Eine Bemerkung über quasielliptische lineare Differentialoperatoren

This is a self-archived version of an original article. This version may differ from the original in pagination and typographic details. Author(s): Title: Year: Version: Copyright: Rights: Rights url: Please cite the original version: CC BY 4.0 https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ Eine Bemerkung über quasielliptische lineare Differentialoperatoren © 1977 The Finnish Mathematical Society Published version Purmonen, Veikko Purmonen, V. (1977). Eine Bemerkung über quasielliptische lineare Differentialoperatoren. Annales Academiae Scientiarum Fennicae Series A I. Mathematica, 1977(3), 327-341. https://doi.org/10.5186/aasfm.1977.0323 1977 Annales Academire Scientiarum Fennicr Series A. I. Mathematica Volumer 3, 1977, 327-341 EINE BEMERKUNIG UBER QUASIETLIPTISCHE TINEARE D IFFERENITIAL O PERAT O REN VEIKKO T. PT,JRMONEN Neulich haben V. G. MazJa und I. V. Gel'man [5] als eine Folgerung ihrer tibrigen Resultate notwendige und hinreichende Bedingungen ftir die Abschätzung ll Ä (D) a ll' = C (ll P (D) ull'z + 2 ly oQ i @) ullr - t i - q"t ), a € Co- [Ri ], gewonnen, wobei P(D) einen quasielliptischen Operator und R(D) einen Operator, der nicht stärker als P(D) ist, sowie Qi@) Randoperatoren bezeichnen. Das Ziel dieser Note ist, einen direkten Beweis fiir dieses Ergebnis unter Benutzung der Methoden von Schechter [6], [7] geben, mit denen auch Matsuzawa 4l ein ähnliches Resultat fiir die Hinlänglichkeit in einem Spezialfall erhalten hat. l. Problemstellung 1.1. Fiir zwei Punkte !:(!r,...,!,) und 4:(qr...,q) des euklidischen Raumes R' setzen wir (y,rl):yrqr+...*!,4,, und es sei Ri:{y(R'lyr=O}, Ei:{yen'l%=0}. Im weiteren ist zweckmäBig 7:(x, t):(xr, ...;xn-tt r) und tt:(t,€):(€r,...,(n-r,O zu schreiben. Mit Hilfe der Fouriertransformationen 9* in. R'-1 und 4 in R werden fiir eine geeignete Funktion u von y die partiellen Fouriertransformierten durch bzw. (4u)(C, t) : Tcn-, I ,-i('' E)u(x, t) dx (%u)(x,0 : n, t e-fte u(x, t) itt definiert (vgl. [3], S.24), wobei no:(2n)-ot', k:1,2,... , ist. Mit C,-[fii] bezeichnen wir die Menge der Einschränkungen von Co-(R)- Funktionen auf f,|. Die Restriktion you von z(Co-[Ei] auf R'-1 wird durch (t su)(x) : v?c. 0) erklärt. 1.2. Es seien ganze Zahlen ffix>|, k:1, ...,n, festgelegt, und sei /:Dax {moll=k=n} sowie g*:Ulmr, k:1,...,n, und q:(q',qo): :(4t, ..' , Qo-t, 8n), doi:10.5186/aasfm.1977.0323 328 Vrrco T. Punrr,roNEN Eine in R\{0} definierte Funktion h:q:(4,O-h((,0 nenntman q-homogen vom Grad s(R und schreibt degoh:s, falls fiir alle t>0 h(te41 : hQe' 1, fl"o : t'hG, a : f h(q) gilt, wobei 94 : (te' (, fl.A : (tor(r, ..., f"-t(,-r, f.o geschrieben ist; analog definiert man fiir eine Funktion g:(*g(O die 4'-11o-ogenität vom Grad s(R, degog:s. Ferner setzen wir / a-r rUP (6): [2 l<-l'.J , c€r.,-', und erklären in Co-(R'-l) ein Funktional 1.1", s>0, durch l"l? : { (0'"1(4u)(01' d(, z€co-(R'-1). Die Norm des Raumes Lz(N+) wird mit ll .ll bezeichnet. 1.3. Wir betrachten einen partiellen Differentialoperator P(D): P(D*,D): ) arDe : ) arDllDl" mit konstanten Koeffizienten ao(Ci hierbei ist p ein Multiindex p:(p',ro1- :(Pr, ...,Pn-r,Po)(N" und Dp:D!'D!":Dlt...[0"-tpo" mit D:(D,, D): :(Dr, ..., Dn-L, Do), D*: -i 0l0y*. Das entsprechende Polynom hat die Gestalt pQD : p(t,0 : Z aoy, : ) ao{'(e", wobei 4e-(e'(efr:(11...(X\1ry" ist; die Ordnung des operators P(D) stimmt also mit dem Grad ord P(4) von P(4) iiberein. Wir setzen voraus: a) P(<,O ist ein q-homogenes Polynom mit degnP:p. b) P((,0 ist quasielliptisch vom bestimmten Typ K+>l: (i) es gilt PG,O+0 fiir ((,Oen\{O} oder äquivalenterweise (vgl. [3], s. 103) lp(C,0 = co«()u+l|,r, ((, 0€R,, mit einer Konstanten Co-D; (ii) fiiralle (61'-t\{0} besitztdieGleichung P(4,2):0 genau K+ Lösungen z:((e) mit positivem Imaginärteil Im((O>O. För 6€R'-1\{0} seien die verschiedenen Nullstellen des Polynoms P(e,z) mit ("(O und die zugehörigen Ordnungen mit k,(4) bezeichnet. Dann stellen wir Bedingung (§. Filr a*B gilt c,G) * hG), ((R',-\o), d. h. die Ordnung k"(O hängt nicht uon ( ab. Eine Bemerkung tiber quasielliptische lineare Differentialoperatoren 329 Man kann nun annehmen, daB mit gewissen Zahlen l=)j<^ fiir die Indexmengen I : {1, ...,1), tl+ : {1, ...,1*\, z{- : z1\21+ die Darstellung PG,A:,II (C-QG)Y" besteht (dies bedeutet keine wesentliche Beschränkung, YEl. P), S.239) und die Beziehungen Im (,(O > 0 f:ur a€A+ und Im (,(O = 0 fij;r a€Agelten. Frir das durch P*(t, O : ,!1,«-("(€))o" erklärte Polynom P*(€,O ist dann die (-Ordnung ord,P*((,O:h*...* lkx*:K+. Es sei jetzt R((,O ein q-homogenes Polynom mit degoft:p und M((,o (mit 1 als Hauptkoeffizient von () der gröBte gemeinsame Teiler der Polynome P*(€,O und R((,0. Wirschreiben P'*G,0: P*(€,)|MG,C) und stellen Bedingung (B). Der Grad uon P'a(40 in ( ist positiu und bleibt konstant ,fzr ((R'-'\{0}. Demzufolge können wir voraussetzen, daB eine Zahl 1' , I < 1' < )'+ , so existiert, da6 mit i':{1,..., }") P;(C,O:.II (?Q«))u gilt, wobei %n=k, und z1* ..-l%t:%:ordtP'*((,()=t ist. Noch sei %,:k, för a€21\21' und Qo: {0, ..., %n1} fiir uQl gesetzt. 1.4. Das Ergebnis von V. G. MazJa und I. V. Gel'man, dem wir hier einen direkten Beweis geben wollen, lautet nun wie folgt (vgl. [5], 5.254): Satz 1.1. Es seien P(C,0 ein q-homogenes quasielliptisches Polynom oom bestimmtm Typ und Å((,0 ein q-homogenes Polynom mit degoP:degoR:P derart, da,$ die Bedingungen (A) und (B) erfitllt sind, otdEPiG,$:xFerner seien QiG,0, i:1, ..., x, q-homogene Polynome mit deg, Qi:lti€trt-q,' Die Abschätz*tg (1.1) llrR(D)ull, = c(llP(D)uilr+ § woQi@)ul1-pt-s^t), u(c0-[ni], j-r 330 Vrxro T. PuRlrtoNEN gilt dann und nur dann, wenn die folgenden Bedingungen (I) und (II) filr alle (€R'-\{0} erfilllt sind: (D Filr jedes i, l=j=x, ist Q1({O:0 mod M((,O. Q\ Die Polynome Qi(LO, i:1,...,x, sind linear unabhängig rnodulo P*((,O. 2. Die Hinlänglichkeit der Bedingungen 2.1. Die Bedingungen (I) und (II) sind hinreichend, falls mit den Bezeichnungen P'(e ,O: P(t,01MG,0, R'(€,O: R((,01M(C,0, QjG,0: Qi((,01MG,0, j : l, ...,x, gilt: Satz 2.1. Unter den Voraussetzungen uon Satz 1.1 besteht die Abschötzung (2.r) llR'(D) ull, = c (llp' (D)ull, + § woQi@) r:l!r-,, -,r), u ( co- [f;i], j:1 falls die folgende Bedingung (III) filr a//e (€R'-\{0} effillt ist: (III) Die Polynome Q'jG,$, j:1,...,x, sind linear unabhd.ngig modulo P'*((,O. In der Tat, aus den Bedingungen (I) und (II) folgt Bedingung (III) und fiir a€Co-[Ai] ist o:M(D)u€CflR'+1, so daB Abschätzung (1.1) sich aus (2.1) ergibt. 2.2. Es sei (€R'-t\{0}. Wir setzen P:(C,0:((-(,((»-*"P'((,O fidir a(A'vtL-, pi,((,o : (?C,G))-*P;(€,O f:iir a(tt', P-,(€,O : (?QG))-."P-(4,0 fiir a€21-. Dann gibtes einsolches ro(O undsolche Polynome (in O R*((,O und R-((,O, daB die Formel R((,0 _ _ tE\, R*((,0, R_((,o VG6 -'ot''' -7IGDF -G:6 und folglich R'((,0 - - t?\, R'*(8,0, A-(('o F@ -' o rs t - VlG, § - -p J.', O gilt, wobei und R'(C,O: R((, )lM((,C) R;((,0: l?* (€,01MG,0 Eine Bemerkung tiber quasielliptische lineare I)ifferentialoperatoren 331 geschrieben wurden. Mit Hilfe der verallgemeinerten Lagrangeschen Interpolationsformel (Lagrange-Sylvester-Formel) erhält man jetzt !S*: ro(o* z z,lpG)(?(,G)1t-'" P'(C,q ""' ' "7et pä" *,ä uå.r;eG)G-Q(0)o-* mit Q.2) rtre(o:;({F#t!;1,:,.n,, aQ,," n€Qn, und (2.3) rip(t\:;(#w, "rr;J|,:,,u,, a(A-, §ce,. Somit gilt (2.4) R'((, O : ro(O P'(C, 0 + Z Z rtreG)(?C"G))oP:(C,0 a€.A'0€.ec *,å,?,.r;p (o(? c,(€))F P;(<, 0. 2.3. Zunächst wird der Fall n:l besonders untersucht. Formel Q.4) hat dann die Gestalt (2.s) R'(O : roP'(O*,ä nä_rleG-Q)PP:(o + Z Z rAG-Q)PP:(O. a€ Å0 €e" Hiermit ist ftir E€C; [E*] R'(D,)Q : roP'(Dr)q *,å, uä,rlp (D, - U)o P:(D,) 0 + Z Z r,,(D,-Q)PP:(D,)Q, a€AI €on wobei q die Nullfortsetzung von E ftir /<0 bezeichnet. Setzt man P'(D,)EQ) fi,ir r=0 (2.6) (2.7) f (t) : P'(D,)'Q@: {0fiir , = 0, so gilt (man siehe 4.1) Lemma 2.2. Wenn E(Cf lP*l und f durch (2.7) erklört ist, dann besteht fiir alle a€l'v A-, fr(e, die Gleichung x.- A s,((D, - ( )p p:(D ) 0) @ : (c - Q)F - *" @, fl «) - i ", Å' G - t )k -," + 0 - L w k mit VI/,e : y o(D, - ( )tu - k pi@ ) q (t). 332 Vrxxo T. PunproNEN Mit Hilfe von Lemma 2.2 erhalte.l. wir aus (2.6) s,(R'(D)0)(0: ro(4fl(O + Z Z ,[tG-Qt-."(s,fi(o aEÅ'0€0" + Z Z ,;aG-QP-*@,fiG) ce^- 0€e" -int Z Z ,le-f'G-,;.o-xs+P-twd. a€.,{ B€0" &=1 xn-0 -'n',åu?,J'o 2 G-Q)r-x'+o-Lwk' Daher gilt wegen (2.5) (2.8) E(R',(D,)O) (0 : ffi @,fl(o x"- A -ir, Z Z rtre 2 (?Qr-h+f-Lwat e€Ä'AEec lc:l x"- A -'n',äu?*"u z (c-Qr-84+o-Lwk' 2.4. Unter Beriicksichtigung der Parsevalschen Gleichung folgt aus (2.8) : (z.s) [ ta'{o),tt'dr = c(sunlffil' _i trf o, x'- f *"å'u?"'r|-" l'loPl'*P I #=*" *,å_,ä."20 nrd, tw*p I F*-; Fiir die Behandlung der rechten Seite von tZ.ql U.noti;rn wir zwei Lemmata (man siehe 4.2). Lemma2.3. Fiir jedes s:|,2,... ist f d( _ ,- (2(s-r))! I lFt,;*:zz(s-l)TFlI*f' Lemma 2.4. Ist a€l-, so gilt filr jedes k:1, ..., xn wox:T.1 f T '"='g or. J «-()o Mit Hilfe der vorigen L,emmata und der Schwarzschen Ungleichung erhält man jetzt in dem zweiten Glied der rechten Seite von (2.9) Y*iFffi=m="Iw,td(ir%im t7 =c6p _l VPat, und folglich gilt (2.r0) i t^'<r)*tzdt < c(*rl#81' _i vpo, 1r-0 1 *,ä, oä, ?__ Vkp lWÅ, 1r^7nwr+a 16fu_ivro) 2.5. Wir gehen auf den allgemeinen Fall zuriick. Mit festem (€R"-r\{0} hat man nach (2.10) (2.1 1) J lR'(€ , D)(9,r:)(( , t)12 dt o, = c('ynffi#f { v'G,D)(4u)((, t)tzdt + z z .5u v[eG)l'lw,o(01' # oä, e4, €, tt a§ \r) t t77 ak \b/l 1tm 5" ( (11ztx"- t -k+ttz) I : )(4r:)(t, r»Pd4 *,ä ,å.|,;o3)l' J lP'(4,D,i, mit w*(0 : y o(DtL(0)*- r p:G, D) (4a) (1, t). Aufgrund der Voraussetzungen gilt hierbei ryplffil =* ftiratte ((R'-'\to) Eine Bemerkung tiber quasielliptische lineare Differentialoperatoren 333 mit einer Konstanten G =0, und (2.t2) (2.13) (, ist q'-homogen (in O mit de;q,(o: Qn 334 Vrxro T. PunuoNEN infolge der Bedingung (§. Wegen der Stetigkeit schlieBt man aus (2.13), daB (2.14) ltm(,(01 =- Cr(€),", 66n'-'1{0}, mit einer Konstanten Cr>0 gilt. Noch haben wir (man siehe 4.3) Lemma 2.5. Es existierm Konstanten Cs=O und Cr>O derart, dafi die Ungleichungm lrip@l = Cr((){*"-a)a" und lr;u <Clt = c n((){*,- ile^ filr alle (€R'-1\{0} bestehen. Berticksichtigt man Q.lz), (2.14) und Lemma2,5, so erhält man aus (2.11) (2.ts) J lR'((, D,)(g.u)(( , t)12 dt o- : , ({ lP,(€, D,)(Ta)((, t)12 dt + Z. "Z l<C>G"- a -uz\n"w,,,,- pG)l')' ae.1, §€0" 2.6. Wir wenden uns nun an die Polynome QiG,(), j:1,...,x. Es sei (€R'-\{0}. DannexistierenPolynome (in O Qi*G,O und Qi-(1,0 mit QtG,O - Qi*((,O *Qi-G,0 P(€,0 - P*((,0 ' P_((,C)' und folglich ist Oi«, f;l - Qi*G, O - Qt-G, o mit w - TG:§--PJ('a Daher girt.(vgr. 2,2) Qi*G' o : Qi*G' olM(E' c)' (2.16) QjG, o : ,Z*, oä.qi"eG)(?("(o)FP:((' o + z z qi,ag)((-(,(€))pPiG,0 mit den Bezeichnungen ' Lr(0u QJ*G,Alt (2'17) qi"eG): Tlwffilt:tnG), a(/L', §(Qn, und (2.r8) qt,eG):i(#?#)l=*G), a€A-, fi(p.. Eine Bemerkung uber quasielliptische lineare Differentialoperatoren 341 Literatur [] GBr,'nmN, I. V., und V. G. Mlz'rl: Estimates on the boundary for differential operatorc with constant coefrcients in a half-space. - Math. USSR-Izv. 8, 1974, 667--:726. [2] Hönu,l,Noen, L.: On the theory of general partial differential operators, - Acta Math. 94, 1955, 16l---248. [3] HönuaNoBn, L.: Linear partial differential operators. - lThird revised printing.] Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften I 16. Springer-Verlag Berlin-HeidelbergNew York, 1969. 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