Sobre funcions de negació feble per la teoria de conjunts difusos

Pub . Ma . UAB N° 20 Se . 1980 Ac es VII JMHL SOBRE FUNCIONS DE NEGACIO FEBLE PER LA TEORIA DE CONJUNTS DIFU- SOS . F ancesc Es e a, Xa ie Domingo Dp . d e Ma ema iques i Es adís ica, E .T .S .A .B . Uni e si a Poli écnica de Ba celona 1 : In oduccib El pun de pa ida del p esen eball és doble : -Pe un cos a es pa eix del concep ede £uncióde nega- ció sob e un conjun o dena (C,<) (Sales,[6]) comuna aplicació C -+ C dec eixen i al que pe o xEC és x < T 2 (x), es u- d .iades pel ma eix Sales i Pla ([3]), i del ac amen de les un- cions de negació en e icles comple s i el eo ema d'ex ensib (Es e a, [21) . -Pe al e pa , en la eo ia dels conjun s di usos ([8]) es de ineixen les negacions com aplicacions dec eixen s n :[0,1] - [0,11 als que n(0) = 1, n(1) =O ; aques es negacions s'anomeneno dina ies, ebles o o essegons sa is acin x_>  T 2 (x),  x _<  T 2 (x)  ó x =-[2 (x)  espec i amen .  E .  T illas([5]) ha ca ac e i za les negacions o es amó pun de sime iasob e un conjun J al que {0,1} C J c[0,11  i  1-J= J mi jan(7an gene- ado s addi ius . En pa icula , han queda ca ac e i zades pe aques a ia uncional o es les uncions de negació o a en [ 0,1] . A pa i d'aques s esul a s es udiem les negacions ebles en [0,1], donan una descomposició ac o ial i la ca ac e i za- cib mi jangan gene ado s addi ius en alguns cassosconc e s . 2 .1 . Com a uncions de [0,1] en [0,1] les negacions ebles sbn uncions n mon5 ones dec eixen s amó n(0) = 1 i n(1) = 0 que compleixen 2 : Es udi de les negacions eblesde [0,1] . P oposició 2 .1 .1 . Si n :[0,11- [0,11 és una negacib eble, alesho es : (i) n és (ii) n és (iii) n e i ica si es o a . Aixb ens diu que de n (conjun de un subconjun de e icle -- cómple con inua pe 1'esque a en o xE [0,1], con inua pe la d e a en o x 9! n([0,1]), les lleis . de De Mo gan in ini es si 1 només el conjun D n dels pun s de discon inui a ca dinalin e io o igual al nume able) és n([0,11) . El e d'ésse n([0,11) in -semi- que'cón é 0 - ¡ 1 -po a a qué izo o súbcon jun nume able de [0,11 pugui ésse el subconjun Dn pe cap negacib eble n a una ce ca n . Pe exemple, no hi ha pe la dual bn ,--- Q n 0, . __ Pe  al e pa , 1 ia e3Sen ce mi duna súccessióde negacions ebles (cas eixi) sigui una negacib eble, es e i ica : P oposició 2 .1 .2 . To a negacib o a o eble amó un ini . d e pun sde disco inui a és limi uni o me duna suc- cessi6 de negacions ebles esg aonades amó un nomb e ini de pun s che discon inui a . 2.2 . $n segon bles . (i) Si nl és discon inua en xo ; alesho es (n(x 0 ),  n(xo)) . (11) Si (a,b) y¿0 és un in e alobe maximal en el és cons an , alesho esn é una di .scon inui a i és n (n (b)+) =a i n (n (b)  ) =b . en gene al que de que n és nomb e lloc es udiem la "sime ia" de les negacions e- P oposició 2 .2 .1 . Si n : 0,1j -> [0,1) és una negacib eble, cons an en que n en n (b) Aixb ens diu que o a negacib ebleconse a,en ce sen- i , .la sime ia que enen les negacions o e s espec e y=x ; només cal iden i ica el simé ic d'un sal amb un og de unció cons an , i ecip ocamén . Aques a cons a acib ens po a a de ini el que en end em pe unció "simé ica" espec e y=x i a eu e queuna condicib necessá ia i su icien pe qué :[0,1] -> [0,1] sigui una negacib eble és que sigui dec eixen i "simé ica" espec ey= x . Donada una negacibn i conside a s els conjun s d'elemen s posi ius Pn (x< n (x)) ,  nega ius Nn (x> n(x»  i  ixos Fn (x =n (x) ) ( id . [2]), is que N n i Pn sbn subin e als disjun s amó un pun de sepa acib s, hi ha dues possibili a s : (1)  Fn =  {s},  i  alesho esNn =[ 0,s)  i  Pn = (s,1], (2) F n =0, i alesho es Nn =[0,s] i P n= (s,1] . El ni ellde sime ia duna negacibn ([41 i [51) es de i- neix com s n =  , V  (a nn (a)) =  A  (a , 4 n (a)) . aE [ 0,1]  aE [ 0,1] En el cas (1) és e iden que el ni ell de sime iade n és el pun s,  pe ó en el  (2)  enim que  V  (a n n(a)) =s,  i aE[0,1] (a n(a)) = n(a),  i pe an sembla lógicp end e com aE [ 0,11 a ni ell de sime ia1'in e al (s,n(s)) . En aques cas pa la- em, doncs, de 1' in e alde sime ia de la negacib n . 3 : Descomposicib ac o ial de les negacions ebles . Sigui n una negacib eble amó un nomb e ini de pun s de discon inui a ; N de ineix una descomposicib de [0,1] en subin- e alsI i d'ex ems supe io sb i en elsque n és cons an o con- inua i es ic amen dec eixen . Sigui K ={¡ ;ni, , és cons a n }, 1 i K' = { (i,j) ;n(Ii) = I j } . Alesho es : P oposicib 3.1 . Si n és una negacib eble en [0,1] amó un nomb e ini de pun s de discon inui a , exis eixen negacions o es n i de [0,11 als que : n  ( .i Ej )  E  K'  n1  ll i~  I j  ;  i E Kn (b i ) 1 21 . (on 1 C ep esen a la unció ca ac e ís ica de C i A la di e én- cia simé ica) Recip ocamen : P oposició  3 .2 .  Sigui  I , = [0,a 1 ] ,  Ii = (a i_11 ai ]  i = 2, ....  k una pa ició de [0,a k ] .  To a amilia de uncions  i :[0,11  - ; [0,11 i =1 . . .k als que cada .  és o una cons an o una negació o a, 1 i(ai) > i ;1 (a i )  pe i= 1 . . .k,  i k(ak) iak, de ineix una única negació n  de  (0,11  alque  ni, .  =  i I I,  i N n= [0,a k],  donada pe :  i i n =  E  a l 1 I, i  E  i  ll .o( (a .  ) . .(a .) 1 a k 1 (a  (a H . iEK  i, iizK  i  k' kk 4 : Gene ado s addi ius pe anegacions ebles . A pa i dels esul a sde Es e a ([2]) i T illas ([5]) ob- enim gene ado s addi ius pe a les negacions ebles de [0,1] amó ima ge simé ica espec e del pun 1/2 . Conc e amen : P oposiciú 4 . 1 .  Si n és una üegaciú eble en [ 0, i]  amb ima gé simé ica espec e del pun 1/2 i in e alde sime ia (s,n(s)), exis eixen uncions c eixen s i bijec i es :n([0,1]) U (s,n(s)) -"  n ([ 0, 1] )  U (s, n(s) )  als  que : -1 ( (1)- (^{yen([0,1]) ;  y>x}) )si xE[0,1]-(s, .n(sl), {S  si xE (s,n(s)) . Recip ocamen : P oposició 4.2 .  Si  { 0, 1 } C JC [ 0, 1 ]  i J=1-J,  o a  unció :J - . Jc eixen i bijec i a de ineix (pe (&)) una únicanega- ció eble n :[0,1]- [0,1] amó in e al de sime ia (s, )  (on s = sup  {x E J ;  (x) > x}  i  = in  {x E J ;  (x) < x})  i n ([ 0, 1]) = J . REFER%NCIES 1 . BODIOU,G . "Théo ie dialec ique des p obabili és", Gau hie Villa s,Pa is (1964) 2 . ESTEVA,F . "Con ibución al es udio de la es uc u a del con- jun o de negaciones de inidas en un e ículo S ochas ica, Vol .l nó 1(1975), 49-66 . 3 . PLA,J . "Sob e negaciones en e ículos", Ac as II Jo nadas Hispano-Lusas de Ma emá icas, Mad id 1973 . 4 . PREPARATA,F .P .-YEH,R .T . "Con inuously Valued Logic", Jou n . o Comp . and Sys . Sci ., 6 (1972), 397-418 . 5 . TRILLASE . "Sob e uncionesde negaciónen la eo ía de con- jun os di usos", S ochas ica, Vol .III,nó 1 (1979), 47-59 . 6 . SALES,F . de A . "Aplicaciones de Galois en conjun oso dena- dos y en e ículos", Collec . Ma hem . Vol .XXI, 1 (1970) 19-39 . 7 . SALES,F . de A . "Algeb as de Hilbe ",Cu so monog á ico de doc o ado, Uni . d e Ba celona, 1973 . 8 . ZADEH,L . "Fuzzy se s", In . and Con ol, 8 (1965), 338-353 .