Resolución del examen de Selectividad de 'Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II' en Andalucía - Junio de 2019

Resoluci´on del examen de Selectividad de Matem´aticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Andaluc´ıa – Junio de 2019 Antonio Francisco Rold´an L´opez de Hierro * Mi´ercoles, 12 de junio de 2019 Opci´on A Ejercicio 1 (2’5 puntos) Una empresa textil quiere fabricar dos tipos de camisetas, lisas y estampadas. Para fabricar una camiseta lisa necesita 70 g de algod´on y 20 g de poli´ester y para cada camiseta estampada 60 g de algod´on y 10 g de poli´ester. La empresa dispone para ello de 4 200 g de algod´on y 800 g de poli´ester. Para que sea rentable debe fabricar al menos 10 estampadas y adem´as, el doble de las estampadas debe ser al menos igual al n´umero de lisas. Sabiendo que cada camiseta lisa da un beneficio de 5 euros y cada estampada de 4 euros, ¿cu´antas camisetas de cada tipo deber´ıa fabricar para obtener el m´aximo beneficio? ¿Cu´al es ese beneficio? Soluci´ on : Organizamos la informaci´on que nos da el enunciado en la siguiente tabla (conviene poner los productos a fabricar en las columnas y las materias primas en las filas): Camisetas lisas Camisetas estampadas M´aximo Algod´on 70 g 60 g 4200 g Poli´ester 20 g 10 g 800 g Beneficio 5 e4e Llamemos xal n´umero de camisetas lisas e yal n´umero de camisetas estampadas que vamos a fabricar. Tenemos las siguientes restricciones: No podemos fabricar una cantidad negativa de camisetas, por lo que x≥0 e y≥0. *Profesor de la Universidad de Granada -http://www.ugr.es/~aroldan 1 Matem´aticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad – Junio de 2019 Solo disponemos de 4200 g de algod´on, por lo que 70x+ 60y≤4200. Simplificando entre 10, encontramos la desigualdad 7x+ 6y≤420. Solo disponemos de 800 g de poli´ester, por lo que 20x+ 10y≤800. Simplificando entre 10, encontramos la desigualdad 2x+y≤80. Debemos fabricar al menos 10 camisetas estampadas por lo que y≥10. El doble de camisetas estampadas (2y) debe ser al menos igual (≥) al n´umero de lisas (x). Por tanto, 2y≥x. De esta forma, x−2y≤0. Queremos maximizar la funci´on que nos indica el beneficio, que es la funci´on F(x, y) = 5x+ 4y. Por tanto, nos encontramos ante el siguiente problema de programaci´on lineal: maximizar F(x, y)=5x+ 4ysujeto a                        x≥0, y≥10 7x+ 6y≤420, 2x+y≤80, x−2y≤0. Para dibujar el recinto Rque satisface todas las desigualdades, en primer lugar transformamos las desigualdades en igualdades, observando que hay cinco de ellas, y buscamos dos puntos del plano que est´en sobre cada una de ellas (para as´ı dibujarlas de manera m´as sencilla): x= 0 →(0,0) y (0,10) ; y= 10 →(0,10) y (10,10) ; 7x+ 6y= 420 →(0,70) y (60,0) ; 2x+y= 80 →(0,80) y (40,0) ; x−2y= 0 →(0,0) y (20,10) . Representamos gr´aficamente las rectas que verifican estas igualdades a trav´es de los dos puntos que hemos calculado en cada recta, obteniendo la siguiente figura. Andaluc´ıa – Curso 2018/19 2 Antonio Rold´an Matem´aticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad – Junio de 2019 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad –Junio de 2019 Solo disponemos de 4200 g de algodón, por lo que 70x+ 60y4200. Simpli…cando entre 10, encontramos la desigualdad 7x+ 6y420. Solo disponemos de 800 g de poliéster, por lo que 20x+ 10y800. Simpli…cando entre 10, encontramos la desigualdad 2x+y80. Debemos fabricar al menos 10 camisetas estampadas por lo que y10. El doble de camisetas estampadas (2y) debe ser al menos igual () al número de lisas (x). Por tanto, 2yx. De esta forma, x2y0. Queremos maximizar la función que nos indica el bene…cio, que es la función F(x; y) = 5x+ 4y. Por tanto, nos encontramos ante el siguiente problema de programación lineal: maximizar F(x; y) = 5x+ 4ysujeto a 8 > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > : x0; y10 7x+ 6y420; 2x+y80; x2y0: Para dibujar el recinto Rque satisface todas las desigualdades, en primer lugar transformamos las desigualdades en igualdades, observando que hay cinco de ellas, y buscamos dos puntos del plano que estén sobre cada una de ellas (para así dibujarlas de manera más sencilla): x= 0 !(0;0) y(0;10) ; y= 10 !(0;10) y(10;10) ; 7x+ 6y= 420 !(0;70) y(60;0) ; 2x+y= 80 !(0;80) y(40;0) ; x2y= 0 !(0;0) y(20;10) : Representamos grá…camente las rectas que veri…can estas igualdades a través de los dos puntos que hemos calculado en cada recta: 20 40 60 80 20 40 60 80 x y Andalucía –Curso 2018/19 2 Antonio Roldán El recinto Rque buscamos est´a delimitado por las rectas anteriores. De hecho, encontramos que el punto (10,20) satisface todas las desigualdades del enunciado, por lo que conclu´ımos que la regi´on factible es la siguiente: Dibujos R A BC D E 20 40 60 80 20 40 60 80 x y 1 Sabemos las coordenadas de dos v´ertices con solo mirar el dibujo: A(0,10) y que B(0,70). Determinamos los otros v´ertices de la regi´on factible resolviendo los correspondientes sistemas Andaluc´ıa – Curso 2018/19 3 Antonio Rold´an Matem´aticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad – Junio de 2019 de ecuaciones lineales. C≡   7x+ 6y= 420 2x+y= 80 D≡   2x+y= 80 x−2y= 0 E≡   x−2y= 0 y= 10 x= 12, y = 56 x= 32, y = 16 x= 20, y = 10 Por consiguiente, los v´ertices de la regi´on factible son: A(0,10) , B (0,70) , C (12,56) , D (32,16) y E(20,10) . Consideremos la funci´on F(x, y)=5x+ 4y. El Teorema Fundamental de la Programaci´on Lineal afirma que la funci´on Falcanza m´aximo (y m´ınimo) absoluto en la regi´on acotada R, y que este extremo debe estar situado en alg´un v´ertice del recinto R, por lo que evaluamos Fen los puntos anteriores: F(0,10) = 5 ·0+4·10 = 40, F(0,70) = 5 ·0+4·70 = 280, F(12,56) = 5 ·12 + 4 ·56 = 284, F(32,16) = 5 ·32 + 4 ·16 = 224, F(20,10) = 5 ·20 + 4 ·10 = 140. Por consiguiente, el valor m´aximo, que es 284, se alcanza en el v´ertice C(12,56), donde x= 12 ey= 56. Esto significa que podemos obtener un beneficio m´aximo de 284 euros fabricando 12 camisetas lisas y 56 camisetas estampadas. El m´aximo beneficio es de 284 euros y se alcanza fabricando 12 camisetas lisas y 56 camisetas estampadas. Ejercicio 2 Se considera la funci´on f(x) = x3−9x+ 2. a) (1 punto) Obtenga las ecuaciones de las rectas tangentes a la gr´afica de la funci´on que sean paralelas a la recta y= 3x−3. b) (1 punto) Estudie la monoton´ıa y la curvatura de la funci´on f. c) (0.5 puntos) Calcule Zf(x)dx. Andaluc´ıa – Curso 2018/19 4 Antonio Rold´an Matem´aticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad – Junio de 2019 Soluci´ on : Dado que la funci´on fposee una expresi´on general polin´omica, sabemos que es continua y derivable en R. Apartado (a). La recta y= 3x−3 posee pendiente 3, por lo que debemos encontrar los puntos en los que la primera derivada de f(que coincide con la pendiente de la recta tangente) vale 3, es decir, debemos resolver la ecuaci´on f0(x) = 3. Dado que f0(x)=3x2−9, deducimos que: f0(x)=3 ⇔3x2−9=3 ⇔3x2= 12 ⇔x2= 4 ⇔x=±2. Por consiguiente, hay dos puntos en los que las rectas tangentes a la gr´afica de fson paralelas a la recta y= 3x−3, a saber, x=−2 y x= 2. Dado que f(−2) = (−2)3−9·(−2)+2 = −8+18+2 = 12 y f(2) = 23−9·2 + 2 = 8 −18 + 2 = −8, las ecuaciones de dichas rectas tangentes son las siguientes: •y−f(−2) = f0(−2) (x−(−2)) ⇔y−12 = 3 (x+ 2) ⇔y= 3x+ 18; •y−f(2) = f0(2) (x−2) ⇔y−(−8) = 3 (x−2) ⇔y= 3x−14. Las ecuaciones de las rectas tangentes a la gr´afica de la funci´on fparalelas a la recta y= 3x−3 son y= 3x+ 18 e y= 3x−14. Apartado (b). Sabiendo que la primera derivada de fes f0(x)=3x2−9, sus puntos cr´ıticos son las soluciones de la siguiente ecuaci´on: f0(x)=0 ⇔3x2−9=0 ⇔3x2= 9 ⇔x2= 3 ⇔x∈n−√3,√3o. La siguiente tabla nos indica tanto la monoton´ıa de fcomo sus extremos relativos. f0+ m´ax −m´ın + f% −√3&√3%f0(−2) = 3 >0; f0(0) = −9<0; f0(2) = 3 >0. Por tanto, fes creciente en −∞,−√3∪√3,+∞y es decreciente en −√3,√3. La segunda derivada de fes f00 (x)=6x, que s´olo se anula en x= 0. La siguiente tabla nos indica la curvatura de la funci´on f. f00 −PI + f∩0∪f00 (−1) = −6<0; f00 (1) = 6 >0. De esta forma, fes c´oncava en ]−∞,0[ y es convexa en ]0,+∞[. La funci´on fes (estrictamente) creciente en −∞,−√3∪√3,+∞y es (estrictamente) decreciente en −√3,√3. Adem´as, la funci´on fes c´oncava en ]−∞,0[ y es convexa en ]0,+∞[. Andaluc´ıa – Curso 2018/19 5 Antonio Rold´an Matem´aticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad – Junio de 2019 Apartado (c). Teniendo en cuenta que Zxndx =xn+1 n+ 1 +C para cada n´umero natural n(se aumenta una unidad el exponente y se divide entre el nuevo exponente), deducimos que Zf(x)dx =Zx3−9x+ 2dx =Zx3dx −9Zxdx + 2 Zdx =x4 4−9x2 2+ 2x+C=x4 4−9x2 2+ 2x+C. Zf(x)dx =x4 4−9x2 2+ 2x+C. Nota. Aunque no se nos pide, dibujamos la funci´on, sus rectas tangentes en los puntos del primer apartado (en verde), su punto de inflexi´on (en negro) y sus extremos relativos (en azul). Dibujos Dibujo elegido (con función en grosor "thick" –grueso) -4 -2 2 4 -20 -10 10 20 Otros dibujos -4 -2 2 4 -20 -10 10 20 -4 -2 2 4 -20 -10 10 20 1 Ejercicio 3 El 65 % de los turistas que visitan una provincia elige alojamientos en la capital y el resto en zonas rurales. Adem´as, el 75 % de los turistas que se hospedan en la capital y el 15 % de los que se hospedan en zonas rurales, lo hacen en hoteles, mientras que el resto lo hace en apartamentos tur´ısticos. Se elige al azar un turista de los que se han alojado en esa provincia. a) (1.5 puntos) ¿Cu´al es la probabilidad de que se haya hospedado en un hotel? b) (1 punto) Si se sabe que se ha hospedado en un apartamento tur´ıstico, ¿cu´al es la probabilidad de que el apartamento est´e en zonas rurales? Soluci´ on : Denotemos por Aal suceso “elegido/a un/a turista al azar, ´este/a se aloja en la capital” (lo que significa que Acrepresenta el caso en el que se aloja en una zona rural) y por Andaluc´ıa – Curso 2018/19 6 Antonio Rold´an Matem´aticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad – Junio de 2019 Hal suceso “elegido/a un/a turista al azar, ´este/a se aloja en un hotel” (lo que significa que Hcrepresenta el caso en el que se aloja en un apartamento tur´ıstico). Los datos del enunciado nos indican que p(A) = 0065, p(H/A) = 0075 y p(H/Ac) = 0015. Podemos entonces completar el siguiente diagrama de ´arbol: H A 0075 44 0025 **Hc • 0065 99 0035 %% H Ac 0015 44 0085 **Hc Apartado (a). Aplicando el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que un/a turista elegido/a al azar se aloje en un hotel es: p(H) = p(A)·pH  A+p(Ac)·pH  Ac= 0065 ·0075 + 0035 ·0015 = 0054. Apartado (b). Aplicando el teorema de Bayes: pAc  Hc= p(Ac)·pHc  Ac p(A)·pHc  A+p(Ac)·pHc  Ac=0035 ·0085 0065 ·0025 + 0035 ·0085 =002975 0046 =2975 4600 =119 184 ≈0064674. (a) p(H)=0054 (b) pAc  Hc=119 184 ≈0064674 Ejercicio 4 Se desea estimar la proporci´on de individuos que piensan votar a un cierto partido pol´ıtico en una determinada ciudad. Para ello se toma una muestra aleatoria de 300 individuos de la ciudad, resultando que 135 de ellos piensan votar a ese partido. a) (1.5 puntos) Calcule un intervalo de confianza al 97 % para la proporci´on de individuos que piensan votar a ese partido en dicha ciudad. b) (1 punto) Suponiendo que se mantiene la misma proporci´on muestral y el mismo nivel de confianza del apartado anterior, determine el tama˜no m´ınimo de la muestra para estimar la proporci´on con un error inferior al 2 %. Andaluc´ıa – Curso 2018/19 7 Antonio Rold´an Matem´aticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad – Junio de 2019 Soluci´ on : Llamemos pa la verdadera proporci´on de personas de esa poblaci´on que desean votar al partido pol´ıtico en cuesti´on. Esta proporci´on es desconocida y vamos a tratar de estimarla. Apartado (a). Se ha tomado una muestra aleatoria (suficientemente grande) de n= 300 votantes de esa ciudad y se ha encontrado que 135 de ellos piensan votar a dicho partido pol´ıtico, por lo que la proporci´on muestral de votantes de ese partido en la muestra es de ˆp= 135/300 = 9/20 = 0045. Calculamos el valor cr´ıtico zα/2a un nivel de confianza del 97 % (es decir, al α= 0003 = 3 % de significaci´on). El n´umero zα/2es el ´unico n´umero real que cumple que pZ > zα/2=α/2=00015, siendo Zuna variable con distribuci´on Normal est´andar. Como disponemos de una tabla de colas a la izquierda, traducimos esta condici´on con el suceso complementario, es decir, pZ≤zα/2= 1 −00015 = 00985. 1 Dibujos Dibujos z z 0'97 _0'015 0'015 0'015 0'015 1 Buscamos este valor en la tabla de la distribuci´on Normal est´andar, encontrando que p(Z≤2017) = 009850, por lo que tomamos como valor cr´ıtico zα/2= 2017. De esta forma, el intervalo de confianza para la proporci´on de individuos que piensan votar a ese partido en dicha ciudad es: IC(p) = #ˆp±zα/2rˆp(1 −ˆp) n"=#0045 ±2017 r0045 ·0055 300 "≈ ≈0045 ±0006233 =0038767,0051233 . Por tanto, si ´este fuese uno del 97 % de los intervalos de confianza que contienen al verdadero valor de la proporci´on poblacional (al elegir muchas muestras aleatorias independientes y construir muchos intervalos de confianza asociados), tendr´ıamos que la proporci´on de individuos que piensan votar a ese partido en dicha ciudad est´a entre el 380767 y el 510233 %. IC (p) = i0038767,0051233 h. Apartado (b). Manteniendo la misma proporci´on muestral y el mismo nivel de confianza, el tama˜no muestral necesario para cometer un error Einferior al E0= 2 % debe cumplir: zα/2rˆp·ˆq n=E≤E0⇔z2 α/2·ˆp·ˆq n≤E2 0⇔n≥z2 α/2·ˆp·ˆq E2 0 . Andaluc´ıa – Curso 2018/19 8 Antonio Rold´an Matem´aticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad – Junio de 2019 As´ı: n≥z2 α/2·ˆp·ˆq E2 0 =20172·0045 ·0055 00022= 291306. Por tanto, el tama˜no m´ınimo de la muestra para estimar la proporci´on con un error inferior al 2 % es de 2914 individuos. Opci´on B Ejercicio 1 Se considera la matriz: A=   1−2 0 −2 2 −1 011   . a) (0.5 puntos) Razone si la matriz Aes sim´etrica. b) (1 punto) Calcule A−1. c) (1 punto) Resuelva la ecuaci´on matricial 2X·A−A2−3I3= 0. Soluci´ on :Apartado (a). La matriz Ano es sim´etrica ya que el elemento a23 vale −1 y el elemento a32 es 1, siendo estos valores diferentes. A=   1−2 0 −2 2 −1 0 1 1   . Apartado (b). En primer lugar, estudiamos si la matriz Aposee inversa calculando su determinante: det A= 1−2 0 −2 2 −1 011  = (2 + 0 + 0) −(0 + 4 −1) = −1. Dado que Aposee determinante no nulo, deducimos que posee inversa. Calculamos su matriz adjunta determinando, previamente, la siguiente matriz de menores (que resultan de eliminar Andaluc´ıa – Curso 2018/19 9 Antonio Rold´an Matem´aticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad – Junio de 2019 que pZ > zα/2=α/2 = 000225, siendo Zuna variable con distribuci´on Normal est´andar. Como disponemos de una tabla de colas a la izquierda, traducimos esta condici´on con el suceso complementario, es decir, pZ≤zα/2= 1 −000225 = 009775. 1 Dibujos Dibujos z z 0'955 _0'0225 0'0225 0'0225 0'0225 1 Buscamos este valor en la tabla de la distribuci´on Normal est´andar, encontrando que p(Z≤2) = 009772 y p(Z≤0001) = 009778, por lo que tomamos como valor cr´ıtico zα/2= 20005. As´ı, zα/2 σ √n=E≤E0⇔zα/2·σ E0≤√n⇔n≥zα/2·σ E02 . Por consiguiente, n≥zα/2·σ E02 =20005 ·8 1052 = 114035. De esta forma, para estimar el tiempo medio con un error inferior a 105 minutos habr´a que tomar una muestra de, al menos, 115 individuos. Andaluc´ıa – Curso 2018/19 16 Antonio Rold´an