Generalitzacions per automorfos dels grups nilpotents

Pub . Mat . UAB Vol . 27 N4 2 Juny 1983 GENERALITZACIONS PER AUTOMORFOS DELS GRUPS NILPOTENTS PilarMartínSalvador ABSTRACT : It is known that a group Aof automorphisms of G stabilizes a series of G, 1 = Go e G 1 1 . . .a Gr = G, if [G i ,A] _< Gi-1 , 1<<i<r . This sentence generalizes one of the characterizations of nilpotent groups . Analogously, we introduce other generalizations of the nilpotent groups (the A-nilpotent groups and the A-Sylow groups) and we study the relationship among all them . En aquest treball introduYm i relacionem entre si diverses definicions que generalitzen les següents conegudes caracteritzacions dels grups nilpotents finits : G estabilitza una série seva ; qualsevol sub grup maximal de G és normal en G ; qualsevol subgrup de Sylow de G és normal en G ; [G,G ] < O(G) . Per G denotarem sempre un grup finit i per A un subgrup del grup d'automorfismes de G . 1 .  0etini .c¿ó  (v .  [ 31, paq .  178) Siga 1 = G0 q G 1 o . . .4 G r = G .una série de G . Direm que A estabilitza la sériedonada si A normalitza cada Gi i si [G i ,A]  <_ G i-1' 1<i< r . Si A = Int(G) obtenim la primeracaracterització dels nilpotents . Observe's que si A és el grup d'automorfismes interns induits pel subgrup de Fitting, F(G), aleshores A estabilitza una série de G i F(G) és el major subgrup normal de G amb aquesta propietat . 2 . Qeti'jc,¿ó Un grup G és A-nilpotent si tot maximal de G és A-invariant . Per aA= Int(G) hi obtenim els nilpotents i, per aA = Aut(G), els supernilpotents (v . [6J) . Si A és el grup d'automorfismes interns induits pel subgrup A(G) (A(G) és la intersecció de tots els maximals no normals de G), aleshores G és A-nilpotent i á(G) és el major subgrup de G amb aquesta propietat . 3 .  DePn,i ci ó Un grup G és A-Sylow si per a cada primer p divisor de IGI existeixun p-subgrup de Sylow de G que és A-invariant . Si Int(G) <A, aleshores G és A-Sylow si, i sols si, G és nilpotent .  Si GoA són resolubles i  (1 G1 ,1 A1) = 1,  aleshores G és A-Sylow . Si A és un subgrup de Aut(G) lliure de punts fixes, aleshores G és A-Sylow (v . [3], pags . 224 . 335') " Si A és el grup d'automorfismes interns induits per 1'hipercentre Z_(G), aleshores G és A-Sylow i Z_(G) és el major dels subgrups normals, H, de G per als que G és H-Sylow . Si Int(G) <_ NAut(G)(A), aleshores G és A-Sylow si, i sols si, tot subgrup de Sylow de G és A-invariant ; per tant, de [1] deduim que, si Int(G) < NAut(G)(A) aleshores G és A-Sylow si, i sols si, [G,A] < Z_(G) . 4 .  Ptopo i .i .ciá Si A estabilitza una série de G,  aleshores  [G,A]  <  A (G) . Demostració : Per $A (G) entenem la intersecció de tots els A-subgrups maximals de G (veure [7]) . Siga M un A-subgrup maximal de G ; com que A estabilitza una série de G,  aleshores  [G,A,A, . . . . A]- = . 1  <-M .  Pel le ma (1 .4) de [2], ' M _< M[G,A] < G, és a dir, M = M[G,A]  i [G,A] _< M . Per tant,  [G,A]  <  $ A (G) . 4 . 1  Co toL . .f aa¡ Si G és un grupcaracterísticament simple i A á Aut(G), aleshores A estabilitza una série de G si, i sols si, A = 1 . Demostració : Immediata a partir del corol .lari (2 .2) de [7] i de la proposició 4 . 4 . 2  Coco¡ . daa i . Si A estabilitza una série de G, els A-subgrups maximals de G són maximals . Demostració : Siga M un A-subgrupmaximal de G i M' un maximal tal que M < M' . Com que [M',A] < [G,A] < M < M', aleshores M' és A-subgrup i M = M' . 5 "  Paopo~di .ci .ó [G,A] < O(G) si, i sols si, G és A-nilpotent i A estabilitza una série de G . Demostració :  Si [G,A] _< $(G) i M és un subgrup maximal de G, com que [M,A] < [G,A] _< m(G) _< M, es verifica que M és A-invariant, és a dir, que G és A-nilpotent . A més, de [8], teorema 3 .1, es dedueix que A . estabilitza una série de G . Inversament, si G és A-nilpotent, aleshores OA (G) = O(G) i, per la proposició 4, [G,A] <_ O(G) . 5 . 1 Coiwi . 2£m¡ [G,A(G)] < m(G) i á(G) és el major subgrup de G amb aquesta propietat . 5 .2 CowL . .La4,i Si A < Int(G), aleshores [G,A] < O(G) si, i sols si, G és A-nilpotent . Observe's que 1'afirmació feta en el Corol .lari 5 .1 és equivalent a dir que e(G)/O(G) = Z(G/O(G)) (v . [4], pag . 276) . 6 . Teoaeaa Si A i G són abelians i [G,A] < OA(G), aleshores A estabilitza una série de G i el producte semidirecte de G per A, G*, és A-nilpotent . Demostració : Com que G és un subgrup normal abeliá de G*, en resulta que 0 G* (G) < O(G*) . D'altra banda, m G* (G) = n(M / M és G*-invariant maximal de G} = ()(M / M és GA-invariant maximal de G) = n(M / M és A-invariant maximal de G) =OA (G) . Per tant, OA(G) _< O(G*) i, com que A és abeliá, tenim [G*,A] _ [G,A] < OA(G) _< O(G*) . En conseqüéncia, G* és A-nilpotent i A estabilitza una série de G*, per la qual cosa també n'estabilitza una de G . 7 . _ Lona Siga G un p-grup . G és A-nilpotent si, i sols si, A indueix sobre G/m(G) un grupd'automorfismes escalars . . Demostració : Es análoga a la del Teorema 3 de [6] . 8 . Teoa .®na Si G és un p-grup A-nilpotent,aleshores [G,A] _< O(G), o bé [G,A] = G . Demostració :  Si A/C A (G/$(G)) = 1, aleshores contrari, A / CA(G/O(G)), aleshores (A/C A (G/V En efecte,  siga a un element de Z/pZ, a4 l,, tal calar del Z/pZ-espai vectorial G/O(G) definit grup A/C A (G/O(G)) .  Siga BC Z/pZ tal que  (a-1 llei externa de 1'espai vectorial G/m(G) . Per rifica : x = 1ox = ((a-1)B)ox = (a-1)o(Box) = =  (Bux)-1(Box) . . . . a .? .(Box)  =  (Box) -1 f a (B-x)  e [G,A] < m(G) . Si, pel G)) , G/m(G)] = G/m(G) . que 1'automorfisme esper a, fa , pertanya al B = 1 . Denotem per o la a tot x E G/O(G) es ve- (Box) .... a . .l~ .(Box)  = [A/C A (G/m(G))  ,  G/m(G)] . En els casos que, en la hipótesi del teorema, tinguem p = 2  o A < Int(G), sempre es complirá [G,A] < O(G) . 9 . Teonema Si G és un grup A-nilpotent,aleshores A és superresoluble i [G,A] _< p(G) . Si, a més, e(G) = Z .(G), aleshores G és un grup A-Sylow . Demostració :  Siga X = {M _< G / M és maximal) i siga A(X) = {a6 Aut(G) / M a = M YM E X} . Com que A < A(X), tenim que A és superresoluble (veu re (4], teorema 3 .4) . D'altra banda, si en (2.2 .a) de [4] prenem com a a el conjunt X, es verifica que C .(X) centralitza el grup quocient' NG(X)/CG(X), és a dir, [G,A] _< p(G) . n Si, a més, á(G) = Z. (G), tots els elements de A són automorfismes hipercentrals, la qual cosa que tots els subgrups de Sylow de G són A-invariants (veure en conseqüéncia, G és A-Sylow . 10 . Con t~eaexe ~ En funció de diverseshipótesis sobre A, estudiem a continuació la relació entre els quatreenunciats següents : (1) A estabilitza una série de G . (2) G és A-nilpotent . (3) [G,A] _< O(G) . (4) G és A-Sylow . a) Si A = Int(G), aleshores (4)k  3(3)é  o(2),* b) Si A és el grupd'automorfismes internsinduYts per un grup normal H de G, aleshores En efecte : i)  (4) --D(3) . Car si G és A-Sylow,  aleshores .H < Z_(G) 1 6(G), (4)  (3)< -)(2)  (1) implica [1]) i, sub- i, per tant, [G,H] = [G,A] < O(G) . ii) (3)(  i(2) pel Corol .lari 5 .2 . iii)  (2) -)(1) . Car si G és A-nilpotent, aleshores H < A(G)  < _< F(G) i, en conseqüéncia, A estabilitzauna série de G . iv)  (3) -/-)(4) .  Es suficient prendre un grup G on Z_(G)  < e(G), per exemple el grup diédric D9 = <x,y / x9 = y 2 = 1, y -1 xy = . x -1 > . Siga A el grupd'automorfismes internsinduits per 4(D 9 ) = <x 3 > . Com que [D9,A] _ [D9 ,p(D 9 )] _< m(D 9 ), es compleix (3) pecó D 9 no és A-Sylow car ¿(D9) Z_(D9) = 1 . v) (1)-/-~(2) . Es suficient prendre un grup G on A(G) < F(G), per exemple D9 . Siga A el grup d'automorfismes internsinduits per F(D 9 ) ; com que A(D 9 ) = <x 3 >< F(D 9 ) = <x>, es segueix que A estabilit za una série de D Q pecó D9 no és A-nilpotent . c) Siga A el grup d'automorfismes internsinduYts per un subgrup qualsevol H de G . Aleshores, (3)(---!(2) En efecte : i) (3)H(2), (2)  >(1), (1)-$ >(2), (3)-y~-r(4) i (1)-,y(4) . Per la mateixa raó que en 1'apartat b) . ii)  (4) x)(3) .  En efecte,  siga G = E4  i siga H = <(1,2)> .  Com que el 2-subgrup de Sylow P 2 =[<(1,Q,2,3)>]<(1,3),(2,4)> és A-invariant i el 3-subgrup de Sylow P 3 = <(1,2,3)> és A-invariant, G és A-Sylow ; pecó no es compleix (3) car (G,A] = [G,H] ¡ O(G) = 1 . iii) (4)-f-)(1) . En efecte, si agafem el mateix exemple anterior, G és A-Sylow pecó A no estabilitzacap série de G . d) Siga A un grup qualsevol de Aut(G) . Aleshores, (4) . # o- ^ (1) En efecte, i)  (3)----*(2) i (3) - : (1) . Per la proposició 5 . ii) (2)-í -r(3) . En efecte, siga G = C 3 ; aquest grup és supernilpotentpecó [C 3 ,Aut(C 3 )] = C 3 -1 m(C 3 ) . iii) (2) -}-r (1) cár, per exemple, C 3 és supernilpotent pecó Aut(C 3 ) no estabilitza una série de C 3 . iv) (1)-}-+(3) car si G = <a,b /a4 =1, b 2= a2 , b -lab = b-1> i A =  <a>  ,  essent a  1'automorfisme de G tal que a a = á 1  i b a = ab, aleshores A estabilitza la série 1 a Z(G) o <a> cG, pero (G,A] =<a> i <a> no está contingut en O(G) . Els altrescasos es raonen com en l'apartat c) . En particular, per a A = Aut(G) els grups abelians no cíclics verifiquen (4) pero no verifiquen (2) . REFERENCIES [11  Adney,J .E . and Deskins,W .E . On Automorphismsand Subgroups of Finite Groups II . Arch . der Math ., Vol . XVIII (1967) . [21  Blessenoh1,D . und Laue,H . Vorzeichenvon Automorphismen endlicher Gruppenund Beispiele normaler Fittingklassen . Math . Z ., 148, 119-126 (1976) . [3)  Gorenstein,D . Finite Groups . Harper-Row, New York (1968) . [4]  Huppert,B . Endliche Gruppen I . Springer-Verlag, Berlin(1979) . [5]  Laue,H . Kerne von Permutationsdarstellungender Automorphismengruppe einer endlichen Gruppe . Arch . Math . Vol . XXVII, 463-472 (1976) . [6]  Mack Hil1,W . Frattini Subgroups and Supernilpotent Groups . Israel, J . of Math . Vol . 26, n°- 1 (1977) . [7]  Martín Salvador,P . Sobre los subgrupos Frattini relativos a automorfos y las relacionesentreellos . VIII Jorn . Mat . Luso-Esp ., Vol .I ., 143-151, Coimbra (1981) . [8]  Schmid,P . Nilpotente Gruppen un i d Stabilitátsgruppen, Math . Ann . 202,57-59 (1973) . Rebut el . 27 d'abh .í .e de 1982 Pilar Martín Salvador Departament d'Algebra i Fonaments Facultat de Matemátiques Universitat de Valéncia Burjassot (Valéncia) ESPANYA