Sobre la formula de Gauss-Bonnet en varietats de dimensió imparella

Pub . Mat . U .A .B . ná 10, Desembre 1978 SOBRE LA FORMULA DE GAUSS-BONNET EN MPRIETATS DE Dl : : i :,^Iv !Z-1PARELLA Departament de Geometria i de Topologiá . Secció de Matemátiques . Universitat Autónoma de Barcelona . Memória presentada per Agusti Revenf6s Tarrida per aspirar al grau de Dr . en Ciéncies,-secció de Matemátiques (per la Universitat Autónoma de Barcelona) . PRESIDENT Dr . D . JosepVaquerTimoner VOCALS Aquesta tesi doctoral va ser dirigida pel cütedráticD1 . D . Joan Girbau Bad6, i es va llegir el dia 10 d'octubrede 1978 a la Facultat de Ciéncies de la Universitat Autdnomáde Barcelona, devant del següent tribunal : Dr . D . Joan GirbauBad6 Dr . D . Pedro Luis GarcíaPérez Dr . D . LuisCordero .Rego VOCALSECRET .ARI Dr . D . Antonio Diaz Miranda Qualificaci6 EXCEL .LENT "CUM LAUDE" RECONEIXEhIENTS Estic er_ del te amb el professor' J .Girbau, director d'aquesta Tesi, que em suggerí aquest problema i m'ajudá en alguns casosparticulars . Voldria tamb6expressar el meu sincer agravment al professor S .Tanno per la sevainvalorable revisió del r :icu manuscrit i beis seas comentaras al Corol .lari 2 . r INDBX IIdTRODUCCIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 CAPITOL 0 . Preliminars i notacions 21 CAPITOL 1 . Prova del Teorema 1 . . 35 CAPITOL 2 . Dirriensi6 3 i dimensi6 5 45 CAPITOL 3 . Diniensioris més elevades 57 BIBLIOGRAPIA . . . . . . . . . . . . . . . ... . 61 r , LL k \  "  ¡k ml " L " A Al A ® iI ®  II ®I Al Al A A INTRODUCCIO Aquest treball pot ser considerat com una continuaci6 de "A formula on some odd-dimensional Riemannian manifoldsrelated to the Gauss-Bonnet formula" per S .Tanno [71 . Sigui B una varietat de Riemann orientable, compacta de dimensi6 2n . La fórmula de Gauss-Bonnet-Chern diu : SB Q=2 2n tt n n! X(B) a on Q denotala forma de Gauss-Bonnet i 7C(B) és la característicad'Euler-Poincaré . En aquesta f6rinula, la dimensi6 parella és essencial . Si B és de dimensi6 imparella, llavors -X(B) = 0 . malgrat tot, per a varietats de dimensi6 imparell, podempensar bar una ~6ri - r~ula análoga en la certa erpressi6 que contingui Tot intentant trobar una d'esperar que c-ls camps que no tat hi juguinun paper important . En aquesta línia, S .Tanno X71 trobá el següent resultat : TEOREPL4 : Sigui (L2n+l ~  ,g) una varietat de Rieiaann compacta que ad ; ;ieti un camp de vectors de Killinc uni tari  ,  tal  que R(X,1)Y -- .  g(X,Y)F  -g(Y,F)X,  per a tot en la possibilitat de troque el segonmembresigui els nombres de Betti . P6rreula semblant a (1) és s ^ anul.lin sobre la varie- X,Y, campsde vectors sobre E 2 n a1 (é s a dir, una varietat de Sasaki),(veure apartat 1 del capitol 0) . Llavors, si el camp y és regular (Palais E5]) tenim : Lrl h (v~+~-r)(-1) ór(E) a B on b i (E)' és el i-ésim nombrede Betti de E, F(Li,~ ) és una expressi6 que depén de la curvatura _n i del camp (S) és la longitud de les arbites de -T i .per camp regular entenem un camp vectorialsobreE2nj1 tal que tot p e E 2n+1 té un entorn coordenat cúbicde manera que ___les corbesintegrals de 'F que passen a través  d' aquest entorn ho fan només una vegada (veure apartat 3 del capitol 0) . Recordem també que un camp 1 sobre E és un camp de Killing (o, una isometria infinitesimal) si el grup uniparamétric de transformacions locals ; generat per en un en toril de cadapunt de E, consisteix en isometries locals . Nosaltres volem obtenir una expressi6 com la (2) per a varietatsde Riémann de dimensi6 imparella,que no siguinnecessáriament de Sasaki . De totes maneres, sembla convenient de continuar suposant que 1 és un camp _ de __ vectors de Killing unitari, regular . Concretament, exposem el següentproblema . Sigui E una varietat compacta de dimensi6 2n+l . amb un campregular - X sobre E . Sigui g una métrica riemanniana sobre E per a la que  és un camp de vectors de Killingunitari . Volem trobar, sota aquestes hipatesis, una fórmulaanáloga a (2) . 12 F P , P'"  n y''"  y T - T  y nI' nI"y L'exemple més senzill duna varietat que satisfaci les nostres hipótesis perd no les de Tanno és el següent : Sigui B una varietat de Riemann compacta, orientable de dirrensi6 2n . Suposem que b1(B)  és parell i que l b o(B) = 1 . Considerem el producte B x S . Un camp tangent unitari a S 1 defineix un camp devectorsde Killing unitari regular sobre B x S1 , relatiu a la rnétrica producte . Així, B x S1 satisfá les nostres hipótesis, per(3 com que b 1(B - X S1 )  és senar,  sobre B x S1 no hi ha estructurasasakianaja que el pri), :er nombre de Betti d'una varietat de Sasaki és zero o bé és parell (veure apartat 1 del capítol 0) . El primer resultat que obtenim és el següent : TEOREMA 1 . Sigui (E,X,g) una varietat de Riemann compacta orientable, de dirnensi6 2n}1, amb un camp de vectors de Killingunitari i regular 1 sobre E . Aleshores, (3)  k(-IP/R(F) 2 " - M V, n1 .)J - V(n,7) L (Hr~-r)(-~)r6~kE) + ~ (-~)d . a on £(11, 5 ) és certa funci6 de S2 i de 'y  , br (E) és el r-ésimnombre de Bettide E i dr = dim Ker jH r (E/ F  R) - . Hr+2(E/ ,R)} . Aquesta aplicaci6 6s la multiplicaci6 per la classed'Euler del fibrat E -~ . E/i (capitol 0 apartats 2 i 3) . p, 'r,TI®Ir P, I'yyr CAPITOL 0 PRELIMINARS I NOTACIONS Dediquem aquest capltol a exposar definicions i resultats, que seran utilitzats al llarg del treball . Com que s6n resultats independents, dividirem aquest capítol en varis apartats . En cadaun d'ells ens limitarem a donar els resultats*tiue més tard farem servir, i les definicionsimprecindibles per a la seva comprensi6 . El primerd'aquests apartats estará dedicat a les varietats de Sasaki, ja que els resultats de S .Tanno s'hanobtingut sobre aquestes varietats . (Aiés concreta ment, sobre varietats de Sasaki regulars) . A continuaci6dotarem una detallada deEinici6 d'integraci6 al llarg de les fibres . A partir d'aquesta definici6 construirem la successi6 exacta de Gysin i la classed'Euler per a fibrats es£érics . El § 3 versará sobreregularitat i varietats quocients . Construirem el conjunt E/-Y , el dotarem duna topologia i, utilitzantla7regularitat, duna estructura devarietat diferenciable . El § 4 estará dedicat a estudiar 1'estructura Riemannianasobre un fibratcircularprincipal : es consideren métrioues riemannianes sobre 1'espai total i sobre la base, relacionadas mitjangant la . fori - ~la de connexi6 del fibrat, i es troben expressions que relacionen les respectivas connexions rier ;annLanes ( i les respectives curvaturas) . ció de superficies complexes compactes donada per Kodaira, juntament amb algun resultat sobrerelaciona entre els nombres característicsd'aquestes superficies (genere, irregularitat, etc) . Per a poder aplicar aquesta classificació a E/ - ~ , usarem un resultat de P4orimoto que exposaremtambé en aquest apartat . _ §1 . Sobrevarietatsde Sasaki Una varietat diferenciable E 2n+l te una tructura, si admet un camp  d'endomorfismes de 1'espai tangent, un camp vectorial  i una 1-forma 1 tal que admet una métrica riemannianag tal que g(?X .~ y)  = g(X,Y)  - 1(X) y (Y) d X,Y, aleshores de 1'estructura  se'n diu estructura métrica quasi de contacte, i g és la métrica compatible amb l'estructura . Si definim 42 (X,Y) = g(X,fY)  i, es compleix que = d , ? , aleshores de 1'estructura métrica quasi de contacte se'n diu estructura métrica de contacte . on `{~~] (X, Y) = 0CX,Y] + IX ,1Y] -~Cfx1y~  - ~ uxM3 tenim una estructura métrica de contacte normal, o abréviadament, una varietat  de .'Sasaki . Sobre aquestes varietatstenim R(X,Y)-f = 7(Y)X - ?(X)Y peró a més a meses fácil de .veuré el .següent resultat : 22 L'apartat segiient estará dedicat a la classifica- = Si una varietat E 2n+1  ambuna (, f,i, , ?) - estructura si a mes a més `QJ + 2d?®J = 0 Teorema . Sigui E 2n+1 una varietat de Riertann que admeti un camp de Killing 'S amb R(X,Y) Y = g(1,Y)X - g(X,1)Y . Aleshores, E2n+l és una varietat de Sasaki . Tw .-bé utilitzarejn un resultat topoldgic sobre aquestes varietats, concretament : Teorema . El primer nombre de Betti d'una varietat de Sasaki compacta E 2n+1  és zero o parell . Per provar aquest teorema, es pren una 1-forma harmánica u sobre E2n+l i es defineix una altra 1-forma ú= uo4 . Es comprova que fi és harmdnica i que u i ú s6n independents . $2 . Integraci6 al llarg de les fibres Per a fibrats trivials . Considerem el producte de dues varietats diferenciables, ¿^, B x F . Se suposa que F és orientable de diritensi6 n i que ja s'ha elegit una orientaci6 . Desig nem per AF(B x F) el subespai de A p (B x F) de p-formes ámb suport compacte al llarg de F, és a dir : AF(B x F) = jdEA P (B x F) tals que sup-+nh ' (K) és compacte per a tot compacte K de B  , R indica la projecci6 candnica B x -F --> B . SiguickEAp+r (B r F)  (p>,0) . F,ner .. a definir la integral de a al llarg de F, que designarem per ~a . En cada F punt  (X, y) 6 B x F,  oC(x,y)e ^arTlx,U)(13 x F)  x .  (T% (B)~~ aTy(F  )s 4p "" (^1Tx(B)_* )®(n P"-' T 13 (F~) . (Tingui's P4-9 k en compte que si q < p,  és p+r-q >r i per tant  A  T 1 (F)  --- . 0) . al(x,y) es desconposa, segons la surta directa anterior, en conrponents homogé-, : .es : a q <t,~) E : " C I~~~,C6) á) ® (A° .~ -4 T I (F)F ) Fixem x a B i fem variar y dins F . o( (x,y) constiobtindrem una p-Forma sobre B, i es immediat de comprovar que depéndi£erenciablement de x . Aquesta p-forma diferencial la designarem per ,~w i direm que s'ha F p tuirá una r-forma diferencial sobre F amb coeficients a 1'espai vectorial np T x (B)" (els coeficientsd'aquesta forma diferencialdependran di£erenciablement de y) . A més a mes, el suport d'aquestaforma diferencial será compacte, si recordemla condici6 imposada al suport de  . Podem doncs, integrar-lasobre F : JyEF e>< p (x,y) . Obtindrem un element de  I\ pTx (B)* .  Si a cada x E B li assignem  a P rx,~~ E np T (B) ,* SER obtingut a partir de oc integrant al llarg de les fibres . Per a fibratsqua1ssevols(localment trivials) Sigui E --- I B un fibratdiferenciable (localment trivial), amb Pibra una varietat diferenciable F de dimensi6 r . L'esmentat fibrat es diu orientable si admet una r-forma diferencial w sobre E tal queper a cada x EB la r-forma diferencial jX(w)  (on j x indica la inclusi6 candnica F = rl'(x) -o E), constitueix x una orientaci6 de F x . Dit d'unaaltra manera, j*(w) no s'anul .la a cap puntde F x . La forma w , si existeix, s'anomena una orientaci6 del fibrat E - B . Suposarem d'ara en endavant que E --- " B és un fibrat orientat . Designarem'per AF(E) _~ oec-A p (E) tals que sup~i n ri'(K) es compacte per a tot .compacte K de B}  . Donatun x e B 24 . h` 'wr r Iw~ IV II 11 1  1 - r , , Iy n~_ w . . y , n , . T -  ® - V  u consideren un entorn tilde x  tal que ri (ik) sigui trivial . Sigui ~ una trivialitzaci6 que corservi les orientacions : l i, (1,l )  <  til x F (F 6s una varietat orientada) Donada &-E AF `r (E), consideren 7 F que será una p-Forma diferencial sobre 1(, . Es comprova que el valord'aquesta forma en el punt x no depénni de 1'entorn IX ni de la trivialitzaci6 ~~ . Donadadones o' E AF -r (E) , definim  ¢ ~ c con la p-forF ma sobre B que a cada x .E B val ~~`~a  h'~u>> Y E n~ T o (af' F  e La diferenciabilitat de  11 #k és dbvia ja que sobre cada tl ,  a coincideix per definici6 amb  y4 (0Iñ'(u1) F que,comja sabem, és diferenciable . Completem la definici6 posant  o<= 0, si  o< E AF(E) i qz r .  F També pot comprovar-se que la integraci6 al llarg de les fibres conmuta amb la diferencial exterior ; és adir ,~ d~=dí« . I que i  tl`~otn(3 > a~~(3 F  F  ~ ~ F P otEA(B), ¡3tA(E) . Ara utilitzareín aquesta definici6 per a construir la successi6 exacta de Gysin i la classe d'Euler per a fibrats esférics . Sigui E --s  un fibrat orientat de base B i fibra una esfera S de dimensi6 r . Sigui n la dimensi6 de B . V p, consideren el morfisme p 4-r A (E) o( - . a S Ls u : : morfisr,?e exhat?stiu . Designem per K p+r el nucli (per a cada p) del morfisme `P . Com que la integraci6 al llarg de les fibres coinmuta amb la diferencial exterior,  si « E K ptr ,  aleshores d cK e K p+r }l  . Així dones K K és un con?plex diferencial amb la diferencialexterior 26 Per a cada q considerem el morfisme Aq (B) -$ Aq(E) Es pot comprovar que la imatged'aquestsmorfismes está continguda a Kq . Per tant Aq (B)  K q . A més a més ; com que drN> = n d  , el següentdiagrama és commutatiu : Aq (B) ~-y Kq ld ld A g4,l (B) no s K q+l Per tant Rx indueix, per a cada q, un mmorfisme de cohomologia H9 (B) -~ H q (K * ) que continuem designant per rnl . Es pot comprovar que n" és un ison?órfisme . Amb aquests preliminars, consideremla successi6 exacta 0 -+ Kq -J a Aq (E)  -o A q-r (B)  ' 0 on j és la inclusi6candnica . Aquesta successi6 exacta indueix una successi6 exacta de cohomologia -> Hq(K*) -j r Hq(E)  v Hq -r ( .) ~~ Hqil(Kn) En virtut de lísomorfisme entreHq(B) i H q (K ° ) podem escriure la successi6 exacta aixi : ®°'-F y' OF TP - F " O , . ; w . m' y- .yI^ q , n  1  ~W _  y  I '19  y 1P ' ,` 1t '9 -s Hq(B) !1~ Hq(E)  1P + Hq-r (B) -J, Hgal(B)- on D =  Aquesta 6s la successi6exacta de Gysin . D funciona així : Donat  ~ d te H q-r (B) ,  sigui  p una q-forma de E tal que  ?--& . Sigui Y una q+1-Forma de B tal que  - 1IMí _al .  Aleshores DNd~ =NU 1 . Suposem  que B es connexa, H0(B)  = R i D : R ---i H r+l (B) . D(-1) e Hr+l(B) és la classe d'Euler del fibrat E i es designa per 7C E . Per tant, si S2 és una r-Forma diferenciable sobre'E amb  A = -1, i  <~ una r+l-forma sobre B tal que  r4> =d rt s aleshores ~ és un representant de la classe d'Euler, §3 . Regularitat i var ietats qu ocients Encara que nosaltrestreballarem en sistemes dif erencials 1-dimensionals, donarem ara definicions i part dels resultatsobtinguts per Palais [S3 sobre sistemes diferencialsm-dimensionals . Definici6 : Per sistema diferencial m-dimensional sobre una varietat diferenciable de dimensi6 n, E, entendrem una aplicaci6  ® que assigni a cada punt PCE un subespai & e de 1'espaitangent de Ea p . Un camp vectorial  de E, pertany a 0 si per a cada p del domini de  , 5 e E Bp . El sistema diferencial E) es diu diferenciable si pera cada pcE existeix un entorn . 1-Ade p i uns camps vectorials diFerenciables « ~,,---1, definits a  ° Ll tais que  6s una base de 6~ a cada q c 1l (9 es diu involutiu si 6s diferenciable i si .quan X i Y s6n dos camps vectorials di£erenciables a E amb el mateix domini, tots dos de 6 , el seu parIntesi de Lie taubé pertany a6 . Una subvarietat N de E es diuva2 7 --- associa a cada p e-E ., la fulla de 8 que conté p . La topologia de E/i9 és la topologia més Porta que fa n o contí .- " nua . Ara es tracta de donar condicions sota les quals E/g admeti una estructuranatural de varietat diferenciable de dimensib n-m . Per aixó, hem de parlarde regularitat . Definicib : Sigui 0 un sistema diferencial involutiu m-dimensional sobre una varietat diferenciable E de rietat integral de (9  si per a cada punt p r. N, 1'espai tangent a N en el punt p está inclbs a E)r . Si (9 és un sistema diferencialm-dimensional sobre E, un sistema coordenat (x  . . ., x  ~,1 .) es dirá pla respecte a  (9 si per a cada q su . , x, 4 , . . . , X wIés base . d e  ® .  , Definicib : Sigui, 0 un sistema diferencial involutiu m-dimensionalsobre una varietat diferenciable n-dimensional , (E,If) (y' és 1'atlas de la varietat) i sigui (x, x. .,u) un sistemacoordenat cúbic de E, pla respecte a ® . Si é's una llesca m-dimensional de (x, . . . . x  ,U)  ('Z =  gfLL ; X,+,~ (q)  =  t,, .. `  ;  i=l . .n-m, (t, , . . .)  _ .n  ) ,  l' aplicacib q  1 , (x, (q) ; . . . , x,(q))  de Ta R m es diu . una carta foliada de E respecte a (9  . Es pot comprovar que el conjunt de les cartes foliades de E respecte a 6 formen un atlas m-dimensional sobre E . . Sigui(E,~) la varietat diferenciablem-dimensional que aquest .atlas defineix . Aleshores (E,4) es diu la varietat integral maximal de 0 . Una component convexa de E respecte a la topologia de la varietat (E,¿p) mirada com a subvarietat oberta de (E,~) es diu una Pulla de (9 . El conjuntde fulles de 0 es denotará per E/6 Sigui 11 0 la pro jeccib candnica de E a E/p ,  que 2 8 dimensi6 n . Un sistema coordenat (x, ._ x,,u) a E es dirá regularrespecte a 6 si 6s cúbic, pla respecte a6 i si cada fulla de (9 talla U en, com a molt, una llesca m-dimensional de (x , . . .  x  ,t() .  Una Pulla de 19 es dirá fulla regular de 0 si interseca el domini d'un sistema de coordenadesregular respecte a 6 . Direr : que (9 6sregular si cada r"ulla de 0 és una fulla regular de 0 Amb aquestes definicions, estem en condicions de poder enunciar dos resultats,que ens asseguraran que és una varietat diferenciable Hausdorff . Concretament : Teorema : Si 0 6s un sistema diferencial involutiu m-dimensional sobre una varietat diferenciable n-dimensional E, i si (x, ._ . x  ,ti) 6s un sistema coordenat a E regular respecte+0 , aleshores existeix una únicacarta (n-tI-dimensional T ,  a E/6  amb domini h e(uNtal que - 4 .0 . (1)= =  (xti (q) , . . . , x H (q))  dgétl . . Dues d'agi)estes cantes, . estandiferenciablement relacionarles i el conjunt de totes aquestes cantes, 6s un atlas diferenciable de E/e si i sois si 6 és regulas . (Així, podem parlar de la várietat quocient E/p  com (E/e,T) on  -Y  és l'únic atlas completde E/a que contó 1'atlas citat) . I f inai rient Teorema : Si 0 6s un sistema diferencial regular sobre una varietat diferenciable E compacta, Hausdorff, aleshores cadaPulla de 0 6s compacta . E/c9 6s una va rietat diferenciable compacta i Hausdorff, i n o és una a?licaci6 tarcada . Si a m6s a ¡n6s, E/(9 és connexa (en particular, si E 6s conrexa) aleshores les fulles de  L9 s6n les fibres duna fibraci6 'é _ de E amb espai base E/,s i projecci6 n,y, i en particular les fulles de (9 s6n 'Cisomor£es . o_ : . i x' descansen G'(o) = `, i o-(,) - , :', ,- . ¡aatei :ca drb¡t~ : . Aleshores, una altracorb2 aiab u(0) = a'(0) = p i directa de la unicitat diferenciais ordináries tenim G- = G', ¡ de p coincide¡, , amb el de x' // . 36 sigui sobre la l a traiisformada v' de ortogonal (ja que 3és un n .T'= nos . de soluciona de les equacions així el període cr ?E,--r ea¡-,,p de Llavors, coya aplicaci6 Ki11ing) .~i . .í dones, c7 . . ; :° . que el període és consta :t, el podem prendreigual a 1 . D'aquesta manera, cl grup uniparamétric a ') .5 depénnomés de les classes d'equivalér .cia t i l'acci6 així incluida és efectiva i lliure i Wang £13) . resultats de Palais, ens diuen que E és un associat mod 1 de (Boothby Els fibrat sobre la varietat diferenciable E/ -T  . (Posarem E/~ = B) . Pan sois resta veure que és localment trivial, és a dir, hem de veure que B pot ser recuberta per entorns U a tala que existeixi una secci6 5, : U, 1 E ( ti s,, = Id) . Aleshores, les aplicacions ~p . : u w x S 1 --~ E definides per  --- t " s,(p) seran ¬ uncions coordenades del fibrat . Es fácil de veure que jeccions deis entorns regulars, automáticament tenim secciona ( s o (x,  x,,) . = (x,,, _ . x U c) per a alguna constant c, on x,, .-,x ,, representen funciona coordenadessobre U .) . Així dones, E ---~ B és un fibrat circular principal . w la forma dual de ry per g, aixb és : w (x) = g(1 .x) Irtroduirm ara una métrica rienanniana sobre B . Per a aix6 def inim si agafem com a U, & les proI  Ir " IIh p, p, ® p, ir II/ II sI IP T T '" - y n In Iq h(X,Y)(P) = g(X',Y')(q) - uJ®w (X',Y')(q) on X', Y' són ca!nps sobre E, que sór_ projectats sobre X, Y respectivament, iq és un puntde la fibra de p . Es fácil de veurre que aquesta definició és independent del punt q i dels canps X',Y' escollits i que es tracta duna métrica de Riemann . Er_ efecte, vegem primerament que si un cop elegit el punt q de la fibra, canviem X'  per Xq' (  amb TT n Xq' = = X p ) i canviemYq per Yq ( amb T,~9Yq = Y p ), la definició de h no varia . I no varia, ja que al projectar-se Xq i Xq' sobre Xp , difereixen en un múltiple de 1 i tenim gq(Xq t~y , Y 4 tr,i) - w q (X,t~T ) wq(Yq+/-3) - Aneas a veure ara que no dep1n del punt elegit a la Fibra de p . Per a aixa, siguin q,q' punts d'aquesta fibra amb q / q' . Siguin X',Y' vectors tangents a E, a q, que es proq q jectinsobre X , Y P p Siguin X', , Y', vectors tangents a E, a q', que q q es projectin sobre X P , Y P . Hem de veure : gq (X q . , Yq ) _  q (X q )  q (Y q ) . gq ( :cq  ,Y')  _ ~(x') q (Y')  = gq,(xq,  ,  y,,)  _ _ ~ q ,(x',) q ,(Y q ,) . Níitjanrant el grup uiiparamotric associat a passare .i X' , Y' , clwcnts de T E, a elements de T E . q q  ~~  q Veurem que aquests dos nous vectors de T q' E es projecte . sobre X p , Yp respectivament, i pel < ;ue s'havist anteriorment, utilitzant que T és un camp vectorial de Killing, quedará provat . Sigui 9, el grL'p uníparamétric associat al camp i  ~~( q)  = q' .  Tenim T q T qE -- : i Tq ,E 3C q -~ Tq YE . (X q )  = X q'  ' Fel que s'ha dit abans, hem de veure només : pero T q' n .  Ta % .  = Tq (rl " f t ~ .)  = T q ri jaque rl . iL,(z) =11(z),  perser  (z)  un punt de la matéixa fibra que z . Amb aixa, la igualtat que hem de provar queda, a partir de : 3Sgq.(Xq ., Y, ,) _  q,  (xq,) - q ,(y y `,)  - = gq (T g YJ q ' Tg T .X )  _ de la forma següent : (Tq' M) (T q  t . (xq))  = Xp gq(Xq ~Y,) - q(X q ) ig(Y,) _ q,_(T q t _Xq) . ~q ,(T g Y to Yq) gq ' (T q ~t .Xq  T q ~ bb Y q ) - q( T q~kb Xq) 'J q(TgTh . Yq) Peró, per ser 1 tiu1 ca,-, - ,p vectorial de Killing i Tq tE . 5q =  1 q ' , aquestaigualtat és certa i tenim doncs una métrica sobre B, que a més a més és riananniana, definida a partir de g i de -i . Així, tenim que (B,h) és una varietat de Riemann amb  g = n * h  r 4+ ® w . Aíés encara, cono que E és orientable, existeix una (2n+-1)-forma que no s'anul .la sobre E . Aquesta forrla, integrada al llarg de les fibres (el fibrat és orienta ble), és una 2n-forma que no s'anul .la sobre B . Així B és orientable . (NOTA : Podemveure que B és orientable, aplicant el resultat més general donat pel següentexercici (Greub) : Sigui (E,a,B,F) un fibrat diferenciable a :nb E connexa i orientable, perd B no orientable . Sigui Q : H -+ B el doble recobriment orientable . Demostrar que el fibrat és orientable si i sois si existeix un fibrat diferenciable (E, T¿3,F l )  tal que R = Qa ^ . Provar que llavors F = Fl x Z2 ) . Per tant, sobre B poden, aplicar el teorema de Gauss-Bonnet, que diu : J Q ~- 22n B 11 Vi 1-11 X (B) i (~~) denotala formade curvaturade la métrica h, i -C(B) és la característicad'Euler-Poincaré de B . Com que  uw (X) = g(~ X) i 'j és un camp de vectors de Killing, tenim que Li és una formade connexió sobre el fibrat i així podem escriure rr comuna funcib de . la curvatura sobre E respecte a la métrica g (Kobayashi [2] ) (Capítol 0, apartat 4) . Comprobem, primerament, que -J és forma de connexi6 . 40 PROPOSICIO 2 . En aquestes hip8tesis, w és forma de connexi6 . Prova : Si agafem A = d /at una base de d " , álgebra de Lie de S 1 , aleshores w =  A, és unw formasobre E que Aren valors a csj'L . Com és habitual, identifiquem w amb w  , quan parlem de la connexi6 definida per - . Per a veure que -+defineix efectivament una connexi6 hem de provar : Primer, si V c G'i V ° és el camp vectorial sobre E induit per V, aleshores k+(V') = V en cada punt ; i segon, Rt LJ(X) = ad(t -1 )(X) per a cada X vector tangent a E . Laprimera afirmaci6 només cal provar-la per a la base A de G' 1 , per8 A ¢ _ ~ i  w (f) = 1, per tant, en virtut de la identificaci6 tenim : w (A') =-1 (A") = w (A)A = =w(E)A = A . Respecte al segon punt, coro que S1 és abeliá, haurem de veure tan sols que Rt~ = W , per8 Rt w (X) (p)  =  w (Rt * x p )  _ 'g(R to xp , eLP )  - = g(R t xp ,Rt S p ) = g(x p .j p )= w (x p ) per ser ~ camp vectorial de Killing . Així doncs, .,~ defineix una connexi6 sobre E . Per veure f ácilment que A a =  , recordem breu ment la construccib de VI . Si V  i at és el subgrup uniparamétric de 51 generat per V, aleshores el grup uniparamétric de transformacions R  sobre E, indueix at F7r V-' 'r-p  'Y , Yy-'wF - Ypr .,- 1 -- 7 .T ,-- . .,,-"-  - W Iq ~ . que  , n . un camp vectorial direrenciable sobre E, que denoten V  .  Si partim de A,  a t =ti la igual tat és obvia . Queda provada la proposició 2 //- A partir de les propietats de la integració al llarg de les fibres, (Capitol 0, apartat 2), és fácil de veure que on 6 és una-2n-forma arbitrária sobre B . Utilitzant orquesta igualtat, i les relaciona entre les formes de curvatura de g i h (Capítol 0, apartat 4), a partir de (11) obtenim : (12)  ((-1)  /  22n Ti n n!  -I(S))S £ 7 1  i, . . i z -)  n . .  C-k1 iZi- ~ ._ ^i = ¡X (B) . Si posem A(ij) en lloc de A ij , resulta JE rfe,,w =  2(F) J B w (13)  (( - 1) n/ 2 2n R n n! L(~)) IE  Eci~ . .i~~)  `~h t + +~,(A(itti)A('cs) + A(izk)A(i1s))  n ."- (~tiIM-%+ k s } T-( A ( 12n 1tn-1)A(ks) + A(¡  k)A(i2n-1 s))~ , ^  _ Ks Calculen : 7C(B) en termes dels nombresde Betti de E . La successió exacta de Gvsin de! Pibrat n : E--~ B és Trencant-la, i així, comquesón espaisvectorials,tenim : (14) 42 0 - . QH1(B)  cl  o H 1 (E) - , --Ho(B) 0 -+ H n+2 (B)/Im D p - H pf2 (E) --°+ Ker D p,* 1 - : P 0 H p'2 (E) = Ker Dpai ® Coker D p Llavors, obtenim les següents relacions : b 0(B)  = bo(E)  . b 1(B)  = b 1 (E)  - d0 b 2 (B)  = b 2 (E)  } b o (E)  - d o - dl b n (B)  = b n (E) a b n-2 (E) 4- . : .}b n -2k (E)-do-d i -  .. .-d rl-1 " (amb 2k = n o 2k *1  =n,  d i  = dimKer D . 1 , i D i : H,(B ;R) --, Hi+2(B ;R) la multiplicació per la classe d'Euler del fibrat (Capitol 0, apartat 2) . J a que 7C(B) =  2b r (B)( - 1) r +b n (B)( - 1) n (dim B = 2n) f= e expressant cada br (B) comuna funci6 de br (E) i dr tenim : 24 (15)  ñ (B)  (n al-r)(-1) r b r (E)  (_1)rdr . D'aquestamanera obtenim la Fórmula (3), amb f (sz, j )  donada per (13) . Aquesta £( .a, 1 )  és independent de l'elecci6 dels canps de 7 -bases .( Si V,el, . . .,e2n i  ~ v l , ." ,v 2n s6n dues referéncies orientades positivament, els integrants de (13) diferirien en el determinant del carvi, que en aquest cas és igual a l) . Si treballem sobre varietats de Sasaki, el terme N-1 L (-1) r d  , no apareix . En efecte, en aquest cas la  u  r base del fibrat és una varietat Káhleriana, perd com que la classe d'Euler del fibrat coincideix amb la classe de la 2-forma fonamental de la variatat Káhleriana`, sabem que, aleshores, D p és injectiu per a p <(2n-2)/2 . Aquest és el cas estudiat per S .lanno (7] . ~ fl'"~~ `, ~ ~Ih'~~'Ilerl~~ll¡I~¢ ~~°di " k} I ~ r,?1}~rk'' ~¡1~, .~1~~, " '!~ ~a~ .~'" ~ " r~~, v p :~( y- CAPITOL 2 DIMENSIO 3I DIMENSIO 5 §l . Dimensió 3 TEOREMA 2 . Sigui (E .g) una varietat de Riemann orientable, compacta connexa de dimensió 3 . Sigui un camp de vectorsunitari regular, de Killing sobre E . Llavors on K(~ l ) significa la curvaturaseccional del - pla ortogonal af , K(V) la curvatura seccional de qualsevol pla que contingui 1 (és independent de 1"elecci6 del p la)  i  `?  denota le . for :,a de volum . A més a r :més, en el darrer cas el fibrat és trivial . (16) (1/2 11 «1» IE (K( 5 1 ) + 3K(5 » -2 =2 si i sois si b1(E) és pareil, i (17) (1/2 nk(j)) IE (K( j'-) ~- 3K(5)) `? = 3 si i sois si b 1 (E) és irimparell, implica :  b 1 (B)  = d l = b 1(E)  - . d o = 1 i aixd implica : b2(B)  =1- (d o -4--d 1 )  = 1 - 2,  cosa impossible . PROPOSICIO 4 . Sigui (E,fi) com en la proposici6 2 . Llavors b 1 (E) = 0 implica :  -X (E/ T)  =3 +b 2(E)  i el fibrat 6s no trivial . Prova :  bi(B)  = b 1(E)  - do = - d o implica do ---- = b 1(B)  = 0 .  Així  6s d 1 = 0 ja que d l !! b1(B) . PROPOSICI6 5 . Sigui . (E,~) com en les proposicions anteriors .  Si b 1(E)  =2 i b2 (E)  = 1,  tenim :  i\ (E/ y )  = 0 . Prova :  b 2(B)  = 1 + 1 - (d o+ d 1 ) .  (i)  d o = 0 implica : b (B) = 2 i b (B) = 2 - d  = 2p (B) + 1+b (B) , 1  2  1 g d' on d 1 = 0  o d l =  1 . Anem a veure que d 1 1 . Suposem que no ; tenim : b 2(B)  = 1 i  així,  p g (B)  = b _(B)  =0 .  Peró b _(B)  = 0 voldir que B 6s lliure de corbes excepcionals (cf . amb la prova del Teorema 3a) . Pel Teorema A,  tenim : c 2(B) _ =top g 4 9-b  -8q =1~0i q=1 . PerdpelTeorema C tenim q = 0 . Aixó 6s una contradicci6, i així, dl = 0 . (ii)  Si  d o = 1,  llavors d l = b1(B)  =b 1(E)  - do = 1 . En ambd6s casos,  '7C (E/T )  = 3 - 2b 1 (E)  + b 2 (E) + do -d 1 = = 3  - 2b 1 (E) + b 2 (E)  = 0 . PROPOSICI6 e . . - Sigui (E,F) com en les altres proposicions . Si b 1(E) = 1 i b 2(E) = 0, tenim : "X (E/ f) = 1 i el fibrat és no trivial . Prova :  b 2(B)  =  1  - (d o + d 1 ) .  Si d o = 0,  b1 (B)  = = b 1(E)  = l . Per tant b 2(B)  = 2p 9(B) +  b_ (B) ,= b2(E)+ + bo (E)  - do - dl =1-d l . Aixa implica :  p 9 (B)  = 0 i b _(B)  +  d l = 1 .  Si  d 1 = 1,  b_(B)  =0 implica :  b p(B)  = 0 ; pera aixd és imposible, ja que  - X E E H 2 (B ;R) i  _ X E no és  zero perqué do = 0 .  Si do = 1,  d 1 = b1 (B)  = b1(E)  - 1= = 0, pera llavors b 2(B) = 0 = 2p g (B)  1 +b-(B) i aixd és impossible . La darrera igualtat ve del Teorema A . Per tant, tenim : do = 0id 1 = 0 . Aixi, - X(E/1 ) =fiel fibrat és no trivial . ~-bviament, el Teorema 3 és conseqüéncia deis teoremes 3a i 3b, i de les proposicior_s 3,4,5 i 6 . L'integrant s'obti de (13) per a n = 2 . TEOREMA 4 . Sigui (E,g) com en el Teorema 3 . Aleshores, si la curvatura seccional de E és sempre positiva, 1'integrant és positiu . Si la curvatura seccional al llarg deis plans ortogonals a 1 és sempre positiva, 1'integrant és positiu . Prova : L'integrant de la f r : :~ula de Gauss-Bonnet en dimensi6 4 pot escriúre's com segueix ( Chern, Abh . Yath .Sem .Univ .Harlburg, 20 (1955),p " 124) : (21)  (K1212 K 3434 + K1234 4 .K 1313 K 4242 } 2  2 i K 1342 + K 1414 K 2323 + K 1423 ) On  St~ _ (1/2)^L .- .  Kijkr 6r ., aT En efecte : Recordem que si una secci6plana P ve generada per dos vectors de components X i , Yk respectivament, les seves coordenades de Plücker es defineixen així : pik  Y i . x i Y l : - Xk  53 Quan P 6s de mesura unitat, aix3 és, quan la curvatura seccional de P ve donada per Suposem la secci6 plana Po : p 12 = 1, PkP = 0, (k,k) A (1,2), per a la qual la curvatura seccional 6s máxima, entre totes les seccions planes a través del punt . En un entorn de Po tenim : p 12 ~ 0 . Per a mes seccions planes coa aquestes, podem escriure un conjunt complet de relacions independents entre les pik així : K (P)  `  yL K .aK4 r ~i ~Ke Pis P,,P + P . P o ., + PIP Pt«  =0' A aix3 afegim la relaci6 Seguint el procediment habitual, per estudiar un extrem relatiu de la curvatura seccional consideren la funci6 on l .% i/ dP s6n indeterminades . Trobem La condici6 que aquestes derivades parcials s'anul .lin per a Po d6na K 1 W12 =0 Canviant els índexs 1 i 2, tenim K2<K12 =0 ,  - 7 . M ., c V tr .f_  K ~rkt fwt - ^Px  rsP  P Pt A continuacióconsiderem totes les secciona planes que tenen un vector no nul en comú a la vegada amb Po i amb 1'espai lineal (n-2)-dimensional perpendicular a ell . Sigui P1 (p l3 - 1, p ik -0, (i,k) A (1,3)), d'entre totes elles, aquella per a la que la curvaturaseccional assoleixun máxim . Utilitzant l'anterior argument obtenimles condicionanecessáries K2313  0, K lu13 -0, Per a n = 4, tenimdones Per 1'apartat 4 del Capitol 0, si (22)  Rijij = K1j1j - 3 A(ii)2< 4 _c 1)5 n . K 1213 K 1214 K 1223 K 1224 K 1323 K 1314 0 Per tant X12 w  34 + 'l3 ~'42 '  14 ~~ 23 _  2 - (K1212 K 3434 d K 1234 a x 3 1314242 + 4-K 1342 4K 1414 K 2323 + 1423 ) ' tenim El resultat es dedueix fGcil :nent de (21) i (22) . Hem obtingut també, el segUent Teorema : TEOREMA 5 . Sigui E una varietat compacta, connexa de dimensió 5,  amb b 1(E) parell diferent de zero i de dos,  i b 2 (E) = 0 . Aleshores E no pot admetre cap estructura regular, quasi de_ contacte i normal .  _ Prova : En la demostració del Teorema 3b, 1'existéncia d'un camp 3 , essent E/5 una varietat complexa, implica la no trivialitat del fibrat i la igualtat p (B) = b _ (B) = 0 . D'aquestadarrera veiem que B és lliu9 re de corbes excepcionals . Llavors, pel Teorema A tindrfem : c 2 (B) = 9 - 8q < < 0, i utilitzant el Teorema B, seria B una superficie reglada i així, b 2(B) = 2 = l~'(B) + b (B) = 2p 9 (B) + 1 + ab (B), cosa imposible . 56 p FIF VIIIM , IPI' yIIIp, 1 1 , y ,T,y , T y ,T,T1R CAPITOL 3 DII~~iAiSIC~üS - :ES ELEVGD~S En dimensions més zltes, hem obtingut el renultat següent : TEOREMA 6 . Sigui E una varietat deRiemannconnexa conipacta, de dlr .ensió n = 3k4n .i, m : 0, que admeti un camp de vectorsregular unitari i de Killing 3 . Si b,(E)  = b 4(E)  = (E) --- 0, llavors : Z°` H (23)  7C (E/] )  -  L~  (nil-r) (-1) rbr (E) +  1  si i sois si' 1 (E)  + b3 (E)+  . . .4b2m ;1(E)  és imparell .  I (24)  'K (E/F ) = j J (nkl-r)(-1) rb (E)  si i sois si r_ o  r .  b 1(E)  +  b 3(E) .Y  . . . a b2 ~ }i (E)  és parell . Si b 1(E)  = b 3 (E)  =  . . .  = b 2m+1 (E)  = . O,  aleshores (25)  "X (E/ ~) = L (n+l-r) (,_,)r b ' r(E) - (Per tant, -C (E/S ) és independent del camp devectors y regular,unitari, de Killing) . Prova : Per la successió exacta de Gysin i per la dualitat de Foincaré, tenira les segvents relaciona : b1(B) = b1(E) - do=b 4m4 .1 (B) = b 4r .i 4 . 1 (E)4 . . .+b 1 (E) - 7 - 0  ---  - 4 , ,n - b (B) = b (E) -4 1 - d  _d  (E)  b (E) 2 2  0 1 4¡ - z  0 d 0  -  . . .  -  d 4m-i . AiS, (P-6)  b 4m +l (E)  . . . .  *b 3 (2)  d_+ . . . + d 4,i  i tenim : (28)  b  (E)  b 2r , , 4 .1 (B .,) Por (28) i (29) . tenia? : (27)  b 4!n (r)  + . . .  +b 4 (E)  =  d 2+ . . . 4 d 4m-I * Per3  b 4ri (E)  = b 3 (E),  (27)  de  (26) tenim :  b 4mvl (E)  = b 2 (E)  = d,+d 4ni . Ailálogament,  b 4(E)  = d3 + d4m2 . tant,  se segueix de la hipótesis  di = d 3 =d 2m -1 = 0 .  ii m6s a mbs,  si  Y' 6s un  altre ca . , inp de vectors imitari, regular, de Kiliing amb B' = E /y ' (29)  b  (B) - b  B') z- -- 0 (mod 2) Ja que, sobre una 2m-varietat orientada compacta 1 - 4, wnb n impareli, 6s - X(, ,, í) 7b ,, e C» Te - ,qbI teiii .- . .,, : (30)  b2 m (13)  =  1  -(d 04- . .+ d 21-q-1) (31)  do4d2 +  . . .  j, d211U  =  2k 4d 0 -~  d 2 t . . . + d2, . ikieshores, si do = 1, per (30) Si do = 0, per (30) d 2m = 0  i  a¡x-í,  do  d 2m =  1 . teñim b 2m (B) = 0 o 1, d 2rn  o1 i cI .,j-  d 2m~2 . 0  o  1 .  Si  d . 9 +  -1 á 2m-2  o'  t enim :  d 0  + d 2m 1F y , FF 1 1 1 T 1  1  1 1  N 11 1 ---  0  0  1 .  Si  d 2 +  . . .  + d  =  l,  ter17 .1r1 :  b 2m (B)  =  1  -  1  = 21i1-~ = 0 i  així,  d ?m  = 0 ;  per  tant  d0 + . . .  + d 2 r1 = C  o  1 . Análogament, do + . . .+d2 m --- 0 o l . Per (31) tenim : dó + . . .  + d2 m= d0 + . . .  d 2m . En conseqüéncia, = 7( (E/~l)  _  (n+l-r)(-1) r b r (E)  + d o + . . .  -~ d, m .  Com que b 2m+1 (B)  bP .m+1(J) +  . . .  +b i ( E) -  ( d0 +- . . .  t d?rn) 6s parell,  : rovat  (23)  i  (24) . Si b 1 (E) = b 3 (E) = . . . = b 2m 4 .1 (E)  = 0, tenim : b 2m+1 (B) _ -(d  + . . .  + d  )  i així, O 2m AixB Trova el Teorema 5 . COROL .LARI 1 . Sigui (E,7) una varietat de Sasaki convexa compacta, de dimensí6 7, anb 7 regular, i de cl ._rv¿~_tvsa estricta-ernt ;positiva . Ales_iores, si j és un altre camp de vectors unitari recalar de Killing, an - ;I "  x(E/ ~ )  =  % n (E/ 5 1 ) w 'X(E/T) = L (r_+l-r)(-1)rbr(E) . Prova : Pcr a aquesta varietat, b2 (E) = 0 . (Tanno C6) ) . COIROL . LARI  2 .  S 2p+1  lS "q  (p +q =2 : :,+1,  p< m < q) ayo ad- :,et  estructura recular Je Sjsa'_~i . 29+1 Prcva :  S  x S2 q té :" :o , ^bres de Lctti que satisf - an b _- . . . =b  = 0 3b + . . . +~r~ .  lüi .a~el1 . Aixi, S1 2  2m  l  _ . ., .1 É5s 39- , Cc"p de vectorS  regular, de Killing sobre S -- ` x S -, te_iirn : .-) nr tT . r r :o tia' .t, .  :?i' .. 6s de Se .Sa : :1 . 11 ir ir  " MI F I/ I REFERENCIES 1.- W .M .BOOTHBY AND WANG, On Contact Manifoids, Annals of Math .,68(1958), 721-734 ., 2 .- S .KOBAYASHI, Topology of positively pinchedKáeler manifo1ds, Tóhoku Math .J .,15(1963), 121-139 . 3 .- K .KODAIRA, On the structure of compact complex analytic surfaces, I,II,III,IV,Amer .J .t .iath .,86 (1964), 751-798 ; 88(1966), 682-721 ; 90(1968), 55-83 ; 90(1968), 1048-1066 . 4 .- A .MORIMOTO, Omnormal almost contact structure vith a regularity, Tóhoku Math .J .,16(1964), 90-104 . 5 .- R .PALAIS, A global formulation of the Lie Theory of transportations groups, Memoirs of the Amer . Math .Soc .,22(1957) . 6 .- S .TANNO, The topology of contactRiemannian manifolds, Illinois J .Math .,12(1968), 700-717 . 7 .- S .TANNO, A formula on some odd-dimensional Riemannianmanifolds related to the Gauss-Bonnet formula, J .Math .Soc .Japan, 24(1972), 204-212 . DEPARTAMENT DE GEOMETRIA I DE TOPOLOGIA UNIVERSITATAUTONOMA DE BARCELONA BELLATERRA BARCELONA