La dimensión debil de los anillos clásicos

Pub . Ma . UAB N°20 Se . 1980 Ac es VII JMHL LA DIMENSIONDEBIL DE LOS ANILLOSCLASICOS JoséLuis Gómez Pa do Dp o . d e Algeb ay . Fundamen os Uni e sidad de Mu cia Abs ac - The weak dimension o a ing R, wD(R), is shown o be equal o he sup emum o he injec i e dimensions o he pu e-injec i e le R-modu- les . Using his esul and he s uc u e heo em o pu e-injec i es o e commu a i e ings ([2J), he weak . dimension o a (cominu a i e) classical ing ([91) is cha ac e ized as he sup emum o he injec i e dimensions o he cocyclic modules . Cha ac e iza ions o he classical ings R o which wD(R),<1 a e gi en and i is also shown ha , o ce ain classical ings R, wD(R) is he sup emum o he injec i e dimensions o he simple modules . Sea R un anillo (asocia i o y con iden idad) yR Mod la ca ego ía de R-módulos po la izquie da . Si Mé R Mod se deno a á wd(M) a la dimensióndé- bil (o plana) de M e id(M) a la dimensión inyec i a de M . Las dimensiones global y (global) débil de R se esc ibi án'D(R) y wD(R), espec i amen e ([111 . Un R-módulo se dice pu o-inyec i o ([7],[101) si iene la p opiedad de in- yec i idad ela i a a la clase de las sucesiones exac as pu as . M -se dice , ini amen e cogene ado (FC) ([8]) si su zócalo es esencial y ini amen e ge ne ado y cocíclico (subdi ec amen e i educible) si su zócalo es esencial y simple (I91) . La en ol u a inyec i a de un R-módulo M se deno a á E(M) . U ilizando las p opiedades de los R-módulos pu o-inyec i os, se ob ie ne la siguien eca ac e ización de la dimensión débil de un R-módulo M : PROPOSICION 1 ([31) . Sea ME R Mod- . - Sé : e i ica : wD(M)in si y sólo si Ex n +1 (M,N) = 0 pa a odo N£ R Mod pu o-inyec i o n+1 En pa icula , wD(M) = in 1 .1 Ex R (M,N) = 0 pa a odo N pu o-inyec- 141 i ol y los R-módulos planos F es án ca ac e izados po e i ica la condi- ción Ex 1 (F,N) = 0 pa a odo N pu o-inyec i o . Como consecuencia se ob iene : PROPOSICION 2 ([3]) . Sea R un anillo . En onces se e i ica wD(R) = sup Jid(M)ImE R Mod pu o-inyec i o =sup ¬ id(M)IMEMod R pu o-inyec i o Pa a anillos conmu a i os exis e un eo ema de es uc u a de R-módulos ?u o-inyec i os, los cuales son p ecisamen e los sumandos di ec os de los p oduc os de R-módulos ini amen e cogene ados y pu o-inyec i os ([2]) . Po o a pa e, un R-módulo se dice linealmen e compac o si oda amilia de a- iedades lineales { x +m,}(x .6M, M .  submódulo de M) con la p opiedad de in e i i 11  _ sección ini a iene in e sección no acía . Los anillos co uiu a i os con la p opiedad de que odo R-módulo FC es linealmen e compac o ue on denominados clásicos po Vamos ([9]) . El eo ema de Coucho an es ci ado y la P oposición 2, aplicados a un anillo clásico pe mi en ob ene : PROPOSICION 3 ([3],[4]) . Sea R un anillo clásico . En onces se iene wD(R) = sup {id(M)J Mi R Mod ini amen e cogene adoj La demos ación se ob iene eniendo en cuen a que, en es e caso, odo R-módulo FC es linealmen e compac o y en consecuencia pu o-inyec i o ([10]) . El esul ado an e io puede se mejo ado de la mane a siguien e : PROPOSICION 4 ([4]) . Sea R un anillo clásico y Z °5 R Mod una clase de R-módulos ini amen e cogene ados, con la p opiedad de que odo R-módulo FC no nulo iene un cocien e no nulo pe enecien e a L ° . En onces : wD(R) = sup {id(N) J N( C} La demos ación puede hace se u ilizando un eo ema de Jensen ([5]) se gún el cual si {MiliEI es un sis ema in e so de R-módulos linealmen e compac os y Jim l) deno a el p ime un o de i ado de ~, en onces Jim l) M i = 0, i lo cual pe mi e ob ene , dado un diag ama con L ini amen e cogene ado : un le an amien o= .aaximal de a un cocien e de M mayo que Ny así se puede 142 p oba que F es plano si y sólo si  Ex 1 1 (F,L)  = 0 pa a, odo Lee , de donde, po inducción , se ob iene el esul ado . Teniendo en cuen a que odo R-módulo FC (de hecho, odo R-módulo) no nulo iene un cocien e cocíclico no nulo ([9]), se ob iene : PROPOSICION 5 ([4]) . Sea R un anillo clásico . Se e i ica : wD(R) = sup id(M)IM& R Mod cocíclico Lo an e io puede se u ilizado pa a ca ac e iza los anillos clásicos R ales que wD(R)< 1 . Pa a ello se u iliza á el siguien e concep o ([6]) : Un anillo R (no necesa iamen e conmu a i o) se dice cosemihe edi a iopo la iz quie da si odo cocien e FC de un R-módulo po la izquie dainyec i o FC es inyec i o . Se ob iene : PROPOSICION 6 ([3],(4]) . Sea R un anillo clásico . Son equi alen es : i) wD(R)< 1 ii) R es cosemihe edi a io iii) Todo cocien e FC de un R-módulo inyec i o cocíclico es inyec i o i ) Todo cocien e de un R-módulo inyec i o cocíclico es inyec i o . Un anillo R se dice ue emen e cosemihe edi a iopo la izquie da (C6D si odo cocien e FC de un inyec i o M6 R Mod es inyec i o . Se ob iene : PROPOSICION 7 ([3]) . Sea R un anillo clásico cohe en e o un dominio clásico . Son equi alen es : i) R es semihe edi a io ii) R es ue emen e cosemihe edi a io iii) R es cosemihe edi a io i ) wD(R) < 1 . Ejemplos de anillos que e i ican las cua o condiciones equi alen es de la P oposición an e io los p opo cionan los dominios de alo ación casi maximales y los anillos conmu a i osnoe he ianos semihe edi a ios (he edi- a ios) . La P oposición 4 puedé se explo ada pa a ob ene más in o mación sob e la dimensión débil de algunosanillos clásicos más pa icula es . Un anillo conmu a i o R se dice coa iniano si odo R-módulo FC es ini amen e gene a do, lo cual equi ale a que los anillos locales R m sean a inianos pa a odo ideal maximal m de R ([8]) (R localmen e a iniano) . Tales anillos son clá- sicos y aplicando la P oposición 4 a la clase E de los R-módulos simples se ob iene : PROPOSICION 8 ([4]) . Sea R conmu a i o coa iniano . En onces : WD(R) = sup {id(S) J SE R Mod simple El esul ado ob enido en la P oposición 8 puede se mejo adou ilizan do localización . Un anillo conmu a i o se dice conoe he iano si odo R-módu lo FC es a iniano, lo cual equi ale a que R sea localmen enoe he iano Q8J) . En pa icula , ales anillos son clásicos y se puede demos a : PROPOSICION 9 ([4]) . Sea R conmu a i o conoe he iano . En onces : wD(R) = sup {id(S)1 SE R Mod simple B  I  B 'L  I  0  G  R  A  F  I  A 1 .- CARTAN,H . ;EILENBERG,S . : Homological algeb a . P ince on U . P ess (1956) 2 .- COUCHOT,F . : Sous-modules pu s e modules de ype co ini . Lec . No es in Ma h . 641, Sp inge (1978) . 3 .- GOMEZ PARDO,J .L . : Inyec i idad pu a y dimensión débil . Pendien e de pu- blicación en Re . Ma . Hisp . Ame . 4 .- GOMEZ ?ARDO,J .L . : Sob e la dimensión débil de algunas clases de anillos conmu a i os . Pendien e de publicación . 5 .- JENSEN,C .U . : Les onc eu s de i és de llim e leu s applica ions en héo ie des modules . Lec . No es in Ma h . 254, Sp inge (1972) . 6 .- MILLER,R .W . ;TURNIDGE,D .R . : Fac o s o co ini elygen a ed injec i e mo- dules . Comm . in Algeb a 4 (3), 233-243 (1976) . 7 .- STENSTROM,B . : Pu e submodules . A ki o Ma . 7, 159-171 (1967) . 8 .- VAMOS,P . : The dual o he no ion o '' ini ely gene a ed" . J . London Ma h . Soc ., 43, 643-646 (1968) . 9 .- VAMOS,P . : Classical ings . J . Algeb a 34, 114-129 (1975) . 1Q- WARFIELD,R .B . : Pu i y and algeb aic compac ness o modules . Paci ic J . Ma h . 28, 699-719 (1969) .