El lema de Gauss para la conexión característica de una variedad casi-hermítica

Pub . Ma . UAB N° 21 Oc . 1980 Ac es VII JMHL EL LEMADE GAUSS PARALA CONEXIONCARACTERISTICA DE UNA VARIE- DAD CASI-HERMITICA V . Miquel Molina Dp o . de Geome íay Topología Uni e sidad de Valencia Sean (M, <,>,J)una a iedadcasi-he mí ica, D su conexión ca ac e ís ica, i .e ., la única conexión e i icando (i)  D<,> =0 (ü)  DJ = (iii) T(x,Y)_ -T(JxsJY) donde T es la o sión de D . Sea d(m,p) la dis ancia en e dos pun os m y p de M medida a lo la go de la geodésica que une m con p . Se de ine la es e ageodé- sica asociada a la conexión D como SZ ( ) =  í ps M / 6 (  p) = Y} El eo ema de Gauss pa a la conexión de Le i-Ci i a de una a iedad iemanniana es ablece la o ogonalidad en e las geodésicas y las es e as geodésicas asociadas a es a conexión . Nos p oponemos a quí ca ac e iza las a iedades casi-he mí icas en las que se sigue e- i icando el lema de Gauss pa a la conexión ca ac e ís ica . DEFINICION : Una conexión D sob e una a iedad iemanniana (M ; <,>) se dice que es mé ica si y sólo sí D<,>= 0 . PORPOSICION (2) : una conexión mé ica D sob e una a iedad de Riemann iene las mismas geodésicas que la conexiónde Le i-Ci i a p si y sslo sí  ZT (z, Y), Y > =0  VA yE x (M) TEOREMA : Sea (M ; <,» una a iedad de Riemann y D una conexión mé ica sob e ella . El lema de Gauss se e i icapa a las geodésicas y es e as geodésicas asociadas a D si y sólo sí  ¿, T(X,Y),Y i = DE140STRACION : Si D iene las mismas geodésicas que Y, S(Y) _ S  (Y)  y el lema de Gauss se e i ica i ialmen e . Supongamos que se i i ica el lema de Gauss pa a D . Sea c(s) una cu a en M m (espacio angen e a M en m) al que IIC(SU . = 1° . Sea exp m la aplicación asociada a D . Conside emos la supe icie o( 1 , S) =  ezp, ( c (5)) Pa a cada s o ijo,   ( ~ V  es $ h~s (c ,S) es una cu a sob e  S  (~) e a la geodésica A'( ,S) en 4'~ ,5) 0 e a la cu a d( o ,s) en el pun o es ablece que po an o y' como z 9 1 8s ( o,so) como D es mé ica, á ~ aá  a~ > 91 :  95  ~~ « %,5  0 ) . El 9'<  . o '(  s o ) a <á ~'á 5+< ás ~Dá`>=o Teniendo en cuen a que esul a a ás 1---p a l , S)  es una geodésica y a~c  a~  a~  a¿<  ad a~ I 9  as  a~  a c  a'< s  a  ` 9 >  }  '  W a  o1I , S) es una geodésica, a 'a y, po lo an o, i w(~~el~~~l )I) _ ~l 72 L-' 6"< <a ' gb >10,s) - ( áa 1 2~~ ) > =0 a as Sea p 5M,Y p E M p ,  II Y ca angen e a YPen p .  Sea de inidosob e MNI3) ( .8W=0- una geodésica, y pa a cada o ijo, El ec o (a~/~ ) 1 é, sJ es angen- y el ec o (a"0/d ),,, ,)e . angen- lema de Gauss, pues, un pun o Repa ame icemos as~~ I I c (s) )I z= ~ que Leí 1 a  =0~ Sea (3I ) la únicageodési- de ~( ) al que exp q es é de modo que 9=110) En onces exis e un V E MI) ilu1)=í al que  ~ H = P= exl  y P~ exPI .* V  (conside ando VE Sean X 1 , . . . 9X n-1 ec o es o ono males en Mp angen es a S (1 - ) . Tomemos ci (s) cu as sob e Mq e i icando De inamos ~~ ( , s ) . ezp~ ( c,(s)) se iene en onces y, y y __  d0 .' e' p  a ~ ,ol  X i = as Il ol po e i ica se el lema de Gauss, aplicando (1) se iene <T(Xc,Yp),Yp> =o como {Xi, Y p j es una base o ono mal en p, como Y P E MP  y p6 M son a bi a ias, el eo ema queda demos ado . PROPOSICION  (3) : Una e iedad casi-he mi ¡ea (M-G,7 ;J) es Nea ly-Kaehle iana si y sólo si el enso o sión T de la conexión ea ac e is ica D e i ica  ~ T()í,0 , Y i  = COROLARIO : La conexión ca ac e ís ica de una a iedad casi- he mi ica M e i ica el lema de Gauss si y sólo si M es Nea ly- -Kaehle iana . BIBLIOGRAFIA e% ,  al 5pP)= (1) J . MILNOR : "Mo se Theo y", P ince on Uni e si y P ess, 1 .963 . (2) V . MIQUEL, A .M . NAVEIRA : "Su la ela ionen e la unc ion olume de ce aines boules géodésiques e la géome ie d'une a ié é iemanniene" . C .R . Acad . Se . Pa ís . 290, 379-381, (1 .980) . (3) V . MIQUEL : "Volumes o ce ain small geodesic balls and almos - he mi ian geome y" . (Pendien e de publicación) .