Análisis Convexo y Optimización

Apuntes de Análisis Convexo y Optimización Antonio Cañada Villar Departamento de Análisis Matemático Universidad de Granada M´ ETODOS VARIACIONALES. OPTATIVA DE SEGUNDO CICLO DE LA LICENCIATURA EN MATEM´ ATICAS, UNIVERSIDAD DE GRANADA M´ ETODOS VARIACIONALES, A. CA˜ NADA, CURSO 2010/11 En las notas que siguen se recogen de manera esquem´atica algunas de las ideas fundamentales que se explican en la asignatura “M´etodos Variacionales”, optativa de segundo ciclo de la Licenciatura en Matem´aticas en la Universidad de Granada. Estas notas est´an en constante proceso de elaboraci´on. Espero que cada alumno encuentre algo de utilidad en ellas. 1. Introducci´ on, motivaci´ on y notas hist´ oricas: del problema de la braquistocrona a la teor´ ıa de puntos cr´ ıticos. 1.1. Recomendaciones bibliogr´aficas. Los problemas de m´aximos y m´ınimos constituyeron la motivaci´on fundamental para la creaci´on del C´alculo Diferencial e Integral a finales del siglo XVII. El origen del C´alculo Diferencial e Integral se atribuye fundamentalmente a Newton y Leibniz. El significativo trabajo de Leibniz titulado “Nova methodus pro maximis et minimis itemque tangentibus” que puede considerarse como el nacimiento formal del C´alculo, se public´o en 1684 y las palabras con las que Leibniz describe el t´ıtulo de esta obra nos dan una idea muy precisa del contenido: nuevo m´etodo para el estudio de m´aximos y m´ınimos de funciones usando la noci´on de tangente. En este tratado se proporciona un m´etodo muy preciso para el c´alculo de m´aximos y m´ınimos de funciones concretas que surgen en las aplicaciones m´as diversas. Dicho m´etodo usa la noci´on de derivada, punto cr´ıtico, derivadas de orden superior, etc. Un buen resumen de la evoluci´on hist´orica del c´alculo de variaciones se puede ver en los siguientes art´ıculos: Erwin Kreyszig: On the Calculus of Variations and Its Major Influences on the Mathematics of the First Half of Our Century. Part I. American Mathematical Monthly, volumen 101, no. 7, 674-678, (1994). Erwin Kreyszig: On the Calculus of Variations and Its Major Influences on the Mathematics of the First Half of Our Century. Part II. American Mathematical Monthly, volumen 101, no. 9, 902-908, (1994). La introducci´on del libro de texto recomendado [3] ofrece informaci´on hist´orica de inter´es. 1 2 M´ ETODOS VARIACIONALES, A. CA˜ NADA, CURSO 2010/11 Por cierto, la revista mencionada, American Mathematical Monthly, es muy recomendable para los alumnos de los ´ultimos cursos de la licenciatura en Matem´aticas. Tiene secciones muy diversas: art´ıculos, problemas, rese˜nas de libros, etc. El nivel es, en general, asequible. Os animo a que la consult´eis habitualmente. Como veremos a continuaci´on, los problemas que trata el c´alculo de variaciones se formularon inemdiatamente despu´es del nacimiento del C´alculo. 1.2. Algunos problemas significativos del C´alculo de Variaciones. . Seg´un M. Kline ([10]) el primer problema significativo del C´alculo de Variaciones fue propuesto y resuelto por Newton en el libro II de sus “Principia”. Estudiando la forma que deb´ıa tener una superficie de revoluci´on, movi´endose en el agua (o cualquier otro fluido) a velocidad constante a lo largo de su eje para ofrecer una resistencia m´ınima al movimiento, se plante´o el estudio de m´ınimos de funcionales de la forma (1.1) Φ(y) = Zb a y(x)(y0(x))3 1+(y0(x))2 donde la funci´on y(x) pertenece a un espacio apropiado de funciones de clase C1[a, b].Por ejemplo, podemos pensar que y(·)∈Y, donde Y={y: [a, b]→R:y∈C1[a, b], y(a) = y1, y(b) = y2} donde (a, y1),(b, y2) son dados. Ya apreciamos la primera diferencia fundamental respecto de los problemas de m´aximos y m´ınimos estudiados por el alumno en la licenciatura: en (1.1) la “variable independiente” y(x)pertenece a un conjunto adecuado de funciones y no a un subconjunto del espacio eucl´ıdeo finito dimensional. Tengamos en cuenta que los espacios de funciones son, en general, espacios vectoriales de dimensi´on infinita. Os recomiendo la lectura y consulta del art´ıculo: G. Buttazzo y B. Kawohl: On Newton’s problem of minimal resistance, Mathematical Intelligencer, volumen 15, 7-12, (1992). Por cierto, esta revista, Mathematical intelligencer, es tambi´en muy recomendable para los alumnos. De todas formas, suele considerarse que lo que se entiende hoy en d´ıa por C´alculo de Variaciones, naci´o con la proposici´on de Johann Bernoulli,en 1.696, del problema de la braquistocrona (seg´un algunos autores, este problema fue formulado con anterioridad por Galileo en 1638). Puede describirse as´ı: una masa puntual se desliza, por acci´on de la gravedad, desde un punto Adel plano , hasta otro punto B, a trav´es de alguna curva. El tiempo empleado para ir desde Ahasta Bdepende de la curva elegida. ¿Para qu´e curva se tendr´a que el tiempo es m´ınimo? Puede verse ([17]) que esto exige M´ ETODOS VARIACIONALES, A. CA˜ NADA, CURSO 2010/11. 3 el estudio de funcionales de la forma (1.2) Zb aµ1 + y0(x)2 y(x)¶1/2 dx donde, como en (1.1), la variable independiente y(·),pertenece a un conjunto adecuado de funciones. Contrariamente a lo que puede sugerir nuestra intuici´on, la soluci´on de este problema no es ni el segmento rectil´ıneo que une Acon B, ni ning´un arco de circunferencia que pase por AyB. La soluci´on, un arco de cicloide, fue encontrada por diferentes matem´aticos: Jakob Bernoulli, Newton, Leibniz, L’Hopital, etc. En los ejemplos citados con anterioridad, la variable independiente es una funci´on y(x).Hay otros problemas, donde de manera natural surge el estudio de funcionales cuya variable independiente pueden ser varias funciones. Incluso, se pueden plantear problemas que recuerdan a los m´aximos y m´ınimos condicionados (multiplicadores de Lagrange). Por ejemplo, esto ocurre en el llamado problema isoperim´etrico que describimos a continuaci´on. Dado un n´umero real positivo L, se trata de estudiar la cuesti´on siguiente: de todas las curvas cerradas del plano de longitud dada L > 0, ¿cu´al es la que encierra mayor ´area? Si escribimos la curva mediante sus ecuaciones param´etricas x=x(s)(1.3) y=y(s)(1.4) (donde ses, por ejemplo, el par´ametro arco), entonces es conocido que el ´area encerrada por la misma viene dada por: (1.5) A= Φ(x, y) = 1 2ZL 0¡x(s)y0(s)−x0(s)y(s)¢ds Por tanto, se trata de hacer m´axima una expresi´on donde la variable es un par de funciones x(s), y(s). M´as precisamente, el par de funciones x(·), y(·) pertenecen al espacio de funciones de clase C1[0, L] y, adem´as, x(0) = x(L), y(0) = y(L) (la curva es cerrada). Por otra parte, al ser sel par´ametro arco se ha de cumplir la restricci´on (x0(s))2+ (y0(s))2= 1,∀s∈[0, L]. Esto es pues un problema de m´aximos y m´ınimos condicionados. Puede probarse ([7]) la relaci´on (1.6) L2−4πA ≥0 4 M´ ETODOS VARIACIONALES, A. CA˜ NADA, CURSO 2010/11 y que la igualdad se da s´olo para cualquier circunferencia de longitud L. Un m´etodo elegante y sencillo para estudiar este problema usa algunos hechos b´asicos de la teor´ıa de Series de Fourier ([5]). El problema puede plantearse tambi´en en dimensiones superiores n≥ 3, prob´andose que si B⊂Rn,es un conjunto con algunas restricciones adicionales, entonces ([7]) (1.7) [L(∂B)]n−nnωn[M(B)]n−1≥0 donde ωnes el volumen de la bola unidad n−dimensional, es decir, ωn= RBRn(0;1) 1 y [M(B)] es la medida de Lebesgue n−dimensional de B. Por su parte, L(∂B) es la medida de Lebesgue n−1-dimensional de la frontera de B. Adem´as la igualdad se da en la expresi´on anterior si y s´olo si Bes una bola. Un ejemplo de especial significaci´on, desde el punto de vista de la f´ısica, lo constituye el principio de Hamilton. Vamos a ver que proporciona una formulaci´on variacional (en t´erminos de m´aximos y m´ınimos, o al menos, puntos estacionarios o cr´ıticos), de la segunda ley de Newton. Supongamos que una part´ıcula de masa 1 se desplaza en el espacio eucl´ıdeo tridimensional desde un punto dado p1a otro p2en el intervalo de tiempo [t1, t2],bajo la acci´on de una fuerza F:R3−→ R3que depende s´olo de la posici´on de la part´ıcula. En este caso, F=F(x), x = (x1, x2, x3). Si x: [t1, t2]−→ R3, t →x(t),es la trayectoria de la part´ıcula, entonces la segunda ley de Newton (masa ×aceleracion =fuerza) nos proporciona la relaci´on (1.8) x00(t) = F(x(t)), x(t1) = p1, x(t2) = p2 (1.8) es una ecuaci´on diferencial ordinaria de segundo orden. El C´alculo de Variaciones nos proporciona otra interpretaci´on de (1.8), cercana a problemas de m´aximos y m´ınimos cuando la fuerza Fes conservativa, esto es, deriva de un potencial U:R3→R.Esto quiere decir que ∇U(y) = F(y),∀y∈R3,donde ∇U(y) = ³∂U(y) ∂y1,∂U(y) ∂y2,∂U(y) ∂y3´= (F1(y), F2(y), F3(y)). Definamos el conjunto Ade “trayectorias posibles entre los puntos p1y p2” de la forma siguiente: (1.9) A=©y: [t1, t2]−→ R3/ y(t1) = p1, y(t2) = p2, y ∈ C1[t1, t2]ª Dado un elemento y∈ A, su energ´ıa cin´etica como funci´on del tiempo t viene dada por (1.10) (M˙y)(t) = 1 2¡˙y1(t)2+ ˙y2(t)2+ ˙y3(t)2¢ M´ ETODOS VARIACIONALES, A. CA˜ NADA, CURSO 2010/11. 5 y su energ´ıa potencial viene expresada por −U(y(t)) donde Ues el potencial mencionado. La lagrangiana de la trayectoria yse define como (1.11) L(y(t)) = M( ˙y(t)) + U(y(t)) El funcional, llamado acci´on integral de Hamilton, se define como (1.12) Φ : A −→ R Φ(y) = Zt2 t1 L(y(t)) dt que hace corresponder a cada trayectoria posible, y, un n´umero real,Φ(y). ¿Qu´e relaci´on existe entre el funcional dado en (1.12) y la ecuaci´on diferencial (1.8)? Por una parte, el funcional dado hace corresponder, a cada trayectoria posible y, un n´umero real Φ(y).Por otra, (1.8) es una ecuaci´on diferencial ordinaria. No parece sencillo, ni intuitivo, qu´e relaci´on puede haber entre ambos conceptos. El principio de Hamilton afirma: ”la trayectoria x∈ A que sigue la part´ıcula bajo la acci´on de la fuerza Fpara ir de p1ap2es aquella que hace estacionaria la acci´on integral Φ”. ¿Qu´e es eso de hacer estacionaria la acci´on integral?. Recordemos que dada una funci´on H:Rn→R,un punto estacionario de la misma es cualquier punto x∈Rnpara el que H0(x) = 0 (equivalentemente, todas las derivadas parciales de H, en el punto xson cero; es decir ∂H(x) ∂xi= 0,1≤i≤n.) Ahora quiz´as no tenga sentido, o quiz´as sea un concepto nada trivial, la noci´on de “derivada parcial de la acci´on integral de Hamilton”. Esto puede ser subsanado con el concepto de derivada direccional, m´as amplio que el de derivada parcial. Un elemento x∈ A se dice estacionario cuando la primera variaci´on de Φ en xes cero. La primera variaci´on del funcional Φ, en el punto xy en la direcci´on hse define como (1.13) δΦ(x;h) = d dτ Φ(x+τh)|τ=0 donde (1.14) h∈©g: [t1, t2]−→ R3/ g(t1) = 0, g(t2) = 0, g ∈ C1[t1, t2]ª=B Que la primera variaci´on sea cero significa que 6 M´ ETODOS VARIACIONALES, A. CA˜ NADA, CURSO 2010/11 (1.15) δΦ(x;h) = 0 ∀h∈B. Veremos en el curso que (1.15) no es sino la la segunda ley de Newton (1.8) expresada en forma variacional. En realidad veremos que, para trayectorias x∈C2[t1, t2],tales que x(t1) = p1, x(t2) = p2,(1.8) es equivalente a (1.15). Otras muchas leyes de la F´ısica se expresan tambi´en en forma variacional. Todas ellas responden a la filosof´ıa marcada por las frases siguientes: (1) “En la Naturaleza no se realiza ning´un proceso superfluo o innecesario (Olympiodorus, siglo VI )” (2) “En un medio no homog´eneo, formado por dos homog´eneos y separados por una recta, un rayo luminoso que va desde un punto del primer medio a otro del segundo, lo hace de tal forma que minimiza el tiempo empleado en su recorrido (Fermat, siglo XVII)” (3) “Puesto que el Universo es perfecto y fue creado por el Creador m´as sabio, nada ocurre en ´el, sin que est´e presente alguna ley de m´aximo o m´ınimo (Euler, siglo XVIII)” (4) “Una part´ıcula que se mueve en el espacio bajo la acci´on de una fuerza conservativa, lo hace de tal forma que su trayectoria hace m´ınima, o al menos estacionaria, la acci´on integral (Hamilton, siglo XIX)” Deteng´amonos en un ejemplo concreto, la ley de la refracci´on que afirma lo siguiente: Supongamos un medio no homog´eneo, formado por dos medios homog´eneos I y II separados por una recta r. Sean AyBdos puntos dados de I y II respectivamente. Entonces un rayo luminoso que va de Ahasta Blo hace a trav´es de una trayectoria que es rectil´ınea en cada medio considerado y tal que si Oes el punto de la recta rpor el que pasa, se tiene que el cociente entre el seno del ´angulo de incidencia ϕ1y el seno del ´angulo de refracci´on ϕ2, es igual a v1 v2,siendo v1yv2,respectivamente, las velocidades de propagaci´on de la luz en I y II. Es decir (1.16) senϕ1 senϕ2 =v1 v2 Una demostraci´on variacional de la ley anterior, puede obtenerse usando el principio de Fermat (siglo XVII) que afirma: en la situaci´on anteriormente descrita, un rayo luminoso que va de Ahasta B, lo hace a trav´es de una trayectoria tal que el tiempo empleado en su recorrido es m´ınimo. Usando este principio y eligiendo convenientemente los ejes de coordenadas tal que A= (0, a), B = (d, −b),entonces si O= (x, 0),tenemos que el tiempo empleado en la trayectoria es t(x) = (a2+x2)1/2 v1 +(b2+ (d−x)2)1/2 v2 M´ ETODOS VARIACIONALES, A. CA˜ NADA, CURSO 2010/11. 7 Es trivial comprobar que existe un ´unico punto x0∈[0, d] tal que t0(x0) = 0. Adem´as, t00(x)>0,∀x∈[0, d].Esto prueba que existe un ´unico punto x0∈[0, d] tal que t(x0) = min[0,d]t. Calculando t0(x0),es trivial que la relaci´on t0(x0) = 0 es equivalente a (1.16). Terminamos la descripci´on de problemas concretos, con el denominado Principio de Dirichlet, donde como variables independientes aparecen de manera natural, funciones de varias variables reales (hasta ahora s´olo han aparecido funciones de una variable). Sea Ω un dominio (subconjunto abierto y conexo) acotado de Rn. Consideremos el problema de contorno (1.17) ∆u(x) = 0 x∈Ω u(x) = f(x)x∈∂Ω¾ donde ∆ es el operador Laplaciano definido como (1.18) ∆u(x) = ∂2u(x) ∂x2 1 +... +∂2u(x) ∂x2 n Problemas del tipo anterior (estudio de la existencia de funciones arm´onicas en Ω que tomen valores prefijados, dados por la funci´on f, en la frontera de Ω) surgen, por ejemplo, en electrost´atica. Como en el caso de la segunda ley de Newton, la ecuaci´on que aparece en (1.17) es una ecuaci´on diferencial de segundo orden, pero en este caso se trata de una ecuaci´on en derivadas parciales. Al tratar de conectar (1.17) con problemas de m´aximos y m´ınimos, surge de manera natural el llamado funcional de energ´ıa: (1.19) Φ(u) = ZΩ |∇u(x)|2dx =ZΩ"µ∂u(x) ∂x1¶2 +... +µ∂u(x) ∂xn¶2#dx que est´a definido sobre el conjunto de funciones: (1.20) A=©u:¯ Ω−→ R/ u ∈ C1(Ω), u|∂Ω=fª En electrost´atica, ues el potencial el´ectrico y Φ(u) la energ´ıa. Obs´ervese la analog´ıa entre este funcional y el funcional Φ dado por la acci´on integral de Hamilton en (1.12) (ahora la fuerza Fy por tanto, el potencial Uson las funciones id´enticamente cero). Los puntos estacionarios del funcional Φ son, en un sentido que se precisar´a en el curso, soluciones del problema (1.17) Este es el principio de Dirichlet. 8 M´ ETODOS VARIACIONALES, A. CA˜ NADA, CURSO 2010/11 1.3. Las condiciones necesarias de Euler-Lagrange y Legendre. Como resumen de lo dicho hasta ahora, nos encontraremos con el problema de minimizar (o maximizar), o al menos encontrar puntos estacionarios (por cierto, un concepto que habr´a que definir rigurosamente), de funcionales Φ de la forma Φ(y) = Zb a L(t, y(t), ..., yn)(t)) dt donde y: [a, b]→Rde clase Cn[a, b] (sistemas con un grado de libertad). Este es el caso del problema de Newton (1.1), descrito con anterioridad, o el problema de la braquistocrona (1.2). En estos dos ejemplos n= 1. De manera m´as general, y: [a, b]→Rmde clase Cn[a, b] (sistemas con mgrados de libertad). Por ejemplo, en el caso de problema isoperim´etrico (1.5) tenemos n= 1, m = 2 y en el caso del principio de Hamilton para el funcional Φ dado en (1.12) tenemos n= 1, m = 3.Adem´as, la funci´on y y sus derivadas hasta el orden n, satisfacen en general algunas condiciones adicionales en la frontera del intervalo [a, b]. Trataremos tambi´en el caso de funciones de varias variables (sistemas con infinitos grados de libertad) como en el caso del funcional (1.19), relacionado con el principio de Hamilton. Concretamente funcionales de la forma Φ(u) = ZΩ L(x, u(x), ..., Dαu(x)) dx, siendo Ω un dominio acotado de Rn.Aqu´ı αes un multi´ındice α= (α1, α2, . . . , αn) tal que αi∈N∪ {0},1≤i≤ny Dαu(x) = ∂α1+...+αnu(x) ∂xα1 1. . . ∂xαn n Por ejemplo, en el caso del funcional (1.19) los multi´ındices αvienen dados por los vectores can´onicos de Rn.Adem´as, es usual que la funci´on uverifique algunas condiciones en la frontera de Ω.Por ejemplo, en el principio de Hamilton u(x) = f(x),∀x∈∂Ω. Como en la teor´ıa de m´aximos y m´ınimos para funcionales Φ : D→ R, y →Φ(y),donde Des un subconjunto del espacio eucl´ıdeo Rk,las principales cuestiones que hemos de resolver se centran fundamentalmente en el establecimiento de condiciones necesarias y condiciones suficientes que nos permitan reconocer un punto de m´ınimo o al menos un punto estacionario (si es que tiene sentido) del funcional Φ.Sabemos que esto depende no s´olo del funcional Φ,sino en gran medida del subconjunto D. En el caso finito dimensional, donde D⊂Rk,si Des abierto, dichas condiciones se expresan en t´erminos de Φ0(x)ydeΦ00(x) (o derivadas de orden superior a dos). No obstante, en este caso el problema suele ser, con frecuencia, probar que Φ tiene m´ınimo. Si Des compacto, no suele ser problema probar que Φ tiene m´ınimo. Si, adem´as, su frontera se expresa en t´erminos “buenos”, es ´util el teorema de los multiplicadores de Lagrange. M´ ETODOS VARIACIONALES, A. CA˜ NADA, CURSO 2010/11. 15 Tiene as´ı sentido hablar de la derivabilidad de Φ0.Si existe (Φ0)0(x0) se dir´a que Φ posee derivada segunda en el punto x0: Φ00(x0)∈ L(X, L(X, Y ). Por ejemplo, es f´acil comprobar que si L∈ L(X, Y ),entonces L00 = 0 en todo punto. Si X=C([0,1],R),y Φ : X→Xest´a definida como Φ(x)(t) = x2(t), entonces (Φ00(x))(h)(k) = 2hk, ∀h, k ∈X. Para poder trabajar c´omodamente con derivadas de orden superior, conviene hacer las identificaciones que siguen. Comencemos por un lema, de demostraci´on sencilla, que identifica el espacio L(X, L(X, Y )) con L2(X, Y ), donde L2(X, Y ) es el espacio de las aplicaciones bilineales y continuas de X×Xen Y. Recordemos que si L∈ L2(X, Y ), ∃m≥0, / kL(h, k)kY≤ mkhkXkkkX,∀(h, k)∈X×X. Entonces kLkes el ´ınfimo (m´ınimo) de los n´umeros mque verifican la desigualdad anterior. Tambi´en, kLkL2(X,Y )= supkhk≤1,kkk≤1kL(h, k)kY. Lema 2.3. Sea Γ : L(X, L(X, Y )) −→ L2(X, Y ) A−→ ΓA donde ΓA:X×X−→ Y, ΓA(h, k) = (A(h))(k),∀(h, k)∈X×X. Entonces Γes lineal, biyectiva y kΓAkL2(X,Y )=kAkL(X,L(X,Y )) ,∀A∈ L(X, L(X, Y )). Una propiedad destacable es que la derivada segunda de una funci´on, si existe, es siempre una aplicaci´on bilineal sim´etrica (v´eanse [2], [8]). En general, si Ln(X, Y ) denota el conjunto de aplicaciones multilineales y continuas Lde X×. . .n)×Xen Y, con la norma usual, es decir, kLk= sup kx1k≤1,··· ,kxnk≤1 kL(x1,··· , xn)kY, entonces la derivada n−´esima puede definirse por inducci´on, sin m´as que usar la identificaci´on (2.10) L(X, Ln(X, Y )) ≃ Ln+1(X, Y ) Como en el caso de dimensi´on dos, una propiedad destacable es que la derivada n−´esima de una funci´on, si existe, es siempre una aplicaci´on multilineal sim´etrica (v´eanse [2], [8]). La siguiente f´ormula, conocida como f´ormula de Taylor, es semejante al caso de dimensi´on finita, y de gran utilidad en el estudio de m´aximos y m´ınimos de funcionales. Para la demostraci´on v´eanse [2], [3] o bien [8]. Como hasta ahora, Ω denota cualquier abierto de un espacio normado real X, e Ydenota tambi´en cualquier espacio normado real. Teorema 2.4. Sea Φ : Ω →Y, de clase Cn(Ω) (es decir, tanto Φcomo sus derivadas hasta el orden nson continuas en Ω), y dos puntos u, u +h∈Ω 16 M´ ETODOS VARIACIONALES, A. CA˜ NADA, CURSO 2010/11 tales que el segmento [u, u +h]⊂Ω.Entonces (2.11) Φ(u+h) = Φ(u)+Φ0(u)(h) + . . . +1 (n)!Φn)(u)(h)n+ω(u, h)(h)n, donde ω(u, h)es un aplicaci´on multilineal de X×. . .n)×Xen Ytal que limh→0ω(u, h) = 0.En particular limh→0ω(u,h)(h)n khkn X= 0. Aqu´ı, la notaci´on Φk)(u)(h)ksignifica la aplicaci´on multilineal Φk)(u) aplicada al elemento (h, . . . , h)∈Xk. Los resultados anteriores permiten demostrar los teoremas siguientes, sobre condiciones necesarias y condiciones suficientes de m´aximos y m´ınimos. Teorema 2.5. Sea Φ : Ω −→ R,Ω⊂Xabierto, y x0∈Ωun m´ınimo local de Φ. •Si Φes derivable en x0,entonces Φ0(x0) = 0. •Si existe la derivada segunda de Φen x0,entonces Φ00(x0)(h, h)≥ 0,∀h∈X Teorema 2.6. Sea Φ : Ω −→ R,Ω⊂Xabierto, Φ∈ C2(Ω,R)yx0∈Ωtal que: (1) Φ0(x0) = 0 (2) ∃K > 0/Φ00(x0)(h, h)≥Kkhk2,∀h∈X Entonces Φtiene un m´ınimo local estricto en x0. Nota 1.Notemos que la condici´on ∃K > 0/Φ00(x0)(h, h)≥Kkhk2,∀h∈X es equivalente a ∃K > 0/Φ00(x0)(h, h)≥K, ∀h∈Xtal que khk= 1. Si el espacio Xtiene dimensi´on finita, esto ´ultimo es claramente equivalente a que Φ00(x0)(h, h)>0,∀h∈Xtal que khk= 1. En dimensi´on infinita no es necesariamente as´ı, debido a la no compacidad de la bola unidad del espacio X. Veamos un ejemplo de lo anterior, de especial significaci´on por las aplicaciones al c´alculo de variaciones. Sea f: [a, b]×R−→ R,(t, x)→f(t, x), continua tal que ∃∂f ∂x : [a, b]×R−→ Ry es continua. Definimos M´ ETODOS VARIACIONALES, A. CA˜ NADA, CURSO 2010/11. 17 (2.12) Φ : C([a, b],R)−→ R Φ(x) = b Z a f(t, x(t))dt • C([a, b],R) lo consideramos como espacio normado real, con la norma kxk0= maxt∈[a,b]|x(t)|. Proposici´on 2.7. ∀x0∈ C([a, b],R),∃Φ0(x0)y (2.13) Φ0(x0) : C([a, b],R)−→ Rviene definida por Φ0(x0)(h) = b Z a ∂f(t, x0(t)) ∂x h(t)dt, ∀h∈ C([a, b]. Principales ideas de la demostraci´on. Tendremos que comprobar en primer lugar que L(h)≡Φ0(x0)(h) tal y como se ha definido anteriormente, es lineal y continua respecto de h. (2.14) L: (C([a, b]),R)−→ R h−→ b Z a ∂f(t, x0(t)) ∂x h(t)dt es lineal de forma trivial. Para ver que es continua hemos de demostrar que existe M∈R+tal que |L(h)| ≤ Mkhk0,∀h∈ C([a, b],R). Ahora bien, como Mpuede tomarse M1(b−a),donde M1es el m´aximo de la aplicaci´on de [a, b] en Rdefinida como (2.15) t−→ ¯¯¯¯ ∂f(t, x0(t)) ∂x ¯¯¯¯ El siguiente paso es comprobar que se verifica la condici´on (2.8). Ahora bien, (2.16) Φ(x0+h)−Φ(x0)−L(h) = b Rahf(t, x0(t) + h(t)) −f(t, x0(t)) −∂f(t,x0(t)) ∂x h(t)idt = (∗) Ahora podemos usar el Teorema del Valor Medio, en versi´on integral. Este Teorema, muy ´util y sencillo de usar, afirma lo siguiente: 18 M´ ETODOS VARIACIONALES, A. CA˜ NADA, CURSO 2010/11 (2.17) g∈ C1([x, y],R)⇒g(y)−g(x) = 1 Z 0 g0(ty + (1 −t)x)(y−x)dt Pensemos que la demostraci´on es trivial, puesto que g0(ty + (1 −t)x)(y−x) = d dt g(ty + (1 −t)x) Usando este Teorema, la expresi´on (2.16), se transforma en (2.18) (∗) = b Z a  1 Z 0 ∂f(t, rx0(t) + rh(t) + (1 −r)x0(t)) ∂x h(t)dr −∂f(t, x0(t)) ∂x h(t) dt = (2.19) = b Z a  1 Z 0µ∂f(t, x0(t) + rh(t)) ∂x −∂f(t, x0(t)) ∂x ¶dr h(t)dt = Tomamos valores absolutos, y obtenemos la expresi´on (2.20) |Φ(x0+h)−Φ(x0)−L(h)| ≤ khk0 b Ra 1 R0¯¯¯ ∂f(t,x0(t)+rh(t)) ∂x −∂f(t,x0(t)) ∂x ¯¯¯drdt Para concluir la demostraci´on, bastar´ıa comprobar que (2.21) lim khk0→0 b Z a 1 Z 0¯¯¯¯ ∂f(t, x0(t) + rh(t)) ∂x −∂f(t, x0(t)) ∂x ¯¯¯¯ drdt = 0 Ahora bien, tenemos que x0(t) + rh(t) converge (uniformemente respecto de r) a la funci´on x0(t) con la norma k·k0. Adem´as, como ∂f ∂x es continua, esta funci´on es uniformemente continua en compactos, y por ello se tiene que (2.22) ∂f(t,x0(t)+rh(t)) ∂x −→ ∂f(t,x0(t)) ∂x con la norma k · k0,uniformemente respecto de r∈[0,1]. Ideas an´alogas pueden usarse para el estudio del siguiente funcional: Sea X=C1([a, b],R), con la norma dada por kxk=kxk0+kx0k0. Sea (2.23) f: [a, b]×R×R−→ R (t, x, y)−→ f(t, x, y) M´ ETODOS VARIACIONALES, A. CA˜ NADA, CURSO 2010/11. 19 continua tal que para cualquier t∈[a, b] fijo, la aplicaci´on f(t, x, y) es C1 con respecto a (x, y)∈R2. Si definimos el funcional (2.24) Φ : X−→ R Φ(x) = b Z a f(t, x(t),˙x(t))dt Entonces Φ es derivable y (2.25) Φ0(x0)(h) = b Z a·∂f(t, x0(t),˙x0(t)) ∂x h(t) + ∂f(t, x0(t),˙x0(t)) ∂˙x˙ h(t)¸dt, ∀h∈X. Otros ejemplos son los siguientes. Sea X=Ck([a, b],R) con la norma kxkk= k X p=0 kxp)k0yf: [a, b]×Rk+1 →R,(t, x0, x1, ..., xk)→f(t, x0, x1, ..., xk) continua y tal que para cada t∈[a, b] fijo, la aplicaci´on f(t, x0, x1, ..., xk) es C1con respecto a (x0, x1, ..., xk)∈Rk+1.Si Φ : X→Rse define como Φ(x) = Zb a f(t, x(t), ..., xp)(t), ..., xk)(t)) dt, entonces Φ0(x0)(h) = k X p=0 Zb a ∂f(t, x0(t), ..., xk) 0(t)) ∂xp hp)(t)dt Respecto de las derivadas de orden superior, las mismas ideas pueden usarse para probar el resultado siguiente: Sea f: [a, b]×R−→ R,(t, x)→f(t, x) continua tal que para cada t∈[a, b] fijo, la aplicaci´on f(t, x) es C2respecto de x∈R.Si Φ es el funcional definido en (2.12) entonces Φ00(x0)(h, k) = b Z a ∂2f(t, x0(t)) ∂x2h(t)k(t)dt. Para el funcional definido en (2.24) se tendr´ıa (2.26) Φ00(x0)(h, k) = b Ra [∂2f(t,x0(t),˙x0(t)) ∂x2h(t)k(t) + ∂2f(t,x0(t),˙x0(t)) ∂x∂y h(t)˙ k(t)+ ∂2f(t,x0(t),˙x0(t)) ∂y∂x ˙ h(t)k(t) + ∂2f(t,x0(t),˙x0(t)) ∂y2˙ h(t)˙ k(t)]dt A veces es necesario trabajar con conceptos m´as d´ebiles que la derivabilidad seg´un Fr´echet. Vamos a hablar brevemente de esto para funcionales 20 M´ ETODOS VARIACIONALES, A. CA˜ NADA, CURSO 2010/11 que est´an definidos en alg´un abierto de un espacio normado y con valores reales. Definici´on 2.8. Sea (E, k·k) un espacio normado real, Ω un subconjunto abierto de E, Φ : Ω −→ Ryx0∈E. •Recordemos que Φ es derivable seg´un Fr´echet en x0si ∃L:E−→ R lineal y continua tal que (2.27) lim h→0 |Φ(x0+h)−Φ(x0)−L(h)| khkX = 0 •Se dice que Φ es derivable seg´un Gateaux en x0si (2.28) ∀h∈E∃lim τ→0 Φ(x0+τh)−Φ(x0) τ≡Φ0 G(x0)(h) y la aplicaci´on Φ0 G(x0) : E−→ R, h →Φ0 G(x0)(h),es lineal y continua en h∈E. En este caso, a Φ0 G(x0) se le llama derivada de Gateaux de Φ en x0. •Se define la primera variaci´on de Φ en x0,en la direcci´on h∈E como (2.29) δΦ(x0, h) = lim τ→0 Φ(x0+τh)−Φ(x0) τ •En general, se define la n-´esima variaci´on de la funci´on Φ en x0y en la direcci´on h∈Ecomo (2.30) δnΦ(x0, h) = dnΦ(x0+th) dtn¯¯¯¯t=0 La derivabilidad seg´un Fr´echet implica la derivabilidad seg´un Gateaux, y no se verifica la implicaci´on contraria. La derivabilidad seg´un Gateaux implica la existencia de la primera variaci´on en todas las direcciones, pero no al contrario. Tambi´en, las reglas algebraicas usuales, regla de la cadena, etc. son v´alidas para estos conceptos relacionados con la derivabilidad. V´ease [17] para la relaci´on entre estos conceptos. Algunos ejemplos de inter´es son los siguientes: Ejemplo 1. Sea f:R2−→ R. f(x, y) =    x6 (y−x2)2+x8si (x, y)6= (0,0) 0 si (x, y) = (0,0) M´ ETODOS VARIACIONALES, A. CA˜ NADA, CURSO 2010/11. 21 Esta funci´on es derivable seg´un Gateaux en el punto (0,0) (de hecho, su derivada es la funci´on nula), pero fno es continua en este punto. En particular fes derivable seg´un Gateaux en (0,0) pero no es Fr´echet derivable en (0,0). Ejemplo 2. Sea f:R2−→ R. f(x, y) =    x2ypx2+y2 x4+y2si (x, y)6= (0,0) 0 si (x, y) = (0,0) Esta funci´on es derivable seg´un Gateaux en el punto (0,0) (de hecho, su derivada es la funci´on nula), es continua en este punto, pero no es derivable en el sentido de Fr´echet. ¡An´ımese el alumno a comprobar las afirmaciones anteriores! El Teorema del valor medio es cierto, usando la noci´on de derivada de Gateaux. De hecho, tenemos el Teorema siguiente: Teorema 2.9. Sean X, Y espacios normados, Ωun abierto de XyΦ : Ω→Yderivable Gateaux en Ω.Si x1, x2∈Ωson tales que el segmento [x1, x2]⊂Ω,entonces kΦ(x1)−Φ(x2)kY≤µsup 0≤t≤1 kΦ0 G(tx1+ (1 −t)x2)kL(X,Y )¶kx1−x2kX Usando este Teorema, puede probarse el siguiente, de inter´es en las aplicaciones, para determinar la derivada de Fr´echet de los funcionales que estemos tratando. De hecho, la funci´on dada Φ puede usarse de manera directa para intentar calcular la derivada de Gateaux, pero no as´ı para calcular la derivada de Fr´echet. Teorema 2.10. Sea Φ : Ω →Y, derivable seg´un Gateaux en Ω(es decir, en todos los puntos de Ω) y tal que la aplicaci´on Φ0 G: Ω → L(X, Y )es continua en x0∈Ω.Entonces existe la derivada de Fr´echet Φ0(x0)yΦ0(x0) = Φ0 G(x0). La versi´on tradicional del Teorema del valor medio es v´alida tambi´en. Esto exige introducir el concepto de integral definida, (2.31) Zb a f(t)dt para funciones f: [a, b]→E, continuas, donde Ees un espacio normado cualquiera. No es dif´ıcil: en primer lugar se introduce el concepto anterior para funciones escalonadas. En segundo lugar, usando el hecho de que si f: [a, b]→E, es continua, entonces es uniformemente continua, puede usarse un m´etodo l´ımite para definir (2.31). V´ease, por ejemplo ([12]). Se obtiene as´ı el Teorema fundamental del C´alculo que se enuncia a continuaci´on. 22 M´ ETODOS VARIACIONALES, A. CA˜ NADA, CURSO 2010/11 Teorema 2.11. Sea Eun espacio normado cualquiera y f: [a, b]→E continua. Si F: [a, b]→Ese define como F(t) = Rt af(s)ds, entonces F0(t) = f(t),∀t∈[a, b]. Lo que sigue es el Teorema del valor medio para derivada de Fr´echet. Teorema 2.12. Sea f: Ω →Yde clase C1(Ω).Entonces, para todo par de puntos x1, x2∈Ωtales que [x1, x2]⊂Ω,se tiene: f(x1)−f(x2) = Z1 0 f0(x2+t(x1−x2))(x1−x2)dt ¡Puede ser muy instructivo comparar los Teoremas 2.9 y 2.12! 2.2. Convexidad de un operador y monoton´ıa de su derivada. Veamos a continuaci´on algunas de las relaciones existentes entre la convexidad de una funci´on y la monoton´ıa de su derivada. Para ello, sea (E, k·k) un espacio normado, Ω un abierto de Eyf: Ω −→ Rderivable. De acuerdo con la definici´on de derivada, se tiene f0: Ω −→ L(E, R) x0−→ f0(x0) donde L(E, R) es el espacio de Banach de las aplicaciones lineales y continuas de Een R,con la norma usual, es decir: ∀L∈ L(E, R)kLk= sup kxk≤1, x∈E |L(x)| Definici´on 2.13. •f0se dice que es mon´otona si (f0(x)−f0(y))(x−y)≥0∀x, y ∈Ω. •f0se dice que es estrictamente mon´otona si (f0(x)−f0(y))(x−y)> 0,∀x, y ∈Ω con x6=y. Teorema 2.14. Sea Ω⊂E, abierto y convexo y f: Ω −→ Rf∈ C1(Ω). Son equivalentes: (1) fes convexa en Ω; es decir, ∀x, y ∈Ωse tiene f(λx + (1 −λ)y)≤ λf(x) + (1 −λ)f(y),∀λ∈[0,1]. (2) f0: Ω −→ L(E, R)es mon´otona. Tambi´en son equivalentes: (1) fes estrictamente convexa en Ω; es decir, ∀x, y ∈Ωx6=y, se tiene f(λx + (1 −λ)y)< λf(x) + (1 −λ)f(y),∀λ∈(0,1). (2) f0: Ω −→ L(E, R)es estrictamente mon´otona. M´ ETODOS VARIACIONALES, A. CA˜ NADA, CURSO 2010/11. 23 Demostremos la primera parte. ¡Int´entelo el alumno con la segunda. Es posible que se lleve alguna sorpresa! 1. ⇒2. Si x, y ∈Ω entonces f(λx + (1 −λ)y)≤λf(x) + (1 −λ)f(y),∀λ∈[0,1]. De aqu´ı obtenemos que f(y+λ(x−y)) −f(y)≤λ(f(x)−f(y)), ∀λ∈(0,1). As´ı, (2.32) f(y+λ(x−y)) −f(y) λ≤f(x)−f(y) Si λ−→ 0+obtenemos (2.33) f0(y)(x−y)≡δf(y;x−y)≤f(x)−f(y) An´alogamente, cambiando xpor y, se obtiene la expresi´on f0(x)(y−x)≤ f(y)−f(x). Sumando ambas expresiones, obtenemos finalmente que (f0(y)− f0(x))(x−y)≤0, por lo que (f0(y)−f0(x))(y−x)≥0. 2.⇒1. Veamos que ∀x, y ∈Ω y ∀λ∈[0,1] se tiene que f(λx + (1 −λ)y)≤ λf(x) + (1 −λ)f(y). En efecto, para ello definimos la funci´on (2.34) p: [0,1] −→ R p(λ) = f(λx + (1 −λ)y)−λf(x)−(1 −λ)f(y) Hemos de comprobar que p(λ)≤0∀λ∈[0,1]. En principio p(0) = p(1) = 0. Supongamos que ∃λ0∈(0,1) tal que p(λ0)>0. Entonces max[0,1] p > 0. Sea λ1un punto donde se alcance este m´aximo. Entonces p0(λ1) = 0. Adem´as, usando que f0es mon´otona, se tiene p0(λ)−p0(λ1) = f0(λx + (1 −λ)y)(x−y)−f(x) + f(y) −f0(λ1x+ (1 −λ1)y)(x−y) + f(x)−f(y) = [f0(λx + (1 −λ)y)−f0(λ1x+ (1 −λ1y)] (x−y) . Si u=λx + (1 −λ)y,v=λ1x+ (1 −λ1)y, la expresi´on anterior queda (f0(u)−f0(v))( u−v λ−λ1), que es una expresi´on no negativa para λ > λ1, por la monoton´ıa de f0.Esto implica que p0(λ)≥0∀λ > λ1, lo que no es posible si tenemos en cuenta los valores de pen λ=λ1yλ= 1. Observando detenidamente la demostraci´on anterior, obtenemos el siguiente resultado que ser´a muy ´util en la pr´actica. Corolario 2.15. Sea Ωconvexo y f: Ω −→ Rconvexa. Supongamos que para alg´un x0∈Ω se cumple (2.35) δf(x0;x−x0) = 0,∀x∈Ω. Entonces x0es un punto de m´ınimo global de fen Ω. Adem´as, si fes estrictamente convexa, el punto donde se alcanza el m´ınimo es ´unico. 24 M´ ETODOS VARIACIONALES, A. CA˜ NADA, CURSO 2010/11 Un ejemplo de lo anterior es el siguiente. Sea C=©y∈ C1[0,1] : y(0) = 0, y(1) = 1ª, y f:C−→ Rdefinida por f(y) = 1 Z 0 (y02(x)+4y(x))dx . Puede probarse que: •Existe m´ınimo de fen C. •Este m´ınimo se alcanza en la funci´on y0(x) = x2. •El punto donde se alcanza el m´ınimo es ´unico. De hecho, para este ejemplo se tiene (f0(x)−f0(y), x −y) = 2 Z1 0 (x0−y0)2 lo que prueba que el funcional fes estrictamente convexo. Adem´as, una condici´on suficiente para que se cumpla (2.35) es que x0∈C2[0,1], x00 0= 2, x0(0) = 0, x0(1) = 1 (¿por qu´e?) Esto lo satisface la funci´on x0(x) = x2. Otro ejemplo puede ser el siguiente. Sea C=©y∈ C1[0,1] : y(0) = 0, y(1) = 0ª, y f:C−→ Rdefinida por f(y) = 1 Z 0 (y02(x)−y2(x)+2xy(x))dx . Entonces puede probarse: •Existe m´ınimo de fen C. •Este m´ınimo se alcanza en la funci´on y0(x) = x−senx sen1. •El punto donde se alcanza el m´ınimo es ´unico. De hecho, para este ejemplo se tiene (f0(y)−f0(z), y −z) = 2 Z1 0 (y0−z0)2−2Z1 0 (y−z)2 Usando series de Fourier ([5]) puede probarse f´acilmente que (f0(y)−f0(z), y −z)≥2(π2−1) Z1 0 (y−z)2 lo que prueba que fes estrictamente convexo. Adem´as, una condici´on suficiente para que se cumpla (2.35) es que y0∈C2[0,1],−y00 0−y0+x= 0, y0(0) = 0, y0(1) = 1 (¿por qu´e?) Esto lo satisface la funci´on y0(x) = x−sen x sen 1. M´ ETODOS VARIACIONALES, A. CA˜ NADA, CURSO 2010/11. 31 (2) Expresi´on conveniente de la derivada segunda W00(0)(h, h). Por el paso previo, las hip´otesis de nuestro teorema garantizan que la funci´on Lq ˙q(t, q0(t),˙q0(t)) es C1[a, b].Realizando una integraci´on por partes en la expresi´on de la derivada segunda (v´ease (2.47)), obtenemos Rb a2Lq˙q(t, q0(t),˙q0(t))h(t)˙ h(t) = Rb aLq˙q(t, q0(t),˙q0(t)) d dth2(t) = −Rb a d dtLq˙q(t, q0(t),˙q0(t))h2(t) de donde se deduce (2.59) W00(0)(h, h) = Rb a[Lqq(t, q0(t),˙q0(t)) −d dtLq˙q(t, q0(t),˙q0(t))]h2(t) + L˙q˙q(t, q0(t),˙q0(t))˙ h2(t) = Rb aA(q0)(t)h2(t) + B(q0)(t)˙ h2(t) (3) Uso de la condici´on de Jacobi en la forma cuadr´atica anterior. Sea uuna soluci´on positiva de (2.58). Entonces, cualquier funci´on h∈X0(X0se ha definido en 2.39) puede escribirse de la forma h=uξ, con ξ∈X0.De esta manera W00(0,0)(h, h) = Rb aA(q0)(t)h2(t) + B(q0)(t)˙ h2(t) = Rb aA(q0)(t)u2(t)ξ2(t) + B(q0)(t) ˙u2(t)ξ2(t)+ Rb aB(q0)(t)u2(t)˙ ξ2(t)+2B(q0)(t)( ˙u(t)ξ(t) + u(t)˙ ξ(t)) Realizando una integraci´on por partes con el segundo miembro de la expresi´on anterior, tenemos Zb a B(q0)(t) ˙u2(t)ξ2(t) = −Zb a B(q0)(t)u(t)(u00(t)ξ2(t) + 2 ˙uξ(t)˙ ξ(t)) As´ı, (2.60) W00(0)(h, h) = Rb aξ2(t)u(t)[−d dt(B(q0)(t) ˙u(t)) + A(q0)(t)u(t)] + Rb aB(q0)(t)u2(t)˙ ξ2(t) = Rb aB(q0)(t)u2(t)˙ ξ2(t). Teniendo en cuenta la hip´otesis sobre B(q0)y el hecho de que ues estrictamente positiva, tenemos (2.61) W00(0)(h, h)>0,∀h∈X0\ {0}. 32 M´ ETODOS VARIACIONALES, A. CA˜ NADA, CURSO 2010/11 (4) Puede probarse a´un m´as. Para ello, si εes cualquier constante positiva suficientemente peque˜na, la condici´on de Jacobi se sigue verificando para funcionales de la forma Zb a A(q0)(t)h2(t) + B(q0)(t)˙ h2(t)−ε˙ h2(t). Para ver esto, pensemos que las soluciones de la ecuaci´on diferencial d dt(B(q0)(t) ˙u(t)−ε˙u(t)) = A(q0)(t)u(t), t ∈[a, b] dependen continuamente de las condiciones iniciales y del par´ametro ε. As´ı, la ecuaci´on diferencial anterior tiene alguna soluci´on v∈ C2[a, b] que no se anula en [a, b].Por tanto, por el paso anterior, debe existir alguna constante k0>0 verificando (2.62) W00(0)(h, h)≥k0Zb a ˙ h2,∀h∈X0 (5) Uso del desarrollo de Taylor. Teniendo en cuenta que W0(0) = 0,tenemos que (2.63) Φ(q0+h)−Φ(q0) = W(h)−W(0) = 1 2!W00(0)(h, h) + R(h), donde (2.64) R(h) = R1 0[(1 −ψ)(W00(ψh)−W00(0))(h, h)] dψ = Rb a[A(q0+ψh)(t)−A(q0)(t)]h2(t)+[B(q0+ψh)(t)−B(q0)(t)]˙ h2(t) (6) Uso de la desigualdad de Poincar´e. Como para cualquier funci´on h∈X0se tiene Zb a h2≤(b−a)2 2Zb a ˙ h2, usando la regularidad de Ly (2.64), obtenemos que para δpositivo y suficientemente peque˜no y h∈X0satisfaciendo khk1≤δ, entonces (2.65) |R(h)| ≤ k0 2Zb a ˙ h2(t) (7) Por ´ultimo, las relaciones (2.62) y (2.65) demuestran (2.66) Φ(q0+h)−Φ(q0)>0,∀h∈X0\ {0}:khk1≤δ Nota 3.Puede verse en [3] y [18] que la condici´on de Jacobi es “casi necesaria” para que la forma cuadr´atica W00(0)(h, h) sea definida positiva. No obstante, la condici´on de Jacobi no es sencilla de comprobar. Esto hace que las condiciones suficientes mostradas con anterioridad sean muy dif´ıciles de aplicar en casos concretos. M´ ETODOS VARIACIONALES, A. CA˜ NADA, CURSO 2010/11. 33 2.5. Otros problemas cl´asicos del c´alculo de variaciones. En un curso de estas caracter´ısticas, debemos proporcionar al alumno los conocimientos suficientes para que resuelva por s´ı s´olo situaciones similares. Las ideas expuestas con anterioridad deben ser suficientes para resolver algunas otras situaciones del c´alculo de variaciones, como aquellas donde q(t) es una funci´on vectorial o Ldepende de derivadas de orden superior a uno. Comentamos algunas a continuaci´on ([7]). Funcionales que dependen de varias funciones. Sea X=©q∈ C1([a, b],Rn)/ q(a) = q1, q(b) = q2ªcon (a, q1)y(b, q2) dados. Notemos q= (q1, . . . , qn),˙q= ( ˙q1, . . . , ˙qn). Sea L∈ C2([a, b]×Rn×Rn,R) y (2.67) Φ : X−→ R Φ(q) = b Z a L(t, q(t),˙q(t))dt La condici´on necesaria de Euler-Lagrange se expresar´ıa ahora como un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma (2.68) d dt(L˙qi(t, q0(t),˙q0(t)) = Lqi(t, q0(t),˙q0(t)),1≤i≤n Funcionales que dependen de derivadas de orden superior. Sea X=nq∈ Ck([a, b],R)/ qj)(a) = qj 1, qj)(b) = qj 2,0≤j≤k−1o con (a, q1)∈Rk+1 y (b, q2)∈Rk+1 dados. Sea L∈ C2([a, b]×Rk+1,R) y (2.69) Φ : X−→ R Φ(q) = b Z a L(t, q(t), q1)(t). . . , qk)(t))dt La condici´on necesaria de Euler-Lagrange se expresar´ıa ahora como una ecuaci´on diferencial de orden 2kdada por (2.70) k X i=1 (−1)i+1 di dti(Lqi)(t, q0(t), q1) 0(t), . . . , qk) 0(t)) = Lq(t, q0(t), q1) 0(t), . . . , qk) 0(t)). La condici´on en un extremo es libre. Sea X=©q∈ C1([a, b],R)/ q(a) = q1ªcon (a, q1) dado. 34 M´ ETODOS VARIACIONALES, A. CA˜ NADA, CURSO 2010/11 Sea L∈ C2([a, b]×R×R,R) y (2.71) Φ : X−→ R Φ(q) = b Z a L(t, q(t),˙q(t))dt La condici´on necesaria de Euler se expresar´ıa ahora como (2.72) d dt(L˙q(t, q0(t),˙q0(t)) = Lq(t, q0(t),˙q0(t)), L˙q(b, q0(b),˙q0(b)) = 0. Observemos que, al haber tomado ahora un conjunto Xque incluye estrictamente al del Teorema 2.16, aparece una condici´on adicional para t=b, a la que se le suele llamar “condici´on natural de frontera.” No hay condiciones en los extremos: ambos son libres. Sea X=©q∈ C1([a, b],R)ª. Sea L∈ C2([a, b]×R×R,R) y (2.73) Φ : X−→ R Φ(q) = b Z a L(t, q(t),˙q(t))dt La condici´on necesaria de Euler se expresar´ıa ahora como (2.74) d dt(L˙q(t, q0(t),˙q0(t)) = Lq(t, q0(t),˙q0(t)), L˙q(b, q0(b),˙q0(b)) = 0, L˙q(a, q0(a),˙q0(a)) = 0. Observemos que, al haber tomado ahora un conjunto Xque incluye estrictamente al del Teorema 2.16 y al del caso anterior, aparece una condici´on adicional para t=by otra para t=a, a las que se le suele llamar “condiciones naturales de frontera.” Hay restricciones adicionales (multiplicadores de Lagrange). Sea X=nq∈ C1([a, b],R), q(a) = q1, q(b) = q2,Rb ag(t, q(t),˙q(t)) dt = 0o con (a, q1),(b, q2) y la funci´on g∈C2([a, b]×R×R,R) dados. Sea L∈ C2([a, b]×R×R,R) y (2.75) Φ : X−→ R Φ(q) = b Z a L(t, q(t),˙q(t))dt M´ ETODOS VARIACIONALES, A. CA˜ NADA, CURSO 2010/11. 35 La condici´on necesaria de Euler se expresar´ıa ahora diciendo que existe alguna constante real λ(multiplicador de Lagrange) tal que (2.76) d dt(L˙q(t, q0(t),˙q0(t))−Lq(t, q0(t),˙q0(t)) = λ[d dt(g˙q(t, q0(t),˙q0(t))−gq(t, q0(t),˙q0(t))].