Estudio cualitativo del problema de Sitnikov

PUBL .Ma .UAB Ns 18 Ab il 1980 Ac as II Cong eso de Ecuaciones Di e enciales y Aplicaciones . Valldo eix, Mayo 1979 ESTUDIO CUALITATIVO DEL PROBLEMADE SITNIKOV Jaume Llib e* y Ca les Simó** Abs ac .- The Si niko p oblem o e s a ich a ie y o mo ions when he ull phase space is s udied . Besides classical esul s due o Aleksee and Mose a ca e ul desc ip ion o inal e olu ions is p esen- ed . To achie e his esul we ake in o accoun he successi e in e - sec ions o he in a ian mani olds o he in ini ywi h he plane ó he p ima ios . 51 . Las ecuaciones del mo imien o .- Sean m 1 y m2 dos masas pun ua- les e iguales mo iéndose según la ley delag a i ación de New on en ó bi- as elíp icas con su cen ode masas (c .d .m .) en eposo . Conside amos una e ce a masa pun ual e in ini esimal, m 3 , mo iéndose sob e la ec- a R pe pendicula al plano n de e minado po las ayec o ias de los dos p ime os cue pos pasando po su c .d .m . ( ig . 1) . El mo imien o dé las dos p ime as masas no es á a ec ado po la e ce a y, debido ala sime ía, el e ce cue po pe manece sob e R . El p oblemade Si niko [91 consis e en desc ibi las ó bi as del cue podé masa in ini esi- mal y es un caso pa icula del p oblema es ingido de es cue pos . Como es usual llamá emos p ima ios a los cue pos cuya masa no es in ini esimal . No malizamos las unidades de iempo,masa y longi ud de mane a que el pe íodo de los p ima ios sea 27 , la masa o al sea 1, es o es, m 1 = m2 = 2 y la cons an e de la g a i ación alga 1 . Sea q la coo denada que nos da la posición de m 3 sob e la ec a R, habiendo oma- * Facul a de Ciéncies, Uni e si a Au bnoma de Ba celona . ** Facul a de Ma emá iques i Labo a o i de Cálcul, Uní e si a de Ba celona . do el o igen, q = 0 , en el c .d .m . . Las ecuaciones del mo imien o son q = p, P = - q/(q2 + 2( )) 3/2 , ( ) = 2 (1-e cos ) + 0(e2), Fig . 1 . El p oblemade Si niko pa a excen- icidades  e > 0 . donde ( ) = ( +27 ) > 0 es la dis ancia de uno de los p ima ios al c .d .m . Si e es la excen icidad de las ó bi as elíp icasdesc i as po m 1 y m2 , enemos que en el en o no de e = 0 . Si la excen icidad e es igual a ce o ( ig . 2), el sis ema di- e encial (1) es conse a i o, es o es, posee la in eg al de la ene - gía Fig . 2 . El mo imien o de Si niko pa a la excen icidad e = 0 . 2 p 2 -  (q 2+4)'1/2  = c  (2 ), donde  c >2 . El es udio del espacio de ases (q, p) se mues a en la ig . 3 . El o igen 0 es un cen o (pun o de equilib ioes able, c = -2) . Hay es clases de soluciones, las del ipo A (oscilaciones u ó bi as elíp icas, -2 < c < 0), las sepa a ices B u ó bi as pa abólicas(que llegan al in ini o con elocidad ce o, c = 0), y las soluciones C o_ madas po las ó bi as hipe bólicas (quellegan al in ini o con eloci- dad posi i a, c > 0) . Fig . 3 . O bi as en el caso e = 0 . Si la excen icidad e es posi i a, el sis ema (1) con iene el iempo explíci amen e . Po lo an o, hemos de es udia las ó bi as deun campo ec o ial en el espacio idimensional q, p, . Realmen e, inclu so cuando la excen icidad es ce o, pa a desc ibi comple amen e el mo- imien o de Si niko , hemos de conside a las ó bi as en el espacio q, p, . Así podemos ene en cuen a no sólo la posición de m 3 espec o del plano q=0,sino ambién espec o de m 1 ym2 . Pa aes udia las ó bi- as en el espacio q, p, u iliza emos la aplicación de Poinca é . Pa e de la exposición que sigue ha sido omada de [81 . §2 . La aplicación de Poinca é T e .- Es clásica la educción del es u- dio de un sis ema dinámico en un espacio de dimensión 3, al es udio de una ans o mación pun ual T del plano u ilizando una supe icie de secciónE . La aplicación T se cons uye de la mane a siguien e : cada pun o  x E E  se aplicaen el siguien e pun o de in e sección, Tx,  de la cu a  y, solución del sis ema dinámico que pasa po ' x, con la su- pe icie E ( ig . 4), suponiendo que dicha in e sección exis a . Fig . 4 . La aplicación de Poinca é . Las p opiedades esenciales del sis ema di e encial quedan ep esen adas po la ans o mación T de una mane a más cla a y condensada . Una ó bi a pe iódica se con ie e en un pun o in a ian e po T o po una po enciade T . Una ó bi a quasi-pe iódica eco iendo un o o en el espacio de ases, se aduce po una sucesión de pun os eco iendo una cu a de la supe icie de sección con núme ode o ación i acional . La es abilidad de una ó bi a puede es udia se median e el análisis del com po amien o de los i e ados po Tdel pun o de la supe icie de sec- ción que de e mina la ó bi a, e c . Teniendo en cuen a la pe iodicidad espec o de en las ecuaciones (1), podemos iden i ica las supe icies = 0 y = 2n , y conside- a el sis ema di e encial (1) en el espacio R x IR x S 1 con las coo d_e nadas  (q, p,  (mód . 2n )) . En es e espacio iden i icamos la ó bi a S l co espondien e al pun o de equilib io q = 0, p=0 a un pun o O .Pues o que el sis ema di e encial es in a ian e po la sime ía  q - -q, no necesi amos dis ingui en e los alo es posi i os y nega i os de q .Iden i icamos (-q, p, ) con (q, p, ), y po an o los pun os (q = 0, -p, ) con los pun os (q = 0, p, ) . Sea  E  el espacio esul an e, y sea Te la aplicación de Poinca é de la supe icie de sección E=1(q, p, ) eE I q=01 , pa a la excen icidad  e . Es o es, dado un pun o (p o , o ) de  Ey po lo an o la ó bi a  q( ) del e ce cue po al que  q( o ) =0  y P( o ) = po, sea 1 el siguien e ce o de q( ) con 1 > 0 , si exis e . La aplicación Te se de ine median e Te (p o , o ) = (p 1 , 1 ) siendo p 1 = p( 1 ) . Nó ese que E es un plano donde po , o son coo denadas pola es . §3 . El caso in eg able, e = 0 .- Pa a desc ibi la aplicación T = Te pa- a e = 0 obse emos de (2) que p 1 = p o pa a p o<2, y que el iem po de eg eso a E, 1 - o = T(p o ) es una unción de p o independien e de o . Además cuando  po - 2  el  iempo  T( Po ) - °° . La aplicación T iene la o ma p l  =  po  ' 1 = o + T(p0) (mód . 2n ), de mane a que la ci cun e encia  p (p o = cons an e < 2) es in a ian- 0 e po T . La coo denada o (mód . 2n) es la coo denada angula sob e po, yla aplicación T es ingida a la ci cun e encia 1-p o es un gi o de án- gulo T(pd . Es cla o que el dominio de de inición de T, D 1 , es el disco abie o de adio 2 . Lema 1 .-  Pa a  e = 0, la unción T(p 0 ) es es ic amen ec ecien e en 0< p o< 2 (Fig . 5) . 53 Demos ación : Usando (2) el pe íodo puede exp esa se como = 4 gmax T  d /  2  -  2 J  g  , q 2 + 1/4  q2 0  + 1/4 max que con el cambio a = a c g (2q) se con ie e en a l a 2 sec ada Vcosa - Cosamax Debemos e que T es una unción c ecien e de amax' es deci , T( amax,l)  <  T( amax,2)  si  a max,1 <  amax,2' Sean 1 , 2 , g uncionesposi i as es ic amen ec ecien es en 10, a 1 1 ,  [ 0, a 2 1  y  (0, a 3 1 , espec i amen e, con  0<a l <a 2 1 a 3 . Si ,>   en  (0, a,l   Cal  .< a 2   a i mamos oue 1 G  - - 1 -  G  ' Jo  1 JO J0  1 .g<JO  2 .g  . x y En e ec o, dado  x<a l ,  sea  y E (x  , a 2 )  al  que  (  l=  J O 2  . z De inimos h i (z) =10 i , z E[0, a i 1 , i= 1,2 , y po an o h1(x)=h2(y) . 1)  b Luego  JO 1 9(x)dh 1 (x)  < JO 2 9(y)dh2(Y)  si  h l (b 1 )  = h 2 (b 2 ), de donde se ob iene nues o ase o . Tomando  a i  =a max,i  ,  i  =  (cosa- cosa max,i)-l/2,  i  =  1,2, y g = sec 2 , se iene el lema 1 eniendo en cuen aque dicho lema es'cie o pa a el péndulo . Si gmax " 0se iene que  T-+7C/~ 2 . Fig . 5  Fig . 6 Del lema 1 y eniendo en cuen a que  7(p0)  +  cuando po - 2, e- sul a que la imagen de cualquie adio de D 1 es una cu a que espi ala in ini as eces al ededo del o igen ap oximándose ala on e a po = 2 ( ig . 6) . Po consiguien e, la aplicación Tes una aplicación " wis " ( éase [81 ) . Es cla o a pa i del lema 1 que hay cu as p  que gi an un 0 ángulo T(p0) al que  T(p0) / 2n es acional . El ángulo T(p o )/ 2n es el núme ode o ación de la cu a in a ian e P  po la aplica-- ción T . Conside emos las i e aciones de la aplicación T . Pa a un -- pun o inicial x = (p o , 0 ) pe enecien e a una cu a P  con un núme- o de o ación acional  igual  a  P / Q  (P y Q  p imos  o en e sí),  se iene que x es un pun o pe iódico de T de pe íodo Q . El núme o P mide las uel as en e as que se dan al ededo del pun o ijo cen al 0 cuando  se eco en  los  pun os  x,  Tx,  T 2 x,  . . ., TQx  = x .  (Fig .  7) . Fig . 7 Si el núme o de o ación de p0 es i acional, pa a cualquie pun o xe  los pun os Tnx o man un conjun odenso en  ( éase [21, po  po apéndice I) . En esumen, las cu as in a ian es P es án o madas po 0 pun os pe iódicos o quasi-pe iódicos según que el núme o de o ación de p^  sea acional  o i acional .  Como se obse a en  [21  ,  p .  79, en o- dos los p oblemasin eg ables de la mecánica clásica, se encuen a que - las ó bi as aco adas son pe iódicas o quasi-pe iódicas, es o es, la ó b_i a gené ica es densa sob e un o o in a ian e sume gido en el espacio de ases . Obse emos que el o igen 0 es es able, es o es, si x = (p o , o ) n es al que po es su icien emen e pequeño, en onces T x pe manece peque ño pa a odo n . Vamos a econs ui el lujo en el espacio de ases F =IR x R xS 1 a pa i de la aplicación de Poinca é T . En i ud de la ig . 3 podemos pensa en el espacio de ases .F oliado de la siguien e mane a : el pun o de equilib io 0 da luga a una ci cun e encia Ven F . Las ó bi as aco adas del ipo Ase mue en sob e o os, encajonados los unos den o de los o os en ol iendo a la ci cun e encia ( ig . 8) . Las ó bi as pa abó Ticas dan luga a dos cilind os que cons i uyen la on e a opológica de los o os encajonados . Podemos pensa en es os dos cilind os como - el esul ado de qui a dos ci cun e encias C 1 y C 2 de un o o, al co- mo se indica en la ig . 8 . (Las ci cun e encias C 1 y C 2 se co esponden con los dos in ini os de q) . A su ez cada cilind o de ó bi as pa abó Ticas es á en uel o po oda una amilia de cilind os, cada uno de ellos eco ido po ó bi as hipe bólicas . Es cla o que las ó bi as pa abóli- cas o hipe bólicas eco en sus espec i os cilind os en la o ma indi cada en la ig . 9 . La espi al co espondien e a una ó bi a pa abólica o hipe bólica da in ini as uel as al ace ca se ala on e a del ci- lind o . Fig . 8  Fig . 9 Ejemplo de una ó bi a pa abólica o hipe bólica en el es- pacio de ases F . Veamos cómo las ó bi as aco adas o elíp icas eco en sus es- pec i os o os . Del es udio ealizado pa a la aplicaciónde Poinca é, se deduce que si el núme ode o aciónde la ó bi a es i acional, és a es densa en el o o que la con iene, es o es, se a a de una ó bi a quasi-pe iódica . Si el núme o de o ación es acional igual a P/Q (P y Q p imos en e sí), la ó bi a es pe iódica . Teniendo en cuen a las iden i icaciones que hemos hecho en el espacio de ases F pa a ob ene el espacio E, donde hemos es udiado la imagen po T de la supe icie de sección E , esul a que si Q es pa (impa ) la ó bi a an es de ce a da Q/2 (Q) uel as en la i ud yP (2P) uel as en longi ud ( ig . 10) . Fig . 10 Ejemplo de una ó bi a aco ada pe iódica con núme o de o a- ción igual a 1/3 en el espacio de ases F . 57 an los pun os hipe bólicos . No obs an e,Smale y Mose , (81 p . 101, han demos ado que en odo en o no de un pun ohomoclínico ans e - sal se encuen a el shi de Be noulli como subsis ema . Po lo an o, si la aplicación TR posee pun os homoclínicos ans e sales el lujo del mo imien o de Si niko iene en su en o no un compo amien o "mixing" ( éase (21, p . 18) . Numé icamen e se)sabe que los i e ados po Te de-unpun o com- p endidoen e dos cu as ce adas in a ian es e y si uado ue a de la egión cubie a po las islas iendena llena como un "ma de pun os" la zona comp endida en e las islas . Véase po ejemplo la ig .14, co espondien e a la aplicación de Poinca é es udiada po Hénon y He¡ les (51 . En ella odos los pun os si uados ue a de las cu as pe e- necen a una sola ó bi a . .6 .4 0 .8 .6 .4 .2 0 - .2 - .4 Fig . 14 §6 .E oluciones inales .- Se llama e olución inal p oblemade Si niko , al compo amien o del cue po simal cuando el iempo iene a luciones inales se emon a a de una ó bi a del de masa in ini e +- ó a -- . El es udio de las e o- Chazy 141 quien en 1922 dió una cla- si icación de las posibles e oluciones inales pa a el p oblema  de es cue pos . En el mo imien o de Si niko sólo son posibles cua o ipos de e olución inal : pa abólica (P), hipe bólica (H), es able según - Lag ange (L, co esponde a ó bi a aco ada) y oscila o ia (OS, co es ponde a una ó bi a no aco ada en la cual el cue pode masa in ini e- simal no llega a escapa se al in ini o) . Deno a emos po H l L + a una ó bi a en que la e olución i- nal es hipe bólica cuando - -co y lag angiana cuando ~ +co .Es cla o que - el mo imien o de Si niko cuando e = 0 sólo ienee olu ciones inales del ipo L-(1L + , P - n P + y H-(1H + . Median e su ejem- plo, in oducido en 1959, Si niko ue el p ime o en p oba la exis- encia de e oluciones inales del ipo oscila o io en el p oblemade es cue pos . No obs an e, la exis encia de ó bi as pa a los 16 casos posiblesde e olución inal en el p oblemade Si niko no ue demos- ada has a 1968 po Aleksee [11 . En 1970-73 Mose dió una nue a de mos ación usando écnicas más sencillas . Mc Gehee [71, haciendo el cambio de a iables 2 q - U ¿ , p  =  -  , 0 < u <om, que lle a el in ini o al o igen, demues a que en el in ini o hay una ó bi a pa abólica que se compo acomo pun o hipe bólico (degene ado) y cuya a iedad in a ian e es able ( esp . ines able) es á o mada po las ó bi as pa abólicas pa a - +oo( esp .-co) y es homeomo a a un cilind o . Mose , en el eo ema 1, p ueba que la p ime a in e sección de la a iedad in a ian e es able (ines able) con la supe icie de sección £ es  áD l ( áD -1 ) ( ig, 15) . Como que aD 1 y óD -1 se co an no angencialmen e si e es su icien emen e pequeña, los pun os de co e  son pun os homoclínicos ans e sales . Como se sabe en el en o no de un pun o homoclínico ans e sal se encuen a el shi de Be noulli como subsis ema . Es e hecho pe mi ió, p ime o a Aleksee y después a Mose , p oba el siguien e eo ema . Teo ema4 .- A cada ó bi a del p oblema de Si niko le asociamos una sucesiónde en e os ( . . ., a -2 , a-1, ao , a l, a 2 , ., . .) de mane a que a n mide el núme ode uel asen e as que han dado m 1 y m 2 en e el paso núme on y el pasosiguien e de m 3 po el plano q =0 . E en ualmen e la sucesión (a n ) puede se ini a po la izquie da con a h =+ oo y h <O, o ini a po la de echa con  al= +eo y 1 > 1 : Dada una excend icidad e > 0 su icien emen e pequeña,exis e un en e o a = a(e) al que, cualquie sucesión de en e os  (a n ), con an > a , co esponde a una ó bi a del e ce cue po . Fig . 15 . Aspec o cuali a i o en el espacio E y en las coo dena- das de Mc Gehee de la p ime a in e sección de las a iedades in a- ian es de la ó bi a hipe bólica en el in ini o con la supe icie de sección E, pa a alo es de e su icien emen e pequeños . Di emos que un pun o  x e l da luga a una ó bi a pa abólica po Tn (Te n ) y lo pond emos x e P n(xs P -n ), si la ó bi a que de e mi na, después de a a esa n-1 eces el plano q=0 se a al in ini o pa abólicamen e cuando el iempo -- +  Análogamen e se de inen las ó bi ashipe bólicas po T n (Ten ) y se designan po H n (H-n ) . Es cla o que un pun o de -Y co esponde a una ó bi a pa abólica po Te (Te n ) si pe enece a la n-ésima in e sección de la a iedad es able (ines able) del .in ini o con la supe icie _ , y que P 1 = DD 1 , P -1 = aD-1 . Que emos de e mina sob e F los pun os que co esponden a ó bi as con e olución inal del ipo (C U os) I1 (L + U os +) . Si Dn es el dominio de de inición de Té, con .nE Z y n#0, bas a á halla + .0 _ (1 . D n .  . n=-~^ n#0 Como D- n= SD n ( eo ema 1), bas a ob ene Dn pa a n>, 1 . De (8] p .165 se ob iene que DD 1 iene dada po p 0 =2+- 3 8 .e- (-Asin O +Bcos 0 )+ 0(e 2 ), donde B + Ai =  / e ¡ zi(z 2 +1/4) - 5 /2 d  y z es solución de la ecuación z = -z(z2+1/4)-3/2 con z(0) = 0, i(0) =2 . Un cómpu o numé ico da A =0 .67639 . . ., B =2 .46685 . . .  La ig . . 16 mues a un compo amien o ealis ade a Di . aD -1 usando esos alo es . Sea oc una cu a in a ian e po Te y yun segmen o que iene un ex emo,  x,  sob e oc y el  o o, y,  sob e a D 1 ( ig .  16) .  Usando el eo ema 1, pa a ob ene el dominio de de inición, 02 , de T 2 sob e ~-, hemos de sup imi de.y in ini os in e alosce ados I i ales que Te I i ¢ D 1 ( ig . 17) . Es cla o que los in e alos I i se acumulan en el en o no de y . Po con inuidad, el dominio D2 es D 1 menos una cin- a que espi aladando in ini as uel as al ededo de la cu a oc al como se mues a en la ig . 18 . Dicha cin a espi al es la an iimagen po T e de D-1-D 1 . Los pun os on e a de es a cin a co esponden a ó bi as pa abólicas po Té y los pun os in e io es a ó bi as hipe - bólicas po Té . Fig . 16 x  1~  12 1 3 . . .  I n ...  y Fig . 17 Fig . 18 De nue o, pa a ene el dominio de de inición D3 de T 3 so- co b e Y . hemos de sup imi de Y no sólo  1) l i , sino además i=1 +00  +W U  ~ (  U  J i)  U  (  U  K i  k) ~ i =1  j=1  '~  k=1  ' donde cada  J i,j , K¡~k es un in e alo ce ado . Los in e alos Jilj, Ki,k al a ia j y k se acumulan hacia el in e alo l i , los p ime- os c eciendo y los segundosdec eciendo ( pa a más de alles éanse las igu as 19 y 20) . Po con inuidad, el dominio D3 es D 2 menos 2 amiliasde N cin as que espi alan dando in ini as uel as al ededo de la cu a a . Es o es, la cin a espi al que hemos sup imido a D 1 pa a ob ene D 2 ocasiona que aho a engamos que qui a dos amiliasde (N  cin as espi ales a  D 2 pa a ob ene  D 3 . Es o se epe i á pa a ob e ne D4 a pa i de D 3 , 0, a pa i de D4 , e c . Po lo an o, se -- iene  D n ,  D - n = SDn y en de ini i a Fig . 20 Fig . 19 e~~>C  >--C >-- J1,1  J~-  II  -K~ KIK . J iJ . J . . 1 2  --- K 2,2K2,1 11 , 11 O D n n= .co n/O y [s cla o que  D 0  es un conjun ocun o ianode dimensión n>0 n ( opo0gim) igual a 2 . De lo an e io se sigue sin di icul ad el siguien e eo ema . Teo ema _ 5 .-  Pa a alo es de la excen icidad  o  oa ƒ ioion omon o pe- queños so iene la siguien e abla : -n Es de espe a (po esul ados numé icos que se ienen del es u- dio de cie as ans o maciones pun uales del plano [31), que en el paso de la egión con cu as in a ian es po T a la egión con espi I - ales (es o es, en i la on e a . .  2n u ambas e y nin n m ce) illenLlell un papel . . .. .y J - 7 impo an e los pun os he e oclinicos (in e sección de a iedades in a ian eses able e ines able de pun os pe iódicos de amilias dis in- as) . Véase [61  pa a un es udio más de allado . Re e encias m [11  Aleksee , V .M . : Quasi andom dynamical sys ems I, II, III, Ma h . USSR Sbo nik _5, 73 - 128 (1968) ; _6, 505-560 (1968) ; 7, 1-43 (1969) . [21  A nold, V .I ., A ez, A . : E godic p oblemso classical mechanics . Benjamin (1968) . [31  Ba le , J .H . : S abili y o a ea p ese ing mappings, en T ans o ma ions ponc uelles e leu s .applica ions, Collo- que in e na ional du C .N .R .S ., n°229, p . 155-175(1973) . [41  Chazy, J . : Su llallu e inale du mou emen dans le p obléme des ois co ps, Jou n.ma h . pu es e appl . _8, 353-380 (1929) . El conjun o de las ó bi as con e olución inal del ipo es homeomo o a pk 1 S 1 P + un in e alo abie o 2 p± eunión nume able de in e alos n, n 3 abie os disjun os p± n, n > 1 conjun o de medida de Lebesgue > 0 p_1 (j p 1 2 pun os n* -1 p (Í m, ó un conjun o nume able -n m~1 p (Í H ó H (Íp eunión nume able de in e alos -n m -n m abie os disjun os Fí (Í H conjun o de medida de Lebesgue > 0 . [51  Hénon, M ., Heiles, C . : The applicabili y o he hi d in eg al o mo ion : some nume ical expe imen s, As on . J . 69 73-79 (1964) . 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