Sobre un teorema de dualidade

Pub . Ma . UAB N° 22 No . 1980 Ac es VII JMHL SOBRE UN TEOREMA DE DUALIDADE J .C . Namo ado,Clímaco Cen o de Ma emá ica Uni e sidade de Coimb a Abs ac - In his wo k we discuss some esul s p esen ed in El] , [2] , E3] and we compa e he "con en ional dual heo y" - using "Lag angeMul iplie s" - wi h a "new dual heo y" s a ed in C1 1 . 1 . In odujo Quando p e endemos u iliza mé odos de op imizagao, em p oblemas de engenha ia ou de planeamen o, há, po ezes, an agem em conside a á ias ungóes objec i ocon li uosas en e si . Um dos p ocessos de abo da es es p oblemas é cons ui uma ungáou ilidade que inco po e os di e sos objec i os . Em ge al, as ungóes u ilidade pe encem a uma classe de ungóes, com p op iedadesespeci icas, a que chamamos" ungóes mono onicamen e es u u a das" . A es u u a des a classe de ungóes pode se explo ada pa a desen- ol e mé odos que pe mi amop imizá-las com menos es o go compu acional do que se u iliza-ssemos algo i mos clássicos . A es e espei o eja-se DI , E?], Em F17 oi es abelecido um no o ipo de "p oblema dual", com a pa icula idade de se de inido an o pa a "p oblemasp imais" com es i- goes, como pa a p oblemassem es igo-es (dualidade-A) . Em C21 .desen ol emos es a eo ía e compa ámos as "limi agóes  in- e io es" (lowe bounds) ge adas a pa i da eo íada dualidadecon encio nal que u iliza "Mul iplicado es de Lag ange" (dualidade-L) e a pa i da "dualidade-A" . Ti emos em is a o es udo da . possibilidade da sua aplicagáo, pa a es abelece condigóes de pa agem, quando se u iliza um p ocesso i e a- i o pa a op imiza o "p oblema p imal" . 27 9 u u ada" . Nos pa ág a os 3 e 4 ocamos alguns dos p incipais esul ados que acabámos de e e i . No pa ág a o 3 suge imos ainda um no o ipo de demons agáo pa a o eo ema de dualidade ap esen ado . Em 3 e 4 o nam-se cla as as elagoes exis en es en e os dois ipos de p oblemas duais . No pa ág a o cinco ap esen amos a ex ensáo,pa a condigoes mais ge ais, dum lema pa a " ungóes mono onicamen e es u u adas" ap esen ado em El] . Salien e-se que a aplicagáo des e lema á " eo ia do con olo" á po en cialmen e in e essan e E1,21 . Ao longo do ex o amos conside a que o p oblema de op imizagáo em es udo consis e na minimizagáo dumadada " ungáo objec i o" num de e mi- nado dominio . Conside amos ainda, po azóes de simplicidade, que exis emi nimo nao só da " ungáoobjec i o" e e ida, como de odos os p oblemas aux_i lia es de minimizagáo conside ados, nos espec i os dominios . No e-se que es a suposigáo é ei a po azóes de símplicidade . 2 - P mgao mono onicamen e Es u u ada De inigao - Seja F um sub-conjun o dum espagolinea de dimensáo ini a (FAX) . A ungáo  :X + R - diz-se mono onicamen e es u u ada se e só se ( .~l  = h ., . .( . .l 3 - Teo ema de Dualidade Em[ :2] ap esen ámos uma ex ensáo dum eo ema de dualidade in odu- zido em EG . Vamos aqui e e i uma e sáoligei amen e simpli icada do eo ema . Teo ema - Sejam : 1 - (x) = ho (x) uma " ungáo mono onicamen e es u u ada" de ini- da em X, sendo X um espago linea de dimensáo ini a, h( .) sub-di e en- ciá el e con exa,  (x) = w1(x), . . ., m(x)1 T  em que  V i ,.. . . m sao un SSóes di e encíá eis ~pVi(x)-óVZ(x)~ax~ . 2 - P :X ->W  em que  W  é um espago linea de dimensáo ini a, P é linea  (i .e . PcL(X,W))  e  dim W> min {m4dim X  } 3 - F= ho :Xm R, :X m -> Rm : T (x1, . . .,xm)- E 1,(xl), . . ., m(Xmc 28 0 No pa ág a o 2 in oduz-se a nogáo de " ungáo mono onicamen e es- a - (x) :X - R m :x H E l(x), . . ., m(x)-1 T  em que  i :X->R (i=l, . . .,m) sao ungoes con exas . b - h( .) :R -}R é monó ona es i amen e c escen e . F = F(P) A {(x1, . . .,xen)E Xm :Pxl= . . .=Pxm} En áo, m Px mi" - (P) (X) _ e um P que maximízá (1) é : min (x) = (x*)  (1) xEF P* = [V 1(x*), . . .,  V en (x*)] T ,  8x* ea g min  (x) xcF A demons agao que ap esen ámos em [22 é uma ex ensáo,com peque~ nas a ian es, da ap esen ada em [1~ . Uma no a demons agáo, que suge e a possibilidade de elaxa es e eo ema pa a condigo - es mais ge ais, pode a- ze -se u ilizando esul ados da eo ia da dualidadecon encional . Vis o que  ( e [1] ), X  P)  /'(,y) < min (x), YPeL(X,W) . es-  !, a p o a que P* é al que I p imal") : em que Y min , .cx m min xeXm n(Y)  = min .Y E Xen (x ) mm m (x m ) , . . .,yen-l] T eYl .l~-(P*) /"(' ) = (x*) Pa a isso, conside amos o seguin e p oblema (idén ico ao"p oblema em que  xí = [xi, . . .,xn ] T  pa a A pa i de (2) cons uimos : xl-x2 = 0, . . .,xm-l-xm = 01  (2) P*(xl-x2)=0, .... P*(xen-l-xm)=0 l  (3) Como o p oblema (3) ( e [2-j ) : é con exo, a ungáo II(y) ambém é con exa 1 (x 1) P* O . . . 0x l -x 2 0 P* 0 (x ) m m 0 P* x m-1 -x m Uma ez que o p oblema (3) é es á el exis e o "dual-L" de (3) . A pa i des e pon o, com alguma manipulagáo algéb ica, pode demo as a -se o p e endido . 4 - Cowa a ao das "limi agóes in e io es" ge adasu ilizando a "dualida- de-L" e a "dualidade-A" . Po ezes o p oblemadual é ú il pa aes abelece condigóes de pa- agem quando se usa um algo i moi e a i o pa a op imiza o p oblema p imal . Fixando e(e o pe mi ido) o p ocesso i e a i o de e in e ompe -se quando (x k )-mi a (x)<e . Como, em ge al, mi a (x) náo é conhecido á p io i, é im- xEF -  xFF po an econhece uma "limi agáo in e io " que con i ja o mais apidamen e possi el pa a (x*) quando x ende pa a x* . "Limi agóes in e io es"com es ap op iedade podem ob e -se u ilizando a " eo ia da dualidade con encio nal" e a "dualidade -A" . Em 2 1 azemos a compa acao das "limi acóesin e io es" ge adas po es es dois p ocessos . Vamos e e i b e emen e um caso pa icula . Conside emos o "p o- blema p imal" em que as ungóes obedecem ás condigo~es 28 2 min(P a ) =  mi a 2 xsFOXAR 0 p oblema  (P a )  é equi alen e a min(P b ) = mi a x l .x2e min(P c ) = mi a x l ,x~ R (P b ) : 2 (x) impos as no eo ema do pa ág a o 2 . Usando a "dualidade-L" ob ém-se "limi agóes in e io es" da o ma : 1 (x1 ) 1  + a (x) T (x l -x _ 2 2 _ _< mi a  (Pb ) .  Y)~ (X)  = al (x)  e R 2 a2 (x)1 -Y yeR (m-1) ~(xl, . . .,xm)e Xm : P* 0 . . . 0 x l -x 2 0 P* 0 0 ... 0 P* x m-1 -x m em que  A = Como (P b )-e es á el, pa a a(x) = X(x*) (com x*=xi =x2) min  (P c )  = min(Pb) . Assumindo que as ungo - es em causa sao con inuas, é possi el ob e uma exp essao pa a um  a(x), com  A(x) -> a(x*)  quando  x- x* . Pa a isso, cal cula-se 9(x) al que : mi9 ¡¡A - Be 1,2 eER Ob im-se  6(x) = LBT B ] -1 B TA com / ( ( .Y) = h 1  -1  0  O ]T [o  0  1  -1 1 E) (x) = L e1(x),e2(x)1 T Faz-se  M X) _ - e(x) . Po ou o lado, como : min < x1,x2ER2 a F(x)  a (X)  a  c ( . ) ax1 axi ax2 h IL 2(x2) 1 h T (x 1 -x 2 )=0 L ,  Va (x) eR 2 é possi el dize que as "limi agóes in e io es" ob idas usando a "dualida- de-A" sáo iguais ou melho es que as ob idasu ilizando a "dualidade-L" . 5 - Ex ensáo doLema 2 .1 (i) de  L1] . Lema - Seja (x) = ho (x) pe encen e á classe das " un ,óes mono onicamen e es u u adas" de inidas em  F C-IX, sendo  X  um espago linea de dimensao ini a, F con exo e echado,  m=2,  1 ( .)  e  2 ( .)  di e enciá eis, h( .) sub-di e enciá el e  Va 1 h( .)cah( .), a 1 h( .)> 0 . 283 1 (x 1) + X(x) T L 2 (x2)1 wl (xl)l : A (x) T ~2 (x2)J Seja  S __A {x :  x s a g min (x) } xcF S i __A{x :  x c a g min  i (x)}  i=1,2 . xcF En ao,  se  S 1 Os 2 = i,  Sn s i = 1,  i=1,2 . A demons agao que p opomos pa a es e lema ( e E3] )  é comple- amen e dis in a da ap esen ada em E1] pa a a e sao o iginal do lema e u iliza uma ungao pe u bagao do ipo da in oduzida em E4] . Re e éncias E1] - Al1w igh , J .C . "Mono onically-S uc u ed Cos Func ions : Minimiza- ion, Duali y and Applica ions o Op imal Con ol", P oc .6 h Wo ld IFAC Cong ess, Bos on, Massachusse s, U .S .A ., Augus , 1975 . E2] - Climaco, J .C .N . "Minimiza ion, Duali y and Applica ions o Op imal Con ol o Mono onically S uc u ed Cos Func ions" M .Sc . disse a- ion, Impe ial College, London 1977 . [37 - Climaco, J .C .N . "No e on Some Applica ions o a Ce ain Pe u ba ion Func ion",Re ue Belge de S a is ique, d'In o ma ique e de Reche - che Ope a ionnelle - .acei e pa a publicagao . E4] - Geo ion, A .M . -, "Duali y in Nonlinea P og amming : A Simpli ied Applica ions-O ien edDe elopmen ", Siam Re iew, 1971, 13,1 . -5-1 - Geo ion, A .M . -, "Sol ing Bic i e ionMa hema ical P og ams", Ope a ions Resea ch 1967, 15, 39 . 0 au o nao que deixa de ag adece ao Ins i u o Nacional de In- es igagao Cien í ica o subsidio que lhe oi concedido .