Sumabilidad en sucesiones transformadas de una dada por operadores unitarios

Pub . Ma . UAB N° 21 Oc . 1980 Ac es VII JMH1 SUMABILIDAD EN SUCESIONES TRANSFORMADAS DE UNA DADA POR OPERADO- RES UNITARIOS Al a oAngelRodésUsán Dp o . de Teo ia de Funciones .Uni e sidad de Za agoza Sl Abs ac Le Y, be a eal, sepa able, Hilbe &pace and le b be he se o bounded linea ope a o s on Y . Le S be a ixed sequence o elemen s o Y . Le  G  ( esp . G') be he subse o b s hich gi es summabili y on U(S), o some ( esp . all) uni a ias ope a o . In his pape , he coincidence o G  w .i h he se o ope a o s xhose ange has dimension < p, is cha ác e ized . I is shoun ha GS í0l i S is no sumnable ; o he wise GS = i3 . Sea P- el espacio de Hilbe sepa able eal, 63 el álgeb a de ope ado es linealesaco ados de k en K, y LU,el g upo de ope ado- es uni a ios . Dada  S =  a n ; ni- N 1  una sucesióncomple a en 1,se de inen los conjun os D S y M S como y DS =  A E b3 ; AS sumable  , M S = ~xEi~, i y 1(a n x)~ <°°~ . Indica emos po í, la elación de equi alencia uni a ia en 55, AKLB <==> 3UEU ; B=U * AU, deno a emos po [ ] las clases de equi alencia de la elación IL . 1 .- El Conjun o de ope ado es GS De inición 1 .- De inimos el conjun o de ope ado es de  S3 , G S , como A E GS <__=> [A] 0 DS é 0 . 229 P oposición 1 .-  A E GS<==>A da sumabilidad en alguna sucesiónigual aS . (T ans o mada po algdn ope ado uni a io) P oposición 2 . -El conjun o GS cumple : a) G S = Sa . DS (Sa u ado en P,), S S El conjun o GS no es en gene al ideal a la izquie da de 13 ' pe o en algdn caso puede se incluso bilá e o, como en los siguien es . S sumable <__> G = 0 , S S base o ono mal  <__ >  G S = (~ 5 2 Pasemos a es udia la in luencia de la dimensión del subespacio de 9¿ , MS ,dominio de sumabilidad débil, sob e el conjun o GS . Teo ema 1 .- Se e i ica dim M = p <==> G = 2 .- El Conjun o de ope ado es G S . De inición 2.- De inimos GS como A E GS <__> [A] [ DS . S  S (Con (~5 (P) nos e e i emos a los ope ado es de b de ango ~ - p), Pa a la demos ación de es e eo ema se pa e del esul ado d :  (P) ~ . . . S p  A5  [3J comp obándosedespués la imposibilidad de encon a ope ado es de ango in ini o en G S . Po ello coincide pa a es os ope ado es la su- mabilidad y la sumabilidadabsolu asob e sucesiones, ob eniéndose de ello el esul adodel eo ema . Teo ema 2 .- Se cumple dim M S = cla <__>  G o C GS (es ic amen e) . P oposición 2 .- El conjun o GS sa is acelas siguien escondiciones . a) Es el conjun o de ope ado es de 13 que dan sumabili- dad en odas las sucesiones iguales aS, b) Es el máximo conjun o ,-sa u ado con enido en DS , c) GS U e" d) A$ C GS , D US , e) GS es un ideal a la izquie da de 83 .  [4] P oposición 3.- El conjun o DS nunca es un ideal bilá e o p opio de k3 . pa a demos a lo ene en cuen a que si DS ue a bilá e o, debe ía con ene a odos los ope ado es de ango ini o, lo que ha- ía que S ue a sumable y po an o DS Pasemos aho a a demos a que GS siemp e es el conjun o o- al k1 ó el conjun o o madoúnicamen e po el ope ado nulo . Lema 1 .- Si exis e un p oyec o sob e un ayo, P W(x) , no con enido en DS , el conjun o GS no con iene ningún p oyec o unidimensional . Teo ema 3 .-Las siguien es condiciones son equi alen es ; a) S es no sumable, b) GS - ~0~ . Pa a la demos acidn,aplica el lema an e io y ene en cuen a el esul ado de [2] que a i maque 101 es el único ideal a la izquie da de1 que no con ienep oyec o es unidimensionales . Co ola io 3 .1 .- Si S es no sumable, no hay ningún ope ado lineal aco ado, apa edel nulo, que dé sumabilidad en odas las sucesio- nes iguales a S . Es e co ola io gene aliza un esul ado de [1] que asegu aba que el ope ado nulo e a el único que daba sumabilidad en odas las bases o ono males . Co ola io  .2 .- G S ' es siemp e ideal bilá e o i ial,- pues a) . S no sumable  <__>  GS -  1 0 } , b) S sumable <as> GS e13 . BIBLIOGRAFIA [1] MARTIN, E .  "La sumabilidad absolu a en los ope ado es lineales aco ados del espacio de Hilbe " . Tesis Doc o al . Za agoza (1977) . [2] NAIMARK, M .A .  "No med ings" . Wol e s Noo dho publishing 6 oningen (1970) The Ne he lands . [3] RODES, A .  "Sumabilidad absolu a en sucesiones uni a ia- men e equi alen es" . VI Jo nadas de Ma emá icas Hispano - Lusas San ande (1979) . [4] RÓDES, A .  "Ideales de ope ado es linealesaco ados y sumabilidad en el espacio de Hilbe Il . TesisDoc o al . Za agoza .(1980) . [5] CALKIN, J .W .  "Txo sided ideals and cong uen es in he ing o bounded ope a o s in . Hilbe space" Ann . o Ma h . (2), 42, 839-873 (1941) .