Inestabilidad hidrodinámica y teoría de Landau de las transiciones de fase fuera de equilibrio

Pub . Ma . UAB Nó 19 Maig 1980 Ac as II Cong eso de Ecuaciones Di e enciales y Aplicaciones-Valldo eix, Mayo 1979 . INESTABILIDAD HIDRODINAMICA Y TEORIA DE LANDAU DE LAS TRANSICIONES DEFASE FUERA DE EQUILIBRIO J .C . ANTORANZ( + )y M.G . VEIARDE( x ) +~ Depa amen o de Física Fundamen al, UNED, Ciudad Uni e si a ia, Mad id (x) Depa amen o de Física de Fluidos, UAM, Can oblanco, Mad id Una capa de luido calen ada po abajo pe manece á en eposo si el g adien e de empe a u a impues o en e las placas que con ienen dicho luido es meno que un cie o alo c i ico, /l/usualmen e exp esado en unción del núme o de Rayleigh, de inido po : R = C . q d 3 AT/K donde g es la acele ación de la g a edad, pi es el coe i- cien e de expansión é mica olumé ica, d es la dis ancia en e placas, e Tes la di e encia de empe a u aen e pla cas, K es la di usi idad (o conduc i idad e momé icay -1 es la iscosidad cinemá ica . Cuando se excede del g adien e c i ico de empe a u a, puede se obse ado un mo imien oespon áneo aunque o dena - do, de o ma que se pueden dis ingui dis in os modelos de es uc u as con ec i as 6 celdas egula es . Es as es uc u as dependen po un lado de la o ma del con enedo , y po o o de p opiedades del luido . . La ines abilidad puede se explicadapo medio de a zonamien os cuali a i os . Cuando el sis ema es monocomponen- e, y calen amos po abajo, se p oduci á p ime o un g adien- e lineal de empe a u a,siendo mayo la empe a u a en la placa in e io que en la supe io ; ello da luga a que la densidad jun o a la placa supe io sea mayo que en la in e io , lo que es mecánicamen e ines able y de ahi la enden- cia hacia el mo imien o pa a es ablece un es ado es able . Es a endencia al mo imien o es enada po la iscosidad del sis ema ; asi pues, has a que el g adien e de empe a u- a no alcanza un alo c í ico, las ue zas iscosas ecupe ado as acaba án con cualquie in en o de con ección . Po o o lado la di usi idad é mica es asimismo un mecanismo de igua .laci6n de las empe a u as y po an o es abilizado del égimen de eposo inicial, ayudando a la iscosidad en su " enado" de la con ección . Cuando el sis ema es bicomponen e, un sencillo aná- lisis pe mi e no a la impo ancia de un nue o pa áme o llamado coe icien e de So e , S /2,3/, que es po un lado el cocien e adimensional en e la e modi usi6n y la di u- si idad é mica ; y po o o,y más impo an e . ,la . azón en- e la expansión olumé ica po a iación de la acción másica de la mezcla y la expansión olumé ica é mica . Es e coe icien e de So e , cuando es posi i o indica á po con enio que la componen e más densamig a hacia la pa ed más ía ; siendo nega i o en caso con a io . 1 Asi, cuando S > O, y calen amos po abajo, el sis ema ende áa compo a se como en el caso monocomponen e, pe ocomo la componen e más densa del sis ema iende a i a la placa supe io , aumen ando así apa en emen e el g adien e de densidad media en e las placas, el sis ema end á en dencia a se mecánicamen e ines able pa a un alo meno del núme o de Rayleigh c i ico que en elcasode un luidopu o . Cuando, po el con a io, S < 0 exis i á oposición en e el e ec o So e (componen e más densa ma cha hacia la pa ed in e io y el e ec ode la lo ación (debido a la ex- pansi6n é mica) : los dos dis in os componen es del g adien e de densidad no an en el mismo sen ido . Y de ahí -la pos¡ bilidad que cabe espe a de sob ees abilidad (o e shoo ing) 7 del es ado de "equilib io" ( eposo) ; ense pa a mayo es de- alles . / 3/ . Las ecuaciones que nos dan la e olucióndel sis- ema son las ecuaciones de con inuidad y las del balance de la ene gía,.momen o y acción másica, jun o con las ecuacio nes de es ado é mico y mecánico : N +~! .N= D 2 N 1 +N 1 NzD 1 pT(1 .a) - a  9 ~ X~  ~ ~-  ~` óx~ iT+Y~ T- K 2 T S  S (,i _><A - T+ó ANí) donde j es la j-componen e del campo de elocidad, D' es él coe icien e de di usión é mica, D es el coe icien e de di usión, Niy N2 son las acciones másicas de los componen- es ¡ yy # 2 /1 ( e101 11 lo oma emos como el más denso) . T es la empe a u a, pK es la densidad e aluada .a una empe a u a T y una acción másica Ni ; F i es la ue za ex e io (F i= -g g adien e, c~ y /4/ de inida po : se educea : ~,= ( 0 , 0 ,l))e p expansión é mica y másica, es la p esión, es el ope ado i son espec i amen e los coe icien es de Nos limi a emos a es udia un modelo bidimensio- nal (x,z), es deci eemplazando la capa ho izon al po una sólalámina, lo que es azonablemen e una buena p ime a ap o ximacidn po que sabemos po los expe imen os que si hay con- eccidn és a suele empeza como anillos pa alelosa uno de los ejes ( es o no se ia álido si hubiese exágonos) . Así el es udio de pe u baciones ( a bi a ias) sob e el es ado 1 de eposo, . después de adimensionaliza el conjun ode ecua- ciones /3/, e in oduciendo '1' como la unción de co ien e 2W  ] (3 .b) n V  -1 - V 2 T donde P es el núme o de P and l, S es el coe icien e de So- e , p es el niíme o de Lewis y J ( ,g) deno a el . Jacobiano de inido como : lo Pa a simpli ica conside a emos que las condiciones de con o no pa a el sis ema son pa edes lib es, conduc o as y pe meables ; es o es : El mínimo esquema, pa a una desc ipción ele an e del p oblema en una geome ía bidimensional, se educe a la siguien e ap oximación en cinco modos 9 / lb, 41 ~ . A í Sen,-w  1L sea -i -¿ iT kT = A 3 C4STT'kx sen~n -a- 4 2 S e% -21Tg 2 = A 5 caS - W k x  A, Se % 2 T a donde k es el núme o de onda pa a el comienzo de la ines abilidad con ec i a,' Teniendo en cuen a las condiciones de con o no y subs i uyendo en las ecuaciones ob enemos el siguien e sis ema de ecuaciones di e enciales o dina ias/5/ . .0 -( P ~) Rk(A3+SA,)+-~A1~1+kT~ k+ Az=zA, A3 - 4w A2 (7) A 3 - -Wk A 1 _ - n -z (1 + kz)A 3 - A 1 A 2 '  ± A A 5  ~ . ~--- (A .Z - A 4/ 4 A =~T2(1+k'), p (A 3 -A,)- AsA4 --T kA, s Resul a que (6) y (7) ex ienden el modelo de Lo enz al p oblema de Béna d de dos componen es (Véase po ejemplo Apa e de la solución i ial > A i - 0 los es ados es aciona ios con ec i os de (7) ienen dados po las so- luciones de la siguien e ecuaci6n cuá ica Á Az 1+ 1 2~ - 4 (1+ p A ) 4  R 9  (8> 64  ~a,  %-+ TT - RS +1 + S/~- ) =o -T ®  C L4  D conside adas como los pun os ex emos (máximos y mínimos) de la siguien e unción po encial de Landau /l .b, 6/ _ o  4 /(o  , ,  ~ A~  2~ C1 ¢ p a ~  - R 9 4  (9) -¢- 3 2-T ' J D A1-2 ~IT4 --  ~S  1+ 5 /S) 3 12 Asimismo, dichas soluciones . Al, pueden se con Pa a (8) y (9) se p edice la exis encia de una linea de ansición de p ime o den (o de ines abilidad subc i ica)en la egión donde es de espe a según el aná lisis lineal de las ecuaciones (1) un es ado de sob ees a bilidad /3/ . Como es a linea de p ime o den es á po de- bajo de la ama de sob es abilidad /1,4/, la capa de luido sald : a de un es ado sin mo imien o bien ía una exci aci6n de ampli ud ini a ( modo du o ) 6 bien ía un modo de oscilación ansi o io cuya ampli udc ece expo nencialmen e has a alcanza la ampli ud ini a del es a do es aciona io con ec i o inal . Es de espe a que la ansición p esen e enómenos de his ó esis y de me aes- abilidad, De hecho es as p edicciones ya enunciadas en /2,a/ es án en buen acue do con algunos da os expe imen ales /2/ y no necesa iamen e en desacue do conlasob- se aciones hechas en /7/ . Pa ecedi ícil de acep a , sin emba go, que oscilacioneslineales (sob ees abilidad) puedan se man enidas la go iempo en un expe imen o de Rayleigh-Bén .a d ya que deben pe enece a una ama me aes able . Po o olado y de acue do con es udios an e io Pes /2,3/ hay, po supues o, amas de -ansici6n con inua (bi u cacióno dina ia6 ansición de segundo o den con modo blando y el empal .me de una ama de p ime o den con o ade segundo o den es p ecisamen e un pun o ic í ico ( éase igu a l) . La acción de un campo ex e no suplemen- a io ( po ejemplo magné ico si las pa ículas de la com ponen e "1" uesen magne izables pe mi i la isualiza las supe icies de coexis encia de dos ases . El pun o ic í ico es aquel en es di e en es ases coexis en y se hacen "iguales" . T ansiciones de p ime o den puedenasimismo con- segui se si la capa luida se poneen o ación (po ejem plo al ededo de un eje e ical, éase 181)6bien in o duciendo e ec os ales como la dependencia del coe icien- e de di usión en la acción másicay/9/ .