Triples H-Azumaya : grupo de Brauer

Pub . Mat . UAB Vol . 30 ns 2-3 Des . ¡986 TRIPLES H-AZUMAYA . GRUPO DE BRAUER J .M . Fernandez Vilaboa M .P . LópezLópez El grupo de Brauer para álgebras que son simultáneamen te H-módulos y H-comódulos, siendo H un álgebra de Hopf conmutativa y coconmutativa en la categoría de R-módulos (R anillo conmutativo), fue estudiado por F .W . Long en 161 . En este trabajo, para un álgebra de Hopf 7H en una categoríacerrada simétrica C , se estudia el grupo de Brauer de los 1H-dimódulos triple que son IH-Azumaya . Este grupo generaliza el de Long y, si se consideran 1H-dimódulos triple con coestructura (respectivamenteestructura) trivial, se obtiene el grupo de - Brauer de 1H-módulos (respectivamente 1H-comódulos) triple de Azumaya de ¬ ¡nidos por J .M . Fernández Vilaboa en 111 . El grupo de Brauer de la categoría cerrada C se tiene cuando la estructura y la coestructura son las triviales . Teniendo en cuenta las técnicas utilizadas y el contex to en que se desarrollan queda de manifiesto el carácter esencial . menteno-aditivo de esta teoríahaciendo innecesaria la utiliza ción de argumentos de dimensión y localización usados por Long en su estudio . Sea C una categoría cerrada simétrica con igualadores, coiguladores, objeto base K e isomorfismo natural de conmutativi dad t . Denotaremos con ® el "producto tensor" en C y para ca 15 da objeto M de C (profinito en C (181 (1 .6 .3))) °`M  y OM (a M  y  6 M )  son  la  unidad  y  la  counidad,  respectivamente,  de  la C-adjunción M ® -  1 [ M,-] : CC (M®- M= [M,K] 181 (2 .3 .9,)) . 1 Ñ®-:C- .C con Con IH = (1= (C, EC , 6 C ) , u = (C, nC , PC ) >  T C , a )  se denotará un álgebra de Hopf en C conmutativa y coconmutativa res pecto al cotriple 1 (181 (1 .1 .9),  (1 .1 .12)) . 1 . N-DIMODULOS TRIPLE . PROPIEDADES (1 .1) Definición . Una terna (M 0 M ,p_ M ) se dirá que es un IH-dimódulo si : i) (M,O M ) es un IH-módulo por la izquierda ( 171 (3.2 .1)) ii) (M,p M ) es un IH-comódulo por la derecha (171 (3 .2 .2)) iii) p M 01 M = ( o M ® C) o . (C 0 p M ) (1 .2)  Definición . Ca terna (/A,,IA,pA) = ((A,nA'PA)' OA'PA) es  un IH-dimódulo triple por la izquierda si, i) , /A = (A,n A$ P A ) es un triple en C i i)  (/A,R A )  es un  IH-módulo triple por la izquierda  (111 (2 .1 .1)) iii) (/A,P A ) es un IH-comódulo triple por la derecha (111(2 .2.1)) iv)  p A ' OA = ( i A0 C) o (C 0 p A ) . 1 6 Un morfismo de IH-dimódulos triple será un morfismo de Di-dimódulos(121 (1 .2)) que lo es también de triples . (1 .3) Proposicl8n . Si (/A,~ A,P A ) y (IB,o B,pB ) son IH-dimódulos tri ple entonces : i)  (/A 1B "A®B' p A®B )' _ ((A®B,nA®nB, (VA ® P B ) o (A®TÁ®B) ; 'A®B =(  ( A ®1 B )  o (C ®t Á® B) -  ( 6 C ®A®B)  ;  p A®B  =  (A ® B ®N C )  o ° (A 0 TB ®C) ° (p A ®PB) ) es IH-dimódulo triple . ii)  (/A°, ~Al A) : _ ((A,n A' ' A ° TA) > ~ A 1 PA) y (/A,~ A 'P A ) : _ ((A,n A ,NA - = PA ° TA ° (A OA)°(PA®A)) ; son IH-dimódulos triple . iii) Definiendo el producto smash de /A y IB como /A# IB = (AH, n A#B' N A#B ) . con  n A#B = n A®B = n A ®nB y "A#B = (NA®NB) -(A@, B OB) ° (A®B®O A ®B) ° (A®pB®A®B) entonces, (/A # IB, áA®B,pA®B) es un IH-dimódulo triple . Además, el producto smash, así como el producto tensor, de IH-dimódulos triple es asociativo . Demostración . (121 (1 .5)i)) Análogamente se prueban las restantes condiciones . iii) De la conmutatividad y coconmutatividad de IH,junto con la isomorfismo de conmutatividad T,se obtiene naturalidad del que (/A#IB,~PA®B) es un IH-módulo triple por la izquierda y (/A#IB,pA®B) es un IH-comódulo triple por la derecha . La relación de compatibilidad entreambas estructuras es la mis ma que la del IH-dimódulo triple (/AIB,oA®B'PA®B)- O A' P A ) ii)  lb A ° (C®uÁ) = PA °"A®0A)°(C®TA  A)°(a COT A )°(C®A®mA) ° ° (C® p A ®A) = VA ° (O A ®A)b(COTÁ)°(C®0 A®0 A ) ° (aC®pA®A) = p Á °0 A@A (IH es conmutativa y coconmutativa) . (1 .4)  Proposición . Si (/A,o A ,P A ) y (IB,0 B ,P B ) son IH-dimódulos tri ple,  entonces . s e  tienen  los  siguientes  isomorfismos  de  IH-dimódu los triple : 1 7 i) (/A,0 A ,P A ) _ (/A'OA,PA) ii)  (/A DB,OAOB'PAOB) _ (IB /A'OBOA'PBOA) iii)  (IB#/A''BOA,PBOA) _ (/A# D3,PBOMPAOB) Demostraci8n . i)  qA := mA ° TA ° P A : A  A  es un isomorfismo triple cuyo inverso es : OA ° TA ° (AO a) ° PA . ( m A ° TC ° (A0 a)° PA)°qA = (' A ° TC ° (~ AOa)°(COPA)°TC°PA _ 'A ° TA ° (AOP C )°(AOXOC)°(A0 6 C ) ° P A = ~ A ° T C ° ii) (121 (1 .5)i)) iii) S B,A := T A ° (BODA)°(PB®A) : BOA - AOB  esun IH-dimódulos triple cuyo inverso es : (BOG A ) ° (B04A)°(PBOA) °TB (pruebaanáloga a i)) . (1 .5) Proposición . Si (M,o m ,P M ) y (N,O N 'P N ) son Di-dimódulos y además M es profinito en C, entonces i)  ([ M, N) , O[ M,N]  :=  [M, 4 N ° (COB M (N)) ° (COo MO [ M,N]) ° °(COXO[M,N]) ° (6COM@[M,N]) ° (TM0[M,N])]° 1 8 ° (A 0 (n C ° EC ) )° P A  =  1A °(aM(CO[M,N])), P[M, N) .  (V MKN O PC ) ° (MOP N 0C) ° °(MOB M ()Oa) ° (MOMO, ° (MOP M O[M,N]) ° (aM0[M,N]) es un Di-dimódulo (121 (1 .3)ii)) . (IE(M), (P E(M)' P E(M) ) := HE(M) = [M,M ],  n E(M) - aM > de IH-dimódulos isomorfismo de p E(M)  d MMM ) ' 'E(M) := m [M,M]' P E(M) := P[M,M])  es un Di-dimódulo triple . Además si N es tambiénprofinito en entonces los Di-dimódulos triple IE(MON) y .IE(M)IE(N) isomorfos (121 (1 .5)ii)) . C son (1 .6) Lema . Si (M,,p M ,p m ) es un IH-dimódulo con M profinito en ~, entonces el morfismo  gM := (M,oWI ° TC ]° am (C) verifica : i)  g M :M,C®n C )  (IE(M)1PE(M)) es un morfismo de IH-comódu los triple . ii)  o  = N  ° (i~  ® E(M)) ° MM) ® T E(M) ) ° (g ®g ®E(M)) ° E(M)  E( M)  E(M)  E(M)  M  M °(tC ® E(M)) ° (C®AE()) ° (a C® E(M)) iii) (E(M),0  ° (C ®  ) ° (C ® TE(M)) ° (C ® E(M) ® g ) ° E(M) E(M)  E(M)  M ° (C ® TE(M))) esun IH IH-módulo por la izquierda (171(3 .1 .16)) . Demostración . P E(M) ° ( gM ®9 M ) = [M,o M (M) ° ( s M (M) ® E(M)) ° °(a M (COC)) _ [M>p M ° TC ° (IM ® C) ° ( TC ® C) 1 °(am(C® .C)) =gm ° PC (IH conmutativa) . gM ° n C = °M = 'E(M) (M 0 9 M0qm ) 1 ° p E(M ) ° gM  (V MKM ® 11 C ) ° (M ®p M ® a) ° (M ® m Mo C) ° (M®,C®M) ° °(M ®T COC ) ° (M®p M ®C) ° ( aM OC) = (°MKM @ . P C ) ° (®O M ®C®C) ° C®C °(M®C®PM®a) ° (M ® T  ) ° (M ®p M ® C) ° (am® C) _ =(VMKM o C) ° (M o p M o C) ° (M ® TC®C) ° (®M®N C o C) ° °(M®M®C®XOC) ° (M ®M o s C ® C) ° (M ®p M® C) ° ( _a m® C) _ -(vMKM ® C) ° (M ®m M® C) ° (M ®T m®C) ° (M ®M ® (n C° e C ) ® C) ° °(M®P M ®C)  -(a - m® C)  = gM ®  nC ;(PC °  (C 0  a) °  áC =  nC °e C ) ° E(M)) ° (E (M) ® T E(M)) °(9 M® gM ® E(M)° P E (M)  °  (N E(M)  E(M) °(TC0E(M)) ° (C0x0E(M)) ° (a C ®E(M))= ( M,s M (M) ° (M®q m ) ° °(s M (M) ® C) ° ( o M (M) ®E( M) ® C) ° (M@ 9M® E (M) ® C) ° (M®C®TÉ(M))° °(M ® TC 0 E(M)) ° (M ®C ®), ® E(M)) ° (M ® 6 C ® E(M)) 1 ° 0 (a m (C 0 E(M) ) ) = o E(M) iii) (E(M),oE(M)) es un IH'-módulo por la iiquierda . Además, (E(M) ;uE(M) ° T E(M) ° (E(M) 0 gm)) es un Di-módulopor la de recha (gM :U, - " IE(M)° es un morfismo de triples al ser IH conmutativa) y u  E(M) (o  09M) .= E(M) ° T E(M) °  E(M) =N  ° TE(M) ° (u  9M) ° (u  0 E(M) 0 C) ° E(M) E(M) E(M)  E(M) °(E(M) 0 TE(M) 0C) ° (gM 0 gM 0 E(M) 0 C)'- (x 0 C 0 E(M) 0 C) ° 0(S C OE(M) O C)  =p E(M) ° (gm 0 E(M)) ° (u C ® P E (M) )° °(C 0 -tE(M)OE(M)) ° (C O TE(M) 0C) ° (a 0 % 0 E(M) 0 C) ° °(6 C 0 E(M) 0 C) =P E(M) ° ("E(M) 0 E(M)) °(E(M) ® PE(M) 0 E(M))° °(E(M) 0 TE(M)OE(M)) ° ( gM 0 gM 0 E(M) 0 9M) ° (~ 0 C 0 E(M) 0 C , )° °(ó 0 E(M) 0 C) _  ° (COP  ) ° (COT E(M) )° (COE()O9 ) . C  E(M) E(M)  E(M)  M (1 .7) Lema . Si (M,<p M ,p M ) es un IH-dimódulo con M profinito en C entonces el  morfi smo gM  v MKM 0 X) °(M 0 p M ) ° VMKM verifica : i) TC() ( .E(),pE(M)) morfismo de DI-comódulos por la derecha . iii) MM), p E(M) , gM) es un IH-dimódulo . Demostración . (COE(M), COPE(M)) ii . )  (E(M), gM) es un IH-comódulo por la derecha . es un i )  (C 0 pE(M) ) ° TC (M) ° gM = (COvMKM ® NC ) ° (C 0 M Op M 0 C) ° °(C 0 M 0 s M (M) 0 a) ° (COMOMOTE(M)) ° (TCOMOC  0 E(M)) ° °(M 0 pM 0 TC (M) ) ° (M 0 M 0 9M) ° (am 0 E(M)) _(C o v MKM 0 P C ) ° °(COMOP M OC) ° ( TCOM 0 C) ° (M 0M Oa OX) ° (M 0pM 0 C) ° °(MOs M ()OC)  °  (M 0 M ® TE(M))  °  (M o p M 0 E(M))  °  ( - a M 0 E(M))  _ = ( T E(M) 0C) 0 (vMKMOXOC)° (M 0 pM 0 C) 0 (M-0 M OP C ) ° °(MOP M ®a) o (MOs M (M) o C) ° (M oM o TE(M)) ° °(M ® PM @E (M)) ° (~M®E(M))  _  ((tE (M)  ® C) ° M  ° P E(M) g ) ii )  (gM ® C) ° gM = (° MKM ® a Oa) ° (M ® P M0 C) ° (M ® P M ) ° °° MKM  (° MKM 0 a ® x ) ° (M O M ®6 C ) ° (M O PM) ° °MKM =(E(M) ® 6 C ) ° gM MM) ® E C)  'E(M) iii) Por (1 .5) MM) , IE(M)) es lH-módulo por la izquierda y por ii) MM) , gM) es IH-comódulo por la derecha . Además, (° MKM ® C)  'E(M) _ (M o M ®a) ° (M ® P M ) ° (M ® B M (M)) ° ° (am ®O E(M) ) _ (M 0 mM ® a) ° (M ® C® P M ) ° (M ®C ® s m (M)) ° ° (M o zC ® E(M) ) ° (M ® oM ®C® E(M)) ° (M ® 1C ® C ® E(M)) ° ° (M®M® t C® E(M) ) ° (M ®M ® C® a ® E(M) ) ° (M 0 M® a C® E(M) ) ° °(am ®C 0 E(M)) _ (M ® oM o C) ° (M oC ® s m (M) 0 C) ° °(M o 1C ® E(M)  ® C)  °  (M ®4M ®C ® E(M)  ® C)  °  (M ®  , m ®C ® E(M)  ® C)  °  (M 0M ®  t C  ® E(M)  ® C)  °  (M ® M ® C  ®a ® E(M)  ® C)- C ®a C® E(M) ® C) ° (C ®gM) _ (° MKM ® C) ° (mE(M) ® C) °(C®9M) Por lo tanto, ya que  ° MKM ®C  es un isomorfismo al ser M profinito en C, ambas estructuras son compatibles . (1 .8) ProposICibn . Si (M,o M ,P M ) es un IH-dimódulo con M profinito en C y (/A,o A , P A ) es un IH-dimódulo triple, se tienen los siguientes isomorfismos de IH-dimódulos triple : i)  IE(M)°#/A = IE(M)°/A ii)  /A#IE(M)° = /A IE(M)° Demostraci8n . i) h M,A :_ ( uE(M) ® A) ° (TE(M) ® A) ° MM) ® gM ® A) ° (E(M) ®TA ) ° °(E(M) @ P A ) : E(M) ® A-E(M) ® A  en donde gM : C - " E(M)  es el morfismodefinido en (1 .6) . h M,A es un morfismo de 1H-comódulos . En efecto : P E(M)®A ° h M,A = (NE(M) ®A ®N C ) ° (T E(M) ® T A ® C) ° °(E(M) ®E(M) ®u C ®p A ) ° ((M) ® T E(M) ® C 0A) ° (p E(M) ® P E () ® A) ° °(E(M)  ® gM ® A)  °  MM)  ® TA)  °  (E(M)  0 p A )  _  (NE(M)  ® A ® PC )  ° 0(T E(M) ® TC ® C) ° (E(M) ® T É (M) ®A ® C) ° (p E(M) ® T E(M) ® C)0 °(E(M) ® A 0 gM ® C) ° MM) ® A ® * 6 C ) ° (E(M) ®PA )= (h M ~ A ®C) ° PE(M)®A (gM morfismo de Di-comódulos (1 .6)i), IH conmutativa y coconmutativa) . h M,A es modismo de IH-módulos : 4  ° (C ® h  )_ (u  ® A) ° (T E(M) 0 A) ° (m  ®g  ) ° E(M)®A M,A E(M)  E(M)  E(M) M A °(C ® E(M) ® T C®A) ° (C ® T E (M) P A ) ° (6C ® E(M) ® A)  _ h NA ° ilE(M)®A  M .6)iii)) . Además, por la propiedad ii) de (1 .6), por la naturalidad del isomorfismo de simetria T y por ser IH conmutativa y coconmutativa se obtiene que h M,A es, un morfismo de triples, es decir, h M,A °N E(M)°#A  N E(M)°®A 0 (h M,A 0h M,A ) y  h M,A °(n E(M) ®n A ) = El morfismo (uE(M) 0 A) o (TÉ~M~ 0 A) (E(M) 0 g M 0 A) ° (E(M) 0 TA)  (E(M) 0 A 0 a) o (E(M) 0 p A )  resulta inverso de h M,A como consecuencia de ser 9M un morfismo de triples (1 .6) y por las propiedades del antipodo . Para la demostración de ii) se utiliza el morfismo h A,M := (á A 0 E(M)), T C®E(M)  ° (A ®9M) en donde gM :E(M)- E(M)®C es el morfismo del lema (1 .7) . Con cálculosanálogos a los ante riores y teniendo en cuenta las propiedades de (1 .7), resulta que hÁ .M es un isomorfismo de IH-dimódulos triple cuyo inverso está definido por : (hA ,M ) -1 := (o A 0 E()) ° (x 0 A N E(M))  TC®E() o (A 0 gM) (1 .9) Corolario . Si (M,O M ,p M ) Y (N,0 N ,P N ) son IH-dimódulos con M y N profinitos en C y (/A,o A , PA ) . es un IH-dimódulo triple, entonces : i)  IE(M)°#IE(N)° y IE(M®N)° son Di-dimódulos triple isomorfos . ii) /A#IE(M)° y IE(M)°#/A son IH-dimódulos triple isomorfos . Demostración . i) IE(M)°#1(N)° _ IE(M)°IE(N)° por (1 .8)i) . IE(M)°IE(N)° = IE(M®N)°  por (1 .5)ii) . ii)  Se sigue de la proposición anterior (1 .8) y de (1 .4)ii) 1 .10) Proposición . Si (M,m M ,P M ) es un IH-dimódulo con M profinito en C , entonces se tienen los siguientes isomorfismos de IH-dimódulos triple : iii) Con cál .culos similares a los utilizados hasta aquí, se ob- °(n m (E(M) ®E (M) @E (M))) = [ M,B M (M) ° (M@ 4E (M)) ° -(M@ u C @E (M)) ° ( PM ®C ®E (M) ° ( B M (M) ® C .® E (M)) ° °(M 0 TE(M) @E (M)) ° (M@ a ®E (M) @E (M)) ° ( .pM 0 E(M) 0 E(M)) ° °T M(M)®E(M) ° MM) 0 E(M) 0 B M (M)) ° E(M)®E(M) 0 E(M))) .° 0(a M (E(M) 0 E(M) 0 E(M)))= [M, .B M (M) ° (B M (M) 0 E(M)) ° °TM(M)®E(M) ° MM) ®o E(M) 0 B M (M)) ° (PE(M) 0 E(M) 0M 0 E(M)) ° (TE(M)®E(M) 0 E(M))) ° ( a M ((M) 0 E(M) 0 E(M))  _ _~  ° T E(M) ° (N  OE(M)) ° MM) ®~  0 E()) ° E(M) E(M) E(M)  E(M) °(PE(M) 0E(M) 0 E(M)) .  Por lo tanto X E(M)° , E(M)° =X E(M)° °(j M0 E(M)) ° h ' siendo  h ' y j M los E(M)°,M  E(M)°,M isomorfismos de IH-dimódulos triple obtenidos en (1 .8)ii) y (1 .10)¡) respectivamente yx  [E(M),ú_  TE(M) E(M) ° E(MP  E( M) ° (NE(M)®E(MU)° 0(áE(M) (E(M) 0 E(M) )) : (IE(M)°)e _ IE(E(M) ° )  el  isomorfirmo de R dimódulos triple deducido del caracter 1-Azumaya del triple IE(M)° al ser M progenerador en C (121,(1 .8)) . tiene : Análogamente se comprueba que xE(M)° , E(M)° = XE(M)° ° (E(M) ®j' M 1 ) ° hM,E(M)°  en donde hM,E(M)° y jM son los isomorfi,smos de DI-dimódulos tripleobtenidos en (1 .8)i) y (1 .10)¡) respectivamente . x-5-B  = f ° (E(A) 0 (m,) -1 1 °h E(A),B ° ,A#B °((M A ) -1 0~ B l ° (E(Á) ® . xg .B ) ° ((hq .B)-l 0B) ° 0 ( TE(A) ®B)  (h® B)  (B ® m A ® B) o(B 0 XA ,A 0 B) 0 ((S B,A ) -1 0 A 0 B)  en donde S, m, h y h' son los isomorfismos de (1 .4)iii), (1 .10)ii), (1 .8)i) (1 .8)ii) respectivamente y f = f A ® B, (B A (A) 06 B (B))  (A@ TE(A)® E(B) ) (aAOB(E(A) 0 E(B))) : E(A) 0 E(B) - E(A O I B) es el isomorfismo de  x A,A#B es composición de isomorfismos por ser /A y IB IH-Azumayas . Además, X A#B,A B  f o h A,E(B)° - (x A, q 0 E(B) ) -(A ®(hÁ 'B ) -1 ) o (A ® z EE(B) ) o (A 0 hB,1) ° (A 0 X B, B 0 A) -(A@ BO (SB .A)-1) también es un isomorfismo, de donde, /A#IB es un triple IH-Azumaya . 3 . BD IH (C), GRUPO DE BRAUER DE IH-AZUMAYAS (3 .1) Definición . Dos IH-dimódulos triple (/A, m A> °A ) y (IB,oBYPB) que son IH-Azumayas estánrelacionados si, y sólo si, existen IH-dimódulos (M,o M ,p M ) y (N,O N ,P N ) con M y N progeneradores en C, ' tales que /A#IE(M) ° y IB#IE(N)°  son isomorfos como IH-dimódulos triple . Esta relación es de equivalencia, y el conjunto cociente se denotará por BD IH (C) . (3 .2) Proposición . BD IH (C) es un grupo que se denominará el gru po de Brauer de IH-Azumayas . Demostración . y Para  [(/A,o A , P A ) 1  y  [(IB,oB,PB)]  elementos . d e  BD IH (C) se define la operación : [(/A,oA,PA)] [(IB,OB,PB)] : = =[(/A#IB, P A®B , pA®B)1  (1 .3)iii) . El elemento neutro'es la clase de (IE(M)°,mE(M) ' PE(M)) siendo (M,o M ,P M ) cualquier Di-dimódulo con M progenerador en C (2 .3)ii) . El inverso de [(/A,oA,'A)] es [(/A,oA,pA))  (2 .2) y (2 .3)i) . (3 .3) Proposición . El siguiente diagrama de monomorfismos de grupos : Demostración . 3 2 B(C) BM(C,IH) D IH (C) es conmutativo, siendo BM(C,IH) (respectivamente BC(C,IH)) el grupo de Brauer de IH-módulos triple (respectivamente Di-cq módul,os triple ) 1-Azumaya  (111 (2 .1 .8), (2 .2 .7)) y B(C)  el grupo de Brauer de triples 1-Azumaya en C (111 (2 .1 .11)) . Si (/A,,P A ) es un IH-módulo triple por la izquierda en tonces (/A,o A ,p A= A 0 n C ) es  un IH-dimódulo triple .  Además, como en estecaso los morfismos X A, A y xA ,A (2 .1) coinciden con x/A = [A,m Ao (P A0 A)  (~A 0 A) ]  a A (A®A) . : (121 (1 .6))  se define de forma canónica el monomorfismo P 3 : BM(C,IH)- BD IH (C), [(/A,0A)]-[(/A,0A'pA .= A0n C )1 . (Nótese que si (IB,o B ,P B )= =  B 0 n C )  es  u .n  IH-dimódulo  triple  definido  a  partir  del  IH-mó dulo  triple  (IB,(i B ),  entonces  los  IH-dimódulos  triple (/A#IB, ro A®B' p A®B ) y (/AIB, 0 A®B' pA®B) Coinciden) . Análogamente se obtiene el " monomorfismo P4 : BC(C,11i)--~  BD IH (C)  (( /A,a A )]--~((/A,0A=  eCOA,pA)] . BIBLI06RAFIA Los morfismos P 1 y P 2 que completan el diagrama los definidos en (111, (2 .1 .12), (2 .2 .7)) : p 1 (L/A1)  :_  (( /A,eC0A)] (1) Fernández Vilaboa, J .M . "Grupos de Brau,er yde Galois de un álgebra de Hopf en - una categoría cerrada" . Alxebra 42 . Depto . Alg . y Fund . Santiago de Compostela . (1985) . (2) Fernández Vi laboa, J .M . ; López López, M .P .  Grupo de Brauer de  Di-di módu1 os  triple  1-Azumaya  BD l (C,Y)" .  (Pendiente  de publicación) . (3) Childs, L .N . "The Brauer group of graded Azumaya algebras II : Graded Galois extensions" . Trans . Amer . Math . Soc . 20 4 (1975), 137-160 . (4) Childs, L .N . ; Garfinkel, G . ; Orzech, M . "The Brauer group of graded Azumaya algebras" . Trans . Amer . Math . Soc . 17 5 (1973), 299-325 . (5) Long, F .W . "A generalization of the Brauer group of graded algebras" . Proc . London Math . Soc . (3) 29 (1974), 237-256 . (6) Long, F .W . "The Brauer group of dimodule algebras" . Alg . 30 (1974), 559-601son J . (7) López López, M .A . "Algebras de Hopf respecto a un cotriple" . Alxebra 17 . Depto . Algebra y Fund . Santiago de Compostela (1976) . (8) López López, M .P . "Objetos de Galois sobre un álgebra de Hopf finita" . Alxebra 25 . Depto . Alg . y Fund . Santiago de Compostela (1980) . (9) Orzech, M . "Brauer groups of graded Algebras" . Brauer Groups, Evanston 1975, LNM 549 . SpringerVerlag, Berlin, (1976) . (10) Pareigis, B . "Non-additive ring and moduletheory IV : The Brauer group of a symmetric monoidal category" . Lect . Notes in Math . 549 (1976), 122-133 . Rebut el 25 de 6ebnen de 1986 Universidad de Santiago de Compostela Facultad de Matemáticas . Dpto . Algebra y Fundamentos Avda . d e las Ciencias, s/n . SANTIAGO DE COMPOSTELA . ESPAÑA ' 3 4