8}= DO ♯ como Re ♯ Re Do ♯ Do Si La ♯ La Sol ♯ Sol Fa ♯ Fa Mi Denición 3.5. Defínese unha inversión dun acorde x∈ M , con x={x1, x2, x3} como unha 3.2. Transformacións de acordes 43 función In:M→M denida como In(x) = −x+n={−x1+n, −x2+n, −x3+n} e con n∈Z . Mentres que as transposicións converten acordes maiores en maiores e o mesmo cos menores, as inversións transforman acordes maiores en menores e viceversa. De novo, observamos que se se lle aplica a unha tríade In con n∈Z , non se teñen máis ca 12 inversións distintas. Se ademais se lle aplica a mesma inversión In a unha tríade dúas veces consecutivas, obtense a tríade incial. Así, unha inversión non é máis ca unha transposición dentro de SM . Deste xeito, xeometricamente vemos que aplicar a inversión I0 a unha tríade, que como xa se dixo se representa coma un triángulo nun círculo, dá como resultado a reexión do triángulo respecto ao eixo que pasa polo 0 e o 6 no círculo. Partindo de novo do acorde de DO ={0,4,7} , vemos que I0({0,4,7}) = {0,−4,−7}={0,5,8}={5,8,0}= fa m, que se representa por Re ♯ Re Do ♯ Do Si La ♯ La Sol ♯ Sol Fa ♯ Fa Mi Ademais, o resto de inversións Tn obtéñense aplicando primeiro a inversión I0 e posteriormente a transposición Tn . Esta operación está ben denida, é dicir, tomando dúas tríades da mesma clase {¯x, ¯y, ¯z} con ¯x, ¯y, ¯z∈Z12 , terase que a súa imaxe por In é a mesma. Efectivamente, sexan {x1, y1, z1} e {x2, y2, z2}∈M dous representantes de dita clase. Deste xeito, terase que In({x1, y1, z1}) = {−x1+n, −y1+n, −z1+n}={−x2+n, −y2+n, −z2+n}=In({x2, y2, z2}) , debido a que −a∈¯ b⇒ −a+n∈b+n . Xa se dixo que basta denir tanto as transposicións Tn coma as inversións In para n∈Z12 . Vexamos que isto efectivamente é certo. Proposición 3.6. Sexan n, m ∈Z de xeito que n≡m( mód 12) . Entón verifícase que Tn=Tm e In=Im . Demostración. Que n≡m( mód 12) implica que ∃k∈Z de xeito que n=m+ 12k . Entón: Por unha banda, Tn=Tm+12k=Tm◦T12k=Tm◦(T0)k=Tm◦(id)k=Tm , onde id é a transformación identidade. 50 3. As matemáticas e os acordes aos inversos, acábase de ver que R◦(LR)i◦R◦(LR)i=id , e así (R(LR)i)−1=R(LR)i . Por outra banda, ((LR)i)−1= (LR)−i= (LR)−i( mód 12) = (LR)j , sendo j≡ −i( mód 12) . 3.2.3. O isomorsmo entre T I e P LR A continuación estudarase a relación que hai entre os grupos TI e PLR . Probarase que hai un isomorsmo entre ámbolos dous grupos, e que os dous serán tamén isomorfos ao grupo diédrico de orde 24 . Polo tanto, o grupo simétrico do polígono regular de 12 lados é isomorfo a dous subgrupos de SM , un formado a partir dun ciclo de orde 12 e unha transposición, e outro formado a partir de tres transposicións. Ademais, polo visto no Exemplo 1.86, D12 ten presentación libre da forma D12 =⟨x, y |x12 = 1, y2= 1, xyxy = 1⟩ . Teorema 3.21. O grupo TI é isomorfo ao grupo diédrico de orde 24 . Demostración. Tense que o grupo TI está xerado polos elementos T1 e I0 . Ademais, verifícase que (T1)12 = (I0)2=id . Vexamos que (T1◦I0)2=id . Sexa {x, y, z}∈M . Entón, (T1◦I0)2({x, y, z}) = T1(I0(T1(I0({x, y, z})))) = T1(I0(T1({−x, −y, −z}))) = T1(I0({−x+ 1,−y+ 1,−z+ 1})) = T1({x−1, y −1, z −1}) = {x, y, z}=id({x, y, z}) . Entón, polo Teorema de van Dyck 1.85, existe un epimorsmo D12 →TI . Polo tanto, é claro que |D12| ≥ |TI|= 24 , dado que en TI hai exactamente 24 funcións distintas. Non obstante, sábese que D12 ten orde 24 e deste xeito o epimorsmo é en realidade un isomorsmo, e así TI é isomorfo a D12 . É sinxelo visualizar este resultado, debido a que D12 se corresponde co grupo simétrico do dodecágono, e xa se dixo que Tn se corresponden con rotacións, I0 coa reexión con respecto ao eixo vertical e o resto de reexións In obtéñense facendo primeiro I0 e a continuación Tn . O grupo TI está xerado entón por T1 e I0 , vericando estes as relacións (T1)12 =id , (I0)2=id e (T1◦I0)2 . Vexamos que o grupo PLR ten a mesma presentación libre. Teorema 3.22. O grupo PLR é isomorfo ao grupo diédrico D12 de orde 24 . Demostración. O grupo PLR está xerado polos elementos LR e R . Ademais, verifícase que (LR)12 = (R)2=id . Vexamos que (LR ◦R)2=id . Así, (TLR ◦R)2= (L◦R2)2= (L)2=id . Polo Teorema de van Dyck 1.85, existe un epimorsmo D12 →PLR . Polo tanto, como en PLR hai exactamente 24 funcións distintas, é claro que |D12| ≥ |PLR|= 24 . Non obstante, sábese que D12 ten orde 24 , e deste xeito o epimorsmo é en realidade un isomorsmo, e así PLR é isomorfo a D12 . 3.2. Transformacións de acordes 51 Así, tense inmediatamente que os grupos TI e PLR son isomorfos por ser ambos isomorfos ao grupo diédrico D12 de orde 24 . Deste xeito, o isomorsmo que se constrúe será o que leve os xeradores dun grupo nos xeradores do outro respectando que se cumpran as relacións, ademais de levar o elemento neutro dun grupo no do outro. Entón, o isomorsmo buscado será ψ:PLR →TI tal que ψ(LR) = T1 , ψ(R) = I0 e ψ((LR)0) = T0 . Ademais, o resto das correspondencias mostran unha especie de patrón entre os subíndices das funcións Tn e In e as potencias de RL . É dicir, ψ((LR)n) = Tn e ψ(R◦(LR)n) = I12−n , sendo n∈Z12 . Vexamos que, efectivamente, ψ é un isomorsmo. Teorema 3.23. Existe un isomorsmo ψ:PLR →TI , cumprindo que ψ((LR)n) = Tn e ψ(R◦(LR)n) = Im , sendo m≡ −n( mód 12) . Demostración. A función denida así é claramente bixectiva, xa que todo elemento do dominio se leva a exactamente un elemento do codominio, e que tódolos elementos do codominio teñen unha preimaxe. Entón agora hai que ver que para calquera par de elementos f, g ∈PLR e x∈ M se ten que ψ(f◦g)(x) = ψ(f)(ψ(g)(x)) . Sexa x∈ M , f=LR e G=R . Tense que ψ(f◦g)(x) = ψ((LR)◦R)(x) = ψ(L◦R2)(x) = ψ(L)(x) = ψ(R◦(LR)11)(x) = I1(x) . Por outra banda, ψ(f)(ψ(g)(x)) = ψ(LR)(ψ(R)(x)) = T1(I0(x)) = I1+0(x) = I1(x) . Así, chégase á igualdade. Sexan agora f=R e g=LR . En primeiro lugar, ψ(f◦g)(x) = ψ(R◦LR)(x) = I11(x) . Ademais, ψ(f)(ψ(g)(x)) = ψ(R)(ψ(LR)(x)) = I0(T1(x)) = I0−1(x) = I−1(x) = I11(x) , chegando de novo á igualdade. Tomemos agora f=LR e g=LR . Por un lado, ψ(f◦g)(x) = ψ((LR)◦(LR))(x) = ψ((LR)2)(x) = T2(x) . Polo outro lado, ψ(f)(ψ(g)(x)) = ψ(LR)(ψ(LR)(x)) = T1(T1(x)) = T1+1(x) = T2(x) . Por último, consideremos f=R e g=R . Por unha banda, ψ(g◦g)(x) = ψ(R◦R)(x) = ψ(id)(x) = ψ((LR)0)(x) = T0(x) . Polo outro lado, ψ(f)(ψ(g)(x)) = ψ(R)(ψ(R)(x)) = I0(I0(x)) = T0+0(x) = T(x) . Queda entón probado que ψ(f◦g)(x) = ψ(f)(ψ(g)(x)) para x∈ M e f, g ∈PLR , o que implica que ψ é un homomorsmo. Como xa se dixo, ψ é bixectivo, e polo tanto é un isomorsmo. 52 3. As matemáticas e os acordes 3.3. Accións dos grupos T I e P LR sobre M Nesta sección verase que M é tanto un TI -conxunto coma un PLR -conxunto. Así, estudaranse os conceptos de accións de grupos nos casos particulares dos grupos TI e PLR actuando sobre M . 3.3.1. O grupo T I Comézase observando que o grupo TI é un subgrupo do grupo simétrico xerado por M , SM , xa que os seus elementos son funcións bixectivas de M en M . Ademais, como xa se dixo, o grupo TI está xerado por unha transposición e un ciclo de orde 12 en M . Entón, tense unha acción de TI actuando sobre M , TI ×M → M . Vexámolo. Proposición 3.24. O grupo TI actúa sobre o conxunto M , é dicir, M é un TI -conxunto. Demostración. Defínese a acción α:TI × M → M coma a avaliación dunha función de TI sobre un elemento x∈ M . Entón, α(g, x) = gx =g(x) . En primeiro lugar, tense trivialmente que T0x=T0(x) = x para todo x∈ M . En segundo lugar, hai que probar que g(hx) = (gh)x para todos g, h ∈TI e x∈ M . Vexamos os distintos casos. Se g=Tn e h=Tl , entón Tn(Tlx) = Tn(Tl(x)) = (Tn◦Tl)(x)=(TnTl)(x) . Se g=Tn e h=Il , entón Tn(Ilx) = Tn(Il(x)) = (Tn◦Il)(x)=(TnIl)(x) . Se g=In e h=Tl , entón In(Tlx) = In(Tl(x)) = (In◦Tl)(x)=(InTl)(x) . Se g=In e h=Il , entón In(Ilx) = In(Il(x)) = (In◦Il)(x)=(InIl)(x) . Queda así probado que o grupo TI actúa sobre M . Dado x∈ M pode agora calcularse a súa órbita de x e o seu subgrupo de isotropía. Proposición 3.25. Se x∈ M , verifícase que TIx =M e TIx=T0 . Demostración. En primeiro lugar sexa x∈ M unha tríade maior ou menor. Se é maior, aplicando T112 veces obtéñense o resto de tríades maiores. Por outra banda, aplicando I0 obtense unha tríade menor, á que se se lle aplica T112 veces dá como resultado o resto de tríades menores. Pode razoarse dun xeito análogo se a tríade inicial é menor. Así, partindo dunha tríade calquera 3.3. Accións dos grupos TI e PLR sobre M 53 de M , aplicando as funcións de TI obtéñense os 24 elementos de M . Deste xeito, a órbita de x é TIx ={ψx |ψ∈TI}=M . Por outra banda, utilizando a Proposición 1.66, tense que |TIx|= (T I :T Ix) = |T I|/|TIx| ⇒ |TIx|=|TI|/|T Ix| . Agora ben, como en TI hai 24 funcións e TIx =M , entón |TI|=|T Ix|= 24 , o que implica que |TIx|= 1 . Entón, idx =x , e polo tanto o único elemento de TIx é a identidade, é dicir, TIx={ψ∈TI|ψx =x}=id =T0 . A continuación, probarase que esta acción é el e transitiva. Proposición 3.26. A acción do grupo TI en M é regular. Demostración. En primeiro lugar, como se acaba de ver na proposición anterior, TIx=T0 , para x∈ M , e polo tanto a acción é el. Por outra banda, dado x∈ M , TIx =M . Entón, para todos y, z ∈ M , existen ϕ, ψ ∈TI tales que y=ϕx e z=ψx . Así, (ϕ)−1(y) = x e (ψ◦ϕ−1)y=ψ(ϕ−1(y)) = ψx =z , o que implica que existe ψ◦ϕ−1∈TI de xeito que leva y en z . Finalmente, se existen ϕ, ψ ∈TI de xeito que ϕx =ψx , tense que (ψ−1◦ϕ)x=x . Non obstante, coma TIx=T0 terase que ψ−1◦ϕ=id , o que implica que ψ=ϕ . Así, a acción é transitiva. Deste xeito, pola Denición 1.73, a acción é regular. 3.3.2. O grupo P LR Analogamente ao feito co grupo TI , é fácil darse conta de que o grupo PLR é un subgrupo do grupo simétrico xerado por M , SM , cuxos elementos P , L e R son transposicións. Proposición 3.27. O grupo PLR actúa sobre o conxunto M , ou o que é o mesmo, o conxunto M é un PLR -conxunto. Demostración. Defínese a acción α:PLR×M → M coa avaliación dunha función de PLR nun elemento x∈ M . É dicir, para g∈PLR , terase que α(g, x) = gx =g(x) . En primeiro lugar, tense trivialmente que (LR)0x= (LR)0(x) = x para todo x∈ M . En segundo lugar, hai que probar que g(hx) = (gh)x para todos g, h ∈TI e x∈ M . Vexamos os distintos casos. Se g= (LR)n e h= (LR)l , entón (LR)n((LR)lx) = (LR)n((LR)l(x)) = ((LR)n◦(LR)l)(x) . Se g=R◦(LR)n e h= (LR)l , entón R◦(LR)n((LR)lx) = R◦(LR)n((LR)l(x)) = (R◦(LR)n◦(LR)l)(x) . 54 3. As matemáticas e os acordes Se g= (LR)n e h=R◦(LR)l , entón (LR)n(R◦(LR)lx)=(LR)n(R◦(LR)l(x)) = ((LR)n◦R◦(LR)l)(x) . Se g=R◦(LR)n e h=R◦(LR)l , entón R◦(LR)n(R◦(LR)lx) = R◦(LR)n(R◦(LR)l(x)) = (R◦(LR)n◦R◦(LR)l)(x) . Queda así probada a proposición. Pódense entón identicar as órbitas e os subgrupos de isotropía dun elemento x∈ M asociados a esta acción. Proposición 3.28. Se x∈ M , entón PLRx =M e PLRx= (LR)0 . Demostración. Xa se dixo anteriormente que partindo dunha tríade x∈ M se obteñen os 24 elementos de M aplicando (LR)n e R◦(LR)n con n= 0, ..., 11 . Deste xeito, a órbita de x é PLRx ={ψx |ψ∈PLR}=M . Isto implica que |PLRx|= 24 Agora ben, utilizando a Proposición 1.66, tense |PLRx|= (PLR :PLRx) = |PLR|/|P LRx| , o que implica que |PLRx|=|PLR|/|PLRx| . Deste xeito, como en PLR se teñen 24 funcións, e |PLRx|= 24 , terase que |PLRx|= 1 . Unindo isto con que idx =x= (LR)0x , o único elemento de PLRx é a identidade, é dicir, PLRx={ψ∈PLR|ψx =x}=id = (LR)0 . A continuación verase que propiedades verica esta acción. Proposición 3.29. A acción do grupo PLR en M é regular. Demostración. En primeiro lugar, como se acaba de ver na proposición anterior tense que, para x∈ M , TIx= (LR)0 , e polo tanto a acción é el. Por outra banda, dado x∈ M , PLRx =M . Entón, para todos y, z ∈ M tense que existen ϕ, ψ ∈P LR tales que y=ϕx e z=ψx . Así, (ϕ)−1(y) = x e (ψ◦ϕ−1)y=ψ(ϕ−1(y)) = ψx =z , o que implica que existe ψ◦ϕ−1∈PLR de xeito que leva y en z . Finalmente, se existen ϕ, ψ ∈P LR de xeito que ϕx =ψx , tense que (ψ−1◦ϕ)x=x . Non obstante, como PLRx= (LR)0 terase que ψ−1◦ϕ=id , o que implica que ψ=ϕ . Así, a acción é transitiva. Logo, pola Denición 1.73, tense que a acción é regular. 3.4. Conmutatividade e dualidade Dada unha acción dun grupo nun conxunto, xa se viu no primeiro capítulo o que é o centralizador dun subgrupo dun grupo. A continuación estudaranse os centralizadores de TI e PLR en 3.4. Conmutatividade e dualidade 55 SM . Verase que son subgrupos do grupo simétrico SM isomorfos tales que un é o centralizador do outro. Unindo isto ao estudado ata agora, veremos que os grupos son duais. Lema 3.30. O elementos dos grupos TI e PLR conmutan entre eles. Demostración. Bastará probar a conmutatividade entre os xeradores de cada grupo, polo que se terán catro casos. Farase a proba para unha tríade menor {x, y, z}∈M , sendo análoga para tríades maiores. T1◦(LR)=(LR)◦T1 : T1(LR({x, y, z})) = T1(L(R({x, y, z}))) = T1(L({y, z, x −2})) = T1({z, x −2, y −1}) = {z+ 1, x −1, y} . E por outra parte, LR(T1({x, y, z})) = L(R(T1({x, y, z}))) = L(R({x+ 1, y + 1, z + 1})) = L({y+ 1, z + 1, x −1}) = {z+ 1, x −1, y} . T1◦R=R◦T1 : Por un lado da igualdade, T1(R({x, y, z})) = T1({y, z, x −2}) = {y+ 1, z + 1, x −1} . Por outro lado, R(T1({x, y, z})) = R({x+ 1, y + 1, z + 1}) = {y+ 1, z + 1, x −1} . I0◦(LR) = (LR)◦I0 : Por unha banda, tense I0(LR({x, y, z})) = I0(L(R({x, y, z}))) = I0(L({y, z, x −2})) = I0({z, x −2, y −1}) = {−z, −x+ 2,−y+ 1} . Pola outra banda terase (LR(I0({x, y, z}))) = L(R(I0({x, y, z}))) = L(R({−x, −y, −z})) = L(R({−x, −x−3,−x−7})) = L(R({−x, −x+9,−x+5})) = L(R({−x+5,−x+9,−x})) = L(R({−z, −y, −x})) = L({−x+ 2,−z, −y}) = {−y+ 1,−x+ 2,−z} . Como xa se dixo, os acordes son conxuntos non ordenados, entón chégase á igualdade. I0◦R=R◦I0 : Por un lado, I0(R({x, y, z})) = I0({y, z, x −2}) = {−y, −z, −x+ 2} . Polo outro, R(I0({x, y, z})) = R({−x, −y, −z}) = I0({−z, −y, −x}) = {−x+ 2,−z, −y} . De novo, chegamos a que os conxuntos teñen os mesmos elementos, polo que son o mesmo. A continuación, visto este lema, veremos unha denición que caracterizará posteriormente aos grupos TI e PLR . Denición 3.31. Sexa X un conxunto e SX o grupo simétrico sobre X . Se H e K son dous subgrupos de SX tales que cada un dene unha acción regular sobre X , e un é o centralizador do outro en SX , entón dise que H e K son duais . 56 3. As matemáticas e os acordes A continuación, verase que TI e PLR verican as condicións da denición anterior. Teorema 3.32. Os grupos TI e PLR son duais. Demostración. Xa se dixo anteriormente que TI e PLR son subgrupos do grupo simétrico de M , xa que son transformacións de M en si mesmo. Ademais, xa se probou na Proposición 3.26 e na Proposición 3.29 que as accións dos grupos TI e PLR sobre M son regulares. Entón o que falta por ver é que un é o centralizador do outro. Consideremos o centralizador do grupo TI , CM(TI) = {g∈SM|gφ =φg ∀φ∈TI} . Polo Lema 3.30 tense que gφ =φg para todo g∈PLR e φ∈TI , polo que PLR ⊂CM(TI) . Como se ten que CM(TI)∈SM , o que hai que ver é que en CM(TI) só hai as funcións de PLR . Estudemos o subgrupo de isotropía de x en CM(TI) , é dicir, (CM(TI))x={g∈CM(T I)| gx =x} . Entón, tómase f∈CM(TI) de xeito que f(x) = x e sexa g∈TI . Así, g(f(x)) = g(x) , e como f∈CM(TI) , terase que f(g(x)) = g(x) . Pola Proposición 3.26 sábese que a acción de TI sobre M é regular, e entón para todo elemento y∈ M tense que existe g∈TI tal que y=g(x) . Entón, f(g(x)) = f(y) = g(x) = y para todos x, y ∈ M , e entón f(y) = y . Como f é o único elemento en CM(TI) que deixa xo calquera elemento en CM(TI) , debe ser a identidade (único elemento que deixa xas tódalas tríades de M ). Así, (CM(TI))x={id} é o grupo trivial. Agora ben, a órbita de calquera elemento x∈ M é M , polo que |(CM(TI))x|= 24 . Ademais, como se acaba de ver que (CM(TI))x={id} , tense que |(CM(TI))x|= 1 . Utilizando a Proposición 1.66, |(CM(TI))x|=|(CM(T I))|/|(CM(TI))x| . Polo tanto, |CM(TI)|= 24 . Como PLR ⊂CM(TI) e teñen o mesmo número de elementos, son iguais, é dicir, CM(TI) é exactamente o grupo PLR . Cun razoamento totalmente análogo, chégase ao resultado de que o centralizador de PLR , CM(PLR) é TI . Deste xeito, queda visto que os dous grupos de transformacións sobre o conxunto das tríades maiores e menores vistos, TI e PLR , son duais. É dicir, téñense dous grupos isomorfos non coincidentes de xeito que un é o centralizador do outro. Así, ambos grupos expoñen de formas matemáticas distintas a mesma simetría subxacente no conxunto das tríades maiores e menores Bibliografía [1] Agustín-Aquino, O. A., du Plessis, J., Lluis-Puebla, E. e Montiel, M. (2009). Una introducción a la Teoría de Grupos con aplicaciones en la Teoría Matemática de la Música , Publicaciones Electrónicas Sociedad Matemática Mexicana Serie: Textos. Vol. 10. [2] Carstensen, C., Fine, B. e Rosenberger, G. (2011). Abstract Algebra: Applications to Galois Theory, Algebraic Geometry and Cryptography , De Gruyter. [3] Cohn, P. M. (1974). Algebra , 2nd ed., Volume 1, John Wiley & Sons. [4] Crans, A. S., Fiore, T. M. e Satyendra, R. (2009). Musical Actions of Dihedral Groups. The American Mathematical Monthly , 116(6), 479-495. [5] Dorronsoro, J. e Hernández E. (1996). Números, grupos y anillos , Addison-Wesley Iberoamericana España S.A. [6] Dummit, D. S. e Foote R. M. (2004), Abstract Algebra , 3rd ed, John Wiley & Sons. [7] Fraileigh, J. B.(1993) A rst course in Abstract Algebra , 5th ed., Addison-Wesley. [8] Hungerford, T. W. (1974). Algebra , Graduate Texts in Mathematics, 73, Springer-Verlag. [9] James, G. e Liebeck, M. (1993). Representations and Characters of Groups , Cambridge Mathematical Textbooks, Cambridge University Press. [10] Ledermann, W. (1976). Introduction to group theory , Longman Group Limited. [11] Du Plessis, J. (2008). Transformation Groups and Duality in the Analysis of Musical Structure . Tesis de maestría, Universidad Estatal de Georgia. [12] Rotman, J. J. (1995). An Introduction to the Theory of Groups , 4th ed., Graduate Texts in Mathematics, 148, Springer-Verlag. 57