La teoria d'operadors pseudo-diferencials sobre les v-varietats i la seva relació amb les foliacions

Pub . Ma . UAB N° 21 Oc . 1980 Ac es VII JMHL LA TEORIA D'OPERADORS PSEUDO-DIFERENCIALS SOBRE LES V-VARIETATS I LA SEVA RELACIÓ AMB LES FOLIACIONS . Joan Gi bau, Ma cel Nicolau Secci6de Ma ema iques Uni e si a Au ónomade Ba celona ABSTRACT :  The au ho sha e de eloped he heo yo pseudo-di e en ial ope a o s o e a V-mani old (He e he di icul poin is o gi e a,good de ini ion o a pseudo di e en ial ope a o ) . The di icul y a ise om he ac ha pseudo-di e en ial ope a o s a e no local and he g oups ha appea in he de ini- ion o a V-mani old a e local . By applying his heo y, he au ho sp o e he exis ence o pa ame ices o ellip ic di e eñ ial ope a o s o any o de o e a V-mani old and gene alize so me esul s omReinha conce ning olia ions wi h a bundle- like me ic . L'objec ed'aques a con e encia és mos a els esul- a s delsau o scon ingu s en [3] aixi com les se es elacions ambels eballsd'al es au o s . La nocib de V- a ie a ou in oduida pe Sa ake [7] en 1956 . Reinha [6] ha elaciona aques concep e amb el de oliació p o an que 1'espaiquocien M/(7 d'una a ie a M pe una oliació - amb mé ica ancada de codimensió n és una V- a ie a de dimensib n . En [3] s'ob éun esul a més o p o an TEOREMA 1 .  Sigui M una a ie a de dimensib n+m i T una oli acib Hausdo compac a sob e M de codimensió n . Sigui B=M/T 1'es pai quocien . Lla o s B adme , de mane a na u al, una es uc u a de V- a ie a de dimensibn . Aques eo ema és el queens pe me e a conside a in- e essan s exemples de V- a ie a s . L'objec iu p incipal de [3] és desen olupa una eo ia dels ope ado s pseudo-di e encials (o .p .d .'s) sob e V- a ie a s que pe me i p o a 1'exis éncia de pa ame ius pe a ope ado s di e encials el-líp ics sob e aques es a ie a s . Cal e no a queuna de les di icul a s pe a la cons ucció d'aques a eo ia ha . sigu la de oba una bona de inició d'o .p .d . La de inició de V- a ie a u ili zada eque eix cond_i cions mes débils que la habi ual (Baily [1] ) . La condició suple men á ia de Baily es demos a com a p oposició, i aixósense u ili za la hipó esiadicional de Sa ake [8] sob e la dimensió del conjun de pun ssingula sde la V- a ie a . En [3] ambé es dóna una demos ació cons uc i a de 1'exis éncia de pa icions de la uni a sob e una V- a ie a . Baily [11 ha p o a 1'exis incia de pa ame ius pe ala ope ado a di e encialsel-líp ics d'o d e 2 sob e V- a ie- a s compac es . En [31 s'ob é una gene ali zaciód'aques esul a de la següen mane a : Sigui B una V- a ie a (no necessa- iamen compac a) i o~ la amilia deisobe s de B que adme en un sis emalocal uni o mi zan . Deno em pe E(B) 1'espai de les unciona C °° complexes sob e B i pe £ (B) el de les un- cions C °° complexes amb supo compac e . Alesho es TEOREMA'2 .  Sigüi B una V- a ie a alque cn o ma una amilia d'obe s de B i sigui  D :  e(B) -D ¿T(B)  un ope ado di e en- cial el-líp ic (d'o d e a bi a ¡) . Exis eix un o .p .d . Q : 9(B)---> &(B)  alque  Q-D^-D-Q~I . Es a di que Q és ,una pa ame iu de D . Com a consequéncia composicib . Suposem que B és na mé ica de Riemann . Sigui ambuna mé icaHe mi ica h . C °° de E amb supo compac e <s 1 ,s2 > on 9 és 1'elemen de olum En aques es condiciona e, h(s1,s2) q TEOREMA 3 .  Sigui  D :  0M) -s i(E)  un el-líp ic au o-adjun espec e del p oduc e £)(E) = ke D ® ImD sib ini a . 34 ob enim el següen eo ema de des- compac a, o ien ada i p o eída d'u TT :E -b B  un V- ib a ec o ial Sob e 1'espai 9D (E)  de les secciona de inim el següen p oduc e He mi ic co esponen a la mé ica de Riemann . es p o a ope ado di e encial < , ) . Alesho es (suma di ec a o ogonal) i ke D é dimen- Com aplicació d'aques esul a a les oliacions com- plexes analí iques amb mé ica He mí ica "bundle-like", es ela cionen els espais de cohomologia de o mes"base-like" ambels espaisde o mes ha móniques "base-like" . Sigui M una a ie a comple a compac a i (i una olia cióamb ulles ancades . SuposemM p o eída d'una mé ica He mí ica comple a "bundle-like" . Lla o s, pe un eo ema de R . He - mann [4], 1'espai quocien B=M/ ' és Hausdo i, pe an , pel Teo ema 1, adme una es uc u a canónica de V- a ie a (aques e se á el queens pe me e á aplica els esul a s an e io s a la ac ual si uació) . Suposem ambé que  E -i M  és un ib a ec o ial,complex, analí ic i olia , p o ei d'una mé ica He m£ica oliada h . Deno em pe < , > el p oduc ehe mí ic so- b e les o mes di e encials a aluadesen E associa a h . Deno- em pe dE 1'ope ado di e encial ex e io de ipus (0,1) so- b e les o mes a aluades en E i pe  óÉ  i  0 E  els ope ado s codi e encial i Laplaciana, espec i amen , associa sa dE ' . Si gui  D" - (E)  1'espaide les (p,q)- o mes "base-like" a alua des en E i  H P ' 9 (M,E) el subespai de D P ' 9 (E) de les o mes ha móniques espec e á E' .  En aques a si uació en [3] es p o a TEOREMA 4 .  Si E és un ib a ec o ial complex, analí ic i ad missible, alesho es es e i ica la següen descomposició o ogo- nal espec e < , > . DP,q(E) = HPq(M,E) ® d" (Dp'q -1 (E . )) ®  " (DP'q+1 (E) ) i 1'espai  H P ' 9 (M,E) é dimensió ini a . COROL-LARI .  Sigui Hq(DP''(E), d") el q-espai de cohomologia del complex d" D P, q ( E) E -~DP " q +1 (E) -s . Tenim  Hq(DP'*(E), d") ='  HP 'q(M,E),  i aques sespais enendi mensió ini a . Aques eo ema és análeg al d'en Reinha [5] pelcas complex i o mes a aluades en un ib a ec o ial . Hem de e no a que aques s esul a es p o en pe als ib a s admissibles, in odui s en [3] . La conside ació d'aques a classe de ib a s ec o ials olia s ou sugge ida pe un~eo ema de Reeb, Eh esmann, Hae lige i Eps ein ( eu e[2]) i comp én un impo an nomb e de cassos in e essan s com, pe _e xemple, el ib a i ial, el ib a ans e sal i o s els i- b a s cons ui s pe mi odes unc o ials a pa i d'al es i- b a s admissibles . 4] I51 j6j ~71 [ 81 REFERENCIES BAILY,W .L . Thedescomposi ion heo em o V-mani olds . Ame .J . o Ma h . 78 (1956) 862-888 . EPSTEIN,D .B .A . Folia ions wi h all lea es compac . Ann .Ins . Fou ie , G enoble . 26,1 (1976) 265-282 . GIRBAU,J.-NICOLAU,M . Pseudo-di e en ialope a o s on V-mani olds and Folia ions . Collec ánea Ma h . Vo1 .30 (1979) . HERMANN,R . On he di e en ialgeome y o olia ions . Ann . o Ma h . 72 (1960) 445-457 . REINHART,B .L . Ha monicin eg als on olia ed mani olds . Ame .J . o Ma h . -81 (1959) 529-536 . REINHART,B .L . Closedme ic olia ions . Michigan Ma h .J . 8 (1961) 7-9 . SATAKE,I . On a gene aliza ion o he no ion o mani old . P oc .Na .Acad .Sci .US A 42 (1956) 359-363 . SATAKE,I . The Gauss-Bone heo em o V-mani olds . J . o Ma h .Soc . o Japan 9 (1957) 464-492 .