Sobre la ley de los grandes números para la p-esperanza y su varianza asociada

Pub . Ma . UAB N° 22 No . 1980 Ac es VII JMHL SOBRE LA LEY DE LOS GRANDESNUMEROS PARA LA P-ESPERANZA Y SU VA- RIANZA ASOCIADA Ca losMa án Bea Dp o . d e Es adís ica Colegio Uni e si a io de Bu gos ABSTRACT : We p o e he law o he la ge numbe s in he p h mean o he keR lIX-klpsign(X-M'11 = 0 ) om la ge numbe s, making use o he ine- ano he a icle o he au ho , and al- laws o he la ge numbe s o he p h which we associa e wi h he p-meanbe- cause o i s analogy wi h he a iance) . p-mean (solu ion o he equa ion in he co esponding s ong law o he quali y E (IXI) <MM/ , p o ed in so he s ong and he (p+1) h mean a iance(measu emen o dispe sión INTRODUCCION : En un espacio p obabilís ico  la p-espe anza de una a iable X (p+1)-in eg able, siendo p>O, la de inimos en p incipio [6], en e iden e analogía con la espe anza ma emá ica, como la cons an e E (X) que p e i ica la condición de mínimo 11X-Ep(X)Ilp+1  TER IIX - kll p+l , 6 de o ma equi alen e, como la cons an e de e minada po la p oyección mé ica de X sob e L p+1 siendo a la a-álgeb a i ial, haciendo uso de la p o- 0  0 piedad de Tchebyche que los espacios L poseen si >1 (Singe [8]) . La a ianza de o den p, como medida de dispe sión asociada a la p-espe anza, la de inimos como 11X-E p ( X)JI p P + +1 1 . La ca ac e ización de la p-espe anza como única cons an e keR que pa a la a iable alea o ia X e i ica la ecuación IX-kl p sign(X-k) dV = 0 , nos hacía u iliza al p opiedad como nue ade i- nición, álida ambién, aho a, pa a a iables p-in eg ables . En los abajos [1] y [2] se demues a la ley ue e de los g an- des núme os pa a las "m-medias" y "M-es imado es" espec i amen e, que en- globan el concep o que aquí manejamos de p-espe anza . Así mismo se es udia el p oblema de no malidad asin ó ica . Es el p opósi o de es e abajo el es- udio de las co espondien es leyes de los g andes núme os pa a los concep- os desc i os, jus i icándolos en cie o sen i .d o como medidas de cen aliza- ción y dispe sión, demos ándose las con e gencias casi segu o y en media de las p-espe anzas y a ianzas de o den p mues ales, hacia las co espon- dien es eó icas . P-ESPERANZA Y VARIANZA DE ORDEN P MUESTRALES Dada una mues a alea o ia simple (X X , . . .X ) de una a iable 1 2 n alea o ia X, conside emos pa a cada weSI la ealización (X1(w),,X2(w), . .Xn(w)) de la mues a,pa a, a con inuación, halla la p-espe anza de la dis ibu- ción de p obabilidades que a cada X :(w) i=1,2_ n  le asocia p obabilidad 1/n : debe e i ica se po an o que pa a cada wc2 : 1/n[ E IX (w)-E (X ,X , . .X )(w)I p sign (X (w)-E (X ,X , . .X )(w))] = 0 i=1 i p 1 2 n  i p 1 2 n siendo E p (X 1 ,X2 _X n )(w) la p-espe anza de dicha dis ibución pa a cada wES2 . Da emos en consecuencia la siguien e de inición . De inición .l .l . : Sea - (X 1 ,X 2 _ Xn ) una mues a alea o ia simple de una a ia- ble alea o ia eal X en el espacio  Llama emos p-espe anzamües al (de amaño n) de X, siendo p>O, a la a iable alea o ia E (X ;X , . .X ) de- p 1 2 n n inidapo :  E  (X 1 ,X 2  n _X )(w) = h  -  1/n[ i E 1 1Xi ()-hlpsign(X i (w)-h)] = 0 p De o ma ob ia pódemos de ini aho a la medida de dispe sión em- pí ica co espondien e, que e iden emen e a a se ambién una a iable alea- o ia eal . De inición .1 .2 . : Llama emos a ianza de o den p mues al (de amaño n) de una a iable X, y la ep esen a emos po E p (X 1 ,X 2 _X n), a la a iable ale o ia  E  (X,X_X)  = 1/n[iE l IX i - E p (X 1 ,X 2 , . .X n )Jp+1]siendo  (X1 ,X 2 , . .X n ) P 1 2 n una mues a alea o ia simple de X, y E p (X 1 ,X 2 ,. .Xn ) la p-espe anza mues al . Cabe menciona el esul ado siguien e, que nos pe mi i á asegu- a la con e gencia en media de o den p de las p-espe anzas empí icas a pa - i de la casi segu o . P oposición .1 .3 . : Si XEL P (2,Q,u) (p>O), la p-espe anzamues al es equi-i n- eg able de o den p (es o es :  u ;Á1 ~ (ñá  A (E  (X 1 ,X 2 _X n )I P du = 0  ) . l  P Demos ación : Pues oque pa a cada wc2, Ep(X 1 - --x )(w) es la p-espe anza de una a iable con dis ibución uni o me en el conjun o [X1(w), . . .Xn(w)], u i- lizando la desigualdad E (IXI) < KIWI  siendo K = 3 1/P si O<p<1 y K :_ enidas en [6], podemos esc ibi : IEp (X 1 ,. .Xn)(w)I P <[E p ( IX 1 1 ,1X 2 1 , . . .1X1 )(w)] P < KP [l/n( i E 1 1X i () I P )1 y en consecuencia pa a odo AEa : 1/P  <E (IXI) álida a a odo >O, ob- ( .2  ) si 1<p<-, así como la (E p (X)I _ P  p  P J(E p(X 1 ,X 2 _ Xn )(w)I P du() < K P /n[ i E 1 A IX i ( w)I P du(w)] = KP AIXIPdu A  En in, pues oque XEL P , si (A)-~0, enemos como p e endiamos : 0 < .SUR A JE p(X 1 ,X 2  . .X n )1 Pdu < KP A IX1 P du  0 Co ola io .1 .4 . : Si XEL p (2,a,u) (p>O), la p-espe anza mues al e i ica la 1 desigualdad [IE (X ,X , . .X )([  < Kllxl(  (siendo K la cons an e de e minada en p 1 2  n o °  p la p oposición an e io ) . LEYES DE LOS GRANDESNUMEROS PARA LA P-ESPERANZA Y LA VARIANZA DE ORDEN P El siguien e eo ema, demos ado en [1] y [2] cons i uye la ley Fue e de los g andes núme os pa a la p-espe anza : Teo ema .2 .1 . : Sea XEL p (2,a,u) (p>O) . La sucesión de p-espe anzas mues ales con e ge casi segu o hacia la p-espe anza de X . Demos ación : Sea ~ >O . Po la ley ue e de los g andes núme os se dan las con e gencias : n 1/n[ E IX .-E (X)-JI P sign i=1 i p 1,/n[ i 1 1 IX i .-Ep ()+dpsign = (X ¡-E (X)-I)1 c .s -- . = IX-E (X)-~I P sign(X-E (X)-1)du (Xi-Ep(X)+g)]  c .s .`  IX-Ep(X)+CIpsign(X-E P p(X)+ ;)du P  P siendo el p ime lími e posi i o y el segundo nega i o po de inición de p-espe anza y el ca ác e es ic amen e dec ecien e de la unción de acR : (D X (a) = IX-al p sign(X-a)du . En consecuencia ob enemos la exis encia de un N a pa i del cual  l/n[E IX -E (X)-RI P sign(X-E (X)- ~)] > 0 > o  i=1 i p  i p > l/n[ i n E1 IX i -E p (X)+1IP sign(X i -Ep (X)+1)] (ambas desigualdades casi segu o) y po an o que  d n > No E P(X1 ,X2 ,.. X n ) E(E P (X)-1,E P (X)+0  casi  segu o, con lo que la con e gencia queda asegu ada . Co ola io .2 .2 . : La con e gencia exp esada en el eo ema an e io ambién se dá en media de o den p . Demos ación : Po la p oposición 1 .3 la sucesión de p-espe anzasmues a- les es equi-in eg able de o den p, y es o jun o a la con e gencia en p oba- bilidad, y a o io i con la con e gencia casi segu o demos ada en el eo- ema an e io , bas a pa aasegu a la con e gencia en media de o den p . El siguien e sencillo lema simpli ica á la demos ación que damCs de la con e gencia casi segu o de la sucesión de a ianzas de o den p empí- icas . Lema .2 .3 . : Sean ( n ) neN una sucesión de unciones que con e ge hacia o a ( n , : R ->R ), y (an)neN una sucesión de alo es eales con e gen e a un alo ao . Si la amilia ( n)nEN es equicon inua, en onces la sucesión ñ(ap) con e ge a (a 0 ) . Teo ema .2 .4 . : Sea XeL p+1 (R,a,u) (p>0) . La a ianzaempí ica de o den e ge casi segu o hacia la eó ica . Demos ación : De la ley ue e de los g andesnúme os ob enemos H (a,w)=[1/n,n_lX,(w)-aiP+1]1/(p+1) - H(a)=[!IX-alp+1du]1/(p+1) n  1=1 1 P con- pa a casi odo wcn . De las de iniciones de a ianzas empí ica y eó ica de o den p se deduceque  H n (E  (X 1 ,X 2 _ Xn)(w),w)=[E P(X 1 ,X2, . .Xn)(w)]1/(P+1) pa a odo wc9, y H(E (X)) P[E (X)]1/(P+1) . P  P Po el eo ema 2 .1 Ep (X 1 ,X 2 -X n )  --`- Ep (X) casi segu o, luego po el lema 2 .3, si p obamos la equicon inuidad de la amilia (Hn(a,w))neN pa a odo weS2, queda áp obado que [E  (X , . .X )(w)] 1/(P+1) ^ [E  (X)]1/(P+1) p 1 n  p pa a casi odo w, y en consecuencia que E p (X 1 ,X2 -X n )  ` E p (X) e .s ., pe o la equicon inuidad es consecuencia inmedia a de la desigualdad : ~11  (a, w)-H  (b,w)l=I[Jl -al P+1 dF  ( ,w) /(P+1)-[ l -b1P +1 dF  ( ,w)]1/(p+1)~  < [la-bIP n1dF ( ,w)] 1/(P+1) _Ia n b1  YneN  V wcQ _  n Co ola io .2 .5 . : La con e gencia exp esada en el eo ema an e io ambién se dá en media de o den p+1 . Demos ación : Po la p opiedad de mínimo que iene la p-espe anza espec o de  la li  u p  ~)X-E p(X) ([ p+1 a < (IX-a11 p+1  VacR  ob enemos : +1 . 1/n[ É (X, (w)-E (X  X , . .X )(w)( p+1 ~~ l/n .É IX .(-)-E (X)j p+1 dws9 p 12 n  i--1 i p 1/n E 1 IX (w)-E (X , . .X )(W)jp+1du ~ l/nÉ [X.(w)-E (X)~ p+l du i  - =1 A i  p 1  n  i=1 A i  p = 1A jX(w)-E p (« p+1 du  -  0  si  u(A) -~ 0 , luego la sucesión es (p+1)-equi-in eg able, y la con e gencia en media de o den p+1 es conse- cuencia de la con e gencia casi segu o . BIBLIOGRAFIA [1] H . K . BRONS, H . D . BRUNK, W . E . FRANCK, D . L . HANSON (1969) . Gene alized means and associa ed amilies o dis ibu ions . An . Ma h S a is 40 . 339-355 [2] P . J . HUBER (1964) . Robus es ima ion o a loca ion pa ame e . Ann Ma h S a is 35 . 73-101 [3] M . LOEVE (1963) . P obabili y heo y . D . Van Nos and [4] C .-M . MARLE (1974) . Mesu es e p obabili és . He mann [5] C . MATRAN (1980) . 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