Sobre filtros estables de gabriel VII (algunas relaciones entre teorías de torsión en A-mod y teorías de torsión en mod-A)

Pub . Mat . UAB Vol . 27 N2 2 Juny 1983 SOBRE FILTROSESTABLES DE GABRIEL VII (Algunas relacionesentreteorías de torsión en A-mod y teorías de torsión en Mod-A) José Ríos Montes En [3,b1 y [41, se definen los conceptos de semisimplicidad y regularidad, relativos a un filtro de Gabriel en un anillo A, en esta nota se define una función entre el conjuntode teorías de torsión hereditarias en A-mod y el conjunto de teorías de torsión hereditariasen mod-A, entre otros resultados, se prueba que en el caso esta ble, los conceptos antes mencionados se preservan bajo esta correspondencía . En la última sección,se da una caracterización de los filtros de Gabriel en A que satisfacen la propiedad de que todo módulo simple de torsión es F-inyectivo y se estudian algunas propiedades que compar ten estos filtros y aquellos que hacen de A un anillo F-regular . {A/J  / J  E  F~ }  . La notación y terminología utilizada,sera la de (3,al . I .- RESULTADOS PRELIMINARES Sea A un anillo con l, denotamos por T, al conjunto de teorías de torsión hereditarias en  A-mod  y por  T d ,  al  conjunto de teorías de torsión hereditarias en Mod-A . Sea (4,L) una teoría de torsión hereditaria en A-mod con filtro asociado F, sea E~ = {IA/I E F} y (T d'Ld) la teoría de torsión en Mod-A, generada por los módulos derechos PROPOSICION 1 .1 . (T d ,Ld) es una teoría de torsión hereditaria . DEMOSTRACION :  Las clases  Ir d  y  (L d'  se describen como sigue ; IL d = {N A /Hom A (A/J,N) = o Id JE BF } T d ={M A /Hom A (M,N) =0  il N E ILd} Para probar la afirmación, basta hacer ver que IL d es cerrada bajo capsulas inyectivas . Sean  N E IL d , J E B F y  f E Hom A (A/J, E(N)),  si  f 9` 0 existe xE E(N),  x Y( 0  tal que  f (1) = x,  entonces  xJ = 0  como N es submódulo esencial de E(N), podemos elegir  y E N  de tal maneraque y it 0 y xa = y para algún a E A como J es ideal bilateral, yJ = xaJ C xJ = 0, entonces, podemos definir g : A/J - N  por g(a) = ya y este morfismo no es cero, de aquí que para todo J E ", . Hom A (A/J,E(N)) = 0 esto nos dice que (T d ,l d ) es una teoría de torsión hereditaria . Definimos ahora,  T -> T d como sigue OBSERVACIONES 1 .2 . ~ ( (T,L)1 = (T d .L d ) . a) Si A es conmutativo, b) Si T y T' son clases de torsión hereditarias en A-mod tales que  Ir C T'  entonces  T d CT d d) Si T = A-mod,  T d = Mod-A e)  Es fácil ver que si IF es un filtro de Gabriel en  A, entonces el conjunto  .F0 =- {I A/ I D J 1 . . . J k con  J i E BF}  es una pretopología en AA . 1 T c) Si T = {O} entonces T d ={O} COROLARIO 1 .3 .  Sea  Fd  el  filtro de Gabriel  asociado a  (Ir d>Ld ) entonces : IF d - {I A / para todo J tal que I C J r # A, existe a E A-J  tal que  (J : a) CF O } . DEMOSTRACION : 15 1 . OBSERVACION 1 .4 . Si los elementos de lF son finitamente generados como ideales derechos, entonces IF d = IF O . PROPOSICION 1 .5 .  Si (lí,L) es una teoría de torsión T .L .T . entonces (T d' IL d ) es T .L .T . DEMOSTRACION : Sea J el ideal bilateral idempotente, generador de IF, entonces ;  F0 = . {I A/ J C I} es un filtro de Gabriel y de aquí que PROPOSICION 1 .6 .  Si (IT,ll) se escinde centralmente, entonces (1rd'Ld) se escinde centralmente . DEMOSTRACION .- Sean e,f, idempotentes centrales tales que A = Ae  9 Af,  donde  tA = A  y  IF ='{ A I / Af C  I}  de  la proposición anterior,tenemos que F d = {I A /fA C I}  y entonces  t d A = eA,  por consiguiente II .-  ANILLOS NETERIANOS escindecentralmente . DEFINICION  2 .1 . Un filtro de Gabriel F en A es acotado, si  IF tiene una base consistente de ideales bilaterales . OBSERVACION 2 .2 .  Por 1 .4, si AA es neteriano, entonces, para cada teoría de torsión hereditaria,  (4,d) E T, tenemos que  IF d es un filtro de Gabriel acotado . Denotemos por C(A) al conjunto de clases de isomorfismo de módulos derechos inyectivos inescindibles, y por Spec (A) al conjunto de ideales primos de A . Sea A neteriano derecho y  : J(A) -> Spec(A), la función que asigna a cada inyectivo inescindible, su único ideal primo asociado, tado derecho si ~ es biyectiva . En esta sección, se da una demostración distinta a las conocidas, de una caracterización de los anillos completamente acotados . PROPOSICION 2 .4 .  Sea A neteriano derecho y  EO,EI , módulos derechos inyectivos inescindibles no isomorfos, entonces, la teoría de torsión cogenerada por E O , es distinta a la teoría de torsión cogenerada por E l . DEMOSTRACION .- supongamos que EO esta cogenerado por E I , probaremos que E O no cogenera a E l . es conocido que esta función es suprayectiva, ya que, si P E Spec(A), n entonces E(A/P) -~ ® Ei donde cada E i es inyectivo inescindible i=1 y E i = E j para todo i,j, sin embargo 0 no es siempre inyectiva . DEFINICION 2 .3 . Un anillo neteriano derecho A, es completamente aco- Sea I un máximo en la familia de anuladores de elementos no nulos de E O , este máximo existe porque AA es neteriano, además 11{ A, sea x E E 0 -{O}, elementoasociado a  I,  como E l cogenera a EO , existe un morfismo distinto de cero,  f : A/I -+ E 1 , notemos que f no es monomorfismo, ya que entonces tendríamos que  E l = E(A/I) pero E(A/I) = E O y de aquí  E l _ E Olo cual contradice la hipótesis, sea J/I = Kerf,_ por lo anterior,  I r { Jrf A, entonces A/J _ Imf c E 1 , la maximalidad de I nos dice que Hom A (A/J,E 0 ) = 0, de aquí que E l no está cogenerado por E0 . TEOREMA 2 .5 . Sea A neteriano derecho, son equivalentes : DEMOSTRACION a) A es completamente acotadoderecho . b) Todo filtro de Gabriel en AA es acotado . a)  b)  f 5 l  . b)  a)  Sean EO ,E 1, A-módulos derechos inyectivos inescindibles,probaremos que no tienen el mismo ideal primoasociado . Sea t 0 el radical asociado a la teoría de torsión cogenerada por E 0 y  F0 el filtro de Gabriel correspondiente . Por la proposición anterior, podemossuponer que  t 0 E l Y 0,  sea  P  el  primo asociado a  E 1 ,  como  E l es  inescindible, existe  x E t0E 1 ,  x gt 0  tal que P = An(xA), por otro lado,  an(x) E F O ,  como F O es acotado, existe  J E F O ,  ideal bilateral tal que  J C an(x)  entonces xAJ = 0 y de aquí que J C P de lo cual tenemos que P E FO . Si P fuese el primoasociado aE O , tendríamos un elemento y E EO , y ¢ 0 tal que P = An(yA) y entonces P C an(y)  lo cual nos dice que an(y) E FO  'y por lo tanto 0 ¢ y E t0EO = 0 que es absurdo, entonces EOy E l tienen distinto primo asociado es decir, Aes completamento acotado . COROLARIO 2 .6 .  Si A es neteriano derecho y ~ es suprayectiva entonces A es completamente acotadoderecho . DEMOSTRACION La hipótesis junto con la observación 2 .2, nos dicen que todo filtro de Gabriel en AA es acotado . COROLARIO 2 .7 .  Si A es neteriano derecho e izquierdo entonces : es biyectiva si y sólo si A es completamente acotado derecho é izquierdo . DEMOSTRACION : Basta considerar el siguiente hecho : Si A es neteriano y F es un filtro de Gabriel en A, aco tado, entonces : F =  {I/I D P 1 . . . P k donde P i E Fn Spec A) . 111 .- CONCEPTOS RELATIVOS En [3,b1 y [41, se definieron los conceptos de semisimplicidad y regularidad, relativos a un filtro de Gabriel en  A, en esta sección, probamos que en el caso estable, estos conceptos permanecen invariantes bajo DEFINICION 3 .1 .  Sea F  un filtro estable de Gabriel en  A,  A es F-semisimple, si todo ideal en F es sumando directo de A . Una caracterización de anillos F-semisimples es la siguiente : A =tA e RA con tA y 2A generados por idempotentescentrales, F ="{ I/ .2A C I} y  tA semisimple . TEOREMA 3.2 .  Si F es un filtro estable de Gabriel en  A es F-semisimple, entonces F d es un filtro estable y A es F d -semi - simple . DEMOSTRACION De la proposición 1 .6, tenemos que  tA = t d A  y Fd = {I A /RA C I},  tA semisimple implica que todo ideal en F d es sumando directo de A, por otro lado,  A(A/ .PA) es proyectivo y de aquí que Fd es un filtro estable en A A . DEFINICION  3 .3 .  Sea Fun filtro de Gabriel en AA,  A es F-regular si para todo ideal derecho J y todo 1 en F, JI = J n I . y A OBSERVACION 3 .4 .  Si Aes F-regular y J e I son ideales bilaterales de F entonces  IJ = I n J y de aquí que F O {I A c A/1 D J para algún J E V . LEMA 3 .5 .  Sea F un filtro de Gabriel estable en AA, si  A  es regular entonces, para todo  I A E IF O , el A-módulo derecho  A/I es plano . DEMOSTRACION Sea  I E IF O ,  como Aes F-regular, por teorema 2 .2  de [41, el A-módulo A/I es F-plano, por consiguiente el A-módulo izquierdo Hom Z (A/I,Q/Z) es F-inyectivo (teorema 1 .4 de [41 ), de la observación  3 .4,  tenemos que existe J E F,  J  bilateral tal que J c I, es claro que J anula a Hom,(A/1,Q/Z) entonces Hom,(A/I,Q/Z) es F-inyectivo y de torsión respecto a F, la estabilidad de F nos da por resultado que HomZ (A/1,Q/Z) es inyectivo y entonces (A/1) A  es plano . LEMA 3 .6 .  Si M E Mod-A es F O -inyectivo entonces M es F d -inyectivo . DEMOSTRACION Sea M E Mod-A tal que  M es F O -inyectivo, sea I E F d y  f : 1 -+ M  un morfismo, consideremos la familia TEOREMA 4 .5 .  Sea IF un filtrode Gabriel en  A, sonequivalentes las siguientes afirmaciones ; DEMOSTRACION a) Todo ideal en 1F es idempotente . b)  Si  J  E  F  es bilateral, entonces  (A/J) A  es  F-plano . c)  Si  J E F es bilateral, entonces  JI = J n I  paratodo I E F . a) - c)  Sea  I E IF,  J n I E IF,  por lo tanto  (J n I) 2 = J n 1 . JI C J n 1, por otro lado es claro que (J n I) 2 C JI, porconsiguiente c) - a)  Sea  1 (-= F,  entonces  IA E IF,  por la hipótesis, ¡Al = IA n I, de aquí que  1 2 = I b) - c) Es consecuencia del teorema 1 .13 de [41 . COROLARIO 4 .6 .  Si en 4 .5 pedimos que F sea estable entonces c) se puede modificar por DEMOSTRACION Utilizando el mismoargumento que en la demostración del lema 3-5c')  Si  J E IF  es  ideal  bilateral  entonces  (A/J) A  es plano . Rebut 20 d'agoat del 1982 Mexico 20, D .F . MEXICO REFERENCIAS New York-Berlín : SpringerVerlag 1975 Area de la Investigación Científica CircuitoExterior-CiudadUniversitaria 57 1) Colavita L ., Raggi F ., Ríos J . Sobrefiltros estables de Gabriel V . Anales del Instituto de Matemáticas UNAM, Vol . 17 no . 1 p . 1-16 (1977) 2) Fisher Joe W . Von Neumann regular ringsversus V-rings . Ring Theory . Proceedings of the Oklahoma conference . Marcel Dekker Inc . New York 1974 p . 101-119 . 3) González M . et al . a) Sobre filtros estables de Gabriel I . Anales del Instituto de Matemáticas UNAM, Vol . 16 no . 2 p . 135-154 (1976) . b) Sobre filtros estables de Gabriel II, Anales del Instituto de Matemáticas UNAM, Vol . 16 no . 2, p . 155-173 (1976) . 4) Ríos, J . Sobre filtros estables de Gabriel IV Anales del Instituto de Matemáticas UNAM . Vol . 17 no . 1, p . 95-108 (1977) . 5) Stenstrom Bo . Rings of Quotients .