Sobre la formula de Gauss-Bonnet en varietats de dimensió imparella

Pub . Ma . U .A .B . ná 10, Desemb e 1978 SOBRE LA FORMULA DE GAUSS-BONNET EN MPRIETATS DE Dl : : i :,^I !Z-1PARELLA Depa amen de Geome ia i de Topologiá . Secció de Ma emá iques . Uni e si a Au ónoma de Ba celona . Memó ia p esen ada pe Agus i Re en 6s Ta ida pe aspi a al g au de D . en Ciéncies,-secció de Ma emá iques (pe la Uni e si a Au ónoma de Ba celona) . PRESIDENT D . D . JosepVaque Timone VOCALS Aques a esi doc o al a se di igida pel cü ed á icD1 . D . Joan Gi bau Bad6, i es a llegi el dia 10 d'oc ub ede 1978 a la Facul a de Ciéncies de la Uni e si a Au dnomáde Ba celona, de an del següen ibunal : D . D . Joan Gi bauBad6 D . D . Ped o Luis Ga cíaPé ez D . D . LuisCo de o .Rego VOCALSECRET .ARI D . D . An onio Diaz Mi anda Quali icaci6 EXCEL .LENT "CUM LAUDE" RECONEIXEhIENTS Es ic e _ del e amb el p o esso ' J .Gi bau, di ec o d'aques a Tesi, que em sugge í aques p oblema i m'ajudá en alguns casospa icula s . Vold ia amb6exp essa el meu since ag a men al p o esso S .Tanno pe la se ain alo able e isió del :icu manusc i i beis seas comen a as al Co ol .la i 2 . INDBX IIdTRODUCCIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 CAPITOL 0 . P elimina s i no acions 21 CAPITOL 1 . P o a del Teo ema 1 . . 35 CAPITOL 2 . Di iensi6 3 i dimensi6 5 45 CAPITOL 3 . Diniensio is més ele ades 57 BIBLIOGRAPIA . . . . . . . . . . . . . . . ... . 61 , LL k  "  ¡k ml " L " A Al A ® iI ®  II ®I Al Al A A INTRODUCCIO Aques eball po se conside a com una con inua- ci6 de "A o mula on some odd-dimensional Riemannian mani olds ela ed o he Gauss-Bonne o mula" pe S .Tanno [71 . Sigui B una a ie a de Riemann o ien able, compac- a de dimensi6 2n . La ó mula de Gauss-Bonne -Che n diu : SB Q=2 2n n n! X(B) a on Q deno ala o ma de Gauss-Bonne i 7C(B) és la ca ac e ís icad'Eule -Poinca é . En aques a 6 inula, la dimensi6 pa ella és essencial . Si B és de dimensi6 impa ella, lla o s -X(B) = 0 . malg a o , pe a a ie a s de di- mensi6 impa ell, podempensa ba una ~6 i - ~ula análoga en la ce a e p essi6 que con ingui To in en an oba una d'espe a que c-ls camps que no a hi juguinun pape impo an . En aques a línia, S .Tanno X71 obá el següen e- sul a : TEOREPL4 : Sigui (L2n+l ~  ,g) una a ie a de Rieiaann compac a que ad ; ;ie i un camp de ec o s de Killinc uni a i  ,  al  que R(X,1)Y -- .  g(X,Y)F  -g(Y,F)X,  pe a o en la possibili a de o- que el segonmemb esigui els nomb es de Be i . P6 eula semblan a (1) és s ^ anul.lin sob e la a ie- X,Y, campsde ec o s sob e E 2 n a1 (é s a di , una a ie- a de Sasaki),( eu e apa a 1 del capi ol 0) . Lla o s, si el camp y és egula (Palais E5]) enim : L l h ( ~+~- )(-1) ó (E) a B on b i (E)' és el i-ésim nomb ede Be i de E, F(Li,~ ) és una exp essi6 que depén de la cu a u a _n i del camp (S) és la longi ud de les a bi es de -T i .pe camp egula en enem un camp ec o ialsob eE2nj1 al que o p e E 2n+1 é un en o n coo dena cúbicde mane a que ___les co besin eg als de 'F que passen a a és  d' aques en o n ho an només una egada ( eu e apa a 3 del capi ol 0) . Reco dem ambé que un camp 1 sob e E és un camp de Killing (o, una isome ia in ini esimal) si el g up unipa amé ic de ans o macions locals ; gene a pe en un en o il de cadapun de E, consis eix en isome ies locals . Nosal es olem ob eni una exp essi6 com la (2) pe a a ie a sde Riémann de dimensi6 impa ella,que no siguinnecessá iamen de Sasaki . De o es mane es, sembla con enien de con inua suposan que 1 és un camp _ de __ ec o s de Killing uni a- i, egula . Conc e amen , exposem el següen p oblema . Sigui E una a ie a compac a de dimensi6 2n+l . amb un camp egula - X sob e E . Sigui g una mé ica iema- nniana sob e E pe a la que  és un camp de ec o s de Killinguni a i . Volem oba , so a aques es hipa esis, una ó mulaanáloga a (2) . 12 F P , P'"  n y''"  y T - T  y nI' nI"y L'exemple més senzill duna a ie a que sa is aci les nos es hipó esis pe d no les de Tanno és el se- güen : Sigui B una a ie a de Riemann compac a, o ien a- ble de di ensi6 2n . Suposem que b1(B)  és pa ell i que l b o(B) = 1 . Conside em el p oduc e B x S . Un camp an- gen uni a i a S 1 de ineix un camp de ec o sde Killing uni a i egula sob e B x S1 , ela iu a la né ica p o- duc e . Així, B x S1 sa is á les nos es hipó esis, pe (3 com que b 1(B - X S1 )  és sena ,  sob e B x S1 no hi ha es uc- u asasakianaja que el p i), :e nomb e de Be i d'una a ie a de Sasaki és ze o o bé és pa ell ( eu e apa a 1 del capí ol 0) . El p ime esul a que ob enim és el següen : TEOREMA 1 . Sigui (E,X,g) una a ie a de Riemann compac a o ien able, de di nensi6 2n}1, amb un camp de ec o s de Killinguni a i i egula 1 sob e E . Alesho es, (3)  k(-IP/R(F) 2 " - M V, n1 .)J - V(n,7) L (H ~- )(-~) 6~kE) + ~ (-~)d . a on £(11, 5 ) és ce a unci6 de S2 i de 'y  , b (E) és el -ésimnomb e de Be ide E i d = dim Ke jH (E/ F  R) - . H +2(E/ ,R)} . Aques a aplicaci6 6s la mul iplicaci6 pe la classed'Eule del ib a E -~ . E/i (capi ol 0 apa a s 2 i 3) . p, ' ,TI®I P, I'yy CAPITOL 0 PRELIMINARS I NOTACIONS Dediquem aques capl ol a exposa de inicions i esul a s, que se an u ili za s al lla g del eball . Com que s6n esul a s independen s, di idi em aques capí ol en a is apa a s . En cadaun d'ells ens limi- a em a dona els esul a s* iue més a d a em se i , i les de inicionsimp ecindibles pe a la se a comp en- si6 . El p ime d'aques s apa a s es a á dedica a les a ie a s de Sasaki, ja que els esul a s de S .Tanno s'hanob ingu sob e aques es a ie a s . (Aiés conc e a men , sob e a ie a s de Sasaki egula s) . A con inuaci6do a em una de allada deEinici6 d'in eg aci6 al lla g de les ib es . A pa i d'aques a de inici6 cons ui em la successi6 exac a de Gysin i la classed'Eule pe a ib a s es£é ics . El § 3 e sa á sob e egula i a i a ie a s quo- cien s . Cons ui em el conjun E/-Y , el do a em duna opologia i, u ili zan la7 egula i a , duna es uc u a de a ie a di e enciable . El § 4 es a á dedica a es udia 1'es uc u a Rie- mannianasob e un ib a ci cula p incipal : es consi- de en mé ioues iemannianes sob e 1'espai o al i sob e la base, elacionadas mi jangan la . o i - ~la de con- nexi6 del ib a , i es oben exp essions que elacionen les espec i as connexions ie ;annLanes ( i les espec- i es cu a u as) . ció de supe icies complexes compac es donada pe Kodai a, jun amen amb algun esul a sob e elaciona en e els nomb es ca ac e ís icsd'aques es supe icies (gene e, i egula i a , e c) . Pe a pode aplica aques a classi icació a E/ - ~ , usa em un esul a de P4o imo o que exposa em ambé en aques apa a . _ §1 . Sob e a ie a sde Sasaki Una a ie a di e enciable E 2n+l e una uc u a, si adme un camp  d'endomo ismes de 1'espai angen , un camp ec o ial  i una 1- o ma 1 al que adme una mé ica iemanniana- g al que g(?X .~ y)  = g(X,Y)  - 1(X) y (Y) d X,Y, alesho es de 1'es uc u a  se'n diu es uc u a mé ica quasi de con ac e, i g és la mé ica compa ible amb l'es uc u a . Si de inim 42 (X,Y) = g(X, Y)  i, es compleix que = d , ? , alesho es de 1'es uc u a mé ica quasi de con- ac e se'n diu es uc u a mé ica de con ac e . on `{~~] (X, Y) = 0CX,Y] + IX ,1Y] -~C x1y~  - ~ uxM3 enim una es uc u a mé ica de con ac e no mal, o ab é iadamen , una a ie a  de .'Sasaki . Sob e aques es a ie a s enim R(X,Y)- = 7(Y)X - ?(X)Y pe ó a més a meses ácil de . eu é el .següen esul a : 22 L'apa a segiien es a á dedica a la classi ica- = Si una a ie a E 2n+1  ambuna (, ,i, , ?) - es uc u a si a mes a més `QJ + 2d?®J = 0 Teo ema . Sigui E 2n+1 una a ie a de Rie ann que adme i un camp de Killing 'S amb R(X,Y) Y = g(1,Y)X - g(X,1)Y . Alesho es, E2n+l és una a ie a de Sasaki . Tw .-bé u ili za ejn un esul a opoldgic sob e aques es a ie a s, conc e amen : Teo ema . El p ime nomb e de Be i d'una a ie a de Sasaki compac a E 2n+1  és ze o o pa ell . Pe p o a aques eo ema, es p en una 1- o ma ha mánica u sob e E2n+l i es de ineix una al a 1- o ma ú= uo4 . Es comp o a que i és ha mdnica i que u i ú s6n independen s . $2 . In eg aci6 al lla g de les ib es Pe a ib a s i ials . Conside em el p oduc e de dues a ie a s di e en- ciables, ¿^, B x F . Se suposa que F és o ien able de di i ensi6 n i que ja s'ha elegi una o ien aci6 . Desig nem pe AF(B x F) el subespai de A p (B x F) de p- o mes ámb supo compac e al lla g de F, és a di : AF(B x F) = jdEA P (B x F) als que sup-+nh ' (K) és compac e pe a o compac e K de B  , R indica la p ojecci6 candnica B x -F --> B . SiguickEAp+ (B F)  (p>,0) . F,ne .. a de ini la in eg al de a al lla g de F, que designa em pe ~a . En cada F pun  (X, y) 6 B x F,  oC(x,y)e ^a Tlx,U)(13 x F)  x .  (T% (B)~~ aTy(F  )s 4p "" (^1Tx(B)_* )®(n P"-' T 13 (F~) . (Tingui's P4-9 k en comp e que si q < p,  és p+ -q > i pe an  A  T 1 (F)  --- . 0) . al(x,y) es desconposa, segons la su a di ec a an e- io , en con ponen s homogé-, : .es : a q < ,~) E : " C I~~~,C6) á) ® (A° .~ -4 T I (F)F ) Fixem x a B i em a ia y dins F . o( (x,y) cons i- ob ind em una p-Fo ma sob e B, i es immedia de comp o- a que depéndi£e enciablemen de x . Aques a p- o ma di e encial la designa em pe ,~w i di em que s'ha F p ui á una - o ma di e encial sob e F amb coe icien s a 1'espai ec o ial np T x (B)" (els coe icien sd'aques a o ma di e encialdepend an di£e enciablemen de y) . A més a mes, el supo d'aques a o ma di e encial se á compac e, si eco demla condici6 imposada al supo de  . Podem doncs, in eg a -lasob e F : JyEF e>< p (x,y) . Ob in- d em un elemen de  I pTx (B)* .  Si a cada x E B li assig- nem  a P x,~~ E np T (B) ,* SER ob ingu a pa i de oc in eg an al lla g de les ib es . Pe a ib a squa1sse ols(localmen i ials) Sigui E --- I B un ib a di e enciable (localmen i ial), amb Pib a una a ie a di e enciable F de dimensi6 . L'esmen a ib a es diu o ien able si adme una - o ma di e encial w sob e E al quepe a cada x EB la - o ma di e encial jX(w)  (on j x in- dica la inclusi6 candnica F = l'(x) -o E), cons i ueix x una o ien aci6 de F x . Di d'unaal a mane a, j*(w) no s'anul .la a cap pun de F x . La o ma w , si exis eix, s'anomena una o ien aci6 del ib a E - B . Suposa em d'a a en enda an que E --- " B és un ib a o ien a . Designa em'pe AF(E) _~ oec-A p (E) als que sup~i n i'(K) es compac e pe a o .compac e K de B}  . Dona un x e B 24 . h` 'w Iw~ IV II 11 1  1 - , , Iy n~_ w . . y , n , . T -  ® - V  u conside en un en o n ilde x  al que i (ik) sigui i ial . Sigui ~ una i iali zaci6 que co se i les o ien acions : l i, (1,l )  <  il x F (F 6s una a ie a o ien ada) Donada &-E AF ` (E), conside en 7 F que se á una p-Fo ma di e encial sob e 1(, . Es comp o a que el alo d'aques a o ma en el pun x no depénni de 1'en o n IX ni de la i iali za- ci6 ~~ . Donadadones o' E AF - (E) , de inim  ¢ ~ c con la p- o - F ma sob e B que a cada x .E B al ~~`~a  h'~u>> Y E n~ T o (a ' F  e La di e enciabili a de  11 #k és db ia ja que sob e cada l ,  a coincideix pe de inici6 amb  y4 (0Iñ'(u1) F que,comja sabem, és di e enciable . Comple em la de inici6 posan  o<= 0, si  o< E AF(E) i qz .  F També po comp o a -se que la in eg aci6 al lla g de les ib es conmu a amb la di e encial ex e io ; és adi ,~ d~=dí« . I que i  l`~o n(3 > a~~(3 F  F  ~ ~ F P o EA(B), ¡3 A(E) . A a u ili za eín aques a de inici6 pe a cons ui la successi6 exac a de Gysin i la classe d'Eule pe a ib a s es é ics . Sigui E --s  un ib a o ien a de base B i ib a una es e a S de dimensi6 . Sigui n la dimensi6 de B . V p, conside en el mo isme p 4- A (E) o( - . a S Ls u : : mo is ,?e exha ?s iu . Designem pe K p+ el nucli (pe a cada p) del mo isme `P . Com que la in eg a- ci6 al lla g de les ib es coinmu a amb la di e encial ex e io ,  si « E K p ,  alesho es d cK e K p+ }l  . Així dones K K és un con?plex di e encial amb la di e encialex e io 26 Pe a cada q conside em el mo isme Aq (B) -$ Aq(E) Es po comp o a que la ima ged'aques smo ismes es á con inguda a Kq . Pe an Aq (B)  K q . A més a més ; com que d N> = n d  , el següen diag ama és commu a iu : Aq (B) ~-y Kq ld ld A g4,l (B) no s K q+l Pe an Rx indueix, pe a cada q, un mmo isme de cohomologia H9 (B) -~ H q (K * ) que con inuem designan pe nl . Es po comp o a que n" és un ison?ó isme . Amb aques s p elimina s, conside emla successi6 exac a 0 -+ Kq -J a Aq (E)  -o A q- (B)  ' 0 on j és la inclusi6candnica . Aques a successi6 exac a indueix una successi6 exac a de cohomologia -> Hq(K*) -j Hq(E)  Hq - ( .) ~~ Hqil(Kn) En i u de lísomo isme en eHq(B) i H q (K ° ) podem esc iu e la successi6 exac a aixi : ®°'-F y' OF T- P - F " O , . ; w . m' y- .y- I^ q , n  1  ~W _  y  I '19  y 1P ' ,` 1 '9 -s Hq(B) !1~ Hq(E)  1P + Hq- (B) -J, Hgal(B)- on D =  Aques a 6s la successi6exac a de Gysin . D unciona així : Dona  ~ d e H q- (B) ,  sigui  p una q- o ma de E al que  ?--& . Sigui Y una q+1-Fo ma de B al que  - 1IMí _al .  Alesho es DNd~ =NU 1 . Suposem  que B es connexa, H0(B)  = R i D : R ---i H +l (B) . D(-1) e H +l(B) és la classe d'Eule del ib a E i es designa pe 7C E . Pe an , si S2 és una -Fo ma di e enciable sob e'E amb  A = -1, i  <~ una +l- o ma sob e B al que  4> =d s alesho es ~ és un ep esen an de la classe d'Eule , §3 . Regula i a i a ie a s qu ocien s Enca a que nosal es eballa em en sis emes di- e encials 1-dimensionals, dona em a a de inicions i pa dels esul a sob ingu s pe Palais [S3 sob e sis emes di e encialsm-dimensionals . De inici6 : Pe sis ema di e encial m-dimensional sob e una a ie a di e enciable de dimensi6 n, E, en en- d em una aplicaci6  ® que assigni a cada pun PC- E un subespai & e de 1'espai angen de Ea p . Un camp ec o ial  de E, pe any a 0 si pe a cada p del domini de  , 5 e E Bp . El sis ema di e encial E) es diu di e enciable si pe a cada pcE exis eix un en o n . 1-A- de p i uns camps ec o ials diFe enciables « ~,,---1, de i- ni s a  ° Ll ais que  6s una base de 6~ a cada q c 1l (9 es diu in olu iu si 6s di e enciable i si .quan X i Y s6n dos camps ec o ials di£e enciables a E amb el ma eix domini, o s dos de 6 , el seu pa In esi de Lie aubé pe any a6 . Una sub a ie a N de E es diu a- 2 7 --- associa a cada p e-E ., la ulla de 8 que con é p . La o- pologia de E/i9 és la opologia més Po a que a n o con í .- " nua . A a es ac a de dona condicions so a les quals E/g adme i una es uc u ana u al de a ie a di e enciable de dimensib n-m . Pe aixó, hem de pa la de egula i a . De inicib : Sigui 0 un sis ema di e encial in olu iu m-dimensional sob e una a ie a di e enciable E de ie a in eg al de (9  si pe a cada pun p . N, 1'espai angen a N en el pun p es á inclbs a E) . Si (9 és un sis ema di e encialm-dimensional sob e E, un sis ema coo dena (x  . . ., x  ~,1 .) es di á pla espec- e a  (9 si pe a cada q su . , x, 4 , . . . , X wIés base . d e  ® .  , De inicib : Sigui, 0 un sis ema di e encial in olu iu m-dimensionalsob e una a ie a di e enciable n-dimen- sional , (E,I ) (y' és 1'a las de la a ie a ) i sigui (x, x. .,u) un sis emacoo dena cúbic de E, pla espec e a ® . Si é's una llesca m-dimensional de (x, . . . . x  ,U)  ('Z =  g LL ; X,+,~ (q)  =  ,, .. `  ;  i=l . .n-m, ( , , . . .)  _ .n  ) ,  l' aplicacib q  1 , (x, (q) ; . . . , x,(q))  de T- a R m es diu . una ca a o- liada de E espec e a (9  . Es po comp o a que el con- jun de les ca es oliades de E espec e a 6 o men un a las m-dimensional sob e E . . Sigui(E,~) la a ie a di e- enciablem-dimensional que aques .a las de ineix . Ales- ho es (E,4) es diu la a ie a in eg al maximal de 0 . Una componen con exa de E espec e a la opologia de la a ie a (E,¿p) mi ada com a sub a ie a obe a de (E,~) es diu una Pulla de (9 . El conjun de ulles de 0 es deno a á pe E/6 Sigui 11 0 la p o jeccib candnica de E a E/p ,  que 2 8 dimensi6 n . Un sis ema coo dena (x, ._ x,,u) a E es di á egula espec e a 6 si 6s cúbic, pla espec e a6 i si cada ulla de (9 alla U en, com a mol , una llesca m-dimensional de (x , . . .  x  , () .  Una Pulla de 19 es di á ulla egula de 0 si in e seca el domini d'un sis ema de coo denades egula espec e a 6 . Di e : que (9 6s- egula si cada "ulla de 0 és una ulla egula de 0 Amb aques es de inicions, es em en condicions de pode enuncia dos esul a s,que ens assegu a an que és una a ie a di e enciable Hausdo . Conc e amen : Teo ema : Si 0 6s un sis ema di e encial in olu iu m-dimensional sob e una a ie a di e enciable n-dimensio- nal E, i si (x, ._ . x  , i) 6s un sis ema coo dena a E egu- la espec e+0 , alesho es exis eix una únicaca a (n- I-dimensional T ,  a E/6  amb domini h e(uN al que - 4 .0 . (1)= =  (x- i (q) , . . . , x H (q))  dgé l . . Dues d'agi)es es can es, . es andi e enciablemen elaciona les i el conjun de o es aques es can es, 6s un a las di e enciable de E/e si i sois si 6 és egulas . (Així, podem pa la de la á- ie a quocien E/p  com (E/e,T) on  -Y  és l'únic a las comple de E/a que con ó 1'a las ci a ) . I inai ien Teo ema : Si 0 6s un sis ema di e encial egula sob e una a ie a di e enciable E compac a, Hausdo , alesho es cadaPulla de 0 6s compac a . E/c9 6s una a ie a di e enciable compac a i Hausdo , i n o és una a?licaci6 a cada . Si a m6s a ¡n6s, E/(9 és connexa (en pa icula , si E 6s con exa) alesho es les ulles de  L9 s6n les ib es duna ib aci6 'é _ de E amb espai base E/,s i p ojecci6 n,y, i en pa icula les ulles de (9 s6n 'Cisomo £es . o_ : . i x' descansen G'(o) = `, i o-(,) - , :', ,- . ¡aa ei :ca d b¡ ~ : . Alesho es, una al aco b2 aiab u(0) = a'(0) = p i di ec a de la unici a di e enciais o diná ies enim G- = G', ¡ de p coincide¡, , amb el de x' // . 36 sigui sob e la l a aiis o mada ' de o ogonal (ja que 3és un n .T'= nos . de soluciona de les equacions així el pe íode c ?E,-- ea¡-,,p de Lla o s, coya aplicaci6 Ki11ing) .~i . .í dones, c7 . . ; :° . que el pe íode és cons a : , el podem p end eigual a 1 . D'aques a mane a, cl g up unipa amé ic a ') .5 depénnomés de les classes d'equi alé .cia i l'acci6 així incluida és e ec i a i lliu e i Wang £13) . esul a s de Palais, ens diuen que E és un associa mod 1 de (Boo hby Els ib a sob e la a ie a di e enciable E/ -T  . (Posa em E/~ = B) . Pan sois es a eu e que és localmen i ial, és a di , hem de eu e que B po se ecube a pe en o ns U a ala que exis eixi una secci6 5, : U, 1 E ( i s,, = Id) . Alesho es, les aplicacions ~p . : u w x S 1 --~ E de inides pe  --- " s,(p) se an ¬ uncions coo denades del ib a . Es ácil de eu e que jeccions deis en o ns egula s, au omá icamen enim secciona ( s o (x,  x,,) . = (x,,, _ . x U c) pe a alguna cons- an c, on x,, .-,x ,, ep esen en unciona coo denadessob e U .) . Així dones, E ---~ B és un ib a ci cula p incipal . w la o ma dual de y pe g, aixb és : w (x) = g(1 .x) I odui m a a una mé ica ienanniana sob e B . Pe a aix6 de inim si aga em com a U, & les p o- I  I " IIh p, p, ® p, i II/ II sI IP T T '" - y n In Iq h(X,Y)(P) = g(X',Y')(q) - uJ®w (X',Y')(q) on X', Y' són ca!nps sob e E, que só _ p ojec a s sob e X, Y espec i amen , iq és un pun de la ib a de p . Es ácil de eu e que aques a de inició és inde- penden del pun q i dels canps X',Y' escolli s i que es ac a duna mé ica de Riemann . E _ e ec e, egem p ime amen que si un cop elegi el pun q de la ib a, can iem X'  pe Xq' (  amb TT n Xq' = = X p ) i can iemYq pe Yq ( amb T,~9Yq = Y p ), la de ini- ció de h no a ia . I no a ia, ja que al p ojec a -se Xq i Xq' sob e Xp , di e eixen en un múl iple de 1 i enim gq(Xq ~y , Y 4 ,i) - w q (X, ~T ) wq(Yq+/-3) - Aneas a eu e a a que no dep1n del pun elegi a la Fib a de p . Pe a aixa, siguin q,q' pun s d'aques a ib a amb q / q' . Siguin X',Y' ec o s angen s a E, a q, que es p o- q q jec insob e X , Y P p Siguin X', , Y', ec o s angen s a E, a q', que q q es p ojec in sob e X P , Y P . Hem de eu e : gq (X q . , Yq ) _  q (X q )  q (Y q ) . gq ( :cq  ,Y')  _ ~(x') q (Y')  = gq,(xq,  ,  y,,)  _ _ ~ q ,(x',) q ,(Y q ,) . Níi jan an el g up uiipa amo ic associa a passa e .i X' , Y' , clwcn s de T E, a elemen s de T E . q q  ~~  q Veu em que aques s dos nous ec o s de T q' E es p ojec- e . sob e X p , Yp espec i amen , i pel < ;ue s'ha is an e io men , u ili zan que T és un camp ec o ial de Killing, queda á p o a . Sigui 9, el g L'p unípa amé ic associa al camp i  ~~( q)  = q' .  Tenim T q T qE -- : i Tq ,E 3C q -~ Tq YE . (X q )  = X q'  ' Fel que s'ha di abans, hem de eu e només : pe o T q' n .  Ta % .  = Tq ( l " ~ .)  = T q i jaque l . iL,(z) =11(z),  pe se  (z)  un pun de la ma éixa ib a que z . Amb aixa, la igual a que hem de p o a queda, a pa i de : 3S- gq.(Xq ., Y, ,) _  q,  (xq,) - q ,(y y `,)  - = gq (T g YJ q ' Tg T .X )  _ de la o ma següen : (Tq' M) (T q  . (xq))  = Xp gq(Xq ~Y,) - q(X q ) ig(Y,) _ q,_(T q _Xq) . ~q ,(T g Y o Yq) gq ' (T q ~ .Xq  T q ~ bb Y q ) - q( T q~kb Xq) 'J q(TgTh . Yq) Pe ó, pe se 1 iu1 ca,-, - ,p ec o ial de Killing i Tq E . 5q =  1 q ' , aques aigual a és ce a i enim doncs una mé ica sob e B, que a més a més és iananniana, de inida a pa i de g i de -i . Així, enim que (B,h) és una a ie a de Riemann amb  g = n * h  4+ ® w . Aíés enca a, cono que E és o ien able, exis eix una (2n+-1)- o ma que no s'anul .la sob e E . Aques a o la, in eg ada al lla g de les ib es (el ib a és o ien a ble), és una 2n- o ma que no s'anul .la sob e B . Així B és o ien able . (NOTA : Podem eu e que B és o ien able, aplican el esul a més gene al dona pel següen exe cici (G eub) : Sigui (E,a,B,F) un ib a di e enciable a :nb E con- nexa i o ien able, pe d B no o ien able . Sigui Q : H -+ B el doble ecob imen o ien able . Demos a que el i- b a és o ien able si i sois si exis eix un ib a di- e enciable (E, T¿3,F l )  al que R = Qa ^ . P o a que lla o s F = Fl x Z2 ) . Pe an , sob e B poden, aplica el eo ema de Gauss-Bonne , que diu : J Q ~- 22n B 11 Vi 1-11 X (B) i (~~) deno ala o made cu a u ade la mé ica h, i -C(B) és la ca ac e ís icad'Eule -Poinca é de B . Com que  uw (X) = g(~ X) i 'j és un camp de ec o s de Killing, enim que Li és una o made connexió sob e el ib a i així podem esc iu e comuna uncib de . la cu a u a sob e E espec e a la mé ica g (Kobayashi [2] ) (Capí ol 0, apa a 4) . Comp obem, p ime amen , que -J és o ma de connexi6 . 40 PROPOSICIO 2 . En aques es hip8 esis, w és o ma de connexi6 . P o a : Si aga em A = d /a una base de d " , álgeb a de Lie de S 1 , alesho es w =  A, és unw o masob e E que A en alo s a csj'L . Com és habi ual, iden i iquem w amb w  , quan pa lem de la connexi6 de inida pe - . Pe a eu e que -+de ineix e ec i amen una connexi6 hem de p o a : P ime , si V c G'i V ° és el camp ec o- ial sob e E indui pe V, alesho es k+(V') = V en cada pun ; i segon, R LJ(X) = ad( -1 )(X) pe a cada X ec o angen a E . Lap ime a a i maci6 només cal p o a -la pe a la base A de G' 1 , pe 8 A ¢ _ ~ i  w ( ) = 1, pe an , en i - u de la iden i icaci6 enim : w (A') =-1 (A") = w (A)A = =w(E)A = A . Respec e al segon pun , co o que S1 és abeliá, hau em de eu e an sols que R ~ = W , pe 8 R w (X) (p)  =  w (R * x p )  _ 'g(R o xp , eLP )  - = g(R xp ,R S p ) = g(x p .j p )= w (x p ) pe se ~ camp ec o ial de Killing . Així doncs, .,~ de ineix una connexi6 sob e E . Pe eu e ácilmen que A a =  , eco dem b eu men la cons uccib de VI . Si V  i a és el subg up unipa amé ic de 51 gene a pe V, alesho es el g up unipa amé ic de ans o macions R  sob e E, indueix a F- 7 V-' ' -p  'Y , Y- y-'wF - Y- p .,- 1 -- 7 .T ,-- . .,,-"-  - W Iq ~ . que  , n . un camp ec o ial di e enciable sob e E, que deno en V  .  Si pa im de A,  a = i la igual a és ob ia . Queda p o ada la p oposició 2 //- A pa i de les p opie a s de la in eg ació al lla g de les ib es, (Capi ol 0, apa a 2), és ácil de eu e que on 6 és una-2n- o ma a bi á ia sob e B . U ili zan o ques a igual a , i les elaciona en e les o mes de cu a u a de g i h (Capí ol 0, apa a 4), a pa i de (11) ob enim : (12)  ((-1)  /  22n Ti n n!  -I(S))S £ 7 1  i, . . i z -)  n . .  C-k1 iZi- ~ ._ ^i = ¡X (B) . Si posem A(ij) en lloc de A ij , esul a JE e,,w =  2(F) J B w (13)  (( - 1) n/ 2 2n R n n! L(~)) IE  Eci~ . .i~~)  `~h + +~,(A(i i)A('cs) + A(izk)A(i1s))  n ."- (~ iIM-%+ k s } T-( A ( 12n 1 n-1)A(ks) + A(¡  k)A(i2n-1 s))~ , ^  _ Ks Calculen : 7C(B) en e mes dels nomb esde Be i de E . La successió exac a de G sin de! Pib a n : E--~ B és T encan -la, i així, comquesón espais ec o ials, enim : (14) 42 0 - . QH1(B)  cl  o H 1 (E) - , --Ho(B) 0 -+ H n+2 (B)/Im D p - H p 2 (E) --°+ Ke D p,* 1 - : P 0 H p'2 (E) = Ke Dpai ® Coke D p Lla o s, ob enim les següen s elacions : b 0(B)  = bo(E)  . b 1(B)  = b 1 (E)  - d0 b 2 (B)  = b 2 (E)  } b o (E)  - d o - dl b n (B)  = b n (E) a b n-2 (E) 4- . : .}b n -2k (E)-do-d i -  .. .-d l-1 " (amb 2k = n o 2k *1  =n,  d i  = dimKe D . 1 , i D i : H,(B ;R) --, Hi+2(B ;R) la mul iplicació pe la classe d'Eule del ib a (Capi ol 0, apa a 2) . J a que 7C(B) =  2b (B)( - 1) +b n (B)( - 1) n (dim B = 2n) = e exp essan cada b (B) comuna unci6 de b (E) i d enim : 24 (15)  ñ (B)  (n al- )(-1) b (E)  (_1) d . D'aques amane a ob enim la Fó mula (3), amb (sz, j )  donada pe (13) . Aques a £( .a, 1 )  és independen de l'elecci6 dels canps de 7 -bases .( Si V,el, . . .,e2n i  ~ l , ." , 2n s6n dues e e éncies o ien ades posi i a- men , els in eg an s de (13) di e i ien en el de e minan del ca i, que en aques cas és igual a l) . Si eballem sob e a ie a s de Sasaki, el e me N-1 L (-1) d  , no apa eix . En e ec e, en aques cas la  u  base del ib a és una a ie a Káhle iana, pe d com que la classe d'Eule del ib a coincideix amb la classe de la 2- o ma onamen al de la a ia a Káhle iana`, sabem que, alesho es, D p és injec iu pe a p <(2n-2)/2 . Aques és el cas es udia pe S .lanno (7] . ~ l'"~~ `, ~ ~Ih'~~'Ile l~~ll¡I~¢ ~~°di " k} I ~ ,?1}~ k'' ~¡1~, .~1~~, " '!~ ~a~ .~'" ~ " ~~, p :~( y- CAPITOL 2 DIMENSIO 3I DIMENSIO 5 §l . Dimensió 3 TEOREMA 2 . Sigui (E .g) una a ie a de Riemann o ien able, compac a connexa de dimensió 3 . Sigui un camp de ec o suni a i egula , de Killing sob e E . Lla o s on K(~ l ) signi ica la cu a u aseccional del - pla o ogonal a , K(V) la cu a u a seccional de qualse- ol pla que con ingui 1 (és independen de 1"elecci6 del p la)  i  `?  deno a le . o :,a de olum . A més a :més, en el da e cas el ib a és i ial . (16) (1/2 11 «1» IE (K( 5 1 ) + 3K(5 » -2 =2 si i sois si b1(E) és pa eil, i (17) (1/2 nk(j)) IE (K( j'-) ~- 3K(5)) `? = 3 si i sois si b 1 (E) és i impa ell, implica :  b 1 (B)  = d l = b 1(E)  - . d o = 1 i aixd implica : b2(B)  =1- (d o -4--d 1 )  = 1 - 2,  cosa impossible . PROPOSICIO 4 . Sigui (E, i) com en la p oposici6 2 . Lla o s b 1 (E) = 0 implica :  -X (E/ T)  =3 +b 2(E)  i el ib a 6s no i ial . P o a :  bi(B)  = b 1(E)  - do = - d o implica do ---- = b 1(B)  = 0 .  Així  6s d 1 = 0 ja que d l !! b1(B) . PROPOSICI6 5 . Sigui . (E,~) com en les p oposicions an e io s .  Si b 1(E)  =2 i b2 (E)  = 1,  enim :  i (E/ y )  = 0 . P o a :  b 2(B)  = 1 + 1 - (d o+ d 1 ) .  (i)  d o = 0 implica : b (B) = 2 i b (B) = 2 - d  = 2p (B) + 1+b (B) , 1  2  1 g d' on d 1 = 0  o d l =  1 . Anem a eu e que d 1 1 . Suposem que no ; enim : b 2(B)  = 1 i  així,  p g (B)  = b _(B)  =0 .  Pe ó b _(B)  = 0 oldi que B 6s lliu e de co bes excepcionals (c . amb la p o a del Teo ema 3a) . Pel Teo ema A,  enim : c 2(B) _ = op g 4 9-b  -8q =1~0i q=1 . Pe dpelTeo ema C enim q = 0 . Aixó 6s una con adicci6, i així, dl = 0 . (ii)  Si  d o = 1,  lla o s d l = b1(B)  =b 1(E)  - do = 1 . En ambd6s casos,  '7C (E/T )  = 3 - 2b 1 (E)  + b 2 (E) + do -d 1 = = 3  - 2b 1 (E) + b 2 (E)  = 0 . PROPOSICI6 e . . - Sigui (E,F) com en les al es p opo- sicions . Si b 1(E) = 1 i b 2(E) = 0, enim : "X (E/ ) = 1 i el ib a és no i ial . P o a :  b 2(B)  =  1  - (d o + d 1 ) .  Si d o = 0,  b1 (B)  = = b 1(E)  = l . Pe an b 2(B)  = 2p 9(B) +  b_ (B) ,= b2(E)+ + bo (E)  - do - dl =1-d l . Aixa implica :  p 9 (B)  = 0 i b _(B)  +  d l = 1 .  Si  d 1 = 1,  b_(B)  =0 implica :  b p(B)  = 0 ; pe a aixd és imposible, ja que  - X E E H 2 (B ;R) i  _ X E no és  ze o pe qué do = 0 .  Si do = 1,  d 1 = b1 (B)  = b1(E)  - 1= = 0, pe a lla o s b 2(B) = 0 = 2p g (B)  1 +b-(B) i aixd és impossible . La da e a igual a e del Teo ema A . Pe an , enim : do = 0id 1 = 0 . Aixi, - X(E/1 ) = iel ib a és no i ial . ~-b iamen , el Teo ema 3 és conseqüéncia deis eo e- mes 3a i 3b, i de les p oposicio _s 3,4,5 i 6 . L'in eg an s'ob i de (13) pe a n = 2 . TEOREMA 4 . Sigui (E,g) com en el Teo ema 3 . Alesho es, si la cu a u a seccional de E és semp e posi i a, 1'in- eg an és posi iu . Si la cu a u a seccional al lla g deis plans o ogonals a 1 és semp e posi i a, 1'in eg an és posi iu . P o a : L'in eg an de la : :~ula de Gauss-Bonne en dimensi6 4 po esc iú e's com segueix ( Che n, Abh . Ya h .Sem .Uni .Ha lbu g, 20 (1955),p " 124) : (21)  (K1212 K 3434 + K1234 4 .K 1313 K 4242 } 2  2 i K 1342 + K 1414 K 2323 + K 1423 ) On  S ~ _ (1/2)^L .- .  Kijk 6 ., aT En e ec e : Reco dem que si una secci6plana P e gene ada pe dos ec o s de componen s X i , Yk espec i- amen , les se es coo denades de Plücke es de ineixen així : pik  Y i . x i Y l : - Xk  53 Quan P 6s de mesu a uni a , aix3 és, quan la cu a u a seccional de P e donada pe Suposem la secci6 plana Po : p 12 = 1, PkP = 0, (k,k) A (1,2), pe a la qual la cu a u a seccional 6s máxima, en e o es les seccions planes a a és del pun . En un en o n de Po enim : p 12 ~ 0 . Pe a mes seccions planes coa aques es, podem esc iu e un conjun comple de elacions independen s en e les pik així : K (P)  `  yL K .aK4 ~i ~Ke Pis P,,P + P . P o ., + PIP P «  =0' A aix3 a egim la elaci6 Seguin el p ocedimen habi ual, pe es udia un ex em ela iu de la cu a u a seccional conside en la unci6 on l .% i/ dP s6n inde e minades . T obem La condici6 que aques es de i ades pa cials s'anul .lin pe a Po d6na K 1 W12 =0 Can ian els índexs 1 i 2, enim K2<K12 =0 ,  - 7 . M ., c V . _  K ~ k w - ^Px  sP  P P A con inuacióconside em o es les secciona planes que enen un ec o no nul en comú a la egada amb Po i amb 1'espai lineal (n-2)-dimensional pe pendicula a ell . Sigui P1 (p l3 - 1, p ik -0, (i,k) A (1,3)), d'en e o es elles, aquella pe a la que la cu a u aseccional assoleixun máxim . U ili zan l'an e io a gumen ob e- nimles condicionanecessá ies K2313  0, K lu13 -0, Pe a n = 4, enimdones Pe 1'apa a 4 del Capi ol 0, si (22)  Rijij = K1j1j - 3 A(ii)2< 4 _c 1)5 n . K 1213 K 1214 K 1223 K 1224 K 1323 K 1314 0 Pe an X12 w  34 + 'l3 ~'42 '  14 ~~ 23 _  2 - (K1212 K 3434 d K 1234 a x 3 1314242 + 4-K 1342 4- K 1414 K 2323 + 1423 ) ' enim El esul a es dedueix Gcil :nen de (21) i (22) . Hem ob ingu ambé, el segUen Teo ema : TEOREMA 5 . Sigui E una a ie a compac a, connexa de dimensió 5,  amb b 1(E) pa ell di e en de ze o i de dos,  i b 2 (E) = 0 . Alesho es E no po adme e cap es uc- u a egula , quasi de_ con ac e i no mal .  _ P o a : En la demos ació del Teo ema 3b, 1'exis- éncia d'un camp 3 , essen E/5 una a ie a complexa, implica la no i iali a del ib a i la igual a p (B) = b _ (B) = 0 . D'aques ada e a eiem que B és lliu- 9 e de co bes excepcionals . Lla o s, pel Teo ema A ind em : c 2 (B) = 9 - 8q < < 0, i u ili zan el Teo ema B, se ia B una supe icie eglada i així, b 2(B) = 2 = l~'(B) + b (B) = 2p 9 (B) + 1 + ab (B), cosa imposible . 56 p FIF VIIIM , IPI' yIIIp, 1 1 , y ,T,y , T y ,T,T1R CAPITOL 3 DII~~iAiSIC~üS - :ES ELEVGD~S En dimensions més zl es, hem ob ingu el enul a següen : TEOREMA 6 . Sigui E una a ie a deRiemannconnexa conipac a, de dl .ensió n = 3k4n .i, m : 0, que adme i un camp de ec o s egula uni a i i de Killing 3 . Si b,(E)  = b 4(E)  = (E) --- 0, lla o s : Z°` H (23)  7C (E/] )  -  L~  (nil- ) (-1) b (E) +  1  si i sois si' 1 (E)  + b3 (E)+  . . .4b2m ;1(E)  és impa ell .  I (24)  'K (E/F ) = j J (nkl- )(-1) b (E)  si i sois si _ o  .  b 1(E)  +  b 3(E) .Y  . . . a b2 ~ }i (E)  és pa ell . Si b 1(E)  = b 3 (E)  =  . . .  = b 2m+1 (E)  = . O,  alesho es (25)  "X (E/ ~) = L (n+l- ) (,_,) b ' (E) - (Pe an , -C (E/S ) és independen del camp de ec o s y egula ,uni a i, de Killing) . P o a : Pe la successió exac a de Gysin i pe la duali a de Foinca é, eni a les seg en s elaciona : b1(B) = b1(E) - do=b 4m4 .1 (B) = b 4 .i 4 . 1 (E)4 . . .+b 1 (E) - 7 - 0  ---  - 4 , ,n - b (B) = b (E) -4 1 - d  _d  (E)  b (E) 2 2  0 1 4¡ - z  0 d 0  -  . . .  -  d 4m-i . AiS, (P-6)  b 4m +l (E)  . . . .  *b 3 (2)  d_+ . . . + d 4,i  i enim : (28)  b  (E)  b 2 , , 4 .1 (B .,) Po (28) i (29) . enia? : (27)  b 4!n ( )  + . . .  +b 4 (E)  =  d 2+ . . . 4 d 4m-I * Pe 3  b 4 i (E)  = b 3 (E),  (27)  de  (26) enim :  b 4m l (E)  = b 2 (E)  = d,+d 4ni . Ailálogamen ,  b 4(E)  = d3 + d4m- 2 . an ,  se segueix de la hipó esis  di = d 3 =d 2m -1 = 0 .  ii m6s a mbs,  si  Y' 6s un  al e ca . , inp de ec o s imi a i, egula , de Kiliing amb B' = E /y ' (29)  b  (B) - b  B') z- -- 0 (mod 2) Ja que, sob e una 2m- a ie a o ien ada compac- a 1 - 4, wnb n impa eli, 6s - X(, ,, í) 7- b ,, e C» Te - ,qbI eiii .- . .,, : (30)  b2 m (13)  =  1  -(d 04- . .+ d 21-q-1) (31)  do4d2 +  . . .  j, d211U  =  2k 4- d 0 -~  d 2 . . . + d2, . ikiesho es, si do = 1, pe (30) Si do = 0, pe (30) d 2m = 0  i  a¡x-í,  do  d 2m =  1 . eñim b 2m (B) = 0 o 1, d 2 n  o1 i cI .,j-  d 2m~2 . 0  o  1 .  Si  d . 9 +  -1 á 2m-2  o'  enim :  d 0  + d 2m 1F y , FF 1 1 1 T 1  1  1 1  N 11 1 ---  0  0  1 .  Si  d 2 +  . . .  + d  =  l,  e 17 .1 1 :  b 2m (B)  =  1  -  1  = 21i1-~ = 0 i  així,  d ?m  = 0 ;  pe  an  d0 + . . .  + d 2 1 = C  o  1 . Análogamen , do + . . .+d2 m --- 0 o l . Pe (31) enim : dó + . . .  + d2 m= d0 + . . .  d 2m . En conseqüéncia, = 7( (E/~l)  _  (n+l- )(-1) b (E)  + d o + . . .  -~ d, m .  Com que b 2m+1 (B)  bP .m+1(J) +  . . .  +b i ( E) -  ( d0 +- . . .  d? n) 6s pa ell,  : o a  (23)  i  (24) . Si b 1 (E) = b 3 (E) = . . . = b 2m 4 .1 (E)  = 0, enim : b 2m+1 (B) _ -(d  + . . .  + d  )  i així, O 2m AixB T o a el Teo ema 5 . COROL .LARI 1 . Sigui (E,7) una a ie a de Sasaki con exa compac a, de dimensí6 7, anb 7 egula , i de cl ._ ¿~_ sa es ic a-e n ;posi i a . Ales_io es, si j és un al e camp de ec o s uni a i ecala de Killing, an - ;I "  x(E/ ~ )  =  % n (E/ 5 1 ) w 'X(E/T) = L ( _+l- )(-1) b (E) . P o a : Pc a aques a a ie a , b2 (E) = 0 . (Tanno C6) ) . COIROL . LARI  2 .  S 2p+1  lS "q  (p +q =2 : :,+1,  p< m < q) ayo ad- :,e  es uc u a ecula Je Sjsa'_~i . 29+1 P c a :  S  x S2 q é :" :o , ^b es de Lc i que sa is - an b _- . . . =b  = 0 3b + . . . +~ ~ .  lüi .a~el1 . Aixi, S1 2  2m  l  _ . ., .1 É5s 39- , Cc"p de ec o S  egula , de Killing sob e S -- ` x S -, e_ii n : .-) n T . :o ia' . , .  :?i' .. 6s de Se .Sa : :1 . 11 i i  " MI F I/ I REFERENCIES 1.- W .M .BOOTHBY AND WANG, On Con ac Mani oids, Annals o Ma h .,68(1958), 721-734 ., 2 .- S .KOBAYASHI, Topology o posi i ely pinchedKáele mani o1ds, Tóhoku Ma h .J .,15(1963), 121-139 . 3 .- K .KODAIRA, On he s uc u e o compac complex analy ic su aces, I,II,III,IV,Ame .J . .ia h .,86 (1964), 751-798 ; 88(1966), 682-721 ; 90(1968), 55-83 ; 90(1968), 1048-1066 . 4 .- A .MORIMOTO, Omno mal almos con ac s uc u e i h a egula i y, Tóhoku Ma h .J .,16(1964), 90-104 . 5 .- R .PALAIS, A global o mula ion o he Lie Theo y o anspo a ions g oups, Memoi s o he Ame . Ma h .Soc .,22(1957) . 6 .- S .TANNO, The opology o con ac Riemannian mani olds, Illinois J .Ma h .,12(1968), 700-717 . 7 .- S .TANNO, A o mula on some odd-dimensional Riema- nnianmani olds ela ed o he Gauss-Bonne o - mula, J .Ma h .Soc .Japan, 24(1972), 204-212 . DEPARTAMENT DE GEOMETRIA I DE TOPOLOGIA UNIVERSITATAUTONOMA DE BARCELONA BELLATERRA BARCELONA