Espais de funcions analítiques en el disc

Pub . Mat . UAB n2 11, marg 1979 en ESPAIS DE FUNCION S ANALITIQUES EN EL DISC (t) Julia üufi L'estudí d'espais i álgebres de Banach de funcions analítiques condicions de creixerrnent ha desvetllat molt d'interbs vint anys parallelament al desenvolupament de la teoel dise a-nb en els darrers ría de les álgebres uniformes o álgebres de Banach amb representació de Gelfand isométrica i el seu estudi ha estat motivat, en part, per la teoria espectral de Gelfand . Pera tot i aixb, no es pot dir que el tema de les álgebres analítiques en el dise sigui ben bé un tema nou, sinó més aviat el resultat de nous plantejaments i de la consideracid de problemes nous en un tema forja clissic . En efecte, el tema lem tractar gira al voltnnt de la teoria dels espais de Hardy, ,ue té els seus orí;ens en les descobertes fetes fa uns cinquanta anys per nate°iátics tals con Hardy, Littlewood, Privalov, F . i M . Riesz, Smirnov i G . Szeg5 i que s'ha de considerar com un capítol de la teofuncions analitiques d'una variable complexe fonanental amb rnoltes connerions intimes amb l'análisi de que voteoria i, fins i tot, ria de les un capítol Fourier . Els treballs dels matemátics suara esmentats tractaven de propietats de funcion^, individuals deis espaís HP (espais de Hardy) i eran d'e .perit c13i~sic . En temps més recents el desenvolupament de 1'arálisi funcional esti-~ulb nitre vegada 1'interbs pels espais Hp com (!)  Conferhncia donada a l 'S .T .S .M . de Barcelona el 15 de desemi~~n_ 'le 1977 . a espais vectoria .ls i aquest punt de vista ha fet nlixer unn oran quantitat de problemes nous i ha donat nous métodes per a resoldre els vells problemes portant un gran avenr, de la,teoria . Volem dir ara, breument, quins han estat els no-lents més i-tportants en aquest tránsit de la teoria clássica al monent actual i de manera especial pel que fa a alguns dels problemes que ens proposem explicar . . En els seus inicis la teoriadels H p depenía forta-lent de algunes eines de la teoria de funcions analítiques (productes de Blaschke, representaci6 conforme, . . .) encara que era coneguda la relaci6 de les funcions de Hp amb funcions definides sobre la circu-nferéncia unitat, grácies al treball de Fatou - a 1'any 1906 en una de les prineres i més importante aplicacions de la teoria de Lebesgue a la teoria de funcions analitiques . Aquestarelaci6 és la que lliga els Hp a problemes de séries de Fourier (teoremes de Hardy i Littlewood),lligam que es coneix amb el nom de métodes complexos a la teoria de séries de Fourier . Cal citar per la seva especial importáncia els treballsdels gernans Riesz del 1916 al 1927 que contenen els teoremesde factoritzaci6 i els resultats de M . Riesz,sobreAes funcionsconjugades . Amb el naixement de 1'anhlisi funcional sembla que els analistes oblidin tots aqúlls treballs, plens de integrals i d'acotacions, i a primera vista molt distantsdels nous métodes, n6s algebraics . Peró  . a 1'any 1949, Arne Beurling publica un article que 4s pot considerar históric : 'Ion two problemsconcerning linear transfornations in Hilbert spacé" (Acta Math . 81) en el qual determina els subespais ' tancats de 1'espai de Hilbert invariants pel "shift operator" i aixó ho aconsegueix precisament agafant com a model d'espai de Hilbert 1'esnai H 2 . En aquest treball es trova, per primera vegada, el non de part externa i part interna per als factors de la desco-iposici6 de ;iesz . , quPsta descoberta desvetlla 1'interbs dels analistes per aquesta part de l,Ctíttálisi després de qulsi vint anys d'oblit . funcions anr_lítiques acotarles en el disc . A 1'any 1957 un grup basD'aleshores enr3 ele espais HP eón estudiats con a espais de Bá-' n ;c? : i ;e  .lnera especial creí° el interés per 1'álgebra H' de les tant nombrós de -1 .^tenb .tics es reuneixen a la "Conference of Analytie Functions" al Institute for Advanc^d Studies de ' Princeton i publiquen, a-ab el pseudbnin de I .J . Schark, tot el que en aquellmoment se sa0íaarran de H °° .  9 Juant a problenes no resolts cal citar el fam6s de la corona que ja havía estat plantejat per Kakutani a 1'any 1941 de la forma segdent : si f l ,.... fn s6n funcions de H" o i  kf 1 (4 + . . .  i1f n (z)`>' bi 0 per tot  es poden trobar gl ,.. .,g n de H ° 'tals que 2 :f 9, = 1 ? Ara el problema s'enuncia dient si el disc unitat és dens a 1'espectre de H ° 'i la respostarfirnativa no va elser trovada fine a 1'any 1962 ner L . Carleson . A 1'any 1960 E . Stein i G . Weiss iniciáren, encara que amb moltes arrels en treballs anteriors, la teoria dels espais H p en váries variables reals i, en alguna rmesura, van alliberar la teoriade la se va dependéncia de les tbcniques de variable complexebasant-la, nés aviat, en les nocions de funció harA ica conjugada, majorantharmónica, . . . Aquestateoria, que fa per la transformaci6 de Fourier el mateixpaper que ele Hp en el disc fan per les series de Fourier,está també relacionada amb les integrnis singulars de Calderáai Zygmund, generalització de la transformació de Hilbert . Dei- " ant de banda altrescamine que ha seguit la teoríadels H p con ara 1'estudi de H * 'a altres dominis plans 1 1'extensi6dels Hp a . vNriesvariables conplexes volemcitar una darrera gtiesti6 que . ha in fluit molt en ele problemes que consideraren : 1'estudi dels operadors de Toeplit-,,  eneralitzaci6 introdüida a 1'any 1964 per Brown i Halmos r1e les natrius finites que s6n constante a les diagonals, estudiades per Tocplitz cap el 1911 . Si he L", 1'operador de Toeplitz Th a H2 , es 'efinni -" co .i T }1 (f) = P(hf) si f Es de 1 1 2 -  , siguent P la projecci6 de L2 sobre H2 . h és el sfnbol de 1'operndor i noltes  üestions (inrcrtibilitat, espectre de T h ,- ésser Th de Fredhoi-i, . . .) depenen de que h pertanyi a una certa subálgebra de L oo i de 1'estructura de les funcions d'aquesta subálgebra . En aquest context s6n inportants ets trebnlls de Hidom, Douglas i Sarason . Donem ara les nocior .s indispensables per a entendre el que segueix . Sigui T la circumferbncia unítat del pla conplex i drn la nesura de Lebesgue normalitzada sobre T . HP és el subespai de LP (T,dn) de les funcions f ta1s que £(n) = 0 si n , -0, on f és la transformada de Foürier de-f . La integral de Poisson de f és, aleshores, una £unció holomorfa al disc unitat tal que la norma de la convergbncia en mitja d'ordre p de la restricci6 a cada circumferbncia de radi r < 1 es manté . acotada quan r ---D 1 . Si p = co és una funci6 holonorfn i rcotada al dise . Tota fmnció amb una condici6 de creixement d'aquest tipus proyé d'una funci6 de Hp déV=límit radial . Una funci6 interna és una funci6 de H o' que sigui ' de _ médul 1 q .p . a T ; un producte de Blaschke és una funci6 interna de la forma Wermer el 1953 i que diu a T que és la que vd donada quasi pertot pel B(z) _  un z-an .~ lana l-ánz on 00 la n\L 1  i '5_ (1-lnntlcoó Un teorema, degut a Frostman, assegura que tota funci6 interna és límit uniforme sobre el disc de productes de Blaschke . L'álgebra del disc, A, és 1'blgebra H` ° r1C, on C s6n les funcions contínues a T . En un cert sentit totes les güestions que anea a considerar es poden veure com una generalitzaci6 d'un fam6s teorema demostrat per - L'álgebra del disc A és una subálgebra tancada naximal de C . Tant d'interbs com el mateix teorema (un teorema d'aproxinació, de fet), en té la demostraci6 volt senzilla que en vnn donar . I!off -" icn i SinZer (1960) i : :ue aplicada ._ ll °° d6na el segUent resultat : - Tota álgebra tancac' .a B . H4Bir . L ° ', conté 1'31pebra C . Entre les álrebrestancades B, internediáries co - n les del resultat anterior, n'hi lia una de nés petita, la que engendren H °° i C . Aquestzálgebra va ser determinada per Sarason (1967) i és precisament ll" I C . Cal observar fue H" 1 C és ta-ibé 1'áigebra engendrada per H °° i els productos dé Blaschkefinits que s6n, justament, els p . de B . (!) 'nvertibles a H °° 1 C . Dos anys més tard (1969), Douglas i Rudin van demostrar  també L °° era 1'álgebra tancada engendrada per H` ° i els p . de B . invertibles a L°-(que s6n tots els p . de B .) ; de fet el seu teorema diu - La nés petita álgebratancada i autoadjunta que conté totes les funcions internes, és L °° . Cal notar, per5, que van deixar sense resposta la q{lesti6, ja plantejada abbns, de si H O era l'áigebra tancada engendrada per les funcionsinternes . Sinultániament, Douglas observa_ que el estudi dels operadors de Tocolitz a H2 portava a l'investigaci6 de certes subálgebres de L °° que contenen H °° i definfa les seves álgebresen termes d'un sistema de generadors,plantejant el següent problema - Si B és una álgebratancada  : H c B c L ° ' i B I és la subalgebra de B engendrada per H °° i les inversos de les funcions internes invertibles a B, és BI =B ? La resposta, afirmativa, a la güesti6 de Douglas no ha estat trobadn fi^ .^ . el 1975 encara que durant aquest temps es va provarque 1conjectura era certes per algunes ZN? .^obres particulars . Així, DavieGamelin-Garnett (1973) van demostrar que B = 11 1 gUan B = H °° 1 LÉ, 1 gebra en endrada per H ° 'i les funcions de L' continues a un conjunt E < T, i Sarason (1972) ho havia fet per 1'álgebra engendrada per H'- (1)D'nraendavant abreujaren productode Blaschke per p . de B . 45 i les funcions contínues a T - {l~ i que en el punt 1 tenen línits laterals . El cas B = L w és el de Douglas-Rudin . Anen a remarcar els aspectes :nés interessants del caní que va portar a la soluci6 del problema de Douglas : passant de les ál ;ebres al seus espectres s'arriva a una condici6 necessária per a que el pro blema de Douglas tingui respostaafirmativa . Sigui X 1'espectre de L °o i Y 1'espectre de H °° ; és sabut que Y és la reuni6 del dise unitat i una fibra sobre cada punt de T ; que X és un subespaide Y (la frontera de Shilov de H") i que tot punt de Y es pot representar per una única mesura positiva sobre X . D'ai_ó resulta que si B és una álgebra (senpre tincada), IÍ# B£ L °° , 1'espectre de B, 11(B), es pot mirar con un subespaide Y que conté a X . Una funci6 interna h és invertible a B si i nomás si 151= 1 a tot punt de M (B) . Recíprocament, si B está engendrada per H` ° i les conjugades de certes funcionsinternen llavors M(B) está format pels punts de Y en els que la transformada de Gelfand de cada funci6 generatriu té n6du1 1 . Resulta, per tant, que si el problema de Douglas té respostaafirmativa ' sempre que tinguen álgebres tancades B,B'amb H ~ B,B'cL' i M(B) = 11(B') ha de ser B = B', és a dir, 1'espectre determina les álgebres internedIáries . El primer pis per esbrin^r aquestadarrera :aüesti6 r_1 va donar Sarason (1974) el qual va provar el segUent . resultat - Si B és álgebra tincada amb H'J B£ L °° i M(B) = 1I(H °° 8 C), llavors B=H ° 'b C . Tant com el resultat té interés la técnica que utilitz .h Sarason en establir-lo i que donó el caml per la soluci6 conplet^ del problema de Douglas . Ell va observar lo que segueix Una funci6 uninodular le Il ° '3 C és invertible n 11 9° 4 C si i nomás si la seva conjugada també pertany a lí - 8 C . ;non=nt ; ;C (quasicontinues)  les funcions de l1~ b C amb conju,,, da a 11` ° d C e s veu tot seguit que QC és Cb C (a on f vol dir la tr .nnsfornacla de llil .bert de f) i el punt essenciil br . ~~ue .les funcions de  'C es' poden caracteritzar ner condicions de regularitat . ¿ .i : :5 ho aconsegueix fent servir els reSultets i les técni ;!ues introdüides per Feffernan i Stein el 1972 on, basic  nent identifican el dual de 11 1 artb 1'espai BIHO de les funcions d oo .^ .cil .l,ci6 riitjnna acotadz , és a dir funcions fE L 1 tals que ü l (f) _ . sup  1 j 1f - flldm too  a on fI =1I1~I f dm IIh2n III I Entre d'altres, Fefferman i Stein donen la següent caracteritzaci6 de  B'10  :  BI-10 = L ° '  1 L` ° Sarason introducir . aleshores 1'espai VMO (osciblaci6 mitjana nul-la) posant "feVi10 si  11 (f) =  lira  sup  1 /  ¡f - fIl dm = 0 o  a  50 II16a III I i establerx amb relativa facilitat la igualtat VMO = C 8 C de on L¿C = 1 nVMO . La condici6 de regularitat per que f E QC és que Ifl sigui continua al disc tancat i d'aquí obté el seu resultat . Posteriorment, rl rnateix resultat (M(B) = M(H ° 'IC) implica B = H w IC) va ser establert per altres álgebres especials per Weight, Axler i Chang . Els esforcos van culminar en el teorema de S .Y . Chang (1975) - Si B i B 1 s6n higebres tancades armb H c B,B l c L ° , siguent B una álgebra de Douglas (és a dir B = BI ) i 11(B) = M(B 1 ), llavors B = B1 . Amb la demostraci6 d'aquest teorema la soluci6 del problema de Douglas semblava volt propera i, efectivament, poc temps després D . Mar-hall va donar el par ; final : - Si B és una álgebra tancada, H c B c Lo , llavors M(B) = M(B1) La demostraci6 del teorema de Chang és una aplicaci6 interessant de les técniques de Fefferman i Stein en establir la seva caracteritzaci6 del espai BMO . Hom pot considerar només el cas de que B l estigui engendrada per 11 w i la conjurada de una sola funci6 b invertible a B 1 . Cal veure nue si ws B llavors dist(cr,b n 11~) = dist(crb n ,H`~) --~ 0 . Aquesta distáncia, per un principi de dualitat, és igual al ínfi-1 de rt les integrals aft cob n g dm ( g variant a H1 0 ) i aquestes integrals s'estimen tenint n conpte que si f6 B1f0 la mesura (l-r)jVf(re le AI > rv'rd9 és una mesura . ~de Carleson . quant al teorema de Marshall també es pot considerar el cas especial B = H 00 (w7, on w £ L O . , w és unimodular i invertible a B . Si B1 és una álgebra tancada H r-B 1 c B tal que M(B . 1) conté estrictament a 1^ .(B) llavors Marshall construeix un p . de B . interpolant (és a dir que la successi6 de zeros del p . de B . és una successi6 d'interpolaci6 per a H ° ') que és invertible a B peró no ho és a B 1 . Així de fet, Marshall pot demostrar un resultat más fort que la güesti6 inicial de Douglas : - Tota álgebra tancada B : H ° c B c L °* está engendrada  per 11 ° ` i els conjugats de productes de Blaschke interpolants . Poc temes avans, Ziskind havía demostrat un cas particular : L °' está engendrada per H " i els conjugats dels productes de Blaschke interpolants . La demostracid de Marshall és úna modificaci6 de la de Ziskind i ambdues es basen en una construcci6 complinada que va introdGlr Carleson a la seva demostraci6 del teorena de la corona . Anem a exposar ara altres problemas, relacionats anb el de Douglas, alguns dels quals encara no han estat resolts : Si B és una álgebra tancada, H jBr, L o* , sigui CB la C=hl ;,ebra tancada engendrada pels p . de B . invertibles aB . Se,-ons el teorenna' de Chang-Marshall B = 111 G . ,C B] i en algún c,is particular se sabía que de . ° . ¬et B = H 9* b CB (n . ex . B = H+co B =H °' d LÉ *) . Es veritat, en neneral, que B = H 0 4 CB ? La resposta afirnativa la v .^ donar Chan7, el 1976 (T .A .M .S . 1977) i una mica més tard Chan, í Marshall en van clon^r una demostraci6 més sencilla biselo en un teore-ia cl~sric de ',T .evnnlinnn . Per veure que B =H ° ' ó LÉ és una hl-ebra de Doug1 .- .^, Dzvie, Grmelin i Garnett havien estzblert 1^ . .^^_,,^(lent ~Iencrnlitz , ~ci6 r]ni teorc- - :a de  totc funci6 un¡-modular de L' es pot aproximar unifor , :c ,- :ent pcr ouocients de 9 . de B . invertibles aB = H O, i LÉ . J8  I . . que sc ons Chann (B = 1 : ° 'i CB ) C B fa per una B qualsevol el paper de "" Lw , 6s veritat ^ :ue tota funci6 unimodular de CB es pot aproximar per quocients de o . de B . invertibles a B? Marshall va provar recentment que si uE C B , uZ es pot aproximar per quocients d'aquest tipus, peró una resposta completa al problema no es coneix . Finalment, citen una altre güesti6 interessant amb relaci6 al teorer :a de Chang-Harshall D'aquest teorema es dedueix fhcilment que si f6 Lf if restringida al suport de les mesures que representen els carácters de B, pertany a i'3lgebra restricci6 de B a aquest suport,  llavors f 6 B . Aquest resultat es pot comparar amb la conclusi6 que d6na el teorema de Bishop sobre els conjunts d'antisimetria . Com que els suports de les mesures representatives s6n conjunts d'antissimetría la conclusid de  , Chang-Lfarshall és més forta que la del teorema de Bishop . Es natural pensar si hi ha alguna relaci6 entre les dues conclusions en el sentit de nue cada conjunt d'anti simetría estigui construit a base de suports . Encara que sembla que un resultat d'aquest tipus no ha de ser veritat per una álgebra uniforme general, podría ser-ho en el cas present . Reprenem ar^ una güestí6 que haviem plantejat al parlar del teorema de Douglnn-Pudin : 6s el fet de si els p . de B . (o les funcions internes) en-endren 1'álr~ebra H' : El 1976 Tfarshall, utilitzant una idea de Bernard sobre 1'envoltur^ convexa de les funcions unimodulars en una álgebra uniforme i el teorema de vevzinlinna a que ens hem referit abans (el qual es mereix . ser -,6n ben cone~3ut), va donar la resposta afirmativa a aquest problemc . . - i °° é-, la -n6s petita á1 ;ebra tancada que conté les funcions internes . Per un cltre costat, tdermer havía posat la gffesti6 de quines eran