Expresión del exotismo de una foliación en función de las clases de holonomia y las clases de atiyah-molino

Pub . Ma . UAB N°21 Oc . 1980 Ac es VII JMHL EXPRESION DEL EXOTISMO DE UNA FOLIACION EN FUNCION DE LAS CLA- SES DE HOLONOMIA Y LAS CLASES DE ATIYAH-MOLINO XoséMasa Dp o . d e Xeome ía eTopoloxía Uni e sidad de San iago de Compos ela In his no e, we cons uc he lea - ype global di e en ial o ms on a olia ed mani old, ep esen ing he ibe - ype class o he olia ion, by choising a con enien adap ed connec ion . Kambe -Tondeu me hod, wi h he pe inen modi ica ions, is used . Sea M una a iedad di e enciable, F una oliación de co- dimensión p, P el ib ado p incipal de las e e encias ans- e sas a F, P H una educción de P median e un subg upo ce a- do H . En es a si uación, se de ine el exo ismo de una oliación como un homomo ismo de la cohomologia de cie a álgeb a uni e sal en la cohomología de de Rham de la a iedad : h : H*(W(g,H)p)  HOR(M) Es e homomo ismo, a ni el de cocadenas, induce un homomo - ismo en e las sucesiones espec ales asociadas a cie a il a ción del álgeb auni e sal, una,y a la oliación, la segunda : h : E 2a,u-a( W ) --  i Ea,u   F que es un homomo ismo mul iplica i o ( '-1)12 . Pa a =1, h l queda de e minado po sus alo es sob e E2a,0(W)N I2a(G)p (polinomiosin a ian es uncados po el 1 g ado p) y sob e E1' u (W)= H u (g,H) (cohomología del com- plejo  de  elemen os  h-básicos  (Ag*) H  en  Ag*) . h2a,o de ine las clases ca ac e ís icas de i adas de A iyah-Molino, que son elemen os de los g upos de cohomolo- gía H a (M,P a ), en donde P es el haz di e encial de las o mas di e enciales oliadas . Noso os es udiamos es e homo- mo ismo y su elación con el in a ian e de Godbillon-Vey (3] . El homomo ismo h o,u que de ine las clases ca ac e ís- icas de i adas de ipo- ib a, en la no ación de Kambe - Tondeu , oma alo es en la cohomología H U (M, Po ), cuyos elemen os pueden siemp e se ep esen ados, con ayuda de una mé ica, po o mas de ipo hoja, es deci , " angen es" a la oliación . El p opósi o de es a no a es p esen a una ealización de hi' u median e o mas de es e ipo . La exis - án .ia de o ma- nlnbale- giie de inen, e- a~ 1 aCa_c ya ijé demos ada po Kambe -Tondeu . En el caso de oliación con ib ado no mal i ializado, Shulman y Tischle ap oximan una soluciónc5] . Res ingiéndose a cada hoja, pa a ob ene una clase de la cohomología de dé Rham de la hoja, las "cla- ses de holonomía", es án los cálculos de Reinha y Goldman, con la hipó esis de ib ado no mal i ializado, el p ime- o, y de ib ado no mal a la hoja i ializado, el segundo . Nues a cons ucción pa e de las hipó esis mas gene ales y las clases de holonomía son las imágenes de las clases de i adas de ipo- ib a po el homomo ismo H*(M, P o )  HDR(L) inducido po la inclusión de la hoja en la a iedad . Nues a cons ucción sigue los pasos de la de Kambe -Tondeu yse basa en la elección de una conexión adapa ada con enien e . 66  ' En P exis e una oliación na u al F de la misma dimen- sión que F . Sea y la o ma de una H-conexión en Py eali- cemos F con la ayuda de una mé icasob e M . Sea F el le- an amien o ho izon al de F po y y conside emos una mé i- ca sob e P que haga no mal TF , F y el ib ado angen e . a las ib as de P . Respec o a F y es a mé ica, y se descompo- ne en y = e+ a,e de ipo (1,0) (se anulasob e los campos angen es a las hojas) y ade ipo (0,1) . 0 de6íne una conexíán adap ada . Conside emos aho a la oliación n -1 F sob e P, en donde T . e s la p oyección de P sob e M . Respec o a es a oliación y la misma mé ica, el ope ado di e encial d P se descom- pone en unción de como ac ua sob e el ipo de las o mas, de iniendo un nue o ope ado di e encial d n -1 F que lle a una o ma de¡ ipo (a,u) en una o ma de ipo (a, u+1) . De- bido a que la pa e de ipo (o,2) de la cu a u a de la co- nexión 0 es ce o, 0 pe mi ede ini un homomo ismodi e- encial A*9  Ao*(P, dTF . .,F) En P/H conside amos las dis ibuciones F H y F H indu- cidas po F y F y conside amos una mé ica que haga no - mal a es as dis ibuciones y el ib ado angen e a las i- b as . El an e io homomo ismo induce en onces o o A*(9 , H) --~ A o '*(P/H, d n -~ F ) 1 siendo n l la p oyección de P/H sob e M . Sea aho a  s  la sección  de P/H ----J> M  que de i ne  la  educción  P H .  De  la  elección  hecha  de  la  conexión adap ada y de las mé icas se deduceque s de ine un homo- mo ismo di e encial s * : ~ ' *(P/H,  d n -1 z ) ------~ . A,o '-(M,  d ) La composición de es os dos es el homomo ismo buscado . En cohomología, es : independien e de la H-conexión conside- ada y depende de la sección s, sal o que H con enga un sub g upo compac o maximal . De la cons ucción se deduce que ee . e homomon6 .i~smo se anula el ex .í~s e una H-eonex .i6n adap- ada . REFERENCIAS 1 . R . GOLDMAN The holonomy n .ing on he lea ea o6 6ol .ia . ed maní6olda . J . Di e en ial Geome y 11 (1976) 411-449 2 . F . KAMBER and Ph . TONDEUR Chanac en .Ch .Cc .in an .ian z o6 6olía ed man .i6olde Manusc ip aMa hema ica 11 (1974) 51-89 .- Fol .ia ed Bundlee and Chanac enís íe ela~saed Sp inge Lec u eNo es 493 (1975) 3 . X . MASA Cohomología y Fol .iac .ioneh . Relae .i6 n en e el .i :n a .ian e dé Godbíllon-Vey de una 6ol .iací6n y bu ela- de de A . íyah . Jou nées S .M .F . de Geome ie Di e en ielle . Schnep en ied (1973) 4 . B . REINHART Holonomy ín anían ~s6on ónamed 6olíaxíona Di e en ial Geome y Colloquium, San iago de Compos- ela, (1972) Sp inge Lec u e No es 392, 47-52 . 5 . H . SHULMAN and D . TISCHLER Lea-6 .in anían a o6 6olía íon .a and he an Es íaomonph .iam  J . Di e en ial Geome y 11 (1976) 535-546 .