Haces y teoría de la señal

Traballo Fin de Grao Haces y teoría de la señal Patricia Guerra Balboa 2019/2020 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao Haces y teoría de la señal Patricia Guerra Balboa 13,Julio,2020 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA Trabajo propuesto Área de Coñecemento: Xeometría e topoloxía Título: Haces y teoría de la señal Breve descrición do contido Introduciremos la teoría de haces clásica, así como el concepto de haz celular y su relación con dicha teoría. Para ello empezaremos presentando todas las herramientas necesarias englobadas en la teoría de categorías. Posteriormente trataremos la cohomología de haces y un ejemplo de aplicación de la misma. Recomendacións Tener soltura para leer textos en inglés. Outras observacións iii Índice general Resumen viii Introducción xi 1. Teoría de categorías 1 1.1. Teoríadecategorías ............................... 1 1.2. Funtores...................................... 4 1.3. Transformaciones naturales y equivalencia de categorías . . . . . . . . . . . 6 1.4. Conosylimites.................................. 7 1.5. Coconosycolímites................................ 9 2. Prehaces y haces 13 2.1. Prehaces y morsmos de prehaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2. Haces ....................................... 15 3. Haces celulares 21 3.1. Complejos celulares regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2. Hazcelular .................................... 24 3.3. Conjuntos ordenados y topología de Alexandrov . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4. Relación entre haces y haces celulares 29 5. Homología y cohomología de haces 41 5.1. Homologíasimplicial............................... 41 5.2. Cohomología de haces celulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6. Aplicaciones al control del tráco aéreo 51 6.1. Presentación del problema y contexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.2. Modelización del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6.3. Cáculo de la homología del complejo simplicial . . . . . . . . . . . . . . . . 54 v vi ÍNDICE GENERAL 6.4. Cáculo de la cohomología del haz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.5. Análisis de la robustez del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Bibliografía 61 2 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CATEGORÍAS Observación 1.1.4 . De la propia denición se deduce que g es única. Notación 1.1.5 . g recibe el nombre de inversa de f Ejemplo 1.1.6. Denimos la categoría Set como aquella que tiene como objetos conjuntos y como echas las aplicaciones entre conjuntos. Esta categoría está perfectamente denida ya que : Dado un conjunto A existe la aplicación IdA:A−→ A mediante IdA(a) := a∀a∈ A y por ser aplicación entre conjuntos es echa de la categoría la composición de aplicaciones entre conjuntos está bien denida, es asociativa y cualquier aplicación compuesta con la aplicación identidad es ella misma. Los isomorsmos de esta categoría son las aplicaciones biyectivas entre conjuntos. Ejemplo 1.1.7. La categoría Grp es aquélla cuyos objetos son grupos y cuyas echas son los homomorsmos de grupos. Es claro que verica los axiomas de categoría. Los isomorsmos en este caso son los isomorsmos de grupos. Ejemplo 1.1.8. Dado k un cuerpo, la categoría Vect k es aquélla cuyos objetos son k - espacios vectoriales y cuyas echas son las aplicaciones lineales entre k -espacios vectoriales. Es claro que verica los axiomas de categoría. Los isomorsmos en este caso son los isomorsmos espacios vectoriales. Ejemplo 1.1.9. Categoría de los conjuntos abiertos que denotaremos por Open( X ) : Dado un espacio topológico X denimos Open( X ) como la categoría que tiene como objetos los conjuntos abiertos de X y una única echa o morsmo U−→ V para cada par de abiertos relacionados por la inclusión U⊆V En efecto Open(X) verica las propiedades de categoría ya que : Si U−→ V y V−→ W es porque U⊆V y V⊆W pero entonces se tiene U⊆V⊆W y por tanto U−→ W luego tenemos la composición. La asociatividad se tiene de forma trivial ya que nuestra echa es única y simplemente indica la relación de contenido. Claramente dado U∈Ob( Open( X ) ) tenemos que U⊆U y por tanto existe la echa identidad U−→ U Ejemplo 1.1.10. Dado un conjunto parcialmente ordenado X se puede denir la categoria Poset( X ) donde los objetos de la categoría son los elementos de X y existe una única echa x−→ y∀x, y ∈X tales que x≤y 1.1. TEORÍA DE CATEGORÍAS 3 la demostración de que es una categoría es análoga al anterior ejemplo solo que usando en vez de las propiedades de la inclusión de conjuntos las propiedades de conjunto parcialmente ordenado. Ejemplo 1.1.11. Una relación de equivalencia aporta estructura de categoría sobre un conjunto. Basta tomar como objetos los elementos del conjunto y establecer una única echa entre los elementos relacionados. Observación 1.1.12 . Una categoría C puede verse intuitivamente como un grafo en el que los nodos son los objetos de la categoría y las aristas las echas entre ellas que verica que todo nodo tiene una arista en sí mismo (que grafícamente vamos a obviar) que sería la identidad y además dadas dos aristas consecutivas la composición de ambas está en el grafo. Estos ejemplos nos ilustran como necesariamente al añadir una arista consecutiva a otra tiene que aparecer forzosamente la composición de ambas. Denición 1.1.13. Una categoría C se dice Categoría pequeña cuando Ob( C ) es un conjunto ordinario. Ejemplo 1.1.14. La categoría Poset( X ) es un ejemplo de categoría pequeña. Denición 1.1.15. Una categoria C se dice Categoría nita cuando |Ob( C )|<∞ Denición 1.1.16. Un Grupoide G es una categoría pequeña en la que las echas son invertibles, es decir: ∀x, y ∈Ob( G )∀f:x−→ y∃g:y−→ x / f ◦g=Idxy g ◦f=Idy Observación 1.1.17 . Un grupoide con un solo elemento es un grupo Denición 1.1.18. Dada C una categoría una Subcategoría B es una categoría que verica: Ob( B )⊆Ob( C ) Fl B (x, y)⊆Fl C (x, y)∀x, y ∈Ob(B) 4 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CATEGORÍAS la composición y la identidad se mantienen Cuando Fl( B ) = Fl( C ) se suele decir que la subcategoría es plena. Denición 1.1.19. Dada una categoría C se dene su Categoría opuesta C op como aquélla que tiene los mismos objetos y las echas en sentido opuesto, es decir: Ob( C ) = Ob( C op) Dada f:x−→ y∈Fl C (x, y)∃fop :y−→ x∈Fl C op (y, x) y recíprocamente. Denición 1.1.20. o∈Ob( C ) es un Objeto inicial de C :⇔ ∀y∈Ob( C )∃!f:o−→ y Denición 1.1.21. u∈Ob( C ) es un Objeto nal de C :⇔ ∀y∈Ob( C )∃!f:y−→ u Notación 1.1.22 . los objetos nales se llaman en ocasiones objetos terminales. Notación 1.1.23 . ∃! denota que existe un único Observación 1.1.24 . Aunque en ambas deniciones estamos pidiendo unicidad, se entiende que esta unicidad es siempre salvo isomorsmos. 1.2. Funtores Denición 1.2.1. Dadas C y D dos categorías, un Funtor de C en D es una aplicación F: C −→ D que lleva objetos de C en objetos de D y echas de C en echas de D vericando: ∀x, y ∈Ob( C )∀f:x−→ y∃F(f) : F(x)−→ F(y)∈Fl( D ) De modo que : 1. F(f0◦f) = F(f0)◦F(f) 2. F(Ida) = IdF(a)∀a∈Ob(C) Notación 1.2.2 . Denotaremos los funtores con letras mayúsculas. Notación 1.2.3 . C recibirá el nombre de dominio de F y D el nombre de codominio de F . Observación 1.2.4 . la situación para cada par de objetos con un echa entre ellos sería la siguiente: x y F(x)F(y) f FF F(f) 1.2. FUNTORES 5 x, y ∈Ob( C )⇒F(x), F(y)∈Ob( D ) F(f) es una echa en D por lo tanto tiene que respetar la composición y preservar la identidad. Ejemplo 1.2.5. Dadas una categoría C y un subcategoría de esta D la inclusión es un funtor Ejemplo 1.2.6. Tomemos las categorías Set y Grp . Denimos el funtor: F:Set Grp U G =hUi Donde hUi es el grupo libre generado por los elementos del conjunto U . Claramente si entre dos conjuntos U, V hay una aplicación f podemos denir el siguiente homomorsmo de grupos entre F(U) y F(V) : F(U)F(V) g=Pui∈UλiuiPui∈Uλif(ui) Ejemplo 1.2.7. Un ejemplo de funtores son aquellos que se conocen como funtores de olvido que lo que hacen a groso modo es olvidar la estructura de partida, por ejemplo: F:Grp Set G G De forma que el grupo G pierde su estructura de grupo y pasa a verse simplemente como el conjunto de sus elementos. Ejemplo 1.2.8. Denimos Top∗ como la categoría cuyos objetos son espacios topológicos con un punto base, (X, x0) , y las echas las aplicaciones continuas entre espacios punteados, es decir, aquellas que son continuas y además llevan el punto base del dominio en el punto base del codominio. Pues bien; π1:Top∗Grp (X, x0)π1(X, x0) Tal que dada f: (X, x0)−→ (Y, y0) , π1(f) : π1(X, x0)−→ π1(Y, y0)/ π1(f)([α]) = [f◦α] es un funtor. 6 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CATEGORÍAS Notación 1.2.9 . π1(X, x0) denota el grupo fundamental Denición 1.2.10. Dadas C y D un funtor Contravariante de C a D es un funtor F: C op −→ D Notación 1.2.11 . Sean F un funtor Covariante (que no es contravariante) y G un funtor contravariante: x F(x) y F(y) f F(f) F F x G(x) y G(y) g=fop G(g) G G x G(x) y G(y) f G(f) G G En vez de usar es segundo diagrama para representar G se suele usar el tercero , donde f es un echa en la categoría y no en su opuesta. Denición 1.2.12. Dadas una categoría pequeña I y C una categoría, un Diagrama es simplemente un funtor F: I −→ C Denición 1.2.13. Dadas I una categoría pequeña , C una categoría y O∈Ob( C ) Se dene el Diagrama constante ConstO como el diagrama que lleva cualquier objeto de C en O y cualquier echa de C en IdO Denición 1.2.14. Sea k un cuerpo y C una categoría. Una Representación de C es un funtor F: C −→ Vect k Observación 1.2.15 . Nótese que esta denición generaliza el concepto de representación de grupos. 1.3. Transformaciones naturales y equivalencia de categorías Denición 1.3.1. Dados dos funtores F, G : C −→ D , una Transformación natural η:F=⇒G consiste en una familia de echas {η(x) : F(x)−→ G(x)}xOb( C ) vericando que ∀f:x−→ y el siguiente cuadrado es conmutativo: F(x)η(x)// F(f)  G(x) G(f)  F(y)η(y)//G(y) Donde ser conmutativo signica que G(f)◦η(x) = η(y)◦F(f) 1.4. CONOS Y LIMITES 7 Notación 1.3.2 . Las echas {η(x) : F(x)−→ G(x)} reciben el nombre de componentes de la transformación η . Notación 1.3.3 . denotaremos habitualmente las transformaciones naturales del siguiente modo C D F G η Denición 1.3.4. Decimos que dos funtores F y G son Naturalmente isomorfos si entre ellos existe una transformación natural η tal que ∀x∈Ob( C ) la echa η(x) es un isomorsmo. Observación 1.3.5 . el conjunto de echas inversas, cada una de las cuales denotaremos por η−1(x) , da lugar a la transformación natural inversa η−1:G−→ F Observación importante 1.3.6 . Si tomamos como objetos los funtores entre dos categorías y como echas las transformaciones naturales entre ellos tenemos una categoría bien denida que denotaremos por Fun(C,D) Al igual que en todas las estructuras que se estudian en matemáticas como los grupos, los espacios vectoriales o los espacios topológicos, aparece la necesidad de compararlas entre sí y saber cuando hay una equivalencia entre ellas. Dados dos grupos tenemos el concepto de ser isomorfos, dados dos espacios topológicos tenemos el concepto de ser homeomorfos, etc. Pues bien, entre categorías también vamos a tener este concepto que se conocerá como equivalencia de categorías. Denición 1.3.7. Un par de funtores F: C −→ D y G: D −→ C denen una Equivalencia de categorías cuando existen dos isomorsmos de funtores: η:Id C −→ G◦F y θ :F◦G−→ Id D 1.4. Conos y limites En esta sección trabajaremos con diagramas F: I −→ C . Denición 1.4.1. Dado un diagrama F: I −→ C un Cono en F es una transformación natural de un diagrama constante a F . 8 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CATEGORÍAS Veamos una descripción más explicita de la denición: Es la elección de un l∈Ob( C ) y una colección de echas ψx:l−→ F(x) de forma que si f:x−→ y es una echa en I el siguiente diagrama conmuta : F(x)F(f)//F(y) l ψ(y) >> ψ(x) aa Es decir; ψy=F(f)◦ψx Observación 1.4.2 . La colección de los conos de un diagrama F forman una categoría que llamaremos Cone( F ) . Los objetos son los conos (l, ψx) y las echas entre conos son echas u:l0−→ l tales que ψ0 x=ψx◦u Denición 1.4.3. Denimos el Límite de un diagrama F como el objeto nal o terminal de Cone( F ) Notación 1.4.4 . Dado un diagrama F: I −→ C denotamos su limite como (lim ←− F, ψx) aunque habitualmente los denotaremos por lim ←− F cometiendo un pequeño abuso de notación. Observación 1.4.5 . Si desglosamos un poco la denición nos encontramos con que el límite de F es el par formado por lim ←− F∈Ob( C ) y la colección de echas ψx: lim ←− F−→ F(x) que hacen conmutativo el diagrama, de tal forma que si escogemos otro cono, es decir, otro objeto l0 con sus echas ψ0 x entonces existe una única echa u:l0−→ lim ←− F que conmuta con todo lo anterior, es decir, u es una echa de Cone( F ) . F(x)F(f)//F(y) lim ←− F ψy;; ψx cc l0 ψ0 y DD ψ0 x ZZ ∃!u OO Donde todos los triángulos del diagrama conmutan. Al nal lo que estamos diciendo es que efectivamente dado (l0, ψ0x)∈Ob( Cone( F ) )∃!u echa de (l0, ψ0x) en (lim ←− F, ψx) y por tanto se verica la denición de ser un objeto nal. Ejemplo 1.4.6. Supongamos I una categoría nita y discreta con n elementos y como única echa la identidad. Tomamos X un espacio topológico y su categoría de abiertos asociada Open( X ) . 1.5. COCONOS Y COLÍMITES 9 Un funtor F: I −→ Open( X ) es simplemente una elección de n abiertos de X (ya que la condición de funtor se va a cumplir trivialmente por ser la identidad la única echa en I ) Un cono de F va a ser cualquier abierto de X (y por tanto objeto de Open( X ) ) contenido en toda la selección de abiertos que denen el funtor F (ya que en Open( X ) las echas quedan determinadas por la inclusión ) F(i) = UiF(j) = Uj l=V ψi 88 ψj ff Donde V es un abierto contenido en (Ui)iOb( I ) y ψi simplemente marca la inclusión V⊆Ui . El limite de F será por lo tanto el abierto más grande contenido en la selección de abiertos (de forma que cualquier otro abierto que forme un cono estará contenido en este) que por denición es la intersección de los mismos, es decir: lim ←− F=∩i∈Ob( I )F(i) = ∩i∈Ob( I )Ui La situación para Ui, Uj abiertos de X que además son F(i), F(j) respectivamente y V abierto de X contenido en Ui y en Uj sería la siguiente: F(i)F(j) lim ←− F=Uj∩Ui 77 ff V DDZZ ∃! OO 1.5. Coconos y colímites Vamos ahora a presentar los que serían conceptos duales a los conos y limites. Denición 1.5.1. Dado un diagrama F: I −→ C un Cocono es una transformación natural de F a un diagrama constante. 10 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CATEGORÍAS Más especícamente, es la elección de un c∈Ob( C ) y una colección de echas en C ψx:F(x)−→ c de forma que si f:x−→ y echa en I el siguiente diagrama conmuta : c F(x)F(f)// ψx == F(y) ψy aa Es decir; ψx=ψy◦F(f) Observación 1.5.2 . La colección de los coconos de un diagrama F forman una categoría que llamaremos CoCone( F ) . Los objetos son los conos (c, ψx) y las echas entre conos son echas u:c−→ c0 tales que ψ0 x=u◦ψx Denición 1.5.3. Denimos el Colímite de un diagrama F como el objeto inicial de CoCone( F ) Notación 1.5.4 . Dado un diagrama F: I −→ C denotamos su colímite como (lim −→ F, ψx) aunque habitualmente los denotaremos por lim −→ F cometiendo un pequeño abuso de notación. Observación 1.5.5 . Si desglosamos un poco la denición nos encontramos con que el colímite de F es el par formado por lim −→ F∈Ob( C ) y la colección de echas ψx:F(x)−→ lim −→ F conmutativas con el diagrama, de tal forma que si escogemos otro elemento c0 con sus echas ψ0 x entonces existe una única echa u: lim −→ F−→ c0 que conmuta con todo lo anterior, es decir, u es una echa de CoCone( F ) . c0 lim −→ F ∃!u OO F(x)F(f)// ψ0 x DD ψx ;; F(y) ψ0 y ZZ ψy cc Donde todos los triángulos del diagrama conmutan. Al nal lo que estamos diciendo es que efectivamente dado (c0, ψ0x)∈Ob( CoCone(F) )∃!u echa de (lim −→ F, ψx) en (c0, ψ0x) y por tanto se verica la denición de ser un objeto inicial. Ejemplo 1.5.6. Para ilustrar las dualidad existente entre el límite y el colímite de un funtor veamos el colímite en el ejemplo 1.4.6. Supongamos I una categoría nita y discreta con n elementos y como única echa la identidad. Tomamos X un espacio topológico y su categoría de abiertos asociada Open( X ) . 1.5. COCONOS Y COLÍMITES 11 Un funtor F: I −→ Open( X ) es simplemente una elección de n abiertos de X (ya que la condición de funtor se va a cumplir trivialmente por ser la identidad la única echa en I ) Un cocono de F va a ser cualquier abierto de X (y por tanto objeto de Open( X ) ) que contenga a toda la selección de abiertos que dene el funtor F (ya que en Open( X ) las echas quedan determinadas por la inclusión) c=V F(i) = Ui ψi 88 F(j) = Uj ψj ff Donde V es un abierto que contiene (Ui)iOb( I ) y ψi simplemente marca la inclusión V⊆Ui . El límite de F será por lo tanto el abierto más pequeño que contenga la selección de abiertos (de forma que cualquier otro abierto que forme un cono contendrá a este) que por denición es la unión de los mismos, es decir: lim −→ F=∪iOb( I )Ui=∪iOb( I )F(i) La situación para Ui, Uj abiertos de X que además son F(i), F(j) respectivamente y V abierto de X contenido en Ui y en Uj sería la siguiente: V lim −→ F=Uj∪Ui ∃!u OO F(i) DD 88 F(j) gg ZZ 18 CAPÍTULO 2. PREHACES Y HACES Dado cualquier U entorno abierto de p tenemos la aplicación de paso al cociente que por ser aplicación entre conjuntos es una echa en Set ; πU:C(U)CG p f[(U, f)] Por aplicación directa de que Cp es colímite tenemos: CG p Cp ∃!u OO C(U)resV U // πU FF ψU << C(V) πV XX ψV bb Donde : u:CpCG p s[(U, f)] /ψU(f) = s Pues bien se puede ver facilmente que u es un isomorsmo (aplicación biyectiva) y por tanto CG p es el tallo que buscábamos: u es trivialmente sobreyectiva ya que dado [(U, f)] se tiene que f∈ C(U)⇒ ∃ψU(f) = s∈ Cp/u(s) = [(U, f)] u es inyectiva ya que dados s, s0/u(s) = u(s0)⇒ ∃(U, f)∼(V, g)/ψU(f) = s y ψV(g) = s0⇒ ∃W⊆U∩V entorno abierto de p tal que f|W=g|W lo que da lugar al siguiente diagrama: Cp C(W) OO C(U) ψU DD resU W ;; C(V) ψV ZZ resU W cc Provocando que s=ψU(f) = ψW(f|W) = ψW(g|W) = ψV(g) = s0 Denición 2.2.10. Un haz F:Open(X)op −→ D se dice Flácido si cada sección de F en un abierto U de X puede ser extendida a una sección global, es decir: resX U:F(X)−→ F(U) es sobreyectiva 2.2. HACES 19 Observación 2.2.11 . Los haces ácidos se caracterizan porque toda la información local procede de datos globales. Esto es una condición especial del haz que se da en casos muy concretos. 20 CAPÍTULO 2. PREHACES Y HACES Capítulo 3 Haces celulares En este capítulo introduciremos el concepto de haz celular que va a ser elemento crucial en el entendimiento del capítulo 6. Este concepto nos proporcionará una descripción combinatoria cómoda de un haz sobre un complejo celular nito. Para ello primero debemos comprender la noción de complejo celular regular: 3.1. Complejos celulares regulares En esta sección estudiaremos el concepto de complejo celular, lo ilustraremos con ejemplos y le daremos estructura de categoría. Denición 3.1.1. Un Complejo celular regular X es un espacio topológico dotado de una partición {Xα}α∈Px que verica las siguientes propiedades: X localmente nito: ∀x∈X∃U entorno abierto de x / U interseca con un número nito de Xα Xα homeomorfo a Rk para algún k Axioma de frontera: Si Xα∩Xβ6=∅⇒Xβ⊆Xα El par Xα⊆Xα es homeomorfo al par Int(Bk)⊆Bk es decir; ∃ϕ:Bk−→ Xα homeomorsmo tal que ϕ(Int(Bk)) = Xα Notación 3.1.2 . Xα denota la frontera topológica de Xα y Bk denota una bola cerrada de Rk Notación 3.1.3 . Cuando Xα sea homeomorfa a Rk diremos que es una Celda de dimensión k o k -celda 21 22 CAPÍTULO 3. HACES CELULARES Ejemplo 3.1.4. La circunferencia S1 puede verse como un complejo celular regular donde X=S1 y tomamos la partición {Xα}α∈Px={X1, X2, X3, X4} donde X1={(1,0)}, X2= {(−1,0)}, X3={(x, y)∈ S1/y > 0}, X4={(x, y)∈ S1/y < 0} Veamos que efectivamente se verica la denición: la condición de ser localmente nito se verica trivialmente puesto que la partición que hemos dado es nita. X1={(1,0)}, X2={(−1,0)} son puntos, luego homeomorfos a R0 y X3, X4 son homeomorfos al intervalo abierto (0,1) y por tanto homeomorfas a R Se verica el axioma de frontera ya que: •X3=X3∪(X1∪X2) , X4=X4∪(X1∪X2) •Xi∩X3=Xi6=∅∀i∈ {1,2} , Xi∩X4=Xi6=∅∀i∈ {1,2} •X3∩X4=∅ y X4∩X3=∅ •Xi=Xi∀i∈ {1,2} y su intersección es vacía Por último se tiene que: • El par Xi=Xi es homeomorfo a Int(B0) = B0∀i∈ {1,2} • El par Xj⊂Xj es homeomorfo al par Int(B1) = (0,1) ⊂B1= [0,1] ∀j∈ {3,4} Notación 3.1.5 . Cuando se verica que Xα∩Xβ6=∅(⇒Xβ⊆Xα) decimos que Xβ es una cara de Xα En el ejemplo 3.1.4 tendríamos que X1, X2 son caras de X3 Complejos simpliciales los complejos simpliciales son un caso particular de complejos celulares regulares. Este es un ejemplo de vital importancia para el capítulo 6. Para empezar, es primordial comprender que es un p -símplice: 3.1. COMPLEJOS CELULARES REGULARES 23 Denición 3.1.6. Un p -Símplice s en Rn consiste en la envoltura convexa de una colección de (p+ 1) puntos {x0,...xp} de Rn donde {x1−x0, . . . , xp−x0} forman un conjunto linealmente independiente. Ejemplo 3.1.7. En la siguiente imagen encontramos ejemplos de diferentes p -símplices: (a) es un ejemplo de 0 -símplice, (b) es un ejemplo de 1 -símplice, (c) es un ejemplo de 2 -símplice y (d) es un ejemplo de 3 -símplice. Denición 3.1.8. Una envoltura convexa de cualquier conjunto no vacío de p puntos de un p -símplice se llama Cara del símplice. Denición 3.1.9. Un Complejo simplicial (nito) s consiste en un conjunto nito de puntos (vértices), líneas (aristas), triángulos y sus generalizaciones n-dimensionales ( n - símplices) vericando: Si un símplice pertenece a s entonces todas sus caras pertenecen a s si dos símplices de s se cortan entonces su intersección es una cara común. Ejemplo 3.1.10. Los grafos (vistos como subespacios topológicos de R3 ) son un caso particular de complejos simpliciales donde el mayor n -símplice que podemos encontrar es un 1 -símplice. 24 CAPÍTULO 3. HACES CELULARES Estos complejos simpliciales tal y como están denidos pueden entenderse como complejos celulares donde las n -celdas coinciden con el interior de los n -símplices. Para ello simplemente tenemos que tener cuidado de denir la partición de forma adecuada. Observación 3.1.11 . A partir del axioma de frontera (Véase 3.1.1) podemos denir una relación de orden en la partición: β≤α⇔Xβ⊆Xα Denición 3.1.12. Dado X un complejo celular podemos denir una categoría donde los objetos serán los elementos de la partición {Xα}α∈Px y las echas son las dadas por la relación de orden (Entre Xβ y Xα existe una única echa Xβ−→ Xα⇔Xβ⊆Xα ). Denotaremos esta categoría como Cell (X). Así mismo tenemos una categoría inducida sobre PX donde los objetos son los elementos {α}α∈PX y las echas las dadas por la relación de orden. Denotaremos esta categoría mediante P . Observación 3.1.13 . Cabe señalar que las categorías Cell( X ) y P no son solo equivalentes sino que entre ellas hay un isomorsmo de categorías total. Esto se debe a que realmente entre las dos categorías la única diferencia real es el cambio de notación entre los elementos de la partición y los subíndices que los identican. Con lo visto hasta el momento estamos ahora sí en disposición de denir el concepto de haz celular: 3.2. Haz celular Denición 3.2.1. Dado un complejo celular regular X y D una categoría 1 un Haz celular F evaluado en D sobre X es un funtor: F: Cell (X)−→ D Observación 3.2.2 . Como ya hemos visto, se tiene una equivalencia entre las categorías Cell( X ) y P de forma que F(Xα) puede ser denotado como F(α) sin dar lugar a ninguna clase de error. 1 Solo se admiten categorías D cuyos objetos sean conjuntos y las echas aplicaciones entre ellos aunque estos puedan haber sido dotados de una estructura de mayor complejidad que debe ser respetada por dichas aplicaciones. 3.3. CONJUNTOS ORDENADOS Y TOPOLOGÍA DE ALEXANDROV 25 β XβF(β) α XαF(α) β≤αXα⊆Xαρα,β F F Denición 3.2.3. Tomando los haces celulares sobre D en X como objetos y como echas las transformaciones naturales entre ellos tenemos la categoría que denotaremos como ShCell (X; D ). Dado que los haces celulares son por denición funtores y ya hemos visto que la categoría cuyos elementos son funtores y sus echas transformaciones naturales está bien denida como tal la anterior denición es coherente. Ejemplo 3.2.4. Tomemos como complejo celular el ya visto en el ejemplo 3.1.4 y Cell (S1) la categoría asociada. Por otra parte tomamos D = Grp (la categoría que como objetos tiene grupos y como echas los homomorsmos de grupos). F: Cell (S1)−→ ( Grp )op que lleva cada Xα en el Hi(S1) (Véase capítulo 5) con i= Dim(Xα) es un ejemplo de haz celular. 3 4 H1(S1)∼ =Z 1 2 H0(S1)∼ =Z F F F F Donde la echa de H1(S1) a H0(S1) es el homomorsmo de grupos inducido por la sucesión de Mayer-Vietoris. 3.3. Conjuntos ordenados y topología de Alexandrov Veremos a continuación una serie de deniciones y resultados sobre la topología de Alexandrov y los complejos celulares que a priori podrían parecer carecer de interés sin embargo nos proporcionarán la estructura clave para ver un haz celular como un prehaz en el siguiente capítulo. Denición 3.3.1. Un Conjunto preordenado es un par (P, ≤) donde P es un conjunto y ≤ es una relación reexiva y transitiva. 26 CAPÍTULO 3. HACES CELULARES Observación 3.3.2 . Un Poset (P, ≤) es un conjunto preordenado cuya relación es también antisimétrica. Observación 3.3.3 . Dado (P, ≤) un conjunto preordenado siempre se va a tener uno parcialmente ordenado asociado inducido por la relación de equivalencia : x≤y x∼y⇔ ∧ y≤x Diremos que una aplicación de un conjunto preordenado (P, ≤) a otro conjunto (Q, ≤) es cualquier aplicación entre sus elementos que respete la relación de orden es decir; Dados x, y ∈P/x ≤y⇒f(x)≤f(y) Denición 3.3.4. Si tomamos como objetos los conjuntos ordenados y como echas las aplicaciones que preservan el orden tenemos una categoría que llamaremos PreorSet Si en vez de partir de un conjunto preordenado partimos de uno parcialmente ordenado tendremos una categoría análoga que llamaremos Poset Observación 3.3.5 . Por otra parte se tiene que dado un conjunto parcialmente ordenado (P, ≤) ya vimos en 1.1.10 que dene una categoría Poset( P ) , que en el caso del conjunto parcialmente ordenado asociado a la partición de un complejo celular regular coincide exactamente con la categoría P (Véase 3.1.12). Dado un conjunto preordenado este se puede dotar de una topología canónica de especial interés para nuestro trabajo: Denición 3.3.6. Se dene la Topología de Alexandrov sobre un conjunto preordenado (P, ≤) como aquella cuyos abiertos satisfacen la siguiente condición: x∈U ∧ ⇒ y∈U x≤y Observación 3.3.7 . El conjunto de abiertos Ux={y∈ P/x ≤y} con x∈ P forma una base de la topología B 3.3. CONJUNTOS ORDENADOS Y TOPOLOGÍA DE ALEXANDROV 27 Observación 3.3.8 . {x}={y∈ P/y ≤x} Veamos como esta topología puede relacionarse con nuestros complejos celulares. Denición 3.3.9. Dado un complejo celular (X, {Xα}α∈PX) cada célula Xβ tiene una Estrella que consiste en todas las células Xα tales que Xβ⊆Xα , es decir: Star(Xβ) := {Xα/ β ≤α} Observación 3.3.10 . Dado que esta denición solo depende de la relación entre las células podemos usar indistintamente Xα y α de forma que Star(β) = {α / β ≤α} Ejemplo 3.3.11. Volviendo al ejemplo 3.1.4 tendríamos que Star(X1) = {X1, X3, X4} lo que en términos de PX se entedería como Star(1) = {1,3,4} Observación 3.3.12 . La topología de Alexandrov es valida en cualquier conjunto ordenado por eso convierte tanto PX como el propio complejo celular X en espacios topológicos cuyas estrellas dan una base de la topología. Dotar a nuestro complejo celular de esta topología permite establecer cierta equivalencia entre la categoría ShCell ( X ) y Sh ( X ) en la que profundizaremos en el siguiente capitulo. 34 CAPÍTULO 4. RELACIÓN ENTRE HACES Y HACES CELULARES Por otra parte se tiene que : U R(U) UpUqF(p)F(q) Up∩UqR(Up∩Uq) Donde ambos diagramas son conmutativos El siguiente diagrama tiene que ser necesariamente conmutativo : R(Up)×R(Uq) R(Up)R(U)R(Uq) R(Up∩Uq) πpπq u resU UpresU Uq resU Up∩Uq resUp Up∩UqresUq Up∩Uq Sin embargo, dado (sp, sq)∈R(Up)×R(Uq) tenemos que : R(Up)R(Up)×R(Uq)R(Uq) R(Up∩Uq) sp(sp, sq)sq sp|Up∩Uq6=sq|Up∩Uq Entonces la única forma de que el diagrama global sea conmutativo es que R(U) = {(sp, sq) / sp|Up∩Uq=sq|Up∩Uq} . Pero entonces dados sp∈R(Up) y sq∈R(Uq) tal que sp|Up∩Uq= sq|Up∩Uq existirá (sp, sq)∈R(U) tales que (sp, sq)|Up=sp y (sp, sq)|Uq=sq y por lo tanto tenemos que R es un haz. Tenemos entonces ya una aplicación G entre categorías que lleva nuestro haz celular F en un haz R . Ahora necesitamos vericar que esta aplicación es efectivamente un funtor. La parte de llevar objetos de una categoría en la otra está claramente cubierta por lo que acabamos de resumir, no obstante, tenemos que probar que si entre dos objetos de ShCell (P; D ), F y F0 , existe una echa (que en nuestra categoría se corresponde con una transformación natural entre funtores η ) entonces entre G(F) = R y G(F0) = R0 objetos 35 de Sh (P; D ) existe una echa G(η) . G: ShCell (P; D ) Sh (P; D ) F:P−→ D R :Open(P)op −→ D F0:P−→ D R0:Open(P)op −→ D Que η sea una transformación natural entre F y F0 signica que η={ηp/ p ∈P} donde dados p, q ∈P entre los cuales existe una echa, el siguiente diagrama conmuta; p F(p)F0(p) q F(q)F‘(q) f ηp F(f) ηq F0(f) Tenemos que denir entonces una transformación natural G(η) := {ηU/ U abierto de P} entre R y R0 De forma que dados U⊆V abiertos de P se tenga el siguiente diagrama conmutativo: U R(U)R0(U) V R(V)R0(V) ⊆ ηU R(f) ηV R0(f) Pues bien, resulta que dados p, q / Up, Uq∈U⊆V entre los cuales existe una echa, pues Uq⊆Uq , se tiene la siguiente situación: R(V)R0(V) R(U)R0(U) R(Up)R(Uq)R0(Up)R0(Uq) ηpηq Donde: R(Up) := F(p)R(Uq) := F(q)R0(Up) := F0(p)R0(Uq) := F0(q) R(U) := lim ←− Up⊆U F(p)R0(U) := lim ←− Up⊆U F0(p)R(V) := lim ←− Up⊆V F(p)R0(V) := lim ←− Up⊆V F0(p) 36 CAPÍTULO 4. RELACIÓN ENTRE HACES Y HACES CELULARES Fijémonos en el siguiente fragmento del anterior diagrama: F(q)F0(q) R(U)R0(U) F(p)F0(p) Como se tiene que la composición de echas en una categoría es una echa (1.1.1) se tiene la siguiente situación: R(U)  R0(U) {{## F(p)//F(q) Pero R0(U) := lim ←− Up⊆U F0(p) luego por denición de límite se tiene que ∃!u que hace conmutativo el siguiente diagrama: R(U) ∃!u   R0(U) {{## F(p)//F(q) Denimos entonces ηU:= u Para V nos vamos a encontrar con la misma situación ya que: F(q)F0(q) R(V)R0(V) R(U)R0(U) F(p)F0(p) 37 Pero dado que la composición de echas es una echa se tiene: F(q)F0(q) R(V)R0(V) F(p)F0(p) Y por lo tanto: R(V)  R0(V) {{## F(p)//F(q) Pero R0(V) := lim ←− Up⊆V F0(p) luego por denición de límite se tiene que ∃!v que hace conmutativo el siguiente diagrama: R(V) ∃!v   R0(V) {{## F(p)//F(q) Denimos entonces ηV:= v Tenemos entonces G(η) bien denida como transformación natural ya que ∀U⊆V se tiene que el siguiente diagrama es conmutativo: U R(U)R0(U) V R(V)R0(V) ⊆ ηU:= u R(f) ηV:= v R0(f) 38 CAPÍTULO 4. RELACIÓN ENTRE HACES Y HACES CELULARES Hemos conseguido llegar por tanto a la denición consistente de G como funtor G: ShCell (P; D ) Sh (P; D ) F:P−→ D R :Open(P)op −→ D F0:P−→ D R0:Open(P)op −→ D ηG(η) Pero realmente nuestro objetivo es probar que hay una equivalencia de categorías y para ello necesitamos denir un funtor H: Sh (P; D )−→ ShCell (P; D ) de forma que ∃, η dos transformaciones naturales tales que: 1.  :Id Sh (P; D )−→ G◦H2. η :H◦G−→ Id ShCell (P; D ) Empecemos entonces por denir H , dado: R:Open(P)op D U R(U) Denimos H(R) como sigue: H(R) : P D p H(R)(p) := R(Up) H(R) es trivialmente un funtor ya que dados p, q ∈P / p −→ q entonces Uq⊆Up y por lo tanto por ser R haz (y por consiguiente funtor contravariante) tenemos que ∃R(Up)−→ R(Uq) y por tanto se verica la condición de funtor ya que el siguiente diagrama es conmutativo: p// H(R)  q H(R)  R(Up)//R(Uq) Además, H está bien denido como funtor ya que si entre dos objetos de Sh (P; D ) , R y R0 , existe una echa, es decir, una transformación natural η={ηU:R(U)−→ R0(U)/U abierto de P} tenemos la fecha H(η) = {H(η)p:H(R)(p)−→ H(R0)(p)/ p∈P}={ηUp:R(Up)−→ R0(Up)/ p ∈P} perfectamente denida como transformación natural. 39 Ahora que ya tenemos los dos funtores tenemos que encontrar las transformaciones naturales  y η . Pues bien: H◦G: ShCell (P; D ) Sh (P; D ) ShCell (P; D ) F:P−→ D R :Open(P)op −→ D H(R) : P−→ D p F(p)U R(U) = lim ←− Up⊆U F(p)p R(Up) := F(p) Por lo tanto H◦G=Id ShCell (P; D ) y por lo tanto ya tenemos η=Id Vamos ahora con  : G◦H: Sh (P; D ) ShCell (P; D ) Sh (P; D ) R:Open(P)op −→ D H(R) = F:P−→ D G(F) : Open(P)op −→ D U R(U)p F(p) := R(Up)U G(F)(U) := lim ←− Up⊆U F(p) Teniendo en cuenta que G(F)(U) := lim ←− Up⊆U F(p) = lim ←− Up⊆U R(Up) tenemos por denición de límite el siguiente diagrama: R(U) ∃!u  }}!! G(F)(U) vv(( R(Up)//R(Uq) Lo cual supone que basta denir la transformación natural := {R/ R ∈ Sh (P; D )} donde R:= {(R)U/ U abierto de P } siendo (R)U:= u de forma que R(U)G◦H(R)(U) := lim ←− Up⊆U R(Up) R(V)G◦H(R)(V) := lim ←− Up⊆V R(Up) ∃!u ∃!v Por otra parte tenemos que R es un haz, lo cual por denición de haz implica que: Dados sp∈R(Up)∀p∈P / sp|Up∩Uq=sq|Up∩Uq⇒ ∃!s∈R(U)/ s|Up=sp Como hemos visto que lim ←− Up⊆U R(Up) = {(sp, sq)/sp|Up∩Uq=sq|Up∩Uq} tenemos que existe la echa: fU: lim ←− Up⊆U R(Up)R(U) (sp, sq)s 40 CAPÍTULO 4. RELACIÓN ENTRE HACES Y HACES CELULARES Por lo tanto tenemos que para cada echa (transformación natural) R={(R)U/ U abierto de P } siendo (R)U:= u podemos denir una fecha inversa −1 R={fU/ U abierto de P } de modo que la transformación natural  es un isomorsmo. Concluimos entonces la equivalencia de categorías que pretendíamos demostrar. Capítulo 5 Homología y cohomología de haces En este capítulo hablaremos sobre el concepto de homología de espacios topológicos desde la visión simplicial de la misma ya que no trabajaremos fuera de complejos simpliciales en el capítulo 6 así que no necesitamos profundizar más. Por otra parte hablaremos de la cohomología de haces, construyendo la misma sobre el concepto de espacio vectorial graduado. 5.1. Homología simplicial El estudio homológico de un espacio topológico expresa en un cierto sentido el conteo de agujeros n -dimensionales del mismo, aunque al trabajar sobre grupos nos da información sobre más invariantes como la torsión ya que un grupo visto como un D -módulo donde D es un D.I.P. se puede expresar como suma directa de un módulo libre y uno de torsión. Esta rama de la topología procede de dos formas distintas; la homología singular que es más general y la homología simplicial que es en la que profundizaremos en este apartado por ser más sencilla de computar cuando trabajamos con complejos simpliciales y en concreto con grafos como será el caso en el capítulo 6. Cabe destacar que ambos procedimientos son equivalentes , de hecho son dos perspectivas desde las que atacar un mismo problema mediante las cuales se llegan a los mismo resultados, solo que la simplicial tiene su campo de acción acotado a complejos simpliciales y la singular a cualquier espacio topológico conocido. Para comprender este concepto empecemos por un caso particular de complejo simplicial; el grafo dirigido. 41 42 CAPÍTULO 5. HOMOLOGÍA Y COHOMOLOGÍA DE HACES Ejemplo 5.1.1. x y z a b cd Denición 5.1.2. Dado X un grafo dirigido denimos : C0:= Grupo abeliano libre generado por los nodos del grafo C1:= Grupo abeliano libre generado por las aristas del grafo En el ejemplo 5.1.1 C0=hx, y, zi={αx +βy +µz / α, β, µ ∈Z} y C1=ha, b, c, di= {αa +βb +µc +γd / α, β, µ, γ ∈Z} Denición 5.1.3. Dado X un grafo dirigido denimos la aplicación Borde σ como el homomorsmo de grupos tal que: σ:C1C0 arista punto nal − punto inicial Observación 5.1.4 . Dado que σ es un homomorsmo de grupos libres queda perfectamente denido a partir de la imagen de una base tal y como hemos hecho. En el ejemplo 5.1.1 tenemos la siguiente aplicación σ : σ:C1C0 a y −x b z −y c x −z d x −z De forma que dado w∈C1/ w =αa +βb +µc +γd ⇒σ(w) = α(y−x) + β(z−y) + µ(x−z) + γ(x−z) Denición 5.1.5. Dado X un grafo dirigido decimos que w∈C1 es un ciclo si y solo si w∈Ker(σ) 5.1. HOMOLOGÍA SIMPLICIAL 43 En nuestro ejemplo 5.1.1 Ker(σ) = ha+b+c, a +b+di∼ =Z⊕Z∼ =Z×Z Observación 5.1.6 . Podemos extender el concepto de aplicación borde se puede generalizar a C0 del siguiente modo: σ:C00 nodo nodo −nodo = 0 Notación 5.1.7 . A partir de ahora denotaremos σ1 a la aplicación borde sobre C1 y σ0 a la aplicación borde sobre C0 Denición 5.1.8. Dado X un grafo dirigido denimos sus grupos de homología como: H0(X) := Ker(σ0) Img(σ1) H1(X) := Ker(σ1) En nuestro ejemplo 5.1.1 tenemos que H1(X) = Kerσ1=ha+b+c, a +b+di∼ = Z⊕Z∼ =Z×Z y H0(X) = Ker(σ0) Img(σ1)=C0 Img(σ1) . Pero C0=hx, y, zi∼ =Z⊕Z⊕Z∼ =Z3 y Img(σ1)∼ =C1 Ker(σ1)∼ =Z4 Z2∼ =Z2 , por lo tanto H0(X)∼ =Z Ahora que más o menos se empieza a intuir como H1(X) cuenta el número de agujeros 1-dimensionales (en el ejemplo 5.1.1) pasemos a una denición más general de la homología pasando del caso particular de un grafo al caso de un complejo simplicial. Denición 5.1.9. Dado X un complejo simplicial denimos Cn:= Grupo libre conmutativo generado por los n -símplices Ejemplo 5.1.10. Aquí tenemos un ejemplo de complejo simplicial X al que hemos dotado de una orientación. C0=hx, y, z, w, vi∼ =Z5C2=hAi∼ =Z C1=ha, b, c, d, e, fi∼ =Z6Cn=h0i={0} ∀n≥3 50 CAPÍTULO 5. HOMOLOGÍA Y COHOMOLOGÍA DE HACES [2 : 3][3 : 6] + [2 : 4][4 : 6] = −1·(−1) + 1 ·(−1) = 1 −1=0 Observación 5.2.17 . Dado un complejo celular regular X={Xα}α∈PX siempre vamos a poder subdividir sus celdas en complejos simpliciales y por tanto identicar las mismas por el conjunto de sus vértices. Si les damos a estos vértices un orden tendremos una orientación para nuestra celda Denición 5.2.18. Sea X un complejo celular regular dotado de una relación de incidencia signada. Denotemos Cn(X;R) = {α∈PX/Dim(α) = n}∼ =Rn⊕ · · · ⊕ Rn . Denimos: dn:CnCn+1 αPβ[α:β]β Observación 5.2.19 . Claramente dn+1 ◦dn= 0 Denición 5.2.20. Sea F:Cell(X)−→ Vectk denimos las n -cocadenas como la suma directa de los k -espacios vectoriales imagen por F de las celdas n -dimensionales de X : Cn(X;F) = ⊕ α/Dim(α)=n F(α) Observación 5.2.21 . Estos Cn forman las componentes de un espacio vectorial graduado que denotaremos C(X;F) donde las diferenciales las deniremos como: dn=X α≤β [α:β]ρα,β Donde : F: Cell (X) Vect α F(α) β F(β) ≥ρα,β Dando lugar a la siguiente sucesión exacta de espacios vectoriales: 0F( vértices )F(aristas)F(caras)· · · Cn· · · 0 0d0d1d2dndn+1 Podemos denir, por lo tanto, la cohomología de este complejo: Hn(X;F) = Ker(dn) Img(dn−1) Capítulo 6 Aplicaciones al control del tráco aéreo El propósito de este capítulo es ofrecer una aplicación real de la teoría estudiada que en un principio puede parecer muy abstracta pero que acaba siendo aplicable a algo tan tangible y práctico como es el control del tráco aéreo en un aeropuerto. 6.1. Presentación del problema y contexto La monotorización mediante sensores del tráco aéreo de un aeropuerto es crucial para el control del mismo sin incidentes. La posición, la velocidad o la dirección de entrada de un avión son datos cruciales a la hora de coordinar el tráco. Para obtener los datos se cuenta con diferentes sensores como radares o dispositivos GPS que se utilizan en el sistema y nos dan datos heterogéneos de los cuales se necesita una adquisición de información integrada. Un sistema típico de control podría consistir en una colección de sensores como los mostrados en la siguiente tabla: Tipo de sensor número de duplicados Radar ( R ) n GPS( G ) m Detectores de supercie del aeropuerto ( K ) p Sensores de rayos infrarrojos( I ) q Los sensores del mismo tipo comunican datos comunes. Por otra parte, en un instante t=t0 dado se reciben una serie de datos heterogéneos de distintos sensores: Estado del avión ( e ), (Espacio de medición= R ) 51 52 CAPÍTULO 6. APLICACIONES AL CONTROL DEL TRÁFICO AÉREO Coordenadas del avión ( c ), (Espacio de medición= R3 ) Dirección( d ), (Espacio de medición= R3 ) Velocidad ( s ), (Espacio de medición= R ) Estos datos son medidos por diversos sensores siguiendo la correlación establecida en la siguiente tabla: Sensor ( e ) ( c ) ( d ) ( s ) R no si si si G no si no no K si no si no I si no no si 6.2. Modelización del problema Dada esta situación surge la necesidad de analizar el funcionamiento del sistema para saber si los datos de los sensores llegan enteros y correctamente integrados aportando así la información global correcta y necesaria sobre el avión en cuestión. Nuestro propósito va a ser abordar el problema con teoría de haces y cohomología. Para ello, y teniendo en cuenta el capítulo 4 en el que se establece la equivalencia entre haces celulares y haces, el primer paso será la construcción de un complejo celular, concretamente un complejo simplicial, sobre el que poder trabajar. Pues bien, tomando los sensores como nodos y como aristas la información compartida entre ellos obtenemos el siguiente grafo (caso particular de complejo simplicial): Observación 6.2.1 . A este grafo lo hemos dotado de una orientación arbitraria que será necesaria para el cálculo de la cohomología Ahora que ya tenemos nuestro complejo celular, lo que vamos hacer es construir un haz celular sobre él, es decir, un funtor F:Cell(X)−→ VectR . Este haz lo que va a hacer es llevar cada sensor y cada tipo de datos en el espacio de medición de datos en el que se mueven: 6.2. MODELIZACIÓN DEL PROBLEMA 53 F(c) = R3 F(d) = R3 F(e) = R F(s) = R R recaba datos de coordenadas, dirección y velocidad por lo tanto; F(R) = R3⊕R3⊕R G recoge datos de las coordenadas por ello; F(G) = R3 K aporta datos de estatus y dirección, por consiguiente; F(K) = R⊕R3 I mide estatus del avión y velocidad luego; F(I) = R⊕R Analizando nuestra categoría Cell ( X ) nos encontramos con la siguiente situación: R G I K Dim = 0 s c d e Dim = 1 Pero dado que F es un haz celular el diagrama anterior induce las siguientes echas (restricciones) en la categoría VectR : R3⊕R3⊕R R3R⊕R R ⊕R3 F(R)F(G)F(I)F(K) F(s)F(c)F(d)F(e) R R3R3R ρR;sρR;c ρR;dρG;c ρI;s ρI;e ρK;dρk;e Donde las aplicaciones restricción son, por estar en la categoría VectR , aplicaciones lineales que podemos expresar por tanto en forma matricial: ρR;s=0000001ρR;c=     1000000 0100000 0010000     ρR;d=     0001000 0000100 0000010     ρG;c=1ρI;s=0 1ρI;e=1 0 ρK;d=     0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1     ρK;e=1 0 0 0 54 CAPÍTULO 6. APLICACIONES AL CONTROL DEL TRÁFICO AÉREO 6.3. Cáculo de la homología del complejo simplicial Hagamos pues, un sencillo cálculo de la homología de nuestro complejo. Siendo Cn=R -espacio vectorial generado por los n -símplices se tiene: Cn={0} ∀n≥2 C1=he, s, d, ci∼ =R4 C0=hR, G, I, Ki∼ =R4 Por un lado tenemos que nuestro grafo es conexo y esto supone automáticamente que H0(X)∼ =R Por otro lado tenemos: 0C2C1C00 σ3= 0 σ2= 0 σ1σ0= 0 Luego se tiene que H1(X) = Ker(d1) Img(0) =Ker(d1)∼ =R . Trivialmente Hn(X) = 0 ∀n≥2 6.4. Cáculo de la cohomología del haz Ahora que ya tenemos nuestro sistema modelizado procedamos al cálculo de su cohomología y veamos que información sobre el sistema nos aporta dicha cohomología que nos sirve además como modelo del haz. C0:= F(R)⊕F(G)⊕F(I)⊕F(K) = R3⊕R3⊕R⊕R3⊕R⊕R⊕R⊕R3∼ =R16 C1=R⊕R3⊕R3⊕R∼ =R8 Cn={0} ∀n≥2 Tal y como vimos en 5.2.21 Hn(X) = Ker(dn) Img(dn−1) y dn=Pα≤β[α;β]ρα,β dn es una aplicación lineal entre espacios vectoriales así que va admitir representación matricial. dn= 0 ∀n≥1 Calculemos d0 : • Primero calculemos las incidencias: [R;c] = +1,[R;s] = −1,[R;d] = +1,[G;c] = −1,[I;s] = +1,[I;e] = −1,[K;d] = −1,[K;e] = +1 6.4. CÁCULO DE LA COHOMOLOGÍA DEL HAZ 55 • Dado que ya hemos calculado las restricciones tenemos todos los ingredientes para dar la expresión matricial de d0 : d0=                 000 000 −1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 000 000 0 −1 0 0 0 0 1 0 0 0                 Ya que ordenando las las de d0 adecuadamente tenemos una matriz escalonada sabemos que tiene rango 8, por tanto: Dim(C0) = Rang(d0)+Dim(Ker(d0)) ⇒Dim(Ker(d0)) = 16−8=8⇒Ker(d0) = R8⇒H0(X) = R8 Esto supone que toda la información local se expone globalmente mediante 8 parámetros. Por otro lado tenemos que: H1(X) = Ker(d1) Img(d0)=R8 R8={0} Esto va a suponer que nuestro haz es ácido y por lo tanto toda la información local ha pasado al cómputo global sin perderse ningún dato. Recordemos que como ya vimos en 2.2.10 lo que tenemos que demostrar es que las restricciones son sobreyectivas, pues bien: Sea R el haz asociado al haz celular F que como vimos en el capítulo 4 es de la forma R(U) := lim ←−Up⊆UF(p) . En nuestro caso es claro que R(X) = lim ←−UpF(p) = F(R)⊕F(G)⊕ F(K)⊕F(I)∼ =R16 dando lugar al siguiente diagrama: R(X) R(UR) = F(R)R(UG) = F(G)R(UI) = F(I)R(UK) = F(K) R(Us) = F(s)R(Uc) = F(c)R(Ud) = F(d)R(Ue) = F(e) resX;URresX;UGresX;UIresX;UK ρR;sρR;c ρR;d ρG;c ρI;s ρI;e ρK;dρk;e Donde resUα X∀α∈ {R, G, I, K} es simplemente la proyección del producto en las correspondientes componentes, lo cual es trivialmente sobreyectivo. Por otra parte ∀α∈ {s, c, d, e} , 56 CAPÍTULO 6. APLICACIONES AL CONTROL DEL TRÁFICO AÉREO resUβ X=resUβ Uα◦resUα X para cualquier β/[α:β]6= 0 por lo tanto si todos los resUβ Uα son sobreyectivos tendremos que nuestro haz es ácido . Pero resulta que resUβ Uα=ρβ;α y además H1(X)=0 lo cual implica que Rang(d0)=8 lo cual teniendo en cuenta denición de d0 solo puede ocurrir si todos los ρβ;α son sobreyectivos. Concluimos entonces que R es ácido y por tanto no perdemos información local en ningún momento. Obviamente todos los Hn(X)=0 ∀n≥2 6.5. Análisis de la robustez del sistema En este apartado, veremos como la cohomología de haces puede ser utilizada para comparar la robustez del sistema de control aéreo. Para ello supongamos que ahora en el mismo sistema tenemos i sensores que están fuera de servicio obteniendose la siguiente tabla: Tipo de sensor número de duplicados Radar (R) n GPS(G) m Detectores de supercie del aeropuerto (K) p−i Sensores de rayos infrarrojos(I) q Nos surgen preguntas como si el sistema sigue siendo able o nos falta ahora alguna clase de información. Como resultado de este fallo, el sensor K deja de detectar el estatus del avión y por consiguiente nos situamos en el siguiente contexto: Sensor (e) (c) (d) (s) R no si si si G no si no no K fuera de servicio no si no I si no no si el nuevo complejo simplicial pasa a ser: 6.5. ANÁLISIS DE LA ROBUSTEZ DEL SISTEMA 57 Si calculamos la homología del nuevo complejo tenemos: Cn={0} ∀n≥2 C1=hs, d, ci∼ =R3 C0=hR, G, I, Ki∼ =R4 0C2C1C00 σ3= 0 σ2= 0 σ1σ0= 0 Luego se tiene que H0(X) = Ker(d0) Img(d1)=R4 R3∼ =R y H1(X) = Ker(d1) Img(d0)=Ker(d1) = {0} . Trivialmente Hn(X) = 0 ∀n≥2 Siguiendo el cálculo anterior tenemos ahora lo siguiente: F(c) = R3 F(d) = R3 F(s) = R R recaba datos de coordenadas, dirección y velocidad por lo tanto; F(R) = R3⊕R3⊕R G recoge datos de las coordenadas por ello; F(G) = R3 K aporta datos de estatus y dirección, por consiguiente; F(K) = R⊕R3 I mide estatus del avión y velocidad luego; F(I) = R⊕R Analizando nuestra categoría Cell ( X ) nos encontramos con la siguiente situación: R G I K Dim = 0 s c d Dim = 1 58 CAPÍTULO 6. APLICACIONES AL CONTROL DEL TRÁFICO AÉREO Pero dado que F es un haz celular se el diagrama anterior induce las siguientes echas (restricciones) en la categoría VectR : R3⊕R3⊕R R3R⊕R R ⊕R3 F(R)F(G)F(I)F(K) F(s)F(c)F(d) R R3R3 ρR;sρR;c ρR;dρG;c ρI;s ρK;d Donde las aplicaciones restricción son, por estar en la categoría VectR , aplicaciones lineales que podemos expresar por tanto en forma matricial: ρR;s=0000001ρR;c=     1000000 0100000 0010000     ρR;d=     0001000 0000100 0000010     ρG;c=1 ρI;s=0 1 ρK;d=     0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1     Tenemos entonces la siguiente matriz d0 : d0=               000 000 −1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 100 000 0 00 −1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1               De modo que Rang(d0)=7⇒DimKer(d0)=9⇒H0(X) = 9 Esto nos viene a decir por una parte que ahora los nodos esenciales son el K,G e I y que además hay dos medidas que no se están integrando bien el la información global. Por otro lado Ker(d1) = C1=F(c)⊕F(s)⊕F(d) = R⊕R3⊕R3⊕∼ =R7 así que se tiene: H1=Ker(d1) Img(d0)=R7 R7 6.5. ANÁLISIS DE LA ROBUSTEZ DEL SISTEMA 59 Conclusión: Del estudio del sistema mediante cohomología de haces se deduce que el fallo de una serie concreta de sensores tipo K no produce una pérdida de datos en el control global de la aeronave, por lo que, a pesar del fallo, es razonable seguir trabajando en el aeropuerto con normalidad