Una nota sobre convergencias en G(H)

Pub . Ma . UAB N° 21 Oc . 1980 Ac es VII JMHL UNA NOTA SOBRE CONVERGENCIAS EN G(X) M .C . de las Ob as, L . Nasa e Dp o . d e Ma emá icas Uni e sidad de O iedo Gi en a ealsepa able Hilbe space,-k, we deno e wi h G(-k) he geome y o linea subspaces o IL . In he p esen pape , he ela ion be wen he con- e gences --~ , - " , ---U de ined in (3) and (4), o se- quences o ini ecodimension, is s udied . Dada una sucesi6n de subespacios lineales ce ados E (n) I neN I  del espacio de Hilbe sepa able eal, k, eco - demos las dis in as de iniciones de con e gencias de inidas en (3) y (4) . Si xhnEE(hn) n xh n _ x ==~l xEE xEE  3xn EE (n) - . 3 xn ~  x E (n) á,  E  ~  ls E(hn)= E  ü' (h n )~(n) E (n)  b'  E  [ls . E (h nJ= E  Y- (hn )G(n) En (3)  se p ob6 que las con e gencias  a ,  y b , e i ican los esaxiomasde F eche (1), pe o la p opiamen- e débil - alla en el e ce o . En gene al, se iene la e- a . laci6n de con enido  - G  Lb  y en dimensi6n ini a las es coinciden . Es e abajo p esen a un es udio sob e es ascon e gencias en sucesiones de subéspacios de codimension ini a . Conside emos en p ime luga una sucesión de hipe - planos IiZ n . l-e an b E, es deci 1 ls 'ih n 1 =E V - (hn )`(n), y ea mos bajo qué condiciones ls'Z hn = E Y(hn)c .(n) . Sea "h n I` p 1 n 1 con odos los é minos dis in os (el casode igualdad es i ial) y i hn la sucesión de los o o- gonales . A endiendo a la sucesión í h n 1 pueden ocu i dos casos, que no enga ayode acumulación débil, o que exis a una sucesión pa cialí kn)c hn1 débilmen e con e gen e a un ayo . En el p ime caso nkn--~ A- T3-(kn)c_(n) y po lo )z kn _ A y E= ? . En el segundo dis ingui emos a su ez o os dos a)  kn e-  (2) . an o b) :7 i mn Y c k n 7  al que mn ----y . Si kn e> po de inición k n --y o  y E .& . = o con lo que E= U, pe o en condiciones análogas se encon ó en (3) una sucesión de hipe planos  n&N al que '¡_¿n b_ y_ ¿y ls h - ~ ~ .  _ Po el con a io en el caso b) la sucesión de los o ogonales iene un hipe plano como limi e débil Ti mn -~i - C y E=11 jun o con l~s ihn= E  V~(hn)c_(n) . Aho a conside a emos el caso gene al de una suce- sión de subespacios de codimensión q>1 ¡Eg n) 1 n6N ¡ con e gen- e según  b .~ a un subespacio de codimensión p, E p , con p,~q . i Pa a p= q, la con e genciaE (n) b Ep equi ale a la ue e de los o ogonales E (n) --j E y es o a su ez a (n)i  pp Ep -,Ep, luego las es con e gencias son idén icas . Si p q, pasando a los o ogonales E (n) =>E  y po (2)  Eq(n)= Ep n) ® E n) jun o con Ep n) --_3 Ep y qE(n)--i o . Po- demos oda ía dis ingui aqui dos casos según la sucesión ¡E n) 1  n¿NJ  .  Si E n) -- ,, o,  la sucesión ¡ E (n) Í n6NI iene a su ez a E n como limi e débil y en es as condiciones íEg n)L in -NJ 1 con e ge débilmen e a E p con lo quelas es con e gencias coinciden . Aho a bien, si exis e una sucesión de ayos 202 íshn in¿-N . 1 con sh iE hn ) que con e ja es ic amen e a un a- yo s, es amos en el casoya is oen hipe planos de no coin- cidencia . 1 Resumiendo, si Eqn)  ba E p q> / p, y en la sucesión de los o ogonales jEg n) jnáN} no exis e una sucesión de ayos con e gen e débil y es ic amen ea un ayo s, las es con- e gencias coinciden . El ecíp oco, en gene al, no es cie o, ya que debi do a la elación de . con enido exis en e, an o si hay coinci- dencia como si no, se llega a la con e gencia ue ede los o ogonales y po an o a E (n) --~ o (2) . BIBLIOGRAFIA (1) DUDLEY, R . M .  "On sequen ial con e gen e", T ans . Ame . Ma h . Soc ., T . 112 (1964) . (2) OBRAS, M . C .  "Sob e con e gencia en el espacio de Hilbe de sucesiones de sub- espacios de dimesibn o codimensibn ini a II", Re . Ma . His .-Ame ., 4a Se ie, T . XXXIV, no- 6 (1974) . (3) OBRAS, M . C .  :zy  .IXcon e genciás en G(k)", en p ensa . (4) PLANS, A .  "P opiedades angula es de la con e gencia en el espacio de Hilbe ", Re . Ma . His .-Ame ., 41 Se ie, T . XXI, n o- 3-4 (1961) .