Presentaciones libres y H [subscript]2n (G)

Pub . Mat . UAB Vol . 30 n2 2-3 Des . 1986 ABSTRACT In this paper we get, for a group G, a group theoretic expression for H 2n (G), n>2 . 1 .-INTRODUCCION Sea G un grupoy R >-> F -»> G una presentación libre de G . Es bien conocido que existe un isomorfismo (fórmula de Hopf) H 2 (G) (Rn [F,F] )/[F,R] . En 131  se han obtenidofórmulas análogas para los grupos H 3 (G) y H5 (G) a partir de una sucesión exacta que relaciona la homología de G con la homología de ciertos productos semidirectos en los que intervienen los grupos R y F . El objeto del presente trabajo es dar una interpretación de H 2n (G), n , 2,  a partir de una presentación libre de G . En la primera parte se calcula una expresión paraH 4 (G) similar a las dadas en  131  para H 3 (G) y H 5 (G) .  El método de obtención es diferente ya que la sucesión exacta mencionada anteriormente no permite expresarH 4 (G) como nucleo de un homomorfismo entre grupos . d e homología . PRESENTACIONES LIBRES Y H 2n (G) Antonio G . Rodicio En la segunda parte usamos resultados no publicados de K .W . Gruenberg 121 para interpretar H 2n (G), n>, .2 . 2 .- INTERPRETACION DE H4 (G) Sea G un grupo y R >---> F -~ G una presentación libre de G . SeaK ~-a L ---D R 1 F una presentación libre del producto semidirecto de R y F, F actuando sobre R por conjugación . Consideremos el diagrama cartesiano Demostración 78 K :----z L  » R I F Teorema 1 : Existe un isomorfismo natural H 4 (G)  ^' °  ----3~ H 2 (R IR) G [S,SJ () [L,K] [L,Kn[S,sii [S,K] Consideremos la sucesión exacta (obtenida en 131) H 4 (G) -> H 2 (R IR) dondeZ es el grupo de los enteros racionales con G-acción G actúasobre H 2 (R I R) a través de . l a extensión R 1 R >---~ R 1 F ---» G (ver 14, p . 3071) . Consideremosahora . el diagrama Z - ;> H2 (R 1F) --- ;» H3 (G) H 4 (G) >---D H2 (R Z R) donde . Tr es el homomorfismo canónico y~K Usando la trivial y fórmula de Hopf obtenemos Por tanto K (1 [S, S] H 2 [S,K] [S, S] () [L,K] Ker ~ ~ [L,K] K li (L,L] H 2 (R IF) ^ [L , K] Por otra parte, no es difícil comprobar que la acción de G sobre H 2 (R 1 R) está dada por  (a(S,K]) .g = xax 1 [S,K],  donde aEK(i[S,S], g E G,  x E L,  g = 6 (x) .  El nucleo de  TT  es isomorfo H 2 (R I R) .1G (siendo IG el ideal aumentáción de G) el cual es isomorfo al sugrupo de  (K n [S,S])/[S,K]  generado por los elementos xax -l a -1 [S,K], x EL, a E K n [S, S] .  Como este,! subgrupo es isomorfo a - [L,Kn[S,S]] [S,K] [S, K) el resultado se sigue del isomorfismo H 4 (G) N Ker'( /Ker n . 3 .- INTERPRETACION DE H 2n (G) Sea G un grupo, R :- > F E> G una presentación libre de G, X un conjunto de generadores libres de F y n un número entero > 2 . Para cada i, I :l i< n-1, consideremos una copia isomorfa i R de R : Rti i R,  r  i  i  i r . Sea E = F*1R* . . .*n-1R el producto libre de F y los i R . El homomorfismo  Ir : E  > G determinado por  F_ y los homomorfismos triviales i R - > G es sobre . Denotaremos por E G el nucleo de ~¡ EG >  - > E  w  » G . Sea ahora E* el nucleo del homomorfismo natural E  F X 1 R X . . . X n-l R . Definimosdos subgrupos de E entre JE*,E*) y E* : E* _  [F,1R, . . . . n -lR][E*, E*) E l =  [E*,E G ] [E * ,E* ] . Se tiene as¡ una torre de grupos : [E*,E*] C E l C E * C E* C EG C E . E * y E l son subgrupos normales de E . Además E * /E 1 es un G-módulo a través de la conjugación en E . Necesitamos un subgrupo más ED de E, el cual verificará E l C E0 C E * . Para definir E 0 introducimos la siguiente notación : si res un elemento deR y r = xe1 . . .xe , e l = ti, x _ <E X 1  k  si es su expresión como una palabra en X se define : (r ; (r1, . . .,rn-1)) = r(i) =  xei+l . . .xek  si e . _ +l 'i+l 'k e x s l . . .x k  si e l i  s k Páracada n-upla  rn-1) de elementos de R sea k  r(i) -1 (rr(i)-1)]eir(i) E E (utilizamos notación exponencial para representar la conjugación) . E 0 es la clausura normal en E de E l y todos los elementos (r ;(r1, . . .Irn-l)) . A continuación veremos la relación entre los grupos E* /E l , E0/E 1 y ciertos ideales del anillo de grupo ZF . Sea Y un conjunto de generadores libres de R y T una transversal de R en F tal que lE T . Teorema 2 : E * /E 1 es el grupo abeliano libre sobre las clases de todos los conmutadores [x' lyl' " ''n-lyn-1]t donde xE X, y i E Y, t E T . Teorema 3 : Sea IF el ideal aumentación de F y denotemos por T R el nucleo del homomorfismo de anillos ZF  )k ZG inducido por F El homomorfismo p :IF . TR -l / IF .T R > E * /E 1 definido por ((1-x)(1-yl) . . .(1-yn-1))+IF .TR-1 1  IX, l y l , . . ., n-l y n-1 ]E 1 es un isomorfismo de G-módulos . Además  lo (TR/1F-TR) = EO/E1 . Estos dos teoremas están demostrados en 121 . Nosotros los utilizaremos para demostrar : Teorema 4 : Existe un isomorfismo de grupos abelianos Demostración E0 n[E,E * ]E 1 H2n (G) ^-' [E,E 0 3 E l De los teoremas 2 y 3 y de 1l,parrafo 3 .71 se deduce que H 2n (G) es el nucleo del homomorfismo de grupos abelianos E0/E 1 @ GZ  - > E * /E 1 ® G Z . Un cálculo fácil muestra que existen isomorfismos E 0 /E l o G Z =' E0/([E  El] ), E * /E 1 ® G Z ^-' E * /([E, E*] E 1 ) . Hacemos constar nuestro agradecimiento al Prof . Gruenberg por habernos proporcionado su manuscrito 121 aún no publicado . REFERENCIAS 1 . K.W . GRUENBERG . Cohomologica l Topics in Group Theory . Lecture Notes in Math . 143 . Springer (1970) . 2 . K.W . GRUENBERG . A permutation theoretic description of group cohomology (1982) (No publicado) . 3 . A .G . RODICIO . Un a interpretación de los grupos H 3 (G) y H 5 (G) . Publ . Mat . Univ . Aut . Barcelon a 29 (1985) 163-169 . 4 . J .J . ROTMAN . Introductio n to Homological Algebra . Academic Press (1979) . Rebut el día 9 de Maíg de 1986 Departamento de Algebra Facultad de Matemáticas Universidad de Santiago de Compostela ESPAÑA