Una nota sobre dualidad de Köthe y funciones representadas por series de Dirichlet

Pub . Mat .UAB nó 10, Desembre 1978 DUALIDAD DE KZTHE Y FUNCIONES REPRESENTADAS POR SERIES DE DIRICHLET guientes UNA NOTA SOBRE J.Prada Blanco INTRODUCCION .En este trabajo,Drobamos que es Dosible identificar ciertosespacios de sucesionesasociadas a series de Dirichlet(con la topología normal) con determinados espacios de funcionesholomorfas representadas por dichas series(con la topologíacompacto-abierta) . Como en VII y [vII] consideremos .losespacios si- -a z H(A)={ f(z) : f(z)= É an e n ,ze n=0 -a z H(C)={ f(z) : f(z)=É a n e,n .,zcC,(ah)eH(-m)'1 n=0 siendo %P0 =( zeC : partereal de z>r}, -a r' H(r)={  (a n )eC N  .  E  la nle  n  <m,r'>r} n=0 -a r~ H(--)=(  (a n )eC N  .  E  la n le  n  <-,r'e  $Z  } n=0 yn cíente y tendiendo a infinito( o >' 0) . ,(a n )eH(r),re1R } una sucesión de nCmeros reales estrictamente cre- D= P = n H(,% ) (respectivamente H(C))con la topología T d .efinida por las seminormas h p (f(z))=sup {If(z)j,z=atib, a>,p>r,be R1 }(respectivamente peíR ) se identifica con H(r) (respectivamente H(-m)) con la topología definida -1 p por las seminormas hp(an)=sup(1anie n ,neN),p>r (respectivamente pefF  ), cuando lim an /n>O(finito o no)EVI - y VII] .Veremos que en ciertos casos la topología compacto-abierta en H(4o) (análogamente en H(C)) es la misma que la topología T ;por tanto,en esos . casos H(r) (respectivamente H(-w))con la topología normal se iden tifica con H(oR9) (respectivamenteH(C)) con la topologia compacto-abierta . NOTACIONES N(x)=namero de a n tal que an<x,(x>O) .D(x)=N(x)/x . D(x)=(1/x)IID(y) dy, x>O .D=1im D(x) . lim  n/a n ,n30,X o >O, lim n/a n,n>,1,ao=0 . IX2 -A 2 I/a 2 ,n>,0,X >O, mfO nm m o Ixn - am1/am,n>,1,~O=0 . m~n A= n pn1 ,n>,O,a o >0, pn 1 . ,n>,1,1 O =0 . 1 .Una desigualdad fundamental Teorema 1 Sean a 0 >O,OID<-,z o e~,9(con su parte imaginariaigual a cero),R>D con D(z o ,R) contenido en y f un elemento de H(I% ) .Entonces X z la n l,< AM(z0)Ane no ,n>,O,donde A es una constante que  sólo depende de R y M(z 0 )=sun{lf(z)l,zeD(z 0 ,R)} . Sean Xo =O,z 0 eA (cOn su parteimaginaria igual a cero) y f un elemento de H(  ) .Si D=0 v R talque O<R<1 con D(z o ,R) contenido en  entonces la o l. ~ AM(z 0 ) y la n lc AM(z 0 )e~ nzo an 1 A n ,n>,1 .Si D es tal que O<D« y R>D con D(z 0 ,nR) contenido en y  lan lz~  AM(z o)e~nzoa n -1 An ,n>,1 .En ambos  casos,A  es  una constante que sólo depende de R . Demostracibn .Vease III,pag .26(caso particular C(s 0 ,nR) =C(L,nR),s =z ) .Cuando a =0,las funciones A (z),n>,O, 0 0  o  n son las siguientes : A  (z)=  1  (1-z 2 /a 2 )  ,  A  (z)=z  9f  (1-z 2 /a 2 ),n31 y  A(z)=z  YI  (1-z 2 /am) . m=1 dos . ,entonces la l,<ARM(z ) o  0 Nota .Si tomamos feH(C),obtenemos losmismos resulta- 2 .En este apartado damos los resultados del trabajo . Teorema  2 .Sean  D=O,a o,0  y  an  tal  que  lim  X n /A n >0 - (finito o no) .Entonces,en H(la topología compacabierta es igual a la topología T . Demostración .Tenemos que ver que la topología compacto-abierta es más fina que la topología T . Sea V={ f(z)eH(pPo ) : sup If(z) I,<e,z=a+ib,a,p>r,be FR } Consideremos r<z0<p1<p y R>0 tal que D(z o ,R) contenido en zQv ;tomemos VI tal que VI={ f(z) : f(z)eH(oQP ) : suplf(z)I~C',zeD(z o ,R)) siendo a (n -z ) e'<e1A-le n 1 0 /An,n,0 yel -an(p-p1) :e/ E e n=0 si 1 0 >O .Si a 0 =0 tomamos R tal que O<R<1 vEl de la misma forma,siendo'e'<E1/A,ElA -1 e ~n(p1-zo) dn/An,n,1) . . Nota .Si h=lim(X n+1 a n )>O,tenemos lim a n/A n =-,conlo que estamos en las condiciones del teorema anterior . Teorema  3 .Sean D  talque  0-<D<-,X 0 > .0 y  X n tal que lim  an /A n >O(finito  o no) .Entonces,en H(C)  la topología compacto-abierta es igual a la topología T . Demostración .Es similar a la anterior . Nota .No podemosaplicar el mismo método en H(p~c) cuando D es tal que O<D<m .De hecho,dado D>r tal que p-r<D,no es posible encontrar r<z o <p 1 <p tal que D(z ,irR) 0 esté contenido en 4 siendo R>D . 88 BIBLIOGRAFIA I .-KOTHE,G ."Topo,logical VectorSpaces I" .Springer-Verlag . Berlin .Heidelberg .New York .1969 . II .-MANDELBROJT,S ."Sur les siries de Dirichlet dont les exposants possedent quelques propiétés arithmétiques" . Bull .Soc .Math .de France t,60 .1932 . III .-MANDELBROJT,S ."Séries de Dirichlet.Principes et mithodes" .Gauthiers-Villars .1969 . IV .-MANDELBROJT,S ."Séries adhérentes .Régularisations des suites .Applications" .Gauthiers-Villars .1952 . V .-PIETSCH,A ."Nuclear Locally Convex Spaces" .SpringerVerlag .Berlin .Heidelberg .New York .1972 . VI .-PRADA BLANCO,J."Series de Dirichlet consideradas cemo espacios de sucesiones" .CollectaneaMathematica, volumen XXVIII,63-94 .1977 . VII .-PRADA BLANCO,J ."Espacios de Kothe y series de Dirichlet" .Publicacions de la Seccid de Matemátiques .Universitat Autónoma de Barcelona,número 6,79-95 .1977 .