A álxebra exterior das formas diferenciais

Traballo Fin de Grao A álxebra exterior das formas diferenciais Tomás Otero Casal 2018/2019 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao A álxebra exterior das formas diferenciais Tomás Otero Casal Xullo 2019 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA Traballo proposto Área de Coñecemento: Xeometría e Topoloxía Título: A álxebra exterior das formas diferenciais Breve descrición do contido O propósito deste proxecto é o estudo da álxebra exterior das formas diferenciais dunha variedade diferenciable. Débense introducir previamente os espazos fibrados exteriores. Trataranse as derivacións e as antiderivacións de formas diferenciais, e sobre todo a diferencial exterior, a derivada de Lie e o produto interior respecto dos campos de vectores, e as relacións entre estes operadores. Recomendacións Outras observacións iii Índice xeral Resumo vii Introdución ix 1. Variedades diferenciables 1 1.1. Introdución ás variedades diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Vectorestanxentes ................................ 5 1.3. Difeomorfismos locais, inmersións e submersións . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2. Fibrados vectoriais e campos de vectores 13 2.1. Espazos fibrados vectoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2. Ofibradotanxente................................ 21 2.3. Camposdevectores ............................... 23 2.4. Fluxoslocais ................................... 29 3. Fibrados exteriores e formas diferenciais 35 3.1. Formaslineares.................................. 35 3.2. Fibradosexteriores................................ 38 3.3. Formas diferenciais sobre variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4. Derivacións e antiderivacións 55 4.1. Derivacións e antiderivacións de formas diferenciais . . . . . . . . . . . . . . 55 4.2. Oprodutointerior ................................ 58 4.3. AderivadadeLie................................. 62 4.4. A diferencial exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.5. Formas pechadas e exactas. Lema de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Bibliografía 85 v Resumo As formas diferenciais, introducidas por Élie Cartan, son obxectos que aparecen de forma natural en cálculo multivariable, xeometría diferencial e física. O obxectivo deste traballo é estudar algunhas nocións elementais sobre as formas diferenciais en variedades diferenciables. As formas diferenciais defínense como seccións diferenciables de certos fibrados vectoriais, e teñen estrutura de álxebra exterior graduada. Estudamos algúns operadores lineares que son derivacións e antiderivacións da álxebra exterior das formas diferenciais e dependen só da estrutura diferenciable da variedade: a diferencial exterior, a derivada de Lie con respecto dun campo de vectores e o produto interior ou contracción cun campo de vectores; estudamos tamén as relacións entre estes operadores. Analizamos ademais como a diferencial exterior da lugar a certos espazos vectoriais asociados functorialmente ca variedade, o que leva á cohomoloxía de De Rham. Abstract Differential forms, introduced by Élie Cartan, are objects that occur naturally in multivariable calculus, differential geometry and physics. The goal of this work is to study elementary facts concerning differential forms on manifolds. They are defined as differentiable sections of certain vector bundles and have an algebraic structure of graded exterior algebra. We study some linear operators which are derivations or anti-derivations of the exterior algebra of differential forms and depend only on the differentiable structure of the manifold: the exterior derivative, the Lie derivative with respect to some vector field and the interior product or contraction with a vector field; we also study the interaction between these operators. We analyze as exterior differentiation gives rise to some vector spaces functorially associated with the manifold and leads to de Rham cohomology. vii 2CAPÍTULO 1. VARIEDADES DIFERENCIABLES cartas ψ◦ϕ−1eϕ◦ψ−1son aplicacións C∞. Unha familia de cartas asobre a variedade topolóxica Mé un atlas sobre Mse (i) os seus abertos coordenados cobren Me (ii) cada dúas cartas en ason compatibles. Un atlas é todo o que se necesita nunha variedade topolóxica para convertela nun obxecto diferenciable. Pode suceder que dous atlas distintos sobre unha variedade topolóxica M den lugar á mesma noción de diferenciabilidade. Isto sucederá se as cartas dos dous atlas aeBson compatibles entre elas (é dicir, se a∪B tamén é un atlas sobre M), o que define unha relación de equivalencia no conxunto de tódolos atlas sobre M. Diremos entón que dous atlas aeBcumprindo esta propiedade son equivalentes. Unha clase de equivalencia [a]∞para esta relación é unha estrutura diferenciable sobre M. Un atlas sobre Mé un atlas completo se non está contido en ningún outro atlas sobre M. Calquera atlas a=(Uα, ϕα)α∈Aestá contido nun único atlas completo a0, que é a0=(U, ϕ)carta sobre M|(U, ϕ)e(Uα, ϕα)son compatibles ∀α∈A; ademais a0é a unión de tódolos atlas da estrutura diferenciable [a]∞. Unha variedade diferenciable Mde dimensión né unha variedade topolóxica de dimensión nxunto cunha estrutura diferenciable [a]∞(ou, equivalentemente, cun atlas completo a0); formalmente, é un par (M, [a]∞), e tamén dicimos que a estrutura diferenciable de Mestá definida polo atlas a. Un atlas da variedade diferenciable Mé un atlas calquera na súa estrutura diferenciable, as cartas de Mson as cartas no seu atlas completo. •1.2. (Aplicación diferenciable entre variedades diferenciables) Sexan MeNdúas variedades diferenciables de dimensións nen0, respectivamente, ef:M→Nunha aplicación. Se (U, ϕ)é unha carta de M,(V, ψ)unha carta de N, e f(U)⊂V, a aplicación ψ◦f◦ϕ−1:ϕ(U)⊂Rn−→ ψ(V)⊂Rn0 é unha expresión local de f(respecto de (U, ϕ)e(V, ψ)). Se p∈U, tamén se di que ψ◦f◦ϕ−1é unha expresión local de fen p. Diremos que unha aplicación f:M→Nentre variedades diferenciables é diferenciable se para cada p∈Mexiste una expresión local ψ◦f◦ϕ−1de fen pque é unha aplicación C∞ entre os abertos ϕ(U)eψ(V), polo que tódalas expresións locais de fson C∞. A aplicación fé un difeomorfismo se é bixectiva e tanto fcomo f−1son diferenciables. Neste caso dicimos que Médifeomorfa aN. •1.3. (Subvariedades abertas) Cada subespazo aberto non baleiro Wdunha variedade diferenciable Mé unha variedade diferenciable da mesma dimensión que Mcoa estrutura diferenciable definida por 1.1. INTRODUCIÓN ÁS VARIEDADES DIFERENCIABLES 3 un atlas obtido ao cortar as cartas de Mcon We restrinxir os sistemas de coordenadas á intersección con W, é dicir, se aé un atlas de Mentón aW=(U∩W, ϕ|U∩W)|(U, ϕ)∈a, U ∩W6=∅ é un atlas que define á estrutura diferenciable da subvariedade aberta Wde M. •1.4. (A variedade diferenciable Rn) O espazo topolóxico euclidiano Rncoa estrutura diferenciable definida polo atlas a= {(Rn,idRn)}é unha variedade diferenciable de dimensión n, e idRn= (r1, . . . , rn)é o sistema de coordenadas identidade de Rn, onde as rj:Rn→Rson as proxeccións canónicas. O atlas completo a0de Rn, de acordo coa descrición xeral a partir dun atlas calquera nunha variedade diferenciable en 1.1, é a familia de tódolos pares (U, ϕ)de abertos U en Rmcon difeomorfismos (C∞) de Unalgún aberto en Rm. En particular, cada aberto non baleiro Wde Rné unha variedade diferenciable de dimensión n, e a súa estrutura diferenciable está definida polo atlas aW={(W, idW)}, e tamén escribimos idW= (r1, . . . , rn). Ás veces, tamén poñemos idW= (x1, . . . , xn), ou idW= (x, y)se Wé un aberto en R2, ou idW= (x, y, z)se se trata dun aberto en R3. Se n= 1, tanto Rcomo calquera aberto I⊂Rson variedades diferenciables de dimensión 1 coa estrutura diferenciable definida polo atlas (I, idI), onde idI= (r). A diferenciabilidade dunha aplicación entre subvariedades abertas de espazos euclidianos equivale á diferenciabilidade C∞no sentido usual entre os correspondentes abertos euclidianos. •1.5. (Os espazos vectoriais como variedades diferenciables) Se Fé un espazo vectorial sobre Rde dimensión finita k≥1, unha base {u1, . . . , uk} de Fdefine un isomorfismo ψ:F→Rkpor ψ(ui) = ei,i= 1, ..., k, onde {e1, ..., ek}é a base canónica de Rk. O isomorfismo ψpermite dotar a Fdunha estrutura de variedade diferenciable de dimensión k(difeomorfa a Rke que é independente da base de F), para a que (F, ψ)é unha carta e {(F, ψ)}é un atlas. Ademais, o sistema de coordenadas (global) ψde Féψ= (z1, . . . , zk), onde {z1, . . . , zk}é a base dual de {u1, . . . , uk}. •1.6. (Variedades produto) Sexan MeNvariedades diferenciables de dimensións nen0, respectivamente. Se a={(Uα, ϕα)}α∈Aé un atlas de MeB={(Vi, ψi)}i∈Ié un atlas de N, entón a?B= {(Uα×Vi, ϕα×ψi)}(α,i)∈A×Ié un atlas no espazo topolóxico produto M×N, que é unha variedade topolóxica de dimensión n+n0. Coa estrutura diferenciable definida polo atlas a?B, este espazo convértese nunha variedade diferenciable, que é a variedade produto de MeN. 4CAPÍTULO 1. VARIEDADES DIFERENCIABLES •1.7. (Os sistemas de coordenadas como difeomorfismos) Se Mé unha variedade diferenciable de dimensión n,Ué un aberto en M,˜ Ué un aberto en Rneϕ:U→˜ Ué unha aplicación bixectiva entón, de acordo con 1.1 e 1.2, (U, ϕ)é unha carta (no atlas completo) da variedade diferenciable Mse, e só se, ϕé un homeomorfismo e os cambios de coordenadas coas cartas dun atlas de Mson aplicacións C∞. Agora ben, dado que Upode considerarse como unha subvariedade aberta de Me˜ Uo é de Rne toda aplicación diferenciable entre dúas variedades diferenciables é continua tense que (U, ϕ)é unha carta de Mse, e só se, a aplicación bixectiva ϕ:U→˜ Uentre variedades diferenciables é un difeomorfismo. •1.8. (A álxebra F(M)das funcións reais diferenciables) Se f:M→Re unha aplicación definida nunha variedade diferenciable n-dimensional M, pódense considerar expresión locais de fda forma f◦ϕ−1para as cartas (U, ϕ)de Me(R,idR)de Re, de acordo con 1.2, a función f:M→Ré diferenciable se, e só se, para cada p∈Mexiste unha expresión local f◦ϕ−1:ϕ(U)→Rde fen p∈Udo aberto ϕ(U)⊂Rnen Rque é C∞e, polo tanto se, e só se, toda expresión local f◦ϕ−1de f éC∞. Posto que a suma, o produto por escalares e o produto de funcións reais diferenciables tamén é unha función diferenciable, o conxunto de tódalas funcións reais diferenciables definidas en Mé un anel e un espazo vectorial real. Tamén é unha álxebra sobre R(asociativa, conmutativa e unitaria), que denotaremos con F(M). •1.9. (As curvas diferenciables nunha variedade) Unha curva nunha variedade diferenciable n-dimensional Mé unha aplicación continua α:I⊂R→M, onde Ié un intervalo aberto (non necesariamente limitado). De acordo co observado en 1.4, cada aberto en I, coa identidade, define unha carta da variedade diferenciable Re da súa subvariedade aberta I. Logo, podemos considerar expresións locais de αda forma ϕ◦α:α−1(U)⊂I→ϕ(U)⊂Rn, onde (U, ϕ)é unha carta de Mtal que α(I)∩U6=∅. Así pois, unha curva α:I→Mé diferenciable se, e só se, para todo t0∈Iexiste unha carta (U, ϕ)de M, con α(t0)∈U, tal que ϕ◦αé unha aplicación C∞, ou, equivalentemente, se, e só se, toda expresión local ϕ◦αde αéC∞. •1.10. (Teorema de existencia de funcións meseta) Sexa Munha variedade diferenciable de dimensión n,Wun aberto en Mep∈W. Entón existe unha veciñanza compacta K de pcontida en We unha función f∈ F(M)coas seguintes propiedades, onde sop f= {x∈M|f(x)6= 0}, 1.2. VECTORES TANXENTES 5 0≤f(x)≤1se x∈M, f(x)=1 se x∈K, sop f⊂W, sop fé compacto. •1.11. (Propiedade de extensión local de funcións diferenciables) Sexan Munha variedade diferenciable, Wun subconxunto aberto de Mep∈W. Se h∈ F(W), existe unha veciñanza aberta Vde pcon clausura compacta V⊂We existe unha función g∈ F(M)tal que g|V=h|Ve se anula fóra de W. 1.2. Vectores tanxentes Para cada punto p∈Rnpódese definir o espazo tanxente a Rnen pcomo o conxunto Rn p={(p, v)|v∈Rn}, que ten a estrutura dun espazo vectorial de dimensión n. Con esta definición poderíase pensar, por exemplo, o espazo tanxente á esfera unidade Sn−1en p∈Sn−1como o subespazo vectorial de Rn pformado por tódolos vectores (p, v)tales que vé perpendicular a p. Unha variedade diferenciable é, non obstante, un obxecto abstracto que non consideramos en xeral dentro dun espazo euclidiano. Cómpre pois requirir dalgunha definición intrínseca de vector tanxente a un punto dunha variedade; a que nós imos considerar é unha definición alxébrica, suxerida pola forma de comportarse da derivada segundo curvas diferenciables na variedade. Se Mé unha variedade diferenciable de dimensión nep∈Mentón Cp(M) = {α: (a, b)→M| −∞ ≤ a < 0< b ≤+∞, α curva diferenciable, α(0) = p} é o conxunto de tódalas curvas diferenciables en Mcon punto inicial p. Cada α∈Cp(M) define unha aplicación ∆α:F(M)−→ R por ∆α(f) = (f◦α)0(0) = l´ım t→0 (f◦α)(t)−f(p) t, que é a derivada de fen psegundo a curva α. No caso particular p∈M=Rnse a curva αdescribe a recta con punto inicial pna dirección de v∈Rn, é dicir, α(t) = p+tv, 6CAPÍTULO 1. VARIEDADES DIFERENCIABLES ∆α(f) = Dv(f)(p)é a derivada de fen psegundo v. A aplicación ∆αsatisfai as seguintes propiedades, para cada f, g ∈ F(M)ea, b ∈R: (a) ∆α(af +bg) = a∆α(f) + b∆α(g), (b) ∆α(fg)=∆α(f)g(p) + f(p) ∆α(g), Isto leva a seguinte definición (véxase Lee [9, p. 54 ]): Definición 1.12. Un vector tanxente aMnun punto p∈Mé unha aplicación linear v:F(M)→Rque verifica a seguinte propiedade adicional (polo que tamén se di que é unha derivación en p): v(fg) = v(f)g(p) + f(p)v(g)f, g ∈ F(M). Os vectores tanxentes a Mnun punto forman un espazo vectorial real coas operacións: (i) (v+w)(f) = v(f) + w(f),(ii) (λ·v)(f) = λ v(f), onde vewson vectores tanxentes a Men p,λ∈Ref∈ F(M). A este espazo vectorial chamarémolo espazo tanxente aMen pe denotarémolo por Tp(M). En particular, ∆αpertence a Tp(M)para cada α∈Cp(M). •1.13. (Comportamento local dos vectores tanxentes) As seguintes propiedades, que son consecuencia da propiedade de derivación en pdun vector tanxente v∈Tp(M)e da propiedade de extensión local de funcións diferenciables 1.11, amosan o carácter local dos vectores tanxentes nun punto: (1) Se f, g ∈ F(M)coinciden nunha veciñanza de pentón v(f) = v(g); (2) se f∈ F(M)é constante nunha veciñanza de pentón v(f)=0. •1.14. (A aplicación tanxente) As aplicacións diferenciables entre espazos euclidianos poden ser aproximadas linearmente nun punto pola diferencial da aplicación nese punto. En xeral, non podemos falar de aplicacións lineares entre variedades diferenciables, pero si entre espazos tanxentes, o que nos vai permitir a definición da diferencial nun punto (que chamaremos aplicación tanxente) dunha aplicación diferenciable entre variedades. Para isto podemos pensar que se consideramos unha aplicación diferenciable f:M→Ne un vector tanxente a Men p∈Mque é a derivada ∆αsegundo unha curva diferenciable α∈Cp(M), o máis natural é facerlle corresponder o vector tanxente ∆f◦α∈Tf(p)(N), e que a relación entre as dúas derivacións está dada por ∆f◦α(h) = ∆α(h◦f), se h∈ F(N). Isto leva a seguinte definición: 1.2. VECTORES TANXENTES 7 Se MeNson variedades diferenciables e f:M→Né unha aplicación diferenciable, para cada p∈M,q=f(p), a aplicación tanxente a fen pé a aplicación linear f∗p:TpM→TqNdefinida por f∗p(v)(h) = v(h◦f), v ∈Tp(M), h ∈ F(N). A aplicación tanxente á identidade idM:M→Men p∈Mé a identidade idTp(M), e se f:M→Neg:N→Lson aplicacións diferenciables entón (g◦f)∗p=g∗f(p)◦f∗ppara cada p∈M(isto é, a regra da cadea). Como consecuencia destas propiedades functoriais, tense que se f:M→Né un difeomorfismo entón f∗pé un isomorfismo para todo p∈M, e (f−1)∗f(p)= (f∗p)−1. •1.15. (O espazo tanxente a unha subvariedade aberta) Para relacionar o espazo tanxente a unha variedade diferenciable n-dimensional Mnun punto p∈Mco espazo euclidiano Rnson especialmente útiles as cartas da variedade no punto p. Unha cuestión técnica que debemos considerar é que, coa nosa definición de vector tanxente nun punto p∈M, as funcións diferenciables sobre as que actúa cada vector tanxente v∈Tp(M)están definidas en toda a variedade M, mais os sistemas coordenados están definidos en abertos U⊂M. Agora ben, como consecuencia do comportamento local dos vectores tanxentes (1.13), e utilizando a propiedade de extensión local de funcións diferenciables (1.11), tense un isomorfismo canónico: Se Wé unha subvariedade aberta de Mei:W ,→Mé a inclusión, entón, para cada p∈W, a aplicación tanxente i∗p:Tp(W)→Tp(M)é un isomorfismo de espazos vectoriais. Con este isomorfismo identificamos Tp(W)eTp(M)para cada p∈W, o que significa que cada vector tanxente v∈Tp(W)é a mesma derivación en pque i∗p(v)∈Tp(M), unha actuando sobre funcións en We a outra sobre funcións en M. Isto resulta obvio, xa que unha derivación en psó depende dos valores dás funcións nunha veciñanza de ptan pequena como se queira, polo que calquera vector tanxente v∈Tp(M)poderá aplicarse, sen ningunha imprecisión, a funcións definidas en calquera veciñanza aberta de p. •1.16. (Unha base para o espazo tanxente nun punto) Se (U, ϕ)é unha carta dunha variedade diferenciable Mde dimensión n, con funcións coordenadas x1, . . . , xn, para cada función diferenciable real fdefinida nunha veciñanza dun punto p∈Udenotamos ∂f ∂xip =Di(f◦ϕ−1)ϕ(p), i ∈ {1, . . . , n}, 8CAPÍTULO 1. VARIEDADES DIFERENCIABLES e chamamos ∂xipá aplicación ∂xip:F(M)→Rdefinida por ∂xip(f) = ∂f ∂xip . Consideramos a aplicación hϕ p:Rn−→ Tp(M), dada, para cada a∈Rn, por hϕ p(a)(f) = d(f◦ϕ−1)ϕ(p)(a), f ∈ F(M). En particular, para os elementos e1, . . . , enda base canónica de Rntense hϕ p(ei)(f) = Di(f◦ϕ−1)ϕ(p)=∂xip(f), para todo f∈ F(M), é dicir, para cada i= 1, . . . , n,∂xip=hϕ p(ei)e é un vector tanxente a Men p. É fácil ver que os vectores ∂x1p,...,∂xnpde Tp(M)son linearmente independentes, así que hϕ pé inxectiva; tamén se verifica que cada v∈Tp(M)se pode escribir v= n X i=1 v(xi)∂xip, do que se pode ver unha proba directa en Matsushima [10]. En resumo, A aplicación hϕ p:Rn→Tp(M)é un isomorfismo de espazos vectoriais, logo o espazo vectorial real Tp(M)ten dimensión n. Ademais {∂x1p,...,∂xnp}é unha base de Tp(M). •1.17. (A aplicación tanxente en coordenadas) Se f:M→Né unha aplicación diferenciable entre variedades diferenciables de dimensións men, respectivamente, a aplicación tanxente f∗p:Tp(M)→Tq(N)nun punto p∈M, con q=f(p), pode representarse en termos da matriz jacobiana dunha expresión local de fen p. Se (U, ϕ)e(V, ψ)son cartas de MeNen peq, respectivamente, ϕ= (x1, . . . , xm),ψ= (y1, . . . , yn), tales que f(U)⊂V, para cada i= 1, . . . , m, tense f∗p∂xip= n X j=1 ∂(yj◦f) ∂xip∂yjq= n X j=1 Di(yj◦f◦ϕ−1)ϕ(p)∂yjq, así que, con respecto ás bases {(∂xi)p|i= 1, . . . , m}de Tp(M)e{(∂yj)q|j= 1, . . . , n} de Tq(N), a matriz de f∗pé a matriz jacobiana D(ψ◦f◦ϕ−1)(ϕ(p)) da expresión local ψ◦f◦ϕ−1en ϕ(p). 1.3. DIFEOMORFISMOS LOCAIS, INMERSIÓNS E SUBMERSIÓNS 9 •1.18. (O rango dunha aplicación diferenciable nun punto) Se MeNson variedades diferenciables f:M→Nunha aplicación diferenciable e p un punto de M, o rango de fen pdefínese como rangp(f) := rang(f∗p) = rang D(ψ◦f◦ϕ−1)(ϕ(p)), onde ψ◦f◦ϕ−1é unha expresión local de fen p. 1.3. Difeomorfismos locais, inmersións e submersións Sexa f:M→Nunha aplicación diferenciable entre variedades diferenciables e pun punto de M. (a) A aplicación fé un difeomorfismo local en pse existe unha veciñanza aberta Ude p e unha veciñanza aberta Vde f(p)tal que f|U:U→Vé un difeomorfismo. Polo teorema da función inversa, isto equivale a que f∗p:Tp(M)→Tf(p)(N)sexa un isomorfismo, e a que fteña unha expresión local en pque é a identidade nun aberto euclidiano. (b) fé unha inmersión en pse f∗pé inxectiva, o que equivale a que fteña unha expresión local en pque é a inclusión nun produto de abertos euclidianos. (c) fé unha submersión en pse f∗pé sobrexectiva, o que equivale a que fteña unha expresión local en pque é a proxección dun produto de abertos euclidianos nun deles. A aplicación fé unha inmersión se é unha inmersión en cada punto de M, e é unha submersión se é unha submersión en cada punto de M. Un embebemento regular é unha inmersión f:M→Nque tamén é un embebemento (é dicir, fé inxectiva e define un homeomorfismo de Men f(M)). Observación 1.19.Se MeM0son variedades diferenciables e M×M0é a variedade produto de MeM0, tense: (1) As proxeccións π:M×M0→Meπ0:M×M0→M0son submersións. (2) Se p∈M,q∈N, as aplicacións iq:M→M×M0ejp:M0→M×M0, dadas por iq(x) = (x, q)ejp(y)=(p, y), son embebementos regulares. •1.20. (Subvariedades regulares) Se MeSson variedades diferenciables tales que S⊂Me a inclusión i:S ,→M é una inmersión, dise que Sé una subvariedade de M; se, ademais, Sé un subespazo topolóxico de M,Sé unha subvariedade regular de M. Neste caso, para cada p∈S, dise que i∗p(Tp(S)) é o subespazo de Tp(M)tanxente a S. 10 CAPÍTULO 1. VARIEDADES DIFERENCIABLES A caracterización local das inmersión como unha inclusión nun produto permite obter o seguinte lema de factorización de aplicacións diferenciables a través de subvariedades regulares: Sexan LeMvariedades diferenciables e Sunha subvariedade regular de M. Sexa g:L→Munha aplicación tal que g(L)⊂S, e g0:L→Sdada por g0(x) = g(x)para todo x∈L. Entón gé diferenciable se, e só se, g0o é. L M S g i go Como consecuencia do lema de factorización séguese que se Sé un subespazo topolóxico dunha variedade diferenciable Mentón existe ao sumo unha estrutura diferenciable en S coa que Sé unha subvariedade regular de M. Exemplo 1.21. (A esfera Sn) Considérase o subespazo Sn={x= (x1, . . . , xn+1)∈Rn+1 | kxk= 1}de Rn+1 coa estrutura diferenciable definida polo atlas a={(U+ j, ϕ+ j),(U− j, ϕ− j)j= 1, . . . , m + 1}, onde U+ j={x∈Sn|xj>0}, U− j={x∈Sn|xj<0}, eϕ+ jeϕ− json os homeomorfismos definidos en U+ jeU− j, respectivamente, con valores na bóla aberta unidade n-dimensional Bn={(t1, . . . , tn)∈Rn|t2 1+· · ·+t2 n<1} ⊂ Rn, dados por ϕ± j:U± j−→ Bn (x1, . . . , xn+1)7−→ (x1,..., bxj, . . . , xn+1), onde bxjindica que se omite xj. Desta forma, a esfera n-dimensional Sncoa estrutura diferenciable [a]∞, convértese nunha variedade diferenciable de dimensión n. Ademais, a inclusión i:Sn→Rn+1 é unha inmersión, logo Sné unha subvariedade regular de Rn+1 e[a]∞é a única estrutura diferenciable sobre Sncoa que o é. •1.22. (Submersións e variedades cocientes) Da caracterización local das submersións séguese que as submersións son aplicacións abertas. Tamén se segue o resultado que imos enunciar, especialmente útil para o estudo da diferenciabilidade de aplicacións definidas nunha variedade cociente dunha variedade diferenciable M. (Esta é, esencialmente, unha variedade diferenciable que é a imaxe dunha 1.3. DIFEOMORFISMOS LOCAIS, INMERSIÓNS E SUBMERSIÓNS 11 submersión definida en M; a súa topoloxía é a topoloxía cociente de M, xa que toda submersión sobrexectiva, ao ser continua e aberta, é unha identificación). Tense: Se M,NeLson variedades diferenciables e f:M→Né unha submersión sobrexectiva, unha aplicación g:N→Lé diferenciable se, e só se, tamén o é g◦f. M L N g◦f fg •1.23. (O teorema do valor regular) Se MeNson variedades diferenciables de dimensións men, respectivamente, e f:M→Né diferenciable, un punto q∈Ndise un valor regular de fse para cada p∈Mtal que f(p) = q,fé unha submersión en p(é dicir, pé un punto regular). Como consecuencia da caracterización local das submersións dedúcese que se qé un valor regular de fentón S=f−1(q)é unha subvariedade regular de Mde dimensión m−n(teorema do valor regular); ademais, para cada p∈S, o subespazo de Tp(M)tanxente a Séker f∗p, é dicir, i∗p(Tp(S)) = ker f∗p(onde i:S→Mé a inclusión). Exemplo 1.24. A aplicación f:Rn+1 →Rdada por f(x) = kxk2é diferenciable e cada q∈R\{0}é un valor regular de f. Así, pódese tamén obter, polo teorema do valor regular, que a esfera Sn=f−1(1) é unha subvariedade regular de Rn+1 de dimensión ne, para cada p= (p1, . . . , pn+1)∈Sn, o subespazo de Tp(Rn+1)tanxente a Sné i∗pTp(Sn)= Ker(f∗p) = (v= n+1 X i=1 ai∂rip∈Tp(Rn+1)p, a= 0), onde hp, ai=Pn+1 i=1 piaié o produto escalar euclidiano de peaen Rn+1. Ademais, pola unicidade dunha estrutura diferenciable nunha subvariedade regular de Rn+1, a estrutura diferenciable herdada da variedade euclidiana coincide coa dada no exemplo 1.21. 18 CAPÍTULO 2. FIBRADOS VECTORIAIS E CAMPOS DE VECTORES que é un homeomorfismo dun aberto de Ea un aberto de Rn+k. A familia e a=π−1(Wα,i),˜ϕα,i(α, i)∈A×I, Uα∩Vi6=∅ é un atlas sobre E, xa que: (i) Os abertos coordenados π−1(Wα,i)das cartas en e aforman unha cobertura de E, pois se y∈Eentón π(y)∈Me polo tanto existen α∈Atal que π(y)∈Uαei∈Ital que π(y)∈Vi, logo y∈π−1(Wα,i). (ii) Se (α, i)e(β, j)son tales que π−1(Wα,i)∩π−1(Wβ,j)6=∅, a aplicación ˜ϕβ,j ◦˜ϕ−1 α,i : ˜ϕα,iπ−1(Wα,i ∩Wβ,j)=ϕi(Wα,i ∩Wβ,j)×Rk−→ ˜ϕβ,jπ−1(Wα,i ∩Wβ,j)=ϕj(Wα,i ∩Wα,j)×Rk é diferenciable, xa que se pode escribir como a restrición a un aberto en Rn+kdunha composición de aplicacións diferenciables: ϕj|Wβ,j ×ψ◦h−1 β◦hα◦ϕi|Wα,i ×ψ−1, onde tamén utilizamos a condición (3) da hipótese. Así, a variedade topolóxica E, coa estrutura diferenciable definida polo atlas e aé unha variedade diferenciable de dimensión n+k. Ademais, para cada α∈A, o homeomorfismo hα:Uα×F→π−1(Uα)é un difeomorfismo. Para comprobalo, abonda ver que para todo i∈Ital que Uα∩Vi6=∅tense que hα|Wα,i×Feh−1 α|π−1(Wα,i)son diferenciables, o que se segue de que as súas lecturas en coordenadas (Uα∩Vi)×F π−1(Wα,i) ϕi(Uα∩Vi)×Rkϕi(Uα∩Vi)×Rk hα|Wα,i×F ϕi|Wα,i ×ψ˜ϕα,i id son C∞pois son a identidade nun aberto de Rn+k. A aplicación π:E→Mé diferenciable, porque para cada α∈Aéπ|π−1(Uα)= pr1◦hα(a conmutatividade do diagrama (?)), e cada (Uα, hα)é una carta fibrada vectorial polas condiciones (1) e (2) da hipótese. Por conseguinte, (E, π, M, F)é un espazo fibrado vectorial de rango k. Finalmente debemos ver que a topoloxía e a estrutura diferenciable de Eson as únicas para as que ξ= (E, π, M, F)é un espazo fibrado vectorial e {(Uα, hα)}α∈Aé un atlas fibrado vectorial de ξ. 2.1. ESPAZOS FIBRADOS VECTORIAIS 19 1o) Unicidade da topoloxía de E: Sexa τa topoloxía de Exerada pola base Be sexa τ0outra topoloxía en E. Daquela τ⊂τ0xa que B ⊂ τ0, pois se V∈ B entón existe algún α∈Atal que V⊂π−1(Uα)eh−1 α(V) é aberto en Uα×F, logo Vé aberto no subespazo (aberto por ser π: (E, τ0)→Mcontinua) π−1(Uα)de (E, τ0), logo V∈τ0. Tamén τ0⊂τxa que se W∈τ0entón W∩π−1(Uα)é aberto no subespazo aberto π−1(Uα)de (E, τ0)para todo α∈A, logo h−1 α(W∩π−1(Uα)) é aberto en Uα×Fpara todo α∈A, así W∩π−1(Uα)∈ B para todo α∈A, do que se segue que W=Sα∈A(W∩π−1(Uα)) ∈τ. 2o) Unicidade da estrutura diferenciable de E: Sexa a0outro atlas sobre Eque define unha estrutura diferenciable tal que para cada α∈A,hα:Uα×F→π−1(Uα)é unha trivialización. Para ver que as estruturas diferenciables definidas por e aea0coinciden debemos ver que os dous atlas son compatibles, é dicir, se π−1(Wα,i),˜ϕα,ie(W0, χ)son cartas de e aea0, respectivamente, tales que os seus dominios se cortan, entón os cambios de cartas χ◦˜ϕ−1 α,i e˜ϕα,i ◦χ−1deben ser C∞. Agora ben, χ◦˜ϕ−1 α,i =χ◦hα◦ϕi|Wα,i ×ψ−1|˜ϕα,iπ−1(Wα,i)∩W0 e ˜ϕα,i ◦χ−1=ϕi|Wα,i ×ψ◦h−1 α◦χ−1|χπ−1(Wα,i)∩W0 son diferenciables por selo hαeh−1 α, respectivamente. Corolario 2.7. Sexa Munha variedade diferenciable, Fun espazo vectorial real de dimensión finita e supoñamos que existe unha cobertura aberta {Uα}α∈Ade Me que para cada p∈Mse ten un espazo vectorial Epxunto con isomorfismos (hα)p:F→Ep,p∈Uα, tal que se Uα∩Uβ6=∅, a aplicación hβα : (Uα∩Uβ)×F−→ F (p, z)7−→ (hβ)−1 p◦(hα)p(z) é diferenciable. Entón existe unha única estrutura de variedade diferenciable na unión disxunta E=Fp∈MEp, tal que se π:E→Mé a aplicación dada por π(y) = pse y∈Ep, entón ξ= (E, π, M, F)é un espazo fibrado vectorial con atlas fibrado vectorial {(Uα, hα)}α∈A, onde hα:Uα×F−→ π−1(Uα) (p, z)7−→ hα(p, z)=(hα)p(z). Demostración. Cada aplicación hαé bixectiva e tense que π◦hα= pr1. Ademais, h−1 β◦hα: (Uα∩Uβ)×F→(Uα∩Uβ)×F 20 CAPÍTULO 2. FIBRADOS VECTORIAIS E CAMPOS DE VECTORES está dada por (h−1 β◦hα)(p, z) = p, hβα(p, z), p ∈Uα∩Uβ, z ∈F, e é diferenciable por selo hβα O resultado séguese inmediatamente do teorema 2.6. Observación 2.8.Nas condicións do teorema 2.6, supoñamos que existe un atlas a= {(Uα, ϕα)}α∈Ada variedade diferenciable M, é dicir, os abertos coordenados coinciden cos abertos de trivialidade do atlas fibrado vectorial {(Uα, hα)}α∈Ade ξ= (E, π, M, F ). Neste caso, un atlas da variedade diferenciable Esería a familia e a=π−1(Uα),˜ϕαα∈A onde ˜ϕαé a composición π−1(Uα)h−1 α −−→ Uα×Fϕα×ψ −−−−→ ϕα(Uα)×Rk, é dicir, se ϕα= (x1 α, . . . , xn α),ψ= (z1, . . . , zk), é ˜ϕα(y)=(ϕα×ψ)h−1 α(y)=ϕα(π(y)), ψ((hα)−1 π(y)(y) =x1 α(π(y)), . . . , xn α(π(y)), z1((hα)−1 π(y)(y)), . . . , zk((hα)−1 π(y)(y)). A súa inversa ˜ϕ−1 α:ϕα(Uα)×Rk→π−1(Uα)está dada por ˜ϕ−1 α(x, a) = hα(ϕ−1 α(x), ψ−1(a)) = hα(ϕ−1 α(x),Pk i=1 aiui) =Pk i=1 ai(hα)ϕ−1 α(x)(ui)∈Eϕ−1 α(x), onde x∈ϕα(Uα)⊂Rn,a= (a1, . . . , ak)∈Rk, e {u1, . . . , uk}é a base de Fdual de {z1, . . . , zk}. Definición 2.9. Sexa Eun espazo fibrado vectorial sobre unha variedade diferenciable M, con proxección π:E→M. Unha sección de Eé unha sección da aplicación π, isto é, unha aplicación σ:M→Etal que π◦σ= idM; é dicir, σ(p)∈Eppara todo p∈M. Se σ é unha aplicación diferenciable diremos que é unha sección diferenciable de E. Asección cero de Eé a aplicación θ:M→Edefinida por θ(p) = 0 ∈Eppara cada p∈M, e é trivialmente unha sección diferenciable. Definición 2.10. Un conxunto {σ1, . . . , σk}de seccións diferenciables de Edise linearmente independente se σ1(p), . . . , σk(p)son vectores linearmente independentes en Eppara todo p∈M. Analogamente, diremos que {σ1, . . . , σk}xera Ese σ1(p), . . . , σk(p)xeran Ep para cada p∈M. 2.2. O FIBRADO TANXENTE 21 Definición 2.11. Sexan ξ= (E, π, M, F)eξ0= (E0, π0, M0, F 0)espazos fibrados vectoriais. Unha aplicación diferenciable ˆ f:E→E0dise un homomorfismo de fibrados vectoriais se existe unha aplicación f:M→M0tal que o seguinte diagrama conmuta E E0 M M0 ˆ f ππ0 f e a restrición ˆ f|Ep:Ep→Ef(p)é un homomorfismo de espazos vectoriais. Se ˆ fé un homomorfismo de fibrados vectoriais que é un difeomorfismo, a súa inversa é tamén un homomorfismo de fibrados vectoriais, e dise que ˆ fé un isomorfismo de fibrados vectoriais. Dous espazos fibrados vectoriais diranse isomorfos se existe un isomorfismo de fibrados vectoriais entre eles. Observación 2.12.A aplicación fna definición anterior é única e diferenciable, xa que se pode escribir como a composición π0◦ˆ f◦θ, onde θé a sección cero de E. Se M=M0na anterior definición e f= idMtamén se di que ˆ f:E→E0é un homomorfismo de fibrados vectoriais sobre a base. Por outra banda, observamos que a existencia dun isomorfismo do fibrado vectorial ξ= (E, π, M, F)co fibrado trivial con fibra Fsobre a base Mequivale á existencia de kseccións diferenciables de Elinearmente independentes (véxase por exemplo [9, pp. 258259]). 2.2. O fibrado tanxente Nesta sección construiremos o fibrado tanxente a unha variedade diferenciable como un espazo fibrado vectorial sobre ela. Para iso veremos que estamos nas hipóteses do corolario 2.7 a partir dun atlas da variedade diferenciable Mde dimensión n. •2.13. O fibrado tanxente τM= (T(M), π, M, Rn) Consideramos a unión disxunta T(M) = Fp∈MTp(M), onde Tp(M)é o espazo tanxente aMen ppara cada p∈M, e a proxección natural π:T(M)→Mque asigna a cada v∈Tp(M)o punto π(v) = p∈M. Sexa a={(Uα, ϕα)}α∈Aun atlas de M, onde ϕα= (x1 α, . . . , xn α). Para cada α∈A e cada p∈Uαtemos un isomorfismo (hα)p:Rn→Tp(M)tal que para cada vector eida base canónica de Rné (hα)p(ei) = ∂xi αp. 22 CAPÍTULO 2. FIBRADOS VECTORIAIS E CAMPOS DE VECTORES Para ver que T(M)ten unha estrutura de variedade diferenciable abondaría probar que se Uα∩Uβ6=∅, a aplicación hβα : (p, a)∈Uα∩Uβ×Rn−→ (hβ)−1 p◦(hα)p(a)∈Rn é diferenciable. Temos que (hβ)−1 p◦(hα)p(ei)=(hβ)−1 p(∂xi α)p, mais podemos expresar (∂xi α)pna base {(∂xj β )p}n j=1 como (∂xi α)p=Pn j=1(∂xj β/∂xi α)p(∂xj β )p, polo que (hβ)−1 p◦(hα)p(ei) = n X j=1∂xj β ∂xi αpej, e, polo tanto, para cada a= (a1, . . . , an)∈Rn, (hβ)−1 p◦(hα)p(a) = n X j=1n X i=1 ai∂xj β ∂xi αpej, así é que a aplicación hβα : (Uα∩Uβ)×Rn−→ Rnconsiderada no corolario 2.7, está dada por hβα(p, a) = n X i=1 ai∂x1 β ∂xi αp,..., n X i=1 ai∂xn β ∂xi αp=D(ϕβ◦ϕ−1 α)(ϕα(p))(a), e é diferenciable. Polo tanto, T(M)ten unha única estrutura de variedade diferenciable tal que τM= (T(M), π, M, Rn)é un espazo fibrado vectorial (o fibrado tanxente de M), para o que un atlas fibrado vectorial é {(Uα, hα)}α∈A, onde hα:Uα×Rn→π−1(Uα)está dada por hα(p, a) = n X i=1 ai∂xi αp. O atlas correspondente da variedade diferenciable T(M)(véxase a observación 2.8, onde aquí ψ= idRn) é e a=π−1(Uα),˜ϕαα∈A, con ˜ϕα= (ϕα×idRn)◦h−1 α:π−1(Uα)−→ ϕα(Uα)×Rn, que está dado por ˜ϕα(v)=(x1 α(p), . . . , xn α(p), v(x1 α), . . . , v(xn α)) se v∈Tp(M), p ∈Uα, e dise que ˜ϕα= (˜x1 α,...,˜xn α, v1, . . . , vn), onde ˜xj α=xj α◦πevj(v) = v(xj), é un sistema de coordenadas estándar de T(M). A súa aplicación inversa é ˜ϕ−1 α:ϕα(Uα)×Rn−→ π−1(Uα) (x, a)7−→ n X i=1 ai∂xi αϕ−1 α(x). 2.3. CAMPOS DE VECTORES 23 Exemplo 2.14. A partir do atlas a={(Rn,idRn)}en Rnobtense un atlas e ano fibrado tanxente T(Rn)formado por unha única carta. O sistema de coordenadas idRn= (r1, . . . , rn)da lugar ao sistema de coordenadas estándar global ˜ϕde T(Rn)dado por ˜ϕ: n X i=1 ai∂ri(p1,...,pn)∈T(Rn)7−→ (p1, . . . , pn, a1, . . . , an)∈Rn×Rn. En particular, ˜ϕé un isomorfismo de fibrados vectoriais do fibrado tanxente T(Rn)no fibrado trivial sobre Rncon fibra Rn. Proposición 2.15. Se f:M→Né unha aplicación diferenciable entre variedades diferenciables entón a aplicación tanxente f∗:T(M)→T(N), definida por f∗(v) = f∗p(v) para cada v∈Tp(M),p∈M, tamén é diferenciable, e é un homomorfismo de fibrados vectoriais sobre f. Ademais, se fé un difeomorfismo entón f∗é un isomorfismo. Demostración. Debemos probar que para todo vector v∈T(M)existe unha expresión local C∞de f∗en v. Se v∈Tp(M)⊂T(M), entón f∗(v) = f∗p(v)∈Tf(p)(N). Dado que fé diferenciable existen cartas (U, ϕ)de Me(V, ψ)de Ncon p∈Uef(p)∈V, tales que f(U)⊂V eψ◦f◦ϕ−1éC∞. Sexan πeπ0as proxeccións dos fibrados tanxentes de MeN, respectivamente, e consideremos as cartas (π−1(U),eϕ)e(π0−1(V),e ψ)de T(M)eT(N), definidas por ϕeψrespectivamente (ver 2.13). Entón f∗(π−1(U)) ⊂π0−1(V)ee ψ◦f∗◦eϕ−1 é unha expresión local de f∗en v. Pola interpretación da aplicación tanxente en termos de coordenadas en 1.17 e da expresión das cartas asociadas no fibrado tanxente descrita en 2.13 temos que e ψ◦f∗◦eϕ−1:ϕ(U)×Rn−→ ψ(V)×Rn0 (x, a)7−→ ψfϕ−1(x), D(ψfϕ−1)(x)(a), que é C∞por selo ψ◦f◦ϕ−1. 2.3. Campos de vectores Definición 2.16. Un campo de vectores sobre unha variedade diferenciable Mé unha aplicación X:M−→ T(M) p7−→ Xp tal que Xp∈TpMpara cada p∈M, isto é, Xé unha sección da proxección πdo fibrado tanxente. Falaremos dun campo de vectores diferenciable Xcando ademais Xsexa unha aplicación diferenciable entre as variedades MeT(M). 24 CAPÍTULO 2. FIBRADOS VECTORIAIS E CAMPOS DE VECTORES Se (U, ϕ)é unha carta de M, con ϕ= (x1, . . . , xn), tense que ∂xipé un vector tanxente aMen ppara cada i= 1, . . . , n (véxase 1.16), o que leva a definir os campos coordenados sobre U ∂xi:U−→ T(U) p7−→ ∂xip∈Tp(U)∼ =Tp(M). Se Xé un campo de vectores sobre Me(U, ϕ)é una carta de M,ϕ= (x1, . . . , xn), para cada p∈Uo conxunto ∂x1p,...,∂xnpé unha base de Tp(M), e pódese escribir Xp= n X i=1 Xi(p)∂xip, o que define as funcións Xi:U→R, que chamamos as funcións compoñentes de Xrespecto da carta (U, ϕ), e son tales que Xi(p) = Xp(xi), para cada i= 1, . . . , n. Tamén se di que X|U= n X i=1 Xi∂xi é a expresión local de Xen (U, ϕ). Proposición 2.17 (Criterio de diferenciabilidade para campos de vectores).Dado un campo de vectores Xsobre unha variedade diferenciable M,Xé un campo de vectores diferenciable se, e só se, para cada carta (U, ϕ)de M, as compoñentes de Xrespecto de (U, ϕ)son funcións diferenciables. Demostración. Sexa (U, ϕ)unha carta de M,(π−1(U),eϕ)a correspondente carta de T(M) e supoñemos que X|U=Pm i=1 Xi∂xié a expresión local de Xen (U, ϕ). A expresión local de X:M→T(M)respecto das cartas (U, ϕ)e(π−1(U),eϕ)de MeT(M), respectivamente, está dada por eϕ◦X◦ϕ−1(x) = eϕm X i=1 Xi(ϕ−1(x))(∂xi)ϕ−1(x) =x1(ϕ−1(x)), . . . , xm(ϕ−1(x)), X1(ϕ−1(x)), . . . , Xm(ϕ−1(x)), do que se deduce (xa que x1, . . . , xmson sempre funcións diferenciables) que X|Ué diferenciable se, e só se, as compoñentes Xide Xrespecto da carta (U, ϕ)tamén o son. Observación 2.18.En particular, para cada carta (U, ϕ)de M(onde ϕ= (x1, . . . , xn)), os campos coordenados ∂xisobre o aberto coordenado Uson campos de vectores diferenciables, xa que as súas compoñentes en (U, ϕ)son funcións constantes. O conxunto de tódolos campos de vectores diferenciables sobre a variedade Mserá denotado por X(M). 2.3. CAMPOS DE VECTORES 25 •2.19 (Estrutura alxébrica de X(M)). Se X, Y ∈X(M),λ∈R, e h∈ F(M)(o anel das funcións reais diferenciables sobre M), defínense os campos de vectores X+Y, λX, hX :M−→ T(M),por (X+Y)p=Xp+Yp,(λX)p=λXp,(hX)p=h(p)Xp. Entón X+Y,λX ehX son campos de vectores diferenciables sobre M, pois as súas compoñentes respecto de cada carta de Mson diferenciables. O conxunto X(M)ten unha estrutura de espazo vectorial real e de módulo sobre o anel F(M). O elemento neutro para a suma é o campo de vectores 0: M→T(M), que asigna a cada p∈Mo vector nulo de Tp(M), e é trivialmente un campo de vectores diferenciable. Exemplo 2.20. (Variedades paralelizables) Se nunha variedade diferenciable n-dimensional Mexisten ncampos de vectores diferenciables independentes X1, . . . , Xn(como seccións do fibrado tanxente T(M), no sentido da definición 2.10) dise que Mé unha variedade paralelizable e que {X1, . . . , Xn}é unha paralelización de M. Neste caso X(M)é un F(M)-módulo finitamente xerado. Calquera aberto coordenado nunha variedade diferenciable é unha variedade parlelizable. É o caso de Rn. Cada campo de vectores diferenciable X∈X(Rn)ten unha expresión X= n X i=1 λi∂ri, λi∈ F(Rn), i = 1, . . . , n, onde ∂ri:Rn−→ T(Rn) p7−→ ∂rip:h∈ Fp(Rn)7→ ∂h ∂rip=Dih(p)∈R. {∂r1, . . . , ∂rn}é unha paralelización de RneRné unha variedade paralelizable. Tamén o é calquera subvariedade aberta de Rn. En particular, dado o sistema de coordenadas identidade idR= (r)de R, se X∈X(R) entón X=λ ∂r, onde λ:R→Ré unha función C∞e ∂r:R−→ T(R) p7−→ ∂rp:h∈ Fp(R)7→ h0(p)∈R. Tamén hai variedades paralelizables que non teñen un atlas formado por unha única carta, como sucede con algunhas variedades compactas. No caso das esferas, as únicas paralelizables son S1,S3eS7(Bott e Milnor [2]). 26 CAPÍTULO 2. FIBRADOS VECTORIAIS E CAMPOS DE VECTORES Exemplo 2.21. (Campo coordenada angular sobre S1) A circunferencia unidade S1é unha subvariedade regular de R2de dimensión 1. (ver os exemplos 1.21 e 1.24). A aplicación ρ:R→S1dada por ρ(t) = eit = (cos t, sen t) é un difeomorfismo local e a súa restrición a cada intervalo aberto de lonxitude ≤2π é un difeomorfismo na súa imaxe. En particular, ρ1: (0,2π)→U1=S1\ {(1,0)}e ρ2: (−π, π)→U2=S1\ {(−1,0)}son difeomorfismos; denotamos os seus inversos por θ1eθ2, respectivamente, así (U1, θ1)e(U2, θ2)son cartas de S1. O cambio de cartas θ2◦θ−1 1:θ1(U1∩U2) = (0, π)∪(π, 2π)−→ θ2(U1∩U2)=(−π, 0) ∪(0, π) está dado por θ2◦θ−1 1(t) = tpara t∈(0, π)eθ2◦θ−1 1(t) = t−2πpara t∈(π, 2π). Se consideramos os correspondentes campos coordenados ∂θ1e∂θ2, entón, para cada p∈U1∩U2, tense ∂θ1p=∂θ2 ∂θ1p∂θ2p= (θ2◦θ−1 1)0(θ1(p))∂θ2p=∂θ2p, e polo tanto o campo de vectores coordenada angular sobre S1dado por ∂θ:S1−→ T(S1) p7−→   ∂θ1pse p∈U1 ∂θ2pse p∈U2. está ben definido e é diferenciable. Aínda que se denota con ∂θ, debemos observar que este campo de vectores sobre toda a circunferencia S1non é un campo coordenado. Ademais, {∂θ}é unha paralelización de S1, así que o fibrado tanxente T(S1)e o fibrado trivial S1×R son isomorfos. •2.22. (Propiedade de extensión local de campos de vectores diferenciables) Como consecuencia da propiedade de extensión local de funcións diferenciables (1.11), se Zé un campo de vectores diferenciable sobre un aberto Wna variedade diferenciable M ep∈W, daquela existe unha veciñanza aberta Vde p,V⊂W, e existe un campo de vectores diferenciable Xsobre Mtal que X|V=Z|V. Ademais, se v∈Tp(M)pódese definir un campo de vectores diferenciables nun aberto coordenado que contén a pque teña como compoñentes as constantes do vector ve, polo tanto, existe X∈X(M)tal que Xp=v. 2.3. CAMPOS DE VECTORES 27 •2.23. (Outra caracterización da diferenciabilidade dun campo de vectores) Se Xé un campo de vectores sobre unha variedade diferenciable Mef:M→Ré una función diferenciable, definimos a función Xf :M−→ R p7−→ (Xf)(p) = Xp(f). Un campo de vectores Xsobre Mé diferenciable se, e só se, para cada función diferenciable f:M→R, a función Xf :M→Rtamén o é. En efecto, se Xé un campo de vectores sobre Mef∈ F(M), entón para toda carta (U, ϕ)de M,ϕ= (x1, . . . , xn), se a expresión local de Xen (U, ϕ)éX|U=Pn i=1 Xi∂xi, onde cada Xié unha función real definida en U, tense (Xf)|U= n X i=1 Xi∂xi(f) = n X i=1 Xi∂f ∂xi= n X i=1(Xi◦ϕ−1)Di(f◦ϕ−1)◦ϕ, e da proposición 2.17 e de que (Xf)|U=XU(f|U)(polo comportamento local dos vectores tanxentes, (1.13)), séguese que o campo de vectores Xé diferenciable no aberto Use, e só se, o é a función (Xf)|Upara cada f∈ F(M). •2.24. Dada a álxebra F(M)das funcións diferenciables sobre M, para cada X∈X(M), hai unha aplicación ben definida X:F(M)−→ F(M) f7−→ Xf , e, polas propiedades na definición 1.12 de vector tanxente, a aplicación X:F(M)→ F(M) satisfai as seguintes regras de derivación: (a) X(f+g) = Xf +Xg, X(λf) = λ(Xf), (b) X(fg) = (Xf)·g+f·(Xg), para cada f, g ∈ F(M),λ∈R. Unha aplicación X:F(M)→ F(M)que verifica as condicións (a), (b) anteriores, chámase derivación de F(M). Así pois, por 2.23, un campo de vectores diferenciable sobre unha variedade diferenciable Mpódese considerar ou ben como una sección diferenciable do fibrado tanxente X:M→T(M)ou ben como unha derivación X:F(M)→ F(M). A relación entre as dúas interpretacións está dada por X(f)(p)=(Xf)(p) = Xp(f), X ∈X(M), f ∈ F(M), p ∈M. Capítulo 3 Fibrados exteriores e formas diferenciais Unha forma diferencial sobre unha variedade diferenciable Mé unha correspondencia que asigna a cada punto pda variedade unha forma linear (aplicación multilinear antisimétrica) sobre o espazo tanxente Tp(M). As funcións diferenciables reais definidas en Mson as formas de grao 0; as súas diferenciais son formas de grao 1e xeneralizan localmente tódalas formas de grao 1e a través do produto exterior tamén dan lugar localmente ás formas diferenciais de calquera grao. Por outra banda, tal como os campos de vectores sobre Mse definen como seccións do fibrado tanxente T(M), as formas de grao 1van definirse como sección do seu dual, o fibrado cotanxente T∗(M), e as formas de calquera grao k≥1como seccións de fibrados exteriores ∧kT(M), que xeneralizan o fibrado cotanxente. 3.1. Formas lineares Definición 3.1. Sexa Vun espazo vectorial real de dimensión finita n≥1e sexa k∈N. Unha forma linear de grao k(ou k-forma linear) sobre Vé unha aplicación multilinear e antisimétrica ω:V×(k) · · · × V→R; isto é, ωsatisfai as propiedades ω(v1, . . . , λvi+µv0 i, . . . , vk) = λω(v1, . . . , vi, . . . , vk) + µω(v1, . . . , v0 i, . . . , vk), ω(vσ(1), . . . , vσ(k)) = ε(σ)ω(v1, . . . , vk), para v1, . . . , vi, v0 i, . . . , vk∈V, (i= 1, . . . , k), λ, µ ∈R, e onde Ské o grupo de permutacións de {1, . . . , k}eε:Sk→ {−1,1}a sinatura. O conxunto das k-formas lineares sobre Vdenotarémolo con ∧k(V), e ten unha estrutura de espazo vectorial real. En particular, ∧1(V) = V∗é o espazo vectorial dual de V, e poñemos ∧0(V) = R. 35 36 CAPÍTULO 3. FIBRADOS EXTERIORES E FORMAS DIFERENCIAIS Observación 3.2.Se {u1, . . . , un}é unha base de V, cada ω∈∧k(V)está determinada, por ser multilinear, polos seus valores sobre as k-tuplas (ui1, . . . , uik)de elementos da base e, por ser antisimétrica, polos seus valores sobre as k-tuplas ordenadas (ui1, . . . , uik), con 1≤i1<· · · ik≤n. En efecto, se v1, . . . , vk∈V, tense que vj=Pn i=1 aj iuj, e polo tanto ω(v1, . . . , vk) = ωn X j1=1 aj1 1uj1,..., n X jk=1 ajk kujk=X 1≤j1,...,jk≤n aj1 1. . . ajk kω(uj1, . . . , ujk) =X 1≤i1<···<ik≤nX σ∈S{i1,...,ik} ε(σ)aσ(ii) 1. . . aσ(ik) kω(ui1, . . . , uik), onde S{i1,...,ik}é o grupo de permutacións de {i1, . . . , ik}para 1≤i1<· · ·< ik≤n. Exemplo 3.3. Un exemplo que da un significado xeométrico ás formas é a n-forma linear sobre Rndefinida a partir da base dual da súa base canónica, que está formada polas funcións coordenadas da identidade idRn= (r1, . . . , rn). A aplicación A:Rn×(n) . . .×Rn→R definida por A(v1, . . . , vn) = detri(vj) é multilinear pola linearidade do determinante en cada columna e é antisimétrica por selo o determinante ao intercambiar un par de columnas calquera. Se v1, . . . , vn∈Rnson linearmente independentes, |A(v1, . . . , vn)|é, xeometricamente, o volume n-dimensional do paralelepípedo xerado por v1, . . . , vn. Definición 3.4. Se ω∈∧r(V)eη∈∧s(V), defínese o produto exterior ω∧η∈∧r+s(V) como: (ω∧η)(v1, . . . , vr+s) = 1 r!s!X σ∈Sr+s ε(σ)ω(vσ(1), . . . , vσ(r))η(vσ(r+1), . . . , vσ(r+s)) =X σ∈S(r,s) ε(σ)ω(vσ(1), . . . , vσ(r))η(vσ(r+1), . . . , vσ(r+s)), onde S(r, s) = {σ∈S r+s|1≤σ(1) <· · · < σ(r)≤r+s, 1≤σ(r+ 1) <· · · < σ(r+s)≤r+s}. Por exemplo, se ω, η ∈∧1(V) = V∗, tense (ω∧η)(v1, v2) = ω(v1)η(v2)−ω(v2)η(v1). A aplicación produto exterior ∧r(V)×∧s(V)−→ ∧r+s(V) (ω, η)7−→ ω∧η 3.1. FORMAS LINEARES 37 é bilinear. Ademais, verifica: ω∧η= (−1)rsη∧ω, ω ∈∧r(V), η ∈∧s(V), (ω∧η)∧θ=ω∧(η∧θ), ω ∈∧r(V), η ∈∧s(V), θ ∈∧k(V) polo que escribiremos ω∧η∧θsen ambigüidade. En particular, se ω1, . . . , ωk∈V∗, tense: (ω1∧ · · · ∧ ωk)(v1, . . . , vk) = X σ∈Sk ε(σ)ω1(vσ(1)). . . ωk(vσ(k)) =  ω1(v1). . . ω1(vk) . . ..... . . ωk(v1). . . ωk(vk)  . Se τ∈Skentón ωτ(1) ∧ · · · ∧ ωτ(k)=ε(τ)ω1∧ · · · ∧ ωk. Proposición 3.5. Sexa {u1, . . . , un}unha base do espazo vectorial real Ve{α1, . . . , αn} a súa base dual. Se 1≤k≤nentón B={αj1∧ · · · ∧ αjk|1≤j1<· · · < jk≤n}é unha base de ∧k(V), e logo dim ∧k(V) = n k. Se k > n entón ∧k(V)=0. Demostración. Imos ver en primeiro lugar que o conxunto Bxera ∧k(V); en efecto, para cada 1≤j1<· · · < jk≤ne1≤i1<· · · < ik≤ntense (αj1∧ · · · ∧ αjk)(ui1, . . . , uik) =    1se i1=j1, . . . , ik=jk, 0noutro caso. Agora, se ω∈∧k(V)e poñemos aj1...jk=ω(uj1, . . . , ujk), entón X 1≤j1<···<jk≤n aj1···jkαj1∧ · · · ∧ αjk(ui1, . . . , uik) = ai1···ik=ω(ui1, . . . , uik), e polo tanto, pola observación 3.2, tense ω=X 1≤j1<···<jk≤n aj1···jkαj1∧ · · · ∧ αjk. Se k > n, como ω∈∧k(V)está determinada pola súa actuación sobre unha k-tupla de elementos da base, e como algún deles debe repetirse, pola antisimetría de ωséguese que ω= 0; así pois, ∧k(V)=0. Para probar que Bé un conxunto linearmente independente consideramos n knúmeros reais aj1...jk∈R, con 1≤j1<· · · jk≤n, tales que P1≤j1<···<jk≤naj1···jkαj1∧· · ·∧αjk= 0. Se 1≤i1<· · · < ik≤nentón 0 = X 1≤j1<···<jk≤n aj1···jkαj1∧ · · · ∧ αjk(ui1, . . . , uik) = ai1···ik, é dicir, ai1···ik= 0 para cada 1≤i1<· · · < ik≤n. 38 CAPÍTULO 3. FIBRADOS EXTERIORES E FORMAS DIFERENCIAIS Corolario 3.6. Se ω∈∧k(V),1≤k≤n, entón ω=X 1≤j1<···<jk≤n aj1···jkαj1∧ · · · ∧ αjk, onde aj1···jk=ω(uj1, . . . , ujk). Definición 3.7. Aálxebra exterior ou álxebra de Grassmann sobre o espazo vectorial real n-dimensional Vé o espazo vectorial suma directa ∧(V) = ∞ M k=0 ∧k(V) = R⊕V∗⊕∧2(V)⊕ · · · ∧n(V), co produto exterior ∧(V)×∧(V)∧ −→ ∧(V)obtido ao estender o produto exterior ∧r(V)×∧s(V)→∧r+s(V)por bilinearidade, de maneira que se verifique a lei distributiva, é dicir, se ω=Pn r=0 ωreη=Pn s=0 ηsentón ω∧η= n X k=0X r+s=k ωr∧ηs. 3.2. Fibrados exteriores Os exemplos máis importantes de 1-formas lineares asociadas ás variedades diferenciables son as diferenciais nun punto das funcións diferenciables reais definidas na variedade (ou soamente nunha veciñanza aberta do punto). Definición 3.8. Sexa Muna variedade diferenciable, p∈MeUunha veciñanza aberta de p. Se f∈ F(U), a diferencial de fen pé a aplicación (df)p:Tp(M)−→ R v7−→ (df)p(v) := v(f), a cal é linear, é dicir (df)pé unha forma linear de grao 1sobre Tp(M)ou unha 1-forma linear en p(tamén chamada vector cotanxente a Men p), (df)p∈T∗ p(M) = ∧1(Tp(M)). •3.9. O fibrado cotanxente τ∗ M= (T∗(M), π∗, M, (Rn)∗) Sexa Munha variedade diferenciable de dimensión nea={(Uα, ϕα)}α∈Aun atlas de M, onde ϕα= (x1 α, . . . , xn α). Asignamos a cada p∈Moespazo cotanxente T∗ p(M), e consideramos a unión disxunta T∗(M) = Fp∈MT∗ p(M). Sexa π∗:T∗(M)→Ma aplicación que fai corresponder a cada ω∈T∗ p(M)o punto π∗(ω) = p∈M. Consideramos 3.2. FIBRADOS EXTERIORES 39 a base {r1, . . . , rn}de (Rn)∗formada polas proxeccións Rn→R, dual da base canónica {e1, . . . , en}de Rn. Dado α∈A, se p∈Uα, cada xj αé unha función diferenciable na veciñanza aberta Uα de p, logo (dxj α)p∈T∗ p(M)e temos un isomorfismo (h∗ α)p: (Rn)∗→T∗ p(M)dado por (h∗ α)p(rj) = (dxj α)p, entón (h∗ β)−1 p◦(h∗ α)p(rj) = n X i=1∂xj α ∂xi βpri, e, polo tanto, para cada γ=Pn j=1 cjrj∈(Rn)∗, (h∗ β)−1 p◦(h∗ α)p(γ) = n X i=1n X j=1 cj∂xj α ∂xi βpri. Así, a aplicación h∗ βα : (Uα∩Uβ)×(Rn)∗→(Rn)∗que corresponde a hβα no corolario 2.7 está definida por h∗ βα(p, n X j=1 cjrj) = n X i=1n X j=1 cj∂xj α ∂x1 βpri=D(ϕα◦ϕ−1 β)(ϕβ(p))t(c1,· · · , cn) en termos da base {r1, . . . , rn}de (Rn)∗, e polo tanto é diferenciable. Como consecuencia, T∗(M)ten unha única estrutura de variedade diferenciable tal que é o espazo total do fibrado cotanxente τ∗ M= (T∗(M), π∗, M, (Rn)∗), o cal é un espazo fibrado vectorial tal que se h∗ α:Uα×(Rn)∗→π∗−1(Uα)está dado por h∗ αp, n X j=1 cjrj= n X j=1 cj(dxj α)p, entón {(Uα, h∗ α)}α∈Aé un atlas fibrado vectorial. O atlas correspondente da variedade diferenciable T∗(M)(véxase a observación 2.8, onde agora ψ: (Rn)∗→Rnestá definido por ψ(rj) = ejpara j= 1, . . . , n), é e a∗=π∗−1(Uα), ϕ∗ αα∈A,onde ϕ∗ α:π∗−1(Uα)−→ ϕα(Uα)×Rn n X i=1 cj(dxj α)p7−→ (x1 α(p), . . . , xn α(p), c1, . . . , cn), é dicir, se γ∈T∗ p(M),p∈Uα, entón ϕ∗ α(γ) = x1 α(p), . . . , xn α(p), γ∂x1 αp, . . . , γ∂xn αp, 40 CAPÍTULO 3. FIBRADOS EXTERIORES E FORMAS DIFERENCIAIS e a súa aplicación inversa está dada por ϕ∗−1 α:ϕα(Uα)×Rn−→ π∗−1(Uα) (x, c)7−→ n X j=1 cj(dxj α)ϕ−1 α(x). •3.10. O fibrado exterior λk M= (∧kT(M), πk, M, ∧k(Rn)) Se Mé unha variedade diferenciable de dimensión nasignamos a cada punto p∈Mo espazo vectorial ∧kTp(M)das k-formas lineares sobre Tp(M)(ou k-formas lineares en p), e consideramos a unión disxunta ∧kT(M) = G p∈M ∧kTp(M). Sexa πk:∧kT(M)→Ma aplicación definida por πk(ω) = pse ω∈∧kTp(M)e sexa a={(Uα, ϕα)}α∈Aun atlas de M, con ϕα= (x1 α, . . . , xn α). Se {r1, . . . , rn}é a base de (Rn)∗dual da base canónica de Rnentón {rj1∧ · · · ∧ rjk|1≤j1<· · · < jk≤n} é unha base de ∧k(Rn), para 1≤k≤n. Para cada α∈Ae cada p∈Uαtemos un isomorfismo (hk α)p:∧k(Rn)→∧k(Tp(M)) dado por (hk α)p(rj1∧ · · · ∧ rjk)=(dxj1 α)p∧ · · · ∧ (dxjk α)p, e tense (hk β)−1 p◦(hk α)p(rj1∧ · · · ∧ rjk) =X i1<···<ikX σ∈S{i1,...,ik} ε(σ) ∂xj1 α ∂xσ(i1) β!p . . . ∂xjk α ∂xσ(ik) β!p ri1∧ · · · ∧ rik, o que da, para cada p∈Uα∩Uβ, a imaxe por (hk β)−1 p◦(hk α)pde cada elemento de ∧k(Rn): (hk β)−1 p◦(hk α)pX j1<···<jk cj1...jkrj1∧ · · · ∧ rjk =X i1<···<ik X σ ε(σ)(X j1<···<jk cj1...jk ∂xj1 α ∂xσ(i1) β!p . . . ∂xjk α ∂xσ(ik) β!p)!ri1∧· · · ∧rik, 3.2. FIBRADOS EXTERIORES 41 onde, para cada 1≤i1< . . . ik≤n,σpercorre o grupo de permutacións S{i1,...,ik}. Así, a aplicación hk βα : (Uα∩Uβ)×∧k(Rn)→∧k(Rn), dada por hk βα(p, γ) = (hk β)−1 p◦(hk α)p(γ)para cada γ∈∧k(Rn), é diferenciable. Polo corolario 2.7, ∧kT(M)ten unha única estrutura de variedade diferenciable coa que é o espazo total dun espazo fibrado vectorial sobre Mque é o fibrado exterior de grao k, λk M= (∧kT(M), πk, M, ∧k(Rn)), para a que {(Uα, hk α)}α∈Aé un atlas fibrado vectorial, onde hk α:Uα×∧k(Rn)→(πk)−1(Uα) está dado por hk αp, X j1<···<jk cj1...jkrj1∧ · · · ∧ rjk=X j1<···<jk cj1...jk(dxj1 α)p∧ · · · ∧ (dxjk α)p. Consideramos o isomorfismo ψ:∧k(Rn)→R(n k)dado por ψX 1≤j1<···<jk≤n cj1...jkrj1∧ · · · ∧ rjk=cj1...jk1≤j1<···<jk≤n. O atlas da variedade diferenciable ∧kT(M)que está definido polo atlas fibrado vectorial {(Uα, hk α)}α∈Aée ak=n(πk)−1(Uα), ϕk αα∈Ao,onde ϕk α: (πk)−1(Uα)−→ ϕk α(Uα)×R(n k) X 1≤j1<···<jk≤n cj1...jk(dxj1 α)p∧ · · · ∧ (dxjk α)p7−→ x1 α(p), . . . , xk α(p),cj1...jk1≤j1<···<jk≤n, é dicir, se γ∈∧k(Tp(M)),p∈Uα, entón ϕk α(γ) = x1 α(p), . . . , xk α(p),γ∂xj1 αp,...,∂xjk αp1≤j1<···<jk≤n. A súa aplicación inversa é (ϕk)−1 α:ϕk α(Uα)×R(n k)−→ (πk)−1(Uα) x, cj1...jkj1<···<jk7−→ X j1<···<jk cj1...jk(dxj1 α)ϕ−1 α(x)∧ · · · ∧ (dxjk α)ϕ−1 α(x). Obsérvese que ∧1T(M) = T∗(M)eλ1 M=τ∗ M. Observación 3.11.Por convención, o fibrado exterior de grao 0sobre Mé o fibrado vectorial produto µR M= (M×R,pr1, M, R)(véxase o exemplo 2.4), é dicir, ∧0T(M) = [ p∈M {p} × R=M×R, λ0 M=µR M. 42 CAPÍTULO 3. FIBRADOS EXTERIORES E FORMAS DIFERENCIAIS •3.12. (Suma de Whitney de espazos fibrados vectoriais) Se ξ= (E, π, M, F)eξ0= (E0, π0, M, F0)son dous espazos fibrados vectoriais, podemos supoñer que teñen atlas fibrados vectoriais cos mesmos abertos de trivialidade considerando un refinamento común dos abertos de trivialidade de dous atlas de ξeξ0. Sexan {(Uα, hα)}α∈Ae{(Uα, h0 α)}α∈Adous destes atlas fibrados de ξeξ0, respectivamente. Asignamos a cada p∈Mo espazo vectorial Ep⊕E0 p. Se p∈Uα, téñense isomorfismos (hα)p:F→Epe(h0 α)p:F0→E0 p, que dan lugar ao isomorfismo (˜ hα)p= (hα)p⊕(h0 α)p:F⊕F0−→ Ep⊕E0 p, e se Uα∩Uβ6=∅, a aplicación ˜ hβα : (Uα∩Uβ)×(F⊕F0)−→ F⊕F0 dada por ˜ hβα(p, (z, z0)) = (˜ hβ)−1 p◦(˜ hα)p(z, z0) =(hβ)−1 p◦(hα)p(z),(h0 β)−1 p◦(h0 α)p(z0) é diferenciable. Polo corolario 2.7, na unión disxunta E⊕E0=G p∈M (Ep⊕E0 p) existe unha única estrutura de variedade diferenciable tal que se ˜π:E⊕E0→Mé a aplicación dada por ˜π(y, y0) = pse (y, y0)∈Ep⊕E0 p, entón ξ⊕ξ0= (E⊕E0,˜π, M, F ⊕F0) é un espazo fibrado vectorial con atlas fibrado vectorial {(Uα,˜ hα)}α∈A, onde ˜ hα:Uα×(F⊕F0)−→ ˜π−1(Uα) (p, (z, z0)) 7−→ ˜ hα(p, (z, z0)) = (hα)p(z),(h0 α)p(z0). Dise que ξ⊕ξ0é a suma de Whitney dos espazos fibrados vectoriais ξeξ0. Se ξeξ0teñen rango kek0, respectivamente, entón o fibrado vectorial ξ⊕ξ0ten rango k+k0. Ademais, de acordo coa observación 2.8, se a={(Uα, ϕα)}α∈Aé un atlas da variedade diferenciable Mtal que os seus abertos coordenados coinciden cos abertos de trivialidade dos atlas fibrados vectoriais considerados en ξeξ0, e supoñemos que ψ:F→Rke ψ0:F0→Rk0son isomorfismos, entón un atlas da variedade diferenciable E⊕E0sería a familia e a=˜π−1(Uα),˜ϕαα∈A, onde ˜ϕα: ˜π−1(Uα)→ϕα(Uα)×Rk×Rk0⊂Rn+k+k0está dado por ˜ϕα(y, y0) = ϕα×(ψ×ψ0)˜ h−1 α(y, y0)=ϕα(p), ψ((hα)−1 p(y), ψ0((h0 α)−1 p(y), 3.3. FORMAS DIFERENCIAIS SOBRE VARIEDADES 43 con p=π(y) = π0(y0). A súa inversa ˜ϕ−1 α:ϕα(Uα)×Rk×Rk0→˜π−1(Uα)está dada por ˜ϕ−1 α(x, a, a0) = ˜ hα(ϕ−1 α(x), ψ−1(a), ψ0−1(a0)) =(hα)ϕ−1 α(x)(ψ−1(a)),(h0 α)ϕ−1 α(x)(ψ0−1(a0))∈Eϕ−1 α(x)⊕E0 ϕ−1 α(x). É obvio que a construción anterior se pode xeneralizar á suma de Whitney dun número finito de espazos fibrados vectoriais ξ1, . . . , ξrsobre M, de rangos k1, . . . , kr, respectivamente. A súa suma de Whitney é un espazo fibrado vectorial ξ1⊕· · ·⊕ξrsobre Mde rango k1+· · · +kr. •3.13. O fibrado álxebra exterior λM=∧T(M),ˆπ, M, ∧(Rn) Ofibrado álxebra exterior dunha variedade diferenciable Mde dimensión né a suma de Whitney λM=λ0 M⊕λ1 M⊕ · · · ⊕ λn M. O seu espazo total é ∧(M) = ∧0T(M)⊕∧1T(M)⊕ · · · ⊕ ∧nT(M) = (M×R)⊕T∗(M)⊕∧2T(M)⊕ · · · ⊕ ∧nT(M) e a súa fibra típica é ∧(Rn) = ∧0(Rn)⊕∧1(Rn)⊕∧2(Rn)⊕ · · · ⊕ ∧n(Rn) =R⊕(Rn)∗⊕∧2(Rn)⊕ · · · ⊕ ∧n(Rn). λMé un fibrado vectorial sobre Mde rango n 0+n 1+. . . n n= 2n. 3.3. Formas diferenciais sobre variedades Definición 3.14. Sexa Munha variedade diferenciable de dimensión n. Unha forma de grao k(ou k-forma) sobre Mé unha aplicación que asigna a cada punto p∈Munha k-forma linear en p, isto é, unha sección da la proxección πk:∧kT(M)→M, ω:M−→ ∧kT(M) p7−→ ωp∈∧kTp(M). En particular, unha 1-forma sobre Mé unha sección da proxección do fibrado cotanxente π∗:T∗(M)→M, ω:M−→ T∗(M) p7−→ ωp∈T∗ p(M). Unha forma diferencial de grao k(ou k-forma diferencial) sobre Mé unha k-forma ω:M→∧kT(M)que é diferenciable como aplicación entre variedades diferenciables. 50 CAPÍTULO 3. FIBRADOS EXTERIORES E FORMAS DIFERENCIAIS Por exemplo, se f∈ F(M), a diferencial de fé unha sección (diferenciable) do fibrado cotanxente (ver definición 3.15) e como aplicación F(M)-linear é df :X(M)−→ F(M) X7−→ (df)(X) = Xf (véxase tamén 2.23). •3.23. (A álxebra exterior das formas diferenciais sobre unha variedade diferenciable) O produto exterior das formas diferenciais ω∈ Er(M)eη∈ Es(M)correspóndese coa aplicación obtida a partir das aplicacións F(M)-multilineares antisimétricas ωeηpor (ω∧η)(X1, . . . , Xr+s) = 1 r!s!X σ∈Sr+s ε(σ)ωXσ(1), . . . , Xσ(r)ηXσ(r+1), . . . , Xσ(r+s) =X σ∈S(r,s) ε(σ)ωXσ(1), . . . , Xσ(r)ηXσ(r+1), . . . , Xσ(r+s), onde X1, . . . , Xr+s∈X(M). Tamén poñemos Ek(M) = 0 para todo k∈Z, k < 0. Se dim M=n, E∗(M) = M k∈Z Ek(M) = E0(M)⊕ E1(M)⊕ E2(M)⊕ · · · ⊕ En(M) ten estrutura de espazo vectorial real e de módulo sobre F(M). Cada elemento de E∗(M) pódese representar como unha suma formal ω=X k∈Z ωk=ω0+ω1+· · · +ωn, ωk∈ Ek(M)∀k∈Z, e dise que ωé unha forma diferencial sobre M. Co produto exterior ∧(que se estende a E∗(M)por bilinearidade) é unha álxebra graduada anticonmutativa sobre R, E∗(M)× E∗(M)∧ −→ E∗(M) (ω, η)7−→ ω∧η= n X k=0X r+s=k ωr∧ηs. Dicimos que E∗(M)é a álxebra exterior das formas diferenciais sobre M. Exemplo 3.24. (Formas diferenciais sobre Rn) Para calquera variedade diferenciable Mde dimensión n≥1, cada espazo vectorial Ek(M),0≤k≤n, é un espazo vectorial real de dimensión infinita. Como F(M)-módulo é localmente libre, é dicir, cada punto de Mten unha veciñanza aberta Utal que Ek(U)é un F(U)-módulo libre finitamente xerado. 3.3. FORMAS DIFERENCIAIS SOBRE VARIEDADES 51 No caso M=Rno sistema de coordenadas identidade idRn= (r1, . . . , rn)permite considerar no F(Rn)-módulo E∗(Rn) = M k∈Z Ek(Rn) = E0(Rn)⊕ E1(Rn)⊕ E2(Rn)⊕ · · · ⊕ En(Rn) a base formada polas seguintes 2nformas diferenciais 1, dri(1 ≤i≤j), dri∧drj(i<j), dri∧drj∧drk(i < j < k), . . . , dr1∧ · · · ∧ drn. Cada ω∈ Ek(Rn),1≤k≤n, pódese escribir de modo único como ω=X 1≤j1<···<jk≤n aj1···jkdrj1∧ · · · ∧ drjk, aj1···jk∈ F(Rn). En particular E0(Rn)eEn(Rn)son F(Rn)-módulos unidimensionais, e tense o isomorfismo E0(Rn)−→ En(Rn) f7−→ f dr1∧ · · · ∧ drn. Por outra banda, se f∈ E0(Rn) = F(Rn), entón df ∈ E1(M)exprésase como df = n X j=1 ∂f ∂rjdrj. •3.25. (Imaxes recíprocas de formas e homomorfismo de álxebras inducido) Sexan MeNvariedades diferenciables de dimensións men, respectivamente, e sexa f:M→Nunha aplicación diferenciable. (1) Se p∈M, para cada k∈Z,k≥1, defínese f∗ p:∧kTf(p)(N)→∧kTp(M),por (f∗ pα)(v1, . . . , vk) = αf∗p(v1), . . . , f∗p(vk), para todo α∈∧kTf(p)(N),v1, . . . , vk∈Tp(M). Se k= 1,f∗ p:T∗ f(p)(N)→T∗ p(M)é a aplicación cotanxente de fen p. É inmediato que f∗ pé linear para cada k≥1, e que se α∈∧r f(p)(N)eβ∈∧sTf(p)(N), entón f∗ p(α∧β)=(f∗ pα)∧(f∗ pβ). Tense un homomorfismo de álxebras exteriores f∗:λk N→λk Mdeterminado por f∗:∧kT(N)−→ ∧kT(M) α1∧ · · · ∧ αk∈∧k f(p)(N)7−→ (f∗ pα1)∧ · · · ∧ (f∗ pαk)∈∧k p(M). 52 CAPÍTULO 3. FIBRADOS EXTERIORES E FORMAS DIFERENCIAIS (2) Para cada ω∈ Ek(N),k≥1, defínese a imaxe recíproca de ωpor fcomo a k-forma f∗ω:M−→ ∧kT(M) p7−→ (f∗ω)p=f∗ pωf(p), e se ω=h∈ E0(N) = F(N), defínese f∗h=h◦f. (3) Verifícase f∗(dh) = d(h◦f) = d(f∗h)para cada h∈ F(N), xa que se p∈Me v∈Tp(M), tense f∗(dh)p(v) = f∗ p(dh)f(p)(v) = (dh)f(p)(f∗p(v)) = (f∗p(v))(h) =v(h◦f) = d(h◦f)p(v) = d(f∗h)p(v), onde usamos as definicións 1.14 e 3.8. (4) Para todo k≥0, a aplicación imaxe recíproca f∗:Ek(N)−→ Ek(M) ω7−→ f∗(ω) = f∗ω está ben definida, xa que se (V, ψ)é unha carta de N,ψ= (y1, . . . , yn), e ω∈ Ek(N)é tal que ω|V=X 1≤j1<···<jk≤n bj1...jkdyj1∧ · · · ∧ dyjk, ep∈f−1(V)entón (f∗ω)p=f∗ pωf(p)=X 1≤j1<···<jk≤n (f∗ pbj1...jk)f∗ p(dyj1)f(p)∧ · · · ∧ f∗ p(dyjk)f(p) =X 1≤j1<···<jk≤n (bj1...jk◦f)(p)d(yj1◦f)p∧ · · · ∧ d(yjk◦f)p, de onde se segue que a k-forma f∗ωsobre Mé diferenciable e polo tanto f∗ω∈ Ek(M). Ademais, para cada k≥0a aplicación f∗é un homomorfismo de espazos vectoriais. (5) Se ω∈ Er(N),η∈ Es(N),r, s ≥0, entón f∗(ω∧η)=(f∗ω)∧(f∗η), polo que se ten un homomorfismo de álxebras inducido f∗:E∗(N)−→ E∗(M) ω=Pkωk7−→ f∗(ω) = Pkf∗ωk, que conserva o grao das formas. Se g:N→Lé outra aplicación diferenciable entre variedades diferenciable entón (g◦f)∗=f∗◦g∗. Se M=Nefé a identidade na variedade Mé inmediato que f∗é a 3.3. FORMAS DIFERENCIAIS SOBRE VARIEDADES 53 identidade en E∗(M). Así, ao asignar a cada variedade diferenciable Ma álxebra E∗(M) das formas diferenciais sobre Me a cada aplicación diferenciable f:M→Na aplicación imaxe recíproca f∗:E∗(N)→ E∗(M), tense o functor contravariante E∗da categoría de variedades diferenciables (e aplicacións diferenciables) na categoría de álxebras graduadas anticonmutativas sobre R(e homomorfismos). Se f:M→Né un difeomorfismo entón f∗ é un isomorfismo de álxebras graduadas. Exemplo 3.26. (Unha forma diferencial non nula sobre S1) A circunferencia S1é unha subvariedade regular de R2e a inclusión i:S1→R2induce a aplicación linear i∗:E1(R2)→ E1(S1), co que cada forma diferencial ω=f dx +g dy sobre R2, onde x, y son as funcións coordenadas do sistema de coordenadas identidade de R2ef, g ∈ F(R2), define unha forma diferencial i∗ω∈ E1(S1). Se se fai actuar sobre o campo ∂θ= (−y∂x+x∂y)|S1∈X(S1)(véxase 2.28), para cada p∈S1, (i∗ω)p((∂θ)p) = ωp(i∗p((∂θ)p) =f(p)(dx)p+g(p)(dy)p−y(p)∂xp+x(p)∂yp =−f(p)y(p) + g(p)x(p), e ao poñer f=−yeg=xobtense a forma diferencial α=i∗(−y dx +x dy)sobre S1que é non nula en cada punto xa que α(∂θ)é a función constante 1sobre S1. A 1-forma αé unha sección do fibrado cotanxente T∗(S1), así que este fibrado, como sucede co fibrado tanxente T(S1), é isomorfo ao fibrado trivial S1×R. Capítulo 4 Derivacións e antiderivacións Imos estudar neste capítulo tres operadores lineares fundamentais no estudo das variedades diferenciables: a diferencial exterior, a derivada de Lie respecto dun campo de vectores e o produto interior ou contracción cun campo de vectores, e que están ligados pola chamada “fórmula máxica de Cartan”. Imos ver previamente propiedades comúns a estes operadores, para o que imos a considerar as derivacións e as antiderivacións na álxebra das formas diferenciais sobre unha variedade diferenciable. 4.1. Derivacións e antiderivacións de formas diferenciais Sexa Munha variedade diferenciable de dimensión neE∗(M) = Lk∈ZEk(M)a álxebra graduada das formas diferenciais sobre M. Definición 4.1. Un operador linear de E∗(M)é un endomorfismo do espazo vectorial E∗(M), isto é, unha aplicación R-linear D:E∗(M)−→ E∗(M). Un operador linear de E∗(M)dise que é de grao k∈Zse D(Es(M)) ⊂ Es+k(M), s ≥0. Un operador linear de E∗(M)dise que é unha derivación se é de grao par e D(ω∧η) = D(ω)∧η+ω∧D(η), ω, η ∈ E∗(M), e unha antiderivación1se é de grao impar e D(ω∧η) = D(ω)∧η+ (−1)rω∧D(η), ω ∈ Er(M), η ∈ E∗(M). 1As propiedades características dun operador linear de E∗(M)para ser unha derivación ou unha antiderivación tamén se chaman regra de Leibniz eregra anti-Leibniz, respectivamente. 55 56 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓNS E ANTIDERIVACIÓNS A proba da seguinte proposición, sobre o conmutador de dúas derivacións, o conmutador dunha derivación e unha antiderivación, e o anticonmutador de dúas antiderivacións, é inmediata. Proposición 4.2. Sexan DeD0derivacións de E∗(M)de grao kek0, respectivamente, e sexan AeA0antiderivacións de E∗(M)de grao lel0, respectivamente. Entón (a) [D, D0] = D◦D0−D0◦Dé unha derivación de grao k+k0, (b) [D, A] = D◦A−A◦Dé unha antiderivación de grao k+l, (c)A◦A0+A0◦Aé unha derivación de grao l+l0, (d)A2=A◦Aé unha derivación de grao 2l. Definición 4.3. Un operador linear D:E∗(M)→ E∗(M)dise que é un operador local se para todo subconxunto aberto Ude Mse verifica: ω, η ∈ E∗(M), ω|U=η|U=⇒(Dω)|U= (Dη)|U, é dicir, o comportamento de Dω nun punto p∈Mdepende do comportamento de Dω nunha veciñanza de p. Proposición 4.4. As derivacións e as antiderivacións de E∗(M)son operadores locais. Demostración. É suficiente probar que se unha derivación (ou antiderivación) ωé0nun conxunto aberto Ude M, logo (Dω)|U= 0, pois por linearidade das derivacións e antiderivacións, se (ω−η)|U= 0, logo (Dω)|U−(Dη)|U= (Dω −Dη)|U= 0 e teriamos o resultado. Sexa entón Uun aberto de M,p∈Uun punto de Ueωunha k-forma diferencial tal que ω|U= 0. Podemos escoller unha función meseta ftal que f|M\U= 1 ef(p)=0. Temos entón ω=fω, co que Dω =D(fω) = Df ∧ω+f∧Dω. Agora, tanto fcomo ωse anulan en p, co que (Dω)p= 0 para todo p∈U. Observación 4.5.Se ω1, . . . , ωkson formas diferenciais de grao 1sobre M,k≥2, próbase facilmente (por indución): Se Dé unha derivación entón D(ω1∧· · ·∧ωk) = (Dω1)∧ω2∧· · ·∧ωk+ω1∧(Dω2)∧· · ·∧ωk+· · ·+ω1∧ω2∧· · ·∧(Dωk). Se Dé unha antiderivación entón D(ω1∧· · ·∧ωk)=(Dω1)∧ω2∧· · ·∧ωk−ω1∧(Dω2)∧· · ·∧ωk+· · ·+(−1)s−1ω1∧ω2∧· · ·∧(Dωk). 4.1. DERIVACIÓNS E ANTIDERIVACIÓNS DE FORMAS DIFERENCIAIS 57 Proposición 4.6. Se Dé unha derivación (ou antiderivación) de E∗(M)entón, para cada aberto Ude M, existe unha única derivación (respectivamente, antiderivación) DU de E∗(U)tal que (Dω)|U=DU(ω|U) para cada ω∈ Ek(M),k≥0. Ademais, se Dé de grao kentón DUé de grao k. Demostración. Se D:E∗(M)→ E∗(M)é unha derivación ou unha antiderivación e Uun aberto de M, definimos DU:E∗(U)→ E∗(U)asignando a cada α∈ E∗(U)a aplicación DUα:U−→ ∧T(U) = ∧T(M)|U p7−→ (DUα)p= (Dω)p,onde ω∈ E∗(M)é tal que ω|V=α|V, Vaberto en M, p ∈V, V ⊂U. Obsérvese que tal ωexiste pola propiedade de extensión local de formas diferenciais (proposición 3.19); se dim M=neα=Pn k=0 αk, con αk∈ Ek(U), entón ω=Pn k=0 ωk, onde ωk∈ Ek(M)é tal que (ωk)|V= (αk)|Vpara todo k= 0, . . . , n. Ademais DUαestá ben definida xa que se ω0∈ E∗(M)é tal que ω0 |V0=α|V0onde V0é outra veciñanza aberta de pcontida en U, entón ω|V∩V0=ω0 |V∩V0, e dado que as derivacións e as antiderivacións de Mson operadores locais (proposición 4.4) tense (Dω)|V∩V0= (Dω0)|V∩V0e polo tanto (Dω)p= (Dω0)p. É evidente que DUé un operador linear por selo De que se Dé unha derivación (respectivamente, unha antiderivación) tamén o é DU(xa que se ωé una extensión local de αnunha veciñanza aberta de p∈Ueηé unha extensión local de βnunha veciñanza aberta de p, os dous contidos en U, entón λ ω+µ η — con λ, µ ∈R— e ω∧ηson extensións locais de λ α +µ β eα∧β, respectivamente, na intersección de ambas veciñanzas abertas de p). Da definición de DUé inmediato que DU(ω|U) = (Dω)|Upara cada ω∈ E∗(M). Para probar a unicidade de DU, supoñamos que temos outra derivación ou antiderivación D0 U:E∗(U)→ E∗(U)tal que D0 U(ω|U) = (Dω)|Upara todo ω∈ E∗(M)e vexamos que D0 U=DU. En efecto, se α∈ E∗(U),p∈U, e consideramos unha veciñanza aberta Vde p tal que V⊂Ueω∈ E∗(M)é tal que ω|V=α|Ventón, por ser D0 Uun operador local, (D0 Uα)p= (D0 Uω|U)p= ((Dω)|U)p= (Dω)p= (DUα)p, onde a última igualdade débese á definición de DU, o que conclúe a proba da proposición, xa que é trivial que se Dé de grao k, tamén o é DU. 58 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓNS E ANTIDERIVACIÓNS Proposición 4.7. Unha derivación ou unha antiderivación de E∗(M)está completamente determinada pola súa actuación sobre E0(M) = F(M)eE1(M). (De feito, dúas derivacións ou antiderivacións de E∗(M)son iguais se coinciden sobre as funcións e sobre as diferenciais das funcións). Demostración. Sexan DeD0derivacións (ou antiderivacións) de E∗(M). Imos probar que se D(f) = D0(f)eD(df) = D0(df)para cada f∈ F(M)entón D=D0, para o que, se substituímos D−D0por D, abonda probar que se Dé unha derivación ou unha antiderivación de E∗(M)tense que se D(f)=0eD(df)=0para cada f∈ F(M)entón D= 0. Haberá que probar que Dω = 0 para todo ω∈ Ek(M),k≥1, para o que imos ver que dado p∈M,(Dω)p= 0. Para isto, tomamos unha carta (U, ϕ)de Mcon p∈U, ϕ= (x1, . . . , xn). Temos ω|U=X 1≤j1<···<jk≤n aj1···jkdxj1∧ · · · ∧ dxjk, aj1···jk∈ F(U). Pola propiedade de extensión local de funcións diferenciables (corolario 1.11) existen unha veciñanza aberta Vde p,V⊂U, funcións fj1...jk∈ F(M)para 1≤j1<· · · < jk≤n tales que fj1...jk|V=aj1···jk|V, e funcións g1, . . . , gn∈ F(M)tales que gj |V=xj |Vpara j= 1, . . . , n. Entón, η=X 1≤j1<···<jk≤n fj1···jkdgj1∧ · · · ∧ dgjk∈ Ek(M) é tal que η|V=ω|V, xa que fj1...jk|V=aj1···jk|Ve para todo q∈V, e cada v∈Tq(M), (dgj)q(v) = v(gj) = v(xj) = (dxj)q(v). Pola proposición 4.4, Dé un operador local, co que (Dω)|U= (Dη)|U, e polo tanto (Dω)p= (Dη)p= 0, porque Dη =X 1≤j1<···<jk≤nD(fj1···jk)∧dgj1∧ · · · ∧ dgjk+fj1···jkD(dgj1∧ · · · ∧ dgjk)= 0, tendo en conta a observación 4.5, e xa que Dse anula nas funcións diferenciables sobre M e nas diferenciais das funcións. 4.2. O produto interior Teorema 4.8. Existe unha única aplicación ι:X(M)× E∗(M)−→ E∗(M) (X, ω)7−→ ιXω 4.2. O PRODUTO INTERIOR 59 tal que para cada X∈X(M),ιX:E∗(M)→ E∗(M)é unha antiderivación de grao −1que satisfai as dúas seguintes propiedades para cada f∈ F(M): (1) ιXf= 0, (2) ιX(df) = (df)(X). Ademais, ιXω=ω(X)para todo ω∈ E1(M), e se ωé unha forma diferencial de grao k≥2entón a forma diferencial ιXωde grao k−1está determinada por (?) (ιXω)(X1, . . . , Xk−1) = ω(X, X1, . . . , Xk−1), X1, . . . , Xk−1∈X(M). Demostración. Como vimos na proposición 4.7, as (anti)derivacións están determinadas por como actúan sobre as funcións e as diferenciais das funcións, polo que as condicións (1) e (2) garanten a unicidade de ιno caso da súa existencia. Para demostrar esta, para cada campo de vectores diferenciable Xsobre Mdefinimos ιXpor ιXf= 0 para f∈ F(M), por ιXω=ω(X)se ω∈ E1(M)e por (?)se ω∈ Ek(M),k≥2. Cada ιX:Ek(M)→ Ek−1(M) está ben definido e é R-linear, e podemos estender a E∗(M)por linearidade, ιX:E∗(M)−→ E∗(M) X k∈Z ωk7−→ X k∈Z ιXωk. Obviamente, ιXcumpre as condicións (1) e (2), e imos ver agora que é unha antiderivación. Para isto, sexan ω∈ Er(M)eη∈ Es(M). Se r=s= 0 entón ω=f, η =g∈ F(M), f∧g=fg ∈ F(M), logo ιX(f∧g) = 0 = ιX(f)∧g+ (−1)0f∧ιX(g). Se r= 0,s≥1,ω=f∈ F(M),ω∧η=f∧η=f η, logo ιX(f∧η)(X1, . . . , Xs) = (f η)(X1, . . . , Xs) = fη(X1, . . . , Xs)=f(ιXη)(X1, . . . , Xs), así que ιX(f∧η) = ιX(fη) = fιX(η) = 0 + f∧ιX(η) = ιX(f)∧η+ (−1)0f∧ιX(η). Se r≥1,s= 0,η=g∈ F(M),ω∧η=ω g =g ω, e tense ιX(ω∧g) = ιX(g ω) = gιX(ω) = ιX(ω)∧g+ 0 = ιX(ω)∧g+ (−1)rω∧ιX(g). Se r, s ≥1, escribimos X1=X, e consideramos X2, . . . , Xr+s∈X(M). Tense ιX(ω∧η)(X2, . . . , Xr+s)=(ω∧η)(X1, . . . , Xr+s) =1 r!s!X σ∈Sr+s ε(σ)ω(Xσ(1), . . . , Xσ(r))η(Xσ(r+1), . . . , Xσ(r+s)). 66 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓNS E ANTIDERIVACIÓNS é dicir, (LXω)(X1, . . . , Xk) = LXω(X1, . . . , Xk)− k X j=1 ω(X1,...,LXXj, . . . , Xk). Observación 4.19.A derivada de Lie (LXω)(X1, . . . , Xk)da unha medida da variación ao longo das curvas integrais de Xdo valor da forma ωaplicada a campos de vectores X1, . . . , Xkinvariantes polo fluxo de X. Se a variedade é un aberto nun espazo euclidiano Rneω=dr1∧ · · · ∧ drn(a “forma de volume” de Rn) entón LXωmide como cambian os volumes polo fluxo {Φt}de X. Proposición 4.20. Se XeYson campos de vectores diferenciables sobre Mverifícase: [LX,LY] = L[X,Y ]. Demostración. Tanto [LX,LY]como L[X,Y ]son derivacións de grao 0, polo que abondará ver que toman os mesmos valores sobre as funcións diferenciables reais sobre Me sobre as súas diferenciais para ver que son iguais. Pois ben, se f∈ F(M)entón, pola propiedade (2) do teorema 4.13: [LX,LY] (f) = LXLY(f)− LYLX(f) = LX(Y f)− LY(Xf) =X(Y f)−Y(Xf) = [X, Y ](f) = L[X,Y ](f), 4.4. A DIFERENCIAL EXTERIOR 67 e ademais [LX,LY] (df) = LXLY(df)− LYLX(df) = LXd(Y f)−LYd(Xf) =dX(Y f)−dY(Xf)=dX(Y f)−Y(Xf) =d[X, Y ](f)=L[X,Y ](df), onde aplicamos varias veces a propiedade (3) do teorema 4.13. 4.4. A diferencial exterior Un operador linear moi importante no estudo das variedades diferenciables é a diferencial exterior, que como imos ver, é unha extensión da diferencial ordinaria das funcións diferenciables. Aquí introducímolo a partir da derivada de Lie e do produto interior. Teorema 4.21. Sexa Munha variedade diferenciable de dimensión n. Existe un único operador linear de grao +1 d:E∗(M)−→ E∗(M) tal que (?)LX=d◦ιX+ιX◦d para cada campo de vectores diferenciable Xsobre M. Demostración. Para probar a unicidade supoñamos que ded0son operadores lineares sobre E∗(M)que satisfán (?). Probaremos que d=d0por indución no grao das formas. Posto que para cada X∈X(M)debe ser d◦ιX+ιX◦d=LX=d0◦ιX+ιX◦d0, teremos, para cada f∈ F(M), ιX(d−d0)(f) = d0(ιXf)−d(ιXf)=0, por (1) do teorema 4.8, logo ιX(d(f)) = ιX(d0(f)), é dicir, (d(f))(X)=(d0(f))(X)para cada X∈X(M)e por tanto d(f) = d0(f), co que ded0coinciden en en E0(M) = F(M). Supoñamos agora que ded0coinciden en Ek−1(M)e imos ver que coinciden en Ek(M). Se ω∈ Ek(M)entón ιXω∈ Ek−1(M), e pola hipótese de indución d(ιXω) = d0(ιXω). Polo tanto, 0=(d−d0)ιXω=ιX(d0−d)ω. Dado que dω−d0ω∈ Ek+1(M), se X1, . . . , Xk+1 ∈X(M)entón (dω−d0ω)(X1, . . . , Xk+1) = ιX1(dω−d0ω)(X2, . . . , Xk+1) = 0, 68 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓNS E ANTIDERIVACIÓNS logo dω=d0ω. Para probar a existencia procedemos tamén por indución. Definimos den primeiro lugar para formas diferenciais de grao 0, de modo que coincida coa diferencial ordinaria das funcións, d:E0(M)−→ E1(M) f7−→ df=df :X∈X(M)7→ (df)(X) = Xf. Trivialmente, déR-linear, e tense LXf=dιXf+ιXdf, xa que LXf=Xf (por (2) do teorema 4.13) e por ser ιXf= 0 eιXdf = (df)(X) = Xf (por (1) e (2) no teorema 4.8). Supoñamos que existe ddefinida en Ek−1(M)coas propiedades requiridas e imos definila en Ek(M). Se ωé unha k-forma diferencial sobre MeX1, . . . , Xk+1 ∈X(M), para ter (?)poñemos (??)dω(X1, . . . , Xk+1) = (ιX1dω)(X2, . . . , Xk+1) = (LX1ω)(X2, . . . , Xk+1)−(dιX1ω)(X2, . . . , Xk+1). Vexamos que, así definida, dωé unha (k+ 1)-forma diferencial, é dicir dω:X(M)×(k+1) . . . ×X(M)−→ F(M) éF(M)-multilinear e antisimétrica. Agora ben, LX1ωed(ιX1ω)∈ Ek(M)son F(M)- multilineares e e antisimétricas, X(M)×(k) . . . ×X(M)→ F(M), a segunda pola hipótese de indución. Polo tanto, dωéF(M)-multilinear e antisimétrica con respecto aos argumentos 2, . . . , k + 1. Falta ver que dωéF(M)-multilinear respecto á primeira variable X1, e que é antisimétrica respecto das variables primeira e i-ésima (para cada i= 2, . . . , k + 1), ou equivalentemente, con respecto ás variables primeira X1e segunda X2. Vexamos en primeiro lugar o carácter antisimétrico de dω. Tense (LX2ω)(X2, . . . , Xk+1) = ιX2(LX2ω)(X3, . . . , Xk+1) =LX2(ιX2ω)(X3, . . . , Xk+1)−(ι[X2,X2]ω)(X3, . . . , Xk+1) =dιX2ιX2ω(X3, . . . , Xk+1) + ιX2dιX2ω(X3, . . . , Xk+1) =ιX2dιX2ω(X3, . . . , Xk+1), onde a segunda igualdade séguese da proposición 4.15 e a terceira da fórmula (?)no enunciado, LX2=d◦ιX2+ιX2◦d, que se verifica aplicada a formas diferenciais de grao k−1, pola hipótese de indución. Obviamente, a última igualdade é consecuencia de ιX2ιX2= 0. Polo tanto, (LX2ω)(X2, . . . , Xk+1) = ιX2d(ιX2ω)(X3, . . . , Xk+1) = d(ιX2ω)(X2, X3, . . . , Xk+1). 4.4. A DIFERENCIAL EXTERIOR 69 Así, da expresión (??)para dωe a anterior igualdade, séguese (dω)(X2, X2, . . . , Xk+1) = ιX2(dω)(X2, . . . , Xk+1) = (LX2ω)(X2, . . . , Xk+1)−d(ιX2(ω))(X2, . . . , Xk+1)=0. Isto proba a antisimetría de dω, e como consecuencia tamén se deduce o carácter F(M)- multilinear de dωrespecto da primeira variable X1, xa que (dω)(X1, X2, . . . , Xk+1) = −(dω)(X2, X1, . . . , Xk+1). Evidentemente, as aplicacións d:Ek(M)→ Ek+1(M), que se teñen para k= 0,1, . . . , n, son R-lineares e esténdense por R-linearidade para dar lugar a un único operador linear d:E∗(M)→ E∗(M)tal que d(Ek(M)) ⊂ Ek+1(M)e cumpre a ecuación (?). Definición 4.22. O operador linear d:E∗(M)−→ E∗(M)definido polo teorema 4.21 chámase a diferencial exterior da álxebra exterior das formas diferenciais sobre M. A igualdade que o define, LX=d◦ιX+ιX◦d, X ∈X(M), é a fórmula de Cartan. Da fórmula de Cartan séguese inmediatamente que a diferencial das 0-formas é a diferencial ordinaria das funcións e tense unha expresión sinxela para a diferencial das formas de grao 1que ven dada pola seguinte proposición. Proposición 4.23. (a)Para as funcións diferenciables ( 0-formas diferenciais sobre M), a diferencial exterior coincide coa diferencial ordinaria, é dicir, (df)(X) = (df)(X) = X(f), X ∈X(M), f ∈ F(M). (b)Se ωé unha forma diferencial de grao 1sobre Mentón (dω)(X, Y ) = Xω(Y)−Yω(X)−ω([X, Y ]), X, Y ∈X(M). Demostración. Se ω=f∈ E0(M)entón (df)(X) = ιX(df) = LX(f)−d(ιXf) = LX(f) = X(f). Se ω∈ E1(M)eX, Y ∈X(M), pola proposición 4.18 para k= 1 cúmprese (LXω)(Y) = X(ω(Y)) −ω([X, Y ]), e polo tanto, da fórmula de Cartan séguese (dω)(X, Y ) = ιX(dω)(Y) = LXω(Y)−d(ιXω)(Y) =X(ω(Y)) −ω([X, Y ]) −d(ω(X)(Y) =X(ω(Y)) −Y(ω(X)) −ω([X, Y ]). 70 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓNS E ANTIDERIVACIÓNS Temos a seguinte xeneralización, que proporciona unha expresión global da diferencial exterior dunha forma diferencial de calquera grao k≥0. Proposición 4.24. Se ωé unha k-forma diferencial sobre Mentón dωé a forma diferencial de grao k+ 1 dada por (dω)(X1, . . . , Xk+1) = k+1 X i=1 (−1)i+1Xiω(X1,..., b Xi, . . . , Xk+1) +X 1≤i<j≤k+1 (−1)i+jω([Xi, Xj], X1,..., b Xi,..., b Xj, . . . , Xk+1), onde X1, . . . , Xk+1 ∈X(M), e c Xiindica que se omite o termo correspondente. Demostración. Pola proposición anterior, a ecuación do enunciado é válida para k= 0 e k= 1. Supoñemos que a ecuación é válida para as formas diferenciais de grao k−1e imos probala para as k-formas diferenciais. Así, se ω∈ Ek(M), pola fórmula de Cartan, a proposición 4.18 e a hipótese de indución, (dω)(X1, . . . , Xk+1) = ιX1(dω)(X2, . . . , Xk+1) =LX1ω(X2, . . . , Xk+1−d(ιX1ω)(X2, . . . , Xk+1) =X1ω(X2, . . . , Xk+1)− k+1 X j=2 ω(X2,...,[X1, Xj], . . . , Xk+1) − k+1 X i=2 Xi(ιX1ω)(X2,...,c Xi, . . . , Xk+1) −X 2≤i<j≤k+1 (−1)i+jιX1ω([Xi, Xj], X2,...,c Xi,...,c Xj, . . . , Xk+1) =X1ω(X2, . . . , Xk+1)− k+1 X i=2 Xiω(X1, X2,...,c Xi, . . . , Xk+1) − k+1 X j=2 (−1)j−2ω([X1, Xj], X2,...,c Xj, . . . , Xk+1) +X 2≤i<j≤k+1 (−1)i+jω([Xi, Xj], X1, X2,...,c Xi,...,c Xj, . . . , Xk+1), co que se ten a igualdade no enunciado. Unha caracterización alternativa da diferencial exterior ven dada polo seguinte teorema, que tamén afirma que dé unha antiderivación. Teorema 4.25. A diferencial exterior é o único operador linear d:E∗(M)→ E∗(M)que satisfai as seguintes propiedades: 4.4. A DIFERENCIAL EXTERIOR 71 (1) dé unha antiderivación de grao +1. (2) Para cada función f∈ E0(M),dfé a diferencial (ordinaria) de f. (3) d2=d◦d= 0. Demostración. Para probar a unicidade, supoñamos que ded0son operadores lineares nas condicións do enunciado. Xa que son antiderivacións, están determinados pola su actuación sobre os elementos de E0(M)e as súas diferenciais (proposición 4.7). Agora ben, por (2), df=df =d0f, e por (3), d(df) = d(df) = 0 = d0(d0f) = d0(df). Polo tanto, d=d0. Imos probar que a diferencial exterior d:E(M)→ E(M)definida pola fórmula de Cartan verifica as propiedades do enunciado. O carácter linear xa é consecuencia do teorema 4.21, así como que é de grao +1. Tamén se verifica (2), como se ve na proposición 4.23. Para probar que é unha antiderivación, veremos que se ω∈ Er(M)eη∈ Es(M)entón d(ω∧η) = (dω)∧η+ (−1)rω∧dη. A fórmula é válida para r+s= 0, xa que nese caso ω=f, η =g∈ F(M)eω∧η=f∧g= fg, e entón d(f∧g) = d(fg) = (df)g+f(dg) = df∧g+ (−1)0f∧dg, xa que se X∈X(M), tense d(fg)(X) = X(fg) = X(f)g+fX(g)=(df)(X)g+f(dg)(X) = ((df)g+f(dg))(X). Supoñemos agora que a fórmula é certa para r+s=k−1e probarémola para r+s=k. Sexan ω∈ Er(M),η∈ Es(M). Entón, se X1, . . . , Xr+s+1 ∈X(M), d(ω∧η)(X1, . . . , Xr+s+1) = ιX1d(ω∧η)(X2, . . . , Xr+s+1). Pola fórmula de Cartan, e utilizando que LX1é unha derivación e ιX1unha antiderivación, ιX1d(ω∧η) = LX1(ω∧η)−dιX1(ω∧η) (∗) = LX1(ω)∧η+ω∧ LX1(η)−dιX1(ω)∧η+ (−1)r(ω∧ιX1(η)). Pola hipótese de indución para dsobre formas con suma de graos r+s−1, tense dιX1(ω)∧η) = d(ιX1ω)∧η+ (−1)r−1(ιX1ω)∧dη=d(ιX1ω)∧η+ (−1)r(ιX1ω)∧dη, d(−1)r(ω∧ιX1(η))= (−1)r(dω)∧ιX1(η)+(−1)r(−1)r(ω∧dιX1(η). Polas igualdades anteriores, de (∗)séguese: ιX1d(ω∧η) = LX1(ω)∧η+ω∧ LX1(η)−d(ιX1ω)∧η+ (−1)r(ιX1ω)∧dη + (−1)r+1(dω)∧ιX1(η)−(ω∧dιX1(η), 72 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓNS E ANTIDERIVACIÓNS e aplicando outra vez a fórmula de Cartan, ιX1d(ω∧η) = dιX1ω∧η+ιX1dω)∧η+ω∧dιX1η+ω∧ιX1dη)−d(ιX1ω)∧η + (−1)r(ιX1ω)∧dη+ (−1)r+1(dω)∧ιX1(η)−ω∧dιX1(η) =ιX1dω∧η+ (−1)r+1(dω)∧ιX1(η) + ω∧ιX1dη)+(−1)r(ιX1ω)∧dη =ιX1(dω∧η)+(−1)rιX1(ω∧dη), por ser ιX1unha antiderivación. Polo tanto, tense d(ω∧η)(X1, . . . , Xr+s+1) = ιX1d(ω∧η)(X2, . . . , Xr+s+1) =ιX1(dω∧η)(X2, . . . , Xr+s+1)+(−1)rιX1(ω∧dη)(X2, . . . , Xr+s+1) = (dω∧η)(X1, X2, . . . , Xr+s+1)+(−1)r(ω∧dη)(X1, X2, . . . , Xr+s+1), co que queda probado (1). Agora, como consecuencia da proposición 4.2, d2=d◦dé unha derivación de grao 2, e polo tanto, está determinada pola súa actuación sobre as funcións diferenciables e sobre as súas diferenciais. Abonda probar que d2(f) = 0 para cada f∈ F(M), porque como df=df, entón tamén será d2(df) = d(d2f)=0. E, en efecto, para cada X∈X(M), pola fórmula de Cartan, ιX(d2f) = ιXd(df) = LX(df)−dιX(df)=LX(df)−d(Xf)=0, por (3) do teorema 4.13. Por tanto (d2f)(X, Y )=0para cada X, Y ∈X(M), é dicir d2= 0, o que proba (3). Observación 4.26.Pola proposición 4.6, a antiderivación d:E∗(M)→ E∗(M)de grao +1 define, para cada aberto Uen M, unha única antiderivación dU:E∗(U)→ E∗(U), do mesmo grao, tal que para cada ω∈ E∗(M)é (dω)|U=dU(ω|U). É doado ver que dUé a diferencial exterior da álxebra exterior das formas diferenciais sobre U. Para isto, polo teorema 4.25, abonda ver que para cada función f∈ F(U), tense que dU(f) = df (a diferencial ordinaria de fen U) e dU(df)=0. Sexa entón f∈ F(U)ep∈U. Polo corolario 1.11, podemos considerar unha veciñanza aberta Vde p, con V⊂U, e unha función g∈ F(M)tal que g|V=f|V. Pola forma de construír na proposición 4.6 a antiderivación inducida tense, para cada vector tanxente v∈Tp(M), (dUf)p(v)=(dg)p(v) = (dg)p(v) = v(g) = v(f) = (df)p(v), 4.4. A DIFERENCIAL EXTERIOR 73 é dicir, dU(f) = df. Por outra banda, de g|V=f|V, séguese que (dg)q= (df)qpara todo q∈V, logo (dg)|V= (df)|V, e polo tanto, tamén pola construción da antiderivación inducida, dU(dU(f))p= (dU(df))p= (d(dg))p= (d(d(g))p= 0. A anterior igualdade tamén é válida para cada punto en Ue para toda función f∈ F(U), logo d2 U= 0 e, polo teorema 4.25, dU:E∗(U)→ E∗(U)é a diferencial exterior (que habitualmente tamén denotamos simplemente d). A expresión da diferencial exterior dunha k-forma diferencial na proposición 4.24 é global, non depende do uso de coordenadas na variedade. Imos dar agora a expresión en coordenadas locais. Corolario 4.27. Sexa (U, ϕ)unha carta de M, onde ϕ= (x1, . . . , xn). Se ωé unha kforma diferencial sobre Me a expresión local de ωen (U, ϕ)é ω|U=X 1≤j1<···<jk≤n aj1···jkdxj1∧ · · · ∧ dxjk, entón (dω)|U=X j1<···<jk daj1···jk∧dxj1∧ · · · ∧ dxjk=X j1<···<jk n X i=1 ∂aj1···jn ∂xidxi∧dxj1∧ · · · ∧ dxjk. Demostración. A primeira igualdade na expresión de (dω)|Ué consecuencia inmediata de que, pola observación anterior, (dω)|U=dU(ω|U)edUé a diferencial exterior en Ue polo tanto coincide coa diferencial ordinaria sobre as funcións aj1···jk∈ F(U), anúlase sobre as diferenciais das funcións coordenadas dxji∈ F(U)e é unha antiderivación (e da observación 4.5). A segunda igualdade séguese da expresión local da diferencial dunha función (ver 3.18). Proposición 4.28. A diferencial exterior conmuta coa derivada de Lie, LX◦d=d◦ LX, X ∈X(M). Demostración. Por (b) da proposición 4.2, ao ser LXunha derivación de grao 0edunha antiderivación de grao +1, tense que [LX,d] = LX◦d−d◦ LXé unha antiderivación (de grao +1). Abondará logo probar que [LX,d]se anula sobre as funcións diferenciables e as súas diferenciais. Sexan f∈ F(M)eX∈X(M). Por (2) e (3) do teorema 4.13, [LX,d](f) = LX(df)−d(LXf) = LX(df)−d(LXf) = d(Xf)−d(Xf) = 0, e usando outra vez que LX(df) = d(LXf), [LX,d](f) = LXd(df)−dLX(df)= 0 −dLX(df)=−dd(LXf)= 0. 74 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓNS E ANTIDERIVACIÓNS Unha propiedade importante da diferencial exterior é que conmuta co homomorfismo inducido entre álxebras graduadas de formas diferenciais (3.25) por unha aplicación diferenciable entre as variedades. Proposición 4.29 (A naturalidade da diferencial exterior).Se f:M→Né unha aplicación diferenciable entre variedades diferenciables e f∗:E∗(N)→ E∗(M)é o homomorfismo de álxebras inducido entón d◦f∗=f∗◦d. Demostración. Debemos ver que, para cada k≥0, o seguinte diagrama é conmutativo: Ek(M)Ek+1(M) Ek(N)Ek+1(N) d f∗f∗ d En primeiro lugar, se k= 0, dada h∈ E0(N) = F(N), temos f∗(dh) = d(f∗h), por (3) en 3.25. Supoñamos agora que ω∈ Ek(N),k≥1, e imos demostrar que as (k+ 1)-formas diferenciais d(f∗ω)ef∗(dω)sobre Mcoinciden. Para isto, sexan p∈Me(V, ψ)unha carta de Ntal que f(p)∈V,ψ= (y1, . . . , yn), e consideramos a veciñanza aberta U=f−1(V) de p. Supoñemos que a expresión local de ωen (V, ψ)é ω|V=X 1≤j1<···<jk≤n bj1···jkdyj1∧ · · · ∧ dyjk, e polo corolario 4.27, dω|V=X 1≤j1<···<jk≤n dbj1···jk∧dyj1∧ · · · ∧ dyjk. Por outra banda (véxase (4) en 3.25), (f∗ω)|U=X 1≤j1<···<jk≤n (bj1···jk◦f)d(yj1◦f)∧ · · · ∧ d(yjk◦f), de onde, pola observación 4.26 e por ser dunha antiderivación, d(f∗ω)|U=X 1≤j1<···<jk≤n d(bj1···jk◦f)∧d(yj1◦f)∧ · · · ∧ d(yjk◦f). 4.5. FORMAS PECHADAS E EXACTAS. LEMA DE POINCARÉ 75 Por tanto, outra vez por 3.25, d(f∗ω)p=X 1≤j1<···<jk≤nd(bj1···jk◦f)p∧d(yj1◦f)∧ · · · ∧ d(yjk◦f)p =X 1≤j1<···<jk≤n f∗ p(dbj1···jk)f(p)∧f∗ p(dyj1)f(p)∧ · · · ∧ f∗ p(dyjk)f(p) =X 1≤j1<···<jk≤n f∗ pd(bj1···jk∧dyj1∧ · · · ∧ dyjk)f(p) =f∗ p(dω)f(p)=f∗(dω)p, o que proba que d(f∗ω)p=f∗(dω)ppara cada punto p∈M. 4.5. Formas pechadas e exactas. Lema de Poincaré Definición 4.30. Dise que unha forma diferencial ω∈ Ek(M)épechada se dω= 0, e que éexacta se existe unha forma diferencial η∈ Ek−1(M)tal que ω=dη. Observación 4.31.Toda forma exacta é pechada, xa que d◦d= 0, pero non toda forma pechada é exacta, como se pode ver co seguinte exemplo clásico. Se M=R2\{(0,0)}eidM= (x, y)é o sistema de coordenadas identidade de M, entón ω=1 x2+y2(−y dx +x dy) é unha forma diferencial pechada de grao 1sobre M, dω=d−y x2+y2∧dx +dx x2+y2∧dy =y2−x2 (x2+y2)2dy ∧dx +y2−x2 (x2+y2)2dx ∧dy = 0. Agora ben, ωnon é exacta, xa que se ηé unha forma tal que dη=ωdaquela ηdebe ser unha función diferenciable f:M→Rtal que (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy =ω, é dicir, ∂f ∂x =−y x2+y2,∂f ∂y =x x2+y2, polo que, agás unha constante aditiva, ten que ser f(x, y) = arc tan(y/x) para cada (x, y)∈M. Pero unha función ftal non está definida en todo M, así é que a1-forma ωnon é exacta na subvariedade aberta Mde R2. Observamos que a 1-forma ωsería exacta se o seu dominio fose, por exemplo, o semiplano superior aberto de R2. A terminoloxía “pechada” baséase na analoxía coas cadeas na homoloxía singular que son 82 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓNS E ANTIDERIVACIÓNS β:t∈[0,1] →β(t) = tkα(t)∈U), (dhk−1ω+hkdω)x=X 1≤j1<···<jk≤n nkZ1 0 tk−1α(t)dt+Z1 0 tkα0(t)dtodxj1∧. . .∧dxjkx =X 1≤j1<···<jk≤n nZ1 0 β0(t)dtodxj1∧ · · · ∧ dxjkx =X 1≤j1<···<jk≤n β(1) −β(0)dxj1∧ · · · ∧ dxjkx =X 1≤j1<···<jk≤n aj1...jk(x)dxj1∧ · · · ∧ dxjkx =ωx. Polo lema 4.36 conclúese que Hk(U)=0. Como consecuencia, dado que todo punto de calquera variedade diferenciable ten unha veciñanza aberta difeomorfa a unha bóla aberta euclidiana e pola naturalidade da diferencial exterior (proposición 4.29), toda forma diferencial pechada é localmente exacta: Corolario 4.38. Se Mé unha variedade diferenciable de dimensión neω∈ Ek(M), k≥1, é unha forma pechada, entón para cada p∈Mexiste unha veciñanza aberta Ude p e unha forma diferencial η∈ Ek−1(U)tal que (dη)|U=ω|U. Observación 4.39.A diferencial exterior dten un papel significativo na teoría de integración en variedades. A súa importancia radica no feito de que é un operador linear que está definido exclusivamente pola estrutura diferenciable da variedade e é invariante por aplicacións diferenciables, como xa vimos na proposición 4.29. En vista desta propiedade, e como xa vimos en 4.32, calquera aplicación diferenciable entre variedades diferenciables f:M→Ninduce un homomorfismo entre os correspondentes grupos de cohomoloxía de De Rham, que é un isomorfismo se fé un difeomorfismo. Tamén é importante observar que, aínda que a definición dos grupos de cohomoloxía de De Rham dunha variedade diferenciable está ligada á súa estrutura diferenciable, en realidade só dependen da súa topoloxía (é dicir, son invariantes topolóxicos, e ademais invariantes de homotopía). En efecto, se f:M→Né un homeomorfismo, e incluso se é unha equivalencia de homotopía, fpódese aproximar por unha aplicación diferenciable ˜ f:M→Nque induce un isomorfismo entre os correspondentes grupos de cohomoloxía de De Rham ˜ f∗:Hk(N)→Hk(M)(Lee [9, pp. 445-446]). En particular, para unha variedade diferenciable contráctil M,Hk(M)=0para cada k≥1, o que xeneraliza o lema de Poincaré de abertos estrelados en Rna variedades contráctiles. 4.5. FORMAS PECHADAS E EXACTAS. LEMA DE POINCARÉ 83 Por outra banda, a diferencial exterior é unha extensión abstracta do gradiente, o rotacional e a diverxencia do cálculo vectorial, e moitas das ecuacións da física, a análise e a xeometría teñen unha forma simple ao expresarse en termos de d. Exemplo 4.40. Consideremos un subconxunto aberto Ude R3, co sistema de coordenadas identidade idU= (x, y, z). Sexan f∈ F(U),X=λ ∂x+µ ∂y+ν ∂z∈X(U), onde λ, µ, ν ∈ F(U). O gradiente de f, o rotacional de X, e a diverxencia de Xdefínense por: grad f=∂f ∂x ∂x+∂f ∂y ∂y+∂f ∂z ∂z∈X(U), rot X=∂ν ∂y −∂µ ∂z ∂x+∂λ ∂z −∂ν ∂x∂y+∂µ ∂x −∂λ ∂y ∂z∈X(U), div X=∂λ ∂x +∂µ ∂y +∂ν ∂z ∈ F(U). Consideramos as aplicacións α,βe?dadas por: E1(U)α ←− X(U)β −→ E2(U), αX←−7 X7−→ βX F(U) = E0(U)? −→ E3(U) f7−→ f dx ∧dy ∧dz , onde αeβfan corresponder ao campo de vectores diferenciable X=λ ∂x+µ ∂y+ν ∂z sobre Uas formas diferenciais αX=λ dx +µ dy +ν dz ∈ E1(U), βX=λ dy ∧dz −µ dx ∧dz +ν dx ∧dy ∈ E2(U). O seguinte diagrama conmutativo resume as relacións entre os operadores gradiente, rotacional, diverxencia e diferencial exterior no aberto U: F(U)grad −−−−→ X(U)rot −−−−→ X(U)div −−−−→ F(U)   yα  yβ  y? E0(U)d −−−−→ E1(U)d −−−−→ E2(U)d −−−−→ E3(U) É dicir, se f∈ F(U)eX∈X(U), entón (i)df=αgrad f,dαX=βrot X,dβX= (div X)dx ∧dy ∧dz . (ii)rot grad f= 0,div rot X= 0 . En termos da cohomoloxía de De Rham podemos poñer H0(U) = Ker(grad), H1(U) = Ker(rot)/Im(grad), H2(U) = Ker(div)/Im(rot). Pola proposición 4.33, tense que Ué conexo se, e só se, Ker(grad) = R, e polo lema de Poincaré (teorema 4.37 e observación 4.39), se Ué contráctil entón Hk(U) = 0 para k≥1, logo para un aberto Ucontráctil tense 84 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓNS E ANTIDERIVACIÓNS (iii) se rot X= 0, existe unha función f∈ F(U)tal que X=grad f; se div X= 0, existe un campo de vectores Y∈X(U)tal que X=rot Y. Observación 4.41.As formas diferenciais non só poden ser diferenciadas, tamén poden ser integradas. De feito, ás veces introdúcense as formas diferenciais como os integrandos axeitados na teoría das variedades diferenciables. As súas propiedades alxébricas especiais e as boas propiedades de invariancia fan que as formas, en contraposición coas funcións reais, sexan os obxectos apropiados para a integración en variedades. Cando se expresa na linguaxe das formas diferenciais, un resultado clásico como o teorema de Stokes convértese nun teorema xeral simple e elegante: Nunha variedade diferenciable n-dimensional segundo numerable e orientada, dada unha forma diferencial ωde grao n−1con soporte compacto verifícase ZD dω=Z∂D ω. Este teorema tamén é unha xeneralización do teorema fundamental do cálculo, e dos teoremas clásicos de integración de Green, Gauss e Stokes. Por outra banda, cabe sinalar que amosa unha relación significativa entre os operadores deRao operar sobre formas diferenciais e a operación ∂que ou ben aos dominios regulares (equivalentemente, ás variedades con bordo) ou ben ás cadeas singulares lles fai corresponder o seu bordo. Bibliografía [1] Aubin, Thierry, A Course in Differential Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 27, The American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2001. [2] Bott, R., Milnor, J., On the parallelizability of the spheres, Bull. Amer. Math. Soc. 64 (1958) 87–89. [3] Burke, William L., Aplied Differential Geometry, Cambridge University Press, Cambridge, 1985. [4] Frankel, Theodore, The Geometry of Physics. An Introduction, 3rd ed., Cambridge University Press, Cambridge, 2012. [5] Göckeler M., Schücker T., Differential Geometry, Gauge Theories, and Gravity, Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge University Press, Cambridge, 1987. [6] Godbillon, Claude, Géometétrie diférentielle et mécanique analytique, Collection Méthodes, Hermann, Paris, 1969. [7] Greub, W., Halperin, S., Vanstone, R., Connections, Curvature, and Cohomology, Volume I, Pure and Applied Mathematics. A Series of Monographs and Textbooks, 47, Academic Press, New York, 1972. [8] Kobayashi, S., Nomizu, K., Foundations of Differential Geometry, Volume I, Intersience Publishers, New York, 1963. [9] Lee, John M., Introduction to Smooth Manifolds, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics, 218, Springer, New York, 2013. [10] Matsushima, Yozo, Differentiable Manifolds, M. Dekker, New York, 1972. [11] Morita, Shigeyuki, Geometry of Differential Forms, Translations of Mathematical Monographs, 201, The American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2001. 85 86 BIBLIOGRAFÍA [12] Pham Mau Quan, Introduction à la géométrie des variétés différentiables, Duned, Paris, 1969. [13] Rudolph, G., Schmidt, M., Differential Geometry and Mathematical Physics. Part I. Manifolds, Lie Groups and Hamiltonian Systems., Theoretical and Mathematical Physics, Springer, Dordrecht, 2013. [14] Rudolph, G., Schmidt, M., Differential Geometry and Mathematical Physics. Part II. Fibre Bundles, Topology and Gauge Fields., Theoretical and Mathematical Physics, Springer, Dordrecht, 2017. [15] Tu, Loring W., An Introduction to Manifolds, 2nd ed., Springer, New York, 2011. [16] Warner, Frank W., Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Graduate Texts in Mathematics, 94, Springer-Verlag, New York, 1983