Subespacios invariantes en Lp(μ) sobre el toro

Pub . Ma . UAB No 21 Oc . 1980 Ac es VII JMHL SUBESPACIOS INVARIANTES EN LP (,,-) SOBREEL TORO José J . Guadalupe He nández Colegio Uni e si a io de Log oño Abs ac : Gi en a measu e /^ oj he uni ci cle T whose weigh uno ion w sa is ies log w E L (T), we cha ac e ize he dou ly and simply in a ian subspaces o he shi ope a o on L1 (,k') 1z pzco . In pa icula , Szego's heo em appea s when p=2, and like in he classical case, HP(~,,,) can be ac o ized as hep o duc o inne and %^c-ou e únc ions . 1.- Sea bx una medida ini a y posi i a de inida sob e la ci cun- e encia unidad T,~+=%+~  is , (,# c =w d6 la descomposición de Le- besgue de dicha medida . Conside emos el espacio-de BanachL p (~ lk) de las unciones com- plejas de inidas sob e T con po encia p-ésima in eg able es- pec o de ~k . El ope ado shi en Lp (~&), que deno amos po S, iene de inido po S ( ) (ele )=e i9 (e ie ).  U n subespacio M c Lp (} . .) se dice in a ian e si S(M)c M . Si ep esen amos po S -1 el in- e so de S,6 sea, S-1( )(e¡o)=e-ie (eie) en onces M se dice doblemen e in a ian e si S(M)c M y S -1 (M)cDI, y simplemen e in a ian e si es in a ian e pe o no doblemen e in a ian e . En es e abajo ca ac e izamos ales subespacios, gene alizan do los esul ados de Beu ling ( . [3J) . Teo ema 1 Pa a cada subc onjun o medib le E .de T, deno amos po M E el conjun o de las unciones de Lp(%) que se anulan . P -a .e . sob eel complemen a io de E . En onces M E es doble - men e in a ian e y cadasubespac ió doblemen e in a ian e_ ie ne es a o ma . Demos ación : Es inmedia o que M E es subespacio ce ado de LP(~ , ) doblemen e in a ian e . Po o a pa e, si 1-q es el ec o de mejo ap oximaci6n de la unción 1e L P (,,) en el subes- pacio doblemen e in a ian e DI es ácil e queq=1 J .-a .e . ó q=0 /A-a .e . .Sea E el subconjun o de T en el cual q=0 ; en onces M=  (1-q)  Lp (J),es deci ,  M=M E . Es e eo ema ambién puedeob ene se como esul ado pa icula I- 4 J  . de 2 .- Conside emos la descomposición de LP( c) en su pa e con inua y singula Lp(/)=Lp( +)G LS(~1) .Sea aho a un subespacio M sim- plemen e in a ian e de LP (~a) y conside emosel subespacio ce- ado e ¡o M cM . Sea F ,!~bi e le bi  y ep esen emos po F-q el ec- o de mej'o ap oximaci6n de F en e l(9 b4 . El ec o q é~M iene ca ac e izado po la condiciónq( )=0 pa a oda c e ¡o M,donde q es el uncional de inido po  q_ 11 q 11 l-p  Iq~p-2 q E Lp' p (~) Lema .- q es á ca ac e izado po las es siguien es condicio- nes : i) F-gee ¡o DI, ii) igl p d~, = I)gllp d9, iii) c e gHP(T)  cM . Demos aci6n :La condición i) es ob ia . Como M es in a ian e se iene eln 6 q E el o M, n -1  y po an o  in &  =  in O  p-2 - 0=q (e  q)  e  q Íql  q dE .L  - ,n -- 1 .Tomando conjugados se sigue que 0=, eine)q)p dy , pa a n,É0 y pues o que oda medida queda ca ac e izada po sus coe icien es de Fou ie -S ieljes Íq¡p dms= nqa p dB . Po úl imo, pa a iii), es ácil e que los coe icien es de Fou ie nega i os de 1 c son odos nulos . El ecip oco es inmedia o . Teo ema 1.- Los subespaciossimplemen ein a ian es de L P ('/ .c) son de la o ma M= q . HP (T) (D S E = q .Hp(T) ©~E LP(~c s ) don- de E es un subconjun o medible de sop(~ .c s ) y gELc(~) e i i- cando +q1pw =1 . El conjun oE es único sal o conjun os /-" S -nu- los y g es única sal o ac o es cons an es de módulo 1 . Demos ación :  Sea M C =M /1 Lp  (~a)  , M s= M 11 LS (~) .  Se p ueba, aplicando el Lema, que 61 5 es doblemen e in a ian e,  luego bi s = Y E .L p (,) . Como M es simplemen e in a ian e, M, ambién debe se lo . Es inmedia o que M cc q .H p (T) . La pa e ii)  delLe- ma jun o a la con e gencia en LP (T) de se ies de Fou ie (Ta . de M . Riesz) p opo cionan q .Hp(T)c Mc . La unicidad no es di í- cil p oba la y la condición /q/p w= 1 esul a de oma q no - malizado . 19 2 Deno emos po H p (,u) el subespacio de LP(~i) de las unciones ap oximables po polinomiosanalí icos  Pn (e ¡o )= a l e i (9 en la no ma de Lp (%-) . Supond emos que se e i ica la con- dición de Szegb pa a el peso  (log w c-L1 (T)  )  lo que equi a le a  HP (N .) 9 Lp (~ .)  ( .[21) .  En es as condiciones una conse- cuencia ob ia del Teo ema 2 es : Co ola io .- HP( ) =K .Hp (T) (P Lp (iÁ) donde K  i ic a : i)  1-K p ee ie Hp (i )  i i)  ¡K p j p  dí s=  11 Kp 1l P  de p  e c«) 1/K p E HP (T) Es e esul ado gene aliza el conocidoTeo ema de Szeg~ ; ( .(1)) y en [2j se ob iene pa a Kp la siguien eexp esión explíci a Kp _( c) -1/p  ex p `- P (log donde c es la media geomé ica del peso y ( " )` ., ep esen a la unciónconjugada . 3 .- Reco damos queuna unciónin e na es una unción analí ica en el discounidad abie oy cuyo módulo en T es igual a 1 a .e . De inimos unciónex e na en HP (p c )  (? c -ex e na) aquella al que el subespacioengend ado po ~ .e Ine ~ es denso en H p (% i c ). una consecuencia del Teo ema 2 y Co ola io es Teo ema 3.- Los subespaciossimplemen e . i i_ a ian es en H p (~) s on de la o m a M= u .H P (,#^) donde u es . in e na - y enica sal- o ac o es cons an es de módu lo 1 . Sea E Hp (JU C )= H pc (I .)  ( .12]) .  En onces =K p . g  g6 H P (T) ;  pe o como gEHP (T) g=u .0 con u in e na y 0 ex e naclásica . Luego  =u .K p .0 y es inmedia o que K p .0 es % c- ex e na, pues Kp .HP(T)= HP(i'nc) . Se ob iene en onces : Teo ema 4 .- Toda unción de HP (Jk c )  es el p oduc o d e un a u nciónin e na po una un cibn/_ c - ex e na, donde la a c o- ización es única sal ocons an esde mddul o 1 . BIBLIOORAFIA [1] FREUD  O hogonal Polynomials . Pe gamon P ess 1971 [2]  GUADALUPE J .J . Clausu a en L P (/k) de los polinomios analí icos sob e la ci cun e encia unidad . Tesis . Dp o . 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