Grupos primitivos con subgrupos maximales pequeños

Pub . Ma . UAB Vol . 29 Ns 2-3 No . 1985 GRUPOSPRIMITIVOS CON SUBGRUPOS MAXIMALES PEQUEÑOS Julio La uen e Un g upo p imi i o es un g upo G que posee un subg upo maximal U al que co e GU = 1, siendo co e G U = n{U 9 ;g e G} . A lo la go de odo el abajo g upo signi ica á g upo ini o . Un g upo p imi i o G se dice del ipo II, esc i o G e PI1, si posee un único subg upono mal minimal N no abeliano ; en es e caso se iene que N = S 1 x  . . . X S  ,  donde cada S  = S es un g upo simple  (no abe- liano) . Pond emos N = soc(G) . Den o de PII apa ece un ipo especial de g upos p i- mi i os G : aquellos que poseen un subg upo maximal U e i icando que U n soc(G) = 1 (y, po lo an o, que co e GU = 1) . Si és e es el caso,  esc ibi emos G e P II . En [1] y en [2] se demues a la exis- encia de ales g upos, que Fd s e llama g upos p imi i os con subg uposmaximales pequeños . En [6] se mues a que si G e PI ,, se n iene que G/soc(G)  e PII . Más aún :  en es e caso,  si soc(G)  = S  y soc(G/soc(G)) = Tm siendo S y T simples, en onces S es sección de T . En el caso en que ISI < (T/ se iene una sue ede e- cíp oco del esul ado an e io , a sabe : TEOREMA  Sea U e PII ,  M = soc(U)  = T1 x  . . .X  T m ,  cada T i = T sim- ple . Sea S una sección simple no abeliana de T al que IS( < IT( . n En onces exis e G e PI,y un núme o na u al n al que soc(G) - S y de o ma que G posee un subg upo maximal V `-_ U al que V n soc(G)= 1 . 154 Obsé ese que la cons ucción de un g upo U e PII con soc(U) = Tm no plan ea mayo es di icul ades : bas a con oma como U un subg upo de Au (T M ) = Au (T) i E (donde E es el g upo simé i- m m co de g ado m y el p oduc o o lado se conside a espec o de la acción na u al de es e g upo en {1, . . .,n})  que con enga a In (T m ) como subg upo no mal minimal ( . al espec o el comen a io que apa- ece en el pá a o 3 de [3]) . El caso en que ISI = ITI (o sea, S - T) se p esen a de o a o mamenos egula . No emos en p ime luga : n OBSERVACION Sea G e PÍ I , . soc(G) = S , U subg upo maximal de G al que U i1 soc(G) = 1, soc(U) = Tm , donde S y T son g upos simples . Si se supone ademásque m = 1, en onces (S( < ¡TI . Demos ación  Pongamos soc(G) = S 1 X . . . X S n , cada S i ---- S . Sean H = Nu(S 1 ), Y = C u (S 1 ), X/Y = soc(H/Y) . En [2] se e que, en pa - icula , X/Y-- S y co e UX = 1 . En [6] (Beme kung) se obse a que, siendo M = soc(U), se iene que X/Y -(X I1 M)/(Y l1 M) . Así, si se supone m = 1 (o sea, M '-- T) y que ¡SI = ¡TI, se ob iene que X /1 M = M, es deci , que M< X, lo que es á en con adicción con co e UX = 1 . Q .E .D . Así pues, G s PÍ I , soc(G) = Sn , U = G/soc(G), soc(U) =Tm, SyT simples y S = T implica m > 1 . Pe o el se m > 1 no asegu a, si S-- T, la alidez del eo emaanálogo al enunciado, pudiéndose da o no la exis encia de un al g upo G, según sea la es uc u a de U, como e emos luego . U iliza emos las siguien esno aciones : si U es un g upo cualquie a y B4A< U, pond emos : NU (A/B) = N U (A) l N U(B), CÚ(A/B) se á el conjun o de los elemen os de N (A/B) que inducen un U au omo ismo in e no en A/B y C U (A/B) end á el signi icado usual . U iliza emos el siguien e esul ado auxilia : LEMA Sea U un g upo cualquie a y A/B una sección simple no abelia- na de U . Sean F = NU (A/B), C = CÚ(A/B) y D = C u (A/B) . En onces C  = AD,  A 1 D = B,  F/D  e P II y C/D = soc(F/D) . Demos ación Es cla o que D < C< F, luego C = CF(A/B), D = CF(A/B) . Po lo an o C es el nume ado de la co ona de inida en F po el ac o p incipal A/B (es un g upo simple) de F (1 .8 de [5]), F/D e PII ,  C/D = soc(F/D),  C = AD y A nD = B  ( .  el pá a o 2 de [4]) . Q .E .D . Demos ación del eo ema (1) Sea M = soc(U) y sean Be A <M con A/B = S . Sean F = NU (A/B), C = Ú(A/B)y D = CU (A/B) . Po el lema : F/D e PII ,  C/D  =  soc(F/D),  C  = AD y An D = B . (2) Sea Y < U, Y maximal espec o de las condiciones : D<Y, F < N u (Y), Y nF = D . (Obsé ese que D las cumple .) Sean En onces, de Y < K < U y H < Nu (K) se sigue X < K . En e ec o : es D<Y < K, F < H < N U (K) (como F no mali- za a C e Y, no maliza aX = CY, luego F' < H ; como C <H, X es un subg upo), KnF>YnF = D . Po elección de Y se iene que ha de se K n F > D . Aho a bien, como C/D = soc(F/D) y F/D eP II,  se si- gue que C < K n F, luego que C < K y, po in, que X = CY <K . 156 X = CY, H = NU(X/Y) . (3) Como U e P II  y M = soc(U),  elegidos X e Y como en  (2),  es con- dición necesa ia y su icien e pa a que co e uX = 1 que M ~ X . Com- p obemos que se e i ica es o úl imo . No emos en p ime luga que en cualquie caso es M ¢ Y : si no, se end ía que Cu(A) > D = Y!1 F > M /1F > A, lo que no puede se pues A/B es no abeliano . Supongamos, pa a llega a una con adicción, que A y B son ales que M< X . En onces M < X = CY = ADY = AY . Con la iden i- dad de Dedekind, M = M I1 AY = (M l1 Y)A, donde M /1 Y 4 M pues M <X = CY < FY <N u (Y) . De aquí, M/(M 1 Y) -'- A/(A A Y), que es un ac o del g upo simple A/B . Si se supone que A=A (1 Y, se deduce que M = M nY, lo que ya se ha is o que no puede se . Luego se á AnY = B y, po an o, M/(M nY) = S . Pe o es o es imposible pues el único ac o simple de M es isomo o a T y S 7 T po hipó esis . (4) Así pues, elegidos A y B como se indicaen (1), de acue do con la ca ac e ización de Ko ács que apa ece en [2], se iene que el g upo G = (X/Y) % HU e i ica las condiciones eque idas en el enunciado . Obsé eseque es n = JU :Hi . Q .E .D . Res a el caso en que S=T . Una condición su icien e pa a que se e i ique la esis del eo ema, una ez modi icada la hipó esisexigiendo que S = T y que m > 1, es ácil de ob ene : En la demos ación acabada de hace sólo al inal se ha u ilizado la condición sob e S y T . Vol amos sob e dichopun o : se iene que M n Y a M y que M/(M n Y) = T, con lo que podemos supone que MnY = T 2 X ... X T  . Veamos que es o no .puede ocu i si se han m podido elegi AyBde o ma que N U(A/B) ac úe lib e de pun os i- jos sob e (T 1 ,.. . . T m } . Se end ía en onces la exis encia de u e NU (A/B)  al que T1 = T u i con i # 1, ob eniéndose la con adic- ción : T 2 x ... X T m =M n Y=Mu n Yu = (M nY) u =T 1 X . . X Tm . Es a obse ación pe mi e ca ac e iza ácilmen e el caso m = 2 : PROPOSICION  Sea U e PII ,  M = soc(U) = T1 X T 2 ,  cada Ti = T simple . n Exis e G e Pii con soc(G) = T pa a algún n y G/soc(G) '-- U si y só- lo si M posee un subg upodiagonalcomple o A al que Nu (A) ac úa ansi i amen e en {T 1 ,T 2 } . Demos ación La implicación a la izquie da es consecuencia inme- dia a de lo dicho más a iba . Recíp ocamen e : Po la ci ada ca ac e ización de Fd s e -Ko ács, suponiendo que U es subg upo maximal de G y que U n soc(G) = 1, se iene que U posee subg upos H, X e Y ales que co e U X = 1, Y 4 X, X/Y = T, H = N u (X/Y) y de o ma que si K < U, Y<K y H < N U (K), en onces X < K . Sean T1 = {( ,l) ; e T}, T2 = {(l, ) ; e T} . Pongamos A = X (1 M y B = Y n M . Se iene que X/Y = A/B ( . Beme kung de [6]) luego A/B = T . (i) Ni T 1 ni T2 es áncon enidos en X . Supongamos que T1 < X . Como M ~ X (ya que co e U X = 1) y U ac úa ansi i amen e en {T 1 ,T 2 ) se deduce que H < Nu(T 1 ) y, po lo an o, que H < Nu(T2 ) . En pa icula T2Y es un subg upo de U no malizado po H . Supongamos que Y = T 2 Y . En onces es T2 < Y, luego T2 <B < A < M ; como A/B = T = M/T 2 , esul a que A = M, en con a de se co e UX = 1 . Po lo an o X < T2Y, luego, con la iden- idad de Dedekind,  X =  (X l T 2 )Y,  de donde X/Y =  (X n T2 )/(Y 1 T 2 ) . Como X/Y =T = T 2 , se sigue que X n T2 = T 2 , ob eniéndose de nue o la con adicción M < X . Análogamen e se demues a que T2~ X (ii) A es un subg upo diagonalcomple ode M (y B = 1) . AT1 /BT 1 = A/(A l BT 1 ), que es ac o del g upo simple A/B . Si se supone que A=A n BT 1 , se iene, con la iden idad de Dedekind,  que A = (A l T1 )B, .luego A/B = (A ) T 1 )/(B n T 1 ) . Como A/B = T =T1 , esul a que A n T1 = T 1 , en con a de (i) . Luego B = A !1 BT 1 y AT 1 /BT 1 = A/B . Como M/T 1 = T = A/B, esul a que M = AT . 1 y que B < T 1 . Análogamen e se p ueba que M = AT 2 y B < T2 . Po lo an o, B < T 1 1 T2 = 1 y M/T l = A/(A 1 T1 ), lo que, con M/T 1 = T = A implica A 1 T 1 = 1 . Análogamen e, A 11 T 2 = 1 . Sea a ila aplicacióncanónica de A en T . (i = 1,2) .  El i núcleo de a i es A 1 T 3-i = 1,  luego ai ,  es un isomo ismo .  Si B  es la composición de T = T 1 con a11a2 con T2 = T, esul a que A = {( , 0) ; e T} . (iii) Exis e u e N U (A) al que Tu 1 = T2 . Supongamos lo con a io . En pa icula se end á que H <NU (T 1 ) . T 1 <H implica T 1 <H 11 M<NM (A) = A (es bien sabido que A es subg upo maximal de M con co e MA = 1), luego T 1 < X, en con a de (i) . Po lo an o T1 ~ H y, en pa icula , Y<T 1 Y que es un subg upo no malizado po H pues Y<H< N U (T 1 ) . Se sigue que X < T 1 Y,  luego que X =  (X (1 T1 )Y .  Aho a bien,  X (1 T 1 4 X n M = A que es simple, luego o X l.1 T 1 =1, de donde se ob iene la con a- dicción X = Y, o X /) T i = A, en con adicción con A 0 T1 = 1 . Q .E .D . EJEMPLOS (1) Sea T un g upo simple no abeliano cualquie a, M = T1 X T 2 , T 1 = {( ,l) ; e T}, T 2 = {(l, ) ; e T} . Iden i ica emos Au (M) con Au (T) i E 2 en la o ma ob ia . (la)  Sea  (12)  e  E 2< Au (M)  y U = <(12)>M .  Se iene que U e P II, M = soc(U) y A = {( , ) ; e T} e i ica las condiciones de la p o- posición an e io , omando u = (12) . 2 (lb) Sea a e Au (T) e i icando que a =1y que a no es un cuad a- do módulo In (T) . Sea a = (12) e E 2 < Au (M) . Sea x = (a ;l,a) e Au (T) i E 2 . Sea U = <x>M . Obsé ese 4 que es x = 1 y que, si ( l , 2 ) e M, 2  3 ( 11 2 ) x =  ( 2 , i a),  ( 1 2)x  = ( 1 a, 2 a),  ( 1 2 )x  =  ( 2a, 1) . Como a 1 In (T) es cla o así que CU(M) = 1 y, como, cla amen e am- bién, M es subg upo no mal minimal de U, esul a que U e PII y M = soc(U) . Conside emos el subg upo diagonalcomple o A = {( , 0) ; c T}, donde Be Au (T) . Un elemen o u e U que no ma- lice a A y al  u  i que T 1 = T2 end á que se de la o ma u = (sl,s2)x u con sl,s2 e T, i = 1 ó i = 3 . Aho a bien, de ( , B) e A se ob- 2 iene que 01 2 B = - 9, a, luego que ae In (T)(s 2 0)  en el caso en que i = 1 y que ss as = s  luego  2 2  1 '  que a e In (T)(s 1 B  )  en el caso en que i = 3, en amboscasos en con adicción con la hipó esis . Aplicando la p oposición an e io , podemosa i ma que, si G e P II y soc(G)  - T n pa a algún n,  en onces G/soc(G)  1U . (lc) Toma T = A 5 , el g upo al e nado de g ado 5, y e ec ua la cons ucción de (lb) con a = (12) e E S iden i icado con Au (T) . demos en onces a i ma que si G e P' II , G/soc(G) 1 U . - Aplicando el eo emapodemos consegui un g upo G2 e P II con De lo ci ado más a iba se deduce que, si G e Pii, Po- (2) Sean T 1 ,. . . . T g upos simples no abelianos de o ma que T i+1 es sección p opia de T  (i = 1, i  . . ., -1) .  Sea G 1e PII con soc(G I ) = T11 n soc(G 2 ) = T 2 2 y al que G 2 /soc(G 2 ) = G 1 . Rei e ando el p oceso ob- enemos un g upo G con una se ie p incipal 1  = N0  < N 1  <  . . .  < N  <G  ,  única en e  1 y N  y  al  que -1  -1 G /N  = G .E P' si i > 1 y N  /N  = soc(G,) - n~ T . 1 . - II  -i -(i+1)  i i G/soc(G)es no esoluble, luegoalgún ac o p incipal no abeliano de G /N -1 no es complemen ado po ningún subg upo maximal de G : si R es el nume ado de una co ona no abeliana de G /N  y R iene -1 o den máximo en es as condiciones, G /R es esoluble, luego si L es al que R/L es ac o p incipal de G , se iene que G /L e P II- PjI . (El azonamien o acabado de hace es po o a pa e gene al y se puede sin e iza en : "Un g upo G es esoluble si y sólo si cada ac o p incipal no de F a ini de G es complemen ado en G" .) REFERENCIAS [1] M . Aschbache and L . Sco , Maximal Subg oups o Fini e G oups . J . Algeb a 92 (1985), 44-80 . [2] P . Fó s e , A No e on P imi i e G oups wi h Small Maximal Sub- g oups . Pub . Ma . UAB (1984), 19-28 . [3] L . G . Ko ács, Two esul s on w ea h p oduc s . The Aus alian Na ionalUni e si y . (P ep in .) [4] J . La uen e, Nonabelian c owns and Schunckclasses o ini e g oups . A ch . Ma h . 42 (1984), 32-39 . [5] J . La uen e, C ownsand cen alize s o chie ac o s o ini e g oups . Comm . i n Algeb a 13 (3) (1985), 657-668 . [6] J . La uen e, Eine No e Ube nich abelsche Haup ak o en und maximale Un e g uppen eine endlichen G uppe . Comm . i n Algeb a (P óxima apa ición .) Rebu el 19  d'abnd,2 del 1985 Uni e sidad de Za agoza . Dp o . d e Algeb a Facul a de Ciencias Za agoza ESPA11A