Notas sobre la clausura normal del Frattini de un p-subgrupo de Sylow

Pub . Ma . UAB N°20 Se . 1980 Ac es VII JMHL NOTAS SOBRELA CLAUSURA NORMAL DEL FRATTINIDE UN P-SUBGRUPO DE SYLOW Ma JesúsI anzo Azna Dp o . d e Algeb a Uni e sidad de Valencia Dado un g upo ini o G y P e Syl (G), se designa con 1(P)G la clausu ano malde j(P) en G . Es conScido que §(P) =§(P)[~(P),G] y que s plI§(G)j , el p-subg upo de-Sylowde §(G) es á con enido en §(P) '(L1]) . El p opósi o de es asno ases es udia las p opiedades ipo F a ini de dicho subg upo y su aplicación a la ob ención de condicionessu icien es pa a la sa u aciónde Fo maciones . P oposición 1 . Si G es un g upo ini o y P e Syl p (G), se iene : a) j(P)G es la clausu ano malde odo p-subg upode Sylow de G . b) Si N4 G en onces : j(P) G N/N !~I(PN/N)G/N . c) Si además G es esoluble se sigue j(P) G < G . Dem . a)  j(P 9 ) G = ~(P 9 ) [1 (P 9 ),  G] = ~(P)g[1(P)9, G]=  (~(P) Cl (P) ,  G]) g= =(§(p)G)g = .§(P) G , cualquie a que sea ge G . b) §(P) G N/N = j(P)[1(P), G] N/N = -§(P)N/N[§(P)N/N, G/NjLj(PN/N)[1(PN/N,G/N _ §(PN/N)G/N . c)  Sea G ini o esoluble, si p p)G = G se segui ía : G = 1(P) G' , P = Pn1(P)G' _ §(P)(P )G')= PnG' asíque P l G'< G que es áen con adicción con p p)G = G . En la P oposición siguien e , ob enemos dichog upo como esidual espec o de una cie a Fo mación . P oposición 2 .  Sea  X =¡G1 P e Ap , P e Syl p (G)}  , donde Ap es la cla- se de los g uposp-elemen alesabelianos . En onces G X = P P) G ,pa- a cada g upo ini o G . Dem . No emos que X = SA  , es po an o una Fo mación  (14]) . Sea G un g upo ini o, PG/§(P) G E X . En e ec o, si PE Syl p (G) Pj(P) G /1(P) G es p-elemen al abeliano ya que : P, (P) G /, (P) G = Pl(P)Cl(P) ,G] /1 (P)[~(P) , Gj= P/P (11(P)L1(P) ,  Gj = P/I (P) (P n [1 (P) ,  Gj  ) e A p  .  Así G x~ pp) G . Po o a pa e, G/G X E X luego si P E Sy1  (G)  es PG X /G X E A  po an o I(P) GX/G?X~ j(PG x /G X )  = 1, así ~(P) 11 G x y1 (P) G L GX .  P Co ola io . Si G es ini o esoluble,pa a cada p imo p con p)IGI exis e un subg upono mal N de G, N <G, al que los p-subg upos de Sylow de G/Nson p-elemen alesabelianos . Dem . Consecuencia inmedia a de la pa e c) de la P oposición 1 y de la P oposición an e io . En lo que sigue, odos los g upos conside ados son ini os e- solubles . di á p-sa u ada si siemp e que G/§(P) G pe enece a X, se sigue que G pe enece a X, siendo PF Syl p (G) . De inición Una Fo mación X se Es a de inición no es equi alen e a la de p-sa u ación de Ido- wu ([3)) . En e ec o,p obamos : P oposición 3 . La Fo mación de los p'-g upos es p-sa u ada Dem . Sea G/ (P) G p'-g upo, PE Sy1 (G), en onces P6 j(P)G y como siemp e se iene j(P) G- PG,  P se segui á PG = j(P)G . Supongamos que G es con aejemplo minimal del eo ema y sea N no mal minimal de G, en onces G/N es p'-g upo . Si N es p'-g u-, po, se sigue que G lo es y si N es p-elemen al'abeliano, Ne Syl p (G) ob eniéndose la con adicción N = NG  G Sin emba go la Fo mación de los p'-g upos no es p-sa u ada se- gún Idowu . En e ec o : _,3( Y- 3 ) = A3 ,  3/A3 es 3'-g upope o 1 3 no es 3'-g upo . La p-sa u ación no es equi alen e a la sa u ación . Asi la Fo - mación de los p-g upos no es p-sa u ada . En e ec o, conside emos G = <a> x, .<b>  ,  con a 5 = b 4 = 1 y  ñ- b (a)  = a b = a2 en onces j(<b> )  = <b 2 > y  j( <b> ) G = j( <b> )[1( <b> ),  G]= <b>)  (<b ), lá>] _ 1(,,b>)<a> . Así G/ ~(<b>)G es 2-g u- po , pe o G no lo es . P oposición 4 . Sea X una Fo mación p-sa u ada pa a odo p imo p, en onces x es sa u ada . Dem . Sea Gcon aejemplo minimal . Pues o que Si p111(G)J y P E Syl p (G) ,  sabemos que 1 < P n j(G) £j(p) Gy  se iene : G/ .§(P)G/j(G)j(P)G/I(P)GE X luego G/T(P)G/,(G/41 (P) G ) s X y pues o qué I G/1 (P) G I < 1 GI, se segui á que G/1 (P)Ge X luego po la hipó esis es GeX, con adicción . . K ame ( ES] ) ob iene condiciones necesa ias pa a queuna Fo mación X sea sa u ada, conc e amen edemues a que si X es una Fo mación sa u ada,siemp e que GXn P!(§(P) debe segui se i GXn P = 1, siendo P E Syl p (G) , cualquie a quesea p, p I IGL Se ea la posibilidad de encon a condiciones su icien es, aná- logas a la an e io , pa a queuna Fo mación sea sa u ada . En es e sen ido, ob enemos : P oposición 5 . Si 'X es una Fo mación y pa a odog upo G odo p imo p, son equi alen es : i)  G X n PI I(P) G ii) G X n P =1 siendo P e Syl p (G), en onces X es sa u ada . Dem . G/1 (G) e X, debe , kkse ¡(G)~ y Sea G con aejemplo minimal, si N es no mal minimal de G , ob iene G/N eX así N = G 'X . Si GX es p-elemen al abeliano, siendo P eSyl p (G) y como J ~ 1(G),  se segui á : GX z Pn 1(G) b j(P) G luegoGX = 1, con adicción . plan- se GX L P Bibliog a ía 1 . BECHTELL H .  "Theo y o G upos" Addison-Wesley, 1 .971 . 2 . HUPPERT B .  "Endliche G uppen" Sp inge Ve lag,1 .967 . 3 . IDOWU E .  "D-sa u a ed Fo ma ions" Is ael J . Ma h ., V . 30, 307-312, 1 .978 . 4 . IRANZO M .J .  "Ope aciones en e Fo maciones de G upos Fini os y ca ac e ización de En ol u as" Publicaciones del Depa amen o de Algeb a y Fundamen os,Za agoza, 1 .974 . (Tesis Doc o al) . 5 . KRAMER 0-U .  "Hallun e g uppen und Residuen ge- sá ig e Fo ma ionen" A ch . Ma h . V . XXV, 344-347, 1 .974 .