Subvariedades homoxéneas minimais nos espazos hiperbólicos complexos

Traballo Fin de Máster Subvariedades homoxéneas minimais nos espazos hiperbólicos complexos Ángel Cidre Díaz 2021/2022 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA MÁSTER EN MATEMÁTICAS Traballo Fin de Máster Subvariedades homoxéneas minimais nos espazos hiperbólicos complexos Ángel Cidre Díaz Xullo 2022 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA Miguel Domínguez Vázquez, Investigador Ramón y Cajal do Departamento de Matemáticas da Universidade de Santiago de Compostela, e Víctor Sanmartín López, Profesor Axudante Doutor do Departamento de Matemática Aplicada ás TIC da Universidade Politécnica de Madrid, como titores do Traballo Fin de Máster con título “Subvariedades homoxéneas minimais nos espazos hiperbólicos complexos”, Autorizamos a don Ángel Cidre Díaz para a súa presentación coa fin de obter o Título de Máster en Matemáticas pola Universidade de Santiago de Compostela. Santiago de Compostela, a 8 de xullo de 2022. Asdo.: Miguel Domínguez Vázquez Asdo.: Víctor Sanmartín López Asdo.: Ángel Cidre Díaz Firmado por Ángel Cidre Díaz DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (FIRMA) Firmado digitalmente por DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (FIRMA) Fecha: 2022.07.08 21:48:24 +02'00' SANMARTIN LOPEZ VICTOR - 77418979J Digitally signed by SANMARTIN LOPEZ VICTOR - 77418979J Date: 2022.07.08 22:28:42 +02'00' Índice xeral Resumo vii Introdución ix 1. Preliminares 1 1.1. VariedadesdeRiemann ............................. 1 1.2. Subvariedades de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3. GruposdeLieeaccións ............................. 5 1.4. Álxebras de Lie e forma de Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2. Espazos simétricos 11 2.1. A descomposición de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2. Tipos de espazos simétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3. A descomposición de Iwasawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4. Omodeloresoluble................................ 24 3. O espazo hiperbólico complexo 29 3.1. Estrutura riemanniana do espazo hiperbólico complexo . . . . . . . . . . . . 32 3.2. O espazo hiperbólico complexo como espazo simétrico . . . . . . . . . . . . 34 3.2.1. Estrutura do espazo hiperbólico complexo . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.2. A descomposición de Iwasawa asociada ós espazos hiperbólicos complexos ................................... 36 3.2.3. O modelo do grupo de Lie resoluble . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4. Subvariedades homoxéneas minimais nos espazos hiperbólicos complexos 41 4.1. Proba do teorema principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Bibliografía 55 v Resumo Os espazos simétricos constitúen unha clase moi importante de variedades de Riemann. O seu estudo está intimamente ligado á teoría de grupos de Lie, posto que os seus grupos de isometrías son grupos de Lie cunha estrutura moi rica. Por este mesmo motivo, trátase dunha clase de espazos na que resulta moi interesante estudar a xeometría das súas subvariedades, en especial daquelas cun alto grao de simetría. Por unha banda, a compoñente conexa da identidade do grupo de isometrías dun espacio simétrico de tipo non compacto pode escribirse como o produto dun grupo de Lie compacto cun grupo de Lie resoluble. As subvariedades do espazo simétrico que se obteñen como órbitas de subgrupos de Lie deste último denominámolas subvariedades homoxéneas resolubles. Por outra banda, unha importante xeneralización do concepto de xeodésica a calquera dimensión é o de subvariedade minimal: aquela cuxo campo curvatura media é nulo. O obxectivo fundamental deste traballo, que se enmarca na área da xeometría riemanniana de subvariedades, é o de clasificar as subvariedades homoxéneas resolubles minimais do espazo hiperbólico complexo, que é un exemplo de espazo simétrico de tipo non compacto. Abstract Symmetric spaces constitute a very important class of Riemannian manifolds. Their investigation is intimately related to Lie group theory, since their isometry groups are Lie groups with a rich structure. Because of this fact, they turn out to be a class of spaces for which the study of their submanifolds is particularly interesting, especially of those with a high degree of symmetry. On the one hand, the identity component of the isometry group of a symmetric space of non-compact type can be expressed as the product of a compact Lie group and a solvable Lie group. The submanifolds of the symmetric space that are obtained as orbits of a Lie group of such solvable Lie group are called solvable homogeneous submanifolds. On the other hand, an important generalization of the notion of geodesic is that of minimal submanifold: a submanifold whose mean curvature vector field vanishes. The main aim of this memoir is to classify the solvable homogeneous minimal submanifolds of the complex hyperbolic space, which is an example of a symmetric space of non-compact type. vii Capítulo 1 Preliminares Este primeiro capítulo de preliminares estará centrado na introdución da terminoloxía, da notación e dos resultados fundamentais da xeometría de Riemann e da teoría de grupos de Lie que serán empregados ó longo do traballo. Dun xeito máis preciso, na Sección 1.1 recordaremos, entre outras, as nocións de variedade de Riemann e de conexión de Levi-Civita, para pasar a centrarnos a continuación na Sección 1.2 nas ferramentas propias do estudo de subvariedades, como a segunda forma fundamental e o operador de configuración. Tamén introduciremos un dos conceptos centrais deste traballo, como é o concepto de subvariedade minimal. Na Sección 1.3 revisaremos certos conceptos e ideas derivados das accións (isométricas) de grupos de Lie sobre variedades (de Riemann). Finalmente, na Sección 1.4 introducimos certas clases de álxebras de Lie (semisimples, resolubles, nilpotentes...) que están intimamente relacionadas cos espazos simétricos, ademais da forma de Killing, unha forma bilinear simétrica que tamén é de especial relevancia neste ámbito. 1.1. Variedades de Riemann O obxectivo desta sección é fundamentalmente o de introducir a notación e algún dos resultados elementais que usaremos no contexto das variedades de Riemann. Para iso, seguiremos principalmente [25]. Dada unha variedade diferenciable M, chamaremos métrica de Riemann, ou métrica riemanniana, sobre M, a un campo de tensores diferenciable de tipo (0,2) simétrico e definido positivo, isto é, unha asignación gque a cada punto p∈Mlle fai corresponder diferenciablemente unha forma bilinear gp:TpM×TpM→Rque ademais define un produto escalar no espazo tanxente TpM. En tal caso, diremos que (M, g)é unha variedade de Riemann, ou unha variedade riemanniana. Ademais, se tal forma bilinear é simétrica e non dexenerada, pero non necesariamente definida positiva en todo punto, dise que Mé unha variedade semi-riemanniana ou pseudo-riemanniana. Unha consecuencia inmediata de ter unha métrica riemanniana gnunha variedade diferenciable Mé que esta nos permite definir distancias de curvas diferenciables a anacos. Dada unha curva α: [a, b]⊂R→Mdiferenciable a anacos, defínese a lonxitude de αcon 1 2CAPÍTULO 1. PRELIMINARES respecto da métrica gcomo Lg(α) := Zb a gα(t)(α′(t), α′(t))dt. Desta maneira, dados dous puntos p, q ∈M, pódese definir o concepto de distancia entre eles do seguinte xeito. Denotemos por Ωp,q o conxunto de curvas diferenciables a anacos, que chamaremos admisibles, unindo peq, que ademais sempre será distinto do baleiro se Mé conexa por [25, Proposición 2.50]. Neste caso, defínese a distancia de paqcomo dg(p, q) := m´ın{Lg(α) : α∈Ωp,q}. Sexa Munha variedade de Riemann, e Nunha variedade diferenciable. Se temos unha inmersión f:N→M, logo podemos inducir unha métrica de Riemann f∗gen N, coñecida coma o pull-back da métrica gpor f, do seguinte xeito (f∗g)p(X, Y ) := gp(f∗pX, f∗pY), para todo p∈N, e X, Y ∈TpN. Neste traballo, denotamos por f∗a diferencial dunha aplicación diferenciable fentre variedades. Pódese probar de xeito sinxelo que en efecto f∗g define unha métrica de Riemann. No caso de que (N, g′)sexa unha variedade de Riemann, diremos que esta é isométrica aMse existe un difeomorfismo f:N→Mde xeito que o pull-back de gpor fcoincide coa métrica g′, isto é, se f∗g=g′. Unha cuestión interesante á hora de traballar no contexto das variedades diferenciables é a de definir a aceleración de curvas, o que irremediablemente nos leva a ‘derivar’ campos de vectores. A formalización desta idea conséguese mediante a introdución do concepto de conexión. Dada unha variedade diferenciable M, unha conexión Den Mé un operador D:X(M)×X(M)−→ X(M) (X, Y )7−→ DXY, que, para calquera X, Y, Z ∈X(M), verifica as seguintes propiedades: (i)DX(λY +µZ) = λDXY+µDXZ, para λ, µ ∈R. (R-linearidade) (ii)DX(fY ) = X(f)Y+fDXY, para todo f∈C∞(M). (Regra de Leibniz) (iii)DfX+hZY=fDXY+hDZY, para todas f, h ∈C∞(M). (C∞(M)-linearidade) Aquí, e no resto deste traballo, denotamos por X(M)óC∞(M)-módulo de campos de vectores diferenciables sobre M. Vexamos como podemos empregar agora noción de conexión para derivar curvas na variedade M. En primeiro lugar, se α:I⊂R→Mé unha curva diferenciable, chámase campo de vectores diferenciable ó longo de αa calquera aplicación diferenciable v:I⊂ R→TM de xeito que v(t)∈Tα(t)Mpara todo t∈R. Ademais, denotarase por Xα to conxunto de campos de vectores diferenciables ó longo de α. Así, por [25, Teorema 4.24] tense que se Dé unha conexión en M, e α:I⊂R→Munha curva diferenciable, entón existe un único operador Dt:Xα t→Xα tque verifica: 1. Dt(λv +µw) = λDtv+µDtw, para λ, µ ∈R. (R-linearidade) 1.2. SUBVARIEDADES DE RIEMANN 3 2. Dt(fv)=(d dt f)v+fDtv, para toda f:I⊂R→Rdiferenciable. (Leibniz) 3. Se Vé a restrición a αdun campo de vectores Yen M, entón DtV(t) = D˙α(t)Y. Deste xeito, dado V∈Xα tdiremos que Vé un campo de vectores paralelo ó longo de αse DtV= 0 para todo tno que esté definido V. Diremos que unha curva diferenciable α:I⊂R→Msobre unha variedade diferenciable Mé unha xeodésica para a conexión D de Mse o seu campo de vectores tanxente en todo punto, isto é, d dt |tα(t)≡˙α(t)é paralelo. Ademais, polo teorema de existencia e unicidade das xeodésicas [25, Teorema 4.27], tense que, para todo p∈Me para todo v∈TpM, e dado t0∈R, existirá un intervalo aberto I⊂Rcontendo a t0e unha xeodésica α:I→Mde xeito que α(t0) = peα′(t0) = v. Ademais, esta será única no sentido de que se dadas dúas xeodésicas α, β, definidas nos correspondentes dominios Iα, Iβ⊂R, pasan por un mesmo punto p∈Mco mesmo vector tanxente v∈TpM, entón estas coincidirán en Iα∩Iβ. Agora ben, no contexto riemanniano (e mesmo semi-riemanniano), o teorema fundamental da xeometría de Riemann [25, Teorema 5.10] garantiza a existencia dunha única conexión ∇(a conexión de Levi-Civita) que cumpre dúas propiedades naturais: 1. ∇é simétrica, isto é, ∇XY−∇YX= [X, Y ]para todos X, Y ∈X(M). 2. ∇é compatible coa métrica g, isto é, Xg(Y, Z) = g(∇XY, Z) + g(Y, ∇XZ), para todos X, Y, Z ∈X(M). Ademais, dita conexión vén determinada pola seguinte fórmula (chamada Fórmula de Koszul): g(∇XY, Z) =1 2(Xg(Y, Z) + Y g(X, Z)−Zg(X, Y ) +g([X, Y ], Z) + g([Z, Y ], X) + g([Z, X], Y )). No caso de que Msexa unha variedade de Riemann e ∇é a súa conexión de LeviCivita, entón o concepto de xeodésica para tal conexión está profundamente relacionado co de distancia mínima entre dous puntos. Por unha banda, pódese ver, introducindo teoría de cálculo de variacións que, en caso de que exista unha curva admisible parametrizada por arco unindo dous puntos de Me cuxa lonxitude sexa mínima (é dicir, igual á distancia entre os dous puntos), logo esta terá que ser necesariamente unha xeodésica parametrizada por lonxitude de arco, isto é, con vector tanxente unitario en todo punto (véxase [25, Teorema 6.4]). Non obstante, non é certo sempre que toda xeodésica unindo dous puntos sexa unha curva admisible de lonxitude mínima, nin moito menos que exista. Agora ben, terase, como consecuencia do teorema de Hopf-Rinow [25, Corolario 6.21] que se Mé conexa e metricamente completa con respecto da distancia asociada a g, logo sempre existirá unha xeodésica minimizante unindo dous puntos dados calquera, é dicir, que é de lonxitude mínima entre as curvas admisibles que unen tales puntos. 1.2. Subvariedades de Riemann Ó definir as variedades de Riemann, fixémolo intrinsicamente, é dicir, sen considerar un ‘espazo ambiente’ nas cales estaban contidas. Porén, para o noso obxectivo será unha cuestión fundamental a de estudar variedades de Riemann ‘metidas’ dentro doutra variedade 4CAPÍTULO 1. PRELIMINARES de Riemann. Isto permitiranos considerar campos de vectores normais a unha subvariedade de Riemann, e, polo tanto, estudala extrinsecamente. Sexa agora (f M, eg)unha variedade de Riemann, que consideraremos a nosa variedade ambiente. Diremos que unha variedade de Riemann Mé unha subvariedade inmersa de f Mse existe unha inmersión isométrica f:M→f M. Se M1eM2son dúas subvariedades de Riemann inmersas de f Mmediante inmersións f1ef2, diremos que son congruentes se existe unha isometría φ:f M→f Mde xeito que f2=φ◦f1. Por outra banda, diremos que M⊂f Mé unha subvariedade inxectivamente inmersa de f Mse a inclusión i:M ,→f Mé unha inmersión. Tense logo, polo que observamos anteriormente, que a inclusión inducirá a métrica de Riemann g:= i∗egen M. Neste caso, dise que (M, g)é unha subvariedade de Riemann inmersa de f M. Obsérvese que, para cada punto p∈Mo espazo tanxente apen f Mpoderase descompoñer como Tpf M=TpM⊕T⊥ pM, sendo T⊥ pMo subespazo ortogonal a TpMrespecto de g. No caso de que i:M ,→f Msexa un mergullo, isto, é, se i:M→i(M)⊂f Mé un homeomorfismo, dirase que Mé unha subvariedade de Riemann mergullada de f M. En xeral, a non ser que se indique o contrario, entenderase simplemente por subvariedade dunha variedade de Riemann a unha subvariedade de Riemann inmersa. Vexamos agora como podemos inducir unha conexión en Ma partir da conexión de Levi-Civita ∇do espazo ambiente f M. En primeiro lugar, dados X, Y ∈X(M)campos de vectores en M, sexan e X, e Y∈X(f M), tales que e X|M=Xee Y|M=Y, chamadas extensións dos campos de vectores XeYaf M. Definimos entón o operador ∇por ∇XY= (∇e Xe Y)|M para cada X, Y ∈X(M). Pódese comprobar que ∇está ben definida, é dicir, que non depende das extensións de X, Y af Mescollidas. Obsérvese que, en principio, (∇e Xe Y)|M∈ X(f M)podería ter en cada punto compoñente tanxencial e compoñente normal a Mnon nulas. Polo tanto, consideramos a descomposición (∇XY)=(∇XY)⊤+ (∇XY)⊥. Así, dados X, Y ∈X(M), definimos a segunda forma fundamental de Mcomo II(X, Y ) := (∇XY)⊥. Por outra banda, pola coñecida como fórmula de Gauss [25, Teorema 8.2], se chamamos ∇ á conexión de Levi-Civita de (M, i∗g), entón, dados X, Y ∈X(M), tense que ∇XY=∇XY+II(X, Y ),(1.1) onde os dous sumandos da dereita son, respectivamente, as compoñentes tanxente e normal de ∇XY. Pódese probar que a segunda forma fundamental é tensorial (i.e. C∞-linear) e simétrica (i.e. II(X, Y ) = II(Y, X)). Denotemos agora por X⊥(M)o conxunto de campos de vectores diferenciables normais aMen todo punto. Logo, para cada ξ∈X⊥(M), defínese o operador de configuración ou operador forma Sξde Masociado ó campo normal ξdo seguinte xeito: para cada X∈X(M)defínese SξX∈X(M)como o campo de vectores determinado por g(SξX, Y ) = g(II(X, Y ), ξ)para cada Y∈X(M). O operador de configuración é tensorial en ξ, e, para ξfixado, define un endomorfismo de TM que resulta ser autoadxunto con respecto da métrica g, debido á simetría de II. Ademais, a ecuación de Weingarten [25, Proposición 8.4] establece que Sξ(X) = −(∇Xξ)⊤,para todo X∈X(M), ξ ∈X⊥(M).(1.2) 1.3. GRUPOS DE LIE E ACCIÓNS 5 Chamaremos campo de vectores curvatura media da subvariedade Mó campo de vectores normal a Mdado por Pk i=1 II(Ei, Ei), sendo {Ei}k i=1 unha referencia ortonormal de M eka dimensión M. Defínense as subvariedades minimais como aquelas para as que a súa curvatura media se anula. Por como se define o operador de configuración a partir da segunda forma fundamental, isto é equivalente a que a traza do operador de configuración sexa nula para todo campo de vectores normais a M, isto é, que tr Sξ= 0 para todo ξ∈ X⊥(M). Unha clase importante de subvariedades minimais son as totalmente xeodésicas: aquelas cuxa segunda forma fundamental se anula identicamente, II = 0 (ou o que é o mesmo, S= 0). As subvariedades totalmente xeodésicas caracterízanse como aquelas subvariedades Mcuxas xeodésicas son xeodésicas do espazo ambiente f M. Para cada campo normal ξ, é posible definir a función curvatura media de Masociada aξ, consistente no produto escalar do campo curvatura media con ξ, e que resulta ser igual á traza de Sξ, xa que, en efecto, para unha referencia ortonormal {Ei}k i=1 sobre Mtense que tr Sξ= k X i=1 g(Sξ(Ei), Ei) = k X i=1 g(II(Ei, Ei), ξ) = g( k X i=1 II(Ei, Ei), ξ). Defínense tamén as curvaturas principais de Men p∈Mrespecto do vector normal ξp∈T⊥ pMcoma os autovalores de Sξp. Así, a curvatura media tr Sξrespecto dun campo normal ξ, nun punto p∈M, non é máis ca suma das curvaturas principais en p. Unha hipersuperficie Mde f M(i.e. unha subvariedade de codimensión un) dise que ten curvatura media constante se a súa función curvatura media, para un campo normal unitario ξ, é constante en M, e dise que ten curvaturas principais constantes se as súas curvaturas principais non dependen do punto p∈M. Claramente, toda hipersuperficie con curvaturas principais constantes ten curvatura media constante. O concepto de subvariedade minimal xorde do estudo das subvariedades que minimizan (ou, de xeito máis xeral, que extremizan) a área, onde por ‘área’ nos refirimos ó volume k-dimensional das subvariedades de dimensión k. O caso máis clásico é o das superficies S en R3para as cales, dada unha curva simple pechada C, se Sé a superficie con menor área entre todas as superficies próximas a Se con borde ∂S =C, entón Sé unha superficie minimal. Máis xeralmente, unha subvariedade Mde dimensión ké minimal se e só se é localmente un punto crítico para o funcional volume k-dimensional. Neste traballo non precisaremos desta formulación variacional das subvariedades minimais; refirimos ó lector a [25, Teorema 8.18] ou [35, p. 10] para máis información. 1.3. Grupos de Lie e accións Nesta parte introduciremos brevemente a notación que empregaremos para grupos de Lie, baseándonos principalmente en [26]. Ademais, tamén falaremos do concepto de acción dun grupo de Lie, e de certos obxectos asociados, como son as as variedades homoxéneas. Un grupo de Lie é un grupo abstracto Gcunha estrutura de variedade diferenciable real para a cal a operación do grupo e a inversión dun elemento son aplicacións diferenciables C∞. Ademais, fixado un elemento g∈G, denotaremos por Lgá aplicación Lg:h∈G7→ gh ∈G, é dicir, a operación pola esquerda por g. Analogamente, denótase por Rgá operación pola dereita por g. 6CAPÍTULO 1. PRELIMINARES Unha álxebra de Lie real é un espazo vectorial real gxunto cunha aplicación bilinear, chamada habitualmente corchete de Lie, e que denotaremos por [·,·], que ademais é antisimétrica e verifica a coñecida como identidade de Jacobi, isto é, que para X, Y, Z ∈g cumpre que [[X, Y ], Z] + [[Z, X], Y ] + [[Y, Z], X] = 0. Recordemos que a todo grupo de Lie Glle corresponde unha única álxebra de Lie g, conformada polos campos de vectores invariantes á esquerda de G, isto é, os campos de vectores X∈X(M)tales que X◦Lg=Lg∗◦Xpara todo g∈G, o cal quere dicir que Xgh =Lg∗(Xh)para todo h∈G. O corchete de Lie da álxebra de Lie gde Gnon é máis có corchete de campos de vectores. Ademais, tal álxebra de Lie é isomorfa como espazo vectorial a TgGpara todo g∈G. Dito isomorfismo vén dado pola correspondencia X∈g7→ Xg∈TgG. Porén, por convención simplemente se identifica gcon TeG, sendo e∈Go elemento neutro do grupo. Denotaremos por Exp á exponencial dun grupo de Lie G, isto é, á aplicación Exp: g→ Gque a cada X∈glle fai corresponder o elemento αX(1) ∈G, onde αX:R→Gé a única curva integral do campo de vectores Xen Gpasando polo elemento neutro e∈G, isto é, tal que αX(0) = e, e ˙α(t) = XαX(t)para todo t∈R. Recordemos ademais que Exp: g→G é unha aplicación diferenciable, que, para todo homomorfismo de grupos de Lie (é dicir, homomorfismo de grupos abstractos que tamén é diferenciable) f:G→G′verifica que o seguinte diagrama é conmutativo: g g′ G G′ f∗ Exp Exp f onde f∗se identifica coa diferencial no neutro de f, pola identificación que facemos entre geTeG. Agora introduciremos un homomorfismo de grupos de Lie que empregaremos frecuentemente no traballo, como é a representación adxunta dun grupo (e dunha álxebra) de Lie. En primeiro lugar, se consideramos o homomorfismo de grupos de Lie Ig:h∈G7→ ghg−1∈G, isto é, a conxugación por g, defínese logo a adxunta de Gcomo Ad: g7→ Ig∗∈GL(g), onde GL(g)denota o grupo de Lie dos automorfismos lineares do espazo vectorial g. Por outra banda, denotaremos por ad = Ad∗:g→gl(g), onde gl(g)se define como a álxebra de Lie de GL(g)(que se identificará como espazo vectorial co espazo vectorial dos endomorfismos de g), á representación adxunta da álxebra de Lie g, que ademais verificará ad(X)(Y)=[X, Y ]para todos X, Y ∈g. Sexa Gun grupo de Lie e Munha variedade diferenciable. Unha acción diferenciable pola esquerda é unha aplicación diferenciable φ:G×M−→ M (g, p)7−→ g·p, tal que 1.3. GRUPOS DE LIE E ACCIÓNS 7 (i)Para todo p∈M,e·p=p, sendo eo elemento neutro de G. (ii)Dados g, h ∈Gep∈M,g·(h·p)=(gh)·p. Neste caso, dirase que Gactúa sobre Mpola esquerda. Nótese que todo grupo Gactúa sobre si mesmo pola esquerda mediante a acción dada pola operación de grupo. Observación 1.1.Se Gactúa sobre Mpola esquerda entón, dado p∈M, a aplicación ϕp:G→Mdada por ϕp(g) = φ(g, p) = g·pcon g∈G, é C∞. Analogamente, dado g∈Gtamén é diferenciable a aplicación φg:M→Mdada por φg(p) = φ(g, p) = g·pcon p∈M. Unha acción de Gsobre Mdise efectiva se cando φg= id entón g=e∈G. Por outra banda, a acción dise transitiva se para cada p, q ∈Mexiste un g∈Gtal que g·p=q. Dada unha acción diferenciable de Gsobre M, e p∈M, denomínase grupo de isotropía de pó subgrupo de Lie pechado de Gdado por Gp={g∈G:g·p=p}, eórbita da acción de Gpor pá subvariedade inmersa de Mdada por G·p={g·p:g∈G}. Se agora Mé unha variedade de Riemann, unha acción diferenciable dun grupo de Lie Gsobre Mdise isométrica se os difeomorfismos de Mdados por φg, con g∈G(véxase Observación 1.1), son isometrías de M. Se a acción é efectiva, o grupo Gpode verse como un subgrupo do grupo I(M)de isometrías de M, que se sabe que é un grupo de Lie [31]. Unha subvariedade Pdunha variedade de Riemann Mdise (extrinsecamente) homoxénea se para calquera p, q ∈Pexiste unha isometría fda variedade ambiente Mtal que f(p) = qef(P) = P. Equivalentemente, Pé subvariedade homoxénea de Mse e só se existe un subgrupo Hde I(M)tal que P=H·ppara algún p∈P; noutras palabras, Pé unha órbita dunha acción isométrica sobre M. Pódese probar que unha subvariedade homoxénea Pde Mé subvariedade mergullada de Mse e só se H={f∈I(M) : f(P) = P}é subgrupo pechado (e por tanto subgrupo de Lie) de I(M). Isto último significa que a acción de Hen Mé propia. A miúdo, é habitual restrinxir o estudo de accións isométricas a aquelas que son propias, pois estas accións teñen propiedades que as fan máis manexables (grupos de isotropía pechados, espazos de órbita Hausdorff, órbitas mergulladas). Porén, neste traballo non precisaremos impoñer esta hipótese adicional. Para máis información sobre accións isométricas e propias, pódese consultar [4, Chapter 2]. Unha clase moi importante de accións diferenciables vén inducida polas representacións de grupos de Lie, isto é, polos homomorfismos de grupos de Lie ρ:G→GL(V), onde V é un espazo vectorial de dimensión finita. No caso de que Vsexa un espazo euclidiano (i.e. estea dotado dun produto interior), a representación ρdise ortogonal se ρ(g)é unha isometría linear de V, para todo g∈G. Así, neste caso, ρinduce unha acción isométrica en V. Por outra banda, a representación ρdise irreducible se os únicos subespazos invariantes de Vson o trivial e o total, isto é, se os únicos subespazos Wde Vtales que ρ(g)w∈W para todo g∈Ge para todo w∈Wson W= 0 ou W=V. 8CAPÍTULO 1. PRELIMINARES De xeito análogo, as representacións de álxebras de Lie son homomorfismos de álxebras de Lie, isto é, aplicacións lineares que preservan o corchete de Lie, da forma φ:g→ glK(V), onde K∈ {R,C}. Neste caso, tamén se di que φé irreducible se de novo os únicos subespazos invariantes de Vson o trivial e o total. O caso particular en que P=Msexa a variedade ambiente total sobre a que actúa isométrica e transitivamente un grupo de Lie Gé de especial relevancia. Así, dise que unha variedade riemanniana conexa Mé unha variedade homoxénea ou espazo homoxéneo se para calquera p, q ∈Mexiste unha isometría fde Mtal que f(p) = q. Neste caso, existe un grupo de Lie Gque actúa isometrica e transitivamente sobre M. A nivel diferenciable, o teorema de caracterización de espazos homoxéneos garantiza que unha variedade diferenciable Msobre a que actúa diferenciable e transitivamente un grupo de Lie Gé difeomorfa ó conxunto de clases á esquerda G/Gp={gGp:g∈G}dotado da topoloxía cociente asociada á proxección canónica G→G/Gpe dunha certa estrutura diferenciable. Aquí, Gpé o grupo de isotropía nun punto arbitrario (pero fixado) p∈M. Reciprocamente, dado un grupo de Lie conexo Ge un subgrupo pechado Hde G, o conxunto de clases á esquerda G/H pode dotarse dunha estrutura diferenciable que o convirte nun espazo homoxéneo (a nivel diferenciable). Así, os espazos homoxéneos (en particular, calquera órbita dunha acción diferenciable) admiten unha descrición como cocientes de grupos de Lie. Como lembramos antes, toda representación (ortogonal) induce unha acción diferenciable (isométrica). Pero, por outra banda, dada calquera acción diferenciable sobre unha variedade M, temos asociada una representación para cada punto p∈M. Así, se φ:G×M→ Mé unha acción diferenciable, defínese a representación de isotropía de φen p∈Mcomo ρ:Gp−→ GL(TpM) h7−→ ρ(h) := (φh)∗p, sendo φh:M→M,q7→ φh(q) = φ(h, q). Recordemos que, dado que h∈Gp, entón cúmprese que φh(p) = φ(h, p) = p. Se Mestá dotada dunha métrica riemanniana, e φé unha acción isométrica, entón é claro que a representación de isotropía en todo pé unha representación ortogonal. 1.4. Álxebras de Lie e forma de Killing Nesta sección recordamos a definición de varias clases importantes de álxebras de Lie, así como da forma de Killing dunha álxebra de Lie. Dada unha álxebra de Lie gde dimensión finita, definimos a súa serie derivada como g(0) := g,g(1) := [g,g],g(2) := [g(1),g(1)], . . . , g(n):= [g(n−1),g(n−1)], onde pode verse facilmente por indución que cada g(i)con i∈Nda serie derivada de gé un ideal de g. Diremos que géresoluble se existe k∈Nde xeito que g(k)= 0. Ademais, g dirase resoluble en kpasos se g(k)= 0 eg(k−1) = 0, con k≥1. Obsérvese que, en particular, calquera álxebra de Lie abeliana non trivial é resoluble en 1paso. Por outra banda, defínese a serie central descendente de gcomo g0:= g,g1:= [g,g],g2:= [g,g1], . . . , gn:= [g,gn−1]. 1.4. ÁLXEBRAS DE LIE E FORMA DE KILLING 9 De novo, pode verse por indución que cada gi, con i∈N, é un ideal de g. Pois ben, diremos que génilpotente se existe k∈Nde xeito que gk= 0. Ademais gdirase nilpotente en k pasos se gk= 0 egk−1= 0, con k≥1. Pode verse por indución que g(k):= [g(k−1),g(k−1)]⊂[g,gk−1]⊂gkpara todo k∈N, polo que toda álxebra de Lie nilpotente é resoluble. Ademais, tamén é claro que unha álxebra de Lie abeliana será tamén nilpotente. Porén, non é certo necesariamente que unha álxebra de Lie resoluble sexa nilpotente; nin tampouco que unha álxebra de Lie nilpotente sexa abeliana. Por outra banda, tense que existe un único ideal resoluble maximal para a inclusión en g. Isto débese a que se existiran dous, isto é a,b, logo a+btamén sería un ideal resoluble que contén a aeb. Así, defínese o radical dunha álxebra de Lie g, isto é, rad g, coma o único ideal resoluble maximal para a inclusión en g. En particular, rad gé o único ideal resoluble de gque contén a todos os ideais resolubles de g. Unha álxebra de Lie gdirase simple se dim g≥2e non ten ningún ideal propio non trivial. Equivalentemente, gserá simple se non ten ideais propios non triviais e se gnon é abeliana, xa que deste xeito aseguramos que dim g≥2. Por outra banda, gdise semisimple se non ten ningún ideal resoluble non trivial, isto é, se rad g= 0. Ademais, se gé semisimple, o único ideal abeliano de gé o 0. O recíproco tamén será certo, xa que se r:= rad g= 0, por ser resoluble, existirá k∈Nde xeito que r(k)= [r(k−1),r(k−1)]=0, con r(k−1) = 0, polo que r(k−1) sería un ideal abeliano distinto de 0. Unha álxebra de Lie resulta ser semisimple se e só se é suma directa de álxebras de Lie simples. Sexa gunha álxebra de Lie. Defínese a forma de Killing Bde gcomo B(X, Y ) = tr(ad(X)◦ad(Y)),para todo X, Y ∈g. A forma de Killing dunha álxebra de Lie gresulta ser unha forma bilinear simétrica de g que xoga un papel esencial na teoría de álxebras e grupos de Lie. Concluímos esta sección enunciando dous resultados que serán empregados posteriormente. Recordemos que unha álxebra de Lie gdise compacta se existe un grupo de Lie compacto Gcon álxebra de Lie g. Proposición 1.2 ([37, Proposición 3.25]).Se gé unha álxebra de Lie compacta, entón existe un produto interno en gpara o cal ad(X)∈gl(g)é antisimétrico para todo X∈g. O seguinte resultado dinos como se comporta Bcon respecto ós automorfismos de álxebras de Lie de g. Recordemos que un automorfismo de gé un isomorfismo de gque preserva o corchete de Lie, e que todo automorfismo dun grupo de Lie Gten por diferencial a un automorfismo da súa álxebra de Lie. Ademais, denotaremos por Aut(g)o conxunto dos automorfismos dunha álxebra de Lie g. Proposición 1.3 ([37, Proposición 1.36]).Sexa gunha álxebra de Lie, Ba súa forma de Killing, e A∈Aut(g), logo (a)BéA-invariante, isto é, B(AX, AY ) = B(X, Y )para todo X, Y ∈g. (b)Sexan X, Y, Z ∈g. Entón B(ad(Z)X, Y ) + B(X, ad(Z)Y) = 0. 16 CAPÍTULO 2. ESPAZOS SIMÉTRICOS terase pola Proposición 2.10 e porque ademais se ten que I(M), e polo tanto, I0(M)actúa de xeito efectivo en M. Por outra banda, pódese ver en [37, p. 145] que o cociente dos dous elementos de calquera par simétrico é tamén un espazo simétrico. De feito, tal e como se desenvolve en [37], todos os resultados que enunciamos para espazos simétricos serán tamén certos para pares simétricos, aínda que por simplicidade o faremos para espazos simétricos tal e como dixemos que os íamos a considerar na Observación 2.6. Proposición 2.12. Sexa M∼ =G/K un espazo simétrico, con G= I0(M)eKgrupo de isotropía dalgún p∈M. Entón, g=k⊕p, onde kepson os autoespazos asociados ós autovalores +1 e−1, respectivamente, da involución de Cartan θrespecto do punto p. Ademais, ké a álxebra de Lie de Ke, por outra banda, tamén se ten que [k,k]⊂k,[p,p]⊂k,[k,p]⊂p. Demostración. En primeiro lugar, como pola Proposición 2.10 θ2= id, entón θdiagonaliza, e ademais ten como posibles autovalores a ±1. Isto tense de xeito inmediato do feito de que X=1 2(X+θX) + 1 2(X−θX), para todo vector X∈g, polo que queda expresado como a suma dun autovector asociado ó autovalor 1e de outro asociado ó −1; entón pódese atopar unha base formada por autovectores asociados a ±1. Deste xeito, gpoderase descompoñer como suma directa de dous autoespazos de s∗, isto é g=k⊕p, onde kepson os autoespazos asociados ós autovalores 1e−1, respectivamente. Vexamos agora que ké a álxebra de Lie de K=Gp. Para iso, como Gs 0⊂K⊂Gspola Proposición 2.10 (b), terase que a álxebra de Lie de Ké a mesma que a de Gs, xa que esta última é a mesma que a de Gs 0. Sexa g′a álxebra de Lie de Gs. Vexamos que g′⊂k. Se X∈g′, entón Exp(tX)∈Gs, logo s(Exp(tX)) = Exp(tX). Agora empregando o feito de que Exp ◦s∗=s◦Exp, entón Exp(tX) = Exp ◦s∗(tX). Agora, derivando a ambos lados en t= 0, e tendo en conta que Exp∗0= id, X=d dt|t=0(Exp ◦s∗(tX)) = Exp∗0(d dt|t=0(ts∗(X))) = s∗(X), e así X∈k. Por outra banda, o feito de que k⊂g′séguese de que dado X∈k, entón s∗(X) = X, polo que s(Exp(X)) = Exp(s∗(X)) = Exp(X). Ademais, polo feito de ser k álxebra de Lie terase que [k,k]⊂k. Por último, a inclusión [p,p]⊂ktense do feito de que, como s∗é un homomorfismo de álxebras de Lie, entón dado X∈p,s∗([X, X]) = [s∗(X), s∗(X)] = [−X, −X] = [X, X]. A inclusión [k,p]⊂pobtense de maneira análoga. Definición 2.13. Sexa Mun espazo simétrico, chamaremos descomposición de Cartan de Má descomposición dada na Proposición 2.12, para a involución de Cartan de M. Observación 2.14.En xeral, se Mé un espazo homoxéneo para o cal o grupo de Lie G actúa transitivamente, podemos asociarlle a cada X∈gun campo de vectores X∗, chamado 2.2. TIPOS DE ESPAZOS SIMÉTRICOS 17 campo de vectores fundamental en M, mediante X∗ p=d dt |t=0 Exp(tX)(p). Fixado p∈M, definimos tamén a aplicación f:g−→ TpM X7−→ d dt|t=0 Exp(tX)(p). De feito, se chamamos Kó grupo de isotropía dun punto p∈M, terase que tal aplicación coincide coa diferencial de ϕ:= φ◦π, sendo φ:G/K →M,gK 7→ g(p), o difeomorfismo visto na Observación 2.4 e π:G→G/K,g7→ gK, a proxección canónica. En efecto, dado X∈g, e identificando g≃TeGcomo espazos vectoriais, tense que ϕ∗(X) = ϕ∗(d dt|t=0 Exp(tX)) = d dt|t=0ϕ◦Exp(tX) = f(X), polo que ϕ∗=f, e polo tanto, fé linear. Ademais, como sabemos que πé submersión, eφé un difeomorfismo, logo ϕ∗=fé sobrexectiva. Ademais, se k⊂gé a álxebra de Lie de K, logo, dado X∈k, tense que Exp(tX)(p) = ppara todo t∈R, polo que f(X)=0. Deste xeito, k⊂ker f. A igualdade séguese do feito de que por ser fsobrexectiva, dim(g) = dim(G) = dim(K) + dim(M) = dim(k) + dim(Im f). Supoñamos agora que M∼ =G/K é un espazo simétrico, onde recordemos K=Gppara algún p∈M, e sexa g=k⊕pa descomposición de Cartan de M. Logo, como k= ker f, entón necesariamente peTpMson isomorfos como espazos vectoriais. Observación 2.15.Obsérvese que, como consecuencia de que ad(X)(Y)=[X, Y ]para todo X, Y ∈ge pola Proposición 2.12, pódese comprobar de xeito sinxelo que kepson espazos ortogonais respecto de B, isto é, que B(k,p)=0. 2.2. Tipos de espazos simétricos Nesta sección definiremos o concepto de tipo nun espazo simétrico. Este daranos información sobre a álxebra de Lie do seu grupo de isometrías a partir da forma de Killing restrinxida á álxebra de Lie do subespazo da descomposición de Cartan que se corresponde co espazo tanxente do espazo simétrico. Aínda que imos traballar estritamente con espazos simétricos de tipo non compacto, por completitude (e porque isto non supón moito máis traballo), presentaremos os resultados correspondentes ó concepto de tipo en termos xerais. Definición 2.16. Sexa M∼ =G/K un espazo simétrico. Mdirase un espazo simétrico irreducible se a restrición da representación de isotropía K→GL(TpM),k7→ k∗p, á compoñente conexa da identidade de Ké irreducible. Definición 2.17. Sexa M∼ =G/K un espazo simétrico e sexa po autoespazo de autovalor un da involución de Cartan da álxebra de Lie gdo grupo G. Sexa Ba forma Killing de g, eB|p×pa súa restrición a p. Entón Mdise: De tipo compacto se B|p×pé definida negativa. De tipo non compacto se B|p×pé definida positiva. 18 CAPÍTULO 2. ESPAZOS SIMÉTRICOS De tipo euclídeo se B|p×p≡0. Agora enunciamos un lema, que é consecuencia do Lema de Schur [37, Lema 5.1] e que nos servirá para probar a proposición seguinte. Lema 2.18 ([37, Lema 6.15]).Sexan B1,B2dúas formas bilineares e simétricas sobre un espazo vectorial Vde xeito que B1é definida positiva. Se un grupo de Lie compacto Kactúa irreduciblemente en Vpor unha representación ρ, de xeito que B1eB2son invariantes por K, isto é, se Bi(ρ(k)v, ρ(k)w) = Bi(v, w), para todo k∈K, para todo v, w ∈V, entón B2=λB1para algunha constante λ. Proposición 2.19. Sexa M∼ =G/K un espazo simétrico. Entón terase que (a)Se Mé irreducible, entón Mserá ou ben de tipo compacto, de tipo non compacto, ou de tipo euclídeo. (b)Se Mé de tipo compacto, entón Gé semisimple e GeMson compactos. (c)Se Mé de tipo non compacto, entón Gé semisimple e GeMson non compactos. (d)Mé de tipo euclídeo se e só se [p,p] = 0. Demostración. (a) Para probar este apartado empregaremos o Lema 2.18. En primeiro lugar, xa temos que Kactúa irreduciblemente en p≃TpM, polo que só falta ver que g(·,·)eB|p×pson invariantes por K, sendo g(·,·)a métrica de M. Agora ben, o primeiro feito séguese directamente de que todo k∈Ké unha isometría de Me que dado v∈V, ρ(k)v= (φk)∗p(v) = k∗p(v). Por outra banda, dedúcese da Observación 2.14 que a restrición apda aplicación falí definida establece unha equivalencia entre a representación de isotropía ρ:K→GL(TpM)e a representación adxunta de Ken p, é dicir, Ad: K→GL(p), k7→ Ad(k). Posto que Ad(k): g→gé un automorfismo da álxebra de Lie g, verifica que B(Ad(k)X, Ad(k)Y) = B(X, Y ), para todo X, Y ∈g. Así, mediante a equivalencia de representacións mencionada (Ad(k)∼ =k∗), tense en particular que B(k∗X, k∗Y) = B(X, Y ), para todo X, Y ∈pe todo k∈K. Deste xeito, conclúese que B|p×p=λg(·,·), para algún λ, co cal se terá que Bserá ou ben definido positivo, definido negativo, ou identicamente cero. (b) Sexa sa involución de Cartan de M, entón, s∗preserva Bpor ser un automorfismo de g. Vexamos en primeiro lugar que B|k×ké definido negativo. Como ké compacta por ser Kcompacto, entón, pola Proposición 1.2, kadmite un produto escalar para o cal ad(X)é unha transformación antisimétrica de gpara todo X∈k. Polo tanto, dado X∈k, terase que ad(X)∈gl(g)terá autovalores imaxinarios puros, polo que B(X, X) = tr(ad(X)2)≤0. Vexamos que, de feito B(X, X)<0para todo X∈kdistinto de 0. Por redución ó absurdo, se X= 0 eB(X, X) = 0, entón tr(ad(X)2) = 0, polo que necesariamente ad(X) = 0, o cal é equivalente a que X∈z(g). Porén, como nun espazo simétrico o grupo de isometrías actúa de maneira efectiva, logo farao de maneira case efectiva, polo que geknon poden ter ideais distintos do cero en común [37, p.145], polo que por ser z(g)∩kclaramente un ideal de gque tamén o é de k, entón X= 0. 2.3. A DESCOMPOSICIÓN DE IWASAWA 19 Para concluír, como B|p×pé definida negativa por hipótese, entón Bé non dexenerada, logo polo criterio de Cartan de semisimplicidade [24, Teorema 1.45], gé semisimple. Ademais, como Bé definida negativa se, e só se, gé compacta por [37, p.45], entón tamén o será G, e Mpor ser cociente de G. (c) Razoando do mesmo xeito que (b), chégase a que por hipótese, como B|p×pé definida positiva, entón Bé non dexenerada, polo que gé semisimple. Agora, como Bxa non é definida positiva, entón gé non compacta, polo que Gnon será compacto. Agora, como M∼ =G/K, e Ké compacto, logo Mnon será compacto. (d) Por hipótese, tense que se B|p×p= 0, entón, como B(k,p)=0, e B|k×ké definida negativa, o subespazo ker B:= {X∈g:B(X, Y ) = 0 para todo Y∈g}, coincide con p. Ademais, ker Bé un ideal de g. En efecto, pois se X∈ker B, e Y∈g, logo dado Z∈g,B([X, Y ], Z) = −B(Y, [X, Z]) = 0, polo que [ker B,g]⊂ker g. Agora, por ser p= ker Bideal, tamén será álxebra de Lie, e terase que [p,p]⊂p∩k= 0, xa que [p,p]⊂k. Reciprocamente, se [p,p]=0, logo xunto co feito de que [k,p]⊂p, terase de xeito inmediato que B|p×p= 0. 2.3. A descomposición de Iwasawa Nesta sección preséntanse un par de resultados que serán de gran relevancia no traballo como son a descomposición de Iwasawa para álxebras e grupos de Lie. A primeira proporcionaranos unha descomposición dunha álxebra de Lie semisimple como suma (a nivel de espazos vectoriais) dunha álxebra compacta, unha abeliana e unha nilpotente. Por outra banda, a correspondente para grupos de Lie diranos que, para un grupo de Lie semisimple, o produto cartesiano dos subgrupos conexos correspondentes ás álxebras de Lie da descomposición de Iwasawa da álxebra de Lie do grupo en cuestión é difeomorfo ó mesmo. Dito resultado será o que empregaremos para considerar ós espazos simétricos de tipo non compacto, para os que a álxebra de Lie do seu grupo de isometrías é semisimple pola Proposición 2.19, como grupos de Lie. Aínda así, como o ámbito no que se sitúan estes resultados se afasta do contido que se pretende abarcar, non se entrará en detalle na teoría no que se encadra, a saber, a teoría de sistemas de raíces, nin se demostrará o teorema correspondente a grupos de Lie. Deste xeito, limitarémonos a dar unha breve introdución dos espazos de raíces restrinxidas e que nos permitirá enunciar e entender tales resultados de descomposición. Para máis detalles, pódese consultar [24] ou [21]. Proposición 2.20 ([24, Teorema 6.51]).Sexa M∼ =G/K un espazo simétrico, e g=k⊕p a súa descomposición de Cartan respecto da involución θ. Sexa aun subespazo abeliano maximal de p. Entón todo subespazo abeliano maximal de pé conxugado de abaixo a acción adxunta de K, polo que todos os subespazos abelianos maximais teñen a mesma dimensión. Esta proposición permítenos dar a seguinte definición. 20 CAPÍTULO 2. ESPAZOS SIMÉTRICOS Definición 2.21. Sexa M∼ =G/K un espazo simétrico, e g=k⊕pa súa descomposición de Cartan. Defínese o rango de Mcomo dim a, sendo aun subespazo abeliano maximal de p. Agora enunciaremos un lema que nos será útil. Lema 2.22 ([20, Apéndice A.8]).Sexa Vun espazo vectorial de dimensión finita, e A ⊂ End(V)un conxunto de endomorfismos diagonalizables que conmutan entre si. Entón, todos os endomorfismos de Adiagonalizan simultaneamente, isto é, existe unha base de V formada por autovectores de todos os endomorfismos en A. A partir de agora, centrarémonos sempre nos espazos simétricos de tipo non compacto, pois como dixemos ao comezo da Sección 2.2, serán estes o contexto no que traballaremos. Dado un espazo simétrico de tipo non compacto, podemos dotar á álxebra de Lie do seu grupo de isometrías dun produto escalar de xeito natural a partir da forma de Killing da mesma. Lema 2.23. Sexa M∼ =G/K un espazo simétrico de tipo non compacto, entón a forma bilinear simétrica Bθ:g×g−→ R (X, Y )7−→ Bθ(X, Y ) := −B(θ(X), Y ), é definida positiva. Ademais, tamén se ten que: (a)Se X∈k, entón ad(X): g→gé antisimétrica respecto de Bθ. (b)Se X∈p, entón ad(X): g→gé simétrica respecto de Bθ. Demostración. Vexamos en primeiro lugar que Bθé definida positiva. Sexa g=k⊕pa descomposición de Cartan de M. Se X∈p, logo Bθ(X, X) = −B(θX, X) = −B(−X, X)>0, xa que Bp×pé definida positiva por ser Mde tipo non compacto. Por outra banda, se X∈k, logo Bθ(X, X) = −B(θX, X) = −B(X, X)>0, por ser Bk×kdefinido negativo por ser kcompacta. Así concluímos que Bθé en efecto un produto escalar en g. (a) Dado X∈k, Vexamos que se cumpre que Bθ(ad(X)(Y), Z) = −Bθ(Y, ad(X)(Z)), para todo Y, Z ∈g. En efecto, temos que Bθ(ad(X)(Y), Z) = Bθ([X, Y ], Z) = −B(θ([X, Y ]), Z) =−B([θX, θY ], Z) = −B([X, θY ], Z) =B(θY, [X, Z]) = −Bθ(Y, [X, Z]) =−Bθ(Y, ad(X)(Z)), como queriamos probar. (b) Próbase de xeito totalmente análogo, tendo en conta que para X∈p,θX =−X. 2.3. A DESCOMPOSICIÓN DE IWASAWA 21 Observación 2.24.Sexa H∈a, con aun subespazo abeliano maximal de p. Dado que H∈a⊂p, temos que θH =−H, e polo tanto tense que Bθ(ad(H)X, Y ) = −Bθ(X, ad(θH)Y) = Bθ(X, ad(H)Y), polo que ad(H)∈gl(g)é autoadxunto con respecto de Bθ. Ademais, o conxunto A={ad(H) : H∈a} é un conxunto conmutativo de automorfismos de g. En efecto, pois dados H1, H2∈a, tense que [ad(H1),ad(H2)] = ad([H1, H2]), xa que ad: g→gl(g)é un homomorfismo de álxebras de Lie. Agora ben tense que, por ser os elementos de Aautoadxuntos, estes diagonalizarán, polo que empregando o Lema 2.22, terase que o farán de xeito simultáneo. Definición 2.25. Sexa M∼ =G/K un espazo simétrico de tipo non compacto, g=k⊕pa súa descomposición de Cartan, e aun subespazo maximal abeliano de p. Chámanse espazo de raíz restrinxida a cada un dos autoespazos comúns de {ad(H) : H∈a}, isto é, a cada un dos subespazos vectoriais de gdefinidos para cada λ∈a∗como gλ={X∈g: [H, X] = λ(H)Xpara todo H∈a} con gλ= 0. Por outra banda, os λ= 0 tales que gλ= 0 serán as raíces restrinxidas de g, e denotaremos por Σo conxunto delas, isto é, Σ = {λ∈a∗:λ= 0,gλ= 0}. Deste xeito, temos a seguinte descomposición en suma directa g=g0⊕M λ∈Σ gλ, chamada descomposición de gen espazos de raíces restrinxidas. Observación 2.26.Obsérvese que, nas condicións da Definición 2.25, terase que g0= 0 pois a⊂g0, e a= 0, xa que todo subespazo xerado por un único vector non nulo é abeliano e distinto do subespazo trivial. Observación 2.27.Obsérvese ademais que a Definición 2.25 depende da elección do punto p∈Mconsiderado (que determina a descomposición g=k⊕p), e da elección do subespazo maximal a⊂p. Agora ben, terase que diferentes eleccións de p∈Me do subespazo abeliano maximal adarán lugar a descomposicións que serán conxugadas baixo a acción adxunta de G[24, Corolario 6.19 e Teorema 6.51] Proposición 2.28. Sexa g=g0⊕Lλ∈Σgλunha descomposición en espazos de raíces de g. Logo téñense as seguintes propiedades: (a)A suma directa g=g0⊕Lλ∈Σgλtamén é ortogonal respecto de Bθ. 22 CAPÍTULO 2. ESPAZOS SIMÉTRICOS (b) [gλ,gµ]⊂gλ+µpara calquera raíces λ, µ de Σ. (c)θgλ=g−λ, polo que se λ∈Σ, logo tamén −λ∈Σ. (d)g0=a⊕k0, como suma directa ortogonal, onde k0=Zk(a), é dicir o centralizador de aen k, isto é Zk(a) = {X∈k: [X, H] = 0 para todo H∈a} Demostración. (a) Sexan λ, µ ∈a∗distintos, isto é, para os que existe H∈ade xeito que λ(H)=µ(H). Supoñamos, sen perda de xeneralidade, que λ(H)= 0, xa que algún dos dous ten que ser distinto de 0, por ser distintos. Logo, por ser H∈a⊂p, tense que polo Lema 2.23 (b), ad(H)é simétrica respecto de Bθe deste xeito se X∈gλeY∈gµ, entón Bθ(X, Y ) = 1 λ(H)Bθ(ad(H)(X), Y ) = 1 λ(H)Bθ(X, ad(H)(Y)) = µ(H) λ(H)Bθ(X, Y ), e como µ(H) λ(H)= 1, tense necesariamente que Bθ(X, Y ) = 0. (b) Sexan X∈gαeY∈gµ. Pola identidade de Jacobi, tense que 0=[H, [X, Y ]] + [Y, [H, X]] + [X, [Y, H]] = [H, [X, Y ]] + [Y, λ(H)X]+[X, −µ(H)Y] = [H, [X, Y ]] −λ(H)[X, Y ]−µ(H)[X, Y ] = [H, [X, Y ]] −((λ+µ)(H)[X, Y ], polo que despexando se obtén que [X, Y ]∈gλ+µ, como queriamos probar. (c) Sexa X∈gλ, logo, tendo en conta que θ:g→gé un homomorfismo involutivo de álxebras de Lie, e que como H∈a⊂p, logo θH =−H, tense logo que [H, θX] = θ[θH, X] = θ[−H, X] = θ(−λ(H))X=−λ(H)θX polo que θgλ⊂g−λ. Agora, tamén se terá θg−λ⊂gλ, polo que aplicando θa ambos lados séguese que g−λ=θ2g−λ⊂θgλ, obténdose a igualdade. (d) En primeiro lugar, polo apartado anterior, tense que θg0=g0, polo que g0éθinvariante. Deste xeito, terase que como pola descomposición de Cartan, g=k⊕p, logo g0= (k∩g0)⊕(p∩g0). Agora, como a⊂p∩g0eaé un subespazo abeliano maximal en p, logo terase que a=p∩g0. Vexamos isto último. Por redución ó absurdo, se existe algún X∈(p∩g0)\aentón [X, H] = 0 para todo H∈a, xa que X∈g0. Así, o subespazo p+RX⊂p∩g0é un subespazo abeliano en pque contén estrictamente a a, contradicindo a maximalidade do mesmo. Por último, tense claramente que k∩g0={X∈k: [X, H]=0para todo H∈a}= Zk(a), polo que se conclúe o resultado. Observación 2.29.Sexa λ∈a∗. Como a forma de Killing é non dexenerada en a⊂p, podemos definir Hλ∈apola relación B(Hλ, H) = λ(H), para todo H∈a. Logo podemos introducir un producto escalar en a∗dado por ⟨λ, µ⟩:= B(Hλ, Hµ). De feito, como pode verse en [24, pp. 103-116], tense que Σé un sistema abstracto de raíces en a∗, isto é, un subconxunto finito de vectores non nulos do espazo vectorial euclídeo a∗ que satisfai as seguintes propiedades: 2.3. A DESCOMPOSICIÓN DE IWASAWA 23 (a)a∗= span Σ. (b)Dados α, β ∈Σ, tense que aαβ := 2⟨α,β⟩ ⟨α,α⟩∈Z. (c)Dados α, β ∈Σ, tense que β−aαβα∈Σ. Observación 2.30.Pódese tomar un criterio de positividade en Σdo seguinte xeito. Consideramos un hiperplano linear Pno espazo vectorial a∗que non interseque a Σ, o cal é posible posto que Σé un conxunto finito. Entón, Pdivide o a∗en dous semiespazos que chamamos P+eP−. Agora, diremos que λ∈Σé positiva se pertence ó semiespazo P+e negativo se pertence a P−. Denotaremos por Σ+o conxunto de raíces positivas con este criterio. Ademais, denotaremos por nó subespazo vectorial n=M λ∈Σ+ gλ, que é unha subálxebra de Lie de g, xa que [gλ,gµ]⊂gλ+µ, e a suma de raíces positivas ou ben non é raíz, ou ben é unha raíz positiva. Proposición 2.31 (Descomposición de Iwasawa de álxebras de Lie).Toda álxebra de Lie real semisimple gadmite unha descomposición en suma directa de subespazos vectoriais da forma g=k⊕a⊕n, onde aé unha álxebra de Lie abeliana, né nilpotente, a⊕né unha subálxebra de Lie resoluble de g, e [a⊕n,a⊕n] = n. Demostración. En primeiro lugar, aé abeliana por construción. Por outra banda, pola Proposición 2.28 (b), terase que os nida serie central descendente de nson n1= [n,n] =  M λ∈Σ+ gλ,M λ∈Σ+ gλ ⊂M λ1,λ2∈Σ+ gλ1+λ2, n2⊂ M λ∈Σ+ gλ,M λ1,λ2∈Σ+ gλ1+λ2 ⊂M λ1+λ2+λ3∈Σ+ gλ1+λ2+λ3, . . . ni⊂ M λ∈Σ+ gλ,M λ1,...λi∈Σ+ gPi+1 k=1 λk ⊂M λ1,...,λi+1∈Σ+ gPi+1 k=1 λk, e como Σé finito, terase que nj= 0 a partir dalgún j∈N. Vexamos isto con detalle. Para iso, sexa µ∈a∗de xeito que ⟨µ, λ⟩>0para todo λ∈Σ+, que non será máis que o vector normal ao hiperplano Pdefinido en 2.30 apuntado cara P+. Sexan agora a:= m´ın λ∈Σ+⟨µ, λ⟩, b := m´ax λ∈Σ+⟨µ, λ⟩. 24 CAPÍTULO 2. ESPAZOS SIMÉTRICOS Entón, tomando un k∈Nde xeito que k > b a, logo nk= 0, xa que se Pk i=1 λié raíz positiva con λi=1 ∈Σ+, logo ⟨µ, Pk iλi⟩ ≥ ka > b aa=b, o cal é unha contradición. Deste xeito, concluímos que né nilpotente. Deste xeito, como de novo pola Proposición 2.28 (b) se ten que [a⊕n,a⊕n]⊂n, logo a⊕nserá resoluble, por selo ntamén, xa que é nilpotente. Vexamos agora que k+ (a⊕n)é unha suma directa. Para iso, sexa X∈k∩(a⊕n). Logo, θX =X, e θX ∈a⊕θnpola Proposición 2.28, e deste xeito, necesariamente X∈a, pois n∩θn= 0. Agora ben se X∈a⊂plogo X= 0, pois k∩p= 0. Por último, vexamos que g=k⊕a⊕n. En efecto, como g=g0⊕Lλ∈Σgλ, e g0=a⊕m pola Proposición 2.28 (d), logo, dado X∈g, existirán H∈a,X0∈meXλ∈gλpara cada λ∈Σde xeito que X=H+X0+X λ∈Σ Xλ= (X0+X λ∈Σ+ (X−λ+θ(X−λ))) + H+X λ∈Σ+ (Xλ−θ(X−λ)), polo que Xse pode descompoñer en suma de elementos de k,aen, respectivamente. Agora enunciamos o resultado fundamental desta sección. Teorema 2.32 (Descomposición de Iwasawa, [24, Teorema 6.46]).Sexa Gun grupo de Lie semisimple, e sexa g=k⊕a⊕nunha descomposición de Iwasawa da álxebra de Lie gde G. Sexan AeNos subgrupos de Lie conexos de Gcon álxebras de Lie aenrespectivamente. Entón os grupos AeNson pechados e simplemente conexos, e a aplicación Φ: K×A×N−→ G (k, a, n)7−→ kan, é un difeomorfismo. Observación 2.33.Obsérvese que, nas condicións do Teorema 2.32, tense que o subgrupo pechado {1}×A×Nde K×A×Né difeomorfo ao subgrupo AN ={an :a∈A, n ∈N} de Gpor ser Φ: K×A×N→Gun difeomorfismo. Deste xeito, tense que AN é un subgrupo de Lie (pechado) de G. 2.4. O modelo resoluble dun espazo simétrico de tipo non compacto Nesta sección veremos como, a partir da descomposición de Iwasawa, un espazo simétrico de tipo non compacto será difeomorfo ó subgrupo de Lie resoluble AN do grupo de isometrías. Tal difeomorfismo permitiranos definir de xeito natural unha métrica en AN que ademais veremos que é invariante á esquerda. Xa por último, deduciremos a expresión da conexión de Levi-Civita do mesmo. Proposición 2.34. Sexa M∼ =G/K un espazo simétrico de tipo non compacto, con G= I0(M)eK=Gp, con p∈M. Sexa G=K×A×Na descomposición de Iwasawa de G, dada polo Teorema 2.32. Entón a aplicación φ:AN −→ M h7−→ h(p), 2.4. O MODELO RESOLUBLE 25 é un difeomorfismo. Demostración. En primeiro lugar, vexamos que φé inxectiva. Sexan g, h ∈AN, se φ(g) = φ(h)logo g(p) = h(p), e entón, h−1g(p) = p, e deste xeito h−1g∈K∩AN. Agora ben, polo Teorema 2.32, isto implica que necesariamente h−1g=epois doutro xeito a aplicación Φdada en dito teorema non sería bixectiva. Polo tanto, g=h, e φé inxectiva. Ademais, φtamén será sobrexectiva. En efecto, dado q∈M, logo pola transitividade do grupo G actuando en M, existe g∈Gde xeito que g(q) = p, ou, equivalentemente, que g−1(p) = q. Agora, usando a descomposición de Iwasawa, existirán k∈K, a ∈A, n ∈Nde xeito que g=kan. Entón tense que q=g−1(p) = n−1a−1k−1(p) = n−1a−1(p). Agora, como AN é un subgrupo de G,n−1a−1= (an)−1∈AN polo que φé sobrexectiva. Por último, vexamos que φé un difeomorfismo local. Para iso, observamos que estamos tomando φ=ϕ|AN , é dicir, como a restrición a AN da aplicación ϕ:G−→ M g7−→ g(p), que é unha submersión [26, Teorema 7.25]. Se consideramos agora a súa diferencial, isto é, ϕ∗e:k⊕a⊕n→TpM, sabemos que é sobrexectiva e ademais ker ϕ∗=k, polo tanto φ∗e= (ϕ|AN )∗e:a⊕n→TpMé un isomorfismo. Agora, pola homoxeneidade dos grupos de Lie, terase que φ∗g= (ϕ|AN )∗g:TgAN →Tg(p)Mtamén é un isomorfismo para todo g∈AN. Deste xeito, como φé un difeomorfismo local e bixectivo, concluímos que φé un difeomorfismo. Observación 2.35.Pola Proposición 2.34, tense que todo espazo simétrico de tipo non compacto resulta ser difeomorfo a un grupo de Lie. Ademais, como Mé unha variedade de Riemann, o difeomorfismo φpermítenos dotar a AN dunha estrutura de variedade de Riemann grazas ó pull-back φ∗gda métrica de Riemann gde M. Ademais, tal métrica é invariante pola esquerda no grupo de Lie AN. En efecto, sexa h∈AN, vexamos entón que L∗ hφ∗g=φ∗g. En primeiro lugar, tense que, dado h′∈AN, (h−1◦φ◦Lh)(h′) = h−1(φ(hh′)) = h−1(hh′(p)) = h′(p) = φ(h′), polo que (h−1◦φ◦Lh) = φ. Entón, como h∈AN ⊂Gé unha isometría de M, tense logo que L∗ hφ∗g=L∗ hφ∗(h−1)∗g= (h−1◦φ◦Lh)∗g=φ∗g, polo que se obtén que φ∗gé invariante pola esquerda. A partir de agora, se Mé un espazo simétrico con métrica de Riemann g, denotaremos por ⟨·,·⟩AN := φ∗gtanto á métrica invariante á esquerda en AN como ó correspondente produto escalar en a⊕n. 32 CAPÍTULO 3. O ESPAZO HIPERBÓLICO COMPLEXO Temos polo tanto que CHné un espazo homoxéneo (como variedade diferenciable). Calculemos agora o subgrupo de isotropía dun punto, por exemplo de π(re1). Agora ben, as matrices A∈SU(n+1) tales que π(Are1) = π(re1)necesariamente serán as que verifican Are1=λre1para algún λ∈S1. Deste xeito, a primeira fila e columna de Aten que ser λe1. Logo o subgrupo de isotropía de π(re1)será o conxunto das matrices por bloques da forma U(1) ×U(n)con determinante igual a 1, isto é S(U(1) ×U(n)), polo que podemos describir CHncomo CHn= SU(n+ 1)/S(U(1) U(n)), onde S(U(1) U(n)) := S(U(1) ×U(n)). 3.1. Estrutura riemanniana do espazo hiperbólico complexo Unha vez visto que CHné un espazo homoxéneo, veremos que tamén será un espazo simétrico. Para iso é necesario introducir unha métrica de Riemann no mesmo. A idea será introducir unha métrica no espazo anti-de Sitter, e a partir desta, inducila en CHna través da proxección canónica π:H2n+1 1(r)→CHn. Terase que o espazo tanxente a H2n+1 1(r)nun punto zdo mesmo será TzH2n+1 1(r) = {w∈Cn+1 :⟨z, w⟩= 0}, onde ⟨·,·⟩ é o produto escalar dado en (3.1). Agora, restrinxíndonos a H2n+1 1(r), como 1 rz está asociado ó índice −1da métrica ⟨·,·⟩, logo esta terá sinatura (1,2n)restrinxida ó subespazo (1 rz)⊥=TzH2n+1 1(r)de Cn+1, e será polo tanto unha métrica de Lorentz. Sexa agora ∇a conexión de Levi-Civita de R2n+2. Denotaremos por ξó campo de vectores normal a H2n+1 1(r)dado por ξz=1 rzpara cada z∈H2n+1 1(r), para o que se terá ademais que ⟨ξ, ξ⟩=−1. Logo, dado un campo de vectores tanxente X∈TzH2n+1 1(r), que escribiremos en coordenadas locais como X=P2n−1 j=0 xj∂ ∂uj, tense logo que ∇Xξ=1 r∇X 2n−1 X i=0 ui ∂ ∂uj =1 r 2n−1 X i=0 Xui ∂ ∂uj =1 r 2n−1 X i=0 2n−1 X j=0 xj ∂ui ∂uj ∂ ∂uj =1 rX, pois ∂ui ∂uj= 1 se i=j, e ∂ui ∂uj= 0 noutro caso. Así, pola fórmula de Weingarten (1.2), tense que o operador de configuración do espazo anti-de Sitter cumpre que SξX=−1 rX. Logo, pola relación entre a segunda forma fundamental e o operador de configuración, ⟨−1 rX, Y ⟩=⟨II(X, Y ), ξ⟩para X, Y tanxentes a H2n+1 1(r). Agora ben, como ξzxera o espazo normal ó espazo anti-de Sitter en cada z∈H2n+1 1(r), entón II(X, Y ) = ⟨X,Y ⟩ rξ, e deste xeito pola fórmula de Gauss (1.1) tense que a conexión de Levi-Civita ˜ ∇de H2n+1 1(r) vén dada por e ∇XY=∇XY−⟨X, Y ⟩ rξ, para X, Y ∈X(H2n+1 1(r)). Denotemos por e J:Cn+1 →Cn+1,e JX =iX, a estrutura complexa de Cn+1. Sexa V= e Jξ = i ξ, que é un vector tanxente a H2n+1 1(r), pois ⟨z, iz⟩= Re(−z0 s iz0+Pn k=1 zk s izk) = 0para todo z∈Cn+1. Ademais, Vé unitario pois tense que ⟨V, V ⟩=⟨ξ, ξ⟩=−1. 3.1. ESTRUTURA RIEMANNIANA DO ESPAZO HIPERBÓLICO COMPLEXO 33 Logo, podemos descompoñer ortogonalmente o espazo tanxente a H2n+1 1(r)nas chamadas compoñentes vertical ehorizontal como TH2n+1 1(r) = RV⊕V⊥, onde V⊥={X∈TH2n+1 1(r) : ⟨X, V ⟩= 0}. O núcleo da diferencial π∗zéRVz, polo que se induce un isomorfismo entre V⊥ zeTπ(z)CHn. Así, a cada elemento X∈Tπ(z)CHn, asóciaselle o único vector XL zde V⊥ zque cumpre π∗z(XL z) = X, e que se denomina levantamento horizontal de XaH2n+1 1(r). Antes de introducir a métrica de Riemann, definiremos a estrutura case complexa en CHn, é dicir, un tensor Jde tipo (1,1) en CHntal que J2=−id. Primeiro, consideremos a xeodésica t7→ φt(z)sobre H2n+1 1(r)que parte de zcon velocidade inicial e Jz = i z=rVz, a cal recorre a fibra de π(z), que é π−1(π(z)) = {eitz: 0 ≤t≤2π}. O conxunto {φt}t∈R danos un grupo uniparamétrico de isometrías, e de feito, φtpódese expresar como eitid, sendo id a matriz identidade. Así, pódese ver facilmente que φt∈U(1, n). Ademais, por preservar as fibras, terase que π◦φt=π, polo que, se X∈Tπ(z)CHn, logo π∗eitz(φt)∗zXL z= π∗zXL z=X. Ademais, como (φt)∗zXL z∈V⊥ φt(z)por ser XL z∈V⊥ z, e φtunha isometría que preserva a distribución vertical, logo XL φt(z)= (φt)∗zXL z. Con isto, podemos definir J, a estrutura case complexa de CHn, por JX := π∗(e JXL) para Xcampo de vectores en CHn, ou, de xeito equivalente, por Jπ∗(X) = π∗(e JX), para Xcampo de vectores en V⊥. Vexamos que Jestá ben definida. Por unha banda, como podemos identificar (φt)∗z≡eitid, logo (φt)∗zee Jconmutan. Como ademais, se ten que π◦φt=π, logo π∗z(e JXL z) = π∗eitz((φt)∗z(e JXL z)) = π∗eitz(e J(φt)∗zXL z) = π∗eitz(e JXL eitz). Por último, terase claramente que Jé linear, e, por ser V⊥e J-invariante, logo J2=−id. Agora introduciremos unha métrica de Riemann en CHn. Para isto, pediremos que a proxección πsexa unha submersión semi-riemanniana, facendo que a restrición de π∗za V⊥ z⊂TzH2n+1 1(r)sexa unha isometría para cada z∈H2n+1 1(r). Así, definiremos en CHn unha métrica mediante ⟨X, Y ⟩:= ⟨XL, Y L⟩, para X, Y vectores tanxentes nun mesmo punto a CHn. Tratarase dunha definición correcta, pois as isometrías φtactúan transitivamente nas fibras. Para ver que é definida positiva, tan só hai que ter en conta que a métrica ⟨·,·⟩ ten sinatura 2en Cn+1, e como ξeVson dous vectores temporais (é dicir, de norma negativa) ortogonais para tal métrica, logo esta é definida positiva en V⊥. Ademais tamén se tratará dunha métrica hermitiana pois, se X, Y son campos de vectores en CHn, logo ⟨JX, JY ⟩=⟨(π∗(e JXL))L,(π∗(e JY L))L⟩=⟨e JXL,e JY L⟩=⟨XL, Y L⟩=⟨X, Y ⟩. O espazo hiperbólico complexo CHné, de feito, un exemplo de variedade de Kähler. Unha variedade de Kähler é unha variedade complexa Mdotada dunha métrica riemanniana de xeito que a estrutura case complexa Jasociada é unha isometría en cada tanxente (i.e. a variedade Mé hermitiana) e paralela respecto da conexión de Levi-Civita, isto é, ∇J= 0. Xunto cos espazo euclidianos complexos Cne os espazos proxectivos complexos CPn, os espazos hiperbólicos complexos CHnconstitúen unha das tres familias dos denominados espazos forma complexos: aquelas variedades de Kähler completas e simplemente conexas 34 CAPÍTULO 3. O ESPAZO HIPERBÓLICO COMPLEXO con curvatura seccional holomorfa constante, i.e. tal que a curvatura seccional de calquera 2-plano complexo span{X, JX}é sempre a mesma, digamos c. Os casos c > 0,c= 0 e c < 0correspóndense, respectivamente, con CPn,CneCHn. Para máis información sobre variedades complexas, Kähler e espazos forma complexos, pode consultarse [10, 36, 19]. 3.2. O espazo hiperbólico complexo como espazo simétrico Vexamos agora que CHné un espazo simétrico. Para iso, se consideramos p=π(re1), terase que a aplicación linear dada pola matriz A=    1 0 0−In    é unha isometría en Cn+1 que inducirá unha isometría en CHn, posto que A∈U(1, n) e vimos que as matrices de U(1, n)inducen isometrías en CHn. Neste caso, a isometría inducida vén dada por σπ(re1):CHn−→ CHn π(z)7−→ σπ(re1)(π(z)) := π(Az), que cumpre que (σπ(re1)◦π)∗z= (π◦A)∗zpara todo z∈H2n+1 1(r). Ademais, dado z∈H2n+1 1(r), terase empregando a regra da cadea, que (σπ(re1))∗π(z)=π∗Az ◦A◦(π∗z)−1 |V⊥.(3.2) Ademais, é claro que σπ(re1)deixa fixo π(re1). Vexamos que (σπ(re1))∗π(re1)=−id. Isto tense do feito de que, dado X∈Tπ(re1)CHn, entón XL re1∈V⊥, polo que, empregando a igualdade (3.2) terase que (σπ(re1))∗π(re1)(X) = (π∗re1◦A◦π−1 ∗re1)(X) = π∗re1(AXL re1) = π∗re1(−XL re1) = −X, para todo X∈Tπ(re1)CHn. Por último, observemos que como as matrices de U(1, n)actúan transitivamente sobre CHn, a existencia dunha reflexión xeodésica que é isometría en torno a un punto de CHnimplica a existencia de reflexións xeodésicas que son isometrías con respecto a calquera outro punto de CHn. Deste xeito, conclúese que CHné un espazo simétrico. 3.2.1. Estrutura do espazo hiperbólico complexo Xa vimos que CHn∼ =SU(1, n)/S(U(1) U(n)) é un espazo simétrico. Deste xeito, a partir de agora denotaremos G= SU(1, n), e K= S(U(1) U(n)). Agora, para denotar un tipo de matrices que empregaremos a partir de agora, fixaremos a notación ⌈λ, v, X⌉=    iλ v∗ v X    , 3.2. O ESPAZO HIPERBÓLICO COMPLEXO COMO ESPAZO SIMÉTRICO 35 con λ∈R, v ∈CneXunha matriz complexa de orde n. Vexamos agora cales son as álxebras de Lie de Gé de K. Por unha banda, como a álxebra de Lie de G= SU(1, n)é g=su(1, n) = {Y∈gl(n+ 1,C) : Y I1,n +I1,nY∗= 0,tr Y= 0}, que pode verse facilmente que coincide co conxunto {⌈λ, v, X⌉:λ∈R, v ∈Cn, X ∈u(n),iλ+ tr X= 0}. Pode verse ademais que ⌈λ, v, X⌉⌈µ, w, Y ⌉=−λµ +v∗wiλw∗+v∗Y iµv +Xw vw∗+XY , para todos λ, µ ∈R,v, w ∈CneX, Y ∈u(n). Deste xeito, pode obterse a seguinte expresión para o corchete de Lie de su(1, n) [⌈λ, v, X⌉,⌈µ, w, Y ⌉] = ⌈2 Im v∗w, i(µv −λw) + Xw −Y v, [X, Y ] + vw∗−wv∗⌉. Agora, calculemos as expresión para a forma de Killing de su(1, n). Por unha banda, é ben coñecido que a forma de Killing de gl(n+ 1,C)vén dada por B(A, B) = 2(n+ 1) tr AB −2 tr Atr B. (3.3) Por unha banda, como a álxebra de Lie sl(n+ 1,C)é un ideal de gl(n+ 1,C), entón a súa forma de Killing é a restrición da forma de Killing de gl(n+ 1,C), isto é, B(A, B) = 2(n+ 1) tr AB. Agora ben, a forma de Killing de su(1, n)será de novo a restrición da de sl(n+ 1,C), xa que se pode ver facilmente que su(1, n)é unha forma real da mesma, é dicir, que su(1, n)⊕isu(1, n) = sl(n+ 1,C). Deste xeito, terase que B(A, B) = 2(n+ 1) tr AB, (3.4) Sexa agora a aplicación linear θ:su(1, n)→su(1, n)dada por θ⌈λ, v, X⌉=−⌈λ, v, X⌉∗=⌈λ, −v, X⌉. Tal aplicación linear cumpre claramente que θ2= id, e ademais θ[A, B]=[θA, θB]para todos A, B ∈su(1, n), polo que é un homomorfismo de álxebras de Lie. Agora, razoando como se fai na proba do Lema 2.23 para a descomposición de Cartan con respecto da involución θ, terase que Bθ, isto é, a aplicación bilinear simétrica dada por Bθ(A, B) = −B(θA, B)para A, B ∈su(1, n), é definida positiva. Deste xeito, Bθdefine un produto escalar en su(1, n), e θé unha involución de Cartan para a álxebra de Lie semisimple su(1, n). Polo tanto, a descomposición de Cartan de su(1, n)virá dada por g=k⊕p, onde p={A∈su(1, n) : θA =−A}, e k={A∈su(1, n) : θA =A}é a álxebra de Lie de K= S(U(1) U(n)) ∼ =U(n). Tendo en conta que a álxebra de Lie de U(n)é a álxebra de Lie das matrices anti-hermitianas, isto é u(n) = {X∈gl(n, C) : X+X∗= 0}, entón, como en particular u(1) = i R, logo k=s(u(1) ⊕u(n)) = {⌈λ, 0, X⌉:λ∈R, X ∈u(n),iλ+ tr X= 0}. Ademais, p={A∈su(1, n) : θA =−A}={⌈0, v, 0⌉:v∈Cn}∼ =Cn. 36 CAPÍTULO 3. O ESPAZO HIPERBÓLICO COMPLEXO 3.2.2. A descomposición de Iwasawa asociada ós espazos hiperbólicos complexos Xa vimos no capítulo anterior que, se M∼ =G/K é un espazo simétrico con descomposición de Cartan g=k⊕p, entón o rango de Mé a dimensión dun subespazo abeliano maximal de p, a cal é sempre a mesma pola Proposición 2.20. No caso de CHndita dimensión será igual a 1, polo que se tratará dun espazo de rango un. De feito, vexamos que o seguinte subespazo a=R⌈0, e1,0⌉ ⊂ p, de dimensión 1é maximal entre os subespazos abelianos de p. Supoñamos que existe un subespazo abeliano b⊂pque contén a a. Logo, dado ⌈0, v, 0⌉ ∈ b, entón tense que cumprir que 0=[⌈0, e1,0⌉,⌈0, v, 0⌉] = ⌈2 Im v∗e1,0, ve∗ 1−e1v∗⌉. Agora ben, tense que ve∗ 1=   v1 . . .0 vn   , e1v∗=    v1. . . vn 0   , polo que se terá que vi= 0 para todo i≥2. Ademais, tamén se ten que cumprir que v1=v1, polo que entón v1∈R, polo que deste xeito v∈Re1, polo que b=a, e aé maximal. Se consideramos a familia de operadores autoadxuntos {ad(H) : H∈a}, terase pola Observación 2.24 que os operadores diagonalizan simultaneamente. Sexa Σo conxunto das raíces restrinxidas de g. Neste caso terase que gα=l0,(0, v),0v∗ −v0m:v∈Cn−1∼ =Cn−1 g−α=θgα=l0,(0,−v),0v∗ −v0m:v∈Cn−1∼ =Cn−1 g2α=lµ, (i µ, 0),−iµ0 0 0 m:µ∈R∼ =R g−2α=θg2α=lµ, (−iµ, 0),−iµ0 0 0 m:µ∈R∼ =R g0=lµ, xe1,iµ0 0Ym:µ, x ∈R, Y ∈su(n−1),2 i + tr Y= 0. Deste xeito, temos a seguinte descomposición en espazos de raíces de g=su(1, n), que ademais é ortogonal respecto de Bθ: g=g−2α⊕g−α⊕g0⊕gα⊕g2α. Unha vez dada a descomposición en espazos de raíces, estamos en disposición de dar a descomposición de Iwasawa da álxebra de Lie do grupo de isometrías de CHn, isto é de su(1, n). Para iso, consideraremos unha orde no espazo de raíces Σque faga que αe2α sexan raíces positivas. Entón, temos o subespazo n=gα⊕g2α=lµ, (i, v),−iµ v∗ −v0m:µ∈R, v ∈Cn+1, 3.2. O ESPAZO HIPERBÓLICO COMPLEXO COMO ESPAZO SIMÉTRICO 37 que sabemos pola Proposición 2.31 que é unha subálxebra de Lie nilpotente. Deste xeito, terase a seguinte descomposición de Iwasawa da álxebra de Lie g=su(1, n), respecto do subespazo abeliano maximal a⊂pe do criterio de positividade Σ: g=k⊕a⊕n={⌈λ, 0, X⌉:λ∈R, X ∈u(n),iλ+ tr X= 0}⊕R⌈0, e1,0⌉ ⊕lµ, (i, v),−iµv∗ −v0m:µ∈R, v ∈Cn+1 =              iλ0. . . 0 0 . . .X 0     :λ∈R, X ∈u(n),iλ+ tr X= 0         ⊕           0xe1 xe10   :x∈R       ⊕                 iµ−iµ v∗ iµ−iµ v∗ v−v0      :µ∈R, v ∈Cn−1           Recordemos que dita descomposición tan só o é como suma directa de subespazos vectoriais de g, e non en suma directa de álxebras de Lie (xa que por exemplo [a,n]= 0), nin tampouco é ortogonal nin respecto de Bnin de Bθ, pois knon é normal a n. Sexan agora AeNos subgrupos de Lie conexos de G= SU(1, n)con álxebra de Lie aenrespectivamente. Recordemos que o teorema de descomposición de Iwasawa 2.32 nos asegura que a aplicación K×A×N−→ G (k, a, n)7−→ kan, é un difeomorfismo, polo que, pola Observación 2.33, AN ⊂Gé un subgrupo de Lie pechado e conexo difeomorfo a {1}×A×N. 3.2.3. O modelo do grupo de Lie resoluble Nesta sección centrarémonos en calcular de xeito explícito, utilizando as matrices da álxebra de Lie a⊕n, a conexión de Levi-Civita do espazo hiperbólico complexo. Para iso, empregaremos a fórmula de Koszul (2.1) aplicada ó grupo de Lie AN coa súa métrica invariante á esquerda que fai que AN sexa isométrico a CHn. Por simplicidade de notación, de aquí en diante denotaremos por ⟨·,·⟩ a métrica invariante á esquerda de AN considerada na Sección 2.4, no caso particular M=CHn. Da Sección 2.4 sabemos que o produto escalar de dous campos de vectores X, Y invariantes á esquerda virá dado por ⟨X, Y ⟩=k(Bθ(Xa, Ya) + 1 2Bθ(Xn, Yn)), 38 CAPÍTULO 3. O ESPAZO HIPERBÓLICO COMPLEXO para certa constante k∈R, onde (·)ae(·)nindican proxección ortogonal sobre aenrespectivamente. Agora ben, no que segue de sección consideraremos l∈Rcomo a única constante tal que k=−1 l(n+1) , isto é, l=−1 k(n+1) . Agora expresaremos en termos matriciais o produto interior de dous elementos de a⊕n. Por un lado, facendo cálculos, chégase á seguinte expresión para o produto de dous elementos de tal espazo vectorial: ⟨lb, (a+ib, v),−ib v∗ −v0m,ld, (c+ i d, w),−id w∗ −w0m⟩ =−4 l(ac +bd + Re(v∗w)) = −4 l⟨(a+ i b, v),(c+ i d, w)⟩R2n, para a, b, c, d ∈R, e v, w ∈Cn−1, onde ⟨·,·⟩R2né o produto escalar usual en R2n, dado por ⟨v1, v2⟩R2n= Re(v∗ 1v2), se v1, v2∈Cn. No que segue, seranos útil empregar a seguinte notación para os elementos de a⊕n: ⌊x+ i y, v⌋=ly, (x+ i, v),−iyv∗ −v0m, con x, y ∈R,v∈Cn−1. Estudemos agora a estrutura complexa inducida sobre a⊕n. Para iso, sexa X= ⌊x+ i y, v⌋ ∈ a⊕ne fixemos p=π(re1)∈CHncomo fixemos anteriormente no capítulo. Sexa π:H2n+1 1(r)→CHna proxección usual de H2n+1 1(r)sobre o espazo hiperbólico complexo, e φ:AN →CHno difeomorfismo dado na Proposición 2.34. Agora, pola Observación 2.14, sabemos que, por ser G= SU(1, n)un grupo de Lie que actúa transitivamente sobre CHn, a X∈a⊕n⊂g=k⊕a⊕ncorresponderalle o vector d dt |t=0 Exp(tX)(p) = d dt |t=0 Exp(tX)(π(re1)). Deste xeito, ó vector 1 rXcorresponderalle o seguinte campo de vectores de TpCHn: 1 rφ∗(X) = 1 r d dt|t=0φ(Exp tX) = d dt|t=0 Exp(tX)(π(re1)) = d dt|t=0π(Exp(tX)(re1)) =π∗(d dt|t=0 Exp tX(e1)) = π∗(Xe1) = π∗(i y, x + i y, v) = π∗(0, x + i y, v), xa que γ(t) = π(rExp tX(e1)) é claramente a curva integral en CHndo campo de vectores fundamental asociado a Xpasando por p, e π∗(i e1)=0, debido a que ie1∈RV, sendo V=e Jξ o vector vertical que consideraramos anteriormente. Agora, por como se definiu a estrutura complexa de Jde CHn, terase que 1 rJφ∗(X) = Jπ∗(Xe1) = π∗(e J(Xe1)V⊥) = π∗(i(0, x + i y, v)) = π∗(0,−y+ i x, iv), sendo e Ja estrutura complexa de Cn+1, que consiste en multiplicar as coordenadas por i, e (·)V⊥a proxección sobre o subespazo V⊥de Tre1H2n+1 1(r). Vexamos a continuación cal é a matriz de a⊕nque lle corresponde a Jφ∗(X) = rπ∗(0,−y+ i x, iv)∈TpCHn. Agora ben, tal matriz de a⊕n, que chamaremos Y, terá que cumprir que π∗(Y e1) = π∗(0,−y+ i x, iv), polo que a primeira columna de Yten que ser un múltiplo complexo do 3.2. O ESPAZO HIPERBÓLICO COMPLEXO COMO ESPAZO SIMÉTRICO 39 vector (0,−y+ i x, iv), polo que podemos tomar Y=⌊−y+ i x, iv⌋, de xeito que podemos considerar como estrutura complexa sobre a⊕na dada por J⌊x+ i y, v⌋= i⌊x+ i y, v⌋. Temos logo que Ja=g2αxa que un elemento de ase expresa da forma ⌊x, 0⌋con x∈R, polo que J⌊x, 0⌋=⌊ix, 0⌋=⌈x, (i x, 0),−ix0 0 0 ⌉, que é un elemento de g2α. Reciprocamente, tamén é claro que todo elemento de g2αse pode expresar como i⌊x, 0⌋, con x∈R. Ademais, tamén é claro que Jgα⊂gα, polo que gα éJinvariante. Por outra banda, facendo contas, pódense obter tamén as seguintes expresións para o produto escalar en a⊕ne para o corchete de Lie: ⟨⌊x+ i y, v⌋,⌊a+ i b, w⌋⟩ =−4 l⟨(x+ i y, v),(a+ i b, w)⟩R2n [⌊x+ i y, v⌋,⌊a+ i b, w⌋] = ⌊2 i⟨i(x+ i y, v), a + i b, w⟩R2n,−av +xw⌋. para ⌊x+ i y, v⌋e⌊a+ i b, w⌋elementos de a⊕n. Deste xeito, aplicando a fórmula de Koszul para a conexión de Levi-Civita s ∇de AN, terase que: 2⟨∇XY, Z⟩= =⟨⌊4ty + 2⟨v, w⟩R2n−2+ i(−4yz + 2⟨iv, w⟩R2n−2),−2zv −2yiw−2tiv⌋,⌊a+ i b, u⌋⟩, polo que se deduce que ∇⌊x+i y,v⌋⌊z+ i t, w⌋=⌊2ty +⟨v, w⟩R2n−2+ i(−2yz +⟨iv, w⟩R2n−2),−zv −yiw−tiv⌋. Definamos agora os campos de vectores unitarios seguintes B:= ⌈0,√−l 2e1,0⌉=⌊√−l 2,0⌋, Z := JB =⌊i√−l 2,0⌋. Tense entón que a=RBeg2α=RZ. Deste xeito, como a⊕n=RB⊕gα⊕RZ, dados U, V ∈gα, a conexión de Levi-Civita de AN pódese reescribir nos seguintes termos: ∇aB+U+cZ(bB +V+dZ) =√−l(1 2⟨U, V ⟩+cd)B−1 2(bU +cJV +dJU) +1 2⟨JU, V ⟩−bcZ. ademais, tamén é fácil de deducir seguintes relacións: [B, Z] = √−lZ, (3.5) [B, U] = √−l 2U, (3.6) [U, V ] = √−l⟨JU, V ⟩Z, (3.7) [Z, U]=0.(3.8) Capítulo 4 Subvariedades homoxéneas minimais nos espazos hiperbólicos complexos Neste capítulo, que constitúe a parte orixinal da memoria, pasamos a estudar e clasificar unha certa clase de subvariedades do espazo hiperbólico complexo que son simultaneamente homoxéneas e minimais. Nas seguintes liñas facemos máis precisa esta afirmación. En primeiro lugar, e como se viu na Sección 3.2.3, recordemos que CHnresulta ser isométrico ó grupo de Lie resoluble AN equipado cunha certa métrica invariante á esquerda. Aquí, AN constitúe a parte resoluble da descomposición de Iwasawa G=K×A×Nda compoñente conexa G= I(CHn)0do grupo de isometrías de CHn; lembremos que, salvo un cociente finito, G= SU(1, n), e que K= S(U(1) U(n)) ∼ =U(n) é o subgrupo de isotropía de Gdun certo punto base p∈CHn, que fixamos de aquí en diante. Recordemos tamén que AN é o produto semidirecto do grupo abeliano Aco grupo nilpotente N. Sexan a,ne a⊕nas álxebras de Lie de A,NeAN, respectivamente, e recordemos que n=gα⊕g2α. Como se comentou na introdución, un problema interesante no ámbito da xeometría de subvariedades en espazos simétricos é a determinación das subvariedades homoxéneas minimais dun espazo dado; é dicir, fixado un espazo simétrico M=G/K, determinar as órbitas H·qde subgrupos conexos Hde Gque teñen curvatura media nula. No caso dos espazos simétricos de tipo non compacto e curvatura non constante, este problema está totalmente aberto. Na práctica, a súa abordaxe vese enormemente complicada pola dificultade de calcular a xeometría de órbitas de subgrupos Hque conteñan compoñentes ‘rotacionais’, i.e. compoñentes en K. Actualmente, descoñecemos técnicas que permitan lidar con esta situación xeral. Por iso, nós restrinxiremos a nosa atención ás subvariedades homoxéneas que se obteñen como órbitas dalgún subgrupo conexo Hde AN. Por simplicidade de linguaxe, cremos interesante introducir a seguinte terminoloxía. Definición 4.1. Sexa M=G/K un espazo simétrico de tipo non compacto e con descomposición de Iwasawa asociada G=K×A×N. Chamaremos subvariedade homoxénea resoluble de Ma calquera órbita H·q,q∈M, dalgún subgrupo conexo Hdo grupo resoluble de Iwasawa AN. Este tipo de subvariedades homoxéneas parecen xogar un papel moi importante en xeometría de subvariedades de espazos simétricos de tipo non compacto. Así, en varios 41 48 CAPÍTULO 4. SUBVARIEDADES HOMOXÉNEAS E MINIMAIS serán iguais a cero, pois JV ⊥mpara todo V∈m, por ser mtotalmente real. Deste xeito, SZ≡0, e polo tanto tamén tr SZ= 0. Por último, sexa V∈gα⊖m, logo tense ∇BV= 0,e∇WV=1 2⟨W, V ⟩B+1 2⟨JW, V ⟩Z=1 2⟨JW, V ⟩Z, para todo W∈m, pois V⊥W. Logo, como (∇WV)⊤= 0, tense de novo que SV≡0para calquera vector normal Ven gα⊖m, e polo tanto tamén tr SV= 0. Como o V∈gα⊖mé arbitrario, entón tr Sξ= 0 para todo ξ∈h⊥. Polo tanto, para o caso h=R(B+U)⊕mcon U= 0 emtotalmente real, temos que Sξé nulo para calquera vector ξen h⊥. Así, H·pé neste caso unha subvariedade minimal que de feito é totalmente xedésica. Trátase, en concreto, dun subespazo hiperbólico real RHktotalmente xeodésico, con k= dim m+ 1. Deste xeito, aparece recollida no apartado (a) do Teorema 4.2, e correspóndese cun dos exemplos totalmente xeodésicos recollidos no Teorema 4.5. Caso 3 Comezamos comprobando que condicións temos impoñer para que h=R(B+U+ aZ)⊕m, con m⊂gα,a∈R\{0}eU∈gα⊖m, sexa subálxebra de Lie. En primeiro lugar, hai que impoñer que [B+U+aZ, V ]∈h, para todo V∈mpolo que [B+U+aZ, V ]=[B, V ]+[U, V ] + a[Z, V ] = 1 2V+⟨JU, V ⟩Z+a[Z, V ] =1 2V+⟨JU, V ⟩Z∈h. Deste xeito, tense que cumprir que necesariamente ⟨JU, V ⟩= 0 para todo V∈m, polo que nese caso U⊥Cm. Por outra banda, tense que cumprir [m,m]⊂h. Agora ben, dados W, V ∈m, [W, V ] = ⟨JW , V ⟩Z, polo que de novo, ⟨JW, V ⟩= 0. Como isto se ten que cumprir para calquera V, W ∈m, necesariamente mdebe ser totalmente real. Polo tanto, para que hsexa subálxebra de Lie de a⊕n, será necesario impoñer que U⊥Cme que msexa totalmente real. Neste caso, terase que hnon se corresponderá cunha subvariedade minimal, pois se tomamos o vector −aB +Z, que claramente é normal a h, logo tr S−aB+Z= 0. En efecto, en primeiro lugar, tense que ∇B+U+aZ(−aB +Z) = ∇U(−aB +Z) + ∇aZ (−aB +Z) =∇U(−aB) + ∇UZ+a(B+aZ) = a 2U−1 2JU +a(B+aZ). Porén, para calcular a traza interesaranos a compoñente de S−aB+Z(B+U+aZ)na dirección de B+U+aZ. Para iso, tendo en conta que normalizando podemos estender B+U+aZ a unha base ortonormal, logo, como BeZson unitarios, terase que ⟨a 2U−1 2JU +a(B+aZ), B +U+aZ⟩=−a(1 + 1 2|U|2+a2). 4.1. PROBA DO TEOREMA PRINCIPAL 49 Logo, a compoñente de S−aB+Z(B+U+aZ)con respecto ó vector unitario 1 |B+U+aZ|(B+ U+aZ)é−a(1+ 1 2|U|2+a2) |B+U+aZ|. Por outra banda, dado V∈m, que xa supoñemos unitario, tense que ∇V(−aB +Z) = ∇V(−aB) + ∇VZ=1 2aV −1 2JV, polo que por ser mtotalmente real se terá que S−aB+Z(V) = −a 2V. Polo tanto, a traza de S−aB+Zserá tr S−aB+Z=−a(1 + 1 2|U|2+a2) |B+U+aZ|2−a(dim m) 2=−a 1 + 1 2|U|2+a2 |B+U+aZ|2+dim m 2!, que claramente será distinto de cero, pois ao é. Deste xeito, concluímos que para este caso, a subálxebra de Lie hde a⊕nnon se corresponderá cunha subvariedade minimal. Caso 4 Neste caso, h=m⊕R(U+Z), con m⊂gαeU∈gα⊖m. Comezamos impoñendo condicións para que hsexa unha subálxebra de Lie de a⊕n. En primeiro lugar, dados V, W ∈m, tense que [V, W ] = ⟨JV , W ⟩Z, polo que [V, W]∈hse mé totalmente real, ou ben se U= 0. Vexamos agora que condición se ten que cumprir para que [U+Z, W ]∈hpara todo W∈m. Agora ben, tense que [U+Z, W]=[U, W] = ⟨JU, W⟩Zpara todo W∈m, polo que [U+Z, W]∈hse, e só se CU⊥m. En calquera caso, é claro que Bé un vector ortogonal a h, e imos ver que a traza do operador de configuración SBé distinta de cero. Así, por unha banda temos que ∇VB=−1 2Vpara todo V∈m, e que ∇U+ZB=−1 2U−Z, e deste xeito, terase que SBV=1 2Vpara todo V∈m. Por outra banda, como ∇U+ZB non é un vector de h, vexamos cal é a súa compoñente na dirección do vector U+Z. Como antes, calculamos primeiro ⟨1 2U+Z, U +Z⟩=1 2|U|2+ 1, e polo tanto, a compoñente na dirección de 1 |U+Z|(U+Z)será 1 2|U|2+1 |U+Z|. Deste xeito, terase que tr SB=1 2dim m+ 1 2|U|2+ 1 |U+Z|2>0, de onde deducimos que hnon se pode corresponder cunha subvariedade minimal de CHn. 50 CAPÍTULO 4. SUBVARIEDADES HOMOXÉNEAS E MINIMAIS Caso 5 Vexamos que condicións temos que impoñerlle a h=R(B+U)⊕m⊕R(V+Z), con m⊂gαeU, V ∈gα⊖m, para que esta sexa unha subálxebra de Lie de a⊕n. En primeiro lugar, precisamos que [B+U, W]∈hpara todo W∈m. Agora ben, [B+U, W] = 1 2W+⟨JU, W ⟩Z, que pertencerá a hno caso de que V= 0, ou ben no caso que ⟨JU, W⟩= 0 para todo W∈m, polo que CU⊥m. Agora, dado W∈m, vexamos en que casos [V+Z, W]∈h. Para iso, calculamos [V+Z, W] = [V, W] = ⟨JV , W⟩Z, que estará en hse CV⊥m, xa que nese caso estaría na dirección de Z∈h. Por outra banda, dados W, T ∈m, logo [W, T] = ⟨JW , T ⟩Z∈hse de novo V= 0, ou ben Jm⊥m, é dicir se mé totalmente real. Por último, queda comprobar o caso [B+U, V +Z]∈h. Terase que [B+U, V +Z]=[B, V ]+[B, Z]+[U, V ] = 1 2V+Z+⟨JU, V ⟩Z. Agora ben, tal vector pertencerá a hse V= 0, ou, noutro caso, se é un múltiplo de V+Z. Nese caso, como 1 2está multiplicando a V, logo habería que impoñer a condición ⟨JU, V ⟩=−1 2 para que se puidese sacar factor común. En resumo, hserá unha subálxebra de Lie de a⊕nexclusivamente nos dous seguintes casos: ou ben V= 0; ou ben ⟨JU, V ⟩=−1 2e os espazos vectoriais CU,CVeJmson todos eles ortogonais a m. Dividimos agora o estudo atendendo a estas dúas posibilidades. Caso 5.1 Se V= 0, podemos describir o espazo normal a hcomo h⊥= (gα⊖(RU⊕m)) ⊕R(−|U|2B+U). Neste caso, comezamos tomando o vector normal −|U|2B+U, e terase logo que ∇B+U(−|U|2B+U) = ∇U(−|U|2B+U) = ∇U(−|U|2B) + ∇UU =1 2|U|2U+1 2|U|2B=|U|2 2(B+U), polo que S−|U|2B+U1 |B+U|(B+U)=−|U|2 2|B+U|(B+U). Agora, para cada W∈mterase que ∇W(−|U|2B+U) = ∇W(−|U|2B) + ∇WU =|U|2 2W+1 2⟨W, U⟩B+1 2⟨JW, U⟩Z=|U|2 2W+1 2⟨JW, U⟩Z, 4.1. PROBA DO TEOREMA PRINCIPAL 51 onde a última igualdade séguese de que W⊥U. Polo tanto, como neste caso |U|2 2W+ 1 2⟨JW, U⟩Z∈h, terase logo que S−|U|2B+UW=−|U|2 2W−1 2⟨JW, U⟩Z, polo que a compoñente na dirección de Wé−|U|2 2. Por último terase que ∇Z(−|U|2B+U) = ∇Z(−|U|2B) + ∇ZU=|U|2Z−1 2JU, e entón a compoñente de S−|U|2B+U(Z)respecto de Zserá −|U|2. Deste xeito, terase que tr S−|U|2B+U=−|U|2−dim m|U|2 2−|U|2 2=−|U|2(1 + dim m 2+1 2), Se Ué un vector non nulo, entón a traza do operador de configuración con respecto ó vector normal (non necesariamente unitario) −|U|2B+Ué non nula, polo que H·p resulta ser unha subvariedade de CHnnon minimal. Así, de agora en adiante neste subcaso tomaremos U= 0, polo que podemos reescribir h=RB⊕m⊕RZ, onde agora podemos asumir que mé subespazo vectorial de gαdistinto do total. Agora, sexa Wun vector en gα⊖m. Imos calcular a traza do operador de configuración SWrespecto ó vector W. Por unha banda, temos que ∇BW= 0. Ademais, temos tamén que ∇ZW=−1 2JW, e que ∇TW=1 2⟨JT, W⟩Z para calquera T∈m. De aquí podemos deducir que SWZ=−(∇ZW)⊤= (−1/2)JW⊤ e que SWT=−(∇TW)⊤= (−1/2)⟨JT, W⟩Z. En particular, isto implica que H·pé totalmente xeodésica se e só se ⟨JT, W⟩= 0 eJW ⊥mpara todo T∈me todo W∈gα⊖m. Isto equivale a que msexa un subespazo complexo de gα. Nestas condicións, H·pé un subespazo hiperbólico complexo totalmente xeodésico CHk, con k= 1 + dim m. En calquera caso, temos que ⟨SWT, T⟩= 0 para calquera T∈m, e que ⟨SWZ, Z⟩= 0, posto que Wpertence a gα, que é J-invariante. Tendo isto en conta, xunto con ∇WB= 0, deducimos que se h=RB⊕m⊕RZ, entón H·pserá unha subvaridade minimal de CHn, con independencia do subespazo vectorial real (propio) mde gαque consideremos. Como argumentamos arriba, dita subvariedade será totalmente xeódesica se e só se mé un subespazo complexo de gα. Finalmente, nótese que os exemplos desta forma aparecen recollidos no apartado (b) do Teorema 4.2. Ademais, os tubos arredor destas subvariedades son sempre exemplos de hipersuperficies isoparamétricas [14], , polo que aparecen tamén recollidos no Teorema 4.5. Por último, a distinción entre os casos totalmente xeodésicos e os que non o son aparece recollida na Observación 4.3 Caso 5.2 Neste caso, temos que CU, CVeJmson normais a me ademais ⟨JU, V ⟩=−1 2. Disto último dedúcese que −1 2B+JV é normal a h. Agora, con obter outro vector normal a h que non estea en gα⊖(m⊕R{U, V })xa nos chegará para describir h⊥. Pode comprobarse facilmente que o vector −|V|2Z+V−⟨U, V ⟩Bé normal a h. Polo tanto, h⊥= (gα⊖(m⊕span{U, V })) ⊕R(−1 2B+JV )⊕R(−|V|2Z+V−⟨U, V ⟩B). 52 CAPÍTULO 4. SUBVARIEDADES HOMOXÉNEAS E MINIMAIS Vexamos agora que neste caso hnon se corresponderá cunha superficie minimal. Tomando o vector −1 2B+JV , terase por un lado que ∇B+U(−1 2B+JV ) = ∇U(−1 2B+JV ) =∇U(−1 2B) + ∇UJV =1 4U+1 2⟨U, JV ⟩B+1 2⟨JU, JV ⟩Z =1 4(U+B) + 1 2⟨U, V ⟩Z, e polo tanto, a compoñente de S−1 2B+JV 1 |B+U|(B+U)con respecto a 1 |B+U|(B+U) será −1 4. Por outra banda, dado W∈m, tense que ∇W(−1 2B+JV ) = ∇W(−1 2B) + ∇WJV =1 4W+1 2⟨W, JV ⟩B+1 2⟨JW, JV ⟩Z=1 4W, dado que CV⊥W. Entón, a compoñente de S−1 2B+JV Wna dirección de Wserá −1 4. Por último, ∇V+Z(−1 2B+JV ) = ∇V(−1 2B) + ∇VJV +∇Z(−1 2B) + ∇ZJV =1 4V+1 2⟨JV , JV ⟩Z+1 2Z+1 2V =3 4V+|V|2|+ 1 2Z. Calculemos agora a compoñente de S−1 2B+JV 1 |V+Z|(V+Z)con respecto de 1 |V+Z|(V+ Z). Obtemos que ⟨−∇V+Z(−1 2B+JV ), V +Z⟩=−⟨3 4V+|V|2+ 1 2Z, V +Z⟩ =−(3 4|V|2+|V|2+ 1 2), polo que tal compoñente será − 3 4|V|2+|V|2+1 2 |V+Z|2, que claramente é menor que cero. Polo tanto como todos os termos da traza de S−1 2B+JV son negativos, a traza tamén o será, polo que neste caso htampouco se corresponderá cunha subvariedade minimal. Como resumo ó estudo que vimos de levar a cabo, temos que as subálxebras incluídas nos Casos 1, 2 e 4 non dan nunca lugar a subvariedades minimais de CHn. Por outra banda, cando h=RB⊕m, onde mé un subespazo totalmente real de gα, que é un subcaso particular do Caso 2, temos que H·pé unha subvariedade totalmente xeódesica de CHn, e polo tanto minimal. Os exemplos así construídos aparecen recollidos no 4.1. PROBA DO TEOREMA PRINCIPAL 53 apartado (a) do Teorema 4.2, e correspóndese cos exemplos totalmente xeodésicos citados no Teorema 4.5. Por último, para h=RB⊕m⊕RZ, con mun subespazo propio de gα(subcaso do Caso 4.1), temos que H·pé subvariedade minimal de CHn, que é totalmente xeodésica se e só se mé complexo. Todos estes exemplos están recollidos no apartado (b) do Teorema 4.2, e aparecen tamén citados no Teorema 4.5, pois os tubos ó seu redor dan lugar a hipersuperficies isoparamétricas do espazo hiperbólico complexo. Bibliografía [1] D. V. Alekseevsky, A. J. Di Scala: Minimal homogeneous submanifolds of symmetric spaces. Lie groups and symmetric spaces. Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2 210 (2003), 11–25. [2] J. Berndt: Homogeneous hypersurfaces in hyperbolic spaces. Math. Z. 229 (1998), no. 4, 589–600. [3] J. Berndt, M. Brück: Cohomogeneity one actions on hyperbolic spaces. J. Reine Angew. Math. 541 (2001), 209–235. [4] J. Berndt, S. Console, C. Olmos: Submanifolds and holonomy. Second edition. Monographs and Research Notes in Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 2016. [5] J. Berndt, J. C. Díaz-Ramos: Homogeneous hypersurfaces in complex hyperbolic spaces. Geom. Dedicata 138 (2009), 129–150. [6] J. Berndt, J. C. Díaz-Ramos, H. Tamaru: Hyperpolar homogeneous foliations on symmetric spaces of noncompact type. J. Differential Geom. 86 (2010), no. 2, 191–235. [7] S. Brendle: Embedded minimal tori in S3and the Lawson conjecture. Acta Math. 211 (2013), no. 2, 177–190. [8] S. Brendle: The isoperimetric inequality for a minimal submanifold in Euclidean space. J. Amer. Math. Soc. 34 (2021), no. 2, 595–603. [9] É. Cartan: Sur une classe remarquable d’espaces de Riemann. Bull. Soc. Math. France 54 (1926), 214–264. [10] T. E. Cecil, P. J. Ryan: Geometry of hypersurfaces Volume 10. Springer, 2015. [11] T. H. Colding, W. P. Minicozzi, II: A course in minimal surfaces. Graduate Studies in Mathematics, 121. American Mathematical Society, Providence, RI, 2011. [12] Q.-S. Chi: The isoparametric story, a heritage of Élie Cartan. Proceedings of the International Consortium of Chinese Mathematicians 2018, 197–260, Int. Press, Boston, MA, 2020. [13] J. C. Díaz-Ramos, M. Domínguez-Vázquez, A. Kollross: Polar actions on complex hyperbolic spaces Math. Z. 287 (2017), no. 3–4, 1183–1213. 55 56 BIBLIOGRAFÍA [14] J. C. Díaz-Ramos, M. Domínguez-Vázquez, V. Sanmartín-López: Isoparametric hypersurfaces in complex hyperbolic spaces. Adv. Math. 314 (2017), 756–805. [15] J. C. Díaz-Ramos, M. Domínguez-Vázquez, V. Sanmartín-López: Submanifold geometry in symmetric spaces of noncompact type. São Paulo J. Math. Sci. 15 (2021), no. 1, 75–110. [16] A. J. Di Scala: Minimal homogeneous submanifolds in Euclidean spaces. Ann. Global Anal. Geom. 21 (2002), no. 1, 15–18. [17] A. Di Scala, C. Olmos: The geometry of homogeneous submanifolds of hyperbolic space. Math. Z. 237 (2001), no. 1, 199–209. [18] M. Domínguez-Vázquez, V. Sanmartín-López, H. Tamaru: Codimension one Ricci soliton subgroups of solvable Iwasawa groups. J. Math. Pures Appl. 152 (2021), 69– 93. [19] M. Domínguez Vázquez: Hipersuperficies con curvaturas principais constantes nos espazos proxectivo e hiperbólico complexos. Publicaciones del Departamento de Geometría y Topología. Universidade de Santiago de Compostela, 2010. [20] Brian C. Hall: Lie groups, Lie algebras, and representations. Quantum Theory for Mathematicians. Springer, New York, NY, 2013. 333-366. [21] S. Helgason: Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces. Academic press, 1979. [22] D. Hirohashi, H. Tasaki, H. Song, R. Takagi: Minimal orbits of the isotropy groups of symmetric spaces of compact type. Differential Geom. Appl. 13 (2000), no. 2, 167–177. [23] W.-y. Hsiang: On the compact homogeneous minimal submanifolds. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 56 (1966), 5–6. [24] A. W. Knapp: Lie groups beyond an introduction. Second edition. Progress in Mathematics, 140. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2002. [25] J. Lee: Introduction to Riemannian manifolds. Springer, Cham, Switzerland, 2018. [26] J. Lee: Introduction to Smooth Manifolds. Springer, New York, 2013. [27] M. Lohnherr, H. Reckziegel: On ruled real hypersurfaces in complex space forms. Geom. Dedicata 74 (1999), no. 3, 267–286. [28] F. C. Marques, A. Neves: Min–max theory and the Willmore conjecture. Ann. of Math. (2) 179 (2014), 683–782. [29] F. C. Marques, A. Neves: Applications of min-max methods to geometry. Geometric analysis, 41–77, Lecture Notes in Math., 2263, Fond. CIME/CIME Found. Subser., Springer, Cham,2020. BIBLIOGRAFÍA 57 [30] W. H. Meeks, III, J. Pérez: A survey on classical minimal surface theory. University Lecture Series, 60. American Mathematical Society, Providence, RI, 2012. [31] S. B. Myers, N. E. Steenrod: The group of isometries of a Riemannian manifold. Ann. of Math. (2) 40 (1939), no. 2, 400-416. [32] J. Pérez: A new golden age of minimal surfaces. Notices Amer. Math. Soc. 64 (2017), no. 4, 347–358. [33] T. Takahashi: Minimal immersions of Riemannian manifolds. J. Math. Soc. Japan 18 (1966), 380–385. [34] H. Tamaru: Parabolic subgroups of semisimple Lie groups and Einstein solvmanifolds. Math. Ann. 351 (2011), no. 1, 51–66. [35] N. R. Wallach: Minimal immersions of symmetric spaces into spheres. Symmetric spaces (Short Courses, Washington Univ., St. Louis, Mo., 1969–1970), pp. 1–40. Pure and Appl. Math., Vol. 8, Dekker, New York, 1972. [36] K. Yano, M. Kon: Structures on manifolds. Series in Pure Math. 3, World Scientific, Singapore, 1984. [37] W. Ziller: Lie groups. Representation theory and symmetric spaces. Lecture notes, 2010. Available online at: https://www2.math.upenn.edu/~wziller/math650/ LieGroupsReps.pdf (último acceso: xullo de 2022).