Inferencia estatística

Vicerreitoría de eStUdaNteS, cUltUra e ForMaciÓN coNtiNUa Unha colección orientada a editar materiais docentes de calidade e pensada para apoiar o traballo do profesorado e do alumnado de todas as materias e titulacións da universidade Grao en Enxeñaría Informática Estatística Rosa Mª Crujeiras Casais 3 Inferencia estatística 9788498 879582 Departamento de Estatística e Investigación Operativa Escola Técnica Superior de Enxeñaría Inferencia estatística 3 Rosa Mª Crujeiras Casais Departamento de Estatística e Investigación Operativa Escola Técnica Superior de Enxeñaría ADVERTENCIA LEGAL: reservados todos os dereitos. Queda prohibida a duplicación, total ou parcial desta obra, en calquera forma ou por calquera medio (elec-trónico, mecánico, gravación, fotocopia ou outros) sen consentimento expreso por escrito dos editores. Dep. Legal: C 55 - 2013 ISBN 978-84-9887-958-2 © Universidade de Santiago de Compostela, 2013 Esta obra atópase baixo unha licenza Creative Commons BY-NC-SA 3.0. Calquera forma de reprodución, distribución, comunicación pública ou transformación desta obra non incluída na licenza Creative Commons BY-NC-SA 3.0 só pode ser realizada coa autorización expresa dos titulares, salvo excepción prevista pola lei. Pode acceder Vde. ao texto completo da licenza nesta ligazón: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/es/legalcode.gl Deseño Unidixital Servizo de Edición Dixital da Universidade de Santiago de Compostea Edita Vicerreitoría de Estudantes, Cultura e Formación Continua da Universidade de Santiago de Compostela Servizo de Publicacións da Universidade de Santiago de Compostela Imprime Unidixital UNIDADE DIDÁCTICA III. Inferencia Estatística - 3 MATERIA: Estatística TITULACIÓN: Grao en Enxeñaría Informática PROGRAMA XERAL DO CURSO Localización da presente unidade didáctica Unidade Didáctica I. Estatística Descritiva ESTATÍSTICA DESCRITIVA Conceptos xerais. Distribucións de frecuencias. Representacións gráficas. Medidas características: posición, dispersión e forma. Estatística descritiva bidimensional. Recta de regresión. Unidade Didáctica II. Probabilidade FUNDAMENTOS DE PROBABILIDADE Experimento aleatorio. Sucesos e espazo mostral. Asignación e definición de probabilidade. Operacións con sucesos. Probabilidade condicionada. Independencia de sucesos. Teoremas clásicos: regra do produto, teorema da probabilidade total, teorema de Bayes. VARIABLE ALEATORIA Concepto de variable aleatoria. Variable aleatoria discreta. Función de masa de probabilidade. Función de distribución. Medidas características. Variable aleatoria continua. Función de distribución. Función de densidade. Cálculo de medidas características. Modelos de distribucións discretas. Modelos de distribucións continuas. Variables aleatorias bidimensionais. O modelo de regresión lineal simple. Unidade Didáctica III. Inferencia Estatística INTRODUCIÓN Á INFERENCIA ESTATÍSTICA Introdución á Inferencia Estatística. Distribucións na mostraxe en poboacións normais. Teorema Central do Límite. Relacións entre distribucións. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS Concepto de estimador. Estimación de media, varianza e proporción. Propiedades dos estimadores. Estimación por intervalos de confianza. Intervalos de confianza para unha poboación: intervalos para a media, a varianza e a proporción. Estimación no modelo de regresión lineal simple. CONTRASTE DE HIPÓTESES Introdución ao contraste de hipóteses. Procedemento de contraste. Contrastes nunha e en dúas poboacións: media, varianza, proporción, diferenza de medias e cociente de varianzas. Contrastes no modelo de regresión lineal simple. Contrastes de tipo chicadrado. Contrastes de normalidade. UNIDADE DIDÁCTICA III. Inferencia Estatística - 5 ÍNDICE Presentación ....................................................................................... 7 Os obxectivos ..................................................................................... 8 Os contidos ......................................................................................... 9 1. Introdución á Inferencia Estatística ................................ 9 2. Estimación de parámetros .............................................. 11 3. Contraste de hipóteses ................................................... 13 Metodoloxía e actividades propostas .............................................. 15 Avaliación da UD ................................................................................ 18 Anexo ................................................................................................... 19 Bibliografía .......................................................................................... 20 UNIDADE DIDÁCTICA III. Inferencia Estatística - 7 PRESENTACIÓN As bases da probabilidade e a estatística, segundo a Association for Computing Machinery e a IEEE Computer Society, subxacen aos conceptos de fiabilidade, seguridade e dependencia, factores fundamentais no ámbito da Enxeñaría en xeral e da Enxeñaría Informática, en particular. Con esta premisa, as devanditas asociacións elaboraron unhas guías para o deseño dos currículos formativos nos Graos en Enxeñaría Informática, onde se establece como obxectivo fundamental que o alumnado destes títulos adquira coñecementos dos modelos de probabilidade discretos e continuos, das distribucións na mostraxe, dos métodos de estimación e contraste e do modelado a través da regresión. No currículo do Grao en Enxeñaría Informática da Universidade de Santiago de Compostela (USC), a Estatística é unha materia do segundo semestre do primeiro curso, pertencente ao módulo de Matemáticas xunto con Álxebra, Fundamentos de Matemáticas, Matemática Discreta (primeiro semestre) e Cálculo e Análise Numérica (segundo semestre). Todas estas son materias básicas e polo tanto de carácter xeral, nas que se debe realizar unha tarefa de nivelación dos coñecementos do alumnado, proporcionando asemade os alicerces metodolóxicos para desenvolvementos posteriores noutras áreas como a representación gráfica ou a xestión empresarial. Esta Unidade Didáctica (UD) céntrase nos contidos da Inferencia Estatística, cuxas actividades formativas comprenden aproximadamente un terzo das actividades docentes, tanto presenciais como no presenciais da materia. Estatística conta con seis créditos ECTS, cuxos contidos se estruturan en tres UDs: [UD I] Estatística Descritiva. [UD II] Probabilidade. [UD III] Inferencia Estatística Nesta unidade didáctica presentaranse inicialmente os obxectivos da UD III, detallando a continuación os contidos máis relevantes da mesma considerando á súa vez tres bloques temáticos diferenciados (introdución á Inferencia Estatística, estimación de parámetros e contraste de hipóteses). Tamén se describirá a metodoloxía empregada tanto nas sesións expositivas como nas interactivas, así como as actividades de avaliación previstas. 14 - UNIDADE DIDÁCTICA III. Inferencia Estatística adaptacións deste tipo de contrastes ao caso de bondade de axuste, homoxeneidade de poboacións e independencia, con aplicación a táboas de continxencia. Dentro dos contrastes de bondade de axuste, introducirase tamén o contraste de Kolmogorov-Smirnov, e dado que a distribución normal xoga un papel importante ao longo de toda a materia, tamén se considerará o contraste de Shapiro-Wilk. No estudo dos contrastes non paramétricos, non se pretende que o alumnado coñeza as propiedades teóricas dos mesmos, senón que comprendan o procedemento de construción e saiban identificar en que situacións a súa aplicación é posible, entendendo o risco inherente a calquera toma de decisións baseadas neste tipo de técnicas. UNIDADE DIDÁCTICA III. Inferencia Estatística - 15 METODOLOXÍA E ACTIVIDADES A metodoloxía docente prevista nesta UD, entendendo como tal a maneira na que docentes e alumnado confrontan e organizan o traballo co propósito de que o alumnado acade os obxectivos marcados, contempla actividades presenciais e non presenciais. Dentro das actividades presenciais, inclúense as sesións expositivas e interactivas (de resolución de problemas e en aula de informática). Como actividades non presenciais, considéranse a resolución dun caso práctico e algunhas lecturas ou actividades recomendadas, así como as horas de estudo. Na Táboa 1 inclúese a distribución horaria das actividades previstas para o ensino/aprendizaxe dos contidos desta UD. Considéranse necesarias un total de vinte e unha horas presenciais, distribuídas en dez horas de sesións expositivas, outras dez horas de sesións interactivas (seminarios de resolución de problemas e prácticas na aula de informática) e unha hora de titorías. Actividades presenciais Actividades non presenciais Sesións expositivas Sesións interactivas (seminarios) Sesións interactivas (aula informática) Titorías 10 horas 4 horas 6 horas 1 horas Estudo individual Caso práctico Lecturas e outras actividades 15 horas 4 horas 2 horas Táboa 1. Distribución de actividades formativas presenciais e non presenciais (en horas de traballo do alumnado) para a UD de Inferencia Estatística. Actividades presenciais Sesións expositivas (10 horas): nas sesión de docencia expositiva explicaranse os conceptos teórico-prácticos dos contidos, apoiándose en presentacións multimedia, que se facilitarán ao alumnado. Tamén se resolverán algúns problemas tipo, de maneira que o alumnado poida traballar sobre os boletíns de exercicios propostos de maneira independente. Respecto ao material para o seguimento das sesións expositivas, ademais dos temas da materia, os boletíns de exercicios e a bibliografía recomendada, o alumnado disporá de material docente complementario (exercicios resoltos, exemplos de casos, enderezos na rede, bibliografía na rede, etc.). Sesións interactivas de resolución de exercicios (4 horas): para as sesións interactivas de resolución de problemas, facilitaráselle ao alumnado una colección de boletíns temáticos dos que se resolverán problemas 16 - UNIDADE DIDÁCTICA III. Inferencia Estatística significativos, deixando para o traballo persoal outros similares. Os problemas serán resoltos polo profesorado e polo alumnado, de maneira individual ou en grupo, coa posterior exposición dos resultados dependendo da temática e/ou da necesidade de clarificar ou incidir nalgún dos contidos tratados. A planificación de actividades realizouse considerando sesións de dúas horas, se ben podería adaptarse para sesións dunha hora. Sería recomendable que o número de estudantes por grupo nas sesións interactivas de seminarios non excedese os vinte. Dado que un dos obxectivos é que o alumnado saiba formular problemas reais en termos estatísticos, unha actividade que pode axudarlles a esta tarefa pode levarse a cabo nas sesións interactivas, ou nas expositivas, dependendo do calendario do curso, traballando os conceptos do contraste de hipóteses dunha forma máis activa, involucrando ao alumnado. Por exemplo, para introducir os contrastes sobre a media ou a proporción, é doado atopar nos medios de comunicación algún titular que resulte interesante ou sospeitoso. Elixido un ou varios titulares, pode solicitarse ao alumnado que faga unha breve enquisa sobre o tema, considerando algunhas cotas por sexo e idade, e cos datos reais recollidos, levaríase a cabo na clase o contraste do titular. Este tipo de enfoque fai que os estudantes amosen unha actitude máis activa, e que exerciten a súa capacidade crítica. Sesións interactivas en aula de informática (6 horas): parte das sesións de docencia interactiva levaranse a cabo na aula de informática onde se introducirá ao alumnado no manexo do software R para a análise estatística de datos. Para cada unha destas sesións o alumnado disporá dun guión da práctica, da presentación utilizada como fío condutor e dun boletín de exercicios. Na aula de informática, o alumnado resolverá problemas preparados ao efecto. Ao igual que para as sesións de resolución de problemas, a planificación realizouse considerando sesións de dúas horas para grupos de vinte estudantes. Titorías (1 hora): as titorías están destinadas ao seguimento da aprendizaxe do alumnado, considerando grupos reducidos (aproximadamente dez alumnas/os). Actividades non presenciais Caso práctico: o obxectivo principal das sesións interactivas na aula de informática é que o alumnado sexa quen de realizar unha análise de datos utilizando as técnicas básicas explicadas. Organizados por parellas ou grupos de traballo, esta actividade consistirá na elaboración dun informe utilizando técnicas de estatística descritiva e de inferencia estatística (construción de intervalos de confianza, contrastes de hipóteses e modelado da relación entre variables mediante regresión lineal simple), cuxa formulación e aplicación práctica se traballará nas sesións interactivas en aula de informática. A resolución dos casos prácticos farase empregando o software R. Cabe salientar que esta actividade pode ser transversal a varias UNIDADE DIDÁCTICA III. Inferencia Estatística - 17 UD, dado que previo á análise inferencial resulta necesario realizar unha análise descritiva dos datos. Resolución de exercicios: proporase a resolución de exercicios que o alumnado, de maneira individual, deberá entregar para a súa avaliación. Outras actividades: outras actividades de aprendizaxe non presencial son as horas de estudo individual e de consulta bibliográfica e/ou recursos na rede. Nesta UD proponse a consulta de applets. Un applet é unha compoñente dunha aplicación que se executa no contexto doutro programa, por exemplo, dun navegador web. Moitos dos applets que se poden atopar na rede serven para ilustrar conceptos estatísticos básicos, por exemplo, sobre estimación no modelo de regresión lineal simple, cobertura de intervalos de confianza ou elementos dos contrastes de hipóteses. 18 - UNIDADE DIDÁCTICA III. Inferencia Estatística AVALIACIÓN DA UNIDADE DIDÁCTICA A continuación detállanse os procedementos de avaliación de cada un dos obxectivos da UD, presentados na segunda sección desta memoria. [OB1]--[OB4] Mediante a resolución de exercicios, avaliarase se o alumnado é quen de discriminar entre unha análise estatística descritiva ou inferencial. Seguindo as indicacións que se darán nas sesións expositivas, previa a resolución dos exercicios formulados, o alumnado realizará unha análise da información da que se dispón, identificando os factores mostrais e poboacionais, e determinando claramente os elementos a calcular. A través dos exercicios propostos, tamén se poderá avaliar se o alumnado coñece os principios e aplicación dos contrastes de hipóteses, tanto para unha poboación como para dúas poboacións, e se saben estimar parámetros. O exame, que será de tipo práctico, incluirá a resolución dalgúns exercicios. Ademais, tamén se formularán algunhas cuestións breves que permitan avaliar a comprensión dos contidos teóricos relacionados fundamentalmente coa estimación de parámetros e co contraste de hipóteses. Por exemplo, poden suxerirse como cuestións curtas a avaliación das propiedades dun determinado estimador (en termos de sesgo e erro cadrático medio) ou o razoamento sobre a decisión a tomar fronte a un contraste de hipóteses dependendo do nivel de significación prefixado. [OB5] A través do caso práctico, preténdese que os estudantes se familiaricen co procedemento de análise de datos reais, formulando e resolvendo cuestións inferenciais sobre os mesmos. As actividades de avaliación dos obxectivos [OB1]—[OB4] terían un peso asociado do 80%, mentres que o 20% restante sería para a avaliación do caso práctico. UNIDADE DIDÁCTICA III. Inferencia Estatística - 19 ANEXO A comprensión dalgúns conceptos estatísticos pode simplificarse a través de resultados de simulación. No apartado de contidos, amosáronse algunhas gráficas elaboradas con R. Este software proporciona ademais algunhas librarías que poden resultar especialmente útiles na actividade docente. En concreto, a libraría rpanel, dispón dunha utilidade (rpcartoons, véxase a Figura 4) que permite a ilustración dalgúns conceptos relacionados co cálculo de intervalos de confianza e cos contrastes de hipóteses, contidos centrais do segundo e terceiro bloque desta UD Figura 4. Menú da utilidade rpcartoons da libraría rpanel. Como pode verse na Figura 5, a utilización dos exemplos da utilidade rpcartoons pode facerse de maneira sinxela a través dos menús despregables. Figura 5. Exemplo de menú despregable da utilidade rpcartoons para cálculo de intervalos de confianza. Para afianzar os contidos do segundo bloque temático desta UD, é importante que o alumnado comprenda a interpretación da cobertura dun intervalo e que sexa consciente do efecto que ten o tamaño da mostra empregada para o cálculo de intervalos sobre a lonxitude dos mesmos. Así, por exemplo, para o cálculo de intervalos de confianza para a media, a utilidade rpcartoons dispón dunha opción na que permite fixar os parámetros da distribución normal teórica considerada (media e varianza), e variar o tamaño da mostra. Na Figura 6, preséntanse dous exemplos de cálculos de intervalos de confianza para a media (valor teórico nulo, neste caso), con distintos tamaños de mostra. Estes parámetros poden ser modificados polo usuario. Por defecto, a aplicación xera cen mostras da distribución elixida. No exemplo, probáronse dous tamaños de mostra (cincuenta e cincocentos datos), observándose claramente unha diminución 20 - UNIDADE DIDÁCTICA III. Inferencia Estatística da lonxitude dos intervalos. Sinálanse en vermello aqueles intervalos que non inclúen ao verdadeiro valor do parámetro. Do mesmo xeito, tamén podería ilustrarse o efecto de aumentar ou diminuír a varianza poboacional. Figura 6. Ilustración da lonxitude e cobertura de intervalos de confianza para a media, nunha poboación normal, para distintos tamaños de mostra. Para a realización de contrastes de hipóteses, unha vez calculado o valor do estatístico de contraste coa mostra observada, é necesario cuantificar o p-valor asociado (probabilidade de obter un valor máis extremo baixo a hipótese nula) para poder decidir se a hipótese nula debe ser rexeitada ou se non existen evidencias suficientes en contra da mesma. Como se pode ver na Figura 7, a utilidade rpcartoons tamén permite calcular p-valores para distintas distribucións, amosando graficamente a probabilidade asociada. Esta representación, simplemente indicando que se desexa representar a cola inferior e non a superior, pode utilizarse ao introducir os cuantiles na UD II da materia. Figura 7. Cálculo de p-valores para a distribución normal, tStudent, chi-cadrado e F de Snedecor. UNIDADE DIDÁCTICA III. Inferencia Estatística - 21 BIBLIOGRAFÍA CAO, R. E OUTROS (2005) Introducción a la Estadística y sus Aplicaciones. Pirámide. CRUJEIRAS, R. E FARALDO, P. (2010) Estadística Básica para Ciencias de la Salud. Unidixital FEBRERO, M. E OUTROS (2008) Estadística: Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas. Universidade de Santiago de Compostela. DEVORE, J.L. (2005) Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias. Paraninfo. MONTGOMERY, D. E RUNGER, G. (1996) Probabilidad y Estadística aplicadas a la Ingeniería. McGraw-Hill. Recursos en internet Ligazóns con applets: http://www.math.hope.edu/swanson/statlabs/stat_applets.html http://www.stat.tamu.edu/_west/. R: A Language and Environment for Statistical Computing. (2012) R Development Core Team. http://www.R-project.org. Vicerreitoría de eStUdaNteS, cUltUra e ForMaciÓN coNtiNUa Unha colección orientada a editar materiais docentes de calidade e pensada para apoiar o traballo do profesorado e do alumnado de todas as materias e titulacións da universidade Grao en Enxeñaría Informática Estatística Rosa Mª Crujeiras Casais 3 Inferencia estatística 9788498 879582 Departamento de Estatística e Investigación Operativa Escola Técnica Superior de Enxeñaría