Proporcionalidad y su didáctica para maestros

Ma emá icas y su Didác ica pa a Maes os PROPORCIONALIDAD Juan D. Godino Ca men Ba ane o P oyec o Eduma -Maes os Di ec o : Juan D. Godino h p://www.ug .es/local/jgodino/eduma -maes os/ Manual pa a el Es udian e Edición Feb e o 2002 P oyec o Eduma -Maes os Di ec o : Juan D. Godino h p://www.ug .es/local/jgodino/eduma -maes os/ PROPORCIONALIDAD Y SU DIDÁCTICA PARA MAESTROS Juan D. Godino Ca men Ba ane o J. D. Godino y C. Ba ane o 414 Publicación ealizada en el ma co del P oyec o de In es igación y Desa ollo del Minis e io de Ciencia y Tecnología, BSO2002-02452. P opo cionalidad 415 Página Índice A: Con ex ualización p o esional Análisis de p oblemas escola es sob e p opo cionalidad y po cen ajes en p ima ia B: Conocimien os ma emá icos 1. La noción de azón 2. Se ies p opo cionales. P opo ciones 2.1. Si uación in oduc o a: El puzzle 2.2. Se ies p opo cionales 2.3. P opo ciones 3. Magni udes p opo cionales 3.1. P opo cionalidad in e sa 3.2. Ejemplos de si uaciones de p opo cionalidad 3.3. Ejemplos de si uaciones de no p opo cionalidad 4. El azonamien o de la egla de es 5. Po cen ajes 6. Talle de ma emá icas C: Conocimien os didác icos 1. O ien aciones cu icula es 2. Desa ollo cogni i o y p og esión en el ap endizaje 3. Si uaciones y ecu sos 4. Con lic os en el ap endizaje. Ins umen os de e aluación 5. Talle de didác ica Bibliog a ía 417 420 421 421 422 423 423 424 425 426 427 430 431 433 439 441 443 J. D. Godino y C. Ba ane o 416 P opo cionalidad 417 A: Con ex ualización P o esional ANÁLISIS DE PROBLEMAS SOBRE PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES EN PRIMARIA Consigna: A con inuación incluimos algunos enunciados de p oblemas y eje cicios que han sido omados de lib os de ex o de p ima ia. Pa a cada uno de ellos: a) Resuel e los p oblemas p opues os. b) Indica los concep os y p ocedimien os ma emá icos que se ponen en juego en la solución. c) Clasi ica los enunciados en es g upos según el g ado de di icul ad que les a ibuyes ( ácil, in e medio, di ícil). d) Pa a cada p oblema enuncia o os dos del mismo ipo, cambiando las a iables de la a ea, de mane a que uno e pa ezca más ácil de esol e y o o más di ícil. e) ¿Piensas que los enunciados son su icien emen e p ecisos y comp ensibles pa a los alumnos de p ima ia? P opón un enunciado al e na i o pa a aquellos eje cicios que no e pa ezcan su icien emen e cla os pa a los alumnos. ) Consigue una colección de lib os de ex o de p ima ia. Busca en ellos ipos de p oblemas no incluidos en es a elación. Explica en qué se di e encian. Enunciados de p oblemas incluidos en lib os de p ima ia: 1. De los siguien es pa es de magni udes, ¿cuáles son di ec amen e p opo cionales? a) Lado del cuad ado y su supe icie. b) Lado del cuad ado y su pe íme o. c) Edad y al u a de las pe sonas. Jus i ica u espues a ealizando una abla pa a cada caso. 2. ¿Cuáles de las siguien es ablas exp esan magni udes p opo cionales1? A 1 2 3 4 5 B 7 14 21 21 35 L 4 8 12 16 20 S 36 72 108 144 180 T 1 2 3 4 5 E 100 200 300 400 500 1 Los núme os exp esan las medidas de las can idades co espondien es. J. D. Godino y C. Ba ane o 418 Comp ueba us espues as, ep esen ando g á icamen e cada abla. 3. Explica con us p opias palab as cuándo dos magni udes son p opo cionales. Pon un ejemplo, cons uye su abla y ep esén ala g á icamen e. 4. Pa a hace c ema de chocola e pa a 6 pe sonas se necesi an 8 onzas de chocola e, 6 cucha adas de azúca , 4 yemas de hue o y 10 almend as, en e o os ing edien es. ¿Qué necesi a Juan, de cada ing edien e, pa a p epa a una c ema pa a 9 pe sonas? 5. Obse a en la escala que 1 cm ep esen a 150 km. Es o signi ica que 1 cm sob e el mapa ep esen a 150 km sob e el e eno eal. Mide en el mapa y calcula las siguien es dis ancias en línea ec a: • La dis ancia en kilóme os de Mad id a Za agoza. • La dis ancia en kilóme os de Mad id a A Co uña. • La dis ancia en kilóme os de Mad id a Se illa. • La dis ancia de Mad id a Ba celona pasando po Za agoza. • La dis ancia de Mad id a Alican e pasando po Valencia. 6. El siguien e pic og ama mues a el núme o de dias de llu ia que se egis a on en un año en cada ciudad. Obse a el pic og ama y comple a la abla. P opo cionalidad 419 7. Se ha ealizado una encues a a 720 pe sonas sob e el uso del o denado en casa. Los esul ados es án ep esen ados en el siguien e g á ico de sec o es. Obse a el g á ico y calcula el núme o de pe sonas que co esponde a cada g upo. 1º. A e igua cuán as pe sonas ep esen a cada g ado del cí culo. 2º. Mide, con un anspo ado , los g ados de cada sec o ci cula . T abaja = ; Juga = ; Es udia = ; Dibuja = 3º. Calcula el núme o de pe sonas que co esponde a cada sec o . T abaja 60º x 2= pe sonas ; Juga =--- x--- = pe sonas Es udia ... Dibuja ... Po cen ajes: 1. En el colegio de Celia, la di ec o a p e é que el cu so p óximo el núme o de es udian es aumen a á un 5%. Aho a son 400. ¿Cuán os se án el año que iene? 2. Los pad es de Te esa an a comp a un coche que ale 1.7500.000 p s. Paga án el 40% de su p ecio cuando se lo en eguen, y el es o en 12 mensualidades iguales. Calcula las can idades que end án que paga cada ez. 3. Al comp a una mo o, cuyo p ecio es de 789.000 p s, hay que paga el 13% más en concep o de impues os. ¿Cuál es el p ecio inal de la mo o? 4. La comunidad au ónoma donde i e Al edo iene una población de 653.800 habi an es, de los cuales el 51% son muje es. a) ¿Qué po cen aje ep esen an los homb es?; b) ¿Cuán as muje es hay? c) ¿Cuán os homb es hay?. 5. Se ha in es igado y se ha llegado a la conclusión de que, ap oximadamen e, el 1% de los nacimien os que se p oducen es de mellizos. En una g an ciudad, donde hay unos 27.000 nacimien os al año, ¿cuán os son de mellizos? 6. Al edo a a comp a una mochila de 6.460 p s. En la ienda le ebajan un 15%. ¿Qué po cen aje paga po la mochila? ¿Cuán o paga po la mochila?. Resuel e es e p oblema siguiendo los siguien es pasos: - ¿Cuán o dine o le descon a on a Al edo? - ¿Cuán o dine o pagó po la mochila? Compa a los dos p ocedimien os pa a e cuál e esuel a más ápido. J. D. Godino y C. Ba ane o 426 Se puede desa olla un p ocedimien o de solución de los p oblemas de p opo cionalidad poniendo en juego las p opiedades de las unciones lineales, (a+b) = (a) + (b); (ka) = k (a), en luga de la igualdad de los p oduc os c uzados de los é minos de dos acciones equi alen es. En e ec o, en el ejemplo dado se puede esc ibi : 5e = (500g) = 500 (1g); (1g) = 5/500 eu os po g amo; es deci , se busca, en p ime luga el p ecio de un g amo de ca é. Una ez de e minado, calculamos el p ecio de 450 g amos: (450g) =450 (1g)= 450.(5/500)= 4’5 eu os. Eje cicio 4. La ue za de la g a edad en la Luna es 1/6 de la ue za de la g a edad en la Tie a. Si una pe sona es capaz de hace un sal o de al u a de 1’70 m y un sal o de longi ud de 4’85 m, ¿cuán o pod á sal a en al u a y longi ud en la Luna? Aplica el azonamien o de egla de es y el azonamien o de unción lineal pa a hace los cálculos. 5. PORCENTAJES La no ación de po cen ajes y el azonamien o de p opo cionalidad que se pone en juego cuando uno de los é minos que in e ienen en las p opo ciones oma el alo 100 se u iliza en una amplia a iedad de si uaciones de la ida dia ia. La exp esión “x%” es una mane a al e na i a de exp esa la acción x/100, pe o el concep o de po cen aje p o iene de la necesidad de compa a dos núme os en e sí, no sólo de mane a absolu a (cual de los dos es mayo ), sino de una mane a ela i a, es deci , se desea sabe qué acción o p opo ción de uno ep esen a espec o del o o. En es as si uaciones se suele u iliza el núme o 100, que es bien amilia , como e e encia. Al si ua lo como denominado de una acción, su nume ado nos indica qué po ción de 100 ep esen a. El siguien e ejemplo mues a el in e és de hace es as compa aciones ela i as y de adop a 100 como base de compa ación. Ejemplo: En una elección en la que se emi ie on 5.781.200 de o os un candida o ob u o 2.948.412 o os; en la siguien e elección se emi ie on 6. 456.900 o os y dicho candida o ob u o 3.099.312 o os. ¿Han mejo ado los esul ados de es e candida o en e una y o a o ación? En la p ime a o ación la acción de o os ob enidos ha sido: 2.948.412/5.781.200 = 51/100; mien as que en la segunda 3.099.312/6.456.900 = 48/100. El uso de los po cen ajes pe mi e conoce el núme o de o an es que ecibió el candida o po cada 100 o an es, y comp oba de mane a inmedia a que el candida o ha pe dido posición en e el elec o ado. Sin emba go, la noción de po cen aje no sólo se u iliza pa a es ablece compa aciones en alo ela i o en e dos núme os. Una ez que se ija un po cen aje se puede aplica a dis in os núme os, ob eniendo de es e modo se ies de núme os P opo cionalidad 427 p opo cionales. Si se aplica el 30% de descuen o a los p ecios de es a ículos A, B, C, cuyo alo es de 153, 452, 532 eu os, espec i amen e, en e los p ecios dados y los descuen os, se es ablece una co espondencia de p opo cionalidad di ec a, cuya azón de p opo cionalidad es 30/100: 30 A’ B’ C’ 100 150 450 540 A’ = 0’30 x 150 = 45; B’ = 0’30 x 450 = 135; C’ = 0’30 x 540= 162 Eje cicios: 5. Jus i ica las siguien es eglas: Regla 1ª: Pa a calcula el p % de un núme o a bas a con mul iplica a po el ope ado decimal de po cen aje (p/100). Regla 2ª: Aumen a un núme o en el p % de su alo equi ale a calcula (100+p)% de dicho núme o, o sea, mul iplica dicho núme o po (1+p/100). Regla 3ª: Disminui o educi un núme o en el p% de su alo equi ale a calcula el (100-p)% de dicho núme o, o sea, mul iplica dicho núme o po : (1-p/100). 6. En los p oblemas de po cen ajes in e ienen cua o núme os, a, b, c y 100 (a, el po cen aje a aplica ; b, la can idad a la que se aplica el %; c, el esul ado de aplica el %. In en a p oblemas que co espondan a es os es ipos. 6. TALLER DE MATEMÁTICAS 1. En un ca álogo, un mismo p oduc o se p esen a de dos o mas dis in as: en paque es de 5 unidades al p ecio de 2’6 eu os po paque e, y en paque es de 17 unidades a 8’8 eu os el paque e. ¿Es posible sabe si el p oduc o se ende al mismo p ecio uni a io en ambas modalidades sin hace cálculos, es o es, median e una ep esen ación g á ica? 2. Un pos e de 2’40 m de al o se coloca e icalmen e en el suelo hincándolo una p o undidad de 30 cm. La somb a que le p oyec a el sol es de 1’75 m. En el mismo ins an e, un cip és si uado en las p oximidades p oyec a una sob a de 9’50 m. ¿Cuál es la al u a del cip és?. 3. T es niños, Albe o, Be na do y Ca los juegan una pa ida con canicas. An es de la pa ida, cada uno iene a, b, c canicas, espec i amen e. La se ie de núme os (a, b, c) es p opo cional a la se ie (3, 4, 5). 1) Encon a la acción de canicas que cada niño iene espec o del o al de canicas (se puede u iliza una abla de p opo cionalidad) 2) Después de la pa ida, los núme os de canicas que ienen los niños son, espec i amen e, p opo cionales a los núme os 15, 16 y 17. a) ¿Cuál es la acción de canicas que iene cada niño espec o del o al? b) Uno de los niños ha ganado 9 canicas. ¿Quién ha sido? Jus i ica la espues a. J. D. Godino y C. Ba ane o 428 c) ¿Cuál es el núme o o al de canicas? 4. Sabiendo que un li o de leche pesa 1030 g amos, que la leche con iene el 12% de su peso en c ema y que la c ema da un 32 % de su peso en man equilla, ¿cuán a man equilla se o iene con 400 li os de leche? 5. Un a ículo que ale 9’2 eu os ha su ido dos aumen os sucesi os del 5% y del 15%. ¿Cuál ha sido el inc emen o del p ecio en po cen aje y en alo ? 6. Después de dos inc emen os de p ecio, el p ime o del 10% y el segundo del 20 %, un a ículo cues a 79’2 eu os. ¿Cuán o cos aba an es de los aumen os de p ecio? 7. En una cie a población el 40% de los homb es es án casados y el 30% de las muje es es án casadas. ¿Qué po cen aje de la población adul a es á casada? 8. Un ga aje de epa ación de coches anuncia que hace el 10% de descuen o en las epa adas, el 5% en los ma e iales y el 5% en la mano de ob a. Una Asociación de De ensa del Consumido ha denunciado a es e ga aje po publicidad alsa. ¿Es jus a la denuncia de la asociación? Explica la espues a. 9. Demos a que si ac bd = en onces se cumple que abcd bd ++ =. 10. Dos analgésicos A y B han sido expe imen ados en dos mues as de pe sonas, de edades y si uación clínica simila es, como emedio pa a la jaqueca. Se han ob enido los da os siguien es: Mejo an No Mejo an Analgésico A 40 60 Analgésico B 90 210 ¿Son igualmen e e ec i os los dos analgésicos? ¿Cuán os pacien es debie an mejo a con el a amien o B pa a que sea igualmen e e ec i o que el A? 11. Juan y Ma ia juegan a los dados. Lanzan dos dados. Si el p oduc o de los núme os es impa , Juan gana un eu o. Si el p oduc o de los núme os es pa , gana Ma ia. ¿Qué can idad debe gana Ma ia, pa a que el juego sea equi a i o? 12. En un Mac Donald se pueden consumi di e en es ipos de alimen o. En la abla siguien e p esen amos el con enido caló ico y de g asas sa u adas de una ación: Calo ías G asas (en G amos) Pa a as i as 1500 100 Ali as de pollo 600 40 Buñuelos 450 22 Pas el de c ema 290 19 A i os de cebolla 276 16 P opo cionalidad 429 Sabiendo que cada g amo de g asa iene 9 calo ías, de e mina el po cen aje de g asas de cada uno de es os alimen os. Si una pe sona se oma un día una ación de cada uno de es os alimen os, ¿Cuál ha sido su consumo o al de calo ías y g asas? ¿En que po cen aje sob epasa la can idad ecomendada de 2000 calo ías y 65 g amos de g asa po pe sona y día? J. D. Godino y C. Ba ane o 430 C: Conocimien os Didác icos 1. ORIENTACIONES CURRICULARES 1.1. Diseño Cu icula Base del MEC La p opo cionalidad se con empla en di e en es bloques emá icos, en la o ma siguien e: En el bloque 1 (Núme os y ope aciones) se indica que “El an o po cien o se p e ende abo da solamen e de o ma in ui i a.” • En e los hechos, concep os y p incipios sob e los núme os na u ales, en e os, accionales y decimales se menciona: El an o po cien o de una can idad (%). • A p opósi o de la mul iplicación y di isión se hace e e encia explíci a a la p opo cionalidad: “la mul iplicación como suma ab e iada, p opo cionalidad (doble, iple, e c.); la di isión como epa o, p opo cionalidad (la mi ad, la e ce a pa e, e c.).” También en e los p ocedimien os de es e bloque se incluyen los siguien es elacionados con el ema: • (7) In e p e ación, cálculo y compa ación de an os po cien o. • (8) Fo mulación y comp obación de conje u as sob e la egla que sigue una se ie o clasi icación de núme os y cons ucción de se ies y clasi icaciones de acue do con una egla es ablecida. • (16). Elabo ación de es a egias pe sonales de cálculo men al • Po cen ajes sencillos En el bloque 3 (O ien ación y ep esen ación en el espacio), encon amos: • En el apa ado de Hechos, concep os y p incipios, se concede un luga des acado a la ep esen ación elemen al del espacio median e: − Planos, mapas, maque as. − Escalas: doble, mi ad, iple, e cio, e c. − Escalas g á icas • En e los P ocedimien os, • (5). Lec u a, in e p e ación y cons ucción a escala de planos y maque as. • (6). Lec u a, in e p e ación y ep oducción a escala de mapas. 1.2. P incipios y Es ánda es pa a la Ma emá ica Escola (NCTM 2000) En los g ados 3-5 se menciona el ema en la o ma siguien e: • Comp ensión numé ica: econoce y gene a o mas equi alen es de o mas comunes en que se ep esen an las acciones, decimales y po cen ajes. P opo cionalidad 431 • Los es udian es deben comp ende el signi icado de un po cen aje como pa e de un o al y usa po cen ajes comunes como 10 o 50 po cien o. Al es udia las acciones decimales y po cen ajes conjun amen e pueden ap ende a pasa de una a o a o ma equi alen e. Asimismo, en conexión con la es adís ica se sugie e que los alumnos ep esen en da os en g á icos de líneas y ba as, en cuya cons ucción apa ece implíci amen e la p opo cionalidad. En los g ados 6-8 se menciona: • T abaja con lexibilidad con acciones decimales y po cen ajes pa a esol e p oblemas. • Comp ende po cen ajes mayo es que 100 y meno es que 1 • Comp ende y usa azones y p opo ciones pa a ep esen a elaciones cuan i a i as 2. DESARROLLO COGNITIVO Y PROGRESIÓN EN EL APRENDIZAJE El azonamien o p opo cional se conside a como uno de los componen es impo an e del pensamien o o mal adqui ido en la adolescencia. Las nociones de compa ación y co a iación es án en la base subyacen e al azonamien o p opo cional, siendo a su ez los sopo es concep uales de la azón y la p opo ción. El desa ollo de icien e de es as es uc u as concep uales en los p ime os ni eles de la adolescencia obs aculiza la comp ensión y el pensamien o cuan i a i o en una a iedad de disciplina que an desde el álgeb a, la geome ía y algunos aspec os de la biología, la ísica y la química. Di e sas in es igaciones han mos ado, sin emba go, que la adquisición de las des ezas de azonamien o p opo cional es insa is ac o ia en la población en gene al. Es as des ezas se desa ollan mas len amen e de lo que se había supues o; incluso hay e idencias de que una g an pa e de las pe sonas nunca las adquie en en absolu o. Es as cues iones no se enseñan bien en las escuelas, que con ecuencia sólo es imulan la manipulación de símbolos y ó mulas ca en es de signi icado4. 2.1. Desa ollo del azonamien o p opo cional El esquema de p opo ción es conside ado po Piage como un componen es básico del azonamien o o mal, que se á necesa io, en e o os, pa a adqui i concep os como el de p obabilidad y co elación. Sin emba go, es o no quie e deci que los niños no engan una pe cepción p og esi a de las p opo ciones. El desa ollo de es a idea, ambién sigue las e apas ípicas de la eo ía de Piage , quien es udió cómo los niños la usan cuando ienen que es ima la p obabilidad de un suceso. 4 Ho e (1988), o.c. J. D. Godino y C. Ba ane o 432 Una a ea ípica es la siguien e: Ta ea 1. En la caja A se han me ido 2 ichas azules y 1 icha oja. En la caja B se han me ido 3 ichas azules y 1 icha oja. (Mi a el dibujo) Con los ojos endados ienes que saca una icha oja pa a gana un p emio (p ime o mo emos bien la caja pa a que las ichas se mezclen). ¿Cuál caja elegi ías pa a hace la ex acción? Señala la espues a co ec a: (A) La caja A da mayo es posibilidades de ob ene una icha oja (B) La caja B da mayo es posibilidades de ob ene una icha oja (C) Las dos cajas dan la misma posiblidad (D) No lo se La compa ación de p obabilidades implica una compa ación de acciones, pe o se añade la di icul ad de que ambién se equie en las ideas de aza , casos a o ables y posibles. Los au o es que han abajado el ema sugie en que una a ea de compa ación de p obabilidades es siemp e más di ícil que o a a ea de compa ación de acciones en un con ex o de e minis a. Un ejemplo ípico de a ea p opo cional en con ex o de e minis a es la siguien e: Ta ea 2. Mi mad e ha p epa ado dos ja as de limonada. En la ja a A ha mezclado dos asos de agua y un aso de zumo de limón. En la ja a B ha mezclado es asos de agua y uno de zumo de limón. ¿En cual de las dos ja as el sabo a limón es más in enso? Eje cicios: 1. ¿C ees que puedes a ia la di icul ad de la a ea 1 pa a los niños, cambiando el núme o de bolas ojas y azules en cada caja? Pon un ejemplo de o ma que la a ea sea más sencilla. Pon o o ejemplo de modo que la a ea sea más di ícil. 2. ¿En qué se pa ecen las a eas 1 y 2? ¿En qué se di e encian? ¿Puedes cambia el núme o de asos de agua y limón en las ja as pa a que la a ea esul e más ácil o más di ícil a los niños? ¿Qué ipos de azonamien os segui án los niños pa a esol e la a ea? En es as a eas hay cua o da os, dos pa es de da os pa a cada una de las ja as o cajas que que emos compa a : a = núme o de asos de limón en la Ja a A en la a ea 2 (o núme o de casos a o ables en la u na A en la a ea 1). b = núme o de asos de agua en la Ja a A en la a ea 2 (o núme o de casos des a o ables en la u na A en la a ea 1). c = núme o de asos de limón en la Ja a B en la a ea 2 (o núme o de casos a o ables en la u na B en la a ea 1). d = núme o de asos de agua en la Ja a B en la a ea 2 (o núme o de casos des a o ables en la u na B en la a ea 1). A B P opo cionalidad 433 La di icul ad de es as a eas dependen de los alo es ela i os de es os cua o da os. En la abla 1 desc ibimos algunas e apas que pasan los niños pa a esol e a eas como la 1 y 2 has a llega a alcanza el azonamien o p opo cional del adul o ( a ea 2)5 E apa Nomb e Edad media (años,meses) Ejemplo (a, b) s (c, d) Capacidad eque ida Es a egia / azonamien o 0 Simbólica 2, 0 (1,0) s (0, 3) Dis ingui el agua del zumo de limón Busca la ja a que sólo iene zumo IA In ui i a In e io 3; 6 (1, 4) s (2, 4) Compa a el p ime elemen o del pa Las dos ja as ienen igual can idad de agua. Una iene más zumo de limón Luego iene el sabo más in enso IB In ui i a media 6; 4 (1, 2) s(1, 4) Compa a el segundo é mino del pa Las dos ja as ienen igual can idad de limón. Una iene más agua Luego iene el sabo menos in enso IC In ui i a supe io 7; 0 (5,2) s (3,4) Obse a la elación de o den in e sa en e los é minos de los dos pa es En la ja a A hay más zumo que agua En la ja a B hay más agua que zumo Luego A iene el sabo más in enso IIA conc e a in e io 8;1 (1,1) s (3,3) igualdad de é minos en cada pa En la ja a A hay igual de agua que zumo En la ja a B ambién hay igual de agua que zumo Luego el sabo es igual IIB Conc e a supe io 10; 5 (4, 2) s (6,3) La misma p opo ción en e los é minos de ambos pa es En la ja a A hay doble can idad de agua que zumo En la ja a B hay doble can idad de agua que zumo Luego el sabo es igual IIIA Fo mal in e io 12; 2 (2,1) s (4, 3) En alguno de los pa es los é minos son múl iplos En la ja a A hay doble can idad de agua que zumo En la ja a B hay menos del doble de agua que zumo Luego el sabo de A es más ue e IIIB Fo mal supe io 15; 10 (3, 5) s (5,8) Compa a accio nes con dis in o denominado En la ja a A, de 8 asos de líquido 3 son de limón En la ja a B, de 13 asos de líquido 5 son de limón 3/8 =39/104 5/13=40/104 Luego en B el sabo es más in enso po que de las mismas pa es o ales (104) hay una más de limón. 3. SITUACIONES Y RECURSOS Los esul ados de di e sas in es igaciones p opo cionan o ien aciones sob e cómo ayuda a los niños en el desa ollo del azonamien o p opo cional. Algunas de es as o ien aciones son las siguien es6: 1. P opo ciona una amplia a iedad de a eas sob e azones y p opo ciones en di e sos con ex os que pongan en juego elaciones mul iplica i as en e dis in as magni udes. 5 Noel ing (1980). 6 Van de Walle (2001). J. D. Godino y C. Ba ane o 434 2. Es imula la discusión y expe imen ación en la compa ación y p edicción de azones. P ocu a que los niños dis ingan las si uaciones de compa ación mul iplica i a (p opo cionalidad) de las no mul iplica i as, p opo cionando ejemplos y discu iendo las di e encias en e ellas. 3. Ayuda a los niños a elaciona el azonamien o p opo cional con o os p ocesos ma emá icos. El concep o de acción uni a ia es muy simila al de asa uni a ia. El uso de asas uni a ias pa a compa a azones y esol e p opo ciones es una de las écnicas más ap opiadas. 4. Reconoce que los mé odos mecánicos de manipulación de símbolos, como los esquemas del ipo de “ egla de es” pa a esol e p oblemas de p opo cionalidad no son ap opiados pa a desa olla el azonamien o p opo cional y no se debe ían in oduci has a que los alumnos engan un cie o dominio de o os mé odos in ui i os y con un undamen o ma emá ico consis en e. En las siguien es secciones desc ibimos algunos ipos de ac i idades y ecu sos pa a el es udio de la p opo cionalidad en p ima ia. 3.1. Selección de azones equi alen es En es e ipo de ac i idades se p esen a una azón en e can idades de obje os o medidas y los alumnos deben selecciona una azón equi alen e en e o as dadas. El cen o de a ención se á el apoyo in ui i o de po qué los pa es seleccionados ienen la misma azón. En es as ac i idades es de g an u ilidad inclui pa es de azones que no sean p opo cionales pe o que engan una di e encia común. Po ejemplo, 5/8 y 9/12 no son azones equi alen es, pe o la di e encia en e los nume ado es y los denominado es es la misma. La si uación ue za a los alumnos a pensa en é minos mul iplica i os y no adi i os. Ac i idad 1: P epa a ichas en las que se mues en obje os di e en es en di e sas can idades, como se mues a en la igu as (cajas y camiones). ¿Hay algunas ichas en que la azón en e las cajas y los camiones sea la misma? Dada una icha, los alumnos deben selecciona o a icha que enga la misma azón en e el núme o de obje os. Es a a ea lle a a los alumnos a ealiza una compa ación numé ica mul iplica i a y no isual, e in oduce la noción de azón como asa (compa ación de can idades de magni udes di e en es). Una asa uni a ia co esponde al caso en que una icha iene un solo obje o de una clase (po ejemplo, 1 camión y es cajas). Obje os empa ejados con monedas o bille es se ía una mane a de in oduci el p ecio como una azón. En el con ex o de p obabilidad se pueden p esen a di e en es cajas con ichas de dos colo es y analiza cuáles dan la misma p obabilidad de ob ene una bola de de e minado colo . P opo cionalidad 435 3.2. P og esiones c ecien es y dec ecien es de can idades Un ipo de ac i idad que se puede p opone a los alumnos pa a in oduci las se ies p opo cionales puede se la con inuación de se ies de can idades que se co esponden según un ac o de escala y que se e ie en a si uaciones amilia es. Dine o: 1 du o → 5 p s 1 eu o → 166’384 p s 2 du os → 10 p s 2 eu os → 3 du os → 15 p s 3 eu os → ... ... 10 du os → ___ p s 20 eu os → ___ p s Tiempo: 1 ho a → 60 minu os 1 minu o → 60 segundos .... ... Longi ud: 1 pulgada → 2’54 cen íme os 1 me o → 100 cen íme os ... ... Unidades comunes: 1 pe sona → 10 dedos 1 coche → 4 uedas ... ... Es a ac i idad se debe p opone ambién de mane a que en luga de mul iplica po un ac o cons an e la ope ación consis a en di idi : 600 cén imos → 6 eu os 300 cén imos → ___ eu os ... 6 e escos → 180 cén imos 3 e escos → ___ cén imos ___ e escos → 60 cén imos ... Es as ac i idades se pueden p opone desde los p ime os ni eles. Ac i idad 2: ¿Qué hay en la bolsa? Es a ac i idad pone en juego nociones in o males sob e p obabilidad conside ada como una azón. Pone ichas de dos colo es en una bolsa. Po ejemplo, 4 ojas y 8 azules. Explica a los alumnos que hay ichas de colo es di e en es den o de la bolsa, pe o no deci el núme o de ichas ni el núme o de colo es. Sacudi la bolsa y hace que un alumno saque una icha, egis e el colo y ol e a pone la den o de la bolsa. Después de 10 o 15 ex acciones, p egun a cuán as ichas de cada colo piensan que puede habe en la bolsa y ano a el núme o que digan. Después de algunos ensayos más, p egun a cuál es el meno núme o posible de ichas que piensan puede habe en la bolsa. A con inuación se puede da a los alumnos uno de los siguien es da os: el núme o o al de ichas que hay en la bolsa o el núme o de ichas de uno de los colo es. Ve si con es a in o mación pueden p edeci cuán as ichas de cada colo hay en la bolsa. “¿Qué ocu i ía si hubie a más J. D. Godino y C. Ba ane o 442 5.2. Análisis de una e aluación escola En el anexo 1 (a con inuación) se dan es eje cicios (A, B, y C) p opues os po un maes o en una e aluación inal. En el anexo 2 se dan las espues as de seis alumnos al eje cicio C. Responde a las siguien es cues iones e e idas a los eje cicios de es a e aluación y las espues as dadas po los alumnos. Cues ión 1: ¿Qué nociones ma emá icas se u ilizan se u ilizan en los es eje cicios?. Pa a cada uno de ellos, indica las magni udes que se ponen en co espondencia y exp esa simbólicamen e la unción que elaciona a es as magni udes. Cues ión 2: Resuel e de es mane as di e en es el eje cicio B. Indica las p opiedades de la noción que u ilizas en cada caso. Cues ión 3: Analiza las a iables didác icas pues as en juego en es os es eje cicios y deduce un o den de di icul ad pa a los alumnos del p ime ciclo de ESO. Cues ión 4: Es os eje cicios es án plan eados en un con ex o numé ico. In en a o os dos eje cicios de ma emá icas pa a el p ime ciclo de ESO que pongan en juego la misma noción ma emá ica en o os con ex os. Anexo 1: Eje cicio A: Un panade o u iliza la siguien e abla pa a ob ene el p ecio de en a de los panes: Núme o de panes 5 10 15 P ecio a paga 15 30 45 a) ¿Cuál es el p ecio de en a de 15 panes; b) U iliza la abla pa a calcula el p ecio de en a de 25 panes. Eje cicio B: Un en ci cula siemp e a la misma elocidad. Ta da 6 minu os en eco e 9 kilóme os y 10 minu os pa a eco e 15 kilóme os. a) ¿Cuál es la dis ancia eco ida en 16 minu os?; b) ¿Cuál es la dis ancia eco ida en 30 minu os? Eje cicio C: Pa a hace un mouse de chocola e pa a 9 pe sonas se necesi an 6 hue os. Pa a 15 pe sonas se p ecisan 10 hue os. a) ¿Cuán os hue os se necesi an pa a hace el pas el pa a 24 pe sonas?; b) ¿Y pa a 30 pe sonas?. Anexo 2: Soluciones de 6 alumnos al eje cicio C: A1: a) Se necesi an 24 hue os pa a 24 pe sonas; b)Se necesi an 30 hue os pa a 30 pe sonas. A2: a) 24 +3 = 27 hue os; b) 30 + 5 = 35 hue os. A3: a) Núme o de hue os pa a 1 pe sona: 9:6 = 1'5. Núme o de hue os pa a 24 pe sonas 24 x 1'5 = 36'0 b) Núme o de hue os pa a 30 pe sonas: 30 x 1'5 = 45'0. A4: a) Son necesa ios 19 hue os; b) Son necesa ios 25 hue os. A5: a) Se necesi an 21 hue os; b) Se necesi an 27 hue os P opo cionalidad 443 A6: a) Son necesa ios: 15 + 9 = 24 10 + 6 = 16 hue os b) Pa a 30 pe sonas, 15 x 3 = 45 hue os. Bibliog a ía Dickson, L., B own, M. y Gibson, O. (1991). El ap endizaje de las ma emá icas. Mad id: MEC y Labo . Fe nandez, F. (2001). P opo cionalidad en e magni udes. En E. Cas o (Ed.), Didác ica de la ma emá ica en la educación p ima ia (pp. 533-558). Mad id: Sín esis. Fiol, M. L. y Fo uny, J. M. (1990). P opo cionalidad di ec a. La o ma y el núme o. Mad id: Sín esis. Ho e , A. R. Ra ios and p opo ional hinking. En Th. R. Pos (Ed.), Teaching ma hema ics in g ades K-8. Bos on: Allyn and Bacon. Mau in, C. y Johsua, A. (1993). Les ou ils numé iques à l’école p imai e e au collègue, Vol 2. Pa ís: Edi ions Ma ke ing (Ellipses). Noel ing, G. (1980). The de elopmen o p opo ional easoning and he a io concep . Pa II. P oblem s uc u e a succesi e s ages: P oblem sol ing s a egies and he mechanism o adap i e es uc u ing. Educa ional S udies in Ma hema ics, 11 (3), 331-363. Reys, R. E. y cols (2001). Helping child en lea n ma hema ics. New Yo k: John Wiley Van de Walle, J. A. (2001).Elemen a y and middle school ma hema ics. New Yo k: Longman. J. D. Godino y C. Ba ane o 444