Reducción de programas semiinfinitos a programas finitos

Pub . Ma . UAB N° 22 No . 1980 Ac es VII JMHL REDUCCION DE PROGRAMAS SEMIINFINITOS A PROGRAMAS FINITOS M .A . Gobe na, M .A . López Ce dá, J . Pas o Dp o . d e Es adís ica e In es igación Ope a i a Uni e sidad de Valencia ABSTRAC .- Gi en a semi-in ini e P og amming a ini e ep esen a ion o he easible duced o a ini e one, wi h all he subsequen ad an agés . We s udy mo e in de ail he linea hods which allow us o ob ain a ini elinea when i is possible . INTRODUCCION Dado el p oblema de P og amación Ma emá ica : cuando S el al Min T (x) ,  xe S CRn ecibe en e lineal) que co esponde a T ini o . El conjun o C, sob e el que es ánde inidas es icciones, se llamaconjun osopo e . Pa ael ciones lineales, se oma á C =R n , ep esen ándose En lo que sigue exclui emos el caso i ial P oblem, i we can ind se , he p oblem is e- comp u a ional case, gi ing me- ep esen a ion, iene de inidoa a és de in ini as es icciones, S = {x e C/ (x) < 0, ET},  T in ini o, nomb e de P oblema de P og amaciónSemiin ini a p oblema ípico de P og amación Fini a (lineal o no odas las caso de es ic- (x) --_ a x - g . (PSI) , RELACIONES CONSECUENTES DE UN SISTEMALINEAL Una elación lineal a'x< S es consecuen e del sis ema {a x< o , e T, cuando oda solución de es e úl imo sa is ace aquella desigualdad . La ca ac e ización de las elaciones consecuen espe mi e la eliminación de es icciones edundan es . En el caso ini o, al ca ac e izacióncons i uye el conocidoTeo ema de Fa kas . En el casoin ini o hemos log ado dicha ca ac e ización a a és de una condición geomé ica e e ida al cono con exoK c gene ado po Po cons ucción, es e iden e que K c depende de la ep e- sen ación de S . Sin emba go, cualquie o a ep esen ación de S iene asociado el mismo K c . Se p ueba así mismo ((3) y (6)) que la consis encia del sis ema iene de e minada po K c . En e ec o : También el cono Kc nos ha pe mi idoca ac e iza los sis- emas de Fa kas-Minkowski de singula ele ancia en la Ti de la Dualidad en PSI((4)) . REPRESENTACION FINITALINEAL EQUIVALENTE Mien as que R 2 odo sis ema lineal homogéneo admi e una ep esen ación ini a equi alen e, se puede demos a , po con- aejemplo, la imposibilidad de e ec ua al educción en gene al si el sis ema es no homogéneo o, aún siéndolo, si se consi- de a un espacio de dimensión supe io . Es más, incluso en el caso mencionado en p ime luga , la ob ención de un mé odo que pe mi a encon a la ep esen ación ini a equi alen e no es nada ácil ((5) y (6)) . A a és del conode elaciones consecuen es podemos así 266 { (a ,Y ) , Y ' S , E T} C Rn+l Con mayo p ecisión, hemos demos ado ((3) y (6)) que : a'x < S es consecuen e de {a x <S , ET, sí y sólo sí (a,s) pe enece a la clausu a K c de K c . S, ;, ¿ (D si y sólo sí (~,-1) j í Kc . mismo ca ac e iza aquellossis emas lineales que admi en una ep esen ación ini a : El sis ema {a x <B , e T admi e una ep esen ación ini- a sí y sólo sí K c es un cono poliéd ico ((5) y (6)) . El esul ado an e io es exis encial y p ocedebusca mé o- dos ope a i os pa a la de e minación de la ep esen ación ini- a, cuando exis e . Una condición su icien e que apo amos, en es adi ección, es la siguien e : Si el conjun o {(a ,B ), F T},o su en ol u a ce ado- con exa, P, es un polí opo, en onces S admi e ep esen a- ción ini a . La condición an e io es ácilmen e e i icable en muchos casos, como po ejemplo cuandoT es un polí opode R m- y a , B son lineales (en muchos p oblemas eales de PSI, T es un in e - alo ce ado) . P oponemos el siguien emé odo de educción : Se de e minan (d i ,di), i=  é ices y di ecciones de las a is as in ini asde P . En onces, el sis ema ini o dix <d i , i =i, . . . . , es equi alen e al dado . En el caso pa icula de que T, o su en ol u a ce ado- con exa, enga dado a a és de un sis ema ini o de desigual- dades lineales, puede e ec ua se la educción en las siguien es dos e apas : 1.- Aplicando un mé odo de desc ipción comple a se ob en- d an los é ices y di ecciones ex emas de T (o de su en ol u a ce ado-con exa), que deno a emos i , i= 1 .. .p . 2 .- El sis ema o iginal se á equi alen e al : a .x<< B .' 11 El mé odo de educción úl imo, no supone la consis encia del sis ema o iginal, po lo que puede emplea se como es de consis encia pa aes e ipo de sis emain ini os (mé odos pa a decidi la consis encia de un sis ema lineal ini opueden en- con a se en (1)) . APORTACIONES AL CASO NO-LINEAL Si la amiliasde unciones , FT, es aco adasupe io - men e en odos los pun os de C, se puede esc ibi , en eo ía : des : S = {x e C/sup . (x) < 0 } eT Si además, el sup emo es accesible en odos los pun os, se puede exp esa . S = {x c C/m (x) <O},donde m (x) ep esen a la unciónmáximo de la amilia sob e C . Es e suges i o a amien o conlle a di e en esdi icul a- 1 .- Si bien es cie o que m(x) conse a, bajo cie ascondicio- nes, la cuasicon exidad, la con exidad yla con inuidad, no lo es . menos que no se p ese e á la cuasicon exidad explíci a ni la di e enciabilidad, siendoes a úl ima p opiedadespe- cialmen e ele an e en P og amación Ma emá ica . En (2) y (5) se p ecisan odas es as .cues iones, apo ándose ejemplos en losque se calib a el alcance de .es e a amien o . - En cual nnia caco,  la nh an~iñn de n(x) es comDu acionalmen - e muy compleja (equi ale a esol e in ini os p oblemas de op imización, sob e T) . O a ap oximación posible al p oblema nos pe mi e a i ma , bajo condiciones muy gene ales, la exis encia de una ep esen a- ción ini ade S median e una unción con exa en Rn (y po lo an o con inua) y un núme o ini ode lineales . Con exac i ud : sólo se equie e de las unciones que sean cuasicon exasy semicon ínuas in e io men e . Finalmen e, pa ael caso pa icula de que T sea un polie- d o de R m , y las unciones sean cuasicon exas en T, S admi e ambién una ep esen ación ini a que in oluc aexclusi amen e a las es iccionesco espondien es a los é ices de T . Los dos úl imos esul ados se encuen an ambién demos ados en (2) y (5) . BIBLIOGRAFIA 1 . Fan, K . ; On Sys ems o Linea Inequali ies, Annals o Ma he - ma ics S udies, 38-1956 2 . Gobe na,M .A . ; Nue os esul ados en la T9 de la P og amación Semiin ini a No-lineal . Tesis doc o al . Uni e sidad de Valen- cia, 1979 . 3 . Gobe na,M .A ., López,M . y Pas o ,J . ; In ini e linea Inequali- y Sys ems : Consequence Rela ions ans Consis ency, Some ido a Ma hema ics oz Ope a ions Resea ch . 4 . Gobe na,M .A ., López,M . y Pas o ,J . ; Fa kas-Minkoaski Sys ems in Semiin ini e P og amming, some idoa Ma hema ics o Ope - a ionsResea ch . 1980 . 5 . Gobe na,M .A ., López,M . y Pas o ,J . ; Rep esen ación ini ade Sis emas de in ini as inecuaciones,some ido a T abajos de Es adís ica e 1 .0 . 1980 6 . Pas o ,J . ; i Apo acionesa la Ti de la P og amación Semiin i- ni a'Lineal, Tesis doc o al . Uni e sidad de Valencia .1979 .