Un problema en relació amb la suma d'espais tancats

Pub . Mat . UAB ná 10, Desembre 1978 UN PROBLEMA EN RELACIO A11B LA SUMA D'ESPAIS TANCATS l .- Introducci6 i notacions . Juliá Cuff Consideren la circunferéncia unitat T i un subconjunt arbitrn .ri E G T .  LÉ será  l'áIgebra de Banach de les  funcions de L °° _ L 0 (T,dn) (dm = mesura de Lebesnue sobre T) ques6n essencial-ient continues a cadapunt de E . H w és la subálgebra de L °° de les funcions que tenen nuls tots els coeficients de Fourier ne ;atius . Diren C a 1'álgebra IZr de les funcions continues a T . Sarason [3]  va provar nue la suma H °° l C és tancada a L °° i Davie-G¿ .^ielin-Garnett t l . ]  v ,-,n estendre -  ! crt  result, t -rnvant  :,ue f ° ' } l , r, també  ., `n^,c,^ .t , . L °° , per  E .GT . Stegenr :^ [51 v^ . -eneralitznr r'  `eoren, , i de Saras-  ,  sustituint H W nrr un subespai 1 , 1 d , ~ L °° , dílhil-nent tancat iin ,, rrinnt enfront de 11 -~ultiplicaci6 ner la funcl .6 idAntic :a a T . . fis snbut 153 que a^uests esa : , is s6n de dues fornes nossi .bles : a) 11 = L °° (K), espai de les funcions de L °° nul .les nuasi per totfor . ; de K, on 1, 6s un subconjunt rable de T . b) 1,1 = t4 .H %0 on If és una funci6 un¡-nodular de L °° . cs nntur,al, donó, ; ;eneralit~nntr .^acata resultnts, intentar de trobarsota quines condiciona será tnnc .ida Di su-in 1! 4 L ° , .,' , on 1 , 1 6s un espai dels tinus anteriors .  é .^ . el r :ue fen ., ,~ , :uf ' ;u .nn 11 6s del tipo : : ^) . .' . :l tipu= b) am :iú la restricci6 ~.,,lmnh°°= o . r . c :uedá pendent, pero, el cns " ,6r . interessant de - , ue  qL 0 . . Trabé . . . i, .este novr . ftu°cií ^lt :-es , .-n',ultatr . c~~e~, .itr ; 2 - La suna L ° '(1 .) ó Teorema .- Si uin E, K subconjunts de T, anb K mesurable . Aleshores la suma Ir(K) b ir és tancada a L . Per demostrar que la suma de dos espais tancats 6s tancat fiaren servir el següent resultat ben conegut [5] Lema .- Siguin X,Y subespais tancats de léspai de Banach Z . Aleshores . . d Y és tancat si i nonés si existeix un k < cotal que : d(y,X1Y) b k.a(y,')  _ per . . . . . . ., y de Y . (d és la distancia associada a la noma de l'cspai Z) . Denostrem el Teorema suposant, de ^io :~ent, que el conjunt E és iin interval obert, E = (a,'a) C T . Anexa a veure que si g E LE ,  ten¡-n (1)  d(g,Le,(K)^LÉ) G d(g .L'W(K)) . Observem cue d(~,I"°(K)) = I1 'XKcg11a,i sigui 11 un subconjunt co-in .3cte de Y o ¡~ E, . on K o és 1'interior essencial de 1 ; (és a dir, la reunió de tots els conjunts oberts de T que tallen a K c = T - K en un - conjunt de rrneniirn ; ;oro) . Si7ui ara 1 un .n funci6 continua a T, que valgui 1 sobre H i amb sup(T) C K O (\E i definin : n(x) . l\ ( : :)  si  x 1E £ y (x) si x~E de manera <!ue °l6 L ® (I :)f\ LÉ . A nés a més : d(°'L~(h)raLÉ ) G II g - g111«,  max ( llgll E-H' 11g11T-( .E K)) na :c ( 11911 E_(Ko E) %  113II T-(E K )) . Considerern ara les dues possibilitats 1)  si d(g,  L1) = 111 ;11 T_(E j , ,) és  clar que (1)  v . 1 . 106 1,  F I1  h I " pr / F / 'VI I  Ip n , 1 'N 1 2) Si d(g,C°(K)(\L2) = »g\1E-(K0 E) = ikg1kE-K o -  aleshoreshi ha encara dues possibilitats amb  okE E i, per tant,  d~ K o i a un entorn IJ(al) anJ~ ,i(U r~K c ) > 0 El que dóna  II< K cg11 >, 1 2') Hi hn o( K° ,znb ( n) conver} ;ent g(o(n)1-----~ , de nena que per a tot E > 0 és ' g( al n),) ) - (per algún n) i, per tant, 1 g(x)I>  -  si xE U( o( n )  i U(o( n ) ¢ Ko jbl que dóna n(K c r\ U) > 0 i II x K. .- Airó prova (1) en tots els cascos, nuan H = (n,b) . Sigui ara E arbitrar¡ i gE LÉ ; tenim que per a tot 6> 0 hi ha una funci6 g E 6 LÉ (EE obert que conté a E) amb  g,~\tb Per tant d(i>E'C,(K)nL~) . < d(g f ,L"(K)nLg F )  d(,L5L~(K)) i nra fent f ----~ 0 resulta (1) .// 3 .- La suma kQHpi L : en el cas 14Ha°nL  0 . ConsidPren arn el ccns en ,' .lué l'espai invari^nt ás del ti-us kq H° ° amb ~E L °° , un¡-nodular, i fea, en tot aquest apartat,la hipbtesi de que IRH'r\LÉ = 0 . En aquestes condiciona jH °° 1 LÉ és tancat si i nomás si existeix k upo amb 11 g1\ r 1 k .d(g, Iq H m )  per a tota gELÉ . llefinicíó : Si f i  s6n funciona de , L °0 direm d,,(f,g) = z - i r m esa If(z) - g(z)I ;  fd(f,g) = fin esa jf(z) - g(z)j z=P z=1 Equivalentment, si estene :n f i a hamónicanent al disc unitat d d (f,g) = z1 ; l f ( z) - S(Z)1  PA(f'-) = z  ~f(z) - g(Z)1 z = 1  ~=1 Tr : :`3F pose+ :i dd (f,H') = inf d .,(f,g) ^éH m Proposició 1 .- Si t~T,md  és tancat,  on T és uni " iodul .nr, Ec-T nualsevol i  H °° f1L? r o = 0, aleshores existeix un  0 tal cue dd( ` ,H') ), F . per a tot dE T i  Jd ( 1 ,H ) > L  per a tot  W ~t E . En efecte : coro que  ~ " o ' b LÉ és tancat c> compleix 1,  en particular,  ~H b ° d C  és  tancat  i,  se ons [ 5~ ,  ti a (  ,TI C ) por a tot a6 T, per r .1 ún  E > 0 . Sigui ara E = , . - 1 i vegem que  eA (~ I{  Si fosld (~ ,11 0 ) < E  per un ol  1  ,  ?ir nue lii hr, unr fu :ició hE l{ °° tal "tic per n tot entornU(d) cxistei : " i :CU(<) r :(?I) > o  i  1 ~ ( z)  -  h( z) ` < E  si  z E'! . .' .gafen una fundó r,E H °° r\L : r tal que 15g\\ .= 1 i 1r ;\< or^ de T' ; pcr r ; ;r . , iple a~nfe,~ . : 0 si BElf u(e) _ l og  .° . i  2  ~  1 .1 de manera que 1g1 = 1 q .p .t . . . . if Ara teni7l contra«icció .// - 108 pA (f,li , ) = inf~ ~d(f,C) ¬E "{ i  g( z)  = e ., :P  (  2ñl 2: -u(e) . d9) ~ ( 1 < 1) r ; .p .t . n ti c . 1  Til o)  <_  E  a(, ,  ^ i1)  =  E . % d(q ^,trh)  ¿~  1, Intente - : ir .^^ de de-,ostrar 1 .n suficibncin de le condicions que he-! trobat ; ~i : ;o es oot fer si posen oil_-una rcrtriecib a _. . Proposició 2 .- Si-_ui 1 : un interval o ;,iert <le T, ¡E L w un¡ - ,odullr i suposen que hi ha un n6mero E> 0 tal que pcr a tot dcT i  pcr a tot e(~ ~ : Si, a més,  11 ** ^LF=p aleshores  ~ H °° i L° ° és tancat . Per provar la Proposici6 nom6s ens cal veure que per a tota d(r,~ H QP ) . Si  6s un punt : .e  ten¡- .,i : i ni : :ú d6na, si r(~) íb 0 :  1¿ " U)jE!j ¡lg -'ItiJ10P A .rn cal nrov,- .r 1'acotaci6 - ;UM h l'om ner c~ tota h e l1 co . E Ig(1)I  `  d(g, jH 5* )  q .p .t .  'de T - E . Pcr ai : :6, nrove-i el . :egilent Lona .- Si 3 6 L°'(T-s :),.p7 not triar una representa ci6 ,^(~)  d'aquesta clase de funcions amb la propietat de que q .p .t . I . de T-E tinguem : per  a  tot  E )  0  m 1 z E T -E  :  g( z)  -  n(1)' ¿ E J  >  O . En efecto : posen T-E con a reuni6 T-E = l,j K nU N de compactes I " n (arn .b m(l " n )  0) i -i(PI) = 0, slsent . cmnt{rua 1^ restriccfn Ir . a I : , .1 . Si per u^ gil-t " i . E K n , tot entorn de  ' . tall?  1(n en  v , n  con junt de mesura positiva, 6s clar que la nropietat es cu - npleix a Anea a recluir cada 1_ a un co-iáracte n6s pet n  it en el que -. i .- .- :b nass .,, trcient nonés un cónjunt de -iesura zero . Fixen-nos en K n : consideren els intervals racionals de la rec ta  i  . .  gui A n el  conjunt  (le  punts 1  de 't ; n per els " t s  11i, t eun  in- - terval racional I nue conté a : : i tal que -i(I  nK ) = 0 .  U .,  -  " . n  ° n la reunió d'anue sts  intervals I Y per :c de ~~ n '¿s`sent  "" ^ .i : :f, U n un obert, réuni6 d'intervals que tallen  K n en un conjunt de :tiesura nul .l~ .  .` : " ' . :r : : trcien de 1,  la  sevn  intersecci6 a°nb U n ,  hez tret un conjunt de nesura zero i per cada punt ~, z G n -U p tpt entorn seu talla  Pn en un conjunt de Tiesura positiva . nursi tot  ~IÉ E (si <q(M Y0) : Iú(011 ~ (z) - n(z)N l! ' g(M - E(z)1  g - ~ U)  h1~~  ; per a tot  a > 0 és  1 g(ñ) - g(z)1 L~  a un conjunt de :Mesura positiva i per z d'aquest conjunt ten¡- .i I~(z) - 1,(z)I>,£ q .p .t . ; per tant, concluini En el cas en que ECT sigui arbitrari, és cl .s rque poderm deav dtür ciue  II~ ° ó L°r° és tancat de la hipbtesi de c_ue (1 01 (  ,11 )  E, m per a tot  ole E i  pera tot c(¢ E . Pera no és clar que es"pugui deduir dei fet que d, k (í,H ) . >, F per a tot oleT i m JA  ( ~  H m )  >,  per a tot  o(  E . Ta-ipoc  és clar si  ~ H °p ó L o tancat implica  Pd(lP H o ) >, E  per n tot 0  E .  esu - iint : Teore-ia .- Si E c .T,  unimodular de L 00 , í  H"n Lo= 0, ,~ .leshore^ p m H °° ó , LÉ tancat d6na d .,(~ H ,') >, E,  a T i  )á (~  H ) t ¿_ fora de E .  Si d d (  H m ) Z F  a  E  ¡  Pd (  H d )  >,  £,  fora  de E,  teni-i que  ~ 11 0 ó LGO és tancat . Exemple .-  Es clar que, sota la hipbtesi T H mn LÉ = 0, si  H °° ó  L' és tancat, tnmbé ha de ser-ho ~H ° ' ó C . Donem ara un e :cemple en el -que T l,°° ó C és tancat pera, en ca :nv¡,  11 °0 ó LE no ho és, tot i que T11ÑLZ= 0 : Sigui  un producte de Blaschlce,els zeros del qual s'acuContinuant amb la denos,traci6 de la Proposici6, ten¡- .1 per a I8(a)~ ~, !j_ j ó  11Z - g(%) ~ h11,,  i, per tant, 1g(~,)j  £ j(1,-, - s(a)  1 , 1100  .11 r mulen a . tots els punts de la . . circu-aferéncia . Com que d d (~ ,H . ) = 1 . . tot punt d^_ T, ja 6 , r,  1? ° ~ 4 C tancat (cf . [5]) ;  co :n a un interval tancat propi de T, n  ib lo qual ~ Il °° ^ L° ° =0 . Ara bé, a r . :u  t_ccvol  punt  o(  ._ T  é ;  Qd  (  ,Il  )  = 0ja . que ,+o~ :c+  . ~nfar una succesai6  (~ n)  ----- >  d  ,r, . " ,b  ( a n )  ------- , 7, ,  \1\  0  i >  > 0 ; ara (~ n ) conté una successió parcial fue és d'inn ~ encara (,1 n )  i ngafe--i una lanera que £-(k, )  n )= 1 . terpolació per 1109(L21 p C . 20lF) ; sigui (unció f de i : o nrib f(>' n ) = 1/T( ~ n) de rll _sl-iores Qa(`4 f ) = lin ess  I ~(z) - f(z)I = lim es .  1 - ~(z)f(z)`=0 . De fet,  en ncluest cns, ~H °° i L? * no és tancat ner " ;ualsevol . E n" ib . . t= T . - P : :nCl n^,^, Ltni^tpc'Lll :?r~ dC (z n ) de punts del dise Es sabut,(5), que amb Si k~ és una funció uniinodular de L °° , definim Z(~) com el conjunt de zeros comuns a totes Les funcions de  ~ H ñC de manera que, o bé Z(T) és un conjunt tancat i de mesura zero de T, .o bé Z(T) = T . Si ~E H °0 } C (uninodular), defini7 sup(~) coel conjunt de punts d E T pels que és po :sible de troba .r una successi6 obert tal c!ue zn ------ oC i ~ (z n ) ---- la hipótesi cíe que ~ H` ° nC 140, ~ H° ° 4 C é5 tr+ncat s? i no7és si dd(,~ ¡l o ) >, ¿ per ? t : . - )t dE .?(f) ; nixl nateix, per una funció  k~E H °° i C el fet ~ : n  ;ue sun(~) sigui de nesura zero és suficient ner assegurar que 9 és el producte d'una funció interna i una funció invertible n ll o 4 C . Sigui, ara, E un subconjunt de T el cual suposarem, per sinplificar, que és un interval tancat . s i 4E L ° ' és un¡-nodular, definim Z com el conjunt de punts de E que s6n zeros conuns a totes les funcinvs de t¢H i L E~ 0 . Ss fácil de vcure que_ si .  II °0 4 hP és tnrc-t í  H'^ L'  0, aleshores sl d (T  H  )  per a tot  oCE  Z( 1) E,  'J a : " c : per a tota ge . Lóo  és 211 Z ( T ) E  C  d(8 . TH eNLE) i, ara, es pot fer el -sateix raonai7ent que en el crs E = T (cf .t5» . Con faren notar nés endevant, 6s possible que n~uest, condici6 SiMui ta-abé suficient . En tot cas, deixant de banda el problernn de ca .racteritz .^ .r els parells  E,  peral : ;  nue  lQ 11 °° 4 L eo és  t^nrat  (~ H * é%L oo ' 96 0),  sP°,bla que la condici6 ri6s pró : :ina a  = 1 és Z(I) _ 0 i, per aixó, és natural de alant . ejar la següent T' clüesti6 : Si ~E L °* és uninodular i ,Z(T) _  (nix6 ja implica I-I nLÉ # 0 per a tot ECT), és veritnt que  il m d Lm E é .^ . tancrt per a tot EC T? D'altra banda, és evident, d'acord amb les defiricions anteriors, que pcr lQ  unimodular 1 E c-T é .^ .  CZ (T) n E ; t ., " -Ibé és natural de preguntar . .^ .i val la igualtat . Es f .~cil de veure que ,ix6 no és veritat en general ; per , a : :eiplc, s= -- és un intervel nropi i és . un producte de Blaschl :c,els zeros del nual s'acu-,ulen a u^ . punt de Ein un conjunt <?e nenura -positiv^ ., . forra de E, nl .es :?iore^ . 00 Z(~i)E és un punt i Z(J) nE = E . Ara bé, en nc ;uest cas és 1H^L o r a = 0 . Planteje :a, rln^gis, la 22 írtlesti6 :' Si Er, T i  \e E L' uni :aodular tal rlue  ~ H % 1, 0 , 0 $ 0,  6s veritat  que Z(t~) E _ 'T .(~) t1 ñ? A la resta d'aquest treball eras ocuparen d'aquesta 2 " "- uüestí6 i d'algunn altrrelacionrnda- :n ;nb ella . Pronosici6 1 .- Si  6 : ; un^ f , rnci6 unin+in " Jul-<r . de Ha 0 4 C tl rlu^, o' 1 ; A C 9~ 0,  nleshore- . sup(1) = Z(I) . En eferte : Noten, en pr<-ier 11oc, que la inclusi6 sup(%q)C .Z(T) val se- .i rc,  g, , ; E  (~) ha de ser $(al) = 0, perqué si z ----  lQ n  o(  i  (z n) ____s~ 0 és g(cl) - lim Z(z n ) i el nucli de Poisson és assint5ticanent -iultiplicatiu a ll' e 4 C ([4~) . Per provar la igualtat, observen que ~ 11^( ; 91 0 i " mlica que sup(sk)  sigui de -,esura nul .l a i, per tant, d'acord a-ib [ 5)  -5212, 11 = ' u a on y és una funci6 interna 1 u és una funci6 unimodular (le H e ' 3 C invertibble a }l 0' 4 C (és a dir, gwsi coatinua) . Saben també per [4~ que u =h .t-r a  on bF C -1  i '-',É (!1 ) -1 ;  per tant : cada gE C, e =t .F, FE H d s'escriu : ai : :6 d6na :  - .h-1 = T .ca .F g ='y u .F ='{' .h .w .F ; i . per tan,  D ~(`Y) . Ara bé, ^uan F varia a 1 ,1 00 er .F també varía a H °°, per t,nnt, F ta--ibé és g =  " w .^1 i  .h =  .h .w .F l -  Fl é .^ . a dir, Z(~) D Zq) . Tenia, j1, gire, Z(T) = Z(T) i també sup(~) =su - ,)( t) , doncs u essent invertible a 11 00 4 C, té suport buit . Com que y és interna, és ciar que sup( , V) = '(T), ja que ,i(-,up(y)) = 0 . Per tant, és Z(T) = sup(?) .// Amb el . : .ate_ . . argu  ent e .,  7 .(T) E_ d'aquí resulta que Z( J ) E = Z(~) _ (\ E, 1á, que aquesta igualtat és veritat . per una funci6 interna . Tenim a¡_-t : Proposici6 2 .- Si ~E ti co i C és uni :ao3ular i  k~ Hr\C -~ 0, aleshores és z(T) 2 = Z(I) n E . A la demostraci6 de la Proposici6 1 s" :a plantejat la relació entre la mesura del suport de 1 i el fet r'c que 9 11AC f0 . Observen que, de fet, quan ~QEH o, 4 C :