Décomposition atomique des espaces de Bergman

Publicacions Matem`atiques, Vol 39 (1995), 285–299. D´ ECOMPOSITION ATOMIQUE DES ESPACES DE BERGMAN F. Symesak Abstract The aim of this paper is to establish the theorem of atomic decomposition of weighted Bergman spaces Ap(Ω), where Ω is a domain of finite type in C2. We construct a kernel function H(z,w) which is a reproducing kernel for Ap(Ω) and we prove that the associated integral operator His bounded in Lp(Ω). 1. Introduction et ´enonc´e des r´esultats Soit Ω un domaine born´edeCn`a bord C∞donn´e par Ω = {z∈ Cn,r(z)<0}. On suppose de plus que rv´erifie |∇r(z)|= 1 sur ∂Ω= {z;r(z)=0}. Pour 0 <p<+∞, on pose Ap(Ω) = Lp(Ω) ∩H(Ω), H(Ω) d´esignant l’espace des fonctions holomorphes dans Ω. On note B la projection de Bergman qui est la projection orthogonale de L2(Ω) sur le sous espace ferm´e A2(Ω). La projet´ee Bf de la fonction fde L2(Ω) est donn´ee par Bf(z)=Ω B(z,ζ)f(ζ)dV (ζ), o`uB(z,ζ) est le noyau de Bergman et dV la mesure de Lebesgue de Ω. En 1980, R. Coifman et R. Rochberg ont introduit la notion de d´ecomposition atomique des espaces de Bergman [3]. Dans le cas de la boule unit´edeCn, ils on montr´e que toute fonction fde Ap(Ω) peut s’´ecrire (1.1) f(z)= i λiaiBq(z,wi), avec fp≃(|λi|p)1/p. Dans la relation 1.1, wiest une suite de points choisis une fois pour toutes, qest un r´eel assez grand et aiest une constante de normalisation de sorte que aiBq(·,w i)p=1. 286 F. Symesak Ainsi Ap(Ω) apparaˆıt comme “engendr´e” par les Bq(·,w i), mais on ne peut pas parler de base, la d´ecomposition atomique n’´etant pas unique. Cette d´ecomposition a ´et´eg´en´eralis´ee par B. Coupet aux domaines strictement pseudo-convexes en rempla¸cant Bq(z,ζ) par un noyau de Henkin convenable [4]. Notre but est de montrer que les espaces de Bergman poss`edent une d´ecomposition atomique lorsque Ω ⊂C2est un domaine pseudo-convexe de type fini m≥2. Dans ce cas, le noyau de Bergman a ´et´e´etudi´e par A. Nagel, J.-P. Rosay, E. Stein et S. Wainger [9] et par J. Mac-Neal [8]. Il est li´e`alag´eom´etrie du domaine qui a ´et´ed´ecrite par D. Catlin [1]. A tout point zdans un voisinage du bord U={z∈C2,|r(z)|<ε}, on peut associer un changement de variables Φz, et la quantit´e τ(z,δ), δ>0, qui traduit l’applatissement du domaine aux points de faible pseudo-convexit´e. On peut alors consid´erer la famille de polydisques R(z,δ)d´efinis par R(z,δ)={ζ∈C2,ζ =(ζ1,ζ 2),|ζ1|≤τ(z,δ)et |ζ2|≤δ}pour d´efinir dans Ula pseudo-distance d0(z,δ) par d0(z,ζ) = inf{δ>0,ζ∈Q(z,δ)}, o`uQ(z,δ)={Φz(ζ),ζ∈R(z,δ)}. Cette pseudo-distance n’´etant d´efinie que dans un voisinage du bord, on la prolonge `a C2`a l’aide de la distance euclidienne. On consid`ere ψ∈C ∞(C2) telle que ψ(z,ζ) = 1 lorsque |r(z)|≤ε/2et|r(ζ)|≤ε/2etψ(z,ζ) = 0 lorsque |r(z)|≥εou |r(ζ)|≥ε. D´efinition. Soient zet ζdans C2. On note d(z,ζ)=ψ(z,ζ)d0(z,ζ)+(1−ψ(z,ζ))|z−ζ|. Cette pseudo-distance permet de d´efinir la quantit´e D(z,ζ) suivante: pour tout point zdans Ω, on note δ(z) = dist(z,∂Ω) et on pose D(z,ζ)=d(π(z),π(ζ)) + δ(ζ)+δ(z), o`uπ(z)etπ(ζ) sont les projet´es de zet ζsur ∂Ω. Dans le cas de la boule unit´edeCn,Bq(z,ζ) est aussi le noyau de Bergman `a poids Bq(z,ζ) pour qconvenable. Pour les domaines pseudo-convexes de type fini de C2, on va construire un noyau reproduisant pour les fonctions holomorphes. Ce noyau Hn(z,ζ), qui joue le rˆole de Bq(z,ζ), est obtenu `a partir du noyau de Bergman B(z,ζ)en faisant une d´erivation selon un champ anti-holomorphe complexe normal. Le fait qu’il soit reproduisant pour la mesure dVn(z)=(−r(z))ndV (z) d´ecoule d’une int´egration par parties. On utilise les r´esultats de A. Nagel, J.-P. Rosay, E. Stein et S. Wainger [9] pour obtenir, pour Hn(z,ζ), les estimations asymptotiques suivantes: D´ ecomposition atomique des espaces de Bergman 287 Proposition A. Soit n∈N. Pour tout entier l, il existe C(l)>0tel que |Y1...Y lHn(z,ζ)|≤C(l)D(z,ζ)−2−n−n2τ(z,D(z,ζ))−2−n1, o`uY1,... ,Y lsont des ´el´ements de {¯ N,N, ¯ L, L}parmi lesquels il y a n1 champs Lou ¯ Let n2=l−n1champs Nou ¯ N. On note Hnl’op´erateur int´egral d´efini `a partir de Hn(z,ζ) par Hnf(z)=Ω Hn(z,ζ)f(ζ)dVn(ζ) pour tout f∈L1(Ω). On pose µ(z)=τ(z,δ(z)) lorsque z∈Ω∩Uet µ(z) = 1 sinon. Pour α>−1, on note dVα(z)=(−r(z))αdV (z). Pour 0 <p<+∞, on pose Ap(µ(z)βdVα)=Lp(µ(z)βdVα)∩H(Ω) et on note · α,β,p sa norme. Comme Ω est un domaine de type fini m, il existe c1>0etc2>0 telles que (1.2) c1δ1/2≤τ(z,δ)≤δ1/mc2 pour tout zdans Ω∩Uet pour tout 0 <δ<1[1]. On note hla fonction d´efinie par h(x)=2six≤0eth(x)=msi x>0. Les estimations donn´ees par la Proposition A et le crit`ere de Schur permettent de montrer que Hnse prolonge en un op´erateur continu dans Lp(µ(z)βdVα), quand 1<p<+∞[6]et[10]. Proposition B. Soient 1<p<+∞,αet βtels que 1+α+β h(β)>0. Il existe n0=n0(α, β, p)tel que pour n>n 0 Hnest un op´erateur continu dans Lp(µ(ζ)βdVα). Proposition C. Soient 0<p<+∞,αet βtels que 1+α+β h(β)>0. Il existe n0=n0(α, β, p)tel que pour n>n 0 (1.3) F(z)=Ω Hn(z,ζ)F(ζ)dVn(ζ)pour tout Fdans Ap(µ(ζ)βdVα). On utilise le noyau Hn(z,ζ) et la formule de repr´esentation int´egrale pr´ec´edente pour montrer le th´eor`eme de d´ecomposition atomique des espaces de Bergman. Bien que les espaces de Bergman classiques soient les espaces Ap(dVα), α>−1[3]et[4], le th´eor`eme suivant donne la d´ecomposition des espaces Ap(µ(z)βdVα), lorsque (−r(ζ))αµ(z)βest un poids int´egrable car ils interviennent dans la caract´erisation des op´erateurs de Hankel. 288 F. Symesak Th´eor`eme D. Soient 0<p<+∞,α,βtels que 1+α+β h(β)>0. Il existe une suite Ki(z)dans Ap(µ(ζ)βdVα)telle que pour tout Fdans Ap(µ(z)βdVα), il existe (λi)∈-ptelle que (i) F(z)= i λiKi(z), (ii) 1/C  i |λi|p1/p ≤Fα,β,p ≤C i |λi|p1/p . Dans le Th´eor`eme D, les fonctions Kisont d´efinies `a partir du noyau Hn(z,ζ) pour un indice nassez grand. Suivant R. Coifman et R. Rochberg, on d´emontre le Th´eor`eme D en approchant la fonction F. Pour cela, on discr´etise la relation 1.3 pour obtenir une somme de Riemann adapt´ee. On construit une suite de points (wi)li´ee `a un recouvrement de Whitney du domaine pour la pseudo-distance d. Lorsque le recouvrement est constitu´e par des domaines suffisamment petits, la fonction G, obtenue en consid´erant la somme de Riemann associ´ee au recouvrement, v´erifie F−Gα,β,p ≤1/2Fα,β,p. On conclut par un argument d’analyse fonctionnelle. 2. Projecteurs `a poids Le but de cette partie est de construire le noyau Hn(z,ζ) qui est reproduisant pour les ´el´ements de Ap(µ(z)βdVα) puis d’´etablir des estimations asymptotiques. Le noyau Hn(z,ζ) est obtenu `a partir du noyau de Bergman `a l’aide d’int´egrations par parties. Pour tout point psur ∂Ω, on note Lle champ holomorphe tangent en p`a ∂Ωd´efini par L=∂r ∂z2 ∂ ∂z1 −∂r ∂z1 ∂ ∂z2 et Nle champ holomorphe normal N=2∂r ∂¯z1 ∂ ∂z1 +∂r ∂¯z2 ∂ ∂z2. En particulier |Nr|= 1 sur ∂Ω. Pour construire Hn(z,ζ), on part du fait que le noyau de Bergman est un noyau reproduisant pour les ´el´ements de A2(Ω). Ainsi F∈A2(Ω) v´erifie (2.4) F(z)=Ω B(z,ζ)F(ζ)dV (ζ). D´ ecomposition atomique des espaces de Bergman 289 Comme |∇r|= 1 sur ∂Ω, il existe deux fonctions a(ζ)etb(ζ) dans C∞(¯ Ω) telles que 1 = a(ζ)¯ Nr(ζ)+b(ζ)r(ζ). On obtient le noyau Hn(z,ζ) par r´ecurrence. On pose H0(z,ζ)=B(z,ζ) et on obtient Hn(z,ζ)`a partir de Hn−1(z,ζ) en posant, pour Fdans C∞(¯ Ω) ∩H(Ω), F(z)=Ω Hn−1(z,ζ)F(ζ)dVn−1(ζ) =−1 nΩ a(ζ)Hn−1(z,ζ)F(ζ)¯ N(−r(ζ)n)dV (ζ) −Ω Hn−1(z,ζ)b(ζ)F(ζ)dVn(ζ) =I1+I2. Par int´egration par parties, I1=1 nΩa(ζ)¯ NζHn−1(z,ζ)+(¯ Nζa(ζ)+1 4a(ζ)∆r(ζ))Hn−1(z,ζ) F(ζ)dVn(ζ). On obtient alors Hn(z,ζ)=a(ζ) n¯ NζHn−1(z,ζ)+¯ Nζa(ζ)+∆r(ζ)/4 n−b(ζ)Hn−1(z,ζ). Pour montrer la Proposition A, on commence par noter qu’il existe a0,... ,a ndans C∞(¯ Ω) telles que (2.5) Hn(z,ζ)= n  i=0 ai(ζ)¯ NiB(z,ζ). On utilise le r´esultat suivant [9]: Soient Y1,... ,Y ldes ´el´ements de {¯ N,N, ¯ L, L}. On suppose qu’il y a n1champs Lou ¯ Let n2=l−n1 champs Nou ¯ N. Il existe C(l)>0 tel que |Y1...Y lB(z,ζ)|≤C(l)D(z,ζ)−n2τ(z,D(z,ζ))−n1 Vol(Q(z,D(z,ζ))) . 3. Propri´et´es de l’op´erateur Hn Dans cette partie, on montre que Hnse prolonge en un op´erateur continu dans certains Lppour 1 <p<+∞. Dans le cas n=0,il est bien connu que le projecteur de Bergman est un op´erateur continu dans Lp,1<p<+∞[9]. Pour les op´erateurs Hn,lad´emonstration de la Proposition B repose sur le crit`ere de Schur qui permet de donner une condition suffisante pour qu’un op´erateur d´efini `a partir d’un noyau positif soit born´e dans Lp(Ω) pour 1 <p<+∞[3]et[10]. On va utiliser ce crit`ere avec la fonction g(ζ)=δ(ζ)apour adans ] −1,0[ convenablement choisi. On commence par prouver le r´esultat suivant: 290 F. Symesak Lemme 3.1. Pour tous aet btels que 0<1+a+b h(b)et a−n+b h(−b)< 0, il existe C=C(a, b)>0tel que pour tout z∈Ω, Ω |Hn(z,ζ)|δ(ζ)aµ(ζ)bdV (ζ)≤Cδ(z)a−nµ(z)b. D´emonstration: Il suffit de consid´erer le cas o`u z∈U∩Ω. Le lemme repose sur un d´ecoupage de Ω en tentes Bl=Q(π(z),2lδ(z)) ∩Ω. Dans ce cas Ω |Hn(z,ζ)|µ(ζ)βδ(ζ)adV (ζ)≤B1 |Hn(z,ζ)|µ(ζ)βδ(ζ)adV (ζ) + +∞  l=2Bl\Bl−1 |Hn(z,ζ)|µ(ζ)βδ(ζ)adVn(ζ). Sur B1, on utilise le fait que |Hn(z,ζ)|≤|Hn(z,π(z)) |≤Cµ(z)−2δ(z)−2−n pour obtenir B1 |Hn(z,ζ)|δ(ζ)aµ(ζ)bdV (ζ)≤Cδ(z)a−nµ(z)b. Pour estimer les autres termes, il suffit de noter que pour tout ζdans Bl\Bl−1,δ(ζ)≃2lδ(z) et que, d’apr`es la relation 1.2, c12l/mµ(ζ)< µ(π(ζ),2lδ(ζ)) <c 22l/2µ(ζ). On obtient Bl\Bl−1 |Hn(z,ζ)|δ(ζ)a µ(ζ)b dVn(ζ)≤Cδ(z)a−nµ(z)b2(a−n)l+b h(−b)Vol(Bl) Vol(Bl−1) ≤Cδ(z)a−nµ(z)b2(a−n)l+bl h(−b). Soient pet ptels que 1/p +1/p= 1. Pour montrer que Hnest un op´erateur born´e dans Lp(µ(z)βdVα), on montre que l’op´erateur ˜ Hnd´efini par ˜ Hnf(z)=Ω |Hn(z,ζ)|δ(ζ)n−αµ(ζ)−β δ(z)n−αµ(z)−β1/p f(ζ)dVn(ζ) est born´e dans Lp(dVn). Pour cela on utilise le crit`ere de Schur: il s’agit alors de montrer qu’il existe g(z)=δ(z)atel que δ(z)α−n µ(z)β1/p Ω |Hn(z,ζ)|δ(ζ)n+(n−α)/p+pa µ(ζ)−β/pdV (ζ)≤Cg(z)p δ(ζ)n−α µ(ζ)−β1/p Ω |Hn(z,ζ)|δ(z)n+(α−n)/p+pa µ(z)β/pdV (z)≤Cg(ζ)p. D´ ecomposition atomique des espaces de Bergman 291 Les deux conditions sont r´ealis´ees en vertu du Lemme 3.1 est choisi tel que (n−α)/p +−β/p h(β)<−pa<n+1+(n−α)/p −β/p h(−β) et (α−n)/p +β/p h(−β)<−pa < n +1+(α−n)/p +β/p h(β). Pour que aexiste, il est n´ecessaire et suffisant que 1 + α+β h(β)>0etn verifie n>n 1(α, β, p)=1 pα+β h(−β)+1 p−1. Soit fdans Lp(µ(z)βdVα). La fonction f1(ζ)=f(ζ)δ(ζ)(α−n)/pµ(ζ)β/p est dans Lp(dVn)etfα,β,p =f1n,0,p. L’op´erateur ˜ Hn´etant continu dans Lp(dVn), il existe C>0 tel que ˜ Hnf1n,0,p ≤Cf1n,0,p. Il reste `a noter que Hfα,η,p ≤˜ Hnf1n,0,p pour achever la d´emonstration de la Proposition B. 4. Formule de repr´esentation int´egrale Dans cette partie, on donne une condition sur npour que Hn(ζ,z) soit un noyau reproduisant pour les fonctions de Ap(µ(z)βdVα). Pour cela on utilise le lemme d’inclusion qui suit mais qui n’est probablement pas optimal. Lemme 4.1. Soient 0<p<+∞,αet βtels que 1+α+β h(β)>0. Il existe n2=n2(α, β, p)tel que pour n∈Ntel que n>n 2, Ap(µ(ζ)βdVα)⊆A2(dVn). D´emonstration du lemme: Lorsque p>2, l’inclusion est une cons´equence de la relation de H¨older et n2=2 pα+β h(−β)+2 p−1. Pour 0<p≤2, le domaine Ω ´etant un domaine de nature homog`ene au sens de R. Coifman et G. Weiss, on consid`ere un recouvrement de Whitney de Ω par des domaines Q(z,θδ(z)), θ>0 suffisamment petit de sorte que pour tout z,Q(z,θδ(z)) ⊂Ω[2]. Pour tout ´el´ement Qidu recouvrement, on note zile centre Qi. On pose aussi ¯ Qi=Q(zi,C 0θδ(zi)). Comme les Qiforment un recouvrement de Whitney, on choisit C0pour que les ˜ Qi= Q(zi,θδ(zi)/C0) soient deux `a deux disjoints. Soit F∈Ap(µ(z)βdVα). Pour tout point zdans Qi, on part de l’in´egalit´e suivante qui d´ecoule de la sous-harmonicit´ede|F|p: |F(z)|p≤C Vol( ¯ Qi)¯ Qi |F(ζ)|pdV (ζ). 292 F. Symesak On obtient alors F2 n,0,2≤ iQi |F(ζ)|2δ(ζ)ndV (ζ) ≤ i δ(zi)n−2α/p µ(zi)−2β/pVol(Qi)1−2/p ¯ Qi |F(ζ)|p µ(ζ)βdVα(ζ) 2/p . Les domaines ¯ Qi´etant presques disjoints, Fn,0,2≤CFα,β,p d`es que n≥n2=2 pα+β h(p−2−β)+22 p−11+ 1 h(p−2−β). Citons le corollaire suivant: Corollaire 4.2. Soient 0<p<+∞,α,βtels que 1+α+β h(β)>0, nentier tel que n>n 2. Toute fonction Fde Ap(µ(z)βdVα)v´erifie F(z)=Ω Hn(z,ζ)F(ζ)dVn(ζ). D´emonstration du corollaire: On note ρ(z)=−(−r(z))1/k,o`ukest un entier assez grand de sorte que le Th´eor`eme1de[5] soit v´erifi´e. Un r´esultat de Ligocka assure que l’op´erateur de Bergman `a poids Bsassoci´e `a la mesure (−ρ(z))sdV (z) est continu dans C∞(¯ Ω) [7]. En particulier on en d´eduit que C∞(¯ Ω) ∩H(Ω) est dense dans A2(dVn). D’apr`es le lemme pr´ec´edent, Fest dans A2(dVn). Soit Fνune suite d’´el´ements de C∞(¯ Ω)∩H(Ω) approchant F. Alors, pour tout ν,HnFν=Fν. On obtient la formule de repr´esentation int´egrale en notant que Hnest continu dans L2(dVn). 5. D´ecomposition atomique Pour ´etablir le Th´eor`eme D pour, on va utiliser la formule de repr´esentation int´egrale donn´ee par le Corollaire 4.2 pour approcher une fonction Fde Ap(µ(z)βdVα). On consid`ere un recouvrement de Whitney de Ω par des domaines Qide la forme Q(w,ηθδ(w)), 0 <η<1 et on note wiles centres de ces domaines. Cette suite, selon la terminologie de R. Coifman et R. Rochberg, est appel´ee un η-r´eseau sur Ω. On pose ˜ Qi=Q(wi,ηθδ(wi)/C0)etond´efinit les fonctions Ki(z) par Ki(z)=δ(wi)n−α/pµ(wi)−β/p Vol(Q(wi,θδ(wi))1−1/pHn(z,wi), D´ ecomposition atomique des espaces de Bergman 293 o`unest un entier tel que n>n 2. La Proposition A et un d´ecoupage de Ω en tentes Blperment de montrer que Kiest un ´el´ement de Ap(µ(z)βdVα)d`es que n>n 3(α, β, p)=1 pα+β h(2(p−1) −β) +21 p−11+ 1 h(2(p−1) −β). On construit une fonction Gqui approche la fonction Fde la fa¸con suivante: Proposition 5.1. Soient 0<p<+∞,α,βtels que 1+α+β h(β)> 0et n∈N,n>n 2. Pour tout F∈Ap(µ(z)βdVα), il existe G∈ Ap(µ(z)βdVα)telle que (i) G(z)= i νiKi(z),o`u(νi)est une suite de -p, (ii) F−Gα,β,p ≤1 2Fα,β,p. D´emonstration: Les domaines ˜ Qi´etant deux `a deux disjoints, on associe `a la suite (wi) un recouvrement de Ω par des domaines deux `a deux disjoints Eidont on sait estimer le volume. On pose E0=Q0\  +∞  j=1 ˜ Qi  et, pour tout indice i, on note Ei=Qi\   i−1  j=0 Ei ∪  +∞  j=i+1 ˜ Qi  . Il est imm´ediat que ˜ Qi⊆Ei⊆Qi, que +∞  i=0 Ei= Ω et que Ei∩Ej= ∅si i=j. On obtient la fonction Gen discr´etisant la formule de repr´esentation int´egrale donn´ee par le Corollaire 4.2. Ainsi (5.6) G(z)= i F(wi)Vol n(Ei)Hn(z,wi). Dans ce cas νi=F(wi)Vol n(Ei) δ(wi)n−α/pµ(wi)−β/p Vol(Ei)1−1/p . On montre que la suite (νi) est un ´el´ement de -pen notant que, pour tout indice i,Vol n(Ei)≃