Análisis de la interdependencia de mercados financieros con cópulas. Implicaciones para la valoración del riesgo
Abstract
Esta tesis doctoral se centra en el estudio de la interdependencia entre diversos mercados financieros utilizando cópulas y la teoría del valor extremo, proporcionando así información de la dependencia promedio y de la dependencia de cola superior e inferior (movimientos conjuntos extremos), información que es crucial para la evaluación del riesgo de una inversión. Además, se analizan las implicaciones del uso de esta metodología para la valoración y cuantificación de los riesgos de mercado, la diversificación de carteras, las estrategias de cobertura y la protección de las inversiones contra el riesgo a la baja para diferentes tipos de activos que se negocian en los mercados financieros. Para dar cumplimiento a estos objetivos, la tesis se estructura en 6 capítulos. En los capítulos 1, 2 y 3 se revisan cuestiones metodológicas, describiendo los principales métodos y pruebas relevantes que serán utilizados en el desarrollo del trabajo. En los capítulos 4, 5 y 6 se presentan los desarrollos y las aportaciones de la tesis.
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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE COMPOSTELA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y EMPRESARIALES DEPARTAMENTO DE FUNDAMENTOS DE ANÁLISIS ECONOMICO PROGRAMA DE DOCTORADO EN ECONOMIA Análisis de la Interdependencia de Mercados Financieros con Cópulas. Implicaciones para la Valoración del Riesgo Autor: Mikel Ugando Peñate Director de tesis: Prof. Dr. Juan Carlos Reboredo Nogueira Santiago de Compostela 2013
UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE COMPOSTELA PROGRAMA DE DOCTORADO EN ECONOMIA MIKEL UGANDO PEÑATE Análisis de la Interdependencia de Mercados Financieros con Cópulas. Implicaciones para la Valoración del Riesgo Tesis presentada al programa de Doctorado en Economía de la Universidad de Santiago de Compostela como requisito para la obtención del Título de Doctor en Economía. Director de tesis: Prof. Dr. Juan Carlos Reboredo Nogueira 25 de Febrero de 2013
D. Juan Carlos Reboredo Nogueira, Profesor Titular del Departamento de Fundamentos da Análise Económica de la Universidad de Santiago de Compostela, en condición de Director del doctorando AUTORIZA la presentación de la memoria adjunta, titulada “Análisis de la Interdependencia de Mercados Financieros con Cópulas. Implicaciones para la Valoración del Riesgo” realizada por D. Mikel Ugando Peñate para optar al grado de Doctor en Economía. Y para que así conste, expido la presente autorización en Santiago de Compostela a 26 de Febrero de 2013. Juan Carlos Reboredo Nogueira
Agradecimientos Quiero expresar mi eterno agradecimiento al Dr. Juan Carlos Reboredo Nogueira, director de esta tesis, por el tiempo dedicado y su comprensión, su excelente trato personal y válidas sugerencias en el desarrollo de este trabajo. Su orientación y dirección han sido decisivas en la culminación de esta tesis. A mi esposa, Loli, por su apoyo y cuidado incondicional en los momentos más duros de mi vida, por sus lágrimas y amor. A mi madre, por sus buenos consejos, incentivos, su fe y confianza a pesar de estar tan lejos. Al Departamento de Cooperación Universitaria y Científica de la AECID por proporcionarme la financiación para el desarrollo de este trabajo, en especial a Rosa María y Javier, por sus consejos y su buen trato. A dos personas amigas maravillosas, María Candean y Pepe por su cariño, preocupación y su apoyo en todos los momentos difíciles. A mi amigo Juergen Heine por sus valores y eterna amistad. A mis compañeros de trabajo Lora, Melba, Mapy y Senia, por su motivación y conocimientos brindados. Por último, a las tías Vita, Encarna y tío Manolo por su cariño y apoyo en la etapa final. A todas estas personas muchísimas gracias y mis mejores deseos de que tengan una vida fructífera, llena de amor, salud y confianza.
Índice general Introducción .................................................................................................................. 1 Capítulo 1. El riesgo en los mercados financieros ........................................................... 4 1.1 Introducción ......................................................................................................... 4 1.2 El modelo de Markowitz ...................................................................................... 6 1.3 El modelo Capital Asset Pricing Model: CAPM ................................................... 8 1.4 Volatilidad implícita y volatilidad realizada ....................................................... 10 1.5 Dinámica temporal de la volatilidad ................................................................... 12 1.6 El valor en riesgo (Value at risk, VaR) .............................................................. 13 1.6.1 Estimación paramétrica del VaR ................................................................. 15 1.6.2 Método de suavizado exponencial (RiskMetrics®) ....................................... 16 1.6.3 Método de simulación histórica .................................................................... 16 1.6.4 Método de simulación de Monte Carlo ......................................................... 18 1.6.5 El CAViaR ................................................................................................ 119 1.7 Contraste del modelo VaR ............................................................................... 119 1.7.1 Test de Kupiec .......................................................................................... 119 1.7.2 Test de Christoffersen .................................................................................. 20 1.7.3 Test mixto de Kupiec .................................................................................. 21 1.7.4 Test de Engle y Manganelli ......................................................................... 22 1.7.5 La función de pérdida .................................................................................. 22 1.7.6 Stress Testing .............................................................................................. 23 1.8 Expected Shortfall .............................................................................................. 24 Capítulo 2. Teoría del valor extremo ........................................................................... 26 2.1 Introducción. ...................................................................................................... 26 2.2 Método de máximo por bloques.......................................................................... 27
1 Introducción Esta tesis doctoral se centra en el estudio de la interdependencia entre diversos mercados financieros utilizando cópulas y la teoría del valor extremo, proporcionando así información de la dependencia promedio y de la dependencia de cola superior e inferior (movimientos conjuntos extremos), información que es crucial para la evaluación del riesgo de una inversión. Además, se analizan las implicaciones del uso de esta metodología para la valoración y cuantificación de los riesgos de mercado, la diversificación de carteras, las estrategias de cobertura y la protección de las inversiones contra el riesgo a la baja para diferentes tipos de activos que se negocian en los mercados financieros. Para dar cumplimiento a estos objetivos, la tesis se estructura en 6 capítulos. En los capítulos 1, 2 y 3 se revisan cuestiones metodológicas, describiendo los principales métodos y pruebas relevantes que serán utilizados en el desarrollo del trabajo. En los capítulos 4, 5 y 6 se presentan los desarrollos y las aportaciones de la tesis. Estos capítulos han sido concebidos como tres artículos de investigación que tienen como hilo conductor una base metodológica común. En el capítulo 4 se analiza la relación entre el dólar americano (USD) y los precios de los principales productos alimenticios (maíz, soja, trigo y arroz) utilizando funciones cópula. Así, se utilizan una serie de especificaciones para las funciones cópula que tienen estructuras de dependencia condicional diferentes y parámetros de dependencia que son variables en el tiempo. Los resultados empíricos obtenidos con datos semanales desde enero de 1998 hasta octubre de 2012 proporcionan dos resultados. En primer lugar, existe evidencia de dependencia positiva y débil entre el USD y el precio de los alimentos, no existiendo dependencia extrema de los mercados de cambio con los mercados del
Introducción 2 maíz, trigo y arroz, lo cual confirma que los picos alcistas en los precios de estos alimentos no fueron causados por la depreciación extrema del dólar que se ha observado en años recientes. Sin embargo, para la soja se encuentra evidencia de dependencia media positiva y de dependencia de cola asimétrica, con dependencia positiva de cola superior. Este hecho confirma que la depreciación del dólar ha contribuido a generar picos alcistas en los precios de la soja. En segundo lugar, se examinaron las implicaciones de la relación entre el USD con los precios de los alimentos para la gestión de riesgos de la inversión en los mercados de alimentos. Los resultados empíricos obtenidos indican que el USD se puede utilizar en el diseño y gestión de riesgos de carteras compuestas por alimentos, dado que el riesgo total se reduce y se observan mejores resultados en términos de la función de pérdida del inversor frente a carteras compuestas sólo de alimentos. El capítulo 5 tiene como objetivo medir la volatilidad y exposición al riesgo a la baja en el mercado de derechos de emisión de CO2 de la UE y en los mercados de combustibles fósiles. Para ello, se utilizan modelos GARCH, la teoría de los valores extremos y las funciones cópula, evaluándose el riesgo a la baja a través de medidas como el valor en riesgo y la pérdida esperada condicionada. Utilizando datos diarios para el período entre enero de 1998 hasta octubre de 2012, se obtienen dos resultados. En primer lugar, el mercado de derechos de emisión de CO2 tiene más riesgos a la baja que los mercados de crudo, pero menos que el mercado de gas natural. Los modelos cópula proporcionan evidencia de dependencia positiva media e independencia extrema entre el mercado de emisiones de CO2 y el mercado del crudo, mientras que existe independencia media y extrema entre el mercado de emisiones de CO2 y el mercado de gas natural. En segundo lugar, las implicaciones de estos resultados para gestión de carteras que incluyan derechos de emisión y combustibles fósiles indican que existen ganancias en términos de riesgos a la baja. De este modo, se constata que el mercado de derechos de emisión de CO2 es un mercado atractivo para los inversores en términos de gestión de riesgos. En el capítulo 6 se estudia la hipótesis de la paridad cubierta de intereses (CIP) utilizando la teoría de los valores extremos y las funciones cópula. Utilizando datos diarios desde enero de 2000 hasta junio de 2012 para los tipos de interés en EE.UU. y Gran Bretaña y los tipos de cambio spot y forward con
Introducción 3 vencimientos de 1, 3, 6 y 12 meses, la evidencia empírica obtenida proporciona tres conclusiones. En primer lugar, existe una fuerte dependencia de cola entre los mercados de tipo de cambio y tipos de interés. En segundo lugar, se evidencia la existencia de periodos muy cortos de alta turbulencia en los que existen desviaciones de la CIP, las cuales podrían implicar la posibilidad de un arbitraje, si bien la prima de riesgo podría justificar este hecho. En tercer lugar, existe evidencia de cumplimiento simétrico de la CIP dado que la dependencia de cola superior e inferior es similar. Los resultados obtenidos en los capítulos 4, 5 y 6 han sido posibles mediante la utilización de diferentes programas informáticos, destacando la utilización del S-PLUS Versión 8.0.4 para Microsoft Windows 2007.
4 Capítulo 1 El riesgo en los mercados financieros 1.1 Introducción Valorar y gestionar los riesgos financieros de manera adecuada y oportuna es primordial, ya que de esas valoraciones depende en gran medida la estabilidad de los mercados financieros. Así, la gestión del riesgo se ha convertido en una disciplina importante dentro del campo de las finanzas, su estudio y desarrollo dentro de diversos ámbitos de la econometría financiera reviste vital importancia en la actualidad. El principal objetivo de la gestión del riesgo es medir y analizar las causas y consecuencias de sucesos negativos para los intereses del inversor. Esta definición depende a su vez de la definición de suceso negativo, y del perfil que tenga el inversor. El concepto de riesgo tiene diversas acepciones las cuales no permiten a los analistas financieros, inversores y académicos progresar en la misma dirección para resolver problemas financieros similares. En general, los estudios se han concentrando más en el análisis de la incertidumbre que en el riesgo, quizás guiados por la creencia común (Knight, 1921) de que ambos términos son intercambiables. Así, la incertidumbre está asociada a la ocurrencia de un suceso al que resulta imposible asignar una probabilidad, mientras que el riesgo se asocia con aquellas situaciones de incerteza a las que si podemos asignar una medida de probabilidad. Jorion (1997) caracteriza el riesgo financiero como la volatilidad o dispersión de los flujos financieros inesperados o, en términos
Capítulo 1. El riesgo en los mercados financieros. 5 generales, como la incertidumbre que se tiene sobre resultados futuros. Según Artzner et al. (1999), la definición de riesgo financiero está relacionada con la variabilidad del valor futuro de una posición debido a cambios en el mercado o a eventos inesperados. Es decir, los riesgos financieros son diversos y están relacionados con las pérdidas que se puedan generar en los mercados. Otra distinción importante entre estos conceptos viene dada por el significado negativo del suceso que conlleva el riesgo. La incertidumbre no conlleva necesariamente un resultado negativo. Por el contrario, el riesgo implica una probabilidad de un resultado negativo en el universo de posibles resultados. Ambos conceptos sin embargo se caracterizan por la presencia de aleatoriedad y por lo tanto pueden ser atribuidos a una variable aleatoria. De esta forma, las anteriores definiciones de riesgo e incertidumbre se pueden abordar con la teoría de la probabilidad. En este contexto la incertidumbre es intrínseca a la definición de variable aleatoria y es normalmente descrita usualmente por medio de la varianza. El riesgo sin embargo tiene asociadas más connotaciones que no capturadas por la varianza. Consideremos por ejemplo la predicción del peso de una persona adulta a los 20 años de edad. No hay duda de que la incertidumbre estadística se mide mediante la varianza, aunque en absoluto es informativa sobre el riesgo. El riesgo en esta situación vendrá dado por valores muy bajos o excepcionalmente altos. En este ejemplo las observaciones extremas pueden derivar en diferentes enfermedades como la anorexia o la obesidad. Este ejemplo tan simple motiva la definición de riesgo como un evento que ocurre en las colas de la distribución de la variable aleatoria cuya caracterización requiere necesariamente del conocimiento de la función de probabilidad. Normalmente, el riesgo se reduce a medir la varianza de la variable aleatoria que describe el comportamiento del suceso aleatorio. Esto es verdad sólo si la función de probabilidad es conocida y la única incógnita es la varianza. Consideremos una distribución normal N 2 , , donde es desconocida pero es conocida. El conocimiento de no es suficiente para conocer ni la incertidumbre ni el riesgo. La función de probabilidad no es conocida, sino un conjunto de funciones de probabilidad. Este ejemplo refleja la ambigüedad de conocer sólo la varianza. En el caso particular de series financieras se suele asumir que el valor esperado de los rendimientos es 0, y
Capítulo 1. El riesgo en los mercados financieros. 6 entonces tiene sentido pensar en la volatilidad (varianza) como medida del riesgo. No obstante este ejemplo derivado de la econometría financiera necesita de otros supuestos. El precio de los instrumentos financieros (bonos, acciones) se asume que sigue una distribución log-normal, y en consecuencia la distribución de los rendimientos es normal. Otra situación donde la varianza es suficiente para describir el riesgo de los rendimientos financieros emerge cuando la función de preferencias del inversor (función de utilidad) es cuadrática. En los siguientes apartados de este capítulo se revisan diferentes formas de abordar y caracterizar el riesgo financiero que se han propuesto en la literatura. 1.2 El modelo de Markowitz Los inicios del desarrollo de modelos de gestión de riesgos, parten de la Teoría Moderna de carteras, tomando como punto de partida los trabajos: “The Theory of Investment Value” de John Burr Williams (1938), reconocido fundador del análisis fundamental; “Portfolio Selection” de Harry Markowitz (1952) y “Liquidity Preference as Behavior Towards Risk” de James Tobin (1958). En su trabajo, Markowitz (1959), demostró que la clave para diversificar una cartera no estaba simplemente en el número de acciones que la componen, sino también, y más importante aún, en la correlación de las rentabilidades de las acciones que forman la cartera. Si los retornos están fuertemente correlacionados la cartera no se podrá diversificar, mientras que si la correlación es baja o negativa existen posibilidades de diversificar o aminorar el riesgo. Así, un inversor puede calcular las correlaciones históricas para las rentabilidades de las acciones que conforman el portafolio. Con esta información, Markowitz demostró, con la técnica que se conoce con el nombre de análisis de MediaVarianza, que es posible construir una serie de carteras que sean eficientes en el espacio media varianza. Al conjunto de combinaciones de rentabilidad y riesgo de todas las carteras eficientes se denomina frontera eficiente. Una vez que ésta es conocida, el inversor, según sus preferencias, se situara de forma razonable en uno u otro punto de la línea de la frontera eficiente, eligiendo así su cartera óptima. Así pues, la cartera óptima es aquella combinación de instrumentos financieros que
Capítulo 1. El riesgo en los mercados financieros. 7 representa la relación riesgo-rendimiento que maximiza la satisfacción del inversor. Por lo tanto, cualquier decisión que sea considerada como racional debe considerar siempre carteras que estén sobre la frontera eficiente. Cualquier otra elección sería irracional. La figura 1.1 representa el conjunto de alternativas de elección riesgo rentabilidad esperada. En la figura 1.1, el área sombreada PVWP incluye todos los valores posibles en los que un inversor puede invertir, las carteras eficientes son los que se encuentran en el límite de PQVW. Por ejemplo, en el nivel de riesgo x2, hay tres carteras S, T, U. Sin embargo, la cartera S es la cartera eficiente, ya que tiene el rendimiento más alto en y2, en comparación con las carteras T y U. Todas las carteras que se encuentran sobre la línea PQVW son carteras eficientes para un nivel de riesgo dado. Este límite se denomina frontera eficiente. Todas las carteras que se encuentran por debajo de la frontera eficiente no son eficientes debido a que el retorno sería más bajo para el riesgo dado. Del mismo modo, carteras que se encuentran a la derecha de la frontera eficiente no serían lo suficientemente buenas, ya que existe un mayor riesgo para una determinada tasa de retorno. Todas las carteras situadas en el límite de PQVW se denominan carteras eficientes. Las carteras eficientes son las mismas para todos los inversores, ya que todos los inversores quieren el máximo rendimiento con el menor riesgo posible. Las diferentes combinaciones de acciones dependerán del nivel de riesgo que el inversor esté dispuesto a asumir. Figura 1.1: Combinaciones posibles en la Frontera Eficiente Riesgo Rentabilidad
Capítulo 1. El riesgo en los mercados financieros. 8 A nivel práctico, el modelo requiere: (a) calcular la matriz de varianzas y covarianzas covarianzas para todos los valores negociables y (b) calcular las rentabilidades esperadas. Benninga (2000) muestra cómo obtener esta información a partir de datos históricos. 1.3 El modelo Capital Asset Pricing Model: CAPM El análisis del modelo de Markowitz fue extendido por Tobin en 1958 bajo la premisa de que “todos los inversores pueden elegir la misma cartera siendo indiferente su actitud hacia el riesgo”. La elección de la inversión se encuentra en la línea del mercado de capitales (CML), la cual corta el eje vertical en la tasa libre de riesgo (Rf) y donde es tangente con la frontera eficiente. Por lo tanto, en condiciones de equilibrio, los inversores que tengan aversión por el riesgo elegirán sus carteras óptimas a partir de las combinaciones del activo libre de riesgo y de la cartera de mercado. Sharpe (1964) profundiza y enriquece el modelo de cartera de Markowitz a partir de la extensión del modelo de equilibrio del mercado de capitales, lo que hoy en día denominamos modelo de valoración de activos de capital (capital asset pricing model, CAPM). Este modelo refleja la síntesis de las contribuciones simultáneas de diversos autores, tales como Treynor (1961), Lintner (1965) y las posteriores de Mossin (1966), contribuciones que toman como punto de partida los trabajos realizados por Markowitz (1952, 1959) y Tobin (1958). El CAPM proporciona fundamentalmente dos conclusiones. La primera se refiere al grado de diversificación de la cartera óptima en equilibrio de mercado. La segunda trata sobre la apropiada medida de riesgo de un activo y la relación que guarda en equilibrio con su tipo de rendimiento esperado. La figura 1.2 sintetiza el modelo CAPM de forma gráfica.
Capítulo 1. El riesgo en los mercados financieros. 9 Figura 1.2: CAPM El CAPM caracteriza de una forma sencilla e intuitiva el riesgo de un activo separándolo en riesgo sistemático 1 y riesgo no sistemático 2 . El riesgo sistemático se refiere a la incertidumbre económica general, al entorno, a lo exógeno, a aquello que no podemos controlar, mientras que el riesgo no sistemático es un riesgo específico de la empresa o de nuestro sector económico. El modelo permite construir la cartera óptima determinando el porcentaje exacto de inversión en cada uno de los activos. Para determinar la fórmula precisa, debe encontrarse la relación lineal entre los retornos de una acción A y el retorno que se habría obtenido si se hubiese invertido en la cartera óptima de mercado. Para ello, se introduce el parámetro beta 3 , un índice de componente de riesgo de mercado, que es la variable central de este modelo. Las dificultades prácticas del modelo comienzan con la estimación de , el cual se calcula con un análisis de varianzas y covarianzas. Si 0 , nuestro retorno esperado será solamente f R , el valor del activo libre de riesgo, que sería su valor mínimo. A medida que la beta aumenta (desplazamiento hacia la derecha sobre el eje horizontal), aumenta también el retorno esperado. Acciones con una 1 se mueven de igual forma que el mercado, por lo tanto, nuestro retorno esperado será igual al retorno del mercado. Acciones con 1 tienden a 1 También se denomina riesgo de mercado, no diversificable o residual. 2 También se denomina riesgo único o propio, diversificable, específico o idiosincrático. 3 β se refiere a la sensibilidad de la acción a los movimientos del mercado (riesgo no diversificable).
Capítulo 1. El riesgo en los mercados financieros. 16 ' p VaR VaR CVaR , (1.16) donde C es la matriz de correlaciones de dimensión nxn, VaR denota el vector de dimensión nx1 de los VaR para cada activo de dimensión y 'VaR es su traspuesta. 1.6.2 Método de suavizado exponencial (RiskMetrics®) J.P. Morgan (1995) desarrolló una metodología simple para el cálculo del VaR que permite tener estimaciones que dan mayor peso a los datos más recientes. El Riskmetrics asume que el rendimiento diario de una cartera sigue una distribución normal condicional: 2 1( , ) t t t t r F N donde t y 2 t son la media y varianza condicional de t r , respectivamente, y 1t F es el conjunto de información disponible en el tiempo 1t . Además, se supone que; 2 2 2 11 0 (1 ) t t t t r , (1.17) para 01 . Es decir, la varianza sigue un proceso IGARCH(1,1). El valor del parámetro a menudo se encuentra en el intervalo (0,9, 1): 0,94 para datos diarios y 0,97 para datos mensuales. Unas de las características de esta metodología (véase Tsay, 2010) es que la predicción de la volatilidad de la rentabilidad para un horizonte k, () tk V r k t , está dada por: 1 ( ) ( ) t k t V r k t kV r t , (1.18) lo cual se conoce (en términos de la desviación estándar) como la regla de la raíz cuadrada del tiempo. 1.6.3 Método de simulación histórica El VaR por simulación histórica, se obtiene calculando la ganancia o pérdida que se obtendría en un periodo de tiempo de duración igual al periodo de tiempo en que se desea calcular el VaR (1 día, 5 días, etc.) si se repitieran los escenarios de retornos observados en el pasado. La distribución de ganancias y pérdidas de la cartera se genera empíricamente calculando la diferencia entre el valor V para diferentes niveles de precios t P , de la forma: ( ) ( ) t t h V V P V P . El VaR para un nivel de confianza determinado es directamente el percentil de la distribución de probabilidad de los cambios de valor de la cartera. La elección del período muestral refleja un balance entre el uso de tamaños muéstrales más
Capítulo 1. El riesgo en los mercados financieros. 17 largos y más cortos; los intervalos más grandes incrementan la precisión de la estimación, pero se podrían utilizar datos irrelevantes, omitiéndose cambios importantes en el proceso subyacente (cambios de tendencia). Los hipotéticos precios futuros para k escenarios se obtienen aplicando los cambios históricos en los precios sobre el nivel actual de los precios: 0 * , , , i k i k i k P P P , 1,2..........,iN , (1.19) siendo 0 k el precio de hoy y , ik P una variación en el precio hipotética. Así, se obtiene un nuevo valor de la cartera con el conjunto completo de precios hipotéticos y se obtiene el rendimiento hipotético correspondiente a esa simulación como: 0 0 * ,, , , i k i k pk ik PP RP . (1.20) El valor en riesgo se obtiene a partir de la distribución completa de los rendimientos simulados como el cuantil de la distribución simulada. Dentro de los beneficios de la simulación histórica se encuentra la simplicidad de la implementación y el hecho de que los escenarios sobre los que se evalúa la cartera ya han sido observados, por lo que se pueden tomar como posibles. Siendo un método robusto e intuitivo, además utiliza correlaciones «condicionales» en el sentido de que pueden ajustarse al comportamiento pasado de los factores de riesgo bajo cada escenario en lugar de tomar la correlación media. No se asume una distribución normal para los retornos de los activos, como en el caso del modelo paramétrico, lo que permite capturar efectos de asimetría y distintos grados de kurtosis de los datos, pues la idea de no ajustar ninguna curva predeterminada aumenta su flexibilidad. Además facilita información no sólo del VaR sino también sobre la pérdida histórica máxima del período de observación. Sin embargo la simulación histórica presenta una serie de inconvenientes. Al igual que el método paramétrico, da el mismo peso a datos pasados que a datos actuales, por lo que en épocas de alta o baja volatilidad el método no permite realizar ajustes con la velocidad deseada, mostrando debilidad en cuanto a la predicción de eventos extremos (Danielsson et al., 2000). Además, la simulación histórica supone que la distribución asumida no cambia con el
Capítulo 1. El riesgo en los mercados financieros. 18 tiempo y por lo tanto es sensible al tamaño de la muestra seleccionada, lo cual puede cambiar drásticamente el resultado. Por lo tanto, la inclusión o exclusión de datos dentro de la simulación puede cambiar los resultados del VaR. 1.6.4 Método de simulación de Monte Carlo A diferencia de la simulación histórica, el método de simulación de Monte Carlo asume una distribución sobre las rentabilidades de la cartera y sobre las volatilidades y correlaciones de los factores de riesgo. McNeil et al. (2005) describe de forma detallada diversas metodologías de cálculo de VaR usando métodos de simulación de Monte Carlo. La simulación de Monte Carlo requiere especificar algún proceso estocástico que describa las variables financieras a estudiar y parámetros, básicamente volatilidad y correlación, de dicha ecuación. El movimiento geométrico Browniano es un modelo de comportamiento de los precios que se utiliza habitualmente en la práctica: t t t t dP Pdt PdB , donde el primer término de la derecha es el componente determinístico o de tendencia, recogido por el coeficiente de la media y el segundo término es el componente estocástico afectado del coeficiente de difusión , a través del movimiento Browniano tal que 0,t B N dt . Partiendo de esta información, se simulan posibles sendas para las variables de interés a partir de las cuales se obtiene una muestra de las potenciales ganancias o pérdidas de una inversión. El cuantil de esta muestra nos daría la estimación del VaR. La gran ventaja que tiene este método es su flexibilidad dado que puede ajustarse a cualquier estructura simplemente ajustando el proceso estocástico que describe el comportamiento del precio del activo. También permite modelizar con una mayor eficacia instrumentos derivados que se caracterizan por su no linealidad, como es el caso de las opciones. Por todo lo expuesto, se puede considerar que este es el método más completo para medir el riesgo de mercado: es más atractivo cuanto mayor sean las dimensiones del problema y puede tener en cuenta una amplia gama de riesgos al incorporar variación temporal en los parámetros, colas gruesas y escenarios extremos. Tiene como inconveniente que su cálculo es más complejo y muestra mayor coste computacional, siendo esto un riesgo para el modelo.
Capítulo 1. El riesgo en los mercados financieros. 19 1.6.5 El CAViaR Engle et al. (2004) proponen un enfoque diferente para la estimación del cuantil que consiste en modelizar directamente la dinámica temporal del cuantil con un modelo analítico autorregresivo denominado CAViaR. Supongamos que observamos un vector de rendimientos de la cartera y dada la probabilidad asociada con el VaR que se denota por . Dado un vector de variables observables en el tiempo, t x y un vector de parámetros . La especificación del CAViaR está dado por: 011 ( ) ( ) ( ) qr t i t i j t j ij f f l x . (1.21) Donde 1 p q r es la dimensión de y l es una función de un número finito de retardos observables. Los términos autorregresivos ( ), 1,...., i t i f i q recogen el efecto de los cambios en los cuantiles a lo largo del tiempo. Este modelo tiene diferentes especificaciones como el valor absoluto simétrico, pendiente indirecta o GARCH asimétrico. Estas y otras formulaciones alternativas pueden consultarse en Engle et al. (2004). 1.7 Contraste del modelo VaR Existen diversos procedimientos para contrastar si la estimación del VaR es correcta. A continuación se describen las que han tenido una difusión más amplia y mayor aplicabilidad práctica. 1.7.1 Test de Kupiec Este test de cobertura condicional propuesto por Kupiec (1995) se utiliza para contrastar si el número de excepciones es coherente con el nivel de confianza. Así, se evalúa la hipótesis nula de que la probabilidad de fallo sea igual a utilizando el test de razón de verosimilitud 2 1 (1 ) 2ln ˆˆ (1 ) T x x T x x pp LR pp , (1.22) donde x es el número de excepciones o fallas, T el número de observaciones incluidas en el backtesting y ˆx pT es el estimador de máximo verosimilitud.
Capítulo 1. El riesgo en los mercados financieros. 20 Bajo la hipótesis nula de que el modelo es correcto, el estadístico LR se distribuye asintóticamente como una 2 con un grado de libertad. 1.7.2 Test de Christoffersen El contraste más ampliamente conocido y aplicado de cobertura condicional fue desarrollado por Christoffersen (1998). La importancia de las pruebas de cobertura condicional surge de la observación de agrupamientos de la volatilidad en muchas series de tiempo financieras. Un buen pronóstico de intervalos debe ser estricto en tiempos tranquilos y amplios en tiempos volátiles, por lo que las observaciones que caen fuera de un intervalo previsto se extienden por toda la muestra, y no vienen en grupos. Un intervalo de predicción puede producir correcta la cobertura incondicional, sin embargo, puede no dar cuenta de la dinámica en tiempo de orden superior. Dada la siguiente variable indicador: t 1 ( ) I0 ( ) tt tt si r v si r v , (1.23) el proceso estocástico t I se denomina proceso de fallo. El cálculo de VaR es correcto si muestra cobertura condicional correcta; es decir, 1 Itt E p t , lo que es equivalente a afirmar que la serie t I es i.i.d. con media p. Christoffersen desarrolló un procedimiento de contraste para la cobertura condicional en tres etapas. Primero, se contrasta la cobertura incondicional correcta con el test de razón de verosimilitud dado por: 2 1 ˆˆ 2ln (1 ) 2ln (1 ) T N N T N N uc LR p p p p . (1.24) En segundo lugar, se contrasta la hipótesis de independencia frente a la hipótesis alternativa de dependencia dada por un proceso de Markov de primer orden con el test de razón de verosimilitud dado por: 00 10 01 11 00 01 10 11 ( ) ( ) 2 01 01 11 11 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2ln (1 ) 2ln (1 ) (1 ) N N N N N N N N ind LR p p p p p p , (1.25) donde: 1 Nn Número de valores 1 en el indicador de la serie (número de fallos), 0 ()T N n Número de valores 0 en el indicador de la serie (total de observaciones menos el número de fallos),
Capítulo 1. El riesgo en los mercados financieros. 21 p Nivel de tolerancia (probabilidad) con que las mediciones del VaR son estimadas, 1 01 ˆn pnn es el estimador máximo verosímil de p , ij n Número de valores i seguidos de valores j en la serie ( , 0,1) t I i j , 1( , 0,1) ij r t t p P I i I j i j , 01 01 00 01 ˆ N pNN , 11 11 10 11 ˆ N pNN , 01 11 00 01 10 11 ˆ NN pN N N N . En tercer lugar, se contrasta la hipótesis de cobertura condicional correcta sumando los dos estadísticos anteriores, con lo que tenemos que: 00 01 10 11 2 01 01 11 11 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 2ln (1 ) 2ln (1 ) (1 ) N N N N T N N cc LR p p p p p p .(1.26) El contraste de Christoffersen tiene la limitación de que sólo se refiere a la dependencia de primer orden. Así, es posible podría rechazar una serie que no tiene dependencia de primer orden de Markov pero que muestre algún otro tipo de estructura de dependencia (por ejemplo, la dependencia de orden superior de Markov o dependencia periódica). Los trabajos de Christoffersen et al. (2000) y Clements et al. (2003) generalizan este análisis y sugieren una regresión de la serie t I sobre sus propios valores retardados y algunas otras variables explicativas como los rendimientos retardados observados, esto es: 1 0, 11 SS t s t s s s t t ss I I D , (1.27) donde ,st D denota las variable explicativas del modelo. La hipótesis nula de independencia condicional, p y 11 ... ... 0 ss puede contrastarse utilizando el test de la F. 1.7.3 Test mixto de Kupiec Haas (2001) propone una prueba de mejora de la independencia y la cobertura utilizando las ideas de Christoffersen y Kupiec denominado “Mixed Kupiec-Test”. Este test mide el tiempo entre las excepciones en lugar de observar sólo si la excepción hoy en día depende del resultado del día anterior, siendo una prueba potencialmente capaz de captar las formas más generales de
Capítulo 1. El riesgo en los mercados financieros. 22 la dependencia entre fallos. De forma similar, el estudio de las duraciones entre fallos ha sido desarrollado por Christoffersen et al. (2004). 1.7.4 Test de Engle y Manganelli Engle y Manganelli (2004) sugieren usar un modelo de regresión lineal de violaciones actuales a violaciones pasadas, de manera que se pueda probar la hipótesis de eficiencia condicional. Dado ( ) ( ) t Hit I , 1 1 ( ) () otra manera ttt r VaR Hit , (1.28) se formula el siguiente modelo de regresión lineal: 11 11 ( ) ( ) ( ), ( ),..., , ,... KK k t k k t k t k t k t k t kk Hit Hit g Hit Hit z z , (1.29) donde t es un proceso i.i.d., g(·) es una función de violaciones pasadas y tk z son las variables de conjunto de información disponible. Podemos considerar como variables explicativas las rentabilidades pasadas, su cuadrado, las previsiones del VaR, etc. La hipótesis nula de dependencia condicional es: 0:0 kk H 1,...,kK . (1.30) Bajo la hipótesis nula ( ) 0 t E Hit E , lo que implica que () t EI . Dado el vector de parámetros 11 ( ... ... )´ KK y la matriz de variables explicativas Z, el estadístico para contrastar la hipótesis nula es: 2 (2 1) ˆˆ ´´ (1 ) L cc K T ZZ DQ . (1.31) Una extensión de este test utilizada en la literatura consiste en utilizar un modelo binario, logit o probit, en lugar de la regresión lineal (véase Patton, 2000). 1.7.5 La función de pérdida López (1999) y Campbell (2005) sugieren una aproximación alternativa para el contraste del VaR que consiste en analizar la magnitud de los excesos ocurridos considerando una función de pérdidas que refleje la preocupación específica del gestor de riesgos o de un regulador.
Capítulo 1. El riesgo en los mercados financieros. 23 López propuso tres funciones de pérdidas que podrían reflejar la función de utilidad de un ente regulador: la función de pérdida del binomio, la función de magnitud de pérdida y la función de zona de pérdida. En términos generales, las dos últimas penalizar fallos más gravemente, en comparación con la función de pérdida binomial. Como cualquier aplicación de funciones de pérdida, este enfoque es vulnerable a errores de especificación de la función de pérdida. Seguidamente se definen la función de pérdida reguladora y la función de pérdida de la empresa: Función de pérdida reguladora: 2 ( ) ( ) 0 otro caso t t t t t r v si r v I . Función de pérdida de la empresa: 2 ( ) ( ) otro caso t t t t t t r v si r v Iv . Dada la función de pérdida, podemos contrastar la superioridad de un modelo con respecto a otro utilizando la prueba de los signos. Consideremos t it jt Z l l , donde it l y jt l son los valores de la función de pérdida particular generada por el modelo i y el modelo j en el instante t, respectivamente. t Z se denomina pérdida diferencia entre los dos modelos: valores negativos de t Z indican una superioridad del modelo i sobre el j, mientras que valores positivos indican lo contrario. Si definimos la variable indicador t como: 1 ( 0) 0 ( 0) t t t si Z si Z , (1.32) El estadístico 1 T ij t t S tiene una distribución binomial con parámetros (T, 0,5) bajo la hipótesis nula de igualdad entre los dos modelos. Para muestras grandes, este estadístico converge a una distribución normal, con lo que: 0.5 (0,1) 0.25 ij ij ST SN T . (1.33) La hipótesis nula se rechaza al 5% si 1.66 ij S . 1.7.6 Stress Testing El stress testing analiza cómo se comporta una cartera o instrumento financiero bajo algunos de los movimientos más extremos del mercado. El test se centra, principalmente, en el estudio de acontecimientos extremos en los
Capítulo 1. El riesgo en los mercados financieros. 24 mercados que, si se produjeran, causarían grandes pérdidas en las carteras o en los instrumentos financieros. Las volatilidades históricas calculadas a partir de series de precios pueden infravalorar la probabilidad de que se produzcan movimientos extremos en los mercados, ya sea por cambios en la situación política y/o por cambios en la situación macroeconómica. Esta técnica también suele denominarse análisis de escenarios ya que examina el efecto de grandes movimientos simulados en variables financieras relevantes sobre la cartera o instrumento financiero, analizando uno o varios escenarios específicos en el que las condiciones de mercado son extremas y nada favorables. Los escenarios de estrés y sensibilidad son pruebas “no estadísticas” debido a que la forma de elegir los escenarios a utilizar es muy subjetiva. Se toma en cuenta que los modelos de valor en riesgo por simplicidad funcionan sólo bajo condiciones normales. Por lo tanto, es necesario valorar el modelo bajo condiciones en donde los supuestos se incumplan o se colapsen, es decir, valorar el modelo en situaciones extremas. La ventaja de este contraste es que es posible cubrir situaciones completamente ajenas a los datos históricos. Las principales debilidades de este contraste parten de que, los resultados del análisis dependen en su totalidad de los escenarios elegidos por el gestor. La elección de los escenarios es subjetiva, por lo que si se eligen escenarios poco probables, se llegará a mediciones erróneas del VaR siendo necesario comprobar la consistencia de los posibles escenarios de precios. Las implementaciones más sofisticadas del stress testing se realizan en dos pasos (véase Jorion, 1997). Primero, hacer fluctuar hacia arriba y hacia abajo todas las variables asociadas a factores de riesgo individualmente, por ejemplo, 1.65 desviaciones estándar, para cuantificar los cambios a la cartera. Segundo, evaluar un escenario en el peor de los casos, donde todas las variables sean presionadas en la dirección que se considere la peor pérdida. Así pues, este tipo de contrastes deberían de considerarse como información complementaria y adicional al método de estimación que sea utilizado para aproximar el VaR. 1.8 Expected Shortfall Una medida alternativa al VaR es la pérdida esperada condicionada a que el valor de la pérdida es superior al VaR, denominada expected shortfall (ES),
Capítulo 1. El riesgo en los mercados financieros. 25 conditional value at risk o expected tail loss. Es decir, el ES es el promedio de los (1 ) 100% peores casos y puede ser calculado a través del promedio de los valores que exceden el VaR con un nivel de confianza de 1- . Para el caso de distribuciones continuas está definido por: ES ( ) ( ) VaR R E r r VaR rf r dr , (1.34) donde f(·) es la densidad de la rentabilidad. Si la rentabilidad sigue una distribución normal, 2 ( , )rN , entonces el ES está dado por: () ES 1 ( ) z z , (1.35) donde () y () son las funciones de densidad y distribución de la variable aleatoria normal estándar, respectivamente y 1()z VaR . Rockafellar et al. (2001), exponen algunas propiedades fundamentales del ES y muestran algunas ventajas significativas de esta metodología respecto al VaR tradicional y, se prueba que él ES puede cuantificar situaciones arriesgadas o de peligro más allá que el VaR, comprobando de esta forma su coherencia. Según Kibzun et al. (2006), el expected shortfall, bajo condiciones normales, es una función convexa con respecto a las posiciones tomadas, permitiendo la construcción de un algoritmo eficiente de optimización; por lo que si la función de pérdida es convexa en una estrategia financiera para todas las realizaciones de un vector aleatorio, el ES también es convexo en la estrategia. Esta propiedad es conveniente para la optimización de carteras.
Capítulo 2. Teoría del valor extremo. 32 Dependiendo del valor del parámetro se obtienen tres tipos de funciones de distribución. En el caso que 0 , la GPD es una distribución de Pareto con parámetros 1/ , /k para valores no negativos de la variable aleatoria 0y . Para 0 la GPD corresponde a una distribución exponencial con parámetro 1/ e 0y . Cuando 0 , la GPD toma la forma de una distribución del tipo Pareto II, la cual está definida para el rango 0/y . Dado un umbral 0 u , supongamos que el exceso 0 xu sigue una distribución GPD con parámetros y , donde 00 y 01 . Por tanto, el exceso de media por encima del umbral 0 u es: 0 () 00 1 u E X u X u , (2.11) con lo que para cualquier 0 uu se define la función exceso de media ()eu como: 00 00 () () 1 uu e u E X u X u ; (2.12) es decir, para cualquier 0y 0 0 0 0 () ( ) ( ) ( ) 1 y e u y E X u y X u y . (2.13) En consecuencia, la función de exceso de media es una función lineal de 0 y u u para un valor fijo de . Este resultado permite inferir el valor apropiado del umbral 0 u para el GPD de forma gráfica, utilizando la media muestral de los excesos sobre el umbral u como estimador del valor esperado de los excesos definidos como: 1 1 () u i N Tt i u e u X u N , (2.14) donde u N es el número de retornos que exceden el umbral u y i t X es el valor de los retornos correspondientes. Partiendo de este estimador de la media de los excesos, se analiza la tendencia de las parejas ordenadas , ( ) T u e u . Si , G es una aproximación válida de ,xu F para un umbral dado u , el gráfico de la media de los excesos debe ser aproximadamente lineal alrededor de u de acuerdo con la ecuación (2.12). Esto permite establecer intervalos a partir de los cuales se puede seleccionar el umbral. Además, si la distribución de la serie bajo análisis tiene colas pesadas y su primer momento es finito, 01 , la pendiente de este gráfico, /1 , debe ser positiva.
Capítulo 2. Teoría del valor extremo. 33 Una metodología muy conocida utilizada para la selección del umbral se basa en el estimador de Hill (1975), la cual es aplicable para distribuciones que pertenezcan al MDA de la distribución Fréchet y el estimador de Pickands (1975). Algunas propiedades asintóticas del estimador de Pickands pueden estudiarse en Dekkers et al. (1989). De acuerdo con la ecuación (2.6) para una variable aleatoria i.i.d. 12 , ,....., n R R R , ( ) ( ), R F x X L x 1/ 0 , (2.15) si y solo si R F MDA . Se demuestra que el estimador de máxima verosimilitud del índice de colas condicionado a un umbral dado, , ˆHill kn es: 1 , , , 1 1 ˆln ln k Hill k n j n k n jrr k (2.16) Donde , 2, 1, ,..., , n n n n R R R son los estadísticos de orden de R tal que , 2, 1, ... n n n n R R R y u kN es el número de observaciones que exceden el umbral. Finalmente, utilizando la propiedad de invarianza de los estimadores de máxima verosimilitud se obtiene: 1 ,, ˆˆ Hill Hill k n k n . Desde un punto de vista teórico, el atractivo del estimador de Hill, se justifica por sus propiedades asintóticas, que se pueden resumir en Embrechts et al. (1997). Es posible demostrar la débil consistencia, si , / 0k k n para n y R es una variable aleatoria i.i.d que satisface () R F MDA F , entonces: , ˆp Hill kn y además bajo hipótesis de normalidad asintótica 2 , ˆ0, d Hill kn kN , Danielsson et al. (1997) y Drees et al. (1998). Una herramienta utilizada para seleccionar el umbral es el “gráfico de Hill”, Reiss et.al. (2001) en el cual se gráfica el estimador de Hill para diferentes valores de k, asociados a distintos umbrales u . Es decir se grafican las siguientes parejas ordenadas: , , : 2,3,.... Hill kn k k n . El conjunto de valores apropiados para k se determina como el rango de valores de k para el cual el estimador de Hill es estable. Algunas consideraciones y ejemplos del gráfico de Hill pueden encontrarse en Drees et al. (2000). Como se mencionó anteriormente, los estimadores de ˆHill ó ˆHill a partir de un umbral están sujetos al balance entre sesgo y varianza. Por lo tanto, otra posible forma de encontrar el umbral óptimo es a través de la minimización del
Capítulo 2. Teoría del valor extremo. 34 “error cuadrático medio del estimador de Hill”, ECM , ˆHill kn . Beirlant et al. (2003), resumen algunas de las metodologías existentes en esta línea evidenciando un desempeño adecuado en muestras pequeñas. El ECM para un estimador ˆ está dado por: 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ECM E E V , (2.17) donde el primer componente en la parte derecha es el cuadrado del sesgo del estimador y la segunda parte corresponde a su varianza. Nótese que cuando tomamos valores pequeños de k , él estimador de Hill presenta una varianza alta mientras el sesgo es bajo y esta relación se invierte a medida que aumenta el tamaño de k . Como resultado, el ECM del estimador de Hill tiene forma de ""U cuando se gráfica con respecto a k . Hall (1990), propone la identificación de k a partir de técnicas de bootstrapping con submuestras de tamaño 1 nn dado que el sesgo del estimador no es lineal con respecto a n y por lo tanto al utilizar la muestra completa se subestima el sesgo (véase también Danielsson et al., 2001). Finalmente, cabe mencionar algunos de los problemas que presenta el estimador de Hill. En primer lugar, no se conocen sus propiedades para muestras finitas, ya que éstas se basan en resultados asintóticos. En segundo lugar, algunas metodologías son altamente sensibles a la elección del valor inicial de k , o requieren de la elección arbitraria de ciertos parámetros. Por último, el estimador de Hill puede tener un sesgo alto incluso cuando su error cuadrático medio es mínimo, tal y como demuestran Drees et. al. (2000) y Matthys et. al. (2002). 2.4 Medidas de riesgo: VaR y ES Asumiendo la distribución condicional y la función de distribución generalizada de Pareto para las colas (GPD) expuesta en apartados anteriores, la función de excesos de pérdidas definida en ecuación (2.8) puede ser expresada como: ,, ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) xu F u y F u F y G y Fu , (2.18)
Capítulo 2. Teoría del valor extremo. 35 donde x u y , si la condición ,, lim sup ( ) 0 U u R R u F y G y , 0U y R u Balkema et al. (1974) y Pickands (1975), se cumple para un umbral u lo suficientemente grande, entonces: ,, ( ) ( ) xu F x u G x u , (2.19) , ( ) ( ) ( ) 1 ( ) R F x F u G x u F u , (2.20) para xu . La expresión anterior está asociada a la cola superior de la distribución de R . Cuando R F es conocida, el cálculo de las medidas de riesgo asociadas a esta variable aleatoria solo requiere de la estimación de los parámetros de su distribución. Sin embargo, en la práctica dicha función es desconocida, por lo que es necesario el resultado de la ecuación anterior, en la cual R F depende de ()Fu y de ,()G x u . Un estimador de ˆ()Fu es su función de distribución empírica, la cual corresponde ha / u T N T , donde u N es el numero de retornos que exceden el umbral u y T el tamaño de la muestra. Reemplazando este último resultado y los estimadores de los parámetros de ,()G x u se obtiene: 1/ ˆ() ˆ( ) 1 1 ˆ u R Nxu Fx T . (2.21) La ecuación anterior conduce a una estimación alternativa del cuantil de ()Fx , siendo posible construir medidas de riesgo de orden superior para el cálculo del VaR. Concretamente, el cuantil de Fx , denotado por q VaR , es: 1 (1 ) q u T VaR u q N , (2.22) donde, u es el umbral, T el tamaño de la muestra, u N el numero de retornos que exceden el umbral, y y son los parámetros de escala y forma definidos para la distribución GPD. Por otra parte, teniendo en cuenta que el expected shortfall (ES) está definido como la pérdida esperada condicionada a que se supere el VaR, al sumar y restar q VaR de la expresión anterior, tendremos que: q q q q q ES E r r VaR VaR E r VaR r VaR . (2.23) Utilizando las propiedades de GPD, podemos demostrar que:
Capítulo 2. Teoría del valor extremo. 36 1 q q VaR u ES E r r VaR , (2.24) por lo que podemos escribir el ES como: 11 q q VaR u ES . (2.25) Finalmente, dividiendo la expresión anterior por q VaR se obtiene: 1 11 q qq ES u VaR VaR (2.26) Si la distribución de R posee colas pesadas, 01 , entonces a medida que 1, q q VaR , la relación anterior descrita q q ES VaR , estará determinada por 1/ 1 . Aunque existe un gran número de investigaciones en la literatura estadística y financiera que aborda la teoría de valores extremos, esta metodología presenta ventajas y desventajas las cuales deben tenerse en cuenta. Las principales ventajas de la EVT consiste en ser un método que se ajusta bien a los objetivos de análisis, es decir, los extremos de la distribución y se puede desarrollar una forma funcional a priori incorporando toda la información disponible del comportamiento de los activos en situaciones extremas del mercado, también cabe destacar que la teoría de valor extremo proporciona una aproximación más exacta y robusta para el cálculo del VaR en periodos extraordinarios o de catástrofes. Las principales desventajas de esta metodología se enmarcan en el uso parcial de la información, el análisis se concentra solo en las observaciones extremas y los resultados se basan en derivaciones asintóticas, por lo que no pueden tomarse como precisos cuando se trabaja con muestras finitas, además algunos supuestos de este tipo de modelos no siempre se cumplen en la práctica.
37 Capítulo 3 Cópulas 3.1 Introducción El estudio de las cópulas se inició con los trabajos pioneros de Hoeffding (1940, 1947, 1948) y Sklar (1959). Es unos años más tarde cuando comienzan a aplicarse dentro de la literatura estadística en diversos trabajos como los de Clayton (1978), Schweizer et al. (1981) y Genest et al. (1986). Sin embargo, en economía y finanzas el uso de las cópulas es más reciente, encontrando numerosas investigaciones que ayudan a entender con claridad su funcionamiento y aplicación, como los trabajos Embrechts et al. (2002, 2003a, 2003b) y Embrechts (2006) en los que se presentan ejemplos interesantes de aplicación de la función cópula. En el contexto financiero, también cabe señalar el trabajo de Patton (2006) en el que se introduce el concepto de cópula condicional que tiene una gran relevancia para la modelización de las series financieras. Asimismo, en el ámbito financiero las cópulas permiten modelizar las diferentes estructuras de dependencia de un conjunto de factores de riesgos (Días et al., 2010) considerando distribuciones marginales arbitrarias. Embrechts et.al. (2009) define cópula como una distribución de variables aleatorias cuyas marginales son distribuciones uniformes, siendo un instrumento excelente para la simulación de variables aleatorias con distribuciones marginales definidas dado que solo se habrán de simular variables uniformes con estructuras de dependencia determinadas por su cópula. Se ha demostrado en
Capítulo 3. Cópulas. 38 diversas investigaciones, tales como Embrechts et al. (2009) y McNeil (2009) entre otros, que la función cópula es superior en cuanto a modelar y cuantificar la dependencia dado que ofrece mayor flexibilidad en comparación con las correlaciones. Además, se puede utilizar en la medición y/o valoración del riesgo de mercado y de crédito ya que captura la relación no lineal entre los mercados. En este sentido, cabe destacar las aplicaciones de la metodología de cópulas de Frey et al. (2003) y Hamerle et al. (2005) las cuales brindan aportaciones en la valoración de opciones financieras. En los siguientes apartados de este capítulo se describen los resultados y propiedades básicas de las funciones cópula, los diferentes tipos de funciones cópula y la estimación de los parámetros de las mismas. Un estudio detallado de la metodología de las funciones cópula véase Cherubini et al. (2004), Nelsen (2006) y Schweizer (2007). 3.2 Cópulas Definición 3.1. Una cópula n-dimensional es una función : 0,1 0,1 n C que cumple las siguientes propiedades para cada: 12 , ,.... 0,1 n T n u u u u : 1. Si 0 j u entonces 1,..... 0 n C u u para cada 1...jn . 2. 1,...1, ,1...1 jj C u u . 3. Para cada 12 , ,.... 0,1 , , , 0 n T n j j c v v v v v u V u v . Donde , c V u v está dado por: 1 22 1 1 1 1 ... ( 1) .... ( ,..., ) n n n n ii i i C g i g i , 12 , j j j j g v g u . (3.1) Teniendo en cuenta estas propiedades, se puede decir que las cópulas son funciones uniformes multivariadas, crecientes y no negativas. El Teorema de Sklar (1959) muestra que es posible descomponer la función de distribución en sus distribuciones marginales y una cópula. Esta cópula será única si las distribuciones marginales y la multivariante son continuas. Se recomienda el estudio de la obra Sklar (1973), donde se muestran interpretaciones de funciones de distribución y cópulas.
Capítulo 3. Cópulas. 39 Teorema 3.1 Sea F una función de distribución d-dimensional con marginales 1,....., n FF , entonces existe una cópula C con: 1 1 1 ,....., ,....., n n n F x x C F x F x para cada 1,....., n xx . Si 1,....., n FF son continuas, entonces C es única. Por otro lado, si C es una cópula y 1,....., n FF son funciones de distribución, entonces la función F , definida anteriormente, es una función de distribución conjunta con marginales 1,....., n FF . Este teorema (Sklar, 1959) también admite la implicación inversa, lo cual es muy importante cuando se quieren construir modelos estocásticos considerando por separado el comportamiento univariado de los componentes de un vector aleatorio y sus propiedades de dependencia como se recoge en alguna cópula. Teorema 3.2 Para una distribución conjunta F con marginales continuas 1,....., n FF , la cópula única C para todo 12 , ,...., 0,1 n T n u u u u está definida como: 11 1 1 1 ( ,..., ) ( ),..., ( ) n d n C u u F F u F u . (3.2) Para una cópula continua, la densidad cópula está definida por: 1 1 1 ( ,..., ) ( ,..., ) ,..., nn n n C u u c u u uu . (3.3) De manera específica, la cópula de una variable aleatoria será definida de la siguiente forma: sea 1,...., T n X X X un vector con distribución X XF y marginales continúas jj XF . La cópula de X es la función de distribución X C de 12 , ,...., 0,1 n T n u u u u donde j Xj j u F X : 1 11 11 ( ,..., ) ( ),..., ( ) n X n X X X n C u u F F u F u . (3.4) Teorema 3.3 Para variables aleatorias independientes 1,...., n XX , la cópula de X es el producto definido por: 11 1 ( ,..., ) ( ,..., ) ( ) j n x n x n x j j C u u F x x F x . (3.5)
Capítulo 3. Cópulas. 40 La ecuación (3.5) muestra cómo el producto cópula es el mismo para cualquier distribución marginal, determinando así la estructura de dependencia entre variables univariadas con marginales arbitrarias. De igual forma, para una variable aleatoria 1,...., T n X X X , la densidad cópula x c está dada por: 1 11 1 11 1 ( ),..., ( ) ( ,..., ) () n j x x n xn n j x j j f F u F u c u u f F u . (3.6) La función cópula juega un papel importante en la construcción de modelos multivariantes en el contexto económico-financiero. Además, la disponibilidad de una gran variedad de cópulas puede ser útil para la construcción de modelos estocásticos que tienen propiedades diferentes. Estos modelos son indispensables en la práctica para recoger determinados hechos estilizados de las series financieras como por ejemplo las colas pesadas, asimetrías, etc. (véase por ejemplo Genest et al., 1986; Durante et al., 2009; Hofert, 2010 y Czado, 2010). 3.3 Tipos de funciones cópulas En este apartado se exponen algunas consideraciones y propiedades generales que una buena familia de cópulas multivariadas deben cumplir para ser consideradas interesantes en las aplicaciones estadísticas y financieras. Siguiendo los criterios de Embrechts (2009); McNeil et al. (2009) y Embrechts et al. (2010) se detallan tres propiedades que resumen el análisis. 1. La Interpretabilidad: Todos los miembros de la familia cópula deben tener una interpretación probabilística que sugiere “naturales” situaciones en las que se puede considerar esta familia. Las cópulas son adecuadas para modelar situaciones en donde una perturbación común tiene consecuencias en un sistema de varios componentes (por ejemplo, carteras de crédito, vida útil del sistema, etc.). 2. El amplio y flexible rango de dependencia: Los miembros de la familia cópula deben describir los diferentes tipos de dependencia, así como la independencia cópula y uno de los límites de Fréchet-Hoeffding (caso limite en relación con el parámetro). Una propiedad deseable es tener
Capítulo 3. Cópulas. 41 miembros con una variedad de dependencias de colas y asimetrías (véase Embrechts et al., 2003b). 3. Fácil de manejar: Los miembros de la familia cópula deben ser expresados en una forma cerrada o, al menos, deben ser fácilmente simulados por medio de algún algoritmo conocido. De hecho, varios procedimientos de bondad de ajuste se basan en el hecho de que la familia cópula puede ser ajustada fácilmente a la muestra (Berg, 2010). Podemos destacar dos grandes grupos de cópulas, la familia de cópulas elípticas y las cópulas arquimediana. Las cópulas elípticas no son más que las cópulas de distribuciones elípticas que constituyen una fuente de distribuciones multivariantes que poseen muchas de las buenas propiedades de la distribución normal multivariante. La familia de cópulas arquimedianas captura una gran variedad de estructuras de dependencia. La representación arquimediana de cópulas permite reducir el estudio de una cópula multivariante a una única función univariante. Seguidamente haremos una descripción de las cópulas más importantes. 3.3.1 Familias de cópulas elípticas Definición 3.2. Sea X un vector aleatorio n-dimensional, y una matriz simétrica de dimensión nxn y definida no negativa. Se dice que X tiene una distribución elíptica de parámetros , y si dada la función característica de X es de la forma, T X t t t . (3.7) Denotaremos ,, n XE como la función de distribución elíptica donde es el generador característico y es una matriz diagonal, entonces X tiene componentes incorreladas sí 0i VX . Si X tiene componentes independientes entonces , n XN . Cabe destacar que la distribución normal multivariante es la única dentro de las distribuciones elípticas en la que componentes incorreladas implica componentes independientes. La dependencia en distribuciones elípticas está esencialmente determinada por las covarianzas, las cuales son una herramienta débil para describir la dependencia en distribuciones no-Gaussianas. Las cópulas de la familia elíptica
Capítulo 3. Cópulas. 48 7. si n Y es una sucesión de parejas aleatorias continuas con cópula n C y medida de concordancia n k y si n C converge a C cuya medida de concordancia es k , entonces lim n nkk . En la literatura estadística se describen dos medidas de asociación muy importantes, la Tau de Kendall y el coeficiente Rho de Spearman . Estas medidas satisfacen la definición de concordancia y serán descritas seguidamente. El coeficiente de correlación de rangos de Kendall, más conocido como Tau de Kendall, fue redescubierto y desarrollado independientemente por Kendall (1938) y fue discutido por primera en los trabajos de Kruscal (1958) dando respuesta a una medida similar en el contexto de series de tiempo. Definición 3.6. Sean 11 ( , )XY y 22 ( , )XY vectores aleatorios independientes e idénticamente distribuidos, tales que ( , ) , 1,2. ii X Y F i Entonces, la de Kendall se define como la diferencia entre la probabilidad de concordancia y la de discordancia. Según Nelsen (2001), la definición anterior puede expresarse como: ( )/ 2 n cd cd cd , (3.16) donde n es el número total de observaciones de una muestra aleatoria, c es el número de pares concordantes y d los pares discordantes. La de Kendall para una pareja de variables aleatorias continua 12 ( , )YY , dada en términos de la cópula C , puede expresarse como: 2 1 2 1 2 4 ( , ) ( , ) 1 I C v v dC v v . (3.17) La ecuación anterior indica que la de Kendall está completamente determinada por la cópula C y no está relacionada con las distribuciones marginales de 12 ( , )YY . El coeficiente de correlación de rangos de Spearman, más conocido como Rho de Spearman, fue discutido por primera vez por Spearman (1904). La de Spearman puede ser definida como el coeficiente de correlación de Pearson, pero no aplicada a las variables aleatorias 12 ( , )YY , sino a sus rangos 1 1 1 ()V F Y y 2 2 2 ()V F Y .
Capítulo 3. Cópulas. 49 Definición 3.7. Sean 11 ( , )XY , 22 ( , )XY y 33 ( , )XY vectores aleatorios independientes e idénticamente distribuidos, tales que ( , ) , 1,2,3 ii X Y H i . La de Spearman se define como: 1 2 1 3 1 2 1 3 3 ( )( ) 0 ( )( ) 0 rr P X X Y Y P X X Y Y . (3.18) Es decir, el coeficiente es proporcional a la diferencia entre las probabilidades de concordancia y discordancia entre los vectores aleatorios 11 ( , )XY y 23 ( , )XY y claramente 23 ( , )XY puede ser sustituido por 32 ( , )XY . Las variables aleatorias 1 V y 2 V son uniformes en 0,1I ; además 12 ( ) ( ) 1/2E V E V y 12 ( ) ( ) 1/12Var V Var V . Si C es la función de distribución conjunta de U y V , como se especifica en la cópula, entonces se tiene que, 2 1 2 1 2 12 3 12 3 I E VV v v dC . (3.19) 2 1 2 1 2 1 2 12 ( ) I C v v v v dv dv . (3.20) Como consecuencia, la de Spearman es invariante bajo transformaciones estrictamente crecientes de i X y i Y , una propiedad que comparte con la , pero no con el coeficiente de correlación de Pearson. 3.4.3 Dependencia de las colas de la distribución La dependencia de las colas de la distribución multivariante describe el comportamiento de las colas cuando los valores de sus marginales llegan a cero (lower tail) o a la unidad (upper tail), permitiendo así identificar la dependencia de los valores extremos de las variables aleatorias. La dependencia de colas es un concepto útil para describir la estructura de dependencia en las series financieras, sobre todo en valores extremos (véase Embrechts et al., 2003b). La dependencia de colas entre dos variables financieras existe cuando la probabilidad de eventos extremos (negativos o positivos) conjuntos es mayor que la que debería de acuerdo con la predicción dada por las distribuciones marginales. Definición 3.8. Sean X y Y variables aleatorias continuas con función de distribución conjunta F , cópula C y marginales X F y Y F . Si existiera una relación positiva entre dos situaciones extremas con respecto a las variables aleatorias X e Y , su probabilidad condicional estaría dada por,
Capítulo 3. Cópulas. 50 11 ( ) (1 ) (1 ) u x y P X F Y F (3.21) y decrecería tal como 0 . El coeficiente de dependencia de cola superior, u , entre X y Y vendrá dado por, 11 00 lim ( ) lim (1 ) (1 ) u x y P X F Y F , (3.22) siempre y cuando el límite u exista. El coeficiente u mide la dependencia de cola superior entre valores extremos de X y Y , por lo que estas dos variables serán asintóticamente dependientes si (0,1] u y asintóticamente independientes o no existirá dependencia de cola superior sí 0 u . En términos financieros se denota a la función 1(1 )F como el valor en riesgo, entonces la función u captura la dependencia relacionada con los periodos de tensión. De forma similar, en el caso de que existiera una relación entre dos acontecimientos negativos y extremos con respecto a las variables aleatorias X e Y la probabilidad condicional estaría dada por, 11 ( ) ( ) ( ) l x y P X F Y F . (3.23) El coeficiente de dependencia de cola inferior l (izquierda) entre X y Y vendrá dado por, 11 00 lim ( ) lim ( ) ( ) l x y P X F Y F . (3.24) En el caso de distribuciones continuas, estas medidas de dependencia superior derecha u o inferior izquierda l de las colas pueden ser expresadas en términos de una cópula adecuada, C , asociada a la distribución bivariadas de estas variables, donde u y l vendrán dadas por: 1 ( , ) lim 1 uu C u u u , (3.25) 1 ( , ) lim lu C u u u , (3.26) siempre y cuando exista tales límites, existirá la dependencia de cola superior o inferior entre las variables, , (0,1] ul , y se dará la independencia cuando ,0 ul . Desde el punto de vista financiero, es importante considerar tanto la cola izquierda como la derecha de la distribución, debido a que la cola izquierda
Capítulo 3. Cópulas. 51 representa pérdidas cuando un inversor se encuentra en una posición larga en un activo, mientras que la cola derecha también representa pérdidas cuando el inversor mantiene una posición corta en el activo. Estas medidas son invariantes a transformaciones estrictamente crecientes debido a que se expresan a través de la cópula. Como habíamos definido en apartado anterior una de las desventajas de la cópula Gaussiana era que para 1 , la dependencia en las colas era nula, es decir 0 UL y cuando 1 , entonces 1 UL . Quedando así la dependencia en colas definido por: 1 ( , ) ( , ) 2 lim 0 1 ul x X Y X Y x . (3.27) Para la cópula t de Student, el coeficiente de correlación de la dependencia de colas está definido por: 1 1 ( , ) ( , ) 2 1 1 ul X Y X Y t . (3.28) Como se ha mencionado, la cópula de Frank no tiene dependencia de cola superior e inferior, por tanto, 0 UL . Para la cópula Gumbel el coeficiente de la cola inferior es nulo, es decir, ( , ) 0 lXY y el coeficiente de la cola superior u presenta dependencia, definido por, 1/ ( , ) 2 2 uXY . (3.29) Para la cópula Clayton el coeficiente de la cola superior u es nulo, ( , ) 0 uXY y el coeficiente de la cola inferior l es dependiente para ( 0) , siendo definido por, 1/ ( , ) 2 lXY (3.30) 3.5 Métodos de estimación del parámetro de dependencia En la literatura estadística existen dos grandes enfoques para la estimación del parámetro de dependencia que se diferencian por los supuestos paramétricos o no paramétricos utilizados para las distribuciones marginales desconocidas, Genest et al. (1995). Supongamos una cópula que pertenece a una familia paramétrica ,C , con el espacio de posibles valores del parámetro, considerando el
Capítulo 3. Cópulas. 52 método de máxima verosimilitud (ML) se obtendrán estimadores de consistentes y asintóticamente normales. Genest et al. (1995) y Shih y Louis (1995) describen una adaptación a la inferencia realizada sobre el parámetro de dependencia basada exclusivamente en rangos. El método de máxima pseudoverosimilitud o también llamado máxima verosimilitud canónica (MLC) requiere que C sea continua con densidad c y maximiza el logaritmo de la verosimilitud de la forma, 1 log , 11 nii i RS lc nn . (3.31) La expresión anterior se obtiene sustituyendo las marginales desconocidas x F y y F en la verosimilitud clásica por sus contrapartidas empíricas emp Fx y emp Fy . A partir de las distribuciones empíricas marginales emp Fx , emp Fy y la representación canoníca de la cópula 12 ,, emp i emp i H x y f x f y c F x F y , con 2 ,,c u v C u v uv como la función de densidad de la cópula C , la función de verosimilitud queda definida como: 1 ; , , n ii i u v c u v , (3.32) donde i emp i u F x y i emp i v F y . La estimación del parámetro de dependencia queda como: 1 ˆargmax ; , n ii i uv . (3.33) En Genest et al. (1995) y Shih y Louis (1995) se demuestra que el estimador de es consistente y asintóticamente tiene distribución normal bajo condiciones de regularidad similares a las impuestas en el método de máxima verosimilitud. Por otra parte, Joe y Xu (1996) proponen un método alternativo para modelos multivariantes denominado “inferencia para las marginales” (IFM). Este método consta de dos partes: (a) estimación de los parámetros de las distribuciones marginales de forma separada utilizando ML; (b) estimación de los parámetros de dependencia de una cópula paramétrica resolviendo el siguiente problema: 1 ˆˆ argmax ln , ; T tt t c u v , (3.34)
Capítulo 3. Cópulas. 53 donde ˆ ˆ; t X t x u F x y ˆ ˆ; t Y t y v F y . Joe (1997) demuestra que bajo condiciones de regularidad estándar, esta estimación en dos etapas es consistente y las estimaciones de los parámetros son asintóticamente eficientes y normales. Como ilustra Joe (2005), sin embargo, la ganancia en la conveniencia computacional de este método se produce a expensas de la eficiencia. Kim et al. (2007) muestran que una elección inapropiada de los modelos para los márgenes puede tener efectos perjudiciales en la estimación del parámetro de dependencia. 3.6 Contrastes de bondad de ajuste La selección de una cópula para ajustar un conjunto de datos es un tema de vital importancia. En la literatura estadística se han propuesto diversos métodos para la selección de una cópula. Los contrastes se pueden realizar aplicando directamente el ajuste de las cópulas mediante pruebas de bondad de ajuste tradicionales, tales como el test de Kolmogorov-Smirnov y el test de Anderson-Darling, consiguiendo así buenos resultados. Este apartado pretende realizar una breve revisión y descripción de los principales contrastes de bondad de ajuste definidos por varios investigadores en la literatura estadística. Genest y Rivest (1993) propusieron un procedimiento no paramétrico que sin tomar en cuenta las marginales estima la función que determina una cópula arquimediana. Este procedimiento representa una estrategia para seleccionar la familia paramétrica de cópulas arquimedianas que provee el mejor ajuste posible para un conjunto de datos. Wang y Wells (2000) proponen una técnica similar de selección de cópulas arquimedianas para modelar las funciones de supervivencia en presencia de datos con censura. Según Barbe et al. (1996) este test es llamado transformación de Kendall, siendo una transformación afín de la versión multivariante del coeficiente de concordancia de Kendall. Otra forma de evaluar si conviene un modelo en particular consiste en el análisis de residuos, propuestos por Dunn-Smyth (1996), los cuales pueden ser graficados de diversas formas, y decidir visualmente si el ajuste es el adecuado. Fermanian et al. (2004) y Tsukahara (2005) proponen un test de bondad de ajuste basado en el proceso empírico, dando varias condiciones bajo las cuales n C , o ligeras variantes de los mismos es un estimador consistente de la
Capítulo 3. Cópulas. 54 verdadera copula C , es decir, si 0 H es cierto o no. El test consiste en la comparación entre la cópula n C y un estimador n C de la cópula C obtenido bajo la hipótesis nula, de la forma n n n n C C . Ané y Kharoubi (2003) también muestran este método de selección basado en comparaciones paramétricas y no paramétricas a través de un estimador de distancia. Fermanian (2005), considera este test poco práctico, excepto que se utilice bootstrapping. Huard et al. (2006) proponen también un método bayesiano basado en la de Kendall para seleccionar la cópula más probable de las dadas en un conjunto. Genest et al. (2006) consideran dos estadísticos específicos de rango análogos al estadístico de Cramer-von Mises y Kolmogorov-Smirnov, definidos como: 12 () 0 K n n n S dK y () 0,1 sup K nn T . Es importante señalar que, valores grandes para estos estadísticos dan lugar al rechazo de 0 H , donde: 0 0 0 :: HK . Los p-valores pueden deducirse de sus distribuciones límite que dependen del comportamiento asintótico de n . La convergencia de este último se establece por Genest et al. (2006) bajo condiciones de regularidad adecuadas en las familias paramétricas 00 ,C y la secuencia n de los estimadores. Estos dos estadísticos también utilizan la conocida transformación de Kendall. Genest et al. (2009) afirma que el procedimiento basado en ()K n S es muy superior y ofrece el mejor rendimiento cuando se prueba la bondad de ajuste de cópulas Gumbel-Hougaard y Frank. Breymann et al. (2003) y Dobric-Schmid (2007) presentan una prueba de bondad de ajuste basada en la transformación de Rosenblatt (1952), contrastando 0 H con el estadístico de Anderson-Darling. Este procedimiento no resulta efectivo y ni siquiera mantiene su nivel nominal. Dobric-Schmid (2007) argumenta una versión corregida a la de Breymann et al. (2003), la cual presenta algunas limitaciones. Cuando las marginales son especificadas, esta prueba funciona bien, pero cuando éstas son estimadas empíricamente, la prueba no resulta útil. Por último, si se utiliza la aproximación paramétrica de máxima verosimilitud, un criterio suplementario para examinar la bondad de ajuste de los modelos es el basado en la comparación de los valores negativos de las funciones de verosimilitud. Akaike (1973, 1977) desarrolla una medida de decisión basada en la medida de información de Leibler (1951), dado que esta
Capítulo 3. Cópulas. 55 medida proporciona un criterio de ordenación de modelos estocásticos alternativos. El criterio de información de Akaike estará definido como: 2 log ; , 2 ii AIC u q . Seguidamente se describen los contrastes de Kolmogorov-Smirnov y Anderson-Darling que son considerados los contrastes más tradicionales de bondad de ajuste. Se basan en una comparación directa de la dependencia supuesta por la cópula y la observada en la base de datos a estudiar. El Contraste de Kolmogorov-Smirnov (KS) es un contraste no paramétrico aplicable únicamente a variables continuas. Utiliza una idea similar al contraste chi-cuadrado de Pearson, pero en vez de comparar las probabilidades de diversos sucesos, compara los valores de las funciones de distribución para la muestra y para la que teóricamente se derivaría de la población que se ha explicitado en la hipótesis nula. El estadístico de Kolmogorov-Smirnov se define como la máxima distancia observada entre ambas funciones de distribución, probando que no hay diferencias significativas entre ambas distribuciones. La prueba de KolmogorovSmirnov se define como: 00 : ( ) ( ) n t t H F x F x , 10 : ( ) ( ) n t t H F x F x , y el estadístico de contraste es: 0 max( ( ) ( )) KS n n t t t D F x F x , (3.35) donde 0() t Fx es la distribución que se supone sigue la muestra aleatoria (distribución teórica) y () nt Fx es la función de distribución empírica considerando n observaciones. En este contraste interesa la desviación máxima entre la función de distribución teórica y la empírica para todo el rango de valores de x . El valor de () nt Fx se debe comparar con unas tablas específicas de este estadístico, pues no sigue ninguna distribución conocida, (ver Stephens (1974)). Para tamaños muéstrales, n superiores a 100, el valor crítico puede obtenerse mediante: ln( /2)/ 2n , siendo 1 el nivel de confianza. Lógicamente, se rechaza la hipótesis nula si el estadístico toma un valor superior al de las tablas. Bajo la hipótesis nula la muestra es extraída de la población considerada en dicha hipótesis nula, por lo que las funciones de distribución muestral y teórica serían tan similares que, incluso tomando su máxima distancia, ésta sería suficientemente reducida. Cuando el valor numérico del estadístico excede del valor crítico de las tablas, se considera que no es
Capítulo 3. Cópulas. 56 suficientemente reducido, constituyendo evidencia en el sentido de que las funciones de distribución difieren una de otra y, por ello, la hipótesis nula debe rechazarse. La distribución del estadístico de Kolmogorov-Smirnov es independiente del tipo de distribución de la que fue extraída la muestra, lo cual es interesante, pues nos permite utilizar una única tabla de valores críticos para este estadístico; de lo contrario, deberíamos tener una tabla para cada tipo de distribución de probabilidad F incluida en 0 H . Este contraste puede utilizarse asimismo con distribuciones de tipo discreto, pero entonces sólo podemos decir que es el máximo nivel de significación del contraste que hayamos diseñado. Para aplicar el contraste con distribuciones continuas es preciso agrupar sus valores en clases o intervalos, con lo que se pierde cierta información. Al utilizar únicamente la información muestral incorporada en la máxima distancia entre las funciones de distribución, este estadístico ignora mucha información muestral, a diferencia del Contraste Chi-cuadrado de Pearson. El estadístico de Kolmogorov-Smirnov puede utilizarse para construir bandas de confianza para una distribución teórica desconocida () t Fx , a partir de una distribución empírica. Para ello, fijado un valor de , tomamos de la tabla el valor crítico KS n D correspondiente a y n , el tamaño muestral del que se dispone. El extremo superior () St Fx de la banda para () t Fx se construye sumando KS n D a la función de distribución empírica, hasta que se alcanza el nivel 1, permaneciendo entonces en éste. El nivel inferior () It Fx es igual a cero hasta que la distribución empírica llega a ser igual o mayor a KS n D . Calculando la mayor desviación existente entre las dos funciones de distribución denotado por KS n D el estadístico para la cola derecha e izquierda vendrá dado por: 0 max( ( ) ( )) KS n n t t t D F x F x , (3.36) 0 max( ( ) ( )) KS n t n t t D F x F x . (3.37) Por tanto, el estadístico de Kolmogorov-Smirnov será el máximo de los dos, es decir: max , KS KS KS n n n D D D . (3.38) El contraste de Kolmogorov-Smirnov puede presentar varias limitaciones importantes, ya que sólo se aplica a distribuciones continuas, se tiende a tener
Capítulo 3. Cópulas. 57 mayor sensibilidad con los valores cerca del centro de la distribución que en las colas. Tal vez la limitación más grave es que la distribución debe ser completamente especificada; es decir, si los parámetros de ubicación, escala y forma se estiman a partir de los datos, la región critica de la prueba de KS no es válida, siendo por lo general determinado por la simulación. Debido a estas anteriores limitaciones, muchos analistas prefieren utilizar el contraste de bondad de ajuste de Anderson-Darling. El contraste de Anderson-Darling (AD) es un contraste no paramétrico que se utiliza para contrastar si una muestra de los datos observados procede de una población con una distribución específica 0() t Fx . Esta prueba es una modificación del contraste de Kolmogorov-Smirnov donde se le da mayor peso a las colas de la distribución que en la prueba de Kolmogorov-Smirnov. La prueba de Anderson-Darling se define como: 00 : ( ) ( ) n t t H F x F x , 10 : ( ) ( ) n t t H F x F x , y el estadístico de contraste es: 0 00 ( ) ( ) max ( )(1 ( )) n t t AD nttt F x F x DF x F x . (3.39) El estadístico AD n D determina si los datos ordenados 12 ....... n X X X vienen de una distribución con función de distribución () t Fx . Los valores críticos para la prueba Anderson-Darling, dependen de la distribución específica que se está probando. Esto tiene la ventaja de permitir un análisis más sensible en los valores extremos de la distribución (colas), y la desventaja de que los valores críticos deben calcularse para cada distribución. Los valores críticos del estadístico AD n D y sus fórmulas se encuentran tabulados. El contraste es una prueba de un solo lado y la hipótesis de que la distribución es de una forma específica se rechaza si el estadístico de prueba es mayor que el valor crítico. En el análisis hay que tener en cuenta que para una distribución dada, el estadístico de Anderson-Darling puede ser multiplicado por una constante (que por lo general depende del tamaño de la muestra, n ). Estas constantes se dan en los distintos trabajos de Stephens. Además, hay que tener en cuenta que las constantes son diferentes y por lo tanto los valores críticos.
Capítulo 4. Las fluctuaciones en el precio de los alimentos y del dólar americano. 64 donde 1 x F y 1 Y F son las funciones cuantiles marginales y dónde UL , 0,1 . Dos variables aleatorias exhiben la dependencia de cola inferior (superior) si L0 ( U0 ), lo que indica una probabilidad distinta de cero de observar un valor extremadamente pequeño (grande) para una serie junto con un valor extremadamente pequeño (grande) para la otra serie. Con la finalidad de capturar diferentes formas de dependencia entre el dólar y el precio de los alimentos, se han considerado varias especificaciones para la función cópula: la cópula Gaussiana bivariante, con dependencia de cola cero; la cópula t de Student que captura la dependencia simétrica en la cola de la distribución y anida la de cópula Gaussiana como caso particular; la cópula Clayton, que permite una dependencia de cola inferior y la independencia en la cola superior; la cópula Gumbel, que permite la independencia en la cola inferior y la dependencia en la cola superior; la cópula de Clayton-Gumbel, que permite la dependencia asimétrica en la cola de la distribución y; por último, hemos considerado las cópulas Gaussiana y t-Student con parámetros cambiantes en el tiempo para permitir que la dependencia cambie a lo largo del tiempo. La Tabla 4.1 resume la forma funcional, los parámetros de dependencia y los coeficientes de cola superior e inferior para todas estas cópulas. Para tener en cuenta las principales características del tipo de cambio del dólar y de los precios de los alimentos, tales como colas gruesas y el efecto de apalancamiento, para los modelos marginales se consideró el modelo ARMA(p,q)-TGARCH introducido por Zakoian (1994) y Glosten et al. (1993). De este modo, los modelos marginales para las rentabilidades del dólar o de los alimentos, t r , se pueden especificar como: pq t j t j t i t i ji rr 0 11 , (4.5) donde p y q son enteros no negativos y donde y son los parámetros AR y MA, respectivamente. El proceso de ruido blanco t se supone que sigue una distribución t-Student con grados de libertad: t t() 22 ~ i.i.d. t ., (4.6) t 2 es la varianza condicional de t , que evoluciona de acuerdo a:
Capítulo 4. Las fluctuaciones en el precio de los alimentos y del dólar americano. 65 r m m t j t j j t i j t j t j j i j I 2 2 2 1 1 1 , (4.7) Tabla 4.1: Especificaciones de funciones cópula. Copula Distribución Parámetros L U Gaussian 11 N C (u,v; ) (u), (v) 1,1 0 0 Student-t 11 ST , C (u,v; , ) T (t (u),t (v)) 1,1 t/ 1 2 1 1 1 Clayton 1/ CL C (u, v; ) max u v 1 ,0 1, \ 0 1 2 0 Gumbel 1 G C (u, v; ) exp logu log v 1, 0 1 22 ClaytonGumbel 1 1 CG C (u,v; , ) u 1 v 1 1 0, 1 1 2 1 22 TVP Gaussian t 11 N C (u,v; ) (u), (v) t1,1 0 0 TVP Student-t t 11 ST , C (u,v; , ) T (t (u),t (v)) t1,1 tt t/ 1 2 1 1 1 Notas. 1(u) y 1(v) son funciones cuantiles normales estándar, es la función de distribución acumulativa bivariante normal estándar con la correlación , 1 t (u) y 1 t (v) son las funciones cuantiles univariantes de la distribución t-Student siendo el parámetro de grados de libertad, , T es la función de distribución acumulada bivariada t-Student siendo el parámetro de grados de libertad y el coeficiente de correlación, TVP indica parámetro variable en el tiempo, y, t al igual que en Patton (2006) está dado por q t t t j t j qj(u ) (v ) 11 1 0 1 1 2 1 donde xx (x) e e 1 11 es la transformación logística modificada para mantener el valor de t en (-1,1). donde es una constante; el componente de heterocedasticidad autorregresiva condicional generalizada (GARCH) está dado por tj 2 ; el componente de heterocedasticidad autorregresivo condicional (ARCH) está dado por las noticias sobre la volatilidad de los períodos anteriores, tj ; tj I1 si tj 0 , en caso
Capítulo 4. Las fluctuaciones en el precio de los alimentos y del dólar americano. 66 contrario 0; y capta el efecto apalancamiento. Para 0 , la varianza condicional futura se incrementará proporcionalmente más después de un shock negativo que en el caso de un shock positivo de la misma magnitud. El número de retardos p, q, r y m para cada serie fue seleccionado utilizando el criterio de información de Akaike (AIC). Los parámetros de las distribuciones marginales y de la función cópula se estiman por máxima verosimilitud (ML) utilizando un procedimiento de dos pasos llamado inferencia para las marginales (Joe y Xu, 1996). Este procedimiento consiste en descomponer la función de verosimilitud como la suma de la función de verosimilitud de las marginales más la verosimilitud de la función cópula (véase la ecuación 4.2). En consecuencia, en primer lugar se estiman los parámetros de las distribuciones marginales por separado utilizando ML y luego se estiman los parámetros de la cópula resolviendo el problema: T tt t1 ˆˆ argmax ln c(u ,v ; ) , (4.8) donde son los parámetros de cópula, t X t x ˆ ˆ u F (x ; ) y t Y t y ˆ ˆ v F (y ; ) son consideradas observaciones de la cópula. Bajo condiciones de regularidad estándar, esta estimación de dos pasos es consistente y las estimaciones de los parámetros son asintóticamente eficientes y normales (véase Joe, 1997). Los diferentes modelos cópula se evaluaron utilizando el AIC ajustado por la existencia de sesgos derivados del tamaño de la muestra, siguiendo Breymann et al. (2003), Rodríguez (2007) y Reboredo (2011, 2012a). 4.3 Datos Se estudió la estructura de dependencia entre los principales precios de los alimentos básicos -el maíz, la soja, el trigo y el arroz– y el dólar utilizando datos semanales desde el 9 enero de 1998 al 12 octubre de 2012 (el período de la muestra inicial y el número de semanas consideradas se determinó por la disponibilidad de datos de precios de alimentos). Los precios de los alimentos, expresados en dólares por tonelada, se obtuvieron de la Base de datos de precios de productos básicos de la Organización Internacional Alimentación y la Agricultura. Se analizaron los precios de los cereales porque los granos compiten con la demanda derivada para el maíz con la finalidad de producir etanol y con
Capítulo 4. Las fluctuaciones en el precio de los alimentos y del dólar americano. 67 la demanda derivada para la soja con la finalidad de producir biodiesel (sobre todo cuando los precios del petróleo son altos). Por otro lado, el trigo es un alimento clave que compite con el maíz y la soja para la rotación de cultivos y cuya producción es intensiva en energía. Finalmente, el arroz, además de ser un elemento básico fundamental en algunos países pobres, está sujeto a una serie de distorsiones comerciales que incluyen entre otras el acaparamiento especulativo (ver Heady, 2011; Timmer, 2010). Para el tipo de cambio dólar, hemos consideramos el índice de cambio ponderado que elabora el Banco de la Reserva Federal de Saint Louis, donde un aumento del índice refleja una depreciación del dólar. Los datos fueron descargados de la página web del Banco de la Reserva Federal de Saint Louis (http://www.frbstlouis.com). La rentabilidad de precios de alimentos y tasa de cambio se calcularon utilizando el sistema de capitalización continua, rt= Ln(Pt/Pt-1), donde Pt and Pt-1 son los precios en la semana t y en la semana anterior. La Figura 4.1 muestra la dinámica temporal de los precios de los alimentos y el dólar durante todo el período muestral. Tendencias coherentes se pueden observar, a pesar de que la intensidad y la duración de los movimientos hacia arriba o hacia abajo, en general, difieren. Podemos observar algunos subperiodos en los que los precios de los alimentos aumentaron, principalmente antes de 2008, cuando el dólar se depreció frente a las principales monedas. Con la intensificación de la crisis financiera mundial después de 2008, los precios de los alimentos cayeron y el dólar se apreció. En años recientes, sin embargo, los precios de los alimentos y el dólar han seguido tendencias similares, y no hay concomitancia clara entre los picos de precios de alimentos en 2011 y el valor del dólar. La estadística descriptiva y las propiedades estocásticas de los datos de rendimientos para los alimentos y del dólar se muestran en la Tabla 4.2. Los rendimientos medios fueron cercanos a cero para todas las series de rentabilidades y, dado que las rentabilidades fueron reducidas en relación con sus desviaciones estándar, no existe una tendencia significativa en los datos. La diferencia entre los valores máximos y mínimos muestra que los precios de los alimentos fueron más volátiles que el dólar. Las rentabilidades del dólar mostraron valores negativos para la asimetría, aunque esta característica no fue compartida por las rentabilidades de los alimentos.
Capítulo 4. Las fluctuaciones en el precio de los alimentos y del dólar americano. 68 Todas las rentabilidades muestran exceso de curtosis, con valores que oscilaron entre 4,1 y 6,6, lo que confirma la presencia de colas gruesas en las distribuciones marginales y observaciones extremas relativamente frecuentes. El test de Jarque-Bera rechazó de forma contundente la normalidad de la distribución incondicional para todas las series. Además, los valores del estadístico Ljung-Box hasta el orden 20 sugieren la ausencia de correlación para todas las series, con la excepción de la serie de rentabilidades para el arroz. Asimismo, el test del multiplicador de Lagrange para efectos ARCH (ARCHLM) indica la presencia de efectos ARCH en todas las series de rendimientos. El coeficiente de correlación lineal que se muestra en la Tabla 4.3 indica que los alimentos y la depreciación de dólar están correlados, si bien el coeficiente de correlación toma valores bajos a excepción del arroz donde toma valores cercanos a cero. Para la muestra estudiada, no fue posible identificar cualquier punto de cambio estructural en la dependencia lineal cuando se aplicó el estadístico-F para la hipótesis nula de no cambio en la relación de dependencia lineal, como el desarrollado por Andrews (1993), Andrews y Ploberger (1994) y Hansen (1997). Figura 4.1: Movimientos de precios de los alimentos y USD entre el 9 de enero 1998 y el 12 de octubre de 2012. 0.0085 0.0095 0.0105 0.0115 0.0125 0.0135 0.0145 50 250 450 650 850 1050 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 USD exchange rate Food Prices Corn Rice Soybeans Wheat USD
Capítulo 4. Las fluctuaciones en el precio de los alimentos y del dólar americano. 69 Tabla 4.2: Estadística descriptiva. Notas. Los datos son semanales para el período 9 de enero de 1998 hasta 12 de octubre de 2012. JarqueBera es el estadístico 2 para la prueba de normalidad. Q(k) es la estadístico de Ljung-Box para correlación serial en los rendimientos calculados con k retardos. ARCH-LM es el test-LM de Engel’s para heterocedasticidad, calculado con 20 retardos. Un asterisco (*) indica el rechazo de la hipótesis nula al nivel del 5%. Tabla 4.3: Matriz de correlación de Pearson. Antes de proporcionar estimaciones de cópulas paramétricas, se reporta en primer lugar información sobre la estructura de dependencia entre los precios de los alimentos y el dólar americano. Para ello, se obtuvo información sobre la cópula empírica para cada serie de retornos mediante la obtención de los deciles, de modo que las observaciones se distribuyeron uniformemente en 10 cajas de tal manera que la caja 1 incluye las observaciones con los valores más bajos y la caja 10 incluye las observaciones con los valores más altos. A continuación, para Maíz Soja Trigo Arroz Dólar Maíz 1 Soja 0,338 1 Trigo 0,487 0,223 1 Arroz 0,043 0,030 0,034 1 Dólar 0,160 0,282 0,164 0,055 1 Maíz Soja Trigo Arroz Dólar Mean 0,002 0,001 0,001 0,001 0,000 Std. Dev. 0,039 0,038 0,038 0,027 0,011 Max 0,189 0,128 0,145 0,148 0,039 Min - 0,138 - 0,232 - 0,153 - 0,111 - 0,043 Skewness 0,025 - 0,631 0,016 0,206 - 0,181 Kurtosis 4,498 6,692 4,162 6,582 4,247 Jarque - Bera 65,07 440,79 39,11 376,43 48,81 Q(20) 19,89 29,38 14,32 146,18* 27,36 ARCH - LM 4,64* 2,60* 3,30* 11,70* 2,82*
Capítulo 4. Las fluctuaciones en el precio de los alimentos y del dólar americano. 70 cada momento del tiempo t y para cada par de series dólar-alimentos, hemos asignado a cada observación a su caja específica, para i, j = 1, 2,..., 10 y t = 1, 2, ..., T. Así, tenemos una matriz 10x10, donde las filas incluyen las cajas de una serie en orden ascendente de arriba abajo y las columnas incluyen las ubicaciones de las cajas para la otra serie en orden ascendente de izquierda a derecha. Contamos el número de observaciones que compartían cada celda (i, j), por lo que si las dos series están perfecta y positivamente (negativamente) correlacionados tendríamos que la mayoría de las observaciones se encuentran en la diagonal que une la esquina superior izquierda con la esquina inferior derecha (la esquina inferior izquierda con la esquina superior derecha), y si fueran independientes tendríamos que los números en cada caja son aproximadamente iguales. Por otra parte, cuando tenemos dependencia de cola inferior entre las dos series tendríamos más observaciones en la celda (1,1), mientras que si hay dependencia de cola superior esperaríamos más observaciones en la celda (10,10). La Tabla 4.4 muestra los resultados de la cópula empírica para los diferentes pares dólar-alimentos. La evidencia de dependencia positiva (excepto para el arroz) está indicada por el hecho de que el número de observaciones a lo largo de la diagonal superior-izquierda/inferior-derecha es mayor que el número de observaciones en las otras celdas, por lo que el valor del dólar y los precios de los alimentos se mueven en direcciones opuestas. Al comparar los 10th percentiles inferiores y superiores, el hecho de que no haya diferencias significativas entre las frecuencias extremas conjuntas y frecuencias medias es una primera evidencia de la independencia potencial de cola. En general, los resultados de la Tabla 4.4 son plenamente consistente con la dependencia positiva débil (excepto para la soja) mostrada por el coeficiente de correlación incondicional en la Tabla 4.3. 4.4 Resultados empíricos 4.4.1 Resultados de modelos marginales Se estimó el modelo de distribución marginal dado por las ecuaciones. (4.5)-(4.7) para la serie de rentabilidades del dólar y de los alimentos considerando diferentes combinaciones para los valores de los parámetros p, q, r y m desde cero hasta dos. La Tabla 4.5 muestra los resultados. El modelo más adecuado de
Capítulo 4. Las fluctuaciones en el precio de los alimentos y del dólar americano. 71 Tabla 4.4: Cópula empírica para el dólar y los alimentos. Dólar-Maíz 14 11 7 3 6 6 3 9 3 8 10 4 6 9 6 6 10 5 7 6 10 5 6 8 6 8 10 5 7 5 3 7 9 7 5 5 10 710 6 5 6 10 9 9 13 5 6 4 3 5 5 10 67586810 9 8 7 10 6 9 8 4 5 3 7 8 4 6 1 6 8 11 910 3 6 4 6 7 11 5 6 11 10 4 9 7 5 10 8 2 11 5 9 Dólar-Soja 17 12 5 5 6 6 3 1 10 5 711 12 7779351 9 8 12 9 7 2 3 13 3 4 3 8 8 10 8 5 5 7 8 7 8 7 7 7 8 10 8 6 5 4 3 4 3 12 12 68499 8 5 9 4 11 86855 5 5 6 5 3 10 810 11 7 2 7 3 9 3 10 811 610 8 2 5 1 5 6 11 7 7 18 Dólar-Trigo 13 9 7 10 4 4 5 5 7 6 8 9 8 4 4 11 7 7 6 5 5 7 5 11 410 13 7 4 4 9 6 6 5 5 13 4 5 7 9 7 7 9 9 3 11 10 3 7 4 7 7 4 7 1 12 5 6 11 10 8 8 7 6 6 10 512 4 3 4 5 11 5 4 13 310 6 9 6 5 7 7 4 5 8 10 9 8 36567995812
Capítulo 4. Las fluctuaciones en el precio de los alimentos y del dólar americano. 72 Tabla 4.4 (continuación) Nota. Cada serie tiene 695 observaciones. Las rentabilidades del dólar se clasifican a lo largo del eje horizontal y en orden ascendente, de arriba abajo. Las rentabilidades de los alimentos se clasifican a lo largo del eje vertical y en orden ascendente de izquierda a derecha. Cada celda muestra el número de observaciones que pertenece a los respectivos cuantiles de las series de rentabilidades del dólar y de los alimentos. de acuerdo a los valores de AIC fue la especificación de un ARMA(0,0)- TGARCH (1,1), excepto para el arroz donde los desfases -1 y -4 se incluyeron en la especificación de la media. La volatilidad fue en general bastante persistente en todas las series y el efecto apalancamiento fue significativo sólo para el trigo y el arroz, y no para el dólar, lo que es consistente con anteriores resultados empíricos para alimentos y tipos de cambio (véase Reboredo, 2012a, 2012b). Las últimas filas de la Tabla 4.5 muestran también que ni la autocorrelación ni los efectos ARCH permanecieron en los residuos. Se evaluó la bondad del ajuste de los modelos marginales contrastado si las transformaciones de probabilidad para t X t x ˆ ˆ u F (x ; ) y t Y t y ˆ ˆ v F (y ; ) fueron i.i.d uniforme (0,1). Esta proposición fue contrastada en dos pasos (véase Diebold et al., 1998). En primer lugar, se evaluó la hipótesis i.i.d. mediante el análisis de la correlación serial de k t ˆ (u u) y k t ˆ (v v) para h=20 retardos para ambas variables para k 1,2,3,4 . A continuación, para contrastar la hipótesis nula de independencia serial, se utilizó el estadístico LM que se define como (T h) R2, en donde R2 es el coeficiente de determinación de la regresión. Este estadístico se distribuye como una 2(h) bajo la hipótesis nula. Según los resultados de esta Dólar-Arroz 11 7 5 8 0 12 46611 8 9 2 7 0 14 10 8 7 4 312 14 7 0 12 4 6 7 5 7 6 8 7 0 14 6 6 7 8 4 7 6 3 0 19 9 5 8 9 7 7 11 6 0 15 6 8 5 5 9 7 9 6 0 15 3 7 9 4 8 5 5 3 0 18 87511 6 5 6 3 0 18 11 9 7 4 6 4 5 3 0 19 8 8 8 9
Capítulo 4. Las fluctuaciones en el precio de los alimentos y del dólar americano. 73 prueba, recogidos en la Tabla 4.6, la hipótesis i.i.d. no puede ser rechazada al nivel de significación del 5%. Tabla 4.5: Estimación de la distribución marginal para alimentos y el dólar. Nota. Este cuadro presenta las estimaciones de ML y el estadístico z (entre paréntesis) para los parámetros del modelo de distribución marginal definidos en las ecuaciones. (4.5)-(4.7). Los valores p, q, r y m se seleccionaron mediante el criterio AIC para diferentes combinaciones de valores que van desde 0 a 2. Para la serie de arroz, también se consideró un retardo de -4. Q (20) es el estadístico de Ljung-Box para correlación serial en los residuos del modelo calculados con 20 retardos. ARCH es el test LM de Engel’s para el efecto ARCH en los residuos hasta el orden 20. Los p valores (entre corchetes) por debajo de 0,05 indican un rechazo de la hipótesis nula. Un asterisco (*) indica significatividad para un nivel de confianza del 5%. Maíz Soja Trigo Arroz Dólar Media 0,002 0,002 0,001 0,001 0,001 (1,17) (1,66) (0,72) (1,59) (1,45) 0,1468 (4,45)* Varianza 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 (2,16)* (2,37)* (2,34)* (0,81) (1,68) 0,122 0,130 0,198 0,191 0,053 (3,05)* (3,09)* (3,24)* (2,56)* (2,39)* 0,819 0,795 0,812 0,912 0,892 (15,21)* (13,27)* (16,68)* (42,33)* (18,92)* -0,129 -0,149 (-2,10)* (-2,11)* 8,754 5,889 9,887 2,924 12,608 (2,84)* (5,02)* (2,39)* (6,10)* (2,33)* Log-Likelihood 1306,5 1345,3 1339,6 1657,1 2191,5 15,70 22,14 12,74 24,13 23,04 [0,735] [0,333] [0,888] [0,237] [0,287] 1,11 0,45 0,52 1,30 0,60 [0,33] [0,98] [0,96] [0,16] [0,91] Q(20) ARCH(20) Tail 0 1 1 1 1
Capítulo 4. Las fluctuaciones en el precio de los alimentos y del dólar americano. 80 momento t, respectivamente. El peso otorgado a la alimentación en la cartera es, por construcción, igual a USD t 1 . Toda la información en la ecuación (4.10) puede obtenerse a partir del modelo ARMA-TGARCH y de la cópula que ofrece el mejor ajuste. También se consideró una cartera igualmente ponderada, denominada cartera 3, con buen rendimiento fuera de la muestra de acuerdo con DeMiguel et al. (2009). Por último, a partir de una estrategia de cobertura de riesgo que consiste en mantener una posición corta en una cantidad de futuros y una posición larga en el mercado spot (ver Hull, 2011), se consideró una cartera llamada cartera 4. Así, se considera una posición larga de un dólar en el mercado de los alimentos cubiertos por una posición corta de dólares en el mercado de cambio, dado por: F USD t tUSD t h h , (4.11) La eficacia de la reducción del riesgo de las carteras se evaluó comparando el porcentaje de reducción de la varianza de una cartera frente a la cartera 1: Portfolio j variance Portfolio 1 Variance RE 1 Variance , (4.12) donde j = 2,3,4 y variancePortfolio j and variancePortfolio 1 son las varianzas en los rendimientos de la cartera j y cartera 1, respectivamente. Un mayor valor del ratio de eficacia de reducción del riesgo significa una mayor reducción de la varianza. La Tabla 4.8 presenta los resultados de eficacia de reducción del riesgo para las carteras de 2, 3 y 4 para los diferentes tipos de alimentos. Los resultados indican una reducción de riesgo significativa para las carteras 2 y 3 y de menor cuantía para la cartera 4. Esta evidencia fue común a los diferentes tipos de alimentos, con resultados generalmente mejores para la cartera 2 que para las carteras 3 y 4. Estos resultados ponen de manifiesto la utilidad del dólar en la reducción de riesgo en una cartera de alimentos. También se evaluó la utilidad del dólar en la protección contra el riesgo de bajadas extremas para los alimentos considerados como activo. A tal efecto, se estimó el valor en riesgo para todas las carteras. El valor en riesgo en el tiempo t para un activo o una cartera con una rentabilidad rt se caracteriza por un nivel de confianza (1-p) como:
Capítulo 4. Las fluctuaciones en el precio de los alimentos y del dólar americano. 81 Tabla 4.8: Efectividad reducción del Riesgo. Maíz Soja Trigo Arroz Cartera 2 0,919 0,910 0,908 0,846 Cartera 3 0,713 0,686 0,705 0,692 Cartera 4 0,012 0,078 0,019 0,028 Nota. Esta tabla muestra los resultados de eficacia en la reducción de riesgos para carteras de alimentos y dólar en comparación con una cartera compuesta únicamente de alimentos, calculado de acuerdo con la relación de efectividad-riesgo dada en la ecuación. (4.12). Los pesos de la cartera 2 están dados por la ecuación. (4.10), la cartera 3 tiene el mismo peso y pesos de la cartera 4 están dados por la ecuación. (4.11). t t t 1 Pr r VaR | p , (4.13) donde t1 es la información disponible hasta el instante t-1. En otras palabras, el VaR es la pérdida máxima en valor de la cartera para un período de tiempo dado y un nivel de confianza dado, o, alternativamente, la pérdida asociada con pth percentil de la distribución de rendimientos durante un período determinado. Se puede calcular como: 1 t t t VaR p (p) h , (4.14) donde t y t h son la media y la desviación estándar condicional de los rendimientos de la cartera y donde 1(p) denota el cuantil (1-p) de la distribución de la cartera. Una medida del riesgo relacionado con el VaR es el tamaño esperado de la pérdida si el VaR es excedido (ES), es decir: t t t ES E r | r VaR (p) , (4.15) Partiendo de una cartera compuesta por los alimentos y el USD, la rentabilidad logarítmica se calcula como: USD F tt rr USD USD t t t r log e (1 )e , (4.16) donde USD t r , F t r y USD t son las rentabilidades continuas para el dólar, los alimentos y la proporción de renta invertida en dólares, respectivamente. Con la simulación de Monte Carlo, se obtuvo el VaR de la cartera y el ES de las funciones de distribución marginales y la información de la función cópula del siguiente modo: (1) se simularon dos innovaciones para cada tiempo t de las
Capítulo 4. Las fluctuaciones en el precio de los alimentos y del dólar americano. 82 mejores funciones cópula para cada tipo de alimento, (2) se transformaron estos valores simulados en los residuos tipificados invirtiendo la función de distribución acumulada marginal para cada par de alimentos-dólar, y (3) utilizando los residuos estandarizados simulados, hemos calculado las rentabilidades de alimentos y del dólar con los modelos marginales estimados y, para los pesos de cartera dados, calculamos los retornos de la cartera dados por la ecuación (4.16). Este proceso se ha repetido 2000 veces para t = 1,..., T y el VaR se obtiene como el valor del pth percentil en la distribución de los rendimientos de la cartera, mientras que el ES se calcula como el valor medio para las situaciones en que los retornos de la cartera exceden el VaR. Se evaluaron las ganancias de riesgo a la baja de dos formas diferentes. En primer lugar, la precisión del VaR para cada cartera fue contrastado utilizando la prueba de razón verosimilitud condicional de la cobertura correcta, según el test propuesto por Christoffersen (1998), que tiene la independencia y la cobertura incondicional en cuenta (véase, por ejemplo, Jorion, 2007). A continuación, se examinó las reducciones de VaR y ES para las carteras 2, 3 y 4 en comparación con los valores que toman para la cartera 1 y luego se comparan las carteras 2, 3 y 4 con la cartera 1 considerando el siguiente VaR basado en la función de pérdida del inversor (véase Sarma et al., 2003; Reboredo, 2013): l tt 2 t t t r VaR (p) E r VaR (p) 1 , (4.17) donde 1 es la función indicadora habitual y donde el término cuadrático tiene en cuenta la magnitud de la pérdida, penalizando más las desviaciones grandes que las pequeñas. Dado el diferencial de pérdida, 1 t t t zll , se contrasta la hipótesis nula de un diferencial nulo frente a la alternativa de un diferencial de pérdida mediana negativo. Para ello se emplea la prueba de los signos de un solo lado, definida como: t 0.5 T z0 t1 S 1 0.5T 0.25T . Esta prueba se distribuye asintóticamente como una normal estándar y la hipótesis nula puede ser rechazada cuando S <-1,645. La Tabla 4.9 presenta los resultados de la evaluación de riesgo para un nivel de confianza del 99%. La prueba de cobertura condicional indica que las carteras compuestas de alimentos y dólar se han comportado bien en términos del VaR ya que la hipótesis nula de cobertura condicional correcta no se rechaza
Capítulo 4. Las fluctuaciones en el precio de los alimentos y del dólar americano. 83 al nivel de significación del 5%. Los resultados condicionales de cobertura de la cartera 1 también fueron positivos, excepto para el arroz, que no tuvo una cobertura condicional correcta para un nivel de significación del 5%. Al investigar el efecto de la reducción del valor en riesgo derivado de la inclusión del dólar en una cartera de alimentos, se encontró evidencia de la reducción del valor en riesgo en todas las carteras, por lo que la pérdida máxima esperada en el valor de la cartera fue mayor en las carteras de los alimentos que en las carteras mixtas alimentos–dólar. El ES también se redujo para las carteras 2, 3 y 4. Por último, la evidencia proporcionada por la prueba de los signos de un solo lado indicó que las carteras de pesos óptimos e igualmente ponderados superaron la cartera 1 de alimentos. Estos resultados avalan la utilización del dólar en las carteras de inversión de alimentos con el objetivo de gestionar el riesgo de precios de alimentos. 4.6 Conclusiones En este capítulo se examinó la estructura de dependencia entre el dólar y el precio de los alimentos, en particular el maíz, la soja, el trigo y el arroz, dado que el estudio de comovimientos de mercado entre el dólar y los mercados de alimentos tiene importantes implicaciones para países en desarrollo y desarrollados por igual. Esto se debe a que la volatilidad de precios de los alimentos y los desequilibrios internos en la balanza alimentaria se ven afectados por las fluctuaciones que experimenta el dólar. Los comovimientos entre el dólar y el precio de los alimentos son también de interés para los productores de alimentos y los inversores, ya que tiene profundas implicaciones para las estrategias de cobertura, de inversión y gestión de riesgos en los mercados de alimentos, que, al igual que otros mercados de materias primas, están siendo sometidos a un enorme grado de financialización. Se ha contribuido a la literatura sobre la relación entre el dólar y el precio de los alimentos en dos formas. En primer lugar, esta es la primera vez que se utilizan funciones cópula para caracterizar la estructura de la dependencia, proporcionando información tanto sobre la dependencia media como de la dependencia de cola superior e inferior (movimientos conjuntos extremos). La dependencia de cola nos permitió evaluar si los mercados de alimentos y tipos de cambio son dependientes o independientes durante los períodos de fuertes auges y
Capítulo 4. Las fluctuaciones en el precio de los alimentos y del dólar americano. 84 caídas (como las crisis de 2008 y 2011). En segundo lugar, se ha investigado las implicaciones de la dependencia en media y de cola para la gestión de riesgos mediante la evaluación del riesgo de carteras compuestas por alimentos y dólares en comparación con el riesgo de la cartera configurada sólo por alimentos, utilizando para ello el VaR. Tabla 4.9: Evaluación del riesgo a la baja para alimentos y dólar. Maíz Soja Trigo Arroz Cartera 1 Cond, Cov, 0,460 0,232 0,241 0,018 ES -0,015 -0,042 -0,011 -0,030 Cartera 2 Cond, Cov, 0,704 0,878 0,704 0,712 VaR Reduc, 0,082 0,096 0,075 0,063 ES -0,004 -0,004 -0,004 -0,006 Sign Test -25,98 -25,90 -25,98 -25,98 Cartera 3 Cond, Cov, 0,460 0,887 0,715 0,237 VaR Reduc, 0,054 0,067 0,048 0,051 ES -0,008 -0,021 -0,005 -0,007 Sign Test -26,28 -26,05 -26,13 -26,21 Cartera 4 Cond, Cov, 0,451 0,704 0,704 0,920 VaR Reduc, 0,005 0,026 0,003 0,019 ES -0,021 -0,040 -0,007 -0,008 Sign Test -26,05 -25,98 -26,21 -25,83 Notas. Esta tabla muestra los resultados de ganancias en términos de riesgo para carteras de alimentos y dólar en comparación con una cartera compuesta sólo por alimentos (cartera 1). Los pesos de cartera 2 están dados por la ecuación. (4.10), la cartera 3 tiene el mismo peso y los pesos de la cartera de 4 están dados por la ecuación. (4.11). Cond. Cov. indica los p valores para la prueba de cobertura condicional. VaR Reduc. es la reducción de VaR de la cartera con respecto a la cartera 1 (valores positivos indican reducción VaR). ES la pérdida esperada condicionada a que sea mayor que el VaR. Sign test es la prueba de los signos de un solo lado de las diferencias en la función de pérdida para las carteras de 2, 3 y 4 en comparación con cartera 1. La evidencia empírica obtenida, basada en datos semanales para el período comprendido entre enero de 1998 y octubre de 2012, corrobora la existencia de dependencia promedio baja y positiva e independencia de cola
Capítulo 4. Las fluctuaciones en el precio de los alimentos y del dólar americano. 85 entre el dólar y el maíz y el trigo, mientras que existe dependencia promedio e independencia de cola para el arroz. Esta evidencia indica que los picos de precios de estos productos no fueron causados por la extremada depreciación del dólar. Por el contrario, la evidencia de la dependencia media positiva y la dependencia de cola asimétrica que se encontró para la soja indica que la depreciación del dólar ha contribuido a los picos de precios observados en la soja. Los resultados de las políticas de gestión de riesgos proporcionan evidencia a favor de la utilidad del dólar en inversiones en alimentos dado que mejora la eficacia de cobertura y reduce el riesgo de la cartera mediante la reducción de VaR y logra un mejor desempeño en términos de la función de pérdida del inversor con respecto a una cartera compuesta solo de productos alimenticios.
86 Capítulo 5 Riesgo a la baja en el mercado de CO2 de la UE y los mercados de combustibles fósiles 5.1 Introducción En enero de 2005, la Unión Europea puso en funcionamiento el primer sistema internacional de negociación de derechos de emisión con la finalidad de reducir las emisiones de carbono de una forma coste-efectiva a través del mecanismo del mercado. El sistema de negociación de emisiones de la Unión Europea (ETS EU) establece límites para las emisiones de CO2 para diferentes industrias pertenecientes a de países de la UE de forma que los topes máximos de emisión sólo pueden ser superados con la condición de adquisición de derechos de emisión. Por lo tanto, los créditos de emisiones de gases de efecto invernadero se convirtieron en un recurso escaso y los derechos de emisión de la UE (EUA) se transformaron en un bien comercializable que se podría negociar en mercados organizados al contado y en mercados de futuros y opciones. De hecho, el mercado de derechos de emisión ha experimentado un rápido desarrollo con respecto a su tamaño, complejidad, liquidez y volumen negociado. Asimismo, la investigación acerca de la asignación de derechos y de los mecanismos de fijación de precios en el mercado europeo del carbono ha crecido de forma notable dado que es de interés para los responsables políticos, los inversores y gestores de riesgos que operan en este y otros mercados relacionados.
Capítulo 5. Riesgo a la baja en el mercado de CO2 de la UE y los mercados de combustibles fósiles. 87 Los estudios empíricos sobre el ETS de la UE se centran en la dinámica de los precios del carbono, en particular, sobre la dinámica de los precios de los diferentes instrumentos que se utilizan (Benz y Trück, 2009; Chevallier, 2009; Conrad et al., 2012; Daskalakis et al., 2009 ; Paolella y Taschini, 2008), la eficiencia de precios y transmisión de información entre mercados spot de la UE y los mercados de futuros (Benz y Hengelbrock, 2008; Chevallier, 2010a, 2010b; Milunovich y Joyeux, 2010; Rittler de 2012; Uhrig-Homburg y Wagner, 2009 ) y el impacto de la negociación de derechos de emisión en los mercados financieros (Daskalakis y Markellos, 2009; Oberndorfer de 2009;. Veith et al, 2009). Otra rama de la investigación analiza los determinantes potenciales de los cambios de precios del carbono (Alberola et al., 2008; Bredin y Muckley, 2011; Christiansen et al., 2005; Convery y Redmond, 2007; Kanen, 2006; Mansanet-Bataller et al., 2007; Redmond y Convery, 2006), proporcionando evidencia de la relación entre los precios del carbono y las condiciones meteorológicas excepcionales, el crecimiento económico y los precios de la energía. El desarrollo del mercado de carbono tiene efectos apreciables en los mercados de energía dado que el precio de las emisiones influye en los precios de la energía y en el desarrollo de las energías renovables. A este respecto, la evidencia empírica existente muestra que los precios del carbono están estrechamente relacionados con los precios de la energía, en particular con los mercados del petróleo (ver Kanen, 2006; Redmond y Convery, 2006; Chevallier, 2012; Reboredo, 2013), existiendo una evidencia clara de la interdependencia entre los mercados de emisión CO2 y los mercados de combustibles fósiles (Chevalier, 2012). Por otra parte, tanto los derechos de emisión como los productos energéticos se negocian como cualquier otro activo financiero en mercados al contado y de futuros bien desarrollados, con lo que los mercados de derecho de emisión y combustibles fósiles también están relacionados desde el punto de vista financiero a través de los comovimientos de mercado. En este contexto, la medición del riesgo de mercado tiene un interés práctico para los inversores que operan en estos mercados. El objetivo principal del análisis que se realiza en este capítulo es evaluar la exposición al riesgo de los inversores que operan en el mercado de carbono y los mercados energéticos de combustibles fósiles.
Capítulo 5. Riesgo a la baja en el mercado de CO2 de la UE y los mercados de combustibles fósiles. 88 El estudio empírico sobre la evaluación del riesgo se desarrolló desde el inicio de la segunda fase del ETS EU dado que esta fase se establece una relación más estable entre los precios de los derechos de emisión y sus principales determinantes (Bredin y Muckley, 2011) y la liquidez del mercado en mercados de futuros experimenta un aumento significativo (Benz y Hengelbrock, 2008; Bredin et al., 2009). El objetivo del análisis es extender la evidencia empírica existente en relación a la evaluación de riesgo en torno a dos ejes. En primer lugar, se valora el riesgo utilizando el valor en riesgo (VaR) y la pérdida esperada por encima del VaR (ES) en los mercados de carbono, gas natural y petróleo utilizando modelos GARCH, la Teoría de los Valores Extremos (EVT) y las funciones cópula. En este sentido, el análisis desarrollado extiende el estudio del riesgo realizado por Feng et al. (2012) para el mercado de carbono y por Marimoutou et al. (2009) para el mercado del petróleo teniendo en cuenta no sólo las características distintivas del riesgo en cada uno de estos mercados, sino también mediante la evaluación del riesgo de mercado de las carteras compuestas por derechos de emisión y los productos energéticos. Con esta finalidad, caracterizamos la interdependencia entre los mercados de carbono y los de combustibles fósiles a través de cópulas dado que ésta metodología proporciona información tanto de la dependencia promedio como de la dependencia de cola superior e inferior (movimientos conjuntos extremos), información que es crucial para la evaluación del riesgo de cartera. Asimismo, la utilización de funciones cópula proporciona información sobre cómo es la estructura de dependencia entre el mercado de carbono y los mercados de combustibles fósiles: ¿hay alguna dependencia para valores extremos?, ¿hay alguna respuesta asimétrica de los precios energéticos a los precios del carbono? y ¿la relación de dependencia ha cambiado en los últimos años? Esta información ayuda a mejorar la comprensión de la relación entre el carbono y los mercados de combustibles fósiles y a mejorar la evaluación del riesgo de las carteras compuestas de carbono y productos energéticos. Los resultados empíricos avalan la existencia de dependencia media positiva y de independencia extrema de mercado simétrica entre el mercado de derechos y el petróleo, y de independencia media y de cola entre el carbono y el gas natural, con la cópula Gaussiana como el mejor modelo de dependencia. Esta evidencia es consistente con la no existencia de efectos de contagio entre los mercados de derechos de
Capítulo 5. Riesgo a la baja en el mercado de CO2 de la UE y los mercados de combustibles fósiles. 89 emisión y de combustibles fósiles. En segundo lugar, se estudian las consecuencias de las interdependencias entre el mercado de derechos de emisión y de combustibles fósiles para la gestión del riesgo de la cartera, proporcionando evidencia de la utilidad de los derechos de emisión en una cartera de petróleo o de gas natural para la diversificación y reducción del riesgo de cartera al evidenciarse una reducción significativa del VaR y del ES. El resto del capítulo se organiza del siguiente modo: la sección 5.2 ofrece una breve sinopsis del ETS EU, la sección 5.3 describe brevemente la metodología para el estudio de riesgos y el análisis de la interdependencia de los mercados. En las secciones 5.4 y 5.5 se presentan los datos y se discuten los resultados obtenidos, respectivamente. Finalmente, la sección 5.6 recoge las conclusiones del capítulo. 5.2 El Sistema de Comercio de Emisiones de la Unión Europea Como parte de su compromiso con el Protocolo de Kyoto, en enero de 2005 la Unión Europea inició un sistema de límites máximos y régimen de permisos de emisión de CO2 de la UE que es el esquema de emisión comercial más grande del mundo y el primer mercado internacional de derechos de emisiones de CO2. En la actualidad, están incluidos 29 estados (27 estados miembros de la UE más Noruega y Liechtenstein) y cubre más de 10.000 instalaciones industriales que realizan actividades que son intensivas en emisiones y son responsables de cerca de la mitad de las emisiones de CO2 de Europa. En virtud de las directrices del ETS EU, un número limitado de derechos se asignan a los Estados participantes para cubrir un determinado volumen de emisiones durante una serie de años ("fase" o período de comercio). Los Estados miembros elaborarán planes nacionales de asignación (PNA) que determinan el número de derechos de emisión que cada instalación industrial recibe en un período de comercio. Los grandes emisores de CO2 deben de supervisar y reportar anualmente sus emisiones, y cada año deben devolver una cantidad de derechos de emisión equivalentes a las emisiones de CO2 realizadas en ese año. Las empresas que mantienen sus emisiones por debajo del nivel de sus derechos pueden vender sus derechos de emisión sobrantes, mientras que aquellos que enfrentan dificultades para mantener sus emisiones de acuerdo con sus derechos de emisión deben tomar medidas para reducir sus propias emisiones (como invertir en tecnología
Capítulo 5. Riesgo a la baja en el mercado de CO2 de la UE y los mercados de combustibles fósiles. 96 XY X Y F ( ) C F ( ),F ( )x,y x y , (5.19) dónde XY F ( )x,y es la distribución conjunta de X e Y, y X u F ( )x y Y v F ( )y son los cuantiles de las distribuciones marginales univariantes. Por lo tanto, la cópula conecta las distribuciones marginales con una función de distribución multivariante que, a su vez, puede ser descompuesta en sus distribuciones marginales univariantes y una cópula que captura la estructura de dependencia entre las dos variables aleatorias. La cópula condicional se puede escribir como (Patton, 2006): XY|W X|W Y|W F ( | ) C F ( | ),F ( | ) |x,y w x w y w w , (5.20) donde W es la variable condicionada, X|W F ( | )xw es la distribución condicional de X | W w , Y|W F ( | )yw es la distribución condicional de Y | W w y XY|W F ( | )x,y w es la distribución conjunta condicional de X,Y | W w . La caracterización de la relación de dependencia con cópulas es especialmente útil en aquellas situaciones en las que la distribución conjunta de dos variables está lejos de una distribución elíptica dado que la medida de dependencia tradicional dada por el coeficiente de correlación lineal es insuficiente para describir la estructura de dependencia (véase Embrechts et al., 2003b). Además, algunas medidas de concordancia (Nelsen, 2006) entre las variables aleatorias, como la rho de Spearman y la tau de Kendall, son propiedades de la cópula. Por otro lado, la dependencia de la cola, que mide la probabilidad de que dos variables se encuentran conjuntamente en los extremos inferior o superior de su distribución bivariante, es una propiedad de la cópula. La dependencia de la cola superior (derecho) e inferior (a la izquierda) para dos variables aleatorias X e Y se puede expresar en términos de la cópula como: 11 U u 1 X Y u 1 1 2u C(u,u) lim Pr[X F (u)| Y F (u)] lim 1u , (5.21) 11 L u 0 X Y u 0 C(u,u) lim Pr[X F (u) | Y F (u)] lim u , (5.22) donde 1 x F y 1 Y F son las funciones cuantiles marginales y dónde UL , 0,1 . Dos variables aleatorias exhiben la dependencia de cola inferior (superior) si L0 U ( 0) , lo que indica una probabilidad distinta de cero de observar un valor extremadamente pequeño (grande) de una serie conjuntamente con un valor extremadamente pequeño (grande) de la otra serie.
Capítulo 5. Riesgo a la baja en el mercado de CO2 de la UE y los mercados de combustibles fósiles. 97 Se han utilizado varias especificaciones cópula para capturar patrones de dependencia diferentes: la cópula Gaussiana bivariante, que es la distribución más comúnmente empleada y tiene dependencia de cola nula; la cópula t de Student, que tiene la dependencia de la cola simétrica; la cópula Clayton, que permite la dependencia de cola inferior y la independencia de cola superior; la cópula Gumbel, que permite independencia de cola inferior y la dependencia superior de cola; la cópula BB7, que permite la dependencia de cola asimétrica y, por último, la cópula variable en el tiempo normal que capta los cambios temporales en la relación de dependencia. Tabla 5.1: Especificaciones de funciones cópula. Copula Distribución Parámetros L U Gaussian 11 N C (u,v; ) (u), (v) 1,1 0 0 Student-t 11 ST , C (u,v; , ) T (t (u),t (v)) 1,1 t/ 1 2 1 1 1 Clayton 1/ CL C (u, v; ) max u v 1 ,0 1, \ 0 1 2 0 Gumbel 1 G C (u, v; ) exp logu log v 1, 0 1 22 BB7 1 1 BB7 C (u, v; , ) 1 1 h1 h2 1 h1 1 1 u , h2 1 1 v 0, 1 1 2 1 22 TVP Gaussian t 11 N C (u,v; ) (u), (v) t1,1 0 0 Notas. 1(u) y 1(v) son funciones cuantiles normales estándar, es la función de distribución acumulativa bivariante normal estándar con la correlación , 1 t (u) y 1 t (v) son las funciones cuantiles univariantes de la distribución t-Student siendo el parámetro de grados de libertad, , T es la función de distribución acumulada bivariada t-Student siendo el parámetro de grados de libertad y el coeficiente de correlación, TVP indica parámetro variable en el tiempo, y, t al igual que en Patton (2006) está dado por q t t t j t j qj(u ) (v ) 11 1 0 1 1 2 1 donde xx (x) e e 1 11 es la transformación logística modificada para mantener el valor de t en (-1,1).
Capítulo 5. Riesgo a la baja en el mercado de CO2 de la UE y los mercados de combustibles fósiles. 98 En la Tabla 5.1 se proporciona la forma funcional, parámetros de dependencia y los coeficientes de cola inferior y superior para estas cópulas. Los parámetros de la cópula se estiman por máxima verosimilitud (ML) utilizando un procedimiento en dos etapas denominado inferencia para las marginales (Joe y Xu, 1996). Dado que el logaritmo de la verosimilitud de las ecuaciones (5.19) y (5.20) puede ser descompuesto como la suma de la función de verosimilitud de las marginales más la función de verosimilitud de la cópula, en primer lugar estimamos los parámetros de las distribuciones marginales por ML utilizando el modelo ARMA-t-EGARCH y luego estimamos los parámetros de la cópula resolviendo el siguiente problema: T tt t1 ˆˆ argmax ln c(u ,v ; ) , (5.23) donde son los parámetros de cópula, t X t x ˆ ˆ u F (x ; ) y t Y t y ˆ ˆ v F (y ; ) son las muestras con las que estimamos la cópula. Bajo condiciones de regularidad estándar, esta estimación en dos etapas es consistente y las estimaciones de los parámetros son asintóticamente eficientes y normales (véase Joe, 1997). La bondad de ajuste de los diferentes modelos cópula se evaluó utilizando dos criterios: (a) usando el AIC ajustado por el sesgo de muestra pequeña, como en Rodríguez (2007) y Reboredo (2012a) y la prueba propuesta por Genest et al. (2009) que se basa en la distancia entre la cópula empírica y estimada: 2 1 TT 0 S C u,v dC u,v , (5.24) donde T ˆ C u,v T C(u,v) C (u,v) , C (u,v) es la cópula paramétrica y ˆ C(u,v) es la cópula empírica. La cópula empírica en los puntos j i, TT viene dada por (Deheuvels, 1978): j i ij , T 1 kk T T T k1 ˆ C 1 u u ,v v , (5.25) donde 1 2 T u u u y 1 2 T v v v son los estadísticos de orden de las muestras univariantes y donde 1 es la función indicador habitual. Los valores grandes de T S indican que la cópula estimada no está próxima a la cópula empírica.
Capítulo 5. Riesgo a la baja en el mercado de CO2 de la UE y los mercados de combustibles fósiles. 99 5.4 Datos El conjunto de datos utilizados está compuesto por el índice de precios diarios para los contratos de futuros sobre derechos de emisión, denominado ICE ECX EUA, de la European Climate Exchange para la Fase II del ETS EU durante el período del 2 de enero del 2008 al 31 de octubre del 2012. Para el mismo periodo, se tienen los datos de precios del crudo (Brent) y gas natural obtenidos de la Agencia de Información de Energía de EE.UU. (http://www.eia. doe.gov) expresados en euros. Se ha utilizado la información de precios spot de los combustibles fósiles ya que vamos a considerar el riesgo a la baja de una estrategia de minimización de varianza que consiste en mantener una posición corta en futuros en el mercado de los EUA y una posición larga en los mercados al contado del petróleo y gas natural. La Figura 5.1 muestra que los tres mercados muestran tendencias coherentes de precios debido a que compartan cierta información común. La Figura 5.2 muestra la dinámica de precios (calculada utilizando capitalización continua) para los tres mercados, la cual presenta diferencias en la dinámica de precios con respecto al tamaño y el tiempo de las fluctuaciones. Figure 5.1: Precios para los EUA, Brent y Gas Natural. 0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 120.00 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Prices for Brent Prices for EUA and Gas EUA NGFut-Eur/MBTU Brent-Eur/Barril
Capítulo 5. Riesgo a la baja en el mercado de CO2 de la UE y los mercados de combustibles fósiles. 100 Figure 5.2: Rentabilidades para los EUA, Brent y Gas. La Tabla 5.2 incluye información sobre los estadísticos descriptivos para las series de rentabilidades de los EUA, el petróleo y del gas natural. Los rendimientos medios fueron muy pequeños en relación a las desviaciones estándar y los valores positivos del estadístico de asimetría fueron más -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 EUA -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 BRENT -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 GAS
Capítulo 5. Riesgo a la baja en el mercado de CO2 de la UE y los mercados de combustibles fósiles. 101 pronunciados para el gas y los EUA, lo que sugieren una mayor probabilidad de grandes incrementos para dichos rendimientos en comparación con el Brent. Las tres series mostraron altos valores para el estadístico de curtosis y la prueba de Jarque-Bera rechazó la normalidad de la distribución incondicional para todas las series. Además, el estadístico Ljung-Box sugiere la presencia de correlación serial en la volatilidad de las series de rendimientos, de hecho, los efectos ARCH son significativos de acuerdo con el test LM. El contraste de estacionariedad utilizando los estadísticos convencionales de Dickey y Fuller (1979), Phillips y Perron (1988) y el test de Kwiatkowski et al. (1992) indican que las series son estacionarias. Por último, el coeficiente de correlación lineal indica que los rendimientos de EUA y Brent exhiben una dependencia positiva, mientras que los rendimientos EUA y NG exhibió una dependencia positiva pequeña. Table 5.2: Estadística descriptiva. EUA Brent Gas Media -0,0007 0,0002 -0,0004 Desv. Std. 0,0244 0,0236 0,0272 Asimetría 0,2325 0,0852 0,5788 Curtosis 7,1602 12,1253 6,8053 Jarque-Bera 901,1* 4283,1* 813,4* Q(20) 364,92* 664,53* 50,67* ARCH-LM 8,19* 16,85* 1,88* ADF -31,70* -36,62* -40,19* PP -31,62* -36,63* -40,24* KPSS 0,0566 0,1447 0,0822 Correlation Pearson 1 0,1497 1 0,0037 0,1755 1 Nota. Los datos son diarios para el período 2 de enero 2008 al 31 octubre de 2012. Jarque-Bera es el estadístico para la prueba de normalidad. Q(k) es el estadístico de Ljung-Box para la correlación serial en los retornos al cuadrado calculados utilizando k retardos. ARCH-LM es la prueba LM de Engel’s para heterocedasticidad, llevado a cabo con 20 retardos. ADF indica el test Dickey-Fuller, PP el test de Phillips y Perron (1988), KPSS es la prueba Kiwiatkowski et al. (1992).Un asterisco (*) indica el rechazo de la hipótesis nula al nivel del 5%.
Capítulo 5. Riesgo a la baja en el mercado de CO2 de la UE y los mercados de combustibles fósiles. 102 5.5 Resultados empíricos 5.5.1 Resultados para modelos GARCH Se ha estimado el modelo ARMA (p, q)-t-EGARCH (r, m) descrito por medio de las ecuaciones (5.4)-(5.6) para retornos de los EUA, petróleo y gas teniendo en cuenta diferentes combinaciones de los parámetros p, q, r y m para una combinación de valores que van desde cero a un retardo máximo de dos, seleccionando los retardos más apropiados de acuerdo con los valores del AIC. Los resultados se presentan en la Tabla 5.3. El mejor modelo fue un ARMA (1,0)-EGARCH (1,1) para los EUA y el gas, mientras que para el Brent el modelo más adecuado es un ARMA (0,0)-EGARCH (1,1). Para todas las series de rentabilidades, la volatilidad fue muy persistente y el efecto apalancamiento fue significativo solamente en los EUA y el petróleo, lo que implica que las noticias en los mercados de EUA y del petróleo tienen un impacto asimétrico en la volatilidad: las malas noticias o rendimientos negativos causan mayor volatilidad en los períodos subsiguientes que rentabilidades positivas o buenas noticias. Este efecto asimétrico no se ha encontrado en el mercado del gas. La evidencia que se obtuvo de la dinámica de los precios de EUA y combustibles fósiles es coherente con anteriores resultados empíricos (véase, por ejemplo, Mohammadi y Su, 2010; Pinho y Madaleno, 2011; Reboredo, 2011, 2012b). Finalmente, los valores estimados para los grados de libertad de la distribución t de Student avalan la no normalidad, evidencia que es consistente con los estadísticos descriptivos que se muestran en la Tabla 5.2. Las últimas filas de la Tabla 5.3 también muestran que ni los efectos de autocorrelación ni efectos ARCH se mantuvieron en los residuos. También se ha analizado la bondad de ajuste de los modelos marginales. Con esta finalidad, se aplicó la propuesta formulada por Diebold et al. (1998): cuando las distribuciones marginales se han especificado correctamente, entonces los residuos estandarizados deben ser i.i.d. Uniformes (0,1), lo cual se contraste en dos pasos. En primer lugar se contrasta la hipótesis de i.i.d. mediante el análisis de la correlación serial de residuos obtenidos para cada serie, ut, k t (u u) tomando h retardos y considerando valores para k 1,2,3,4 . El estadístico de LM, se define como (T h) R2, en donde R2 es el coeficiente de determinación de la regresión
Capítulo 5. Riesgo a la baja en el mercado de CO2 de la UE y los mercados de combustibles fósiles. 103 que se distribuye como 2(h) bajo la hipótesis nula de independencia de la serie. Los resultados de esta prueba, se presentan en la Tabla 5.4, indicó que la hipótesis i.i.d. no puede ser rechazada al nivel del 5%. Table 5.3: Distribuciones marginales de los EUA, Brent y Gas. EUA Brent Gas Media 0 -0,0006 (-1,32) 0,0006 (1,41) -0,0008 (-1,27) 1 0,0784 (2,82)* -0,0988 (-3,39)* Varianza -0,3247 (-4,71)* -0,1386 (-3,50)* -0,2628 (-3,06)* 1 0,1917 (5,58)* 0,0996 (3,87)* 0,1121 (3,86)* 1 0,9765 (130,94)* 0,9921 (264,01)* 0,9759 (94,32)* -0,0821 (-4,32)* -0,0468 (-3,06)* -0,0290 (-1,60) Tail 6,4591 (5,95)* 7,3937 (5,04)* 9,4395 (6,06)* Log-Likelihood 3013,03 3103,93 2778,89 Q(20) 23,07 [0,285] 14,14 [0,823] 24,361 [0,227] ARCH(10) 0,51 [0,961] 0,77 [0,752] 0,53 [0,954] Nota. Esta tabla presenta las estimaciones de ML y estadístico z (entre paréntesis) para los parámetros de los modelos de distribución marginales definidos en las ecuaciones. (5,4) -(5,6). Los retardos p, q, r y m se seleccionaron mediante AIC para diferentes combinaciones de valores que van de 0 a 2. Q(20) es el estadístico de Ljung-Box para correlación serial en los residuos del modelo calculados con 20 retardos. ARCH (20) es la prueba LM de Engel’s para el efecto ARCH en los residuos hasta el orden 10. Valores de P (entre paréntesis cuadrados) por debajo de 0,05 indican un rechazo de la hipótesis nula. Un asterisco (*) indica significación al nivel de 5%. En segundo lugar, hemos contrastado la hipótesis nula de que los residuos estandarizados son uniformes (0,1) para los tres modelos mediante la comparación de la distribución empírica y la función de distribución teórica
Capítulo 5. Riesgo a la baja en el mercado de CO2 de la UE y los mercados de combustibles fósiles. 104 utilizando los tests de Kolmogorov-Smirnov, Cramer-von Mises y de AndersonDarling. La parte inferior de la Tabla 5.4 muestra los p valores para estas pruebas: al nivel de significación del 5% la hipótesis nula de especificación correcta de la función de distribución no puede ser rechazada para cualquiera de los modelos GARCH. Por lo tanto, las pruebas de bondad de ajuste indican que los modelos GARCH no estaban mal especificados. Table 5.4: Bondad de ajuste para los modelos marginales. EUA Brent Gas Primer momento 0,8334 0,8505 0,3798 Segundo momento 0,2887 0,8528 0,3570 Tercer momento 0,3893 0,4567 0,3221 Cuarto momento 0,1342 0,8214 0,4874 K-S test 0,7851 0,9717 0,5942 C-vM test 0,8362 0,9624 0,6184 A-D test 0,8131 0,8732 0,5691 Nota. Esta tabla muestra los p valores para el estadístico LM para la hipótesis nula de no correlación serial de los cuatro primeros momentos de los residuos estandarizados de los modelos marginales ARMA-t-EGARCH que se presentan en la Tabla 5.4. Valores de p inferiores a 0,05 indican el rechazo de la hipótesis nula que el modelo está correctamente especificado. También se muestran los valores de p para las pruebas de Kolmogorov-Smirnov (KS), Cramer-von Mises (C-VM) y AndersonDarling (DC) para la adecuación del modelo de distribución. 5.5.2 Resultados de la EVT A partir de los residuos estandarizados del modelo ARMA-t-EGARCH estimado anteriormente, se obtuvieron los excesos medios utilizando el modelo POT para las series de rentabilidades de los EUA, Brent y gas. Después, se estimaron los parámetros ξ y β de la GPD. Elegimos el umbral u utilizando la forma lineal (con pendiente positiva) del gráfico que establece una relación lineal entre el parámetro estimado y el exceso (ver figuras 5.3a, 5.4a y 5.5a). La elección del umbral u determina el número de observaciones y la información a considerar: aumentando el número de observaciones para la serie de máximos (un umbral más bajo) y algunas observaciones del centro de la distribución son consideradas en la estimación siendo así el índice de la cola más preciso pero
Capítulo 5. Riesgo a la baja en el mercado de CO2 de la UE y los mercados de combustibles fósiles. 105 sesgado. Por el contrario, la elección de un umbral u elevado reduce el sesgo pero hace que el estimador sea más volátil. Las figuras 5.3-5.5 muestran los resultados de nuestras estimaciones para las tres series de retornos. Figure 5.3: Resultados del modelo POT para los EUA. A. Función de exceso de media B. Excesos de distribución C. Ajuste de la GPD y parámetro según u D. QQ plot para los EUA -2 0 2 4 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 Threshold Mean Excess 2 4 6 8 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u) 2 4 6 8 0.0001 0.0005 0.0050 0.0500 x (on log scale) 1-F(x) (on log scale) 500 449 399 349 299 249 198 148 98 48 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.209 0.352 0.547 0.774 1.020 1.370 Exceedances Shape (xi) (CI, p = 0.95) Threshold 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 Ordered Data Exponential Quantiles
Capítulo 5. Riesgo a la baja en el mercado de CO2 de la UE y los mercados de combustibles fósiles. 112 cola. Las estimaciones de los parámetros de dependencia para la cópula Clayton (α) y la Gumbel (δ) fueron significativos y reflejan la dependencia positiva entre los pares EUA-Brent y Brent-Gas, mientras que en EUA-Gas los parámetros estimados indican la falta de dependencia. La estimación de los parámetros para la cópula BB7 indicó que todos eran significativos, proporcionando evidencia de la dependencia de cola asimétrica. Por último, las estimaciones para la cópula Gaussiana con parámetro cambiante en el tiempo reportaron cierta evidencia de dependencia variable en el tiempo para los pares EUA-Brent y Brent-Gas y evidencian la no dependencia de EUA-Gas. En la comparación de las diferentes estructuras de dependencia, el AIC y el estadístico Genest et al. (2009) indicó que la cópula Gaussiana era el mejor modelo para EUA-Brent, la cópula Gaussiana también fue el mejor modelo de rendimiento para EUA-Gas de acuerdo al AIC a pesar de que la cópula BB7 ha ofrecido mejores resultados de acuerdo al estadístico Genest et al. Para el par Brent-Gas, la cópula Gaussiana también ofreció el mejor resultado, pero con parámetros variables en el tiempo de acuerdo con el AIC. En base a este análisis se pueden extraer dos conclusiones: (a) la dependencia entre los EUA y los combustibles fósiles es débil, principalmente para el gas (la dependencia es mayor entre los combustibles fósiles), y (b) no existe una dependencia extrema de los mercados de EUA y de los combustibles fósiles, siendo la cópula Gaussiana el modelo más apropiado para capturar la relación de dependencia. 5.5.4 Resultados para el VaR y ES En la investigación sobre los mercados financieros, es común analizar la situación de riesgo en general sin tener en cuenta el riesgo de eventos extremos. Los eventos extremos representan grandes pérdidas para los inversores. Por lo tanto, el uso de EVT en la gestión del riesgo de mercado es de gran importancia práctica. En particular, la comparación de los resultados del VaR y ES para el modelo ARMA-t-EGARCH y el modelo EVT tiene interés práctico para los gestores de riesgos, ya que pueden revelar qué método es mejor para describir el riesgo de mercado. La Tabla 5.7 reporta los resultados del VaR y ES (ver ecuaciones 5.7 y 5.8) que surgen del modelo ARMA-t-EGARCH. Del mismo modo, a partir de las ecuaciones 5.15 y 5.16 se obtuvo el VaR y ES para el umbral establecido en cada uno de los tres mercados que utilizan EVT. Los resultados presentados en las Tablas 5.7 y 5.8 indican que las estimaciones del
Capítulo 5. Riesgo a la baja en el mercado de CO2 de la UE y los mercados de combustibles fósiles. 113 VaR y ES basado en los residuales estandarizados del modelo ARMA-tEGARCH son bastante cercanos a las estimaciones basadas en GPD para p=0.95, mientras que para p=0.99, el VaR y ES basado en el modelo ARMA-tEGARCH son un poco más pequeños que los valores basados en la GPD. Table 5.6: Estimación de modelos cópulas. EUA-Brent EUA-Gas Brent-Gas Gaussian copula 0,119 (0,028)* -0,004 (0,001)* 0,170 (0,027)* AIC Genest -15,83 0,0414 1,97 0,0604 -34,13 0,0601 - Student-t copula 0,122 (0,028)* -0,005 (0,001)* 0,171 (0,028)* 500 (136,36)* 500 (1,43)* 76,426 (21,26)* AIC Genest -13,66 0,0415 4,00 0,0606 -32,37 0,0605 Clayton copula 0,115 (0,034)* 0,001 (0,046)* 0,178 (0,037)* AIC Genest -11,38 0,0604 2,00 0,0590 -26,40 0,0872 Gumbel copula 1,058 (0,019)* 1,001 (0,032)* 1,098 (0,021)* AIC Genest -7,11 0,0653 2,00 0,0591 -28,33 0,0748 BB7 copula 1,015 (0,031)* 1,001 (0,040)* 1,061 (0,032)* 0,108 (0,038)* 0,001 (0,093) 0,145 (0,040)* AIC Genest -9,63 0,0536 4,15 0,0587 -28,92 0,0666 TVP Gaussian 0 0,379 (0,119)* -0,012 (0,087) 0,613 (0,117)* 2 0,402 (0,250) 0,119 (0,239) 0,684 (0,127)* 1 -1,541 (0,588)* -1,144 (1,445) -2,068 (0,020)* AIC Genest -14,36 0,0630 5,75 0,0623 -46,36 0,1859 Nota. La tabla muestra las estimaciones de ML para los diferentes modelos cópula utilizando precios diarios de los EUA, petróleo Brent y el gas para el período del 2 enero de 2008 al 31 octubre de 2012. Se proporcionan el error estándar (entre paréntesis), el AIC ajustado para el sesgo de muestra pequeña y el estadístico Genest et al. (2009). El valor mínimo del AIC y del estadístico Genest indica el mejor ajuste cópula y se indica en negrita. TVP denota parámetro cambiante en el tiempo para la cópula Gausiana, q como en la nota de la Tabla 1 se fija en 10. Un asterisco (*) indica significación al nivel de 5%.
Capítulo 5. Riesgo a la baja en el mercado de CO2 de la UE y los mercados de combustibles fósiles. 114 Por lo tanto, comparativamente el procedimiento habitual tiende a sobreestimar el VaR al nivel de confianza del 95% y 97% y subestimar el VaR a un nivel de confianza del 99%. Además, los resultados de las Tablas 5.7 y 5.8 confirman que el mercado de carbono tiene más riesgos a la baja que los mercados de petróleo crudo pero menos que el mercado del gas natural. Table 5.7: Resultados para VaR y ES utilizando el modelo ARMA-t-EGARCH. EUA Brent Gas VaR95% 1,6431 1,6307 1,6871 ES95% 2,0613 2,04 86 2,1104 VaR97% 1,8792 1,8667 1,9261 ES97% 2,2667 2,254 2,3184 VaR99% 2,3251 2,3123 2,3775 ES99% 2,6642 2,6512 2,7206 Nota. La tabla reporta información del VaR y del ES para los residuos estandarizados del modelo ARMAt-EGARCH para los niveles de confianza del 95%, 97% y 99%. El VaR está dado por la ecuación (5.7) y el ES por la ecuación (5.8). Table 5.8: Resultados para el VaR y ES utilizando la EVT. EUA Brent Gas VaR95% 1,5231 1,5270 1,5989 ES95% 2,2190 2,0606 2,2807 VaR97% 1,8258 1,7896 1,9158 ES97% 2,5922 2,3366 2,6396 VaR99% 2,5847 2,3769 2,6650 ES99% 3,5282 2,9539 3,4881 Nota. La tabla reporta información del VaR y del ES basado en la EVT al 95%, 97% y 99% de nivel de confianza. El VaR está dado por la ecuación 5.15 y ES por la (5.16). La figura 5.8a muestra que las estimaciones del VaR y del ES para los EUA son 2,58 y 3,52, respectivamente, a un nivel de confianza de 99% y un umbral de 1, como se indica mediante la línea vertical. La línea punteada indica el nivel de confianza del 95% y las curvas representan el intervalo de confianza. El significado económico de este resultado es que la probabilidad de que una pérdida debido a cambios en el precio del carbono no excederá de 2,58% y las pérdidas esperadas fue de 3,52% al 1%. Resultados similares se muestran en las
Capítulo 5. Riesgo a la baja en el mercado de CO2 de la UE y los mercados de combustibles fósiles. 115 figuras 5.8b y 5.8c para el Brent y el gas a un nivel de confianza del 99%. Los retornos diarios de Brent podrían ser tan bajos como -1,527% y el valor esperado de pérdidas serían -2,06% al 5%. De manera similar, con 1% de probabilidad la rentabilidad diaria de Brent podría ser tan baja como el -2,37% con pérdidas previstas de -2,95%. Figure 5.8: Estimación e Intervalo de confianza para VaR y ES basado en EVT al 99%. Panel A: VaR y ES basado en EVT para EUA Panel B: VaR y ES basado en EVT para Brent 2 4 6 8 0.0001 0.0005 0.0050 0.0500 x (on log scale) 1-F(x) (on log scale) 99 95 99 95 1 2 3 4 5 6 7 0.0001 0.0010 0.0100 0.1000 x (on log scale) 1-F(x) (on log scale) 99 95 99 95
Capítulo 5. Riesgo a la baja en el mercado de CO2 de la UE y los mercados de combustibles fósiles. 116 Panel C: VaR y ES basado en EVT para Gas Los intervalos de confianza calculados utilizando el método delta se pueden visualizar en una gráfica conjuntamente con la estimación de la cola. El resumen de los resultados para los tres mercados se muestra en la Tabla 5.9. La sensibilidad de las estimaciones de VaR a los cambios en el valor de umbral u pueden ser investigados. La Figura 5.9 muestra esa sensibilidad para los tres mercados, indicando que las estimaciones de VaR al 99% son estables para los EUA cuando se considera un valor umbral u <1,28, considerando un valor umbral u <1,10 para el Brent y considerando un valor umbral u <0,95 para el gas. En general, las estimaciones de VaR son bastante estables para una amplia gama de umbrales. Table 5.9: Resultados de intervalos de confianza de VaR y ES basado en EVT para 95%, 99%. EUA Brent Gas Upper CI Lower CI Upper CI Lower CI Upper CI Lower CI VaR95% 1,6273 1,4390 1,6194 1,4481 1,7126 1,4997 ES95% 2,5841 2,0104 2,2795 1,9113 2,5864 2,0839 VaR99% 3,0005 2,3208 2,6610 2,1838 3,0500 2,4080 ES99% 4,8381 2,9850 3,6261 2,6288 4,4039 3,0206 Nota. La tabla representa los resultados de los intervalos de confianza (superior e inferior) para el VaR y el ES basado en la EVT al nivel de confianza del 95% y 99%. 1 5 10 0.00001 0.00010 0.00100 0.01000 0.10000 x (on log scale) 1-F(x) (on log scale) 99 95 99 95
Capítulo 5. Riesgo a la baja en el mercado de CO2 de la UE y los mercados de combustibles fósiles. 117 Figure 5.9: Sensibilidad de la estimación VaR 99% a los cambios en el umbral u Panel A: EUA VaR.99% frente a u Panel B: Brent VaR.99% frente a u Panel C: Gas VaR.99% versus u Asimismo, se obtuvieron las estimaciones del VaR y del ES teniendo en cuenta la estructura de dependencia entre los EUA y los mercados de 500 466 433 399 366 332 299 265 232 198 165 132 98 65 31 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 0.209 0.308 0.412 0.505 0.644 0.774 0.902 1.090 1.280 1.660 Exceedances 0.99 Quantile (CI, p = 0.95) Threshold 500 466 433 399 366 332 299 265 232 198 165 132 98 65 31 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 0.212 0.337 0.420 0.522 0.610 0.748 0.923 1.100 1.270 1.630 Exceedances 0.99 Quantile (CI, p = 0.95) Threshold 500 466 433 399 366 332 299 265 232 198 165 132 98 65 31 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 0.239 0.338 0.441 0.569 0.682 0.828 0.952 1.090 1.300 1.750 Exceedances 0.99 Quantile (CI, p = 0.95) Threshold
Capítulo 5. Riesgo a la baja en el mercado de CO2 de la UE y los mercados de combustibles fósiles. 118 combustibles fósiles dada por la cópula. Es decir, se consideró las carteras de EUA-Brent y EUA-Gas como crucialmente relevantes para los inversores de los combustibles fósiles y para la gestión del riesgo financiero inducido por los movimientos de precios de los combustibles fósiles. Atendiendo a los objetivos de los inversores, podemos considerar diferentes tipos de carteras que se pueden comparar en términos de riesgo a la baja frente a una cartera simple (denominada Cartera I) compuesta sólo de petróleo o gas. Las carteras de EUAcombustibles fósiles que se consideran son: (a) Cartera II dada por la ecuación (5.17), (b) Cartera III dada por la ecuación (5.18) y (c) Cartera IV que es una cartera igualmente ponderada. Para cada una de las carteras se obtuvieron las medidas de riesgo a la baja utilizando el mejor modelo de cópula para los pares de EUA-Brent y EUA-Gas realizando simulaciones de Monte Carlo de la siguiente forma: (1) para cada par y en el tiempo t se simularon dos innovaciones partiendo de la mejor función cópula; (2) estos valores fueron transformados en residuos tipificados invirtiendo la función de distribución acumulada marginal para cada par, y (3) con los residuos tipificados simulados, se calculó los retornos de EUA y de Brent/Gas de los modelos marginales estimados y, para los pesos de cartera dadas, se calcula los retornos de la cartera por la ecuación (5.1). Este proceso se ha repetido 1000 veces para t = 1,..., T. Así, se obtuvo una distribución para las rentabilidades de las carteras y el VaR se obtuvo como el valor del percentil correspondiente para esta distribución y el ES se calculó como el valor medio para las situaciones en que los retornos de la cartera superaron el VaR. Se compararon los resultados del riesgo de estas carteras que toma información de las distribuciones marginales y de la estructura de dependencia de tres maneras: (1) al comprobar la precisión del VaR para cada cartera mediante la prueba de razón de verosimilitud de la cobertura condicional correcta propuesto por Christoffersen (1998), (2) mediante la evaluación de las reducciones de VaR y ES en comparación a la Cartera I compuesta sólo por combustible fósil, y (3) mediante la evaluación de la siguiente función de pérdida del inversor para el VaR basado (véase Reboredo et al, 2012): l tt 2 t t t r VaR (p) E r VaR (p) 1 , (5.26)
Capítulo 5. Riesgo a la baja en el mercado de CO2 de la UE y los mercados de combustibles fósiles. 119 donde 1 es la función indicador habitual y donde el término cuadrático penaliza a las grandes desviaciones más que las pequeñas. Dado el diferencial de pérdida, 1 t t t zll , se prueba la hipótesis nula de un diferencial de pérdida media cero contra la alternativa de un diferencial pérdida media negativo mediante el empleo de la prueba de los signos de un solo lado definida como sigue: t 0.5 T z0 t1 S 1 0.5T 0.25T . Esta prueba se distribuye asintóticamente como una normal estándar y la hipótesis nula puede ser rechazada cuando S <-1,645. Los resultados de la evaluación de riesgo para un nivel de confianza del 99% se muestran en la Tabla 5.10. La prueba de cobertura condicional indicó que las cuatro carteras muestran buenos resultados en términos del VaR, ya que la hipótesis nula de cobertura condicional correcta no se rechaza al nivel de significación del 5%, excepto para la cartera I que incluye sólo el gas. Al examinar el efecto sobre la reducción de VaR incluyendo los EUA en una cartera de petróleo o de gas, se encontró evidencia de reducción en el valor del riesgo promedio de la cartera de pesos óptimos y de la cartera igualmente ponderada de alrededor del 1,5% en comparación con la cartera I de petróleo crudo o de gas. Por lo tanto, la pérdida máxima esperada de la cartera se redujo para las carteras de combustibles fósiles. El ES para las carteras II y IV también se redujo. Sin embargo, para la cartera III, la cartera de coberturas, la reducción del valor en riesgo tuvo menos tamaño que para las restantes carteras, mientras que el tamaño de la reducción de ES fue mayor. Por último, la evidencia proporcionada por la prueba de los signos de un solo lado indicó que las carteras II-IV superaron a las carteras de combustibles fósiles. Estos resultados confirman la utilidad de incluir los EUA en carteras de combustibles fósiles con fines de gestión de riesgos. Para obtener una visión más clara del efecto de los EUA en el riesgo de la cartera, se evaluó la eficacia de la reducción del riesgo de las carteras compuestas por los EUA y los combustibles fósiles mediante la comparación del porcentaje de reducción de varianza de las carteras II-IV frente a la cartera I como: Portfolio j variance Portfolio I Variance RE 1 Variance , (5.27)
Capítulo 5. Riesgo a la baja en el mercado de CO2 de la UE y los mercados de combustibles fósiles. 120 Table 5.10: Evaluación de riesgo en carteras de combustibles fósiles y carteras compuestas por los EUA y combustible fósiles. Cartera I Cartera II Cartera III Cartera IV Brent Cond. Cov. 0,719 0,831 0,875 0,057 VaR Reduc. 0,015 0,006 0,010 ES -0,015 -0,006 -0,016 -0,006 Sign Test -34,98 -34,70 -35,04 Gas Cond. Cov. 0,021 0,127 0,121 0,240 VaR Reduc. 0,021 0,002 0,020 ES -0,025 -0,014 -0,026 -0,009 Sign Test -34,81 -34,92 -34,92 Nota. Esta tabla muestra los resultados para las ganancias de riesgos a la baja para carteras de combustibles fósiles-y-los EUA en comparación con una cartera compuesta sólo por combustibles fósiles (cartera I). Cartera de pesos II están dadas por la ecuación (5.17), la cartera III tiene ponderaciones dadas por la ecuación (5.18) y la cartera IV tiene el mismo peso para todos los activos. Cond. Cov. indica los valores de p para la prueba de cobertura condicional. VaR Reduc. es la reducción del VaR de la cartera con respecto a la cartera I (valores positivos indican reducción de VaR). ES la pérdida esperada condicionada a que la pérdida es mayor que el VaR. Sign Test es la prueba de los signos de un solo lado de las diferencias en la función de pérdida para las carteras II, III y IV, en comparación con la cartera I. donde j = II, III, IV y variancePortfolio j y variancePortfolio I son las varianzas en los rendimientos de la cartera j y la cartera I, respectivamente. Una ratio de reducción efectiva del riesgo más alta significa una mayor reducción de la varianza. La Tabla 5.11 presenta los resultados de eficacia de reducción del riesgo de las carteras II, III y IV para los diferentes combustibles fósiles. Los resultados indican la eficacia de la reducción del riesgo afectó, principalmente para las carteras II y IV, mientras que la reducción fue menor para cartera III. Estos resultados ponen de manifiesto la utilidad de la EUA en la reducción del riesgo en las carteras de los combustibles fósiles.
Capítulo 5. Riesgo a la baja en el mercado de CO2 de la UE y los mercados de combustibles fósiles. 121 Table 5.11: Eficacia de reducción del riesgo de carteras de los EUA. Brent Gas Cartera II 0.346 0.485 Cartera III 0.018 0.001 Cartera IV 0.254 0.470 Notas. Esta tabla muestra los resultados de eficacia de reducción de riesgo para las carteras que contienen EUA y combustible fósiles en comparación con una cartera que incluye únicamente combustibles fósiles, calculado de acuerdo con la relación de efectividad de riesgo dada en la ecuación. (5.27). Cartera de pesos II están dadas por la ecuación (5.17), la cartera de pesos III están dadas por la ecuación (5.18) y Cartera IV tiene pesos idénticos. 5.6 Conclusiones Desde la creación del mercado europeo del carbono, los derechos de emisión se han convertido en un activo negociable que ha ido ganando atractivo para los inversores en activos energéticos. Aunque varios artículos han investigado los factores determinantes de los precios del carbono y su relación con los precios de la energía, en particular los mercados de petróleo y el gas, ningún estudio había examinado hasta ahora las implicaciones de los vínculos entre el carbono y los mercados de combustibles fósiles para la gestión de riesgos a través de medidas de riesgo a la baja como VaR y el ES teniendo en cuenta la estructura de dependencia entre los mercados usando cópulas. En este capítulo se ha caracterizado la volatilidad y la exposición al riesgo en los mercados de EUA, el petróleo crudo y gas natural utilizando modelos GARCH y EVT con el fin de obtener el VaR tradicional y el ES, medidas tradicionales que permiten cuantificar el riesgo de caídas en el mercado. Nuestra evidencia empírica, basada en datos diarios para el período comprendido entre enero de 1998 a octubre de 2012, indicó que los procedimientos tradicionales de evaluación del riesgo puede dar lugar a una infravaloración del riesgo a la baja, mientras que EVT proporciona una medida más exacta de esos riesgos. Asimismo, los resultados empíricos indican que el mercado de carbono tiene más riesgos a la baja que los mercados de crudo, pero menos que el mercado de gas natural. Al examinar la estructura de dependencia entre los EUA y los
Capítulo 6. Paridad cubierta de interés: Un análisis con valores extremos y cópulas. 128 donde i x es el bloque máximo (o menos el máximo). La maximización de (6.3) está sujeta a 0 y 1 ( )/ 0 i x . 6.2.2 Cópulas La teoría de las cópulas se remonta a Sklar (1959), quien demostró la existencia de una función multivariante C, denominada cópula, tal que para una función de distribución conjunta G para las variables aleatorias X e Y con distribuciones marginales X F y Y F , tenemos que C y G están relacionadas por: ( , ) ( ( ), ( )) XY G x y C F x F y . (6.4) El recíproco del teorema de Sklar es muy útil en la modelización de las distribuciones multivariantes, ya que implica que si se combinan dos distribuciones marginales diferentes con cualquier cópula C habremos definido una distribución bivariada válida. Sea G una función de distribución conjunta con distribuciones marginales continuas X F y Y F y una cópula C que satisface el teorema de Sklar, luego para 0,1u y 0,1v se tiene que: 11 ( , ) ( ( ), ( )) XY C u v G F u F v , (6.5) donde ()X u F x y ()Y v F y son distribuciones de X y Y . Se obtienen cópulas de valor extremo mediante la adopción de la estructura de dependencia para el máximo multivariado. La distribución extrema bivariada G se puede obtener a través de una cópula de valor extremo C0 como: 0 1 1 1 2 2 2 ( , ) ( ( ; , , ), ( ; , , )) xy G x y C H x H y , (6.6) donde j , j y j para j=1, 2 son los parámetros de la GEV y h H para h=x, y son las distribuciones GEV marginales. La copula 0 C de H existe y se verifica que: 00 ( , ) ( , ) 0 t t t C u v C u v t . (6.7) Pickands (1975) mostró que una cópula bivariante es una cópula de valor extremo si y sólo si se cumple que: 0( , ) ( ( ) , ( ) ) exp ln( ) (ln /ln( )) xy C u v P H x u H y v uv A v uv , (6.8) donde A se denomina la función de dependencia, que se define por:
Capítulo 6. Paridad cubierta de interés: Un análisis con valores extremos y cópulas. 129 1 0 ( ) max((1 ) , (1 )) ( )A t x t x t dH x , (6.9) que para una medida H en 0,1 satisface: max( ,1 ) ( ) 1,0 1t t A t t . La cópula es una cópula independiente cuando ( ) 1At para cualquier t, mientras que para ( ) max ,1A t t t la cópula representa la relación de dependencia perfecta. La dependencia de cola, que mide la probabilidad de que dos variables estén en las colas conjuntas superiores e inferiores de su distribución bivariada, es proporcionada por la cópula. Asumiendo una distribución GEV, la dependencia de la cola superior e inferior se puede medir como: 11 0 11 lim ( ( ) ( )) lim 1 2 ( , ) /(1 ) u x y pp P X H p Y H p p C p p p , (6.10) 110 00 lim ( ( ) ( )) lim ( , )/ l x y pp P X H p Y H p C p p p , (6.11) donde 1 x H y 1 y H son las funciones quantiles marginales y u y l son las medidas de dependencia en la parte superior (derecha) e inferior(izquierda) de la distribución, respectivamente. Las colas superiores son asintóticamente dependientes cuando (0,1] u , mientras que para 0 u se dice que son asintóticamente independientes (de manera similar para las colas inferiores). La relación entre la dependencia de cola superior y la función de dependencia ()At está dada por 2 2 (1/ 2) uA . Se han utilizado tres cópulas de valores extremos: Gumbel, Galambos y HuslerReiss, que satisfacen (6.7). La cópula Gumbel está dada por: 1/ ( , , ) exp( [( ln ) ( ln ) ] ) C u v u v , [1, ) , (6.12) donde es el parámetro de dependencia. Esta cópula muestra una dependencia fuerte de cola derecha y cero dependencia de cola izquierda. La cópula Galambos está dada por: 1/ ( , , ) exp([( ln ) ( ln ) ] ) C u v uv u v , [0, ) , (6.13) y la cópula HuslerReiss es definida por: 1 1 1 1 ( , , ) exp ln ln 22 uv C u v u v vu , [0, ) ,(6.14)
Capítulo 6. Paridad cubierta de interés: Un análisis con valores extremos y cópulas. 130 donde ln ,uu lnvv y es la distribución normal estándar. La función de dependencia, ()At , para cada una de estas cópulas está dada, respectivamente, por: 1 ( ) 1 A t t t , (6.15) 1 ( ) 1 1 A t t t , (6.16) 11 11 ( ) ln 1 ln 2 1 2 1 tt A t t t tt . (6.17) Los parámetros cópulas fueron estimados utilizando el procedimiento en dos etapas denominado inferencia para las marginales (Joe y Xu, 1996): (a) se estiman primeramente los parámetros para los marginales y (b) se estiman los parámetros cópula mediante la maximización de la verosimilitud logarítmica de la función cópula: 1 ˆˆˆ argmax ln( ( ; ); )) m ii i c u v , (6.18) donde ˆ ˆ() i X i u H x y ˆ ˆ() i Y i v H y representan los valores estimados de las dos marginales. 6.3 Datos En el análisis se utiliza información sobre las tasas de cambio spot y a plazos de dos monedas, el dólar americano y la libra esterlina, con vencimientos de 1, 3, 6 y 12 meses. Estos datos fueron descargados de la página web del Banco de Inglaterra (http://www.bankofengland.co.uk). Los datos de tipos de interés para plazos de 1, 3, 6 y 12 meses para Estados Unidos e Inglaterra fueron descargados de la página web del Banco de la Reserva Federal de Saint Louis (http://www.frbstlouis.com). Para estudiar la dependencia extrema entre USD GBP t,t s t,t s rr y t,t s t fs , se consideraron los valores diarios de máximos y mínimos de estas variables en bloques semanales, denotado por ir R y ir R para el máximo y el mínimo del diferencial de tasas de interés, respectivamente, y ex R y ex R para el máximo y el mínimo de la prima forward, respectivamente. Por lo tanto, tenemos cuatro series para cada vencimiento. La figura 6.1 muestra la dinámica temporal de rendimientos de diferenciales de tipo de cambio y diferenciales de tasas de interés para plazos de
Capítulo 6. Paridad cubierta de interés: Un análisis con valores extremos y cópulas. 131 1, 3, 6 y 12 meses, respectivamente durante el período de muestreo. Hay una tendencia bastante consistente con los movimientos al alza y a la baja, sobre todo para los vencimientos largos. Los coeficientes de correlación asociados al diferencial de tasas de interés y prima forward son altos y cercanos a la unidad, apoyando así la fuerte dependencia sugerida por la CIP. Sin embargo, podemos observar algunos subperíodos de fuertes turbulencias en el mercado de divisas y en los tipos de interés, principalmente a finales de 2007 y el período 2008-2009, con fuertes aumentos y disminuciones en las tasas de interés. Se observó un comportamiento más estable para los vencimientos a plazo de 6 y 12 meses y las pequeñas desviaciones observadas podrían atribuirse a los costes de transacción en esos mercados. Figure 6.1: Diferenciales de tipos de interés y prima forward para vencimientos de 1, 3, 6 y 12 meses. -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 Ex_1month IR_1month -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 Ex_3month IR_3month
Capítulo 6. Paridad cubierta de interés: Un análisis con valores extremos y cópulas. 132 6.4. Resultados empíricos 6.4.1 Resultados para la distribución GEV Las estimaciones de los parámetros para el modelo GEV se reportan en la Tabla 6.1. Para todos los plazos, las estimaciones de la desviación estándar son relativamente bajos, por lo que la elección de bloque es adecuado para la estimación de parámetros. Las estimaciones para el parámetro de forma, , fueron menos que cero, indicando así que la GEV corresponden al tipo III o bien distribución de Weibull. El análisis residual confirmó que el GEV se ajusta bien a los datos, por lo que se puede obtener las variables estimadas ˆ u y ˆ v con el fin de capturar la dependencia a través de la cópula. -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 Ex_6month IR_6month -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 Ex_12month IR_12month
Capítulo 6. Paridad cubierta de interés: Un análisis con valores extremos y cópulas. 133 Table 6.1: Parámetros estimados para los modelos distribución GEV. Log-lik. ,1 ex R 0,0004 [0,000] 0,0008 [0,000] 0,0165 [0,001] -3456,382 ,1 ex R -0,0012 [0,000] 0,0010 [0,000] -0,0192 [0,017] -3358,006 ,1 ir R 0,0064 [0,000] 0,0098 [0,000] -0,0938 [0,061] -1940,287 ,1 ir R -0,0012 [0,000] 0,0122 [0,000] -0,5610 [0,008] -1972,229 ,3 ex R 0,0012 [0,0001] 0,0024 [0,000] -0,0008 [0,046] -2786,060 ,3 ex R -0,0037 [0,000] 0,0030 [0,000] -0,0892 [0,015] -2702,640 ,3 ir R 0,0068 [0,0005] 0,0099 [0,0003] -0,1265 [0,055] -1942,187 ,3 ir R -0,0135 [0,000] 0,0123 [0,000] -0,5586 [0,011] -1968,945 ,6 ex R 0,0024 [0,0002] 0,0048 [0,0001] -0,0049 [0,051] -2358,880 ,6 ex R -0,4717 [0,000] 0,0080 [0,000] -0,4717 [0,000] -2296,570 ,6 ir R 0,0068 [0,0005] 0,0099 [0,0003] -0,1285 [0,0540] -1946,750 ,6 ir R -0,5494 [0,000] 0,0121 [0,000] -0,5494 [0,011] -1973,380 ,12 ex R 0,0047 [0,0004] 0,0091 [0,0003] -0,0176 [0,051] -1957,460 ,12 ex R -0,0115 [0,000] 0,0120 [0,000] -0,5360 [0,004] -1980,440 ,12 ir R 0,0069 [0,0004] 0,0098 [0,0003] -0,1516 [0,052] -1957,390 ,12 ir R -0,0131 [0,000] 0,0119 [0,000] -0,5513 [0,012] -1985,840 Notas. Este tabla presenta las estimaciones de ML y desviación estándar [entre corchetes] para los parámetros de la distribución marginal GEV dada por la ecuación (6.2). , y son los parámetros de ubicación, escala y forma, respectivamente. Log-lik. denota el valor de la verosimilitud.
Capítulo 6. Paridad cubierta de interés: Un análisis con valores extremos y cópulas. 134 6.4.2 Resultados para los modelos cópulas Antes de presentar los parámetros estimados para las cópulas paramétricas de valores extremos, se proporciona en primer lugar la estimación de la densidad cópula no-paramétrica del diferencial de tipos de interés y tipos a plazos para los diferentes vencimientos. La Figura 6.2 muestra la densidad cópula no paramétrica para ex ir RR y ex ir RR para todos los plazos, mostrando evidencia gráfica de una fuerte dependencia positiva de cola asintótica entre ex R y ir R , y ex R y ir R , lo cual es coherente con la hipótesis de que la CIP se mantiene en la cola y no hay asimetrías en la CIP. Figure 6.2: Densidades empíricas no paramétricas para ex ir RR y ex ir RR considerando los vencimientos a plazo de 1, 3, 6 y 12 meses. 0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 0.4 0.6 0.8 2 4 6 x y Density ,1 ir R ,1 ex R 0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 0.4 0.6 0.8 2 4 6 8 x y Density ,1 ex R ,1 ir R
Capítulo 6. Paridad cubierta de interés: Un análisis con valores extremos y cópulas. 135 0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 0.4 0.6 0.8 2 4 6 x y Density ,3 ir R ,3 ex R 0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 0.4 0.6 0.8 2 4 6 8 x y Density ,3 ex R ,3 ir R 0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 3 4 5 6 x y Density ,6 ir R ,6 ex R 0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 0.4 0.6 0.8 2 4 6 8 x y Density ,6 ex R ,6 ir R 0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 3 4 5 x y Density ,12 ex R ,12 ir R 0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 3 4 5 x y Density ,12 ex R ,12 ir R
Capítulo 6. Paridad cubierta de interés: Un análisis con valores extremos y cópulas. 136 Los resultados de cópula paramétricas de valor extremo para todos los vencimientos se presentan en la Tabla 6.2. La evidencia empírica respalda la dependencia asintótica fuerte. Todos los parámetros de cópula fueron significativos y los valores estimados para la función de la dependencia, A(1/2), indican la dependencia asintótica es casi perfecta, dado que sus valores son alrededor de 0,5. Se observa que esta dependencia es bastante similar en las colas superiores y en las colas inferiores, lo que proporcionan evidencia a favor de la hipótesis de CIP en ambas colas. Del mismo modo, la dependencia de cola superior tomó valores coherentes con la fuerte dependencia, valores que van desde 0,81 a 0,92. Además, los resultados de la tau de Kendall y la rho de Spearman para todas las cópulas proporcionan una evidencia que apoya la fuerte dependencia positiva entre los valores extremos, con valores que van desde 0,79 hasta 0,97. Estos resultados fueron comunes para todas las series y las especificaciones cópula consideradas. Al comparar las diferentes estructuras de la dependencia, los valores del AIC indican que el modelo cópula Gumbel es el más adecuado para todas las series estudiadas. Por lo tanto, podemos concluir que la dependencia entre los valores extremos del diferencial de tipos de interés y de tipos forward es fuerte en la parte superior e inferior de sus respectivas distribuciones. Por lo tanto, la CIP se mantiene incluso bajo circunstancias extremas del mercado. Esta evidencia no concuerda con algunas investigaciones que muestran que la existencia de desviaciones persistentes en la CIP utilizando datos intradía para períodos de tiempo específicos cuando el riesgo a la baja aumenta notablemente (véase, por ejemplo, Baba y Packet, 2009). El contraste realizado muestra que esta persistencia desaparece cuando consideramos los datos de menor frecuencia, e incluso desaparece en ambos extremos de la distribución de probabilidad.
Capítulo 6. Paridad cubierta de interés: Un análisis con valores extremos y cópulas. 137 Table 6.2: Parámetros estimados para cópulas de valor extremo. Copula ,1 ,1 ex ir RR ,1 ,1 ex ir RR ,3 ,3 ex ir RR ,3 ,3 ex ir RR Gumbel 9,510 (0,312) 4,878 (0,164) 8,379 (0,274) 4,875 (0,164) u 0,924 0,833 0,913 0,840 A 0,537 0,583 0,543 0,580 tau 0,894 0,795 0,880 0,795 rho 0,983 0,940 0,979 0,94 AIC -2219,21 -1168,64 -2070,26 -1168,64 Galambos 8,830 (0,302) 4,157 (0,161) 7,693 (0,272) 4,157 (0,161) u 0,924 0,819 0,913 0,827 A 0,537 0,576 0,543 0,579 tau 0,895 0,794 0,880 0,794 rho 0,984 0,940 0,979 0,941 AIC -2214,41 -1168,52 -2066,61 -1168,52 HuslerReiss 8,223 (0,240) 4,937 (0,153) 7,731 (0,227) 4,937 (0,153) u 0,903 0,823 0,987 0,831 A 0,548 0,582 0,551 0,581 tau 0,869 0,788 0,861 0,788 rho 0,976 0,939 0,973 0,939 AIC -1998,87 -1159,97 -1919,79 -1159,97