O conceito de média aritmética: Interpretação do professor e análise de livros didáticos

TESE DE DOUTORAMENTO O CONCEITO DE MÉDIA ARITMÉTICA: INTERPRETAÇÃO DO PROFESSOR E ANÁLISE DE LIVROS DIDÁTICOS Marcos Antonio Santos de Pinho ESCOLA DE DOUTORAMENTO INTERNACIONAL PROGRAMA DE DOUTORAMENTO EN EDUCACIÓN SANTIAGO DE COMPOSTELA 2019 DECLARACIÓN DO AUTOR DA TESE O conceito de média aritmética: interpretação do professor e análise de livros didáticos D. Marcos Antonio Santos de Pinho Presento a miña tese, seguindo o procedemento axeitadoao Regulamento, e declaro que: 1) A tese abarcaos resultados da elaboración do meu traballo. 2) De selo caso, na tesefaisereferencia ás colaboracións que tivo este traballo. 3) A teseéa versión definitiva presentada para a súa defensa e coincide coa versión enviada en formato electrónico. 4) Confirmo quea tese nonincorre enningún tipo de plaxio doutros autores nin de traballos presentados por min para a obtención doutros títulos. En Santiago de Compostela, 28 de octubre de 2019. Asdo: Marcos Antonio Santos de Pinho AUTORIZACIÓN DO DIRECTOR DA TESE O conceito de média aritmética: interpretação do professor e análise de livros didáticos Dna María Teresa Fernández Blanco INFORMA: Que a presente tese, correspóndese co traballo realizado por D. Marcos Antonio Santos de Pinho, baixo a miña dirección, e a utorizo a súa presentación,considerando que reúne os r equisitos esixidos no R egulamento de Estudos de Doutoramento da USC, e que como directora desta non incorre nas causas de abstención establecidas na Lei 40/2015. En Santiago de Compostela, 28 de octubre de 2019. Asdo: María Teresa Fernández Blanco AUTORIZACIÓN DO DIRECTOR DA TESE O conceito de média aritmética: interpretação do professor e análise de livros didáticos Dna: Tânia Cristina Rocha Silva Gusmão INFORMA: Que a presente tese, correspóndese co traballo realizado por D. Marcos Antonio Santos de Pinho, baixo a miña dirección,e a utorizo a súa presentación, considerando que reúne os r equisitos esixidos no R egulamento de Estudos de Doutoramento da USC, e que como directora desta non incorre nas causas de abstención establecidas na Lei 40/2015. En Santiago de Compostela, 28 de octubre de 2019. . Asdo: Tânia Cristina Rocha Silva Gusmão AGRADECIMENTOS À minha mãe e irmãos, por não fazerem objeção aos nossos projetos de vida. Aos amigos Francisco Reis, Eduardo Reis, Reuvan Sodré, Cesar Leiro e aos ocultos, pela força que me deram de forma espiritual e material na conclusão desta tese. Expresso meus agradecimentos sinceros ao meu primeiro tutor, prof. Jose AntonioCajaraville, a minha atual orientadora, por ter me aceito já na fase final desta investigação, à prof.ªTeresa Fernández Blanco,a minha coorientadora, Tânia Gusmão, por sua estimada contribuição na realização nas fasesinicial e final da pesquisa, e à querida professora Carmen Batanero, por quem tenho muita estima e admiração,que confiou que eu pudessedesenvolver este estudo. Aos professores Pedro Antonio Labraña, Leovigildo Alonso Tarrío e Maria Jesús Salinas Portugal, por suas valiosas motivações nas oportunidades de dividir os vossos conhecimentos. À prof.ªIsabel Rodeijo, por quem tenho grande estima e respeito, e ao amigo e prof. Jorge Marin. Aos funcionários da Faculdade de Ciências da Educação, em particular aos da biblioteca, pelo apoiodado nas ocasiõesem que precisei. A todos os colegas com os quais convivi alguns momentos de descontração e carinho durante nossas atividades de aula na universidade. Um agradecimento merecedor à Valquíria Borba, Juvenal Farias, Mamed Fatal, Patrícia Carvalho e Eni Bastos que contribuíram na fasefinal com paciêncianas, definições importantes do estudo, pois foi nesses momentos que trateidas conclusões e análises da pesquisa. respecto á media aritmética e o seu papel na estatística, momento en que se iniciaron as análises epistemolóxicas de seu significado a partir de teorías do ensino e da aprendizaxe que veñen desenvolvéndose ao longo dos últimos 20 anos. Desta forma, é posible entender que para facer xuízos sobre investigación en educación estatística, é preciso que se teña unha teoría que poida axudar a entender os conceptos dos contidos da estatística. Foi parte deste capítulo a presentación dos puntos que contribuíron á orientación das cuestións de investigación, seus obxectivos e presupostos. É importante considerar e destacar os elementos relacionados coa educación que poden influenciar na comprensión sobre media aritmética e os efectos deses contidos para o ensino e aprendizaxe da estatística na educación secundária. Apúntase, tamén, o que foi realizado efectivamente e as consultas iniciais da investigación sobre a temática do estudo, en que se busca relatar o papel da presenza da estatística no cotián e de súas aplicacións nos diversos contextos sociais. Nos outros puntos foron tratadas as discusións respecto aos aspectos institucionais que retratan a importancia do libro didáctico e o currículo e seus efectos no coñecemento do profesor e do estudante. Neste contexto, foi posiblelistar as abordaxes respecto ao papel da estatística, a visión sobre o libro didáctico e o entendemento sobre o currículo. Tais elementos permitiron construír sínteses analíticas que demostraron como a explotación deses obxectos poden repercutir sobre o coñecemento da estatística. Por tanto, foron estes puntos os que contribuíron coa orientación das cuestións de investigación, seus obxectivos e presupostos. Así, considerouse a importancia dos contidos de estatística e súa esixencia como relevantes nas distintas materias do 3º ano de educación secundária. Todo este panorama despertou a decisión de explorar, con mais particularidades, os seguintes problemas traducidos en preguntas de investigación: Pregunta de investigación 1 (P1): Cal é a comprensión do profesor sobre a estatística e o concepto de media aritmética? Pregunta de investigación 2 (P2): Cal é o significado das leccións do libro didáctico no ensino e na aprendizaxe de estatística e, en particular, no concepto de media aritmética? Pregunta de investigación 3 (P3): Cal é a importancia do EOS como teoría didáctica na construción dunha interpretación sobre o ensino e a aprendizaxe da media aritmética, considerando a interpretación do profesor e as leccións do libro didáctico? No capítulo 2 abórdanse as dificultades de aprendizaxe de conceptos sobre media aritmética e medidas de tendencia central. No caso da media, por exemplo, súa comprensión esixe que se saiba a “definición mental” dunha persoa sobre esta medida. Medidas son entidades culturais moi complexas que non inclúen só súas puras definicións. Por tanto, buscouse organizar a idea sobre media dunha maneira simple, coa finalidade de posibilitar as análises realizadas. Estabelecido o entendemento teórico, o capítulo dedicouse aos debates, momento en que se fixeron as primeiras inmersións sobre varios aspectos da comprensión non só do concepto de media como tamén do seu significado, considerando os traballos desenvolvidos neste campo por autores que discuten a temática. Neste sentido, foi posible identificar as citacións de estudos que se destacan pola importancia das reflexións teóricas que se aproximan dunha teoría de ensino e aprendizaxe das matemáticas. Tamén se considerou a existencia doutros estudos desenvolvidos por diversos autores sobre as medidas de tendencia central e, en particular, a media aritmética, que demostran o importante que é a estatística na educación básica. Por outro lado, o estudo esixiu unha dedicación e atención especial nas análises dos diversos elementos que son considerados fundamentais na investigación como, por exemplo, a visión do concepto de media e o papel do libro didáctico, que se completa abordando a temática da formación de profesores. No capítulo 3 tratouse o marco teórico, que tivo como base a análise dos diversos estudos realizados mediante o Enfoque Ontosemiótico da Cognição e Instrución Matemática – (EOS) (Font e Contreras 2008; Godino, Batanero e Font 2007; D’ Amore, Font e Godino 2007; Godino 2002). Considérase a teoría do EOS, ben como seus aspectos que se refiren á instrución, e o papel do obxecto institucional e persoal, como requisitos para desenvolver as análises na dimensión dos elementos da configuración didáctica, ou sexa, permitiron as condicións necesarias para poder facer unha apreciación teórica no campo da didáctica do ensino e da aprendizaxe. É importante retratar que o marco teórico posibilitou os requisitos para asegurar o éxito desta investigación. Nel se desenvolve a visión do que representan os moitos estudos que se presentan na literatura contemporánea en torno ao Enfoque Ontosemiótico da Cognição e Instrución Matemática (EOS) e dos traballos de Godino e colaboradores. Por último, presentamos as discusións sobre os sistemas de prácticas e a visión particular da actividade de ensino e aprendizaxe, establecendo a análise dos elementos da configuración didáctica e seus conflitos semióticos que se observa a partir do obxecto institucional e persoal. Esta parte do estudo complétase coa discusión sobre noción de idoneidade didáctica, focalizando o proceso de instrución e a visión sobre como estes fundamentos poden contribuír e reflectir na formación do profesor. No capítulo 4 presentouse a metodoloxía de investigación que se desenvolveu por medio das análises cualitativas e cuantitativas. Considérase que se trata dunha investigación cualitativa, do tipo descritivo, que ten como principio o deber de informar de tódolos datos que compoñen a realidade que se presenta na pescuda (Bogdan e Biklen, 1994). Nese contexto, foi importante na pescuda estudar non só o problema determinado, senón tamén como se manifestou en seus aspectos teóricos. Por tanto, esixiuse que se desenvolvesen outras análises sobre os procedementos observados nas interpretacións da investigación, discutidas mais especificamente no capítulo 5. Destacouse a preocupación coa utilización das informacións obtidas no proceso de construción da investigación, que serviron para medir os aspectos cuantitativos e, así, comprende o que representa o contido do estudo nas análises propostas. Deste xeito, iniciouse coa análise dos instrumentos de obtención de datos, compostos por cuestionarios respondidos por 12 profesores do 3° ano de educación sencundária de distintas áreas do coñecemento. A análise desenvolveuse tendo en conta as particularidades dalgúns dos ítems, que foron considerados importantes nos seus aspectos de representatividade en fundamentar o obxectivo do estudo. Por tanto, na medida do posible, foron desenvolvidos procedementos que deron as condicións para facer a análise descritiva, o uso de proba non paramétrica e de proba de fiabilidade do instrumento, alén de estudos de inferencias simples. Estas ferramentas foron consideradas como recursos da estatística para formalizar as análises da investigación. Noutra fase do estudo foi desenvolvida unha apreciación particular, en que foron explotados aspectos do ensino e da aprendizaxe, considerando o papel dos libros didácticos seleccionados e as leccións sobre media. Observouse, tecnicamente, como se presentaron estes contidos nos documentos pedagóxicos. Asemade, recoñécese que o estudo é cualitativo en razón dafundamentación observada e as características que apuntaron a liña quepretendía: explotar, describir e xerar visións comúns, que, cando combinadas cos datos obtidos nas análises cuantitativas permitiron unha interpretación dos varios documentos da pescuda. "Os estudos exploratorios realízanse, xeralmente, cando o obxectivo é examinar un tema ou problema de pescuda raramente estudado ou que non fora abordado antes" (Hernández, Fernández e Baptista, 2006, p. 57). A metodoloxía, ben como as técnicas e os criterios estatísticos propiamente ditos para desenvolver as análises, xustificáronse na medida en que se avanzou. Na construción do estudo tívose a preocupación coa literatura que foi referencia e tratou os problemas subxacentes ao ensino e á aprendizaxe da estatística, unha vez que foi esencial para responder aos obxectivos e ás cuestións da pescuda. Parte deste capítulo foi dedicado adiscutir a caracterización dos métodos de estatística e súas ferramentas, co obxectivo de mostrar en que condicións deberían ocorrer os estudos e as análises das informacións cuantitativas xeradas a partir dos datos dos cuestionarios. Por outro lado, non poderiamos esquecer a importancia de comprender e observar o papel do emprego da análise do libro didáctico, considerado como poderoso instrumento de transferencia de saber, importante aliado do profesor e do estudante. Distinto do cuestionario, as análises do libro didáctico tiveron como obxectivo medir os aspectos teóricos focalizando a visión do ensino e da aprendizaxe de estatística, ou sexa, a identificación do coñecemento por parte do profesor dos contidos que son definidos no currículo do 3° ano de educación secundária. O capítulo 5 destinouse as discusións da información obtida nas fases desta investigación, cando o estudo dos aspectos relevantes sobre as conceptualizacións da media presentada polo profesor e os libros de texto. Despois das análises, un aspecto que chama a atención e que foi considerado no estudo foi a análise particular do ítem 1 do cuestionario, que versa, exclusivamente, sobre o concepto de media aritmética e a opinión específica do profesor. Nesta análise identificouse, por exemplo, a ocorrencia de disparidade de ideas sobre o concepto de medidas de tendencia central e, en particular, da media aritmética, a partir da visión teórica da EOS, ou sexa, do punto de vista institucional e persoal. Na análise cumpriuse unha das etapas do estudo, no momento en que foron discutidas as informacións da pescuda identificadas, tendo o coidado de observar as visións e os enfoques defendidos na metodoloxía (capítulo 4). Na parte dedicada ao cuestionario buscouse aproveitar, inicialmente, os aspectos que tratan da abordaxe descritiva utilizados polo profesor. Realizouse, entón, unha análise sobre os temas das leccións neses libros didácticos, a partir da visión teórica do EOS, á vista do que se podería esperar como pretensión dun tratamento cualitativo dos datos. Inicialmente, foron observadas as leccións seleccionadas para compoñer esta parte do estudo. As análises se complementan na perspectiva da visión de idoneidade didáctica e súas dimensións, cando observadas as particularidades de cada medida que se presenta na lección analizada. O capítulo 6 dedicouse ás indagacións e ás respostas da investigación, momento en que foi posible chegar a conclusións e comentar as dificultades do estudo, alén de facer un resumo das principais contribucións obtidas coas consultas aos profesores, ao libro didáctico e ás referencias bibliográficas. Desas contribucións emerxeron importantes informacións que incluíron aspectos sobre a teoría do ensino e da aprendizaxe da estatística, a partir da comprensión do EOS. Desta forma, buscouse promover condicións de establecemento de relacións con futuras investigacións na área da didáctica do ensino e da aprendizaxe da matemáticas e estatística, en particular sobre a media aritmética, na medida en que as discusións sobre a estatística pasan a ocupar o seu espazo nos escenarios da escola e dos currículos escolares, entre os profesores, os estudantes e no libro didáctico. Estas consideracións son importantes, en varios aspectos, para a educación, pois demostran que existe a intención clara de poder contribuír co ensino da estatística e, por outro lado, acaba implicando a investigadores de varios países. Esta percepción é observada pola presenza de profesores consagrados, como Batanero (2000), que resaltan que nos últimos anos ten habido un compromiso maior da comunidade científica no sentido de incentivar o desenvolvemento de estudos e investigacións na área da didáctica da estatística. Considerando que a pescuda tivo como cuestión principal investigar o concepto de media aritmética abordado no 3° ano de educación sencundária, o papel do profesor e do libro didáctico como instrumentos do ensino e da aprendizaxe, tamén buscouse comprender a importancia da estatística no cotián da sociedade e nos diversos campos, recoñecendo as medidas de tendencia central e, en particular, comprendendo o concepto de media como unha medida estatística capaz de colaborar coa toma de decisións. Así, foi posible obter como respostas ás preguntas de investigación as seguintes visións: P1Os resultados do estudo demostran que hai unha dificultade por parte do profesor de comprensión e coñecemento das medidas estatísticas e, en particular, do concepto de media aritmética, ou sexa, unha dificultade na utilidade da práctica de ensino e da aprendizaxe da estatística. Así, identificamos a necesidade de ampliar o desenvolvemento da formación do profesor a fin de que poida enriquecer o entendemento sobre a importancia dos contidos de estatística. Por tanto, preparar o profesor e o estudante cognitivamente para usar esa medida estatística no cotián. P2A investigación indica o papel esclarecedor do libro didáctico, que considera as iniciativas recentes da ampliación e inserción dos contidos de estatística no currículo da educación básica. Por outro lado, obsérvase que gradualmente o libro está pasado por mudanzas e adecuacións que favorecen a obtención de coñecementos e auxilia o profesor e o estudante na aprendizaxe significativa da lección sobre os contidos de estatística e o concepto de media aritmética, no transcurso das alteracións do Currículo da Educación Básica. No entanto, identifícanse, nas análises sobre o concepto de media aritmética, conflitos semióticos, que presentamos a continuación en exemplos identificados en leccións dos libros texto: (1) Na lección non se nota unha construción sobre o papel da media. Non hai unha preocupación sobre o significado de referencia dunha idea que indique a relación existente entre o que representan os datos e a variable, como retratan Godino, Font e Wilhelmi (2006). (2) Na lección obsérvase a énfase no uso dos símbolos e anotacións que se complementan co gráfico, os chamados conceptos previos e emerxentes citados por Godino, Font e Wilhelmi (2008). Con todo, hai que imaxinar que é necesario ter o coñecemento da composición literal sobre a media aritmética, unha esixencia para que o estudante poida construír o concepto dese contido, o que non é presentado na lección. (3) Na lección non aparece explicitamente se no cálculo da media aritmética dében seconsiderar as características das informacións que envolven o problema ou se a operación matemática precisa ter, de feito, unha solución por medio dunha medida estatística. (4) Na lección os autores introducen o concepto de media aritmética de forma xeral, conducindo á solución do problema para un simple cálculo numérico matemático, utilizando o procedemento que require coñecementos previos, que, moitas veces, non forma parte do coñecemento do estudante. Por tanto, conclúese que estes conflitos poden afectar o entendemento sobre os contidos de estatística e, particularmente, o concepto de media aritmética. P3O estudo demostra a importancia do papel da teoría do EOS, pois contribúe co desenvolvemento das análises nas dimensións epistemolóxicas, cognitivas e institucionais dos aspectos sobre o ensino e a aprendizaxe de contidos de estatística. Neste contexto observouse a interpretación do concepto de media aritmética polo profesor cando fixo uso dos recursos do ensino e da aprendizaxe no ambiente pedagóxico e nas presentacións destacadas da análise das leccións do libro didáctico do 3° ano de educación sencundária. En suma, recoñecemos que a teoría do EOS bríndanos elementos analíticos de suma importancia que permitiron recoñecer as dificultades da percepción do concepto de media aritmética presentado na evolución do currículo de estatística da Educación Básica. Neste contexto, recoñecemos que o estudo tivo a importancia de observar a presenza de discusións e avances considerados importantes cando falamos respecto ao ensino e à didáctica da estatística. Porén, este escenario non é un dos mellores, pois demostra a necesidade de políticas públicas que traten con mais efectividade os aspectos do ensino e da aprendizaxe da estatística, como materia propia, ou como contidos doutras disciplinas da educación básica, desde as series inicias até os niveis finais. En suma, este estudo presenta discusións obxectivas e teóricas dos contextos relacionados co ensino da estatística, que nos deixan ante unha situación contemporánea, que soamente por medio do desenvolvemento de investigacións dirixidas á temática da didáctica do ensino poden considerar e recomendar mellores camiños para propiciar o desenvolvemento de teorías de ensino e aprendizaxe. Por tanto, é saudable a intención de organizar as etapas curriculares, facendo que sexan superadas as dificultades do ensino na educación secundária brasileira, en particular o de estatística. RESUMEN El objetivo de esta investigación es analizar el concepto de media aritmética a la luz de lavisión del profesor de matemáticas y de otras disciplinas así como la forma de proposición de este contenido em las lecciones de libros didácticos de matemáticas del 3º año de la enseñanza secundária. Respalda esta investigación la actual política pública educativa, que se preocupa en promover avances en el currículo y en la didáctica de la enseñanza y aprendizaje de la estadística em la educación secundária brasileña. El estudio se basa em investigaciones anteriores sobre estadística y matemática y tiene como referencias investigaciones que abordan el marco teórico del enfoque ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática (EOS). Em el contexto y visión del marco teórico del EOS, corroboran estas interpretaciones lãs respuestas descriptivas y el entendimiento del contenido de estadística, el nivel de conocimiento del profesor y el papel del libro didáctico. En este sentido, se definió la metodología, en la que se verifico la visión del concepto de media por el profesor y en el libro texto, a partir de la realización de la investigación, desarrollada en dos etapas. En la primera etapa de la investigación se analizaron cuestionarios aplicados con 12 profesores de la educación secundária del 3º año de la enseñanza secundária, y se observo el conocimiento sobre las medidas de tendencia central. En un segundo paso de la investigación se desarrolló el análisis de las lecciones sobre el concepto de media aritmética y el papel de las medidas de tendencia central presentadas en seis libros textos de la educación secundária. Al final, los resultados muestran que el profesor y el libro texto son esenciales en esta etapa educativa, a pesar de la importancia de la práctica de la enseñanza y del aprendizaje de estos contenidos y del empleo del concepto de las medidas en las lecciones y tareas educativas en las diferentes disciplinas de la educación secundária. Em los resultados, se percibe el valor del profesor y del libro texto como significativos para la enseñanza de estos contenidos. Sin embargo, es posible observar que hay alguna dificultad em el conocimiento y entendimiento sobre estadística por los profesores y, en particular, del concepto de media aritmética, en alguna medida también en las lecciones de los libros textos, ya que este contenido se presenta en las disciplinas de la educación secundária. Enfin, recorridos estos caminos podemos concluir que los análisis teóricos indican la necesidad de construir una formación más expresiva para el profesor, que colabore com la concepción de la didáctica de la enseñanza y del aprendizaje de estadística. Por otro lado, es importante que los libros textos de matemática y de otras disciplinas se apropien de los contenidos de estadística y del concepto de media aritmética como forma de promover mejor percepción en las lecciones de las disciplinas del 3º año de la enseñanza secundária. Sumário Geral Introdução Geral ................................................................................................... 1 Capítulo 1 1. Antecedentes da Pesquisa e Questão de Investigação ....................................10 1.1. Introdução ........................................................................................................10 1.2. As Questões de Investigação ...........................................................................11 1.3. Objetivos e Pressupostos da Pesquisa..............................................................14 1.4. Visão Geral da Investigação e Procedimentos Metodológicos .......................16 1.5. Antecedentes de Pesquisa ................................................................................18 1.6. Perspectiva e o Papel da Estatística na Educação ............................................23 1.7. Importância e Utilidade da Estatística .............................................................27 1.8. Investigações em Educação Estatística ............................................................31 1.8.1. Pesquisa e a Média Aritmética...................................................................38 1.9. Contexto do Ensino de Estatística - Currículo e Livro Didático .....................41 1.9.1. A Estatística, O Livro Didático e o Currículo. ...........................................46 1.9.2. A Formação do Professor de Estatística na Educação Básica ....................50 1.9.3. Perspectiva do Ensino de Estatística ..........................................................63 Capítulo 2 2. Visão Sobre o Conceito de Média Aritmética ................................................68 2.1. Introdução ........................................................................................................68 2.2. As Medidas de Tendência Central ...................................................................71 2.3. Significado do Conceito de Média Aritmética ................................................73 2.4. A Média Aritmética em Documentos Curriculares .........................................77 2.5. Aplicação da Média na Matemática e o Livro Didático ..................................83 Capítulo 3 3. Marco Teórico ...................................................................................................88 3.1. Introdução ........................................................................................................88 3.2. O Enfoque Ontosemiótico da Cognição e Instrução Matemática (EOS) .........89 3.2.1. Objeto Institucional ...................................................................................97 3.2.2. Objeto Pessoal ...........................................................................................99 3.2.3. Configurações Didáticas ..........................................................................101 3.2.4. Conflitos Semióticos ................................................................................105 3.3. Níveis de Análise do Processo de um Estudo Matemático ............................109 3.4. Ferramenta de Análise de um Texto Matemático ..........................................115 3.5. Indicadores de Idoneidade Didática...............................................................118 3.5.1. Indicadores/Descritores ...........................................................................119 Capítulo 4 4. Procedimentos Metodológicos .......................................................................123 4.1. Introdução ......................................................................................................123 4.2. Técnicas da Pesquisa .....................................................................................125 4.3. Elementos da Pesquisa: O Questionário do Professor e o Livro Didático .....129 4.4. Critérios de Análises dos Dados ....................................................................137 4.4.1. Questionários ...........................................................................................137 4.4.2. Livro Didático ..........................................................................................141 Capítulo 5 5. Análises e Discussão dos Dados .....................................................................145 5.1. Introdução ......................................................................................................145 5.2. Análises dos Itens do Questionário ...............................................................147 5.2. 1. Caracterizações do estudo para análise do questionário...........................147 5.2. 2. Caracterizações e objetivos dos itens do questionário..............................151 5.2. 3. Análise do perfil dos professores..............................................................164 5.3. Coeficiente de Fidedignidade e Análise de Consistência Interna dos Itens ...167 5.4. Análises Descritivas dos Itens do Questionário .............................................172 5.41. Conclusão da análise descritiva..................................................................189 5.5. Análise Estatística Não Paramétrica do Questionário ...................................191 5.6. Relação Entre a Tipologia das Respostas com Elementos da Configuração ...................................................................................................199 5.7. Análise do Conceito de Média, do Item 1 do Questionário na Visão doEOS ...................................................................................................214 5.8. Compreensões Sobre a Configuração Didática Epistêmica do Item 1 ...........219 5.9. Configuração Didática Epistêmica Detectada na Linguagem e Procedimentos ......................................................................................................226 5.10. Configuração Didática Epistêmica Detectada nos Conceitos e Propriedades ...................................................................................................226 5.11. Configuração Didática Epistêmica Detectada nas Proposições e Argumentos .....................................................................................................228 5.12. Considerações Sobre a Análise dos Questionários ......................................230 5.13. Análise do Conteúdo da Média nos Livros Didáticos .................................233 5.14. Componentes da Configuração Didática e Conflito Semiótico ...................237 5.15. Conclusões Sobre as Análises das Configurações dos Livros Didáticos .....292 5.16. Análise dos Indicadores de Idoneidade Didáctica dos Livros Didáticos .....298 5.17. Considerações Sobre a Análise dos Indicadores de Idoneidade Didáctica dos Livros Didáticos ....................................................................320 Capítulo 6 6. Considerações finais .......................................................................................322 6.1. Introdução ......................................................................................................322 6.2. Impressões e Conclusões a Respeito dos Objetivos do Estudo .....................324 6.3. Conclusões Sobre os Pressupostos ................................................................332 6.4. Contribuições e Limites do Estudo ................................................................339 6.5. O Futuro e a Investigação Sobre o Ensino da Estatística...............................342 7. Referências .............................................................................................. 346-379 8.Anexos ...................................................................................................... 380-440 Índice das figuras e imagens Figura 1 - Visão Geral da Pesquisa ........................................................................18 Figura 2 - Tirinha Sobre a Média ...........................................................................30 Figura 3 - Representação das Medidas ..................................................................69 Figura 4 - Exercício Sobre Medidas .......................................................................70 Figura 5 - Exercício Sobre Aplicação da Média na Geometria ..............................86 Figura 6 - Componente da Configuração Didática·................................................105 Figura 7 - Hexágono Regular da Idoneidade Didática .........................................119 Figura 8 - Coeficiênte Alfa de Cronobach ............................................................170 Imagem 1 - Resposta de um Professor não Identificado .....................................177 Imagem 2 - Resposta de um Professor não Identificado ......................................177 Imagem 3 - Resposta de um Professor não Identificado ......................................178 Imagem 4 - Resposta de um Professor não Identificado ......................................179 Imagem 5Resposta de um Professor não Identificado .......................................180 Imagem 6Resposta de um Professor não Identificado .......................................186 Imagem 7Resposta de um Professor não Identificado .......................................188 Imagem 8 - Resposta de um Professor não Identificado ......................................188 Imagem 9Resposta do Professor A ....................................................................220 Imagem 10Resposta do Professor B ...................................................................221 Imagem 11 - Resposta do Professor C ..................................................................222 Imagem 12 - Resposta do Professor D .................................................................222 Imagem 13 - Resposta do Professor E ..................................................................223 Imagem 14 - Resposta do Professor F ..................................................................225 Imagem 15 - Resposta do Professor G .................................................................225 Marcos Pinho 6 Godino, Batanero e Font, (2007), D’ Amore, Font e Godino (2007), Godino (2002) e outros. Nestes aspectos se buscou no EOS, as condições que propriciassem reconhecer o processo de instrução, e o papel do objeto institucional e pessoal, considerando a dimensão dos elementos da configuração didática, ou seja, uma teoria que se apresenta com condição inexorável e que tem se apresentado como importante ferramenta de análise no campo da didática do ensino e aprendizagem para desenvolver as análises. Finalizamos o capítulo com a discusão sobre noção de idoneidade didática, que tem no processo de instrução a visão sobre como estes fundamentos podem contribuir e refletir na formação do professor. No capítulo 4, se apresenta a metodologia e suas teorias, bem comoas técnicas e critérios estatísticos propriamente ditos para desenvolver as análises. Na construção do estudo, houve uma preocupação com a literatura que foi referência e tratou-se sobre os problemas subjacentes ao ensino e aprendizagem da estatística, uma vez que foi essencial para responder aos objetivos e questões da pesquisa. Parte desse capítulo foi dedicado para discutir a caracterização dos métodos de estatística e suas ferramentas, visando analisar em que condições deveriam ocorre os estudos e análises das informações quantitativas geradas a partir dos dados dos questionários. Outro ponto observado foi o emprego da análise do livro didático, considerado como poderoso instrumento de transferência de saber, importante aliado do Introducão Geral 7 professor e do estudante. Diferente do questionário, a análise do livro didático teve por objetivos medir os aspectos teóricos, sendo seu foco na visão da repercussão do ensino e aprendizagem da estatística, ou seja, a identificação do conhecimento pelo professor sobre os conteúdos que são definidos no currículo das disciplinas do 3° ano do ensino médio da educação básica. O Capítulo 5 foi dedicado às análises e discussões mais detalhadas sobre os aspectos qualitativo e quantitativo das informações obtidas nas fases deste estudo, elaboração das conclusões, entendimentos a respeito do estudo de maneira geral, bem como indicativos relevantes sobre as conceituações apresentadas pelo professor e os livros didáticos. Na sequência das análises, um aspecto que chama atenção, e que foi consideradoparte importante do estudo, foi a análise particular do item 1 (um) do questionário. Nesta análise foi identificada, por exemplo, a ocorrência de disparidade de ideias sobre o conceito de medidas de tendência central e em particular a média aritmética, do ponto de vista institucional e pessoal. Foi desenvolvida uma análise na qual foi apontada a preocupação com a consistência das questões do questionário aplicado junto a 12 professores e recorrida à execução de testes estatísticos como forma de validar os instrumentos de pesquisa. No Capítulo 6, foram abordadas as indagações da investigação, momento em que foi possível escrever sobre as dificuldades deste Marcos Pinho 8 estudo e fazer um resumo das principais contribuições obtidas com as consultas aos professores e aos livros didáticos e às referências, que forneceram grandiosas informações, de forma a permitir que este trabalho possa promover condições para futuras investigações e estabeleçam relações e orientações com outras pesquisas no ramo da didática do ensino e aprendizagem da matemática e estatística, em particular sobre a média aritmética, na medida em que discussões sobre a estatística passam a ocupar o seu espaço nos cenários da escola, dos currículos escolares, dos professores, dos estudantes e do livro didático. Como resultado desta investigação se encerra com a apresentação das conclusões a respeito dos estudos realizados, que envolveram aspectos importantes sobre a teoria do ensino e aprendizagem da estatística a partir da compreensão do (EOS). Seguiu-se com as análises sobre o estudo apresentado pelos livros didáticos, pelas respostas do questionário e pela visão do professorsobre os aspectos didáticos. Considerando que a pesquisa teve como questão principal investigar o conceito de média aritmética abordadono 3° ano do ensino médio da educação básica, o papel do professor e o livro didático como instrumento didático do ensino e aprendizagem, também se buscou compreender a importância da estatística no cotidiano da sociedade e nos diversos campos, reconhecendo as medidas de tendência central e, em particular, compreendendo o conceito de média como uma medida estatística capaz de colaborar com a tomada de decisão. Neste sentido, Introducão Geral 9 esta pesquisa contribui para promover maior reconhecimento sobre a estatística, eo conceito de média aritmética, tendo preocupação com a formação do professor, do estudante e como este conteúdo é apresentado no livro didático do 3° ano do ensino médio da educação básica. Marcos Pinho 10 CAPÍTULO 1 ANTECEDENTES DA PESQUISA E QUESTÕES DE INVESTIGAÇÃO 1.1. INTRODUÇÃO Neste capítulo 1, se apresenta os pontos que contribuiram com a orientação das questões de investigação, seus objetivos e pressupostos. É importante considerar e destacar oselementos educacionais que podem influenciar na compreensão sobre média aritmética, eos efeitosdestes conteúdos para no ensino e aprendizagem da estatística na educação básica. Aponta-se também oque foi realizado, com efeito, as consultas iniciais da investigação sobre a temática do estudo, em quebusca-se relatar o papel da presença da estatística no cotidiano e de suas aplicações nos diversos contextos sociais. Nos outros pontos, foram tratadas as discussões a respeito dos aspectos institucionais, que retratam a importância do livro didático e o currículo e seus efeitos no conhecimento do professor e estudante. Neste contexto, foi possível elencar as abordagens a respeito do papel da estatística, a visão sobreo livro didático, o entendimento sobre o currículo. Estes elementos permitiram construir sínteses analíticas que demonstraram como a exploração desses objetos podem repercutir sobre o conhecimento da Antecedentes da Pesquisa e Questões de Investigação 11 estatística. Portanto, estes pontos poderão contribuir com a orientação das questõesde investigação, seus objetivos e pressupostos. 1.2. AS QUESTÕES DE INVESTIGAÇÃO As questões de investigação tiveram sua definição a partir do interesse em discutir aspectos sobre o ensino e aprendizagem da Estatística. Neste sentido, se considerou a importância dos conteúdos de estatística e a exigência dessas matérias como importantes nocurrículo da educação básica. Nessa perspectiva, se observou a utilização das medidas de um modo geral, ou seja, desses conteúdos de Estatística, e, em particular, a média aritmética, tendo como preocupação o entendimento do professor e a lição do livro didático da 3ª série do ensino médio. Diante desta preocupação do estudosituação se buscou na teoria do EOS as condições para melhor compreender e analisar as questões de investigação deste estudo. A importância desta investigação é tratarsobre os aspectos do ensino e aprendizagem da Estatística. Considerando o papel e a importância dos seus conteúdospara as disciplinas no cotidiano e a sua exigência no currículo da educação básica, que nos últimos anos passam a ter maior exigência nas suas aplicações nas ações cotidianas de decisão dos indivíduos no contexto da vida. Por outro lado, o que mais se observou foia falta de conhecimento dos professores do 3° ano do ensino médio ao ministrar os conteúdos de Estatística, e sua compreensão e entendimento sobre Educação Estatística. Aliado a esta Marcos Pinho 12 situação, tem-se a preocupação com o livro didático e os recursos pedagógicos que comprometem significativamente o ensino da Estatística, ou seja, há um obstáculo no desenvolvimento do ensino e aprendizagem desses conteúdos nas diferentes disciplinas da 3ª série do ensino médio. Todavia, esta ausência de sensibilidade e amadurecimento do uso da Estatísticana educação do Brasil foi suficiente para se buscar um maior empenho na reestruturação curricular e maiores debates nos PCNs – Parâmetros Curriculares Nacionais, neste campo do ensino, o que permitiu construir um bloco de conteúdos que fizesse parte do currículo da educação básica. Neste sentido, é que chama atenção a formação do professor e o papel do livro didático que se constituem em importantes elementos para o processo de ensino-aprendizagem, pois agem como um interlocutor no diálogo entre professor e estudante, que, no caso específico do nosso estudo, é nomeadamente a utilização do conceito de média, e esta é apresentada nas disciplinas e nas liçõesdo livro didático. Diante desta oportunidade, se decidiu explorar com mais particularidades, os seguintes problemas: Pregunta de investigação1: Qual a compreensão do professor sobre estatística e o conceito de média aritmética? O que se pretende com este estudo é observar nos professores se há dificuldade no conhecimento das medidas estatísticas, e, em particular, no conceito de média aritmética, ena formaçãopara a prática de ensino e aprendizagem da Estatística. Todavia, podemos considerar os Antecedentes da Pesquisa e Questões de Investigação 13 obstáculos dos docentes no domínio desses conteúdos que, na ocasião (nos últimos anos), foi inserido nos cursos da Educação Básica. Momento que torna importante a inserção da Estatística nos currículos das disciplinas do 3° ano do ensino médio. Espera-se ao final deste estudo identificar na teoria do ensino e aprendizagem caminhos para aprimorar a prática pedagógica que sejam exitosas e melhore o entendimento sobre a importância dos conteúdos de Estatística, e, assim, preparar o professor e o estudante cognitivamente no uso dessa medida estatística no cotidiano. Pregunta de investigação 2: Qual o significado das lições do livro didático no ensino e aprendizagem de estatística, e em particular do conceito de média aritmética? É pretensão desta investigação esclarecer o papel do livro didáticopara a inserção dos conteúdos de Estatística e, em particular, o conceito de média aritmética. Gradativamente o livro vem passado por mudanças e adequações em decorrência das alterações do Currículo da Educação Básica. Dessa forma, podemos perceber as melhorias propostas nesses conteúdos de Estatística. No entanto, no caso da Estatística, é necessário uma preocupação com a ingresso desses componentes curriculares nas disciplinas da Educação Básica. Então, se espera que as lições dos livros didáticos sejam adequadas e contemplem estes conteúdos, de forma que possam favorecer a aquisição dos conhecimentos, e auxiliem o professor e o estudante. Assim, considerando a complexidade do conceito de média, Marcos Pinho 14 se pretende que haja um progresso na construção de uma didática de ensino e entendimento desse conteúdo, de forma a auxiliar o professor e o estudante na aprendizagem significativa da lição sobre conceito de média aritmética. Pregunta de investigação 3: Qual importância do EOS como teoria didática na construção de uma interpretação sobre ensino e aprendizagem de média aritmética, considerando a interpretação do professor e as lições do livro didático? O que se pretende é reconhecer a teoria do EOS como interessante para desenvolver as análises nas dimensões epistemológicas, cognitivas e institucionaissobre o ensino e aprendizagem de conteúdos de Estatística. Dessa forma, se espera avaliar como o conceito de média aritmética é interpretado pelo professor e apresentada nas lições do livro didático da 3ª Série do Ensino Médio. Estas preocupações são importantes porque repercutem na evolução do Currículo da Educação Básica. 1.3. OBJETIVOS E PRESSUPOSTOS DA PESQUISA O objetivo geral deste estudo é: analisar a compreensão do conceito de Média Aritmética, na 3ª Série do Ensino Médio, por parte de professores com formação em matemática e em outras disciplinas (não matemáticos), bem como a apresentação desse conceito nos livros didáticos de matemática usados nessa modalidade de ensino no período de 1999 a 2014, a partir do Enfoque Ontosemiótico. Assim, Antecedentes da Pesquisa e Questões de Investigação 15 apresentamos na figura 1, a Visão Geral da Investigação e os Procedimentos Metodológicos, que coloborou este estudo. Como objetivos específicos, temos: 1. Analisar a compreensão de professores sobre média aritmética com base nos critérios apresentados pelo Enfoque Ontosemiótico: situação problema, linguagem, conceitos, procedimentos, propriedades e argumentos; 2. Confrontar as lições apresentadas nos livros didáticos sobre média aritmética, a partir dos critérios das ferramentas de análises desenvolvidas pelo Enfoque Ontosemiótico; 3. Identificar os conflitos semióticos presentes na compreensão de média Aritmética por parte de professores; 4. Identificar os conflitos semióticos presentes na compreensão de média aritmética por parte de alunos; 5. Identificar os conflitos semióticos presentes na compreensão de média aritmética por parte dos livros didáticos. Como pressupostos da pesquisa, assumiu-se que: 1. A frágil formação estatística do professor matemático e não matemático que atua no Ensino Médio e de respectivos alunos dessa modalidade de ensino contribui, em parte, para uma compreensão inadequada do conceito de média aritmética; 2. O conceito de média aritmética, apresentado nos livros didáticos de matemática da 3ª Série do Ensino Médio usados no período de 1999 a 2014 nas escolas baianas, carece de um entendimento teórico-prático, dado a metodologia apresentada de forma pouco experimental, muito técnica e algorítmica, deixando a desejar as várias funções que esta medida corresponde. 1.4. VISÃO GERAL DA INVESTIGAÇÃO E PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS Marcos Pinho 22 pesquisadas são do campo do ensino e aprendizagem. É nesse sentido que se observa que muitos estudos começam a ser efetivados, e aos poucos essa temática assume um papel importante e avança na direção das discussões que se relacionam com a instrução e a didática, sendo então reconhecidas ao longo da história da matemática. Assim, a média aritmética é hoje uma importante ferramenta de utilidade para descrever as complexidades dos objetos matemáticos e das práticas que emergem do cotidiano (Rondero e Font, 2015, V. 33. (2), pp. 29-49): En el EOS, la introducción de la dualidad unitariasistémica permite reformular la visión «ingenua» de que «hay un mismo objeto matemático (media aritmética) con distintas representaciones». Lo que hay es un sistema complejo de prácticas que permiten resolver problemas, en las que el objeto matemático «media aritmética» no aparece directamente, lo que sí aparece son representaciones de la media aritmética, diferentes definiciones de la media aritmética, proposiciones y propiedades de esta, procedimientos y técnicas que se aplican a la media aritmética y argumentos sobre ella. Dicho de otra manera, a lo largo de la historia se han ido generando diferentes configuraciones epistémicas para el estudio de la media aritmética, algunas de las cuales han servido para generalizar las preexistentes. A partir desses requisitos conceituais foi possível ter as condições de reconhecer as primeiras impressões sobre como ocorrem o problema de investigação e sua concretização, tendo em conta que se estabeleceu Antecedentes da Pesquisa e Questões de Investigação 23 a estratégia metodológica, que permitiu caracterizar os fenômenos didáticos que ocorrem em um processo de ensino e aprendizagem. Em síntese, tomou-se como base um conjunto de noções teóricas que compôs as análises, que descreveram este estudo, e foram reconhecidos os princípios definidos no marco teórico formulado no EOS. Considerase as noções descritas na teoria das configurações didáticas (Godino, Contreras e Font, 2006), já discutida neste capítulo, que se destaca como ferramenta que facilita análise de uma instrução matemática. Portanto, houve uma preocupação de não perder de vista a verificação dos pressupostos, definidos neste estudo, e que deverão ser verificados na caracterização da pesquisa. 1.6. PERSPECTIVA E O PAPEL DA ESTATÍSTICA NA EDUCAÇÃO As discussões sobre educação estatística surgem por volta de 1885, a partir do Instituto Internacional de Estatística (ISI), e, em 1948, o Comitê de Educação passa a apoiar com mais interesse a formação em estatística, colaborando com a Organização das Nações Unidas para a Educação, a Ciência e a Cultura - UNESCO e debates em fóruns organizados por organismosinternacionais (congressos, simpósios e seminários). Tendo como papel a necessidade de formar e aperfeiçoar os inúmeros técnicos em estatística, que tem no Comitê de Educação a responsabilidade de graduá-los como também o papel de capacitar diplomatas e licenciar professores, que mais tarde tiveram a incumbência de preparar esses técnicos. Uma das primeiras atividades Marcos Pinho 24 deste comitê foi a criação do Centro Internacional de Educação Estatística (ISEC), em Calcutá e Beirute, com a finalidade de ajudar as necessidades formativas dos países do respectivo ambiente geográfico. Estas discussões com participação de todos estes organismos e entidades voltadas para as dicussões sobre a importãncia da estatística, sejam na formação de professores, na preparção de técnicos e do desenvlvimento de pesquisas tiveram um papel importante, pois colaboraram na produção do conhecimento sobre estatística e na difusão de texto universitário, bibliografias e dicionários da área. Foram criados subcomitês especiais, que tiveram o papel de introduzir a estatística nas escolas, e realizar estudos sobre o papel da mulher na estatística e a promoção de debates sobre diversos temas educacionais. A partir de 1982, a Universidade de Sheffield foi palco de conferências e seminários sobre educação estatística, dando origem ao ICOTS (Conferência Internacional em Educação Estatística), que acontece periodicamente. Outro aspecto a considerar foi a introdução dos conteúdos de estatística nos diversos cursos do ensino fundamental e médio da educação básica em muitos países, inclusive no Brasil, expressando nos últimos tempos uma maior dedicação na formulação dos currículos destes níveis do ensino, o que justificou e significou um maior empenho na elaboração de propostas curriculares e de novos materiais de ensino. Isto se traduziu em uma forma de superação das práticas tradicionais de ensino, que será abordada com mais ênfase no Capítulo 2 desta tese. Antecedentes da Pesquisa e Questões de Investigação 25 Esta preocupação é demonstrada por diversos autores, desde o começo da década de 80, como, por exemplo, Holmes (1980) que cita: “[...] A Estatística é uma parte da educação geral que prepara para o futuro as pessoas que precisam adquirir a capacidade de leitura e interpretação de tabelas e gráficos estatísticos que com frequência aparecem em informativos [...]” (pp.11-16). Porém, toda esta circunstância e o contexto social requerem uma intensa preparação, não só para os professores, mas também na elaboração do livro didático, que tem o papel de desenvolver e tornar apropriado o entendimento sobre os conteúdos das lições que são abordados para que se tenham melhores condições de entendimento nos planos e objetivos das aulas sobre estatística, que deverão ser submetidos aos estudantes, para que reconheçam os conteúdos de aula. Por outro lado, não se pode deixar de registrar o contexto que envolve a relação da estatística e seus conteúdos com outras disciplinasdo ensino básico, cuja finalidade é a de contribuir com preparação dos estudantes e adequar o sentido das lições, de sorte que se promovam uma reflexão sobre os conhecimentos de estatística, na perspectiva de que estes conteúdos sejam apreendidos pelos estudantes no processo de ensino e aprendizagem. Enfim, são muitas as razões que tornam interessantes a Estatística, não só pelos seus conteúdos, que são indispensáveis às disciplinas dos cursos iniciais da educação básica, como também pelo papel importante na formação cidadã dos estudantes. Estes aspectos elencados Marcos Pinho 26 demonstram o interesse da escola e da sociedade em utilizar a estatística como conteúdo nos planos curriculares dessas disciplinas, iniciativaque já acontecera na Espanha e em outros paísesna Europa já há algum tempo, e, muito recentemente, no Brasil, ou seja, esse movimento crescente tem ajudado a impulsionar as investigações sobre o ensino e aprendizagem da estatística, de acordo com (Batanero, 2001, p.3): Este interés, sin embargo, no es exclusivo de la comunidad de educación matemática. La preocupación por las cuestionesdidácticas y por laformación de profesionales y usuarios de la estadística ha sido una constante de lospropios estadísticos, y las investigaciones sobre el razonamiento estocástico hantenido um gran auge em el campo de la psicología. En lo que sigueanalizamoslostrabajos sobre educación estadística llevados a cabo en estostres campos. Outro aspecto importante a ressaltar quando se escreve sobre estatística e média aritmética, é o seu valor e presença desde os anos iniciais da educação básica, chegando à formação de professores, e ao ensino superior, sendo seu uso quase que cotidiano pela sociedade de um modo geral, sendo então verificado que é usual a utilidade das medidas estatísticas, e em particular, a média aritmética e seus conceitos elementares. Portanto, a estatística tem uma característica e propriedade de se relacionar com outras medidas, é por isso que estes Antecedentes da Pesquisa e Questões de Investigação 27 conteúdos devem ser apresentados na escola desdeo início, por conta do seu propósito em valorizar a relação com outras disciplinas e colaborar com a formação cidadã dos estudantes na sociedade. Sendo assim, neste capítulo de introdução, apresenta-se a temática tratada e os objetivos da pesquisa, o método seguido, como também as discussões que se fizeram necessárias para situar a investigação. 1.7. IMPORTÂNCIA E UTILIDADE DA ESTATÍSTICA Rotunno (2007), enfatiza a importância do uso da tecnologia e da informática na promoção da estatística, pois se tratam de ferramentas que facilitam muitos procedimentos, dentre estes, destaca-se, por exemplo, a construção de gráficos e tabelas, que promove a comunicação de dados e informações, bem como a facilidade para fazer cálculos estatísticos, que antes demandavam muito tempo. Estes elementos ajudaram a valorizar o uso da estatística como ferramenta e colaboram para que a estatística assumisse um papel de vanguarda no aproveitamento dessas tecnologias. Estes fatos tiveram o papel de despertar maior interesse pela estatística, tanto numa conjuntura social e econômica, quanto no contexto escolar. Há também um avanço significativo no uso das tecnologias de comunicação e informação, o que tem propiciado grandes contribuiçõescomo o uso da internet, planilhas eletrônicas, softwares, jogos, entre outros procedimentos, que auxiliam no processo de ensino e aprendizagem dos conceitos estatísticos. Essas ferramentas permitem que se tenha uma melhor Marcos Pinho 28 visualização, representação, organização dos dados e precisão nos cálculos. Por isso, pode-se enfatizar a presença na maioria dos computadores de programas nos moldes, por exemplo, do Excel, um excelente recurso que fornece ferramentas para efetuar cálculos através de fórmulas e funções, análise de dados, construção de tabelas e gráficos. Seguindo esta linha de pensamento, é possível citar a presença de um universo de recursos tecnológicos à disposição dos professores, que podem contribuir para transformar a utilização da estatística, especialmente no campo do ensino e aprendizagem, principalmente como recurso para trabalhar conceitos estatísticos. Por conta destes cenários, observa-se que existe uma preocupação por parte dos educadores, quando discutem a introdução de noções teóricas em que analisam os processos de instrução matemática e didática, ou seja, há um esforço de inclusão da estatística nos currículos escolares e no cotidiano das pessoas, tendo como foco o ensino e aprendizagem dos professores e estudantes. Para Castro e Serrano Castro e Serrano, 2011, cp.2, pp. 23-40: Partiendo de la idea (tomada de David S. Moore) de que la Estadística es una disciplina en supropio derecho y no una rama de las Matemáticas y, en consecuencia, el conocimiento que se necesita para enseñar Estadística difiere del necesario para enseñar Matemáticas, Groth (2007) conceptualizaun marco teórico sobre del conocimiento estadístico para la enseñanza. Distingue dos tipos de conocimiento estadístico para la enseñanza: Antecedentes da Pesquisa e Questões de Investigação 29 conocimiento común relacionado com las competencias adquiridas en los cursos de matemáticas convencionales y conocimiento especializado desarrollado al tratar los temas matemáticos y dilemas que surgenen la enseñanza. Por outro lado, é observado que há por parte da sociedade uma preocupação já estabelecida sobre o uso da estatística e suas medidas como uma ferramenta importante e poderosa na tomada de decisão, a ponto de despertar até o humor, como uma reflexão no seu uso, e tem levado os cartunistas a refletir em suas piadas e tirinhas uma forma de ridicularizar o emprego, muitas vezes inadequado, retratando a realidade e situações do cotidiano do cidadão, como, por exemplo, no caso da média, uma demonstração da importância da estatística e matemática, como cita os estudos de Guitart, Moreno, Flores e García (2015). A seguir, apresenta-se a figura 2 abaixo, tirinha clássica de uma publicação da Espanha, que retrata bem esta abordagem, em que se apresenta o humor e o sentido de esclarecer, através de uma demonstração e um diálogo sobre a visão de média aritmética, o quantopode ser dúbio e tem seu entendimento muitas vezes mal interpretado. Marcos Pinho 30 FIGURA 2 - VISÃO SOBRE MÉDIA ARITMÉTICA Godino e Batanero (1995) comentam o interesse e a importância que as Estatísticas têm alcançado atualmente como fonte de conhecimento da sociedade na atividade laboral e de investigação, dada a riqueza de informações que o cidadão, o técnico e o cientista precisam possuir para enfrentar o cotidiano. Reconhecendo este princípio, observase a importância dos exemplos que têm os estudos específicos sobre medidas estatísticas como as desenvolvidas por Watson e Moritz (2000), em que discutem a compreensão da utilidade da média aritmética, tendo como base um modelo hierárquico de funcionamento cognitivo (Piaget,1951). Nessa investigação desenvolvida por Watson e Moritz sobre a compreensão da média aritmética foram feitas várias entrevistas: primeiramente com 94 estudantes, idades entre 3° ao 9° ano, em seguida com 22 estudantes, com 3 anos, e por fim com um grupo com 21 estudantes, com 4 anos. Observou-se neste estudo seis níveis de soluções, queseguiu o princípio hieráquico funcionamento cognitivo. Sendo, os quatro primeiros níveis tiveram o papel de descrever o desenvolvimento FONTE: CORIA, M, GUITAR, VERDEJO, A,MORENO., MARTINEZ , P. FLORES E GUIRIDI, C GARCIA (2015) ENSINANZA DE LÃS MEDIDAS DE CENTRALIZACION A PARTIR DE SITUAÇÕES HUMORISTICAS. (EDS), DIDÁCTICA DE LA ESTADISTICA, PROBABILDAD Y COMBINATORIA, (PP.259-267). Antecedentes da Pesquisa e Questões de Investigação 31 do conceito de média a partir de ideias coloquiais em descrições processuais ou conceituais para derivar uma medida central de um conjunto de dados. Os dois níveis mais altos representavam transferir esse entendimento para uma ou mais aplicações em tarefas de solução de problemas com o intuíto de reverter o processo de média e avaliar uma média ponderada.Já nos estudos elaborados por Cai (1995; 1998), que considerou a relação entre o saber e o procedimento para calcular a média aritmética, nesse aspecto, acredita-se que é necessário para que os estudantes entendam bem o conceito da média, que conheçam bastante os valores ou dados característicos e o contexto a que se referem essas informações, como citado por Cobo e Batanero (2004). 1.8. INVESTIGAÇÕES EM EDUCAÇÃO ESTATÍSTICA O que se observou nos últimos 20 anosfoi um maior interesse pelo ensino da estatística no Brasil, o que já é comum há mais tempo nos países do hemisfério norte, como Espanha, Inglaterra, Finlândia e tantos outros, e isso tem sido impulsionado pelo crescimento de suas aplicações e pela difusão de computadores que solucionam o problema do cálculo, e assim facilitou o seu uso na esfera da ciência e educação. Contudo, toda esta vocação exige que se busquem avanços no currículo de ensino da educação básica e até nas diferentes especialidades universitárias, que tem incorporado nas disciplinas dos cursos conteúdos de estatística, devido a sua natureza instrumental e Marcos Pinho 38 1.8.1. Pesquisa e a média aritmética Seguindo os pontos de vista sobre estudos que analisam o papel da média, sua utilização e abordagem referentes às medidas, destacam-se, inicialmente, Watson e Moritz (2000), que fizeram comentários nos seus estudos sobre a importância e preocupação do contexto quando é feito o uso e a aplicaçãoda média aritmética, ou seja, comentam que o uso da média deve levar em conta as características de sua ocorrência. Esta premissa se confirma por conta de estudos reconhecidos nessa área de investigação que documentam as ações dos estudantes. Gal, Rothschild e Wagner (1990) desenvolveram estudos sobre média aritmética envolvendo os estudantes com elementos de observação, o que levou a identificar que raramente esses indivíduos usam espontaneamente a média em um contexto de comparar conjuntos de dados. Mokros e Russell (1995) citam, por exemplo, em sua investigação, o questionamento a estudantes sobre média em uma conjuntura que envolveu a compra e o uso de dinheiro e preços, por exemplo, de batatas fritas, em que os pesquisados não entenderam como aplicar o conceito de média como um valor representativo. Portanto, estes contextos ocorrem em variados campos que exigem a interpretação da média em termos de valor razoável, ponto central, ou ponto de equilíbrio. Fica claro estar diante de possíveis observações que refletem a noção de média como um valor representativo do conjunto de dados trabalhados, o que sugere as discussões sobre a conceituação de média aritmética no campo do ensino da estatística. Antecedentes da Pesquisa e Questões de Investigação 39 Também não é possível deixar de fazer referência às pesquisas voltadas para investigar propriedades relacionadas à média aritmética, como, por exemplo, os estudos de Goodchild, (1988), que desenvolveu investigação envolvendo estudantes de escola do ensino básico. Nesse estudo, o autor observou que os alunos geralmente conheciam a média, porém não interpretavam em termos de representatividade. Strauss e Bichler (1988), em suas investigações, trabalharam com 8 estudantes, com idade de 14 anos, usando realmente resultados significativos sobre a formação e as atividades que abrangeram situações de repartições iguais sem menção do termo média. Nessa investigação, sete propriedades da média foram averiguadas, entre elas, por exemplo, a da soma dos desvios em relação à média que é zero, propriedades abstratas da estatística (por exemplo, uma média pode ser um número sem fazer parte da realidade dos números), e representatividade. Propriedades diferentes emergiram nas respostas de estudantes em diferentes idades, embora nenhuma estrutura específica fosse possível para entender as propriedades. Este trabalho foi reproduzido parcialmente por Léon e Zawojewski (1991), que elevam os resultados produzidos por essas investigações na área do ensino e aprendizagem. Portanto, há um entendimento de que as investigações sobre média têm buscado compreender não só os conceitos já determinados em teorias, mas também o pensamento advindo do cotidiano do estudante, portanto, o que se espera que o estudante aplique usando os conhecimentos sobre média (Batanero e Cobo, 2005). Marcos Pinho 40 Embora atualmente haja todo um esforço e reconhecimento da importância do ensino de estatística, na prática, existem situações que dificultam a plena efetivação desse objetivo, que é o desejo dos pesquisadores, professores, estudiosos e da comunidade de que se atinja com mais ênfase a escola, e o ensino de estatística. No entanto, são bem conhecidas em nível nacional e internacional as carências, podendo citar, dentre estas, por exemplo, a formação em estatística dos professores para atuar na educação básica, e isso se deve a muitos fatores, dentre eles está o escasso número de créditos oferecidos nos cursos de graduação (nos anexos serão apresentadas as ementas das disciplinas de estatística oferecidas nas várias graduações da Universidade Federal do Estado da Bahia, em que observa-se o pouco tempo dedicado a estes conteúdos), muito embora documentos oficiais façam recomendações sobre o ensino da estatística na educação básica, como retrata Batanero (2001, p. 61) “em la prácticason todavía poços los profesores que incluyen este tema y enotros casos se trata muy brevemente o en forma excesivamente formalizada”, ou seja, por ser a estatística uma ciência dos dados, ela está sempre em processo de mudança e crescimento, por ser uma ciência não determinística, por ser uma ciência interdisciplinar e pela pouca difusão dos resultados de pesquisas na área entre professores e futuros professores. 1.9. CONTEXTO DO ENSINO DE ESTATÍSTICA – CURRÍCULO E LIVRO DIDÁTICO Antecedentes da Pesquisa e Questões de Investigação 41 O ensino de estatística teve sua implantação no Brasil, a partir das discussões dos Parâmetros Curriculares – PCNs (MEC, 1998), pois antes eram abordados como conteúdos inseridos na disciplina de matemática, em tópicos finais do livro didático. Porém, nos últimos tempos, foi possível observar a preocupação de investigadores em muitos países desenvolvendo estudos na área do ensino e didática da estatística, o que justifica o interesse em pesquisar e ampliar as discussões sobre essa temática. Estudos e pesquisas elaborados por Batanero e Cols (1994) investigam o progresso do ensino, no qual discutem e apresentam um conjunto de contribuições teóricas no campo do pensamento matemático e estatístico, que envolve o processo de ensino e aprendizagem na educação básica, considerando que os conteúdos de estatística fazem parte das lições das disciplinas do ensino básico e que tem seu uso comum pelos indivíduos no seu cotidiano social (Cobo, 2003) e (Pinho, 2007). São estudos dessa natureza que têm colaborado no desenvolvimento de pesquisas dedicadas a investigar as teorias na área do ensino da educação da estatística, Godino e Batanero (2005, pp. 203-226): La Didáctica de la Matemática no ha sido indiferente a esta tendencia y en los últimos años se experimenta un auge de la investigación y desarrollo sobre la enseñanza de la estadística y probabilidad, principalmente en relación con los niveles no universitarios. Pero el interés por la enseñanza y comprensión de la estadística no es exclusivo de la Marcos Pinho 42 comunidad de educación matemática. La preocupación por lãs cuestiones didácticas y por la formación de profesionales y usuarios de la estadística há sido constante para los mismos estadísticos, y las investigaciones sobre el razonamiento estocástico han sido también objeto de atención en el campo de la psicología. En lo que sigue analizamos los trabajos sobre educación estadística llevados a cabo en estos três campos con el fin de contribuir a su acercamiento, así como de proporcionar fuentes de información sobre el tema a los profesores e investigadores. Outro aspecto que não pode deixar de ser referenciado neste contexto se refere ao papel do ensino da estatística para a sociedade e formação do estudante, pois a estatística disponibiliza ferramentas que proporcionam soluções para tomada de decisões, diante de situações cotidianas do indivíduo como cita, (Bayeret al., 2005). A importância da utilização dos conceitos estatísticos é cada vez mais notória no cotidiano da sociedade, pois proporciona confiabilidade e veracidade nas descobertas, sejam elas nas realizações tecnológicas, em estudos, pesquisas, e particularmente no ensino e aprendizagem. A praticidade das suas ferramentas, devido à precisão dos cálculos e sua eficácia, e as condições de apresentação desses resultados são fundamentais, pois oferecem credibilidade aos resultados obtidos. Considerando o caso específico do ensino e aprendizagem da estatística, existem infindas investigações de pesquisadores que desenvolvem estudos e se apoiam em teorias da didática, como, por Antecedentes da Pesquisa e Questões de Investigação 43 exemplo, aspesquisadas nos estudos deBatanero (2002), Batanero e Cobo (2003), Batanero (2004) eBatanero (2005) e Silva (2009), que discutem a didática do ensino e aprendizagem, a partir do enfoque ontosemiótico (EOS). A importância da estatística é também apontada pelas inúmeras investigações nos últimos tempos, que demonstram que os estudantes de Biologia, Ciências Sociais e outras áreas a têm utilizado como instrumento de apoio científico para construir as pesquisas. Apesar de haver um descompasso entre o ensino e aprendizagem, o que significa, muitas vezes, em formação dos estudantes e professores sem o domínio de conceitos e concepções básicas para tomada de decisão (Bataneroet al. 2013). É possível observar que o ensino de Estatística, em qualquer um dos níveis de formação, vem já há algum tempo se credenciando em diversos campos de interesse da sociedade, seja por conta de uma necessidade mais geral, ou como um instrumento de apoio para promoção da relação com outras ciências e tecnologia. Portanto, é um caminho de apoio aos valores da sociedade e seu cotidiano. É pensando nessas circunstâncias que as comunidades científicas em todo mundo, por meio de entidades e centros de investigações, em conjunto com os pesquisadores, se debruçam hoje na busca de promover e fomentar o desenvolvimento e o avanço de teorias no campo da educação estatística. Estes resultados já são visíveis, haja vista os muitos trabalhos de investigação que são apresentados nas reuniões científicas que tratam a temática do ensino e aprendizagem da estatística. Portanto, Marcos Pinho 44 o que se vislumbra com estudos dessa natureza é o desenvolvimento do raciocínio sobre o protagonismo da estatística, no sentido de reconhecer o seu papel como importante instrumento de conhecimento (Batanero et al, 2013, pp.7-18): En consecuencia en lo que sigue concebimos el sentido estadístico como unión de la cultura estadística y el razonamiento estadístico. Asimismo, también consideramos que la cultura estadística implica la comprensión adecuada de las ideas estadísticas fundamentales (Burrill y Biehler, 2011), pues estas ideas aparecen en la mayoría de las situaciones en que hay que aplicar la estadística; portanto, son necesarias para enfrentarse con éxito a dichas situaciones. Además, pueden ser enseñadascon diversos niveles de formalización y, por tanto, son asequibles en cualquier nivel educativo, siendo potentes como herramientas de modelización estadística. En segundo lugar, se requiere um razonamiento específico, el razonamiento estadístico que permite tomar decisiones adecuadas o efectuar predicciones a partir de datos y en presencia de incertidumbre. La competencia de análisis de datos se ve hoy en día facilitada por la abundancia de software, tanto para el almacenamiento y transmisión de datos, como para el cálculo y graficación. Sin embargo la competencia en análisis de datos no siempre implica un grado adecuado de razonamiento estadístico, que es más difícil de transmitir. Nessa direção, observam-se professores e pesquisadores, tanto nos congressos acadêmicos, como em reuniões pedagógicas, que já passam Antecedentes da Pesquisa e Questões de Investigação 45 a desenvolver estudos e investigações voltados às utilidades e finalidades dos conteúdos estatísticos como forma de introduzir conceitos e teorias da aprendizagem sobre pontos referentes à estatística e sua aplicação nos vários campos do conhecimento. Essa circunstância tem possibilitado entender a importância do ensino e aprendizagem da Estatística nos diferentes níveis da educação. É possível perceber, no entanto, que muitas dessas investigações são os princípios dessa nova era da didática do ensino e aprendizagem da estatística, e, para, além disso, é intenção desses estudos ampliarem as discussões sobre o papel e o desenvolvimento da estatística na sociedade moderna, proporcionando ferramentas metodológicas para tomadas de decisões (Batanero e Godino, 2005). Portanto, elevar essas discussões tem como finalidade compreender o papel da didática do ensino e aprendizagem, fomentando, dessa forma, debates e, assim, contribuindo para a melhoria do currículo, dos conteúdos e dos conhecimentos sobre as temáticas relacionados à Estatística. É possível perceber, nesse cenário, que muitas dessas pesquisas apontadas ao longo do texto levam em consideração investigações sobre desenvolvimento cognitivo, e que têm como referência os estudos desenvolvidos por Jean Piaget (1951) e Watson e Moritz (2000) e mais recentemente Cobo (2003). No entanto, salienta-se que o crescimento do número de investigações é que tem auxiliado no aprofundamento das reflexões na busca de estabelecer importantes debates que abranjam o ensino da estatística e seus conteúdos no contexto da aprendizagem, que Marcos Pinho 46 envolvam a formação dos professores, estudantes e os indivíduos de um modo geral. Assim, é possível citar, por exemplo, e, em particular, Batanero, que desenvolve investigações voltadas para a área da Estatística e da Probabilidade, com estudos em que analisa a importância de potencializar o raciocínio lógico, a experiência concreta dos estudantes e do professor, ou seja, prioriza especialmente o desenvolvimento de teorias que apontem para ampliação do ensino e aprendizagem de uma didática de estatística. 1.9.1. A estatística, o livro didático e o currículo Outra realidade a que se pode referir como elemento preponderante e reconhecido no apoio ao ensino e à aprendizagem da estatística é o uso do livro didático. Este é um importante instrumento pedagógico para o ensino e aprendizagem da estatística, a ponto de nos últimos anos terem sido absorvidos com bastante seriedade pelas disciplinas curriculares da educação básica. Tendo então trazido para o ensino e aprendizagem da estatística transformações positivas se destacam por conta da lei que cria e garante não só o acesso, mas o direito dos estudantes ao livro didático. Portanto, existe uma política pública do livro didático no Brasil, que acredita-se existir na maioria dos países como regra do desenvolvimento educacional. Oportunamente, no capítulo 2, na discussão do marco teórico desse estudo, será abordado com maior ênfase a importância do livro didático para a educação básica e seus conteúdos nas disciplinas do 3° ano do ensino médio. Antecedentes da Pesquisa e Questões de Investigação 47 Apesar da discussão se situar no campo dos conteúdos que são apresentados sobre estatística e, em particular, o conceito de média aritmética e suas características no contexto da educação básica, que passa a ter um aliado no desenvolvimento de uma didática de ensino com condições de apresenta os conteúdos de estatística da eduacção básica. Na realidade, em se tratando da educação básica, o livro didático é considerado um poderoso apoio pedagógico para atender às práticas de ensino e aprendizagem dos estudantes de um modo geral. Embora bastante requisitados, os livros didáticos sofrem questionamentos por parte dos professores e dos estudantes que os utilizam. O fato é que há uma necessidade de que estudos sejam elaborados com objetivo de melhor observar o sentido do tratamento didático apresentado nas lições de estatística sobre as medidas e, em particular, sobre o conceito de média aritmética nos livros didáticos. Também é fato que vários pesquisadores e grupos de estudiosos têm se dedicado no desenvolvimento de estudos com intuito de analisar os livros didáticos, e, no caso particular da área da estatística, é possível reconhecer trabalhos como de Olivio (2008), que comentou em seus estudos a respeito do intervalo de confiança; Alvarado (2007), que discutiu o teorema do limite central; Cobo (2003) e Mayén (2009), que tratam das medidas de tendência central e Ortiz (1999), que trata de conceitos de probabilidade. Observa-se que as análises se baseiam no enfoque teórico denominado “ontosemiótico” (EOS), que constitui um sistema de prática matemática que considera o objeto matemático institucional e pessoal, Marcos Pinho 54 estatística e formação dos professores depende de literaturas nessa área e de esforço na implantação e elaboração de currículos de estatística (Batanero et al.,2011). Essa preocupação quanto à formação dos professores é interessante, no entanto, ao observar os conteúdos de estatística, nota-se o quanto são importantes muitos dos seus conceitos, pois trata-se dos temas usuais do cotidiano, e estes fazem parte da formação das crianças, jovens e chega até a vida profissional dos indivíduos, tendo em vista que a sociedade de hoje exige cada vez mais que se utilizem das técnicas estatísticas para decisão das questões que o mundo moderno apresenta. O ensino da estatística na educação básica faz parte deste ideário, considerando que muitos dos conteúdos de outras disciplinas da educação básica como Biologia, Física, Química e Geografia se relacionam e fazem uso constantemente da linguagem estatística para organizar a interpretação de decisões, utilizando os conteúdos que exercem o papel de integração entre diversas disciplinas nas lições, o que justifica que não há barreiras para a sua aplicação nas diferentes temáticas(Batanero, 2000, pp. 41-58): Nos encontramos con la paradoja de pedir a estos profesores que impartan un nuevo contenido, para el que no todos han tenido una formación didáctica específica, porque la didáctica de la estadística no está aún suficientemente desarrollada. Mientras que la estadística como ciencia, está en un periodo de notable expansión, el número de investigaciones sobre la enseñanza de la estadística es aún escaso, y sólo estamos comenzando a conocer las principales dificultades de los alumnos en los Antecedentes da Pesquisa e Questões de Investigação 55 conceptos más importantes. Es también preciso experimentar y evaluar métodos de enseñanza adaptados a la naturaleza específica de la estadística, a la que no siempre se pueden transferir los princípios generales de la enseñanza de las matemáticas. Todo este empenho serve como intenção desta pesquisa no sentido de investigar as situações e problemas contextualizados da matemática, capaz de responder às questões sobre o conhecimento de estatística, proporcionando uma atenção aos diferentes objetivos da prática matemática relacionada à didática de ensino e aprendizagem, permitindo que os conteúdos e os conceitos de estatística sejam mais perfeitos e entendidos pelo estudante ou indivíduo no seu cotidiano da escola, como demonstram os vários estudos ao longo de últimos 20 anos, apresentado no Quadro 1. Esta discussão exige que o professor, em algum momento, procure se preparar para poder interagir com sua prática docente, pois ele tem o papel essencial na interpretação dos conteúdos de estatística propostos, tendo, então, que desenvolver práticas de ensino que resultem na melhora efetiva da evolução da relação entre ele, o professor e o estudante, e, assim, possa acontecer significativamente a aprendizagem dos conteúdos de estatística. Enfim, o que se espera é uma maior conscientização dos professores em uma ação e opção pedagógica, como referencia D’Ambrosio, (1996) sobre a necessidade de o professor ser menos neutro politicamente, pois quando assim age é porque não está preparado para missão docente. Marcos Pinho 56 QUADRO 1 - ESTUDOS SOBRE MEDIDAS ESTATÍSTICAS E SEU USO PELOS PROFESSORES E ESTUDANTES, 1981-2016 Autor (es) / Ano Tipo de Estudo Pollatsek, Lima e Well (1981) Observou o cálculo de média simples e ponderada como sendo uma dificuldade dos estudantes. Mevarech (1983) Em seus estudos faz referência as dificuldades na aplicação das propriedades de média aritmética. Russell e Mokros (1991) Desenvolveu estudos no sentido de aferir as classificações atribuídas pelos estudantes a expessão média. Konold e Garfield (1993) Demonstra em seus estudos a noção sobre o conhecimento de estatística, probabilidade e sobre a compreensão de medidas estatística. Batanero, Estepa e Godino (1998) Estudou estratégias corretas para comparar médias e os totais de uma distribuição. Konold, Pollatsek, Well e Gagnon (1997) Apontam em seus estudos as comparações sobre as medidas estatísticas e as medidas de dispersão e o uso particular da média para comparar por estudantes. Watson e Moritz (1999) e Watson (2001) Desenvolveu estudos para obter diferentes níveis de compreensão para comparar um conjunto de dados. Shaughnessy e Ciancetta (2002) Fez estudos comparativos como os estudantes que se preparavam para ser futuros professores e observou o uso dos valores centrais de uma distribuição. Cobo e Carmen Días (2003) Neste trabalho as autoras fazem um estudo sobre a reflexão do uso das três medidas de tendência central pelos estudantes do ensino secundário. Antecedentes da Pesquisa e Questões de Investigação 57 Gal (2005) Faz referência da necessidades dos professores em obterem conhecimentos sobre estatística para que possam melhorar o seu desempenho na atividade profissional. Leavy y O’loughlin (2006) Estudos para aprofundar a compreensão sobre o uso da média pelos futuros professores da Educação Básica. Estrada (2007) Estudo para avaliar o conhecimento estatístico dos futuros professores e observao-se o desconhecimentos no uso do conceitos e algoritmo da média. Cruz e Garrett (2008), Estudos revelaram que os estudantes possuem diferenças grandes sobre a compreensão e conhecimento da estatística. Galicia, Silvia (2009) Nesta tese de doutorado a autora, faz um estudo, em que avalia o significado pessoal dos estudantes do ensno secundário e bacharelato usando as medidas de tendência central. Ortiz e Font, (2011) Os autores investigam o significado pessoal dos professores com objetivo de melhorar a formação do ensino de média aritmética. Ortiz e Font (2014) Os autores investigam o conhecimento de futuros professores sobe o uso da média aritmética. Magina e Fonseca (2016) Neste artigo o autor destaca o ensino e aprendizagem da média, e o uso de materias didáticos. Estrella, S. (2016) Este artigo analisa a compreensão da média por professores e seu uso. FONTE: ELABORAÇÃO DO AUTOR Portanto, o que se imagina de um processo educacional é a exigência de que o professor possua estímulo e possa legitimar os conteúdos de estatística propostos nos currículos da educação básica. É Marcos Pinho 58 importante considerar a justificativa da demanda da escola atualmente, pois o uso frequente por parte da sociedade, da estatística, em virtude dos avanços científicos e tecnológicos, aliada à necessidade de o indivíduo compreender as informações do cotidiano de suas vidas, portanto, são estas discussões, que têm propiciado à estatística superar as tradições de quando eram ensinadas como parte de temáticas da matemática pelos professores. Este entendimento é importante para que ocorra a boa relação entre o professor e o estudante no cumprimento do seu papel e na atividade de ensino e aprendizagem em sala de aula. No caso específico da estatística, o que se espera do professor é que os conteúdos de estatística que são propostos nas lições apontem para interação entre as várias disciplinas, e com a própria matemática, pois esta possui ferramentas comuns na solução de problemas. Esta visão é observada em particular pelo EOS, quando desenvolve análises sobre a formação dos professores de matemática, tendo como referência os trabalhos de Godino (2009); Godino, Rivas, Castro e Konic (2012); Pino-Fan, Godino e Font (2015). Então, é necessário que o protagonismo do professor tenha seu papel reconhecido para que esta interação ocorra e viabilize as tarefas de ensino e aprendizagem na educação estatística, ou seja, o desafio é o de buscar fundamentar uma investigação que contribua para absorver o que existe sobre a compreensão da estatística de uso na escola e se apropriar das teorias já produzidas, ao longo desses últimos anos no campo da didática, da matemática e estatística, e a partir dessas ideias contribuir para formular Antecedentes da Pesquisa e Questões de Investigação 59 uma visão em que se possibilite universalizar o ensino e aprendizagem da estatística (Batanero, 2002) É neste sentido que as investigações sobre as teorias da didática matemática e estatística têm crescido e exercido um papel primordial no desenvolvimento do ensino da estatística, que, por sua vez, desempenha um papel na melhora das relações culturais entre o professor e o estudante, possibilitando as condições para que o ensino e aprendizagem da estatística avancem na escola e na sociedade (Batanero e Godino, 2005, pp. 203-226): Todas estas razones han impulsado la investigación y el desarrollo curricular en el campo especifico de la estadística. Ejemplos de proyectos curriculares desarrollados de acuerdo a estas ideas son, por ejemplo los del Schools Council Project on Statistical Education en el Reino Unido (Holmes, 1980), el Data Driven Mathematics en Estados Unidos (Burrill, 1996) o Explora en Chile (Aravena y cols. 2001). Los materiales didácticos, el software educativo, investigaciones, revistas, reuniones y comités sobre la enseñanza de la estadística han crecido espectacularmente en los últimos años dentro de la educación matemática. O reconhecimento das temáticas e conteúdos de estatística é traduzido com mais ênfase a partir da construção das diretrizes dos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio - PCNEM de 1999, que compreendeu a importância de incluir a estatística de forma Marcos Pinho 60 oficial nos currículos da educação básica no país, iniciado inclusive, a partir do ensino infantil. Esta iniciativa se refletiu no crescente uso pela sociedade em geral, dos instrumentos e ferramentas da informação. Esse esforço encontrou apoio no âmbito acadêmico e educacional, fazendo com que autoridades educacionais, organismos e entidades se envolvessem na busca de caminhos que abarcassem os interesses da introdução das temáticas que abordassem os conteúdos da estatística na educação básica (Batanero e Godino, 2005). Movimentos neste sentido foram fundamentais para que essas propostas curriculares se desenvolvessem com base nas teorias que melhor organizassem os conteúdos de estatística, conduzindo e preparando os professores nas lições, reconhecendo a importâncias da estatística e seus conteúdos como instrumento de decisão, ou seja, fortalecendo a estatística no contexto, o que reflete no ensino e aprendizagem dos estudantes da educação básica (Batanero, Díaz, Contreras e Roa, 2013, pp.7-18): El sentido estadístico, como unión de la cultura y razonamiento estadísticos debe construirse em forma progresiva desde la educación primaria, secundaria, bachillerato y hasta la universidad. En este sentido, las nuevas propuestas curriculares proporcionan una oportunidad de introducir gradualmente ideas estadísticas desde la educación primaria, aumentando el nivel de formalización progresivamente. Pensamos que la mejor forma de ayudar al estudiante a desarrollar su sentido estadístico es basar lãs clases de estadística en el trabajo con proyectos, bien planteados por el profesor o escogidos libremente por los alumnos. En lugar de Antecedentes da Pesquisa e Questões de Investigação 61 introducir los conceptos y técnicas descontextualizadas, o aplicadas únicamente a problemas tipo, difíciles de encontrar en la vida real, se trataría de presentar lãs diferentes fases de una investigación estadística: planteamiento de un problema, decisión sobre los datos a recoger, recogida y análisis de datos y obtención de conclusiones sobre el problema planteado. No âmbito do ensino da estatística hoje, já é possível enxergar um grande esforço para introduzir no sistema educacional esses conteúdos nas lições. Por outro lado, com o avanço significativo da formação dos professores, que passam a conhecer e ter uma percepção mais acertada sobre os conteúdos de estatística e sua importância, é natural que as novas diretrizes curriculares incrementem o ensino e aprendizagem, o que facilita o exercício do professor e seu papel de protagonista no ensino de estatística, (Batenero, 2009) e (Ponte, 2001) comenta a respeito da interpretação do currículo pelo professor. Os efeitos dessa iniciativa, que tem como foco orientações curriculares e aprendizagem, certamente proporcionarão ao professor e ao estudante o conhecimento e o entendimento sobre o papel e importância dos conteúdos de estatística (Batanero e Godino, 2005). A preparação dos professores deve vir acompanhada das alterações de currículo, sendo necessário que tragam a esperteza e o conhecimento, não só de estatística, mas também dos aspectos didáticos sobre os conteúdos utilizados como cita Thompson (1992), Batanero (2002) pontua os seguintes pontos: Marcos Pinho 62 - Haver uma certeza que possa refletir nos aspectos epistêmicos e nos signficados, que poderão produzir avancos; - Existir a necessidade de se levar em conta os diferentes níveis de educação, de forma a facilitar, o entendimnto, o conhecimento sobre o conceito ensinado a um indivíduo; - É importante que se observe na aprendizagem quais as dificuldades que podem interferir no ensino e aprendizagem; - Uma ação didática exige que sejam observados os aspectos da estrutura do ensino que abrange do currículo aos metodológicos, ou seja, elementos da didática. Neste sentido é que se procurou justificar o papel das novas propostas curriculares introduzidas nos cursos da educação básica, particularmente na disciplina de matemática, que absorve os conteúdos de estatística, o que torna importante a relevância de temas da estatística que se voltem para a formação cidadã dos estudantes da educação básica, não esquecendo a necessidade de desenvolver uma aprendizagem significativa, já que é de reconhecimento que os estudos dessas áreas da formação são temas indispensáveis na preparação dos jovens e estudantes, pois prepara para a atualidade e para o futuro do indivíduo como cidadão. Outra observação que fica clara é da importância do resultado que o ensino da estatística traz para sociedade, que passa a ter acesso e a fazer uso de uma ferramenta que colabora com o tratamento dos dados, nas análises e leituras gerais de estatísticas, que serão capazes de influir na definição das políticas coletivas. Antecedentes da Pesquisa e Questões de Investigação 63 1.9.3. Perspectiva do ensino de estatística Com a implantação dos Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN (MEC, 1998), os conteúdos de Estatística passam a ter mais destaque, compondo o currículo do ensino no nível fundamental e médio, que antes eram temas muito restritos e marginais na educação básica. Os conteúdos, ou tópicos abordados, estavam colocados na Matemática, nos anos mais avançados, e sempre como tópicos, sem muito destaque do livro didático (Panaino, 1998). A partir daí, é possível observar, nos últimos anos, que há por parte do Ministério da Educação - MEC, uma maior compreensão sobre a importância da inserção dos conteúdos de estatística nas etapas da educação básica e no currículo escolar, o que reforça e proporciona um cenário de maior efeito para estatística. Outra observação que fica clara é da importância que o ensino da estatística tem assumido na escola, pois se entende que estas iniciativas incorporam o estudante, para integrá-lo como cidadão em uma sociedade cada vez mais exigente de informação, e em crescente globalização. Esta relação com os números, e tratamento dos dados, as análises de informações, as leituras de medidas e gráficos, que possibilitam tomar decisões e fazer inferências, aperfeiçoam os conhecimentos e valores que são cada vez mais exigidos para solucionar problemas do cotidiano da sociedade. Esta valorização do ensino da estatística é preponderante no desenvolvimento do intelecto e raciocínio das crianças e jovens, contribuindo para ampliar o Marcos Pinho 70 FIGURA 4 - LIVRO DIDÁTICO 2 Assim, podemos identificar as citações de estudos que se destacam pela importância das reflexões teóricas que se aproximam de uma teoria de ensino e aprendizagem da matemática. Também se considera a existência de outros estudos desenvolvidos por diversos autores sobre as medidas de tendência central e, em particular, a média aritmética, que demonstram o quanto é importante a estatística na educação básica. Por outro lado, o estudo exigiu uma dedicação e atenção especial nas análises dos muitos elementos que são considerados fundamentais na investigação como, por exemplo, a visão do conceito de média, o papel do livro didático, que se completa com discussões efetivadas no capítulo 3, que aborda tema sobre a formação de professores. 2.2. AS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Uma Visão Sobre o Conceito de Média Aritmética 71 Nesta seção dedicamos a análise de vários aspectos da compreensão não só do conceito de média como também do seu significado. Leva-se em conta inicialmente os trabalhos desenvolvidos por Godino e Batanero (1994), (Batanero, 2000), (Cobo, 1988; 2001); Cobo e Batanero (2000), Navas, Batanero e Godino (1997) e tantos outros mais recentes. São trabalhos que se destacam pela importância nas reflexões teóricas e que se aproximam de uma teoria de ensino e aprendizagem. Também se considera outros estudos desenvolvidos por diversos autores sobre as medidas de tendência central que demonstram o quanto é importante a estatística na educação básica, o que, de um tempo pra cá, já começa a fazer parte dos currículos educacionais. As medidas de tendência servem, em geral, para localizar a distribuição de frequências sobre o eixo de variação da variável em questão. São três tipos de medidas de posição: a média, a mediana e a moda, representados na figura 3. Pela ordem, aparece a média, que se debateu nos capítulos ao longo deste trabalho, em que se leva em conta seus feitos e sua introdução no currículo na educação básica como papel importante no ensino e aprendizagem das disciplinas. Neste sentido, se considera nas suas características a construção de seu conceito e nuances do conhecimento do professor, sua aplicação e as condições apresentadas nos livros didáticos do 3° ano do ensino médio da educação básica. No entanto, observa-se que há entre estas medidas aspectos de relação entre elas, que existem de acordo com a distribuição de dados, Marcos Pinho 72 porém, podem se caracterizar em pontos que se distinguem como, por exemplo, a média e mediana. Estas medidas se assemelham por critérios diferentes, o centro da distribuição de frequências, e, por esta razão, são caracterizadas como medidas de tendência central. A moda, por sua vez, indica a região de maior concentração de frequência na distribuição. No caso, da mediana tratada como uma quantidade que, como a média, também procura caracterizar o centro da distribuição de frequência como observado na (Figura 3), onde temos, no caso 1, mediana 350 e, no caso 2, igual a 250, porém, de acordo com um critério deferente. Ela é calculada com base na ordem dos valores que formam o conjunto de dados, sendo definida a partir da ordenação de um conjunto dos n valores, e se considera a n impar, com igual valor ao de ordem (𝑛 + 1) 2 ⁄ desse conjunto. Se for par, a mediana será definida como qualquer valor situado entre o de ordem 𝑛 2 ⁄e o de ordem (𝑛 2) ⁄ + 1 . Por simplificação, para n par, considera-se a mediana como o valor médio entre os valores de ordem 𝑛 2 ⁄e (𝑛 2) ⁄ + 1 do conjunto de dados. A moda é definida em conjunto de dados como sendo o valor (ou valores) de máxima frequência. Assim, (figura 3), no caso 1, a moda é 300, e no caso 2 da, a moda é 200 e 300, ou seja, uma distribuição bimodal. Portanto, pode-se considerar a moda como uma medida de posição, pois indica a região das máximas frequências. No caso 2, especificamente, temos duas modas, ou seja, em uma série de dados, podemos ter várias modas. Uma Visão Sobre o Conceito de Média Aritmética 73 Notadamente, o emprego das medidas de tendência central é muito comum, e em particular a média aritmética, que tem participação marcante em muitos trabalhos, e é evidente a preocupação em fazer analogias a temas e citaçõesdiversos. Assim, nos livros didáticos analisados esta impressão fica bem clara, e tem seu destaque nos problemas e exercícios que apresentamos na Figura 4 e no Anexo 7, em que é observada a aplicação das três medidas simutâneamente nas resoluções de problemas analíticos e aplicados. Esta situação confirma o reconhecimento da existência de uma relação empírica entre média, mediana e moda, que, em geral, subsiste para os conjuntos de dados observados, definida por: = mo = 3(x – md). 2.3. SIGNIFICADO DO CONCEITO DE MÉDIA ARITMÉTICA É sabido e reconhecido que Godino e Batanero (1994) construíram ao longo dos últimos 20 anos um marco teórico que discute o significado do objeto matemático, estabelecendo uma análise particular para a expressão “média”. Evidentemente, a preocupação em investigar não se esgota tão somente na busca para entender e observar como o domínio desse conceito sobre média é construído no livro didático, pelo professor e chega até o estudante. Neste sentido, nesta pesquisa, buscase discutir o significado elementar de média aritmética, particularmente o seu conceito, a expressão e como se interpreta a partir de um contexto que envolve o ensino e aprendizagem de estatística na educação básica. Em outras palavras, o que significa e como os indivíduos entendem Marcos Pinho 74 média aritmética no cotidiano da vida. Na opinião de Batanero (2000, p. 1) – “Es preciso, por tanto, realizar una labor de síntesis de estos trabajos, y de posterior difusión entre los profesores, que son los que tienen finalmente la posibilidad y responsabilidad de la formación estadística de los escolares. En este trabajo tratamos de contribuir a esta labor, analizando las dificultades que los alumnos pueden encontrar en las medidas de tendencia central”. Nesse ponto, a autora buscou distinguir cinco componentes relacionados ao significado do conceito: 1o campo de problemas dos quais o conceito emergiu (elementos fenomenológicos); 2-as representações dos conceitos (elementos de representacional); 3-os procedimentos e algoritmos (elementos processuais); 4as definições do conceito, suas propriedades e relações com outros conceitos (elementos conceituais ou intensivos); 5os argumentos e provas (elementos validativos). A partir dessa ideia, Godino procurou imprimir e ampliar a discussão sobre os conceitos de estatística, particularmente de média aritmética, usando como exemplo a teoria da semiótica como um caminho para melhor descrever esse objeto matemático e estatístico. Como indica Godino (1996, p. 418): “El problema de la comprensión está íntimamente ligado a cómo se concibe el propio conocimiento Uma Visão Sobre o Conceito de Média Aritmética 75 matemático. Los términos y expresiones matemáticas denotan entidades abstractas cuya naturaleza y origen tenemos que explicitar para poder elaborar una teoría útil y efectiva sobre qué entendemos por comprender tales objetos. Esta explicitación requiere responder a preguntas tales como: ¿Cuál es la estructura del objeto a comprender? ¿Qué formas o modos posibles de comprensión existen para cada concepto? ¿Qué aspectos o componentes de los conceptos matemáticos es posible y deseable que aprendan los estudiantes en un momento y circunstancias dadas?” Outro aspecto que é possível considerar são as circunstâncias em que são assimilados e aplicados estes conceitos e definições sobre média aritmética, em que se pode destacar Campbell (1974), por exemplo, que afirma a média como o valor “típico” ou “representativo” dos dados. Sendo assim, imagina-se que análises e estudos sobre a importância da utilização da média aritmética poderão considerar as noções básicas como equilíbrio, espaço, tempo, posição, peso, volume e satisfação, ou seja, fatos, objetos e situações da vida como preconizam os estudos de Watson e Moritz (2000), que fazem comentários e observações sobre essas relações e interpretações, levando em conta o que ocorre com valores ou dados na vida, no seu diaadia. Sobre Watson e Moritz (2000), estes discutiram a compreensão da utilidade da média aritmética com base em um modelo hierárquico de funcionamento cognitivo (Piaget, 1951). Já nos estudos elaborados por Cai (1995; 1998), o autor considerou a relação entre o saber e o Marcos Pinho 76 procedimento para calcular a média aritmética. Nesse aspecto, ele acredita que é necessário, para que os estudantes entendam bem o conceito da média, que se conheça bastante os valores ou dados e o contexto a que se referiam essas informações. Enfim, o que se observa quanto ao ensino e aprendizagem da média aritmética é que existe uma dificuldade de compreensão e de uso dessa medida, quase que em todos os níveis de formação, e que envolve desde o professor atéos estudantes. Há muito tempo que se tem essa preocupação com a introdução dos conteúdos de estatística na elaboração dos novos currículos, que abrange o ensino básico, do seu início até o médio, no sentido de modificar esta realidade (Batanero, Godino e Navas, 1997, pp.310-304): Además de ser conceptos estadísticos básicos, los promedios son imprescindibles en el análisis exploratorio de datos, cuya enseñanza se recomienda en los nuevos currículos de primaria y secundaria. El concepto de media aritmética es aparentemente simple, pero en Batanero y cols (1994) y Tormo (1995) se presenta una síntesis de investigaciones que muestran dificultades procedimentales y conceptuales relacionadas con la media, en alumnos de diferentes edades. Respecto a los errores de cálculo, Pollatsek y cols. (1981) sugieren que un porcentaje importante de estudiantes universitarios calculan incorrectamente la media ponderada y la media simple a partir de una tabla de frecuencias. Asimismo, Mevarech (1983) encontró estudiantes universitarios que atríbuían propiedades inexistentes a la operación de hallar la media aritmética, como la asociatividad, existencia de elemento neutro y elemento inverso. Recientemente Cai (1995) indica que muchos estudiantes de primaria, que son Uma Visão Sobre o Conceito de Média Aritmética 77 capaces de calcular correctamente la media, no comprenden su algoritmo de cálculo y lo aplican de forma mecánica. No entanto, quando se avança para outras idades e níveis de formação dos estudantes, observa-se, por exemplo, nos estudos elaborados por Pollatsek e Cols (1981), que existe um número bem expressivo de estudantes de nível superior que demonstra as mesmas dificuldades no desenvolvimento do cálculo da média aritmética simples. Estas situações elevam o interesse em aprofundar as investigações, considerando a importância e o entendimento sobre conceituação de média aritmética. Outro aspecto que se deve reconhecer é o entendimento e a utilidade que esta medida pode ter para os indivíduos quando toma decisões do cotidiano, o que leva a crer que sua interpretação deva ser considerada de simples domínio (Pinho e Gusmão, 2006). Estas discussões irão prosseguir nas etapas a seguir deste estudo sobre a utilidade da média aritmética, fazendo alusão as suas diferentes definições, conceitos, representações, características e propriedades e sua prática quando este objeto se apresenta no ensino da educação básica, nos contextos da matemática, seja no currículo ou no livro. 2.4. A MÉDIA ARITMÉTICA EOS DOCUMENTOS CURRICULARES Marcos Pinho 78 Nos últimos anos, o Ministério da Educação (MEC) tem articulado com os fóruns de educação (Conselhos, Conferências e Entidades da Sociedade Cível Organizada) no Brasil, um esforço para realização de debates no sentido de buscar uma maior transformação no sistema educacional. Os resultados, frutos dessas discussões, foram os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN (MEC, 1998), que após implantado trouxe o ensino de Estatística nos níveis fundamental e médio, que antes era restrito e marginal. No passado, os temas relacionados à estatística estavam inseridos em tópicos na disciplina de Matemática, nas séries mais avançadas, e, geralmente, era um dos últimos assuntos das lições nos livros didáticos. Combinado a esta situação de pouca atenção, se observa que os conteúdos e procedimentos desenvolvidos sobre estatística se restringiam aos gráficos, tabelas, medidas de tendência central e de dispersão. Hoje é possível observar que houve uma mudança significativa com a implantação das diretrizes dos Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN, que passaram a dar um destaque especial ao ensino de Estatística e Probabilidade (MEC, 1997); (Lopes, 1998). Com o objetivo de promover uma discussão sobre a inserção da estatística no currículo da educação básica, inicialmente na disciplina de Matemática, o MEC tem atuado para que as propostas curriculares de matemática justifiquem a importância e a relevância desses temas na formação dos estudantes, aperfeiçoando os professores que atuam nesse nível de ensino, para que eles conheçam os Uma Visão Sobre o Conceito de Média Aritmética 79 procedimentos que devem propor para acontecer uma didática de ensino e aprendizagem significativa. É importante levar em consideração que o estudo desse tema se torna indispensável ao indivíduo na conjuntura atual, em que as tecnologias exigem da sociedade decisões em menor espaço de tempo. Portanto, foi delegado ao ensino da matemática o compromisso inicial de prover esses conteúdos de estatística, não só de ensinar o domínio dos números, mas também de contribuir com a organização de dados, cálculos das medidas, leitura de gráficos e análises propriamente ditas estatística. Esta preocupação é fundamentada no direito à aprendizagem dos estudantes e cumpre o artigo 10 da Lei de Diretrizes Bases da Educação Nacional do Brasil (LDBEN) nº9394/1996, que determina o atendimento prioritário do Estado para o Ensino Médio. Segundo Ban Ki-moom, secretário-geral da ONU, “A estatística permeia a vida moderna”, portanto, endossa a investigação e as discussões sobre a necessidade de consolidar o currículo da educação básica, bem como a presença dos conteúdos de estatística, o reforço e sua ampliação para outras disciplinas da educação básica, para além da matemática. (Campos, Wodewotzki e Jacobini 2011; pp.9-20): Da mesma forma, a preocupação de relacionar a Matemática e o cotidiano, desejável em todos os níveis escolares, e a necessidade da abordagem dos conteúdos estatísticos na direção de uma formação ampla do estudante, como indicam os Parâmetros Curriculares Marcos Pinho 86 se verificou em todos os livros didáticos deste estudo cujas lições tratam do contexto da geometria plana. Esta situação foi evidenciada em diferentes exercícios em que são aplicados o desenvolvimento de cálculos de áreas e volume de distintas figuras geométricas (Figura 5, a seguir e no Anexo 8, são apresentadosexemplos de problemas). Portanto, nestas condições, tivemos a oportunidade de demonstrar o papel de diferentes objetos matemáticos relacionados, como outros meios, e assim por diante, e combinados a problemas de aplicação e utilização da média aritmética nas diversas práticas matemáticas que exige da presença. FIGURA 5LIVRO DIDÁTICO 3 - APLICAÇÃO DA MÉDIA NA GEOMÉTRIA Por outro lado, esta visão de competência é consideranda importante na educação matemática, pois é a partir deste conhecimento que são definidas que estrátegias devem ser construídas para solução de problemas, como o caminho a ser alcançado pelo professor, Uma Visão Sobre o Conceito de Média Aritmética 87 emcondições efetivas do ensino e aprendizagem da matemática, sendo sua aplicação baseadaem princípios e condições que proporcionem conhecimento (Godino, Giacomone, Batanero e Font, 2017). Esta visão se respalda em diferentes estudos e trabalhos de autores que elaboraram ferramentas que proporcionam análises e reflexões sobre ensino e aprendizagem da matemática, e que têm na abordagem teórica ontosemiótica do conhecimento instrução matemática (EOS), Godino, Batanero e Font (2007) autores que se destacam como fontes de estudos que dão as condições de analisar a atividade matemática na resolução de problemas da matemática. Marcos Pinho 88 CAPÍTULO 3 MARCO TEORICO 3.1. INTRODUÇÃO Uma das condições para assegurar o êxito desta investigação é apresentado neste capítulo 3. Nele se desenvolve a visão do que representam os muitos estudos e sua literatura em torno do marco teórico do Enfoque Ontosemiótico da Cognição e Instrução Matemática (EOS), em que se observa as referências existentes e os trabalhos de Godino e colaboradores, que têm nos exemplos os vários estudos que embasam este trabalho, como os de: Godino e Batanero, (1994; 1998); Godino, Contreras e Font, (2006); D’ Amore, Font e Godino, (2007); Font e Contreras, (2008); Godino, Batanero e Font, (2007) e Ramos e Font, (2008). Neste capítulo apresentamos as discussões sobre os sistemas de práticas e avisão particular da atividade ensino e aprendizagem, em que se estabelce uma análise dos elementos da configuração didática e seus conflitos semióticos. Então, se observa a partir do objeto institucional e pessoal. Na sequência é apresentada uma discussão teórica sobre os indicadores: idoneidade didática e os processos de instrução, e como sua aplicação reflete nas investigações sobre a formação do docente. Marco Teorico 89 3.2. O ENFOQUE ONTOSEMIÓTICO DA COGNIÇÃO E INSTRUÇÃO MATEMÁTICA (EOS) O marco que tem como finalidade articular e integrar outros modelos teóricos usados nas pesquisas sobre ensino e aprendizagem da matemática tem suas raízes nos pressupostos antropológicos, a partir das ideias de (Bloor, 1983); (Chevallard, 1992), semióticos e pragmático com (Eco, 1995), Radford, Schubring e Seeger (2008); e compõe com os princípios didáticos do tipo socioconstrutivista de (Enert, 1998) e interacionista de Cobb e Bauersfeld (1995). Por outro lado, o EOS constrói uma aproximação epistemológica e cognitiva que permite construir hipóteses a partir de eixos e fenômenos didáticos na dimensão institucional e pessoal como citam Godino, Font, Contreras e Wilhelmi (2006). Ainda será usado como apoio as ferramentas desenvolvidas pelo EOS sobre a noção de conhecimento matemático, observadas nos estudos sobre ensino e aprendizagem, que se baseiam nas investigações desenvolvidas por Godino e Batanero (1994), (Godino, 1996), Godino e Batanero (1998), os quais estudaram sobre a noção de significado institucional e pessoal de um objeto matemático quando diante de uma situação problema. Dessa forma, parte-se, então, do reconhecimento dos modelos ontológicos e semióticos, que se concretizaram a partir de 1998 como os que melhor descrevem a atividade matemática e os processos de comunicação e sua produção para que ocorra a interpretação dos conceitos, da situação problema, da expressão e dos argumentos dos Marcos Pinho 90 diversos objetos emergentes dos vários tipos de práticas. Outros aspectos discutidos referem-se à construção do modelo teórico na Didática da Matemática e na Instrução Matemática de Godino, Contreras e Font (2006), que possibilitaram distinguir o processo de instrução a partir das dimensões epistêmica (relativa ao conhecimento institucional), docente (função do professor), discente (função do estudante), mediacional (relativo a recurso institucional), cognitiva (gêneses do significado pessoal) e emocional (sobre atitude emocional do estudante diante do estudo da matemática). Assim, se reconhece que o papel do modelo antológico e semiótico da cognição possibilita identificar as situações que podem ocorrer com as trajetórias epistêmicas e cognitivas, bem como em qual situação se encontra a “negociação de significados”, a ponto de construir um caminho para se obter as condições da gestão das trajetórias didáticas (Codino, Batanero e Font, 2008, p.11). A noção de objeto matemático é discutida a partir de determinada situação, por exemplo, Godino e Batanero (1994) fazem uma reflexão teórica a respeito do objeto matemático do significado da expressão média aritmética, quando comentam que o objeto matemático se torna equivalente ao conceito matemático (ideia ou noção matemática). Nesta linha de raciocínio, se adota uma epistemologia pragmática antropológica, que se estabelece em resposta a uma função semiótica, cujo antecedente é o objeto matemático, ou expressão que o designa, tendo como causa a nova construção, que se descreve como o sistema Marco Teorico 91 de práticas matemáticas feitas por um indivíduo (ou compartilhado dentro de uma instituição) de uma determinada classe de situações problemas, Godino e Font (2002). No entanto, para que este conceito se estabeleça, é necessário descrever na matemática a atividade que resulte em um processo de comunicação, ou seja, reconhecer o entendimento gradual sobre a noção de objeto matemático e significado. Considerando que os objetos matemáticos não são apenas os conceitos, podendo ser qualquer representação, entidade ou elemento ao qual se faz referência, que se encontra no imaginário real ou não, que envolve uma atividade matemática. Portanto, esta coesão para afirmar a noção de objeto deve ser ratificada por uma "teoria forte", capaz de representar os vários tipos de objetos apreciados de interesse para descrever a atividade matemática em contextos diferentes e quadros institucionais. Em seguida, clarifica esta posição ontológica, quando se põe em jogo os atributos contextuais definidos e introduzidos no EOS, Godino e Font (2002). O objeto matemático é pragmático ao propor uma formulação do significado dos objetos matemáticos que assumem os pressupostos da epistemologia pragmática: “as categorias opostas de sujeito e objeto passam a um segundo plano, ao atribuir a estas um estatuto derivado, e cede seu lugar privilegiado a categoria de ação” (Faerna, 1996, p. 14). É antropológico, já que seu principal objeto de estudo é o indivíduo que aprende em instituições escolares, e a matemática é o resultado de uma Marcos Pinho 92 construção social realizada em diferentes instituições. Semiótico, porque atribui um papel central aos recursos expressivos utilizados na atividade matemática (Faerna, 1996). Godino (2003) afirma que os objetos são nomeados e descritos por suas definições e relação de propriedades, e, assim, deve-se identificar as definições ou propriedades características. Por outro lado, sabe-se que o significado de um objeto matemático não pode ser reduzido à mera definição de um ponto de vista psicológico e educacional, é o que reconhece (Vergnaud, 1990, p. 135), que observa: "Um conceito não pode ser reduzido à sua definição, pelo menos, se existe interesse no ensino e aprendizagem”. Assim, (Godino, 2003, p. 158) comenta que - “São as situações que dão sentido aos conceitos matemáticos, mas o significado não está nas situações ou representações simbólicas. Portanto, evidencia que existe uma relação do sujeito com as situações e significados. Afirma-se assim, que as atitudes evocadas pelo sujeito individual ou de umasituação, constitui uma sensação significativa desta situação que é expressiva para o indivíduo”. Com base nessas ideias, Godino e Batanero (1994) relacionam o significado dos objetos matemáticos com práticas (operatórias e discursivas) que fazem um sujeito quando se relaciona com esses objetos ou aqueles praticados dentro das instituições. O interesse em identificar nos estudantes como atribuem o significado aos termos e símbolos é uma tarefa importante do ensino da matemática, e, sendo assim, será possível explicar a construção dos significados como Marco Teorico 93 resultado da instrução no ensino e aprendizagem, cujo interesse da matemática é identificar nos alunos como atribuem significado aos termos e símbolos matemáticos, conceitos e propostas, de sorte a explicar a construção desses significados como resultado da instrução. Imagina-se, então, que em um estudo da matemática é possível determinar que práticas possam ser entendidas em um caso particular. Nesta linha, portanto, deve-se ter em mente sistemas práticos (operativos e discursivos), que se apresentam por meio de uma pessoa que desempenha ações que determinam um problema matemático. Nesse caso em específico, o objeto matemático1é o “conceito de média aritmética”, ou seja, o que representa este conceito estudado nas disciplinas do 3° ano do ensino médio da educação básica, o que leva a averiguar o entendimento do professor, estudantes e dos indivíduos. Assim, se constrói uma resposta para uma prática, que é elaborada por torna uma pessoa (significado pessoal), que compartilha, e é utilizada por meio de um livro ou um recurso didático dentro de uma instituição (significado institucional), que tem como meta a resposta de uma situação problema e que converge para encontrar a solução em um 1Inicialmente, usamos a expressão “objeto matemático” como sinônima de “conceito matemático”. Posteriormente, estendemos seu uso para indicar qualquer entidade ou coisa à qual nos referimos, ou da qual falamos, seja real, imaginária ou de qualquer outro tipo, que qual nos referimos, ou da qual falamos, seja real, imaginária ou de qualquer outro tipo, que, usamos a expressão “objeto matemático” como sinônima de “conceito matemático”. Posteriormente, estendemos seu uso para indicar qualquer entidade ou coisa à qual nos referimos, ou da qual falamos, seja real, imaginária ou de qualquer outro tipo, que intervém de alguma maneira na atividade matemática. Este uso geral ou débil de objeto é o mesmo realizado no interacionismo simbólico (BLUMER, 1969), (Godino, Batanero e Font, 2006). Marcos Pinho 94 conjunto de dados, Godino, Batanero e Font (2007). “Con esta formulación del significado el EOS asume los presupuestos de la epistemología pragmatista”, (Godino, Batanero e Font, 2007, p. 5). Esta noção de significado ilustrada no (Quadro 2), que se segue, onde se vê as referências sobre média, são o exemplo de que pesquisas vêm sendo desenvolvidos e muitas vezes são usadas informalmente nos estudos educacionais na filosofia e na lógica. Este é o sentido que corrobora com o papel relevante da ideia de significado, (Godino e Batanero, 1994). No entanto, se observa na teoria ontosemiótica que há uma evolução, e esta tem incidido em pesquisas educacionais sobre o ensino e aprendizagem, em que se considera de forma expressiva a questão central, de como ocorre o conhecimento matemático dentro de várias instituições. Esta visão se completa quando se observa em detalhes as complexas relações entre significados institucionais de objetos matemáticos e significados pessoais construídos pelos sujeitos. No entanto, o estudo com essa noção tem como ponto de vista didático necessariamente contribuir para ajudar a compreender as relações entre as várias formulações dos autores apresentados, que tratam das teorias sobre significados (quadro 2, abaixo), que permitem uma visão na perspectiva de que se pode estudar as questões de investigação, nomeadamente as relativas à avaliação dos conhecimentos e da organização dos processos de instrução sobre média aritmética, a partir da identificação dos distintos significados dos objetos matemáticos e suas distinções, (Godino e Batanero, 1994, p.21): Marco Teorico 95 QUADRO 2 - SINTESE DE ESTUDOS SOBRE MÉDIA ARITMÉTICA E SEUS SIGNIFICADOS, 1981-2017 Autor (es) / Ano Objetivos / Significados Pollatsek, Lima e Well (1981) Em seus estudos sugerem que um percentual significativos dos estudantes calculam incorretamente a média simples e ponderada, a partir de uma tabela de frequência. Russell e Mokros (1991) Desenvolveu estudos no sentido de aferir a classificação atribuídas pelos estudantes a expessão média. Li e Shen (1992) Demonstra que os estudantes fazem uso frequente do cálculo da média em todas as fases de estudos. Mevarech (1983) Sugere em seus estudos que erros dos estudantes nos cálculos das medidas de tendencia central é causado por conta da não identificação dos axiomas que definem a média. Eisenbach (1994) Desenvolveu estudo no sentido de aferir a terminologia usual das medidas, média, mediana e moda. Batanero e cols (1994) Desenvolveram estudos sobre os conceitos estatísticos básicos, medidas que foram indicativos para os novos currículos do ensino secundário e básico. Batanero e Tormo (1995) Desenvolveu estudos em diferentes idades, que demonstram as dificuldades em procedimentos e conceitos sobre a média. Cai (1995) Comprovou através de estudo que os estudantes entre 12-13 anossão capazes de usuar corretamente o algoritmo da média. Reading e Pegg (1996) Identificou como estudantes entre 7-12 anos são capazes de resumir em conjunto de dados representados por tabelas e gráficos a idéia de mediadas de tendência central. Marcos Pinho 102 cognitivos e os processos matemáticos que estão relacionados uns aos outros, permitindo que se formem as "configurações" (Font, Godino e D'Amore, 2007), e estes têm o propósito de descrever o conhecimento matemático, tanto na versão pessoal quanto institucional. As configurações didáticas são consideradas epistêmicas (objetos institucionais) e cognitivas (objetos pessoais), sendo a base do enfoque teórico, que tem início a partir das noções sobre os significados institucionais e pessoais dos objetos matemáticos, citados por Godino e Batanero (1994; 1998), representados na figura 6, que tem os pressupostos para enfatizar o papel do conhecimento institucional matemático, considerando importante o indivíduo como foco central do esforço educativo como afirma (Godino, Recio, Roa, Ruiz e Pareja, 2005, p.4): Dentrodel “enfoque ontosemiótico” se están introduciendo nuevas herramientas teóricas que permitan abordar el estudio de los fenómenos de instrucción matemática. Estas nociones se describen como “Teoría de las Configuraciones Didácticas” (Godino, Contreras y Font, en prensa), donde se modeliza la enseñanza y aprendizaje de un contenido matemático como un proceso estocástico multidimensional compuesto de seis subprocesos (epistémico, docente, discente, mediacional, cognitivo y emocional), con sus respectivas trayectorias y estados potenciales. Como unidad primaria de análisis didáctico se propone la configuración didáctica, constituida por las interacciones profesoralumno a propósito de una tarea matemática y usando unos recursos materiales específicos. Se concibe como Marco Teorico 103 una realidad organizacional, como un sistema abierto a la interacción con otras configuraciones de las trayectorias didácticas de las que forman parte. El proceso de instrucción sobre un contenido o tema matemático se desarrolla en un tiempo dado mediante una secuencia de configuraciones didácticas. Dentre as entidades matemáticas consideradas nas configurações didáticas pelos autores, quando realizam e avaliam uma prática matemática, estão os seis elementos de análise, constituídos por: situações-problema, linguagem, conceitos, proposições, procedimentos e argumento. Essas entidades se articulam formando uma configuração (Font e Godino e D’Amore, 2007). O entendimento básico destes princípios permitiu reconhecer a visão da lição sobre o conceito de média aritmética, proposto no estudo. Considera-se que a prática matemática exige que se adotem conhecimentos, e esses se manifestam via uma pessoa (significado pessoal), que age através de uma situação problema, que é compartilhada por uma instituição (significado institucional), e requer a noção de sistema de práticas, que exige que se adote uma forma particular para comparar os conhecimentos matemáticos distintos nos marcos institucionais (Font, Godino, D’Amore, 2007). Estas ferramentas teóricas permitem compreender o estudo dos fenômenos de instrução matemática, “Teoria das Configurações Didáticas” (Godino, Contreras e Font, 2006), que modela o ensino e aprendizagem de um conteúdo matemático, que, no caso específico da Marcos Pinho 104 configuração epistêmica, esta se aplica à noção de função semiótica, e analisa as ações categorizando os objetos matemáticos, ou seja, propõe critérios para categorizar os processos, conforme segue: 1Linguagem (termos e expressões, notações, gráficos...), que podem ser representados em forma de textual, oral, gráfica ou gestual; 2Situações-problema (problemas, aplicações extramatemática, exercícios), que são a origem e a razão da atividade matemática; 3Conceito e Definição (introduzem mediante definições ou descrições; reta, ponto, número, média, função...)– interpreta o objeto/contexto de referência em uma situação-problema; 4Proposições (atributos, que se descrevem usualmente como enunciados ou propostos), como pode se desenvolver a matemática; 5Procedimentos (algoritmos, operações, técnicas de cálculos...); 6Argumentos (enunciados usados para validar ou explicar as proposições e procedimentos, dedutivos), estes justificam os procedimentos e proposições que relacionam os conceitos entre si. Marco Teorico 105 FIGURA 6 – COMPONENTES DA CONFIGURAÇÃO DIDÁTICA FONTE: HTTP://ENFOQUEONTOSEMIOTICO.URG.ES.//INDEX.HTML-2016 As configurações didáticas (figura 6) foram tomadas como ferramenta de análise para descrever, explicar e valorizar os processos de instrução matemática, como, por exemplo, quando está ensinado o conteúdo de média aritmética. 3.2.4. Conflitos semióticos Conflito semiótico se identifica a partir da existência de disparidades e dificuldades vivenciadas pelos estudantes quando diante de situação problema e de outras atividades, particularmente, quando se Marcos Pinho 106 deparam com um processo de ensino e aprendizagem de matemática. Geralmente, ocorre em uma sala de aula, ou seja, quando se encontra com diferenças entre os significados atribuídos a uma expressão por dois sujeitos, pessoal e institucional, é comum quando se analisa um episódio de estudo e se encontra quase que sempre com o conflito semiótico entre o professor e o estudante (Godino, Font, Wilhelm e Lurdy, 2009, p.16-17): A noción de conflicto semiótico se ha introducido como una explicación de los errores, dificultades y obstáculos de los estudiantes para el aprendizaje de un contenido matemático, y en general, en las dificultades surgidas en la comunicación en el aula. Pero la relatividad de los sistemas de prácticas (y por tanto, de los significados) a los marcos institucionales, y las relaciones ecológicas entre las instituciones (dominancia, subordinación, dependencia), lleva a considerar útil una generalización de la noción de conflicto semiótico. Un conflicto semiótico es cualquier disparidad o discordancia entre los significados atribuidos a una expresión por dos sujetos (personas o instituciones) en interacción comunicativa. Si la disparidad se produce entre significados institucionales hablamos de conflictos semióticos de tipo epistémico, mientras que si la disparidad se produce entre prácticas que forman el significado personal de un mismo sujeto los designamos como conflictos semióticos de tipo cognitivo. Cuando la disparidad se produce entre las prácticas (discursivas y operativas) de dos sujetos diferentes en interacción comunicativa (por ejemplo, alumno-alumno o alumno-profesor) hablaremos de conflictos (semióticos) interaccionales. Marco Teorico 107 Godino, Batanero e Font (2007) fazem referências clarasquando citam que ocorre a disparidade entre os significados institucionais está se falando de conflitos do tipo semiótico epistêmico. Se esta disparidade é entre as práticas que formam o significado pessoal favorável a si, então, se designa conflitos semióticos cognitivos. Considerando que há diferença entre as práticas discursivas (operacionais), ou seja, se existem dois assuntos diferentes em interação comunicativa (por exemplo, entre aluno-aluno, ou professor-aluno), aí se está diante de um cenário em que se discute conflitos semióticos internacionais, que ocorrem entre pessoas (Mayén, Batanero e Díaz, 2009). Reconhecida uma situação problema, o professor e o estudante seguem uma sequência de atividades e interações com a finalidade de torná-los capazes de solucionar ou relacionar uma prática didática em um problema matemático. Porém, é possível a ocorrência de disparidades de interações didáticas no processo de instrução, que poderão comprometer as interações didáticas, criando uma contradição do professor e o estudante diante de uma prática que se realiza no que se configura, no entendimento sobre conflito semiótico, de acordo com Godino (2002; 2003); Godino, Batanero e Font, (2007); Godino e Font (2007b) ressaltam a importância dos conflitos semióticos nas práticas matemáticas, pois só assim é possível observar aspectos que dizem respeito ao domínio dos objetos ostensivos (símbolos, gráficos e etc) e não ostensivos (textos, gestos e outras representações), que têm a preocupação de entender os processos matemáticos e seus sistemas de Marcos Pinho 108 práticas que envolvem o sujeito (pessoal ou institucional) (Godino e Font, 2006, 14 (3), pp. 325-355): En las prácticas matemáticas intervienen objetos ostensivos (símbolos, gráficos, etc.) y no ostensivos (conceptos, proposiciones, etc., que evocamos al hacer matemáticas) y que son representados en forma textual, oral, gráfica o incluso gestual. De los sistemas de prácticas matemáticas operativas y discursivas emergen nuevos objetos que provienen de las mismas y dan cuenta de su organización y estructura. Si los sistemas de prácticas son compartidos en el seno de una institución los objetos emergentes se consideran “objetos institucionales”, mientras que si tales sistemas corresponden a una persona los consideramos como “objetos personales”. La noción de emergencia se puede relacionar, desde el punto de vista de los objetos personales, con los procesos cognitivos que Sfard (1991) describe como interiorización, condensación y reificación, mientras que desde el plano institucional se relaciona con los procesos de comunicación, simbolización y regulación. La emergencia de los objetos también está relacionada con la metáfora ontológica (Lakoff y Núñez, 2000), que lleva a considerar acontecimientos, actividades, ideas, etc. como si fueran entidades (objetos, cosas, etc.). Contudo, esta visão hoje se alarga, a partir do entendimento de que existe uma diversidade de interações didáticas, que podem ocorrer em qualquer processo de instrução, indicando a presença de questões que Marco Teorico 109 apontam para distinções entre os significados atribuídos a uma expressão, que se apresenta em um texto matemático, que ocorrem a partir de uma diferença imposta por meio de dois indivíduos (pessoa ou instituição), que caracteriza um conflito semiótico. 3.3. NÍVEIS DE ANÁLISE DO PROCESSO DE UM ESTUDO MATEMÁTICO Muito se observa que nos últimos 20 anos houve um interesse maior nas discussões sobre a problemática que descrevem estudos que fundamentam investigações no campo da educação matemática. Assim, observa-se que há o desenvolvimento de diferentes ferramentas teóricas, que consistem em se aproximar de algumas das questões que mencionam aspectos da didática do ensino e aprendizagem, e nestas condições é que denota-se a importância de conhecer o aspectos sobre o significando e aprendizagem das medidas de tendência central. Como indica Godino (1996, p. 418), "el problema de la comprensión está, por consiguiente, intimamente ligado a cómo se concibe el propio conocimiento matemático. Los términos y expresiones matemáticas denotan entidades abstractas cuya naturaleza y origen tenemos que explicitar para poder elaborar una teoría útil y efectiva sobre qué entendemos por comprender tales objetos. Esta explicitación requiere responder a preguntas tales como: ¿Cuál es la estructura del objeto a comprender? ¿Qué formas o modos posibles de comprensión existen para cada concepto? ¿Qué aspectos o componentes de los conceptos matemáticos es posible y deseable que aprendan los estudiantes en un Marcos Pinho 110 momento y circunstancias dadas? ¿Cómo se desarrollan estos componentes? Considerando as discussões em torno dos conceitos estatísticos, vamos observar o caso particular sobre a mediana, uma medida que se aproxima da média aritmética, em muitos aspectos, que foi retratada por Godino (2002) quando usou como exemplo a teoria da semiótica para melhor descrever um objeto matemático. A partir dessa ideia, Godino distingue cinco componentes relacionados ao significado do conceito: 1o campo de problemas do qual o conceito emergiu (elementos fenomenológicos); 2as representações dos conceitos (elementos representacionais); 3os procedimentos e algoritmos (elementos processuais); 4as definições do conceito, suas propriedades e relações para outros conceitos (elementos conceituais ou intensivos); 5-os argumentos e provas (elementos de validativos). Segundo Godino (2002), “uma investigação em educação estatística bem fundamentada requer uma teoria para entender, no caso das médias, por exemplo, que a sua compreensão exige que se saiba a definição mental de uma pessoa sobre essa medida. Médias são entidades culturais muito complexas que não incluem só as definições puramente delas”. Godino (2002, p.2) comenta que: “Para la educación matemática, tanto en su vertiente de acción práctica, como de campo de conocimiento científico, es importante clarificar el uso del lenguaje cognitivo, esto es, de las herramientas teóricas que usamos para referirnos tanto a los objetos de enseñanza (contenidos, conocimientos Marco Teorico 111 o saberes) como a los aprendizajes de los estudiantes (concepciones, esquemas, comprensiones, competencias, capacidades, destrezas, etc)”. Considerando a importância do referencial teórico, o significado do conceito matemático pode se ajustar de acordo com o interesse da instituição, onde se observa as condições dos instrumentos semióticos que se encontram disponíveis no contexto da análise, no entanto, o ambiente de aprendizagem onde são apresentados os significados, estes são determinantes para que o conceito ensinado, por exemplo, no espaco escolar seja absorvido. Porém, o estudante pode não aplicar, ou seja, o uso do significado não obedeçeu exatamente o que foi proposto no processo de ensino, (Cobo e Batanero, 2004). Assim, um significado elementar é o conteúdo ao qual o autor deuma expressão recorre, ou o conteúdo que ele interpretaGodino e Batanero (1994) comentam sobre a importância da ideia de significado para a Didática e destaca o comentário de Balacheff (1990 p. 258), em que cita, que: "Um problema pertencente a uma problemática de pesquisa sobre o ensino de matemática, está especificamente relacionado, com o significado matemático do comportamento dos alunos na aula de matemática". No entanto, observa-se que são nos estudos desenvolvidos no marco do enfoque ontosemiótico do conhecimento matemático, que são apontados e discutidos os diferentes níveis de análise didática e as possíveis situações e resoluções de problemas matemáticos que Marcos Pinho 118 afirmam Hiebert, Morris e Glass (2003), que consideram a existência de dificuldades na formação de professores, embora isso seja persistente em educação matemática, pode ser superado com orientações de maneira global e sistemática, aplicando a valorização da idoneidade didática, envolvendo novas propostas curriculares, programações de aulas e as próprias experiências de ensinoaprendizagem já vivenciadas na atualidade. O que se espera, portanto, é uma didática da matemática que aporte as condições para que se possa melhor ajustar os processos de ensino e aprendizagem da matemática, a partir de critérios de “idoneidade”, como citam Breda, Font e Lima (2015). Seguimos no capítulo seguinte as nossas discussões sobre os aspectos metodológicos que definirão os eixos elemntares do nosso estudo e quando iniciaremos os processos de definições dos princípios teóricos que serão utilizados. 3.5. INDICADORES DE IDONEIDADE DIDÁCTICA A noção de idoneidade didática e suas dimensões tem sua origem no EOS, a partir dos estudos de Godino, Contreras e Font (2006); Godino, Bencomo, Font e Wilhelmi (2007). Esta ferramenta tem as condições de formalizar uma ação didática que permite orientar uma teoria de desenho institucional (Teoria de Idoneidade Didática), de maneira sistêmica, abordando as dimensões: epistemológica, cognitiva, Marco Teorico 119 afetiva, interacional, mediacional e ecológica. A Figura 8 resume as principais características da referida noção (Godino, 2013). FIGURA 7 – HEXÁGONO REGULAR DA IDONEIDADE DIDÁTICA FONTE: CUADERNOS DE INVESTIGACION FORMACION EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2013 ANÕ 8 NÚMERO 11. 3.5.1. Indicadores/descritores Foi importante observar as ações efetivas sobre problemas que envolvem a aplicação de uma teoria específica, que podem ajudar o Marcos Pinho 120 professor em uma atividade didática. Esta situação requer uma valorização definida por meio de indicadores/descritores que expliquem o que pensa o indivíduo em uma atividade de classe. Os descritores são efetivados pelo professor na prática docente. Estas abordagens são identificadas na ação pedagógica e se aplicam no momento em que são feitas, por exemplo: em uma avaliação, na resolução de problemas, ou seja, são condições educativas desenvolvidas a partir de diretrizes curriculares responsáveis por definir as diversas dimensões que estruturam os componentes e exigem que sejam elaborados indicadores para melhor aferir os aspectos formativos e de valorização do que foi submetido um processo de intrução. No capítulo 5 apresentamos alguns indicadores da idoneidade que foram submetidos às análises deste estudo. Godino, Bencomo, Font e Wilhelmi (2007) em seus estudos, sinalizaram um sistema de indicadores que serviram de guia para a análise e avaliação da idoneidade e didática. Estes foram projetados para um processo de instrução em qualquer estágio educacional. Por outro lado, a escolha dos critérios de análise deste estudo exigiu a definição de um conjunto de indicadores observáveis que pudessem contribuir para avaliar o grau de idoneidade e de cada uma das facetas do processo deste estudo. Assim, considera-se o propósito da análise, que envolveu o estudo de livros didáticos, tendo como foco observar o conceito de média aritmética apresentado nas lições de estatística. Portanto foi pertinente usar a adaptação desses componentes e Marco Teorico 121 descritores para desenvolver as análises que foram construídas e se apresentam no (capítulo 5) relacionadas à ideia de que um dos componentes do conhecimento didático-matemático do professor permite valorizar e justificar a melhoria os processos de ensino e aprendizagem da matemática. Por outro lado, este modelo é formado por cinco níveis de análise, que possuem cada um, suas respectivas ferramentas baseadas em Font, Planas e Godino (2010), Pochulu e Font (2011): 1) Identificação de práticas matemáticas. 2) Elaboração de configurações de objetos e processos matemáticos. 3) Análise das trajetórias e das interações didáticas. 4) Identificação do sistema de padrões e meta-padrões. 5) Avaliação da idoneidade e didática do processo de instrução, que se destacam nos estudos desenvolvidos por Breda, Font e Lima (2015). A seguir será apresentada a descrição dos seis componentes da idoneidade e didática citados por Godino, Batanero e Font (2007), que articulam o processo coerente e sistêmico de instrução. 1. Idoneidade e epistêmica: este componente valoriza o grau de adequação dos conteúdos matemáticos ensinados (representatividade dos significados institucionais implementados), em relação a um significado ou conteúdo de referência, que é consertado nas diretrizes curriculares e pelo significado do sujeito dentro de matemática. 2. Idoneidade e cognitiva: avaliação do grau em que os significados dos conteúdos ensinados ou destinados estão disponíveis para os estudantes, bem como o grau em que os alunos adquirem os significados pretendidos pelo professor para Marcos Pinho 122 os objetos matemáticos ensinados (os significados pessoais dos alunos são adaptados aos destinados pelo professor). 3. Idoneidade e Interacional: Grau em que a organização do ensino permite identificar conflitos semióticos e resolvê-los durante o processo de instrução. Os autores denominam conflito semiótico os conflitos de interpretação de expressões ou regras matemáticas por parte dos alunos, no que diz respeito ao significado do qual o mesmo tenta transmitir o professor. 4. Idoneidade e mediática: é uma questão de avaliar a disponibilidade e adequação dos recursos necessários ao desenvolvimento do processo ensino-aprendizagem. 5. Idoneidade e emocional: grau de interesse e motivação dos alunos no processo de estudo. 6. Idoneidade e ecológica: em que medida o processo de estudo realizado é adequado em relação aos currículos oficiais, relaciona-se com outros assuntos e, em geral, com a vida do aluno. Seguimos no capítulo 4 com asdiscussões sobre os aspectos metodológicos que definiram os eixos elemntares do nosso estudo, e dano início aos processos que demarcaram os princípios teóricos que foram utilizados neste estudo. 123 CAPÍTULO 4 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS 4.1. INTRODUÇÃO Neste capítulo são apresentadas as questões de investigação que norteia a finalidade da pesquisa e os procedimentos metodológicos. No entanto, considerando-se que se trata de uma investigação qualitativa, dotipo descritivo, que tem com princípio, o dever de informar todos os dados que compõem a realidade que se apresenta na pesquisa, Bogdan e Biklen (1994). Contudo, foi importante e necessário que tivéssemos uma atenção redobrada da situação estudada, pois exigiu uma maior preocupação com as características dosresultadose seuprodutode estudado. Nesse contexto, foi interessantenesta pesquisa estudar não só problemadeterminado mais também, como ele se manifestou em seus aspectos teóricos e se desenvolveu as análises e os procedimentos observados nas interpretações da pesquisa. É importante enfatizar a preocupação com a utilização das informações, que se obteve no processo de construção da investigação, que serviram para medir os aspectos quantitativos, e assim chegar às análises básicas da Estatística. Se reconhece que oestudo é qualitativo por causa dos arcabouços observados e as características que apontaram na linha que ensejava: explorar, descrever e gerar visões comuns, que Marcos Pinho 124 quando combinadas com os dados obtidos nas análises quantitativas permitiu uma interpretação dos vários documentos do estudo. "Os estudos exploratórios são realizados, geralmente, quando o objetivo é examinar um tema ou problema de pesquisa raramente estudado ou que não tenha sido abordado antes" (Hernández, Fernández e Baptista, 2006, p. 57). No âmbito dos procedimentos, esta pesquisa se enquadra como pesquisa documental, por se configurar como (Oliveira et al. 2011. p. 15): Um procedimento metodológico decisivo em ciências devido ao fato da maior parte das fontes escritas (ou não) serem quase sempre a base do trabalho de investigação, podendo se caracterizar como principal objeto de concretização da investigação ou se constituir como instrumento metodológico complementar. O estudo com esta natureza possibilita direcionar e indicar caminhos para explorar os conteúdos dos documentos utilizados, tais como a aplicação de instrumentos de coleta de dados e a análise do livro didático, tendo em vista um tratamento qualitativo dos dados, e, na medida do possível, apresentar uma análise descritiva com ferramentas da estatística. O interesse neste estudo foi o de fazer interpretações sobre os significados atribuídos aos indivíduos (professor) e analisar as Procedimentos Metodológicos 125 características de informações obtidas nos questionários e no livro didático, considerando as realidades de cada etapa do estudo, queenvolveu formas de consultas diferentes, o que não permitiu generalizar os resultados do estudo. Apresenta-se também uma abordagem descritiva no estudo desta tese, em que se procurou desenvolver algumas análises sobre vários aspectos de interesse do estudo e com riqueza de detalhes, em que se considerou o nível de especificidade do instrumento, o questionário utilizado para obter as informações sobre os professores que participaram desse momento, o que, segundo Dankhe (1986), citado em Hernández et al (2006), é natural esses procedimentos quando se deseja analisar aspectos importantes de uma investigação. Nesse contexto, levanta-se a seguinte questão de pesquisa: como se dá a compreensão do conceito de Média Aritmética por parte de professores da educação básica, especificamente professores matemáticos, fiscos, biólogos, geógrafos, e respectivos alunos da 3ª Série do Ensino Médio de uma de escola pública da cidade de Salvador? E como é apresentado este conceito nos livros didáticos usados por esse público? 4.2. TÉCNICAS DA PESQUISA As análises quantitativas e qualitativas utilizadas para fazer o estudo, se pautaram inicialmente por definir a grandeza para cada Marcos Pinho 126 situação (questionários aplicados aos professores e livro didático) analisada, considerando a peculiaridade do conteúdo de estatística, que trata particularmente do conceito de média aritmética. No caso específico da análise qualitativa, se observou se a informação sobre média aritmética era um aspecto importante da abordagem nas várias etapas do estudo, ou seja, se a presença do conteúdo de estatística foi uma característica fundamental na análise (Krippendorff, (1990); e Hernández et al (2006)). As análises exigiram identificações detalhadas das etapas, o que envolveu o exame dos livros didáticos e a aplicação de questionários com os professores, foco da investigação, tendo em conta os pormenores de como ocorrem os processos de ensino e aprendizagem no âmbito da escola, sendo, então, estabelecido desde o início da pesquisa, um estudo simples sobre a legislação, avaliação do currículo proposto de estatística para educação básica, suas ementas, análises de bibliografias sobre a temática, e teorias sobre o ensino aprendizagem da matemática e estatística. Depois passou-se pelo papel do professor, que toma conhecimento sobre o estudante, e chegou-se até o livro didático adotado na escola. Portanto, todos estes elementos contribuíram de forma efetiva para descrever em detalhes as particularidades utilizadas na pesquisa qualitativa conforme se refere Malhotra (2006). Contudo, a pesquisa com perfil qualitativa se desenvolve de forma não-estruturada, e se caracteriza pela natureza exploratória dos dados, se baseando em Procedimentos Metodológicos 127 pequenas amostras, o que justificou a adoção desse recurso metodológico (Gouveia, 2011). A realização dessa pesquisa envolveu a análise documental da proposta curricular, dos livros didáticos e do componente curricular de matemática adotado pelas escolas do Estado da Bahia, além da análise exploratória dos dados observados nos questionários aplicados junto aos professores do ensino médio de escolas públicas da cidade de Salvador no período de 02/2006 a 12/2013. Os dados coletados foram analisados a partir de referencial teórico, que propiciou subsídios para diagnosticar a percepção dos professores e o tratamento dedicado ao ensino de Estatística, particularmente o conceito de média aritmética. Construídos, a partir das análises dos livros didáticos e dos questionários que foram aplicados juntos aos professores, foram desenvolvidos os estudos seguindo o marco teórico do EOS, com a finalidade de discutir os objetivos e hipóteses do estudo e, assim, desenvolver as análises dos resultados obtidos, considerando que se teria uma maior segurança de afirmação, consolidação da interpretação sobre as evidências que justificam a presença do ensino e aprendizagem de estatística na educação básica e, em particular, sobre o conceito interpretado de média aritmética como conteúdo ensinado na 3ª série do ensino médio, na educação básica. Nesta perspectiva, foi apreciado qual o sentido de estudar e o entendimento sobre ensino e aprendizagem dessa lição pelo professor, e como este conteúdo é apresentado no livro didático, tendo em vista Marcos Pinho 230 5.12. CONSIDERAÇÕES SOBRE A ANÁLISE DOS QUESTIONÁRIOS No cenário descrito, em que se desenvolveram partes destas análises e permitiram entender o ponto de vista do professor sobre as soluções apresentadas para as respostas dos itens do questionário a respeito dos conteúdos de estatística e, em particular, medidas de tendência central, tendo como foco principal a conceituação de média aritmética. Esta apreciação buscou reconhecer a complexidade que tem o objeto matemático média aritmética no contexto que envolve os processos de ensino e aprendizagem da Matemática e Estatística, ou seja, observa-se a atividade matemática e faz-se uma avaliação dos conflitos potenciais, a partir de informações sobre as condições, capacidade e didática do professor no processo de ensino e aprendizagem. Nesta etapa do trabalho foi possível caracterizar os componentes do significado média aritmética presentes como conteúdos nas disciplinas do 3° ano da educação básica do ensino médio. Quanto ao questionário, este foi considerado preponderante e teve atenção especial na totalidade dos itens, cujos requisitos e expectativas foram discutidos neste capítulo 5 quando tratou de cada item elaborado e teve como foco de interesses obter informações sobre o conhecimento do professor acerca da estatística. Portanto, houve uma preocupação com relação aos contextos vivenciados pelos professores em suas atividades didáticas (Linhares 2009, apud Batanero, Gómez, Contreras e Díaz, 2015). Análises e Discussão dos Dados 231 Muitos dos argumentos elencados foram possíveis de constatar a partir das respostas dos questionários, associados com os pressupostos sugeridos por esta pesquisa, no capítulo 3, que se refere à metodologia e aos objetivos do estudo, que, por si só, justifica a investigação. Estas constatações podem ser observadas nos resultados apresentados nas tabelas e análises desenvolvidas, que retratam os resultados e as conclusões obtidas no estudo descritivo a nas respostas dos questionários. Estes resultados apontam para uma preocupação de Batanero (2000) que afirma (Batanero, 2000, pp. 41-58): La estadística es enseñada, tradicionalmente, como parte de la asignatura de matemáticas por el profesor de esta materia. Nos encontramos com la paradoja de pedir a estos profesores que impartan um nuevo contenido, para el que no todos han tenido una formación didáctica específica, porque la didáctica de la estadística no está aún suficientemente desarrollada. Mientrasque la estadística como ciencia, está em un periodo de notable expansión, el número de investigaciones sobre la enseñanza de la estadística es aún es caso, y sólo estamos comenzando a conocer lãs principales dificultades de los alumnos em los conceptos más importantes. Es también preciso experimentar y evaluar métodos de enseñanza adaptados la anaturaleza específica de la estadística, a la que no siempre se pueden transferir los princípios generales de la enseñanza de las matemáticas. Marcos Pinho 232 Em resumo, o estudo indica que os professores reconhecem a importância prática da estatística, considerando que seus conteúdos passaram a fazer parte das disciplinas da educação básica, a partir do novo PCNM. No caso específico da nossa pesquisa com os professores, cuja preocupação foi observar o reconhecimento sobre a média, viu-se que os professores, de certa maneira, buscam defir um conceito, que muitas vezes são concretizados, porém, muito generalistas e apresentam conflitos de interpretação, ou seja, se deduz que há dificuldade por parte dos professores em compreender o conceito, o papel da média aritmética e da sua aplicação. Assim, é natural que se exiga uma maior dedicação e tempo para que este conteúdo possa ter mais significado no ensino de estatística na educação básica, de sorte a torná-los mais preparados para exercer o ensino de estatística. Resultados semelhantes foram observados em investigações desenvolvidas por Ortiz e Font (2014) Ruiz, Arteaga e Batanero (2009) e Batanero, Arteaga, Serrano e Ruiz (2014) e Batanero, Gómez, Contreras e Díaz (2015), em que se identificaram dificuldades de professores, em particular da educação primária, na utilização da média aritmética. Por outro lado, espera-se que, como importantes são as medidas que devam propiciar uma nova perpectiva para o ensino desses conteúdos de estatística, deve-se levar em conta o momento da formação do professor, ou seja, em seu início de graduação, de modo que facilite a assimilação dos elementos do significado epistêmico conhecimento institucional, Godino e Batanero (1994). Como consequência, teremos um livro didático mais acabado e possível reflexo dos resultados no ensino e Análises e Discussão dos Dados 233 na aprendizagem, decorrendo em melhor compeensão e uso da estatística pelos professores e estudantes. Com respeito à construção do entendimento sobre a interpretação desta parte do estudo aqui desenvolvido, ressalta-se o valor e a dimensão dessa análise, que se restringiu à particularidade do entendimento do professor sobre o conceito de média aritmética. Porém, neste momento sempre se considera e reconhece as sínteses, pressupostos e os princípios que definiram o estudo e que fezeram enxergar a necessidade de conhecer os elementos da instrução matemática que orienta a presença dos conteúdos de estatística nas disciplinas do 3° ano do ensino médio da educação básica. No caso específico deste estudo, tratou-se do conceito de média aritmética, em que foram analisados os componentes do significado e em que condições se desenvolve o ensino e a aprendizagem desse conteúdo de estatística no 3° ano do ensino médio, nas disciplinas de matemática, e o seu uso pelos professores de outras disciplinas. Por outro lado, fica clara a necessidade do professor ter maior atenção para exercer, em condições ideais, as exigências legais propostas pelo currículo da educação básica. Assim, é de se esperar que possam realizar as práticas de ensino e aprendizagem desses conteúdos de estatística nas atividades das disciplinas. 5.13. ANÁLISE DO CONTEÚDO DA MÉDIA NOS LIVROS DIDÁTICOS Considerando a existência de inúmeros estudos que envolvem a análise de livro didático de matemática, observa-se que há um número crescente de pesquisa nesta área. Por exemplo, em 2013 o Jornal Marcos Pinho 234 Internacional de Educação Matemática, dedicou, como tema, no volume 45, nº 5, somente monografias voltadas para aspectos que retratassem "livros de Investigação em Educação Matemática". No caso específico da Educação Estatística, este cenário ainda exige maior empenho. Contudo, destacam-se muitos estudos desenvolvidos na área de estatística, que teve início na Universidade de Granada, como os estudos de Ortiz (1999) e os mais recentes de Gea, Batanero, Canadas e Arteaga (2013) ou Gomez Ortiz e Gea (2014), em variados temas cujas pesquisas desenvolveram análises de livros didáticos do ensino Primário, da Educação Básica e Graduação (Ruize Castro, 2015). Portanto, está-se diante de uma oportunidade e motivação no sentido de desenvolver o trabalho tendo a expectativa de atender às particularidades do estudo. No caso específico deste trabalho, há uma preocupação com a caracterização dos componentes do significado do conteúdo média aritmética, que é definido no livro didático (Godino e Batanero, 1994; 1998) e Batanero e Godino (2006), quando discute o papel do significado institucional e pessoal do objeto matemático. A utilização do EOS como referencial teórico nas análises sobre o livro didático do ensino da matemática torna-se importante neste estudo, pois considera noções do conhecimento matemático, de ensino e modelo de aprendizagem, que discute: um modelo epistemológico baseado em suposições e antropologia sócio-cultural; um modelo de cognição em bases semióticas; um modelo de instrução sobre bases sócioconstrutivistas, ou seja, um modelo que se referencia no enfoque teórico da didática da matemática e integrado a Análises e Discussão dos Dados 235 pontos de vista e noções teóricas de análises do conhecimento matemático do ensino e da aprendizagem Ortíz e Pastells (2015). Como sequência desse estudo foi construído um nível de análise em que foram observados os 6 (seis) livros didáticos, onde se consideram os processos matemáticos e seus conflitos semióticos como observou Font, Planas e Godino (na imprensa). Assim, foi estruturada a análise, seguindo os pontos de vista da elaboração definida a partir da visão da teoria do EOS que, leva em conta a configuração didática dos objetos e processos matemáticos, que considera que estas condições podem contribuir com o entendimento da relação entre o professor, o estudante e o livro didático em uma prática matemática (Font, Planos e Godino na imprensa), quando discutiu um modelo de análise em educação matemática. Por outro lado, sabe-se que, em momento nenhum, o livro poderá ser um substituto do professor, e sim uma referência para contribuir na elaboração das atividades pedagógicas e nas lições de aula (Brasil, 2006, p.7): Longe de ser a única possibilidade de trabalho, o livro didático é um instrumento que, utilizado como complemento do projeto político pedagógico da escola, certamente contribuirá para promover a reflexão e a autonomia dos educandos, assegurando-lhes aprendizagem efetiva e contribuindo para fazer deles cidadãos participativos. Marcos Pinho 236 A análise das lições apresentadas no livro didático sobre as medidas de tendência central, e, em particular, a média aritmética, seguem o processo de instrução matemática proposto nos estudos desenvolvidos por Godino e Batanero (1994; 1998), que leva em conta a teoria do significado institucional e pessoal do objeto matemática, que descrevem na faceta epistêmica e cognitiva, unidades de análise. Estas são abordadas na “Teoria da Configuração Didática” de Godino, Contreras e Font (2006), como ferramentas para análises distintas compostas por: situação problema, linguagem, conceitos, proposições, procedimentos e argumentos que analisam uma trajetória didática. Sendo que “en cada caso, estos objetos estarán relacionados entre sí formando “configuraciones”, definidas como las redes de objetos intervinientes y emergentes de los sistemas de prácticas y las relaciones que se establecen entre los mismos”, (Godino, Recio, Roa, Ruiz e Pareja, 2005, p.4). Em sendo assim, a análise do livro didático organizou-se na observação de como são apresentados os conceitos de média aritmética que foram identificados e interpretados pelos componentes do conhecimento da configuração didática e a disparidade entre os objetos e significados atribuídos às expressões pelo sujeito institucional e pessoal abordado nos diversos estudos Godino, 2002, Godino, Batanero e Roa (na imprensa). Esses estudos fazem relação com a noção da função semiótica, ao tempo que se discute a presença de possíveis conflitos semióticos, citados nos trabalhos descritos por Godino, Batanero e Font Análises e Discussão dos Dados 237 (2007), quando retratam a categorização dos objetos matemáticos que, envolve as configurações didáticas e reconhecem os tipos de entidades matemáticas, tendo como princípio as análises das situações-problema apresentadas nas lições exploradas neste estudo. Portanto, é uma visão que considera as atividades matemáticas intervenientes e os elemntos da configuração didática dos objetos matemáticos que, tem referência em estudos dsenvolvidos por Godino, Rivas, Arteaga, Lasa, e Wilhelmi, em Recherches en Didactique des Mathématiques (na imprensa). A seguir, será apresentada a sequência das análises desenvolvidas em torno dos 6 (seis) livros didáticos selecionados. Assim, foram escolhidos trechos da lição que aborda o tema de interesse, feita então a leitura da parte do texto que se refere a média aritmética, classificando e agrupando segundo as diferentes definições que envolvem os elementos. Nesta análise foram identificados os níveis de formação das configurações didáticas e as situações que possibilitaram a ocorrência de conflitos semióticos em razão das disparidades produzidas em uma prática matemática. 5.14. COMPONENTES DA CONFIGURAÇÃO DIDÁTICA E CONFLITO SEMIÓTICO 5.14.1. Análise do livro didático 1Componentes da configuração e conflito semiótico Matemática Fundamental – Uma Nova Abordagem, 2011, Giovanni, José Ruy e Bonjorno, José Roberto, FTD, p. 352. Os autores neste livro Marcos Pinho 238 didático, analisado a seguir, organizaram a apresentação do conteúdo da lição introduzindo o seguinte arranjo (figura 26) para o objeto matemática média aritmética. 5.14.1.1. Componente da configuração didática - Situação Problema Observa-se na situação problema apresentada na Figura 9, que é caracterizada por uma lição, em que os autores propõem e indicam o cálculo da média diária de livros vendidos por período da semana, a partir da exposição de uma tabela e um gráfico, cujos valores são relacionados aos dias da semana. A lição recorre à aplicação de uma medida da estatística para solucionar a situação problema que, no caso, é sugerida a média aritmética, como o próprio texto indica. Recorrer à teoria do EOS posibilitou reconhecer no texto da apresentação, a situação-problema. Então, observou-se a que há uma intenção dos autores de que o objeto, média aritmética, emerja a partir de uma situação ou de um problema prático como o que foi apresentado; - a média diária de livros vendidos durante a semana. Desta forma temos as condições para resolver as questões explícitadas, e apresentadas, nas contextualizações que foram trazidas para conhecimento sobre a situação com a qual o problema se relaciona Godino, Font, Contreras e Wilhelmi (2006). Análises e Discussão dos Dados 239 FIGURA 9 – SITUAÇÃO PROBLEMA – LIVRO DIDÁTICO 1 5.14.1.2 Os Conflitos Semióticos Na lição não se nota uma construção sobre o papel da média no contexto das informações apresentadas; obseva-se apenas que se estabelece uma relação entre dias da semana e quantidade de livros Marcos Pinho 246 o uso de expressões como “a média diária”, para retratar o valor da média e a solução do problema. 5.14.1.8. Os Conflitos Semióticos A proposição do conceito de “média aritmética” apresentado nesta lição leva à suposição de que o estudante detenha algum conhecimento e domínio sobre o uso da expressão “média aritmética”. Na lição, os autores comunicam o pensamento do que é este conceito, através das informações e elementos de contextualização na lição apresentada. Segundo Rodeiro e Font (2015). Tais elementos constituem um sistema de práticas operativas e discursivas que indicam a existência de uma ação. Esta, por sua vez, comunica-se com uma solução e designa o termo ou expressão que passa a assumir a condição ou não ostensivo, representando a situação problema em que os objetos são conhecidos e podem ser apresentados e propostos (Godino e Batanero e Font, 2006). No entanto, esta situação provavelmente gerará um conflito no entendimento, pois não são de fácil reconhecimento pelo estudante os termos e expressões apresentados na lição e não facilitam o entendimento do conceito-definição para o termo “média aritmética”, como se observa, por exemplo, no uso de expressões como “a média diária”, para retratar a média, ou seja, a solução do problema sem a definição propriamente dita do que representa a média para esta solução. Análises e Discussão dos Dados 247 5.14.1.9. Componentes da configuração didática - Procedimentos O sentido de procedimentos, em uma análise, exige a aplicação de operações e de recursos que têm como objetivo responder a uma determinada situação problema. Os elementos destes procedimentos requerem o emprego de algoritmos e técnicas variadas de representações, que, na maioria das vezes, são específicas para o tipo de problema. No caso particular do estudo, as atenções se voltam para os aspectos em que se observa a existência de procedimentos que se associa a uma lição, visado à aplicação de recursos que estabeleçam uma relação entre o ensino e a aprendizagem (Serrano, 2014). Os autores desenvolvem a ideia de procedimento para o cálculo da média aritmética, recorrendo a uma operação simples da matemática para determinar o resultado, e desenvolvem o pensamento de que é o quociente da soma dos valores dividido pelo número total destes valores. O resultado representará a média aritmética e desta forma é que se comprova o cálculo da média aritmética. O autor desenvolve uma linha de procedimento cujo caminho leva à determinação da média e, a partir da designação do enunciado da situação problema recorre a uma operação simples da matemática para determinar a média aritmética como sendo o quociente da soma dos valores, dividido pelo número total destes valores. O resultado representará a média aritmética, o que é demonstrado na Figura 9, que contextualiza e aplica o algoritmo da média e assim, comprova o cálculo da média aritmética. Marcos Pinho 248 5.14.1.10. Os Conflitos Semióticos Na lição os autores introduzem o conceito de média aritmética de forma generalista, conduzindo à solução do problema para um simples cálculo numérico matemático, utilizando o procedimento que requer conhecimentos prévios, que, muitas vezes, não faz parte do conhecimento do estudante. Apresenta em seguida, por meio de composições, fórmulas e notações que demandam a noção de regras básicas para sua aplicação, o que exige conhecimentos elementares da estatística, já que tais procedimentos requerem, por exemplo: 1noção de variável, que possui uma expressão que pode representar um valor; 2conhecimento dos elementos e símbolos matemáticos que são usuais nas operações simples da matemática e estatística, porém precisam ser conhecidos e identificados. Nesse caso, observa e considera-se “n” como uma expressão da notação que permite pelo menos duas significações. Na ocorrência específica de “n”, por exemplo, pode possuir duas significações: uma quando se refere a “n” como uma amostra e outra quando “n”, é considerado número de elementos ou quantidade. A expressão letra “x”, que é considerada como valor. 5.14.1.11. Componente da configuração didática - Argumentos Uma das observações feitas sobre o Livro 1 é a preocupação com a argumentação concisa que deve ser apresentada no texto, pois promove no estudante a construção do entendimento sobre conceito ou definição de uma situação problema. Uma das características importantes do livro Análises e Discussão dos Dados 249 didático são as condições apresentadas para que haja o entendimento por parte do estudante, em que pese o uso dos elemnetos da configuração didática; compreensão, propriedades, definições e representações, ou seja, são criadas as possibilidades para que ocorra a resolução de problemas em diferentes contextos e que possibilitem ao estudante as condições de argumentação (Serrano 2014). Ao identificar o gráfico como argumento (figura 9), verifica-se que os autores disponibilizam uma importante solução da estatística para apresentar os resultados, pois estes são um elemento essencial na apresentação de resultados de uma estatística e, em particular, acerca do evento cálculo da média, pois devem-se considerar os gráficos como um elemento essencial na apresentação de dados e medidas estatísticas Wild e Ptfannkuch (1999), assim determinar a localização da medida através desse recurso enriquece a apresentação da medida. Neste aspecto, o autor foi feliz na apresentação da medida a partir do gráfico, permitindo que ocorra a interpretação dos dados que estão dispostos nos eixos. Estas quantidades informadas no gráfico determinarão um ponto ou valor que representa a média aritmética. Portanto, está-se diante de um recurso visual que permite conhecer, representar e definir a localização da média aritmética. 5.14.1.12. Os Conflitos Semióticos O uso do gráfico é considerado como um importante aliado quando se deseja fazer a exposição dos dados. A utilização deste recurso Marcos Pinho 250 contribui para garantir maior segurança na elucidação da situaçãoproblema. No entanto, o que se observa é que não há na lição um texto fazendo a construção de uma ideia sobre a importância do gráfico e seu emprego como recurso para identificação de uma medida. A lição não deixa claro qual o papel do gráfico. Esta circunstância é um indicativo de que poderá existir dificuldade na interpretação da lição por parte do estudante sobre a que corresponde e o que representa as informações contidas no gráfico. Portanto, nas condições em que foi apresentado o gráfico, fica claro que não há os devidos esclarecimentos sobre o seu objetivo e o papel da sua utilização na lição, o que, inevitavelmente poderá, levar o estudante a confundir o entendimento e a interpretação do objeto em estudo, considerando que a importância do gráfico é justamente o de fazer a síntese da informação. Logo, a explicação do gráfico nesta lição é de contribuir com a visão e compreensão sobre média e é justamente o que o estudante necessita para entender e vencer as barreiras na realização do raciocínio sobre medidas e, ao final, espera-se que seja possível que o estudante reconheça o significado da média aritmética (Fernández, Godino e Cajaraville, 2012). 5.14.2. Análise do livro didático 2 - Componentes da configuração didática e conflito semiótico. Análise do livro didático 2Matemática Contexto e Aplicações, 2004; Dante, Luiz Roberto, Ática, pp. 226-228. Análises e Discussão dos Dados 251 O autor neste livro didático analisado organizou a apresentação do conteúdo da lição sobre média aritmética introduzindo o seguinte arranjo para a atividade matemática. 5.14.2.1. Componentes da configuração didática - Situação Problema O autor destaca três momentos para propor a Situação Problema que são apresentados nos três casos a seguir: na Figura10, caso 1, caso 2, e caso 3. No caso 1, por exemplo, observam-se os dados de um grupo de idade de pessoas, sendo que em torno destes, desenvolveram-se as operações simples da matemática, ou seja, a soma e divisão. Já no caso 2 as informações retratam sobre temperaturas em graus centígrados, e sugerem as mesmas operações matemáticas soma e divisão. No caso 3 o processo se estabelece a partir de um evento que envolve notas (valores) das atividades escolares obtidas no bimestre pelos alunos, o que permite construir a operação de soma e divisão desses dados indicados pela atividade escolar. Em suma, tem-se, então, circunstâncias apresentadas pela lição, em que ocorrem situações práticas que remetem para construção de operações matemáticas e da estatística, em que se buscam estimativas de valores que possam conduzir a um resultado para a situação problema, tendo como via a determinação da média aritmética (Cobo e Batanero na imprensa). Marcos Pinho 252 FIGURA 10 – SITUAÇÃO PROBLEMA – LIVRO DIDÁTICO 2 5.14.2.2. Os Conflitos Semióticos Na construção da lição não fica claras as diferenças entre os conjuntos arbitrados e sua finalidade para o cálculo da média. São apenas definidos os caminhos para solucionar os problemas apresentados pelos diferentes conjuntos de dados, que são compostos de três situações. Portanto, não se observa nas situações o que representa cada resultado, mesmo existindo uma caracterização entre eles: o primeiro envolve a idade das pessoas; o segundo retrata a temperatura registrada em determinado local em respectiva hora; o terceiro-se refere as notas dos alunos que realizaram diversos trabalhos durante o bimestre. Em resumo, a lição do texto não deixa claro para o Análises e Discussão dos Dados 253 estudante o porquê da utilização da média, como melhor estimativa, pois não houve nenhuma construção que levasse à interpretação do conceito de média (Pollatasek, Line e Well, 1981). Estes autores abordam em seus estudos as dificuldades dos estudantes em identificar média ponderada. Por outro lado, não se observa no texto uma associação com os dados, não se estabelece o entendimento entre a natureza dos fenômenos e os cálculos que são apresentados na construção do problema (Batanero, Arteaga e Contreras, 2011). Portanto, para que o estudante possa ter a compreensão sobre o que trata o problema, será necessária a apresentação da natureza do fenômeno, sua variável e a concepção sobre a utilização das medidas estatísticas para a solução de problemas. É importante analisar que, mesmo tratando-se do cotidiano, é imperativo que sejam atendidos os requisitos que ajudam na interpretação do problema, considerando, é claro, as características de cada situação, para que, em algum momento, o estudante tenha a compreensão sobre o que representa o conceito de média (Pinho e Gusmão, 2007). 5.14.2.3. Componentes da configuração didáticaLinguagem Observa-se que o autor, na lição faz uso da expressão da média aritmética e designa valores específicos para representar uma simples operação matemática, (Figura 10), caso 1, caso 2 e caso 3 esta operação envolve a soma de valores e divisão para, em seguida, determinar a média, ou seja, propõe, pormeio de operações simples da matemática, Marcos Pinho 254 a possibilidade de que o estudante desenvolva a ideia sobre média aritmética, (Cai, 1995). Enfim, o autor faz uso na lição de expressões numéricas para chegar à solução da situação problema que representará a média aritmética. 5.14.2.4. Conflitos Semióticos O texto da lição não esclarece qual o objetivo concreto do cálculo, (Figura10), caso 1, caso 2 e caso 3, mesmo tratando-se de uma operação matemática que envolve soma e divisão, um cálculo aritmético simples. Os resultados, representados por MA e MP, mas, em momento nenhum da lição, há um esclarecimento sobre o que representa a média - Gattuso e Max (1998). Em todas as etapas da lição observa-se que o autor introduz resolução de fórmulas com intenção de conduzir ao cálculo ou solução, a partir de um algoritmo que representa a média aritmética, porém não estabelece como devem se desenvolver as relações matemáticas para que a operação se concretize. O que se espera como expectativa é que seja definido, nestes casos, qual o papel dos elementos envolvidos nas operações e cálculos da média aritmética, que elementos compõem as expressões que definiram os resultados das operações matemáticas (Godino, 1996). 5.14.2.5. Componente da configuração didática - Conceitosdefinição. Análises e Discussão dos Dados 255 Na lição, o texto desenvolveu a conceituação de média por meio de expressões da literatura matemática e estatística como visto na figura 10, dados “n”, valores x1, x2, x3, xn.... que, dividido por “n” gerou (x1 + x2 + ...+ xn)/n e foi através desta expressão que se construiu cálculo matemático que deu origem à fórmula, e conceituou e definiu média aritmética (MA). A partir deste entendimento o autor justificou, em linhas gerais, o conceito de média. 5.14.2.6. Os Conflitos Semióticos No texto da lição são introduzidos termos e expressões com o intuito de fazer referência à definição de média aritmética, que são justificadas com afirmações: ... dados “n” valores x1, x2, ..., x3 ..., xn.... e (x1 + x2 + ...+ xn )/n, estes são considerados como expressões da matemática, que, quando propostos, podem se constituir em um objeto matemático, a média aritmética (Rondero e Font, 2015), que, em algum momento, poderá criar, no imaginário dos estudantes, dificuldade em reconhecer o conceito de média aritmética, visto que não há na lição referências claras sobre o cálculo de média. Outro aspecto diz respeito ao cotidiano do estudante, que, muitas vezes, faz uso recorrente da média. Contudo, não se pode rejeitar a possibilidade de haver dificuldades no entendimento sobre o conceito de média, considerando as relações e características da média, que são amplas. No entanto, sabese que, para se resolver problemas de estatística sobre a média aritmética, necessitaram conhecer as representações simbólicas dos Marcos Pinho 262 5.14.3.3. Componentes da configuração didática - Linguagem No livro didático o autor indica, na lição sobre média aritmética, onde há uma representação da medida com o símbolo (Ma,). Faz uso de recursos simples para desenvolver o cálculo de média via operação matemática, que envolve os valores apresentados no problema e, com o uso de termos e expressões faz a operação matemática e chega ao cálculo da média, como visto na Figura 9. 5.14.3.4. Os Conflitos Semióticos Na lição, o autor utiliza símbolos e notações para construir a definição do cálculo de média aritmética (Ma), porém não justifica o resultado como uma medida estatística, ou seja, não há uma preocupação que explique a utilização das representações e os símbolos para definição da média como uma medida sugerida. Por outro lado, não se observa a construção de uma ideia para que os estudantes ou indivíduo elaborem uma opinião sobre a lição, em que observado-se o uso de símbolos para representar a média. Nesse contexto existem expressões que integram a fórmula, portanto imagina-se que poderá haver dificuldades de interpretação sobre os diferentes caminhos e explicações do conceito de média aritmética. O que se conclui é que, na lição, de um modo geral, não houve a apresentação de como se deve proceder para desenvolver o cálculo da média, mas apenas aponta para a importância da medida. Nesta linha, o que se observa na lição é a dificuldade de uma interação entre os aspectos Análises e Discussão dos Dados 263 conceituais sobre média aritmética e seu procedimento de cálculo (Batanero, Godino e Navas, 1997), quanto cita aspectos conceituais da média. 5.14.3.5. Componentes da configuração didática - Conceitosdefinição Pode-se observar na lição que o autor inicia a conceituação para média aritmética (Ma) fazendo uso da expressão indicada na Figura 12, que representa a parte literal (Socas e cols, 1984) quando analisou as notações e características da linguagem matemática. Esta expressão relacionada com os valores compõe as observações, que dão origem à fórmula do cálculo da média aritmética. 5.14.3.6. Os Conflitos Semióticos A designação de expressões na literatura da estatística para identificar média aritmética tende a exigir dos estudantes uma compreensão mais definitiva sobre o conceito a se aplicar, pois necessita que se faça o reconhecimento da relação entre elementos e os valores. É importante considerar que, na matemática, estas relações, na maioria das vezes, possuem correspondências com caso específico da estatística, pois os usos das letras poderão, em algum momento, exigir dos estudantes e outros indivíduos que se apropriem de conceitos para que possam identificar se existem relações entre as letras, os símbolos e os números e, assim, possam compreender como categorizar as expressões, de sorte a poder definir o Marcos Pinho 264 que elas representam na formulação do conceito Socas e cols (1984), quando analisaram as notações e características da linguagem matemática. No entanto, na lição, esta preocupação não é demonstrada. O autor apenas apresenta as notações e não há uma alusão às denominações e aos conceitos, bem como em que condições foram construídas na literatura que definiu os símbolos ou as letras, que são representativas do conceito de média aritmética. Outro aspecto é o que diz respeito à construção do conceito de média para os casos com frequência, que seguem o mesmo rito do caso simples, ou seja, o autor não esclarece quais aspectos podem influir para diferenciar cada caso. Portanto, deixa uma margem de dúvida na interpretação do conceito de média, que provavelmente irá influir na solução do problema. Esta visão pode ser observada nos estudos sobre média desenvolvidos por Cobo (2003). 5.14.3.7. Componentes da configuração didática – Proposições O autor apresenta na lição o desenvolvimento de uma proposição para definição de média aritmética simples através da expressão, que se apresenta na Figura 12, nesta desenvolve a operação da matemática enunciada para resolver o problema, a partir das expressões algébricas que se aplicam na resolução do problema. 5.14.3.8. Os Conflitos Semióticos Observa-se que o autor, em momento algum, justifica o uso da média, faz alusão à expressão “dada não agrupada” (Figura 12), para se referir à média, porém não há nenhuma preocupação em construir a ideia de que a Análises e Discussão dos Dados 265 média aritmética é um caso particular do estudo sobre as medidas. Na construção da lição não fica claro para o estudante a intenção de interpretação do conceito de média (Cobo e Batanero, 2004 b), a partir de uma associação com dados, que é possível, mesmo considerando que os dados se refiram a exercícios simples e de fácil entendimento para o cálculo da média aritmética. 5.14.3.9. Componentes da configuração didática - Procedimentos O autor, na lição, utiliza a notações para representar a caracterização do cálculo da média aritmética, ou seja, descreve os elementos ou algoritmos que precisam combinar com os valores, e define o símbolo Ma como o que representa a média aritmética simples (Figura 12). 5.14.3.10. Os Conflitos Semióticos Na análise da lição observa-se uma dificuldade no texto em expressar o que representa média aritmética, já que são apresentadas notações para designar a composição da fórmula da média. No caso específico desta lição, espera-se que o estudante detenha uma compreensão do que é realmente este valor que é chamado de média, e o que representa para o conjunto das observações. Por outro lado, a lição não indica no texto o que se deve exigir dos estudantes ou outros indivíduos para que se tenha um entendimento sobre os conceitos específicos das medidas estatísticas, em particular sobre média aritmética. O que se observa e considera é que o Marcos Pinho 266 texto não demonstra claramente como esta representação faz a relação entre os elementos e os valores, ou seja, a notação não deixa explícita qual a relação e a diferença entre a que correspondem, por exemplo, as letras “x” e “n”, e os elementos que definem por extensão a representação de média aritmética Ma (Socas e cols 1984, quando analisaram as notações e as características da linguagem matemática). 5.14.3.11. Componentes da configuração didática – Argumentos O autor procura contextualizar com exemplos a aplicação da operação da média aritmética (Ma,) através de cálculo simples e mecânico (Figura 12). A Utilização de um exemplo em que tem se a intenção de orientar como desenvolver e construir o resultado com objetividade, e o autor preocupa-se com conhecimento cotidiano dos estudantes sobre operações matemáticas simples, soma e divisão para média aritmética (Ma,). 5.14.3.12. Os Conflitos Semióticos Na lição o autor apresenta o conteúdo a partir de uma tabela com valores e, em seguida, desenvolve a aplicação da operação matemática que envolve a soma e a divisão, chegando ao resultado, que designa como sendo média aritmética (Ma,). Carvalho (1996) cita estes procedimentos nas suas investigações sobre média aritmética. Na sequência da lição tem-se uma situação em que é apresentado o cálculo Análises e Discussão dos Dados 267 da média. Na lição não se observou na sua construção o indicativo dos elementos componentes do argumento que possibilitaram a caracterização da média aritmética. No entanto, observa-se uma orientação sobre como se desenvolveu essa parte da operação na lição, que resultou na demonstração do cálculo da média aritmética. Portanto, mesmo se houvesse uma justificativa sobre aspectos e propriedades da utilização da média, ocorreriam a solução da situação problema. Esta dificuldade poderá levar o estudante e outros indivíduos a fazer uma interpretação da média que não corresponda ao papel que realmente se pretende quando se deseja definir este valor como uma medida (Godino, 1996). 5.14.4. Análise do livro didático 4 - Componentesda configuração didática e conflito semiótico. Livro didático 4 Matemática, 2002. Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David e Pergio, Roberto. Atual. p. 422. O autor deste livro didático analisado organizou a apresentação do conteúdo da lição sobre média aritmética introduzindo o seguinte arranjo da atividade matemática. 5.14.4.1. Componentes da configuração didática - Situação Problema O autor, na lição, apresenta quantitativos organizados em forma de rol para contextualizar a situação problema (Freudenthal, 1991). No texto analisado tem-se a materialização de situação problema que propõe com a Marcos Pinho 268 finalidade de determinar uma expressão que represente os gastos diários médio dos turistas (Figura 13). FIGURA 13 – SITUAÇÃO PROBLEMA E CONCEITUAÇÃO – LIVRO DIDÁTICO 4 5.14.4.2. Os Conflitos Semióticos A lição apresenta, por meio de uma expressão, a justificativa e solução do problema em que caracteriza o uso da média e em seguida explica como a operação matemática definiu a média aritmética. O que se espera da parte do estudante e de outros indivíduos é domínio de conhecimento sobre as medidas de um modo geral. Porém, a lição não deixa pistas claras para que estas condições possibilitem a compreensão sobre média aritmética, suas características e propriedades, bem como o seu conceito, mesmo considerando a relação com fatos do cotidiano. Análises e Discussão dos Dados 269 Freudenthal (1991) desenvolveu estudo nessa linha e questionou aspectos similares sobre referência e a materialização de uma situação problema quando fez análise sobre média aritmética. 5.14.4.3. Componente da configuração didática - Linguagem Na lição do livro didático o autor desenvolve um raciocínio que demonstra os gastos dos turistas e seus respectivos valores de despesas referentes a quinze diárias. Portanto, espera-se que o estudante ou outros indivíduos detenham a noção de valor e consiga calcular a média aritmética simples, representada por , (Figura 13). 5.14.4.4. Os Conflitos Semióticos Nota-se na lição que não há uma preocupação em exigir maior atenção com operações simples da matemática, ou seja, apenas define que se efetuem os cálculos que possivelmente definirão a média aritmética. É possível crer que os estudantes e os outros indivíduos estão diante de uma situação que exige o entendimento e compreensão do que é uma variável. Assim, será possível fazer relações com quantidade e valor para, em seguida, definir uma expressão matemática que relacione estas variáveis e seus respectivos valores ou quantidades (Cobo e Batanero, 2003 quando retratam em seus estudos o significado da média aritmética). Contudo, é importante imaginar que, em algum momento, será exigido do estudante a noção de variável e sua relação com valores para que seja construído o pensamento matemático em que Marcos Pinho 270 valores e quantidades se relacionem com as expressões usuais da matemática, com objetivo de definir uma estatística, que o autor denomina de média aritmética. É expectativa que o livro didático deve propor caminhos de entendimentos sobre a lição, já que é uma ferramenta que aproxima o ensino e a aprendizagem. 5.14.4.5. Componente da configuração didática - Proposições O autor designa o termo média como solução para a situação em que são apresentados os gastos com diária de um grupo de turistas, juntamente com seus valores e expectativas de despesas, ou seja, determina um valor como sendo média referente à variável “gasto observado na situação problema, sendo esta a viagem de um grupo de turistas (Figura 13). 5.14.4.6. Os Conflitos Semióticos Na lição não fica explícito que a expressão ou linguagem da matemática que está sendo proposta justifique a construção da operação matemática como forma de concretizar o uso de uma medida, e que possibilite a construção de um conceito de média. Está presente na lição o emprego de expressões do cotidiano da linguagem matemática que atua para explicação sobre a medida. Porém, o autor não deixa clara a noção do emprego da média aritmética como a medida que será capaz de definir a estatística do resultado, gastos com diárias pelo grupo, considerando que a média possui características de transversalidade com a matemática e uso de diferentes representações, o que pode determinar uma complexidade de Análises e Discussão dos Dados 271 seu uso em determinadas situações do cotidiano. Outro aspecto a considerar é o dia-a-dia dos estudantes e dos outros indivíduos, pois exigese uma compreensão mais definitiva dessas aplicações, em particular o conhecimento dos conceitos básicos da matemática e estatística que permitam compreender quais as relações entre medidas, que podem ser representativas de um conjunto de dados e seu papel para justificar a operação e a noção do seu emprego, no caso específico da média aritmética. Quando se discute, nessa lição, a aplicação da média aritmética para solução de situações problema, exige-se que se contemplem os elementos básicos da construção de um texto matemático, discutidos nesta análise, a partir da configuração didática. 5.14.4.7. Componentes da configuração didática - Conceitosdefinição O autor apresenta na lição o conceito de média aritmética representado pela figura 13, a partir da indicação do símbolo, (x barra), que o designa como média aritmética, sendo definido como sendo o quociente entre a soma de todos os valores representados por x1, x2, x3 ..., xn, dividido-se pelo número total de observações “n” o resultado desta operação é que determinará a média aritmética. 5.14.4.8. Os Conflitos Semióticos É vista na lição uma clara tentativa de introduzir o conceito de média. A partir da dedução da fórmula, sugere que os estudantes tenham uma Marcos Pinho 278 O autor apresenta o termo “média aritmética”, (Figura 14) a partir de uma operação matemática que envolve os valores numéricos que foram determinados como sendo áreas desmatadas e o seu resultado final é identificado como a expressão (x barra). O uso do termo é oriundo da expressão em que é aplicado, a partir da soma dos valores, e feita uma divisão que quando efetivada no seu final, a expressão dará origem a um valor cujo significado representa a média aritmética. 5.14.5.4. Os Conflitos Semióticos A lição apresenta, em seu texto, o termo “média aritmética”, porém, em momento nenhum o autor constrói uma definição para o conceito de média, apenas apresenta uma fórmula para o cálculo, definida por uma expressão que possibilitou a operação para simplificar a obtenção do resultado, mas não deixa claro para o estudante ou outros indivíduos o que representa o termo “média aritmética”. Esta falta de esclarecimento, em algum momento, exigirá do estudante a compreensão sobre os significados (Godino, 2003) e qual é o papel, a importância do cálculo da “média aritmética”. O que se observa é que o autor faz um enunciado geral sobre a expressão, sem referência mais direta aos símbolos que compõem a média e o que podem representar os elementos na composição da expressão que resulta na média aritmética. 5.14.5.5. Componente da configuração didática - ConceitoDefinição x Análises e Discussão dos Dados 279 Na definição sobre média aritmética o autor opta pela demonstração simples, em que apresenta a notação e algoritmos que definem a média, ou seja, uma fórmula literal. É, a partir desta situação, que se apresenta (x barra) como símbolo que representa o conceito de média aritmética (Figura 13). 5.14.5.6. Os Conflitos Semióticos Observa-se a presença dos símbolos e notações usuais na operação sobre média aritmética. A lição utiliza-se de termos e expressões que compõem a parte literal da média aritmética, porém, em momento algum da lição, foi construído este conhecimento teórico. Isto leva a imaginar que o estudante, em alguma ocasião, precisará saber como aplicar a fórmula adequada ao cálculo da média aritmética, considerando os aspectos e as exigências que devem nortear a interpretação do conceito de média aritmética, (Cai, 1995, quando analisou a aplicação e capacidade de entender os conceitos da matemática nos estudos sobre média). Por outro lado na lição o que se observa é a noção sobre média apresentada em uma única notação que, apesar de uma construção simples requer entendimento da composição dos elementos da parte literal da fórmula. A lição não aponta qual caminho pode ser seguido para esclarecer o posicionamento ou a disposição dos elementos na notação, que em determinadas situações poderão alterar o resultado da média aritmética. Strauss e Bichler (1988), consideraram que para buscar tratar de símbolos e conceitos x Marcos Pinho 280 simples no cálculo da média, são necessárias as definições dos elementos que compõem parte literal da fórmula e devem ser compreendidas suas regras específicas discutidas na lição, o que não foi observado em muitos aspectos da mesma. 5.14.5.7. Componente da configuração didática - Proposições O autor, na lição, apresenta as medidas de tendência central como medidas que podem representar um conjunto de dados (Figura 14). Contudo, observa-se a presença de uma expressão matemática que define a média aritmética, como sendo uma medida capaz de determinar a representação de um conjunto de dados, ou seja, um valor que melhor estime este conjunto, cujo cálculo é obtido por meio da soma desses dados e, em seguida, faz-se uma divisão e, assim, se obtêm-se uma quantidade númerica que é representada como sendo a média aritmética. 5.14.5.8. Os Conflitos Semióticos O autor propõe o conceito geral para as medidas e inclui a média aritmética, o que leva a supor que não há diferenças entre o que foi definido como conceito e linguagem sobre o problema. Com este pensamento pode-se compreender que a lição poderá levar à suposição de que o estudante, de uma maneira geral, sabe distinguir as medidas de tendência central e sua aplicação. No entanto, o autor, logo em seguida, comunica o entendimento de que a “média aritmética” é o objeto Análises e Discussão dos Dados 281 matemático que aponta para o sentido de um sistema de práticas operativas e discursivas. Existe a designação de um termo que assume como sendo ostensivo, apresentado na Figura 14, e possui expressões e símbolos que representam a média aritmética. Portanto, essas relações, quando acertadas, colaboram para que o objeto matemático média seja conhecido e possa ser apresentado ou demonstrado (Godino e Batanero e Font, 2006). 5.14.5.9. Componentes da configuração didática - Procedimentos A partir da generalização do conceito de média, o autor apresenta o símbolo (x barra), média aritmética como sendo o quociente da soma da (x1, x2, x3,..., xn) dividido por “n”, um elemento que compõe a notação da fórmula, representado na Figura 14. Já a letra “x” é considerada como um valor ou número que pode representar uma variável ou um elemento dessa variável. A soma desses valores ou números, divididos por “n”, determinará a média aritmética, representado pelo símbolo (x barra). 5.14.5.10. Os Conflitos Semióticos O autor introduz o conceito de “média aritmética” de forma generalista, com a finalidade de apresentar a fórmula na lição sobre medida de tendência central. Em seguida exibe, por meio de composições, a notação que compõe a fórmula, a qual necessariamente, requer o conhecimento de regras básicas para sua aplicação no x Marcos Pinho 282 cotidiano da estatística, como, por exemplo: os indicativos dos elementos da fórmula na notação, o que representa a variável e o que cada elemento poderá indicar na formação da fórmula, ou seja, este entendimento sobre os elementos e símbolos que são partes comuns deve ser compreendido para que não sejam usadas indistintamente em operações simples da matemática e estatística (Socas e cols, 1984) quando analisou as notações características da linguagem matemática. Quando se observa o caso particular do uso de “n”, este por si só poderá possuir duas significações, pelo menos na aplicação da fórmula da média: uma quando se referir a “n” como uma amostra e outra quando “n” for considerado como número de elementos ou quantidade. Esta visão, de maneira geral, possui aspectos que representam uma estatística, em que se estabelecem condições para que os estudantes ou outros indivíduos tenham uma noção clara dessas notações e símbolos, já que fazem menções e relações com valores ou números (Cai, 1995). Assim, é possível entender o porque do emprego apropriado do algoritmo, ou seja, dos elementos qualitativos e quantitativos que permitem torná-lo significado, podendo ser estes elementos um conjunto arbitrário que tem como representação uma letra, e se estabelece como uma variável da estatística. Portanto, ao observar-se mais atentamente a lição, ela não faz nenhuma distinção mais clara sobre a diferença entre “x” e “n”, variável e elemento na apresentação da fórmula de média aritmética. Análises e Discussão dos Dados 283 5.14.5.11. Componente da configuração didática - Argumentos Ao definir o gráfico da Figura 14 como elemento ilustrativo para apresentar os valores que compõem as variáveis do estudo sobre Desmatamento na Amazônia, o autor apresenta uma ferramenta que contribui para a interpretação das informações quando dispostas nos eixos do gráfico, ou seja, coopera com mais um instrumento que constitui bases para demonstrar as informações, facilitando o entendimento e a definição de qual ponto, o que melhor representa o valor da média aritmética representada na Figura 14. 5.14.5.12. Os Conflitos Semióticos Considera-se o uso do gráfico como importante na exposição dos dados, pois contribui com a elucidação da situação problema com mais clareza. Porém, o que se observa na lição é que não há uma preocupação em sugerir que este elemento poderia ajudar no esclarecimento do problema. A lição não enfatiza o recurso gráfico como peça para auxiliar na determinação da média aritmética. Não fica claro o papel do gráfico como instrumento de síntese da informação, ou seja, o estudante ou outros indivíduos poderia desfrutar de mais um recurso para reduzir as dificuldades em entender o que representam as informações contidas no gráfico. Os gráficos dão uma ideia de conjunto e caracteriza bem uma representação da média aritmética (Cobo e Batanero, 2003), no momento em que se analisa o significado da média aritmética. Marcos Pinho 284 5.14.6. Análise do livro didático 6 - Componentes Configuração didática e conflito semiótico Livro Didático 6 - Matemática, 2014, Paiva, Manuel. Moderna, p. 16-18. O autor deste livro didático analisado organizou a apresentação do conteúdo da lição sobre média aritmética introduzindo o seguinte arranjo da atividade matemática. 5.14.6.1 Componente da configuração didática - Situação Problema O livro didático exibe uma lição sobre medida de posição, tendo o autor construído uma proposta, a partir de uma Situação Problemaem que apresenta uma tabela com informações de duas variáveis definidas como sendo seis jogos de rodadas do campeonato de futebol e os respectivos gols marcados (Figura 15), em que demonstra a intenção de associar os valores ao cálculo de uma medida estatística que melhor caracterize a distribuição dos dados. Análises e Discussão dos Dados 285 FIGURA 15 – SITUAÇÃO PROBLEMA – LIVRO DIDÁTICO 6 5.14.6.2 Conflitos Semióticos Na lição, o autor exibe uma tabela com duas variáveis, porém não define o que cada uma representa, apenas sugere que a combinação entre elas poderá dar origem a uma medida, ou seja, a média aritmética. No entanto, não se observa ama construção sobre o que representam as variáveis e a relação com a ideia proposta, apenas estabelece que o resultado obtido dos números resulte na média aritmética. Na lição não se observa indicação de qual é a relação entre o que representam os números de gols e jogos, “significado de referência” (Godino, Font e Miguel, 2007). A lição não deixa clara a ideia sobre o cálculo da média, apenas apresenta uma combinação entre as variáveis, jogos e números de gols, ou seja, cita apenas os valores e as quantidades, sem deixar Marcos Pinho 286 claro o que representa a média aritmética neste contexto. No caso particular deste problema são identificadas as variáveis, porém não esclarece o que ela simula como também não deixa evidente a compreensão sobre a utilização das medidas para resolução do problema. Por outro lado, observa-se na lição que há intenção de ampliar noção de conhecimento sobre média aritmética, quando o autor traz à tona uma experiência real em que identifica nos valores ou quantidades a possibilidade de indicar uma medida que represente o conjunto das informações. Contudo, as condições que foram apresentas podem dificultar o entendimento pelos estudantes e outros indivíduos, já que, em várias situações da aplicação de normas, se exige o domínio do conhecimento de regras gerais da matemática, tais como a utilização de algorítmicos e fórmulas, considerando que sua aplicação não foi facilitada na lição e dificultará na resolução e entendimento sobre o cálculo de média. 5.14.6.3. Componente da configuração didática - Linguagem O autor, na lição, apresenta os cálculos que definem uma medida, expressão que, mediante termos, poderão se relacionar com as quantidades exibidas na decomposição de valores, representada pela Figura 15 sendo estes identificados como número de gols e, em seguida, é operada a soma desses valores e sua divisão pela quantidade de jogos que, quando efetivada, seu resultado dará origem a um valor e seu significado representa a média aritmética. Análises e Discussão dos Dados 287 5.14.6.4. Os Conflitos Semióticos Na análise da lição, observa-se que o texto apresenta uma expressão algébrica sem distinguir ou caracterizar os aspectos conceituais, o que representa o resultado; apenas informa que o valor final da operação é a média aritmética. Esta dificuldade no texto, em algum momento, poderá exigir do estudante ou outros indivíduos a compreensão sobre os significados (Godino, 2003) e qual é o papel da expressão “média aritmética”. Portanto, é necessário que se reconheça o significado desse conceito matemático, pois este será determinante para o estudante no processo da aprendizagem. O que se observa na lição é que, em momento algum, o autor construiu uma definição para o conceito de média, apenas apresenta uma forma para o cálculo, a fim de simplificar o resultado a ser obtido, de modo a facilitar o entendimento da expressão “média aritmética”, sem se preocupar com a linguagem do que deve aprender o estudante. 5.14.6.5. Componente da configuração didática - ConceitosDefinição Na definição média aritmética, o autor faz uma demonstração, por meio de uma notação em que apresenta o algoritm da expressão (Figura 16), com o intuito de caracterizar e definir a média, a partir de uma fórmula literal. O autor designa o símbolo (x barra) como a representação da média aritmética, como sendo o quociente da soma da x1+ x2+ x3+ ...+ xn dividido pelo número total “n”. A letra “x” representa x Marcos Pinho 294 que se desenvolvem os estudos na área da didática, novos cenários se consolidam no ensino e na aprendizagem de estatística. No entanto, apesar de se saber que muitas abordagens nessa área têm surgido, ainda há dificuldades a serem vencidas, pois há carência de uma sistematização teórica mais concreta sobre essa didática, que, ao longo dos anos, têm sido superadas gradativamente, graças aos estudos com esta perspectiva que, certamente, irão atender às necessidades de professores e estudantes para terem uma compreensão clara do papel da estatística nas decisões do cotidiano. Reconhece-se que a fundamental importância do livro didático é o seu papel de aproximar o professor da responsabilidade de adequar suas lições, já que tem em mãos este instrumento complementar na preparação das aulas, que o apoia com mais riqueza e detalhes quando da elaboração das abordagens. No caso particular dos conteúdos de estatística, este sentimento ficou perceptível nas análises sobre o livro didático e quando confrontados com as respostas dos itens do questionário respondido pelos professores cita Homes (2002) para referenciar sobre a motivação, formação dos professores e elaboração dos livros didáticos que, apesar de atender aos temas curriculares, ainda carecem de avanços na área da estatística, Batanero e Godino (2005, p. 203-226): A pesar de que la estadística se incluye de una forma oficial en el currículo, no siempre se enseña, puesto que muchos profesores no se sienten cómodos con esta materia, la dejan como último tema y cuando es posible la omiten. (Holmes, 2002) indica que, puesto que las Análises e Discussão dos Dados 295 lecciones de estadística, dentro de los libros de matemáticas han sido muchas veces escritas por matemáticos, el objetivo preferente de las mismas es la actividad matemática y no la actividad estadística. Como consecuencia, lãs aplicaciones y el trabajo con dados no son realmente importantes y los alumnos finalizan los cursos sin adquirir uma competencia real para llevar a cabo uma investigación estadística. De modo geral, o uso das ferramentas teóricas do EOS indicou os fundamentos para materializar o estudo da lição sobre média aritmética, considerando que a análise foi construída numa perspectiva da didática do ensino e da aprendizagem da estatística e se baseou na lição do livro didático. Nesse contexto, vimos discussões que permitiram identificar e clarificar elementos da configuração didática proposta pelo EOS e os respectivos conflitos semióticos relacionados a tais elementos. A visão sobre o conceito de média aritmética observada a partir da lição do livro didático obrigou a uma aproximação mais objetiva do conteúdo de estatística e suas particularidades. Nesta linha, distinguese, na análise, a proposta da lição e o sentido apresentados para o conceito de média, identificando, nos elementos, as condições que poderiam facilitar a visão sobre tal conceito. Assim reconhecem-se símbolos, gráficos e algoritmos que foram propostos para construir tal conceito. No entanto, o que se verificou, de uma forma geral, foi a existência de uma visão generalista na construção dos significados que Marcos Pinho 296 foram identificados nas dificuldades apresentadas pelos elementos da configuração didática no texto da lição observada. No entanto, nas análises dos livros didáticos aponta-se para a necessidade de recomendações como, por exemplo, a falta de uma apreciação esclarecedora na exposição dos elementos que compõem as fórmulas estatísticas e a apresentação de algoritmos sem informar a pertinência do seu uso nas expressões que abordam tal conceito. Diante do contexto da pesquisa e dos elementos analisados, foi possível observar uma razoável ideia do que representa a média aritmética na lição do livro analisado, como conteúdo de estatística do 3° ano do ensino médio da educação básica, ainda que se apresentem situações de conflitos semióticos, que foram identificados nos termos e expressões dos elementos da configuração didática. A compreensão desses elementos poderá facilitar na construção de uma orientação didática da estatística e do conceito de média aritmética, de sorte a permitir um melhor alcance, por parte do professor e do estudante, das lições sobre estatística. Neste sentido, é importante que sejam reforçadas as políticas voltadas para a formação de professores e de cidadãos, considerando que os conteúdos de estatística devem ser apropriados pelas várias disciplinas da educação básica, ponderando sobre a realidade de como são apresentados nas graduações, na maioria dos cursos superiores. Então, entende-se como necessário que políticas educacionais para educação básica precisam se apropriar dos conteúdos de estatística e Análises e Discussão dos Dados 297 esta ação deve combinar com uma formação e conhecimento de uma didática do ensino e da aprendizagem de estatística. Sendo assim, um contexto que envolve a elaboração de novos currículos da educação básica. Como consequência será o surgimento de novas propostas de livros didáticos para as disciplinas que abordem a estatística e, assim, uma melhor apresentação dos conceitos, visando a uma transposição didática adequada para os alunos. No caso específico das análises dessas lições de estatística sobre média aritmética em livros de matemática, pode-se dizer e reconhecer que o observado sobre o conteúdo de estatística representa a visão do currículo. No entanto, buscou-se pormeio destas análises, aplicar e explicar a teoria do EOS, capaz de interpretar o conceito de média em uma perspectiva de contribuir com uma didática do ensino e da aprendizagem de estatística para educação básica e, em conseqüência, a construção de currículo que contemple a estatística do 3° ano do ensino médio, aproximando-se cada vez mais, das realidades de outras disciplinas, das ciências e das tecnologias, como caminhos para superar os desafios de construir uma sociedade cidadã e de conhecimento plural. O estudo reconheceu o livro didático como instrumento que auxilia o professor na construção do ensino e da aprendizagem, foco da discussão sobre o conceito de média aritmética. Contudo, sabe-se que a qualidade didática apresentada na abordagem dos conteúdos de estatística, medidas de tendência central e, em particular, a média Marcos Pinho 298 aritmética ainda carece de maiores avanços, pois na maioria dos livros didáticos analisados, na percepção do estudo, apresentam uma indicação clara de abordagem um quanto tradicional presente nas lições dos exemplares analisados. Na realidade, mesmo observando-se a presença de uma teoria que se desenvolve numa linha, em que solicita, muitas vezes, a resolução de exercícios, há uma preocupação de apresentar uma sequência didática, que, em algum momento, limita o professor a desenvolver numa discussão conjuntamente com os estudantes, pois não discute a construção do conceito. Portanto, uma prática pedagógica de ensino e aprendizagem, que busca refletir um raciocínio mais coeso do estudante deve considerar o livro didático como instrumento importante para referenciar as atividades de sala de aula, ou seja, um recurso tradicional (Silva, 1996). O livro possui particularidades que o leva a sofrer mudanças e ajustes durante o seu uso e finalidade na escola (Braga e Belver, 2016). Possui efeito importante para o ensino e, por sua vez, tem amplo alcance quando submetido a grupos de estudantes (Chevallard, 1991). 5.16. ANÁLISE DOS INDICADORES DE IDONEIDADE DIDÁTICA DOS LIVROS DIDÁTICOS A discussão sobre os descritores foi desenvolvida a partir do que se identificou nos livros didáticos analisados, em que considera e valoriza a análise da lição elaborada pelos autores e sua abordagem Análises e Discussão dos Dados 299 sobre estatística e média aritmética. A seguir, a análise dos descritores segundo os componentes apresentados nos livros didáticos. Considerando as condições que proporcionassem maior êxito nesta parte da investigação, foi então proposto construir a análise da trajetória epistêmica dos livros didáticos, tendo como foco os conteúdos de estatística usuais no 3° ano do ensino médio, em particular o conceito de média aritmética. Assim, desenvolveu-se o estudo sobre a noção de idoneidade na dimensão epistêmica, considerando as referências que propõe o EOS, e faz menção ao modelo de Godino, Contreras e Font 2006 e Godino, Bencomo, Font e Wilhelmi (2007). Para desenvolver a análise da idoneidade didática, procurou-se incluir descritores relevantes que servissem de referência no conhecimento de cada componente da idoneidade didática (Quadro 4). Segundo Godino (2013), a indicação destes componentes e descritores tem sua aprovação reconhecida em diversas teorias, propostas e formuladas pela NCTM (2000). Inicialmente, construiu-se uma análise detalhada da trajetória epistêmica dos livros didáticos (Quadro 4), tendo como uma referência teórica a idoneidade epistêmica, em que se observam aspectos dos componentes do conhecimento didático que permitem valorizar o processo de ensino e aprendizagem, de sorte a poder avaliar o conteúdo de estatística ensinado. Assim, o estudo considera as referências que propõem o EOS e faz menção ao modelo de Godino, Contreras e Font 2006 e Godino, Bencomo, Font e Wilhelmi, (2007). Na sequência, Marcos Pinho 300 apresenta-se o desenvolvimento das análises dos demais componentes da idoneidade didática e seus respectivos descritores/indicadores propostos pela EOS que, segundo Breda e Valderez, (2016), é uma visão demonstrada na revisão da literatura realizada em Breda, Font e Lima (2015), em que se observa que a noção de idoneidade didática possue um impacto significativo no treinamento de professores em diferentes países (Mallart, Font e Malaspina, 2015, Seckel e Font, 2015 e Pochulu, Font e Rodriguez, 2015). Para desenvolver a análise da idoneidade didática, procurou-se incluir descritores relevantes que servissem de referência no conhecimento de cada componente (Quadros 4, 5, 6, 7, 8 e 9). Segundo Godino (2013), a indicação destes componentes e descritores tem sua aprovação reconhecida em diversas teorias propostas e formuladas pela NCTM (2000). 5.16.1. Componentes e descritores dos critérios de idoneidade epistêmica. A discussão sobre os descritores foi desenvolvida a partir do que se identificou nos livros didáticos analisados, em que se considera e valoriza a análise da lição elaborada pelos autores e sua abordagem sobre estatística e média aritmética. A seguir, a análise dos descritores segundo os componentes apresentados nos livros didáticos (Quadro 4). Análises e Discussão dos Dados 301 QUADRO 4 - DESCRITORES ANÁLITICOS DOS COMPONENTES DA IDONEIDADE DIDÁTICA ASSOCIADOS AOS LIVROS DIDÁTICOS Componentes Descritores Livro Didático 1 2 3 4 5 6 Situação Problema S1. O autor apresenta problema que articula situações e contextualiza, com exercício e aplicação. X - X X X X S2. O autor propõe situações que gere problemas. X X - - X X Linguagem L1. O autor faz uso de diferentes expressões da matemática (verbal, gráfico, simbólico ...), traduções e conversões entre eles. X - X - - X L2. Nível de linguagem do autor é apropriado para os estudantes e professores a quem é endereçada. X - - X - - L3. O autor nos seus textos faz uso de atividades e interpretação de expressões da matemática e estatística. X X - X X X Conceito/defini ções, propriedades, procedimentos C1. As definições e procedimentos propostos pelo autor são corretos, e são adaptados ao nível educacional ao qual são abordados. X X X X X X C2. O autor apresenta nos enuciados e procedimentos temas fundamentais ao nível educacional. X - X X X X C3. O autor faz propostas e situações que possam criar condições para o estudante elaborar definições de propriedades ou procedimentos. X - X - - X C4. O autor propõe objetos matemáticos (problemas, definições, propriedades, etc.) que se relacionam e conectam entre si. X X - - X X Argumentos A1. As explicações, verificações e demonstrações propostas pelo autor são adequadas ao nível educacional direcionado. X - X X X X A2. O autor propõe situações claras para que o estudante possa desenvolver a argumentação. X - X X X X S-Situação Problema; L-Linguagem; CConceito/Definição, Propriedade, Procedimento; A - Argumento. Marcos Pinho 302 Livro didático 1. Matemática Fundamental, Uma Nova Abordagem, 2011, Giovanni, José Ruy e Bonjorno, José Roberto, FTD, pág. 352. Livro didático 2. Matemática Contexto e Aplicações, 2004; Dante, Luiz Roberto, Ática, pág.226 -228 Livro didático 3. Matemática para o Ensino Médio, 1999. Marcondes, Carlos; Gentil, Nelson e Greco, Sergio. Ática, pág. 397. Livro didático 4. Matemática, 2002. Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David e Pergio, Roberto. Atual. pág. 422. Livro didático 5. Olhar Matemática, 2011. Souza, Joamir. FTD, pág. 24 Livro didático 6. Matemática, 2014, Paiva, Manuel. Moderna, pág. 16-18. FONTE: ELABORAÇÃO DO AUTOR 5.16.1.1 Situações problemas S1. Nos livros os autores, de um modo geral, apresentam, nas lições, textos que indicam uma ideia articulada das situações problemas, e estas, quase sempre, usam uma contextualização e a aplicação de exercícios. Portanto, tem-se como expectativa que os professores e estudantes percebam, na lição e nos textos propostos, quais os elementos que expressam razoavelmente os conteúdos e representam os problemas sobre estatística, em particular a média aritmética. S2. As situações problemas presentes nos livros didáticos analisados são compostas por lições que abordam tópicos da estatística e expressam contextos que exemplificam ocorrências sobre temas, determinando condições como demonstrações de fórmulas aritméticas, utilizando símbolos adequados, expressões numéricas que representam o contexto sobre os tópicos do problema. Estas condições observadas permitem que os conteúdos da elaboração da situação problema sejam melhor explicitados nas questões específicas que podem ser resolvidas a partir da utilização dos conceitos estatísticos de média aritmética. Análises e Discussão dos Dados 303 5.16.1.2. Linguagem L1. A importância do uso de diferentes recursos que expressem a linguagem estatística e matemática (verbal, gráfica, simbólica etc) que foram identificados nas lições e tiveram o papel de representar, nos textos, a relação com os elementos dos componentes epistêmicos, de sorte a facilitar as conversões entre eles. Nestas condições, o livro didático propõe o uso de várias expressões nas lições e estas devem ser assimilidas pelos professores e estudantes. Assim, tem-se uma multiplicidade de termos e expressões sobre média, usuais na estatística, como dados, símbolos, resultado, expressões, gráficos etc. Para finalizar, é possível observar que existem diferentes soluções quando se trata da linguagem em estatística e ela cumpre um papel fundamental na organização, descrição e análise de dados, sendo um instrumento de transição (Wild e Pfannkuch, 1999). Neste contexto, os símbolos são frequentemente usados para se referir às medidas e, em particular, à média. Tem-se, então, uma forma que é a linguagem numérica, sempre usada para expressar os dados e os cálculos das estatísticas. L2. Considera-se, de maneira geral, que os autores apresentam, nas lições e textos, uma linguagem apropriada para os professores e estudantes e que esta permite as condições de constituir o entendimento sobre os temas apresentados nas lições sobre estatística. No entanto, o que se observa é que os tópicos tratados são os mesmos descritos, que atendem aos aspectos do conteúdo de estatística e que se voltam aos Marcos Pinho 310 5.16.3. Componentes e descritores e dos critérios de idoneidade interelacional. Idoneidade interelacional Os autores dos livros analisados, de um modo geral, não apresentaram nenhum comentário que pudesse envolver as discussões sobre indicadores e a temática das medidas. Portanto, estes deveriam levar em conta os componentes considerados na idoneidade interelacional (Quadro 6). O que se observou nas lições sobre os temas ligados às medidas é que há uma preocupação dos autores em se posicionar com certa autonomia em relação à apresentação dos conceitos de média. Este comportamento é visto nas lições, quando os autores apresentam diferentes nomenclaturas e símbolos para representar, por exemplo, a média aritmética e as outras medidas (Figuras 11 e 18) que se seguem. Análises e Discussão dos Dados 311 QUADRO 6 - DESCRITORES ANALTICOS DOS COMPONENTES DA IDONEIDADE DIDÁTICA INTERELACIONALASSOCIADOS AOS LIVROS DIDÁTICOS Componentes Descritores/Indicadores Recursos materiais (calculadoras e computadores) R1 - O professor faz uma apresentação adequada do tópico (apresentação clara e bem organizada, não fala muito rapidamente, enfatiza os conceitos-chave do tópico, etc.) Os conflitos de significado dos alunos são reconhecidos e resolvidos (os silêncios dos alunos, suas expressões faciais, suas perguntas, um jogo adequado de perguntas e respostas, etc. são interpretados corretamente). O consenso é procurado com base no melhor argumento R2 - Vários recursos retóricos e argumentativos são utilizados para envolver e captar a atenção dos alunos. Facilita a inclusão de estudantes na dinâmica da classe e não a exclusão. Interação entre alunos IA - É favorecido o diálogo e a comunicação entre estudantes. A inclusão no grupo é favorecida e a exclusão é evitada. Autonomia A - Contempla momentos em que os alunos assumem a responsabilidade do estudo (exploração, formulação e validação). Avaliação formativa AV - Observação sistemática do progresso cognitivo dos alunos. FONTE: ELABORAÇÃO DO AUTOR Marcos Pinho 312 EXEMPLO DE NOMECLATURA, SÍMBOLOS E ALORITIMO PARA REPRESENTAR A MÉDI ARITMÉTICA FIGURA 12 - SITUAÇÃO PROBLEMA - LIVRO DIDÁTICO 3 FONTE: LIVRO DIDÁTICO 1 – MATEMÁTICA FINDAMENTAL – UMA NOVA ABORDAGEM, 2001,GIOVANI, JOSE RUY E BORJORNO, JOSÉ ROBERTO, FTD, PÁG. 466 A 493. Análises e Discussão dos Dados 313 FIGURA 17 - EXEMPLO DE NOMECLATURA, SÍMBOLOS E ALGORITIMO QUE REPRESENTAM A MÉDIA ARITMÉTICA FONTE: LIVRO DIDÁTICO 5 - OLHAR MATEMÁTICO, 2011. SOUZA, JOAMIR. FTD, PÁG. 24 A 26 E 152 A 154. PROBLEMAS RELACIONADOS E DE APLICAÇÃO DA MÉDIA ARITMÉTICA, MEDIANA E MODA. 5.16.4. Componentes e descritores e os critérios de idoneidade mediacional. Idoneidade e mediacional Observamos que os autores (Quadro 7) fazem comentários, reflexões, etc. que permitem concluir que implicitamente levam em consideração alguns indicadores de idoneidade mediática. Marcos Pinho 314 QUADRO 7 – DESCRITORES ANALTICOS DOS COMPONENTES DA IDONEIDADE DIDÁTICA MEDIACIONAL ASSOCIADOS AOS LIVROS DIDÁTICOS Componentes Descritores/Indicadores Recursos materiais (manipulações, calculadoras, computadores) RE - Uso de materiais manipuladores e informáticos que permitem a introdução de boas situações, linguagens, procedimentos, argumentos adaptados ao significado pretendido. Definições e propriedades são contextualizadas e motivadas usando situações específicas e modelos e visualizações Número de alunos, cronograma e condições da sala de aula NS - O número e a distribuição dos alunos permitem realizar a educação pretendida. A programação do curso é apropriada (por exemplo, todas as sessões não são ensinadas no último minuto). A sala de aula e a distribuição dos alunos são adequadas para o desenvolvimento do processo de instrução pretendido. Tempo (de ensino coletivo / tutoria, tempo de aprendizagem) TP - Idoneidade dos significados pretendidos / implementados ao tempo disponível (face a face e não face a face). Investimento de tempo no conteúdo mais importante ou principal do assunto. Investimento de tempo nos conteúdos que apresentam mais dificuldade. FONTE: ELABORAÇÃO DO AUTOR 5.16.4.1. Recursos materiais Os autores de uma forma geral deixam transparecer que em etapas das lições e atividades propostas, que serão necessários em algumas atividades a aplicação de recursos tecnológicos simples e conhecimentos outros, como por exemplo: o uso de calculadoras, a planilha de cálculo, processo de instrução. Desta forma fica evidenciado Análises e Discussão dos Dados 315 que os alunos usaram, em menor grau, a planilha e a calculadora. Os autores, de uma forma geral, deixam transparecer que, em etapas das lições e atividades propostas, que será necessárias, em algumas atividades, a aplicação de recursos tecnológicos simples e conhecimentos outros, como, por exemplo, o uso de calculadoras, planilha de cálculo e processoe de instrução. Desta forma, fica evidenciado que os alunos usaram, em menor grau, a planilha e a calculadora. 5.16.5. Componentes e descritores e os critérios de idoneidade emocional Idoneidade emocional Considerando os descritores de idoneidade emocional (Quadro 8), observou-se que os autores nas lições, de uma forma geral, não apresentam referências concretas, ou seja, não há nenhuma preocupação em argumentar sobre como demonstrar para os alunos que devessem se interessar em realizar uma tarefa em que se promovessem atividades com este vínculo. Marcos Pinho 316 QUADRO 8 - DESCRITORES ANALTICOS DOS COMPONENTES DA IDONEIDADE DIDÁTICA EMOCIONAL ASSOCIADOS AOS LIVROS DIDÁTICOS Componentes Descritores/Indicadores Interesses e necessidades IT - Seleção de tarefas de interesse para estudantes. Proposição de situações que permitem valorizar a utilidade da matemática na vida diária e profissional. Atitudes AT - Promoção do envolvimento em atividades, perseverança, responsabilidade, etc. A argumentação é favorecida em situações de igualdade; O argumento é avaliado em si mesmo e não por quem o diz. Emoções EM - Promoção da auto-estima, evitando rejeição, fobia ou medo da matemática. As qualidades estéticas e de precisão da matemática são destacadas. FONTE: ELABORAÇÃO DO AUTOR No entanto, é de se esperar que os alunos, vez por outra, demonstrem interesse no estudo do conteúdo em questão. O fato de participarem de uma nova proposta educacional foi assimilado positivamente. (Dierings, 2014, p.66). 5.16.6. Componentes e descritores e os critérios de idoneidade ecológica. Idoneidade ecológica Nos livros observados os autores fazem diversos comentários, reflexões etc, o que nos permite concluir que, implicitamente, leva em consideração alguns indicadores de idoneidade ecológica (Quadro 9). Análises e Discussão dos Dados 317 QUADRO 9 - DESCRITORES ANALTICOS DOS COMPONENTES DA IDONEIDADE DIDÁTICA ECOLOGICA ASSOCIADOS AOS LIVROS DIDÁTICOS FONTE: ELABORAÇÃO DO AUTOR 5.16.6.1. Adaptação ao currículo Os autores se preocuparam em desenvolver nas suas propostas de lições um amoldamento ao currículo. Portanto, nestes pontos, os livros fizeram uma construção sobre média aritmética e seu conceito Componentes Descritores/Indicadores Adaptação ao currículo AD - Os conteúdos, a sua implementação e avaliação correspondem às diretrizes curriculares. Conexões intra e interdisciplinares CI - Os conteúdos estão relacionados a outros conteúdos de estatística e matemáticos (geometria, aritmética e etc) conexão com o currículo de matemática da educação básica e conteúdos) ou com conteúdos de outras disciplinas (contexto extra-matemático ou com conteúdos de outros assuntos da vida corrente). Adaptação social-profissional e cultural AP - Os conteúdos são úteis para a inserção sócioprofissional e cultural dos estudantes em seu meio. Ensinar com inovação EI - Inovação baseada em pesquisa e prática reflexiva (introdução de novos conteúdos, recursos tecnológicos, computador e calculadoras, outras formas de avaliação, diferente organização de sala de aula, etc.). Educação de valores ED - Contempla a formação de valores democráticos e o pensamento crítico Marcos Pinho 318 considerando as diretrizes previstas no PCN - Parâmetros Curriculares Nacionais. 5.16.6.2. Conexões intra e interdisciplinares Os autores aplicam, em suas lições, uma conexão com outras disciplinas da educação básica, pois eles planejaram e utilizaram, nas lições, situações funcionais em que conectam o tratamento da média com a aplicação em situações práticas vivenciadas em conteúdos de diferentes disciplinas do ensino médio. Assim, tem-se claramente uma referência interdisciplinar da aplicação dos conteúdos de estatística na educação básica. Neste sentido, houve, então, um interesse dos autores de conectar as lições com outros pontos da estatística, ou seja, com outras medidas. Para além destas intenções houve também a aplicação de lições que se relacionam com outros conteúdos da matemática como, por exemplo, a aplicação da média na geometria. Assim tem-se relação concreta da aplicação da média, observa-se uma coerência, pois leva em conta o que dizem os Parâmetros Curriculares (PCN) para o ensino básico no País. 5.16.6.3. Ensinar inovação Tomando como base as diretrizes estabelecidas nos PCN 1998, os autores dos livros didáticos seguem estas propostas e programas para elaboração das lições. Estes, por sua vez, têm os professores o Análises e Discussão dos Dados 319 elemento mediador para justificar as atividades didáticas sugeridas para o ensino e a aprendizagem. Neste sentido é que as lições se propõem a apresentar os casos de inovação para o ensino da matemática da educação básica. Por consequência temos os casos em que lições de estatística que se organizam com o conteúdo de medidas de tendência central e, em particular, o conceito sobre média aritmética. Elas possuem muitos aspectos que podemos considerar inovadores, pois são observados a sua aplicação e realização de atividades, em que se estabelecem relações intra-matemáticas, tendo o contexto algébrico e o contexto funcional presentes. 5.16.6.4. Utilidade social-trabalhistaEducação de valores Os autores, de um modo geral, apresentam situações em que argumentam sobre o uso social e trabalhista de sua abordagem nas diferentes situações, nas lições, ou seja, passam a inovar. Em particular, eles fazem uma proposta que indicam possibilidades aos alunos para estudos posteriores, quando poderão se inserir no ensino superior. Há uma preocupação em propriciar mais oportunidades de formação e conhecimento para os estudantes. Portanto, criam-se as condições para que o currículo do ensino médio passe a contribuir com uma formação mais ampla e o aluno possa realizar estudos de ciência na área de exatas e tecnologia (Dierings, 2014, p.66). Marcos Pinho 326 o papel do objeto institucional e pessoal a que se refere Godino e Batanero (1984; 1998), que tem no estudo o livro didático e o professor como elementos desse contexto, os quais consideram-se essenciais na investigação desenvolvida, que tem preocupação com o ensino e aprendizagem da estatística e, em particular, o conceito de média. Os resultados apresentados em detalhes podem ser apreciados ao longo do capítulo 5 desta tese, que demonstram muitas das preocupações sobre o ensino e a didática da estatística, no que diz respeito à compreensão sobre o conceito de média aritmética. Assim, foram desenvolvidas as análises particularizadas do questionário respondido pelos professores, no que tange ao item que tratou especificamente sobre o conceito de média aritmética. Considera-se que o tema geral do instrumento versa sobre as medidas de tendência central de um modo geral e aborda aspectos relacionados às questões conceituais e em particular o conceito da média aritmética. A partir desta visão, proporcionada pela teoria da EOS, foi feitaa análise das configurações didáticas, ferramenta capaz de avaliar os conhecimentos matemáticos distintos (Godino, Batanero e Font, 2006). E, assim, se observou as práticas realizadas e desenvolvidas na análise da resposta do item 1 do questionário. Complementa esta visão de concepção do estudo o momento em que se materializa as análises minuciosa de todos os pontos discutidos nesta tese, a partir do marco teórico que definiu o estudo. O resultado desta análise particular e de todo o instrumento, apresentado no capítulo 5, corrobora com o entendimento sobre a interpretação, o cálculo, a Considerações Finais 327 aplcação sobre o conceito de média aritmética, e concretiza a visão já conhecida nas outras etapas do estudo. Quanto ao conceito de média apresentado nos livros didáticos analisados, este procedimento analítico está presente em detalhes neste capítulo 5, onde se desenvolve uma análise utilizando a teoria do EOS, levando em conta a discussão sobre o objeto matemático e sua configuração didática, a exemplo do que ocorreu na análise do item 1 do questionário. Enfim, fica evidente nos elementos que foram analisados e os seus resultados, tendo em vista o marco teórico, que se está diante de situações que, muitas vezes, não traduzem o que representa a didática do ensino e aprendizagem da estatística, em particular, o conceito de média aritmética. Portanto, é justificável o entendimento e esforço no sentido de desenvolver estudos com esta natureza, que visam analisar, no campo da didática e do ensino da estatística, a compreensão do professor a respeito do conceito de média aritmética, numa perspectiva da teoria do EOS. Objetivo específico 2: Confrontar as lições apresentadas nos livros didáticos sobre o conceito de Média Aritmética, a partir dos critérios do Enfoque Ontosemiótico. As análises do livro didático seguiram um rito que havia sido definido na construção deste estudo, reconhecendo a importância do objeto institucional na definição do processo de ensino e aprendizagem dos estudantes e firmando-se como uma ferramenta imprescindível para o professor. O livro didático tem sido motivo de preocupação, nos Marcos Pinho 328 últimos tempos, dos pesquisadores, que desenvolvem investigações no campo da didática do ensino e aprendizagem, como destacado nos estudos desenvolvidos por Godino e Batanero (2006), Cockraft (1985) e Robinet (1989), dentre outros. Nesta análise, procurou-se considerar os aspectos e princípios que foram definidos no marco teórico, no capítulo 3 desta tese, que tem no EOS o principal arcabouço usado no desenvolvimento do estudo, a partir de uma visão em que aproxima o pensamento sobre o ensino e aprendizagem da estatística, e contempla o conceito de média aritmética. Neste sentido, é que foram desenvolvidas as análises dos livros didáticos apoiadas no marco teórico, que contribui para enriquecer o sentido do estudo, de sorte, que pudesse reconhecer os detalhes da apresentação do conceito de média. Esta visão empírica dos resultados foi valorizada a partir do papel do estudo teórico do EOS, que teve nos significados dos conceitos matemáticos a materialização dos princípios que determinaram a noção de significados institucional e pessoal de um objeto matemático (Godino, Batanero e Font, 2006) e, desta forma, foram construídas as análises em que foram estabelecidas as concepções dos autores dos livros didáticos sobre a conceituação de média aritmética. Os resultados permitiram indicar o quanto o livro didático instrui o processo de ensino e aprendizagem, pois são uma ferramenta didática que demonstram possuir uma razoável ideia do que representa a média aritmética, ainda que se apresentem em situações de conflitos semióticos, que podem, por vez, expressar contradição de opinião do Considerações Finais 329 que representa o conceito de média aritmética, sendo parte principal do contexto institucional construído a partir da situação problema, em cada livro didático analisado. Ficou, então, demonstrado na sequência das análises que há dificuldades e limitações que ocorrem quando a análise se dedica a estudar o papel e a importância do livro didático como instrumento de orientação do professor. Objetivo Específico 3: Identificar os conflitos semióticos presentes na compreensão de Média Aritmética por parte de professores, presentes nos livros didáticos. A realidade dos fatos sobre como são apresentados os conceitos de média aritmética nos livros didáticos foiverificada nas análises desenvolvidas, baseadas nos princípios do EOS. Considera-se que todos estes princípios foram definidos no marco teórico do capítulo 3 desta tese, que indicou o uso das ferramentas que compõe a EOS para construir as análises, pois detém instrumentos capazes de elaborar e clarificar a natureza da situação problema e seus conflitos semióticos. Esses conflitos e dificuldades apresentados pelos livros didáticos ficaram claros nos estudos desenvolvidos a partir da situação problema apresentada no livro didático. Estas discussões, com mais riqueza de detalhes, ocorreram nas análises específicas no capítulo 5 de cada livro didático abordados na tese. Na construção deste pensamento, procurouse o refinamento que o estudo exigiu, utilizando-se como ferramenta de análise a configuração didática, que identificou na interpretação as posições de conflitos entre o que foi proposto e a noção do que deveria Marcos Pinho 330 ser o conceito de fato da média aritmética. Esta condição foi construída a partir da teoria da EOS, o que permitiu desenvolver as análises sobre as configurações do objeto, em seus vários aspectos, diferenciando as relações de cada situação problema e o conflito semiótico apresentado nos distintos elementos da configuração didática. Objetivo Específico 4: Verificar como se dá a compreensão do conceito de Média Aritmética por parte de professores da educação básica, especificamente professores matemáticos e não matemáticos da 3ª Série do Ensino Médio de escola pública da cidade de Salvador. E como é apresentado este conceito nos livros didáticos usados por esse público. Buscou-se, assim, o desenvolvimento de estudos específicos, recorrendo a alguns procedimentos, que ao final permitiram que se chegasse aos entendimentos sobre esses objetos que representaram o contexto do ensino e aprendizagem da estatística nesse estudo. A seguir foram elencados os procedimentos seguidos na pesquisa, tais como: construção de um estudo em que se levaram em conta elementos que integram o processo da didática da matemática e que tem referência no ensino e aprendizagem, ou seja, desenvolvida uma pesquisa com um grupo de 12 (doze) professores da educação básica, que responderam a um questionário de pesquisa, e se complementa com a análise de 6 (seis) livros didáticos do ensino médio, usados pelos estudantes e professores nas atividades escolares. Considerações Finais 331 Quanto às análises sobre os estudos quantitativos referentes às respostas dos itens dos questionários, aplicados junto aos professores, foi possível identificar o quanto persistem as dificuldades de entendimentos sobre os conteúdos de estatística e, em particular, o conceito de média aritmética. Isso se comprova quando neste estudo aprofundou-se as análises e estudos com a intenção de aferir detalhes e especificidades sobre o conceito de média aritmética. O que se observa é uma forte heterogeneidade de entendimento sobre o tema, média aritmética, e se evidencia muito claramente quando tratamos sobre estatística. E este fato está presente nas respostas da maioria dos professores e não há diferenças entre as formações dos professores, que nesse estudo foi classificado em dois grupos; como matemáticos e de outras disciplinas. Essas explicações que, observamos nas respostas dos docentes quando analisamos os resultados justificam as medidas que estão em curso, como por exemplo, as políticas de melhorias do currículo da educação básica, a formação mais efetiva dos professores e aprimoramento do livro didático no Brasil em particular, pois já é uma realidade nos países da Europa e alguns da América Latina. Todas estas medidas têm a intenção de aproximar o que indicam os estudos desenvolvidos no âmbito do ensino e aprendizagem da educação, e que podem refletir diretamente no ensino da estatística, como refere os estudos de Batanero (2000) e Cobo (2003). Esta discussão se apresenta nesta tese no capítulo 2, bem como suas análises pormenorizadas acerca do entendimento do professor sobre estatística e sua relação com outras Marcos Pinho 332 medidas, que podem ser averiguadas nos estudos específicos, proporcionados no capítulo 4 desta tese. Sendo assim, foi possível ampliar a visão nesta parte do estudo de como ocorre a compreensão do professor sobre as medidas de tendência central e, em particular, o conceito de média aritmética. O que foi observado sobre a realidade da análise do livro didático e da presença do conteúdo de estatística com referências claras nas lições sobre os conteúdos, e especificamente da média aritmética, reforça na prática a presença da estatística como parte dos programas curriculares das disciplinas da 3ª série do ensino médio da educação básica, aspecto positivo, que torna definitiva a sua presença no currículo escolar. Portanto, em termos de reconhecimento, esta ferramenta é de suma importância para auxiliar o professor na construção de sua aula e nas tarefas pedagógicas, ou seja, os conhecimentos de estatística passam a ser potencializados em um sistema de práticas matemáticas, em que tem nos objetos institucionais e pessoais os instrumentos deste sistema (Godino, Batanero e Font, 2006). 6.3. CONCLUSÕES SOBRE OS PRESSUPOSTOS No capítulo 1 desta tese, foram definidos pressupostos que buscaram entender os objetivos da pesquisa e refletir os seus resultados, apoiado nas definições metodológicas elaboradas na investigação. O sentido dos pressupostos se organizou a partir dos estudos preliminares no campo do ensino e aprendizagem, e teve seu foco de análise baseada Considerações Finais 333 no aspecto do ensino da estatística, quando se apropriou das abordagens construídas com base na teoria do enfoque Ontosemiótico (EOS), consideradas apropriadas para orientar o estudo, e se organizou com base nos critérios apresentados a seguir, fruto das discussões sobre os o marco teórico e da metodologia. 6.3.1. Pressuposto 1 A frágil formação estatística do professor de matemática e não matemático que atua no Ensino Médio contribui, em parte, para uma compreensão inadequada do conceito de Média Aritmética. Entende-se que os pressupostos que se apresentam têm sua validação reconhecida em duas vertentes, no estudo, seja nas respostas dos questionários respondidos pelos professores, seja no desfecho da análise do livro didático. Por outro lado, complementa-se com o estudo do marco teórico apresentados no capítulo 3, respaldado na investigação, que tem base na teoria do EOS, e se referencia em investigações no campo do ensino e aprendizagem da didática da matemática e estatística. Portanto, o pressuposto discutido ao longo desta tese comprova a realidade do que é a formação do professor de um modo geral. Quando analisados especificamente os resultados desse estudo, verifica-se a existência de dificuldades na formação dos professores e se fazem referências exclusivas ao ensino de estatística, e esta visão se verifica nos muitos estudos desenvolvidos, e que foram observadas nas problemáticas investigadas, sendo que alguns destes Marcos Pinho 334 aspectos são mais acentuados. Certamente não se tem uma solução pronta para resolver essa questão do ensino e aprendizagem do professor, porém já existem estudos que se voltam para discutir vários aspectos da didática do ensino da estatística, como comprovado nas referências apresentadas nos capítulos 1 e 2, durante a discussão desta tese. No entanto, os objetivos que foram considerados nos resultados desta investigação são de fato um prenúncio da afirmação do que já ocorre em discussões no passado recente e no momento atual nos centros de pesquisa, onde se discutem aspectos referentes às propostas de ensino e didática da estatística, que influenciam positivamente para novas ideias no ensino e aprendizagem dos indivíduos e dos estudantes da 3ª série do ensino médio da educação básica. Outros aspectos examinados com riqueza de detalhes foram a visão que os professores possuem sobre o conceito de média aritmética. O que se observou dessa realidade no estudo foi a existência de dificuldade concreta do professor em reconhecer os conceitos de estatística e, particularmente, o domínio do conceito de média aritmética. No capítulo 5 desta tese, foi demonstrada através das análises esta realidade, e as necessidades que vivenciam os professores que lecionam no curso da 3ª série do ensino médio da educação básica. As questões que se apresentaram comprovam os problemas, que se iniciam desde a implantação do currículo das disciplinas da educação básica nas séries iniciais e chegam até o 3° ano do ensino médio. Contudo, essa realidade observada na investigação tem avançado nos últimos anos, o que demonstra uma Considerações Finais 335 perspectiva de melhoras e esse cenário tem se alterado no ensino da estatística e se tem conseguido superar parte das dificuldades de sua implantação. Porém, ainda carece de discussões sobre os aspectos estruturais, que envolve a formação dos professores, que exige uma atenção maior, porque envolve currículo e formação inicial em diferentes cursos de graduação. No capítulo 1, foram feitos comentários e análises detalhadas sobre vários aspectos das dificuldades dos professores e sua formação acadêmica. Muitas destas questões referentes ao professor também foram debatidas nas análises que foram desenvolvidas sobre as respostas dos itens do questionário, tanto no nível mais geral, como na especificidade sobre o professor com relação ao conhecimento sobre o conceito de média aritmética. Em seguida, foram feitas comparações com os resultados dos dois grupos (matemáticos e de outras disciplinas) dos professores. No entanto, os resultados apontam para uma homogeneidade entre os grupos, no que se referem aos conhecimentos do conceito sobre média. Isso pode ser apreciado nas tabelas e nos testes que foram desenvolvidos com a finalidade de medir a qualidade das respostas dos itens que foram selecionados. Em suma, há uma diversidade nas respostas dos itens relativa às dificuldades do professor no conhecimento sobre estatística e, em particular, o conceito de média aritmética, que independem do contexto, pois se trata do mesmo objeto matemático, que compõe o significado das medidas de tendência central, conteúdo das disciplinas do 3° ano do ensino médio da Marcos Pinho 342 partir da teoria da EOS. Assim, foi possível demonstrar a compreensão e o ponto de vista sobre várias observações analisadas nos problemas e situações didáticas apresentados nas lições analisadas sobre o conceito de média aritmética. As análises dos livros didáticos se basearam nos fundamentos teóricos do EOS, que tem nos significados dos componentes do objeto matemático da lição, as condições para identificação do conceito de média aritmética e possíveis conflitos semióticos. Entretanto, foi expectativa nos resultados alcançados por este estudo a importância que, teve fundamentações teóricas numa didática da estatística, em que evidenciam as possibilidades de medir a interação entre o professor, o estudante e o livro didático, ou seja, uma didática, que melhor se aproxime dos objetos institucional e pessoal, no sentido de permitir lograr êxito nos aspectos que envolvem o ensino e aprendizagem da didática e estatística, e em particular do conceito de mádia aritmética. 6.5. O FUTURO E A INVESTIGAÇÃO SOBRE O ENSINO DA ESTATÍSTICA Ao final desse estudo, espera-se que sejam gerados pontos de vistas teóricos que possam contribuir com as discussões acerca do ensino e aprendizagem da matemática e estatística na educação básica, como forma de aproximar os conteúdos de estatística e, em particular, o conceito de média aritmética dos professores e dos estudantes refletindo na formação do indivíduo na sociedade atual. Por outro lado, sabe-se que muitas investigações no campo da didática da matemática têm Considerações Finais 343 enfatizado os aspectos descritivos e explicativos do que ocorre em sala de aula, porém se observa uma distância entre o que é investigado e a prática corrente do ensino (Godino, 2011), quando cita Frankle, Kazemi e Battey (2007, p. 226) e Hiebert e Grouws (2007, p. 372). Esta investigação faz revelações importantes a respeito do ensino da estatística em escolas públicas da 3ª série do ensino médio da cidade de Salvador, na Bahia, que considera os aspectos da visão professor e do livro didático. Imagina-se que este estudo poderá contribuir e enriquecer as discussões no campo do ensino e da didática da estatística, pois corroboram para a necessidade de que se avance no sentido de ampliar os estudos no ensino e aprendizagem da estatística no âmbito da educação básica. Por outro lado, quando comparamos com a realidade de muitos países como Espanha, Inglaterra, África do Sul e outros, se observa que já há um avanço nos últimos tempos, e hoje se volta para os países da América Latina como México, Brasil, Chile e Argentina, portanto, isso revela que existe interesse de pesquisadores no sentido de ampliar essa discussão para além dos países do ocidente. Contudo, no caso do Brasil, vive-se um esforço no sentido de aproveitar as mundanças nos planos curriculares e mais este momento em que, se constroem novas teorias, o que facilita a compreensão desses conteúdos de estatística nos recentes currículos da educação básica do Brasil e em outros países da América Latina, que se propõem a construir uma didática da estatística que se aproxime de uma visão teórica contemporânea e que acolha o estudante e o indivíduo no seu cotidiano. Marcos Pinho 344 Nessa linha, aponta-se para iniciativas que se propõem estudar o ensino da estatística e que orientam, por exemplo, na elaboração de livros didáticos, que abordem com propriedade os conteúdos das lições sobre estatística, que façam relações com diversos conteúdos, não só da matemática como de outras disciplinas da educação básica, e, no caso específico deste estudo, versa sobre a preocupação do conceito de média aritmética que pode se apresentar em diferentes contextos interdiciplnares. Também não se pode esquecer da formação de professores, nas diversas áreas do conhecimento. Estes se apropriam dos conteúdos de estatística na graduação, porém carecem de conhecimentos sobre a estatística no contexto da visão dos novos currículos da educação básica. Enfim, este esforço educativo deve buscar uma participação efetiva da comunidade científica, no sentido de ampliar a compreensão sobre uma didática do ensino e aprendizagem da estatística no marco atual, em que a ciência e a tecnologia caminham irmanadas na decisão das questões que se apresentam para sociedade no diaadia. Nesse estudo, foi possível observar que já há discussões e um avanço considerado importante quando se fala a respeito do ensino e didática da estatística. Porém, apesar deste cenário apresentar progresso, contudo, o que se demonstra é a necessidade de uma política pública que trate com mais efetividade os aspectos do ensino e aprendizagem da estatística como disciplina própria, mesmo sendo aproveitada como conteúdo de outras disciplinas da educação básica, Considerações Finais 345 desde séries iniciais de ensino até os níveis finais da educação básica. No aspecto do estudo teórico, sente-se que a teoria do EOS foi uma importante aliada para responder muitas das indagações que foram colocadas no estudo sobre ensino e aprendizagem, e o alcance das respostas satisfizeram muitas das questões de pesquisa, sendo, então, uma garantia de que a teoria do EOS se firma para contribuir com o campo do ensino e didática da estatística. Esta expectativa se deu quando foi possível entender a necessidade que os estudantes e indivíduos dominem o conhecimento sobre o algoritmo das medidas e sua aplicação para que possam entender uma situação problema que envolva o conceito de média aritmética, por exemplo. Portanto, o que se espera é que esta situação seja resolvida no âmbito do conhecimento e da utilização de uma teoria do ensino e aprendizagem que possa contribuir com a formação do professor, estudante e indivíduo. A falta deste entendimento poderá colaborar para que ocorram dificuldades na interpretação da lição e na compreensão dos conceitos mais simples sobre as medidas (Gattoso e May, 1998). Marcos Pinho 346 REFERÊNCIAS: Alvarado, H. (2007). O Significados del Teorema Central del Limite en la Enseñanza de la Estadística en Ingeniería.Universidad de Granada. Directora: Dr. Carmen Batanero. Andrade, Maria Margarida de. (2009). Introdução a metodologia do trabalho científico. 9º edição. Editora Atlas. São Paulo. 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