Sobre extensiones centrales en una variedad de grupos

Pub . Mat . UAB Nó 9, Setembre 1978 Memoria presentada por IRENE LLERENA RODRIGUEZ Revisada  para aspirar al grado de Doctor en Matemáticas por la Prof . Dr D . RafaelMallol  Universidad de Barcelona Catedrático de Algebra Universidad de Barcelona SOBRE EXTENSIONES CENTRALES EN UNA VARIEDAD DE GRUPOS Tesis doctoral de la Dra DMa IRENE LLERENA RODRIGUEZ Tema : "SOBRE EXTENSIONES CENTRALES EN UNA VARIEDAD DE GRUPOS" Tribunal de Tesis Presidente : D . JUANAUGE FARRERAS Catedrático de AnálisisMatemático 3 0 Facultad de Matemáticas Universidad de Barcelona Vocales :  D . JOSE TEIXIDOR BATLLE Catedráticode Geometría Analítica y Topología Facultad de Matemáticas Universidadde Barcelona D . JOSE VAQUER TIMONER Latedráticode Geometría lo (Geometría y Trigonometría) y Geometría 5 0 (Geometría Diferencial) Facultad de Matemáticas Universidadde Barcelona D . RAFAELAGUILO FUSTER Catedrático de AnálisisMatemático 40 Facultad de Matemáticas Universidad de Barcelona Director :  D . RAFAELMALLOL BALMAÑA Catedrático de Algebra Facultad de Matemáticas Universidad de Barcelona Realizada la presentación y lectura de la tesis en 7 de Diciembre de 1977, obtuvo la calificación dé SOBRESALIENTE "cum laude" . Barcelona, 8 de Febrero de 1978 EL DECANO, y 50 INTRODUCCION El intento de generalizar los funtores de homología y de cohomologia, definidos en la categoría Gr de los grupos, a otras categorías, data ya de los añossesenta, con definiciones más o menos sofisticadas . Sin embargo, no es hasta 1970 cuando U . Stammbach da en (14) una definición de los funtores V y 9 como generalización de H 2 y H 2 , respectivamente, para el caso concreto de variedades de grupos . La mayor parte de las propiedades de H  2 2 y H  se generalizan sin dificultad a V y 9 , incluyendo el teorema de los coeficientes universales y la sucesión exacta de los cinco términos demostrada, independientemente, en 1966 por J . Stallings y U . Stammbach . Es un hecho bien conocido que  H2 (Q,A)  clasifica las extensiones del grupo Q por el Q-módulo por la izquierda A ; es decir, existe una correspondencia biyectiva entre el conjun2 to H (Q,A) yel conjunto de clases de equivalencia de extensiones de Q por A , que es, además, un isomorfismo respecto las correspondientesestructuras de grupo abeliano . Se demuestra', asimismo, que cuando Q es un grupo de una variedad V, si el producto semidirecto  A7 Q está en  V,  el grupo G(Q,A) clasifica las extensiones de Q por A contenidas en V . El caso en que A sea un Q-módulo trivial da lugar a las llamadas extensiones centrales, esto es, extensiones tales que A está contenido en el centro de G . Para el caso particular de la variedad Ab de los grupos abelianos, si A es un Q-módulo trivial, se tiene que clasifica las extensiones abelianas del grupo abeliano Q por el Q-módulo trivial A . El teorema de los coeficientes universales E : A)~G-->jQ V(4,A) = Ext1 (Q,A) , V(Q,A) = Ext1(Q,A) y--- 1 H2 Q,A) --~) Hom(HZQ,A) nos da, entonces, el conúcleo de la inclusión del . . giupo de las extensiones abelianas de Q por A en el grupo de todas las extensiones centrales de Q por A, y nos dice, además, que V(Q,A) es un sumandodirecto de H2 (Q,A) . En este trabajo me propongo generalizar la sucesión de los coeficientes universales, interpretada como caracteri ;ación del conúcleo Ext 1(Q,A) ~ ~ H Z (Q,A) , a variedades de grupos V de exponente cero (es decir, tales que V D Ab ) . Demuestro, para ello, que si Ves una variedad de exponente cero, Q un grupo de V , yA un Q-módulo trivial, la sucesión V(Q,A)>--1H 2 (Q,A)-4Hom(I,A)-4Ext(VQ,A)--- > Ext(H2Q,A)---»Ext(I,A) donde  I = Ker (H2 Q - ->VQ),  es exacta y natural  (teorema 3 .2 del capitulo II) . A partir de este resultado estudio en el apartado 4 del capítulo II diferentes casos particulares concretos . Losmás interesantes aparecen al considerar la variedad N  de los gru pos nilpotentes de clasemenor o igual que c . Por ejemplo, si Q E Nc admite una presentación libre  S)  !F--* Q  tal que 5 G Fc ,  resulta que la sucesión exacta anterior se reduce a V(Q,A)~-->H2(Q,A)-NHom(I,A) Estosgrupos Q resultan ser, entonces, precisamente, las extensiones "stem" de los grupos nilpotentes libres de clase c-1 con tantos generadores como Q . Tambiénpara,la variedad N z obtengo el siguiente resultado : Si A es abeliano libre, entonces V(Q,A) es un sumando directo de H2 (Q,A) (teorema 4 .1 . del capítulo II) . Sin embargo, el que V(Q,A) sea un sumando directo de H2 (Q,A) no parece ser cierto en general . Como primer paso para analizar los casos en que esto ocurre, estudio bajo qué condiciones se puede afirmar que V(Q,A) sea un subgrupo puro del grupo H2 (Q,A) . El concepto de subgrupo puro, introducido por H . Prüfer en 1923, resulta ser una noción intermedia entre la de subgrupo yla de sumandodirecto . Un subgrupo puro es bajo determinadas condiciones un sumando directo . Así obtengo algunos resultados que aseguran, en determinados casos, que V(Q,A) es un sumandodirecto de H 2 (Q,A) . En particular, esto ocurre si Q es un grupofinito tal que Ext(VQ,A) = 0 (teorema 3 .1 del capitulo III), o, también, si VQ es libre de torsión y H 2 (Q,A) es suma de grupos cíclicos (teorema 3 .3 del capítulo III ) Esta memoria está distribuida entres capítulos . En el capítulo I se agrupan las definiciones y resultados fundamentales sobre variedades de grupos y sobre (co)-homología de grupos,que 'necesito a lo largo del trabajo . En el capítulo II desarrollo la teoría de extensiones con núcleo abeliano en una variedad V, demuestro, para variedades de exponente cero, la generalización del teorema de los coeficientes universales, ya citado, y estudio algunos casos , particulares que de él se derivan . En el capítulo III estudio, por último,las condiciones de pureza y descomponibilidad de la inclusión  V(Q,A)>--jH2(Q,A), en conexión con los resultados del capítulo II . En este trabajoaparecen sin demostración todos aquellos resultadoscontenidos ya en los libros o artículos citados-en la bibliografía . En la bibliografía he citado unicamente los libros o artículos que se precisan explícitamente en este trabajo . Tengo que expresar mi agradecimiento al Profesor Dr D . RafaelMallol de la Universidad de Barcelona que presenta esta memoria, así como al Profesor Dr Urs Stammbach de la ETH Zürich por los estímulos, sugerencias e indicaciones que de Al he recibido . También a la Eidgen5ssische Technische Hochschule de Zürich y al Consejo Superior de Investigaciones Científicas que, mediante una beca de intercambio, me han prestado su apoyo financiero durante una parte de la redacción de este trabajo . Irene Llerena Barcelona, febrero de 1977 Capítulo I MATERIAL PREVIO En este primer capítulo incluyo los conceptos y teoremas sobre variedades de grupos que necesito a lo largo del trabajo, así como una breve introducción, sin demostraciones, a la teoría de homología de grupos y su aplicación al estudio de las extensiones de grupos . Para más detalles sobre variedades puede consultarse el excelente libro de H . Neumann "Varieties of grupos" (11) . Los resultados de la teoría de homología están todos incluidos en el libro de P .J . Hilton y U . Stammbach "A'course in homological algebra" (5), o bien en el de U . Stammbach "Homology in group theory" (15) . II  IIF pp  n 11 i n In 11 1 7 , n I .1 . Variedades de grupos Sea X un conjunto de letras . Designaré por F m el grupo libre engendrado por X . Una palabra es un elemento de F o . Una sucesión finita de letras x1 ,x 2 , . . .,x n ,x11 , , . x1 determina un elemento v = v(x l   x n ) en F c y recíprocamente . Se dice, entonces, que v es una palab ra en n variables . Si, para todo homomorfismo  f : F . -jG  de  F c.  en un grupo G, f(v) = e, se dice que la palabra v es una lev en G . En general, dado un homomorfismo  f : F c ,, -a G  y una palabra v =  v(xl, . . . . x n ),  f(v)  se llama valor de  v  para los  valores a r ,  =  f(x i),  i  =  1, . . .,n,  de las  variables,  y  se  escribe f(v) = v(a l - .,a n ) . Una variedad de grupos V es una subcategoria llena de la categoría Gr de todos los grupos, cerrada al tomar subobjetos, cocientes y productos cartesianos . Dado un conjunto de palabras' V, las grupos para los que todas las palabras de V son leyes forman una variedad V ; diré que V define V . Según un resultado de G . Hirkhoff (1935), el recíproco también es cierto : Toda variedad V puede definirse de esta forma a partir de un conjunto de palabras (véase (ll)) . de donderesulta Rn[F , F] [F, R] Teorema 2 .4 . (De los coeficientes universales) Si C es un Q-módulo trivial, las sucesiones 0--1Ext(H n-1 Q,C) -aH ' (Q,C) 'iHom(H n Q,C)--10 0-4 HnQ ® C-iH,(Q,C)-~Tor(H n-l Q,C)-i 0 son exactas y naturales . Ambas descomponen aunque, en general, no de manera natural . Observación .- Hay casos, como, por ejemplo, cuando Ces unívocamente 2-divisible, en que las sucesiones exactas de los coeficientes universales descomponen de manera natural . 1 .3 . Exten siones con núcleo abeliano Una de las primeras y más importantes aplicaciones de la cohomología de grupos es la clasificación de las extensiones de un grupo Q y un Q-módulo A por el segundo grupo de cohomo logía . De hecho, este grupo es conocido desde bastante antes de que se hiciera un desarrollo completo de la teoría de grupos de homología y cohomología en el contexto del álgebra homológica a partir de los funtores Tor y Ext . Dados un grupo Q y un Q-módulo A, se llama extensión de Q por A a una sucesión exacta corta E :  A>-~6 9* Q tal que  _h(y .a) = x .h(a) .x -1 , donde  y e Q,  a e A,  y  x e G  con  g(x) = y . El que A sea Q-módulo trivialequivale a que h(A) está contenido en el centro de G, en cuyo caso se dice que la extensión es central . Dos extensiones E :  A)----) G  i Q E' :  A> ---15 ,  »Q se llaman equivalentes si existe un homomorfismo  f :-G -i G' que haga conmutativo el siguiente diagrama Obsérvese que, en tal caso, f es un isomorfismo . La primera formulación de la clasificación . d e las extensiones por H 2 (Q,A) se basa en la idea de los sistemas de factores . Consideremos una extensión E :  A y~ 6-» Q y un sistema s de representantes de Q en G, es decir, una  función  s :  Q --9G  tal que  gs =  Id Q  ,  s(e)  = e . La función definida por q>(x,y) = s(x) .s(y) .s(xy)-1 , un sistema de factores de E . :p puede ser interpretada como un elemento del grupo de homomorfismos Hom Q (HZ,A), donde H' designa la resolución standard normalizada no homogénea de Q (ver (5)) . Aun más, ip es un cocicla y diferentes sistemas s de representantes de Q dan lugar a cociclos .que se diferencian de 9 en'un cobarde (ver (9) pág . 111) . La extensión E determina, pues, de maneraúnica una clase de cohomología  [Q] e H 2 (Q,A) . Se establece así una aplicación entre las clases de extensiones equivalentes y  H 2 (Q,A),  que resulta ser una biyección .  (Véase (15) pág . 24 .)  . El teorema 2 .1 permite establecer esta biyección de otra forma más útil para este trabajo . La sucesión exacta de los cinco términos en cohomología con coeficientes en A asociada a la extensión  E :  A)  )G -1)Q , es a 0- ;H1(Q,A)-->H1(G,A)--4HomQ(A,A) E>H2(Q,A)-->H2(G,A) x, y EQ,  se  llama La imagen por SE de la identidad de A es precisamente la clase cohomológicacorrespondiente a E en la biyección antes establecida ((15) págs 18 y sgts) . A continuación doy sin demostración una serie de proposiciones sobre la naturalidad de esta biyección . Para las demostracionesdetalladas ver (15) . Proposición 3 .1 . El diagrama _es conmutativo si y sólo si Proposición 3.2 . E' :  A'--i G'--iQ a .  :  H2 (Q,A) -jH 2 (Q,A')  es el  homomorfismo inducido por (y , a -E y E' respectivamente . son las clases cohomológicas correspondientes 06áAivesé que, en tal caso,  G'  es el push-out de los homomorfismos  A' -IG'  ya  En adelantedesignaré por  E la extensión E' así construida . El diagrama E :  A )  )G -» Q E : Ay --)G --H Q a .([-PI) = [-P'] , donde es conmutativo si y sólo si  *([W]) _ [ÑI , donde 22 Q,A) -jH 2 H  (Q,A)  está inducido por  , y [rpl , son las clases cohomológicas correspondientes a E y E respectivamente . . Obsérvese que, en tal caso, G es el pull-back de los homomorfismos G---->Q y Í~ - En adelante designaré por EP la extensión E así construida . Proposición 3 .3 . Dado E : E' :  A 1 ) ---o G ' - :» Q existe  f : G -->G'  que haga conmutativo el diagrama si y sólo si  *([~]) _  * ([w']) , donde  ip  y 9' son las clases cohomológicas de E y E' respectivamente . En este caso, los posibles homomorfismos  f : G -!G'  están en correspondencia biyectiva con las derivaciones  d :  Q -----~A . La proposición que sigue nos da información sobre el homomorfismo n del teorema 2 .4 de los coeficientes universales en el caso n = 2, relacionándolo con la sucesión exacta de los cinco términos . Proposición 3 .4 . Sea  E :  N>  )G --»Q  una extensión central de Q . Sea n como en el teorema de los coeficientes universales y S* Hz G --->H ZQ -~ N -~Gab-a Qab-i 0 la sucesión homológica de los cinco términos asociada a E . Si [9P] e  H 2 (Q,N)  es la clase cohomológica de  E,  se verifica Para la demostración ver (15), Según las propiedades de n ([tp])  se definen variasclases de extensiones centrales de Q - Si  n [tp] =0, la extensión  E  se llama una extensión conmutadora . - Si R [9>] es un epimorfismo,  E  se llama una extensión "stem" - Si  n [(p]  es un isomorfismo,  E  se llama un recubrimien - to "stem" . La siguiente, proposición es casi inmediata : Proposición 3 .5 . Sea  E :  N)  > G --»Q  una extensión central de  Q .  Las siguientes condiciones son equivalentes : a)  E es una extensión "stem", b)  G ab - Q ab , c)  N está contenido en el conmutador de G . Para un tratamiento completo de estas extensiones puede consultarse (15) capítulo V . Capítulo II EXTENSIONES CON NUC LEO ABELIANO EN UNA VARIEDAD El intento de definición de los funtores V y V como generalización de  Hz y  H 2  a variedades de grupos arbitrarios data de mediados de este siglo . Desde un principio se sabía que las clases de extensiones con núcleo abeliano de un grupo contenidas en una variedad V formaban, con la suma de Beer, un grupo abeliano . Las primeras definiciones de los funtores Vy V se encuentran en los trabajos de M . Gerstenhaber (3) y J . Knopfmacher (6) . Posteriormente, varios autores, J . Beck, M . André, F . Bachmann, M . Barr, G .5 . Rinehart, F . Ulmer, han dado definiciones de teorías de homología en categorías muy generales que no sólo dan lugar a funtores V y V, sino a funtares correspondientes a los grupos de (co)-homología en dimensiones superiores . Ninguno de estos autores, sin embargo,hace referencia al caso particular de las variedades de grupos . Por primera vez U . Stammbach en (14) da una definición de VyV para variedades de grupos y C . Leedham-Green estudia en (8) con detalle las teorías homológicas catenoriales en el caso de variedades de grupos . II, .1 . Los grupos V(Q,A) y V(Q,B) Sea V una variedad arbitraria, Q un grupo de V y A y B Q-módulos por la izquierda y por la derecha respectivamente . Sea f : F -H Q una presentación V-libre de Q . Se definen V(Q,A) = Ker (f* : H2 (Q,A) ->H 2 (F,A)) V(Q,B) =  Coker (f * : H2 (F,B) --) H2(Q,B)) Demostraremos, ante todo, que estosgrupos no dependen de la presentación libre  f : F -)Q  considerada . f' : F'--+Q otra presentación V-libre de Q . h y h' que hacen conmutativo el triángulo Por la tanto, obtenemos 'un diagramaconmutativo de grupos de cohomplo,gía En efecto, sea Existen morfismos H 2 (Q, A) de donde  Ker f* = Ker h*f'* :> Ker f'*  y viceversa Kerf'* Z> Ker f* , lo que demuestra la igualdad . De la definiciónresulta inmediatamente que en la variedad Gr de todos los grupos V(Q,A) = H2(Q,A) V(Q,B) = H2(Q,B) . Tambiénresultaclaro que si F es V-libre, entonces V(F,A) = 0 y Veamos, ahora, el comportamiento de V y V respecto de la primera y segunda variables . fismo V(F,B) = 0 . si  a : A -1A'  es un morfismo de Q-módulos,  el homomor- * : V(Q,A) ->V(Q,A')  está definido por el diagrama 0-!U(Q,A)- % H2(Q,A)--jH2(F,A) I . I i a*  2 cr*  2 °* 0--->V(Q,A' )-)H (Q,A' )--->H (F,A' ) Si  g : Q -- !Q'  es un homomorfismo de grupos y f : F -- .» Q ",  f' : F' -~ Q'  son presentaciones V-libres de y, por lo tanto, en virtud de ii) del teorema 2 .3 ., A es de la categoría de los núcleos abelianos . 11 .3 . Una su cesión exacta En este apartado supongo siempre que V es una variedad de exponente cera, , es decir que  Ab C v .  Resulta, entonces, como consecuencia inmediata del teorema 2 .3 . y de la proposi ción 2 .4 ., la siguiente proposición . Proo ósición 3 .1 . En una variedad V de exponente cero existen siempre extensiones centrales de un grupo  GeV  por un grupo abeliano cualquiera A y dichas extensiones están clasificadas por el grupo V(G,A) . Por ejemplo, en la variedad N  de los grupos nilpotentes de clasemenor o igual que c, que es de exponente cero, sabemos que las extensiones centrales de Ge N  por un grupo abeliano A, - c la misma clase r que G, o de classe menor (estrictamente) que verifican que E es de r+l . Cuando r es c todas las extensiones centrales están en N c y podemosasegurar, por tanto, que V(G,A) = H2(G,A) . Si r = c, las extensiones de clase r+1 no son de N . Z En tal caso, v(G,A) clasifica las extensiones nilpotentes de clase c del grupo G por A, V(GA) C H2 (G,A) y Afirmaciones análogas se aplican, por ejemplo, a la variedad de los grupos resolubles de longitud t 1 . Me propongoestudiar la inclusión V(6, A) >-~ H2(G,A) . Sea  R)-->F»G_ una presentación V-libre del grupo G . Puedo escribir, entonces, el diagrama Ext(G ab ,A) -1Ext(F ab ,A) i  2 ~  2~ V(G,A)~ .iH (G,A) -- 1 H (F,A)  (8) W  y Hom(H 2 G,A)- 9 >Hom(H 2 F,A) cuya conmutatividad resulta de la naturalidad del teorema de los coeficientes universales . Ahora bien, por ser V de exponente cero,  F ab  es un grupo abeliano libre,  por lo que Ext(F ab ,A) = 0 y, además, H 2 (F,A) - Hom(H2F,A) . Por otra parte, en la sucesión exacta de homología de los cinco térm_-ios correspondiente a la presentación  -,r-4 F-* G H 2F -) H2 G  R1-> F ab -aG ab -i0 se tiene que Coker (HZ F--4H 2 G) = VG  es independiente de la presentación V-libre de G . Por tanto I = Ker (H2 G ->R/[F,R]) = Ker(H 2 G ->VG) es, también, independientede dicha presentación . Se tiene, pues, un diagrama de sucesiones exactas K --)H 2 F -- .>H 2 G --+R/[F,RI-~Fab-- .--)Gab-i0 donde K = Ker (H2F--->H2G)  depende de la presentación . Aplicando ahora el funtor Hom(-,A) a las sucesiones exactas cortas I » H 2G --p)VG se obtiene el siguiente diagrama conmutativa : Hom(VG,A)-i Hom(H 2 G,A)-4Hom(I,A)-4Ext(VG i  2 1  1 J V(G,A) >-i H (G,A)  Hom(H 2 F,A) V(G,A»-±-4H 2 (G,A) -!Hom(H 2 F,A) Ext(G ab ,A)=Ext(G ab ,A) Ext(I,A) A)--iExt (H2 G Ext(G ab ,A)=Ext(G ab ,A)  Hom(K A)  (*) donde las dos primerascolumnasconmutan en virtud de la demos- (teorema 1 .2 .) . Por otra parte, la aplicación A)--»Ext(I,A) tracidn del teorema de los coeficientes universales para V Hom(H 2 G,A) ->Hom(I,A) w l \ Hom(H 2 F,A) no es otra que la aplicación  g  en el diagrama  (8 ) .  Existe, por tanto, una aplicación de H 2 (G,A) en H2 (F,A) _ Hom(H2F,A) que hace conmutativo el diagrama Hom(VG,A)---+Hom(H z G,A)-4Hom(I,A)->Ext(VG,A)-->Ext(H 2 G,A)-*Ext(I,A) As!, pues, la sucesión es exacta . Teorema 3 .2 . Im (H2(G,A)--~>Hom(H2F,A)) (j - j Hom(I,A) y existe  una  nnLicacián de  H2 (G,A)  en  Hom(I,A)  ze  forma  que V(G,A)>-~H2(G,A)-~ Hom(I,A)--->Ext(VG,A)---j>Ext(H 2 G,A) -*Ext(I,A) (Obsérvese que,  por ser  H 2 (G,A) -i Hom(H 2 G,A)  exhaustiva, Im  (H2(G,A)----)Hom(I,A))  =  Im  (Hom(H2G,A)--> Hom(I,A))  = y, porser j injectiva, Im i = Ker(H2{G,A)-yHom(H2F,A))= = Ker (H2 (G,A)--~Hom(I,A)- 2 4Hom(H 2 F,A)) .) He demostrado, así, el Sea  V una variedad de exponente cero,  Gc V y  A  un grupo abeliano . La sucesión = Ker (Hom(I,A)-4Ext(VG,A)), V(G,A)Ñ H2 (G,A) -9Hom(I,A)--->Ext(VG,A)--4Ext(H 2 G,A)-* Ext(I,A)  , donde  I = Ker (H2 G--4VG), es exacta y natural . 11 .4 . Ejemplos V casos pa rticulares 1)  Existenalgunos casos er que se sabe que H 2 G = 0 . Por ejemplo, cuando todos los p-subgrupos de Sylow de G son cíclicos o (para p = 2) cuaterniónicos generalizados, G tiene cohomología periódica y, en particular, H 2 G = 0 (véase (1), cap . XII) . Asimismo, para los grupos de nudos H2 G = 0 ((15) pág . 90) . En otros casos, aunque H2 G { 0, se anula Hom(H 2 G,A) ; por ejemplo, siempre que Ges finito de orden m, H 2 G es de torsión y m H2 G = 0 ((5) pág . 227) . Por lo tanto, si A es libre de torsión o de torsión prima con m, resulta Hom(H 2 G,A) =0 . En todos estos casos V(G,A) aH 2 (G,A) -- Ext(Gab,A) es decir, "las extensiones centrales de G están todas en V y proceden todas, mediante pull-back, de extensiones abelianas de  G ab" . 2)  Análogamente, cuando Hom(VG,A) = 0 V(G,A) -- Ext(Gab,A) es decir, "las extensiones centrales de G en V proceden todas, mediante pull-back, de extensiones abelianas de Gab Este es el caso, por ejemplo, de las extensiones de un grupo G que admita una presentación con n<ar generadores y r relaciones, si G ab está generado por n elementos, siempre que la variedad V verifique que todos los grupos V-libres sean residualmente nilpotentes y de exponente finito p, para todo primo p . En efecto, en tal caso VG = 0 ((15) pág . 89) y, en particular, Hom(VG,A) = 0 . Ejemplos de tales variedades V son Gr, N , los grupos resolubles y los grupos polinilpotentes . 3)  Si A es un grupo divisible (inyectivo!), V(G,A)>--iH2(G,A) -»Hom(I,A) es exacta . (Consecuencia inmediata del teorema 3 .2 .) 4)  Consideremos, ahora, la variedad, N de los grupos nilpotentes de clase 4 c . Sea S> --->F --y G una presentación absolutamente libre de G . El que G sea de N  equivale a decir que  S Z> Fc+1'  Por otra parte,  F/F c+l es nilpotente libre y R = S/F c+1 > - }F/F c+1 -~» G es una presentación N .-libre de G De F c +l F c+1 S -~ F R  >  > F/Fc+l-~1 G De la  fórmula de Hopf,  H 2 5  =  5 n [F,F  ,  se deduce [F,S] H2(F/Fc+l) - Fc+1/Fc+2 y este grupo es abeliano libre ( ver (1D), pág . 342) . K>->H2(F/Fc+l)---->H2G---,,R/[F/Fc+l'R .)  iFab ->G ab ---1 . 0 \-, .* A/  " l ~ resulta, entonces, VG = Im Sn[F,F]  S  _  Sn [F,F] -i [F,5]  [F, S] .Fc+1  [F,5] .F c+1 independiente de la presentación, I  =  5n [F, F]  _-~  S  -  £F,5 ] .F c +Ker (  l [ F,5 ]  [ F,5 ] .F c+1 /  [F'SI independientede la presentación, K = Ker  F c+1 _~ [F, S] ' Fc +l  - [ F, S] nF c+ ( 1 F c+2  ~F,S  Fc+2 abeliano libre . Como ya observé en el apartado anterior (II .3), V(G,A) coincide con  H 2 (G,A)  siempre que  G  es de clase  r /, c .  Supongo, por tanto, que G es de clase c, es decir que se verifica  Fc  ~  5 . Caso  F c+l C S C F Entonces  [F,S] C F .+l grupo abeliano libre . Por tanto,  Ext(VG,A) = 0  y del teoreme 3 .2 . resulta que es una sucesión exacta corta . V(G,A) >--- !H2(G,A) ~! Hom(I,A) En estecaso F /S> --- !F/S = G -»F/F c  c 5 F y  VG = - F  c Fc  es un c+1 c+1 y  G ab = F a b'  En otras palabras :  G  es una extensión "stem" de un grupo  N c l_ libre .  Por otra parte,  puesto que  G  es ¡me-' - gen epimórfica de F/F c+1' G posee un sistema de generadores con a lo sumo  n = rango F  elementos .  Pero  G ab = Fa b,  por tanto, G posee un sistema de generadores con exactamente n elementos . Recíprocamente :  Sea G una extensión "stem" de un grupo N c-1 -libre . F/F c de rango n . Supongamos que G está generado por exactamente n generadores . Entonces, existe g : F --) G  tal que A >--~ G -~ F/F c conmuta,  y  S>--iF ) G  es una presentación absolutamente libre de  G  con  SC Fc Con otras palabras : Los grupos incluidos en este caso son precisamente las extensiones "stem" de grupos N c-l -libres F con rango F = número de generadores de G . Observación : Si  F c+1 :) I F,S ] , [ S/F c+l ,F/F c+1J -0y, por tanto, S/F c+1 es del centro de F/Fc+1" Este centro es, precisamente, Fc/Fc+1 (ver (10), pág . 347, ejercicio 5) ; así, pues, resulta S/Fc+1 C F c /F c+l '  de donde  S C Fc .  Por tanto, 5 C Fc <~  IF SI <Z Fe,_ 1 . Caso  F c+1 C LF,5] Estecaso ocurre si y sólo si I = 0, y tambiéncoincide con el caso en que H 2 G = VG . Entonces, Un primer criterio de pureza nos lo da el siguiente teorema de P .J . Hilton y A . Deleanu (4) : Teorema 2 .1 . Sea  0 --> R --~5 -4 T --+0  una sucesión exacta de funtores aditivos  C -9 Ab , donde  C  es la categoría  Ab  de los gru pos abelianos o bien la categoría  Ab 2  de los grupos abelianos sin 2-torsión . Si T es exacto por la izquierda, la sucesión 0 - 4 R(A)-~S(A)-- .i T(A)--j 0 es exacta y pura paratodo  A c C . El teorema se aplica, en particular, a la sucesión de los coeficientes universales para cohomologia Ext(G ab ,A) > -~ H2 (G,A)--*Hom(H 2 G,A) Por otra parte, sabemos aunmás : la sucesión, de hecho, descompone . Este caso incluye el monomorfismo (*) para V = Ab , ya que, entonces, V(G,A) = Ext(G,A)_ En el caso general, la situación es la siguiente : Se tiene una sucesión exacta de funtores V(G,-)}-jH2 (G,-)-oyT(-)  = Coker i(-) . H 2 (G,-)  es aditivo,  ya que se trata de un funtor derivado de Hom G (Z,-) . Veamos que V(G,-) es aditivo . En efecto, por definición de V(G,- V(G,-)y-->H2(G,-)-DH2(F,-) es una sucesión exacta de funtores, dond  F---HG  es una presentación V-libre de G . Esta presenta ión inducehomomorfismos de cohomologia dad de H 2 (G,A ® H) -1  H 2 ( A ® H) H2 (G,A) e) H2 (G,H) ----~ H2 (F,  ) ® H2(P,H) La conmutativídad de este diagrama se de'uce de la conmutativiHom(P G ,A ® B) -1 Hom PF,A ®D) z Hom(P G ,A) ® Hom(P G ,H) --1 Hom(P 1  A) (D Hom(PF,H)  , donde PG y PF son resoluciones G1 Fproyectivas de Z, respectivamente . Del primer diagrama resulta, entonc_ ;, V(G,A ®H) -- V(G,A) ® V(G,D) . El teorema de Hilton-Deleanu se apl .ará, pues, siempre que T sea exacto por la izquierda (lo , .je implica la aditividad! ) . Este no es, desgraciadamente, e .'_ caso general,pero si que T es exacto por la izquierda siempre que ya que, entonces, el 1 - o_ema 3.2 . del capitulo II nos dice que Teorema 2 .2 . Ext(VG,A) = 0 V(G,A) ~ . iH 2 (G,A)»Hom(I,A) es una sucesión exacta y, par tanto, T = Hom(I,-) es un funtor exacto por la izquierda . En particular, Si Ges un grupo nilpotente de clase c que admite una presentación libre  G = F/S  con  Sc F  ,  V(G,A)  es un subc grupo puro de H2 (G,A), para todo grupo abeliano A . En efecto, vimos en 11 .4 . que, en tal caso, VG es un grupo abeliano libre ; por tanto, Ext(VG,A) =0 y puedeaplicarse el razonamiento ante iior . Otro criterio de pureza es el dado por el Teorema 2 .3 . Si VG es libre de torsión, entonces V(G,A) es un subgrupo puro en H 2 (G,A) . La demostración del teorema hace uso de algunos resultados de III .1 y del siguiente lema Lema 2 .4 . Si  A> a -->H Í "" C  es una sucesión exacta con  A puro en H, entonces en Obsérvese, en primer lugar, que Im a C Ker gp = Kerpn~ C Ker y , de donde  p n a (A) C Kerr~ . Por otra parte,  puesto que  a A  es puro en  H,  en virtud n de la proposición 1 .1 .(ii), resulta que  aA / p aA es puro en H / p n aA  y,  por ser  aA / p n aA  un subgrupoacotado,  es sumando directo (teorema 1 .2 .) Sean y Hom(C,D) > -r-- > Hom(H,D) -- 2 ~4 Hom(A,D) P * (Hom(C,D))  es puro en  Hom(H,D) . Demostracidn del lema : Sean rp c Hom(C,D)  y  0c Hom(H,D) tales que H/p n aA = aA / p n aA ®H'/ pn aA . es decir n :  H / p n aA -> H'/ pn aA  la proyección canónica ' . :  H'/ p n aA --> D  tal que  o ' (b'+ p n A) = 0(b') . 0' estábien definida ya que, según he visto anteriormente n paA C  Ker rV . Defino  d) : D--jD por  m (b)  n (b+ p n aA) Se tiene, entonces p n <D _ pn~  y  aA c Kerm , lo que implica la existencia de una aplicación tal que Por tanto * O p n (p * O ) = pn,, = p n . =  p*(4P) con lo que queda demostrado el lema . Demostración del teorema 2 .3 . : De la sucesión exacta corta Ir  ~H 2 G --p»VG se deduce que si VG es libre de torsión, I es puro en (III .1 .),  y,  en virtud del lema anterior,  p *Hom(VG,A)  es puro en Hom(H 2 G,A) . Consideremos el diagrama conmutativo Hom(VG,A)> p* V(G,A) > Hom(H 2 G,A) H2 (G,A) Ext(G ab ,A) = Ext(Gab,A) Las sucesionesverticales(teoremas de coeficientes universales para Vy H 2 ) descomponen (teoremas 2 .4 . y 1 .2 de los capitulns I y II respectivamente), y, en partic .lar, Ext(VG,A) es puro en G(G,A) y en H2 (G,A) . La proposición 1 .1 .(iii) asegura, entonces, que ¡V(G,A) es pura en H 2 (G,A), con lo que el teorema queda demostrado . 111 .3 .  Casos  en  que  V(G .A)  es  sumando directo de  H2(G .A) Al final del capítula II, en el teorema 4 .1 ., demostré que, en la variedad N  de los grupos nilpotentes de clase < c, si A es abeliano libre, la sucesión exacta V(G,A»  i iH 2 (G,A)-Ñ Coker i descompone, para todo Ge N . Me proponga, ahora, dar algunas condiciones sobre G en las que la sucesión exacta anterior descompone . Teorema 3 .1 . Si G es un grupo finito tal que Ext(VG,A) = 0, la sucesión es exacta y descompone . V(G,A) ,- l ~ H 2 (G,A)--» Hom(I,A) Demostración : Sea  m  el orden de  G,  Se sabe que,  entonces,  mH 2 (G,A) Se anula y, en particular, ii(G,A) es acatado . Por otra parte, en 111 .2 . demostré que Ext(VG,A) = 0 implicaba que ig(G,A) era un subgrupo pura de H2 (G,A) y que la sucesión del enunciado era exacta . Hasta,ahora, aplicar el teorema 1 .2 . Teorema 3 .2 . Si Ext(VG,A) = 0 y H 2 (G .,A) cíclicos (en particular, si es finitamente generado), entonces la sucesión V(G,A» --1-y H 2 (G,A) - .»Hom(I,A) es exacta y descompone . Demostración : Como en el teorema anterior, Ext(VG,A) = 0 implica que la sucesión es exacta e iV(G,A) es puro en bien, si H 2 (G,A) la será Hom(I,A) 1 .3 ., resulta que la sucesión descompone . Teorema 3 .3 . es suma directa de grupos H 2 (G,A) . Ahora es suma directa de grupos cíclicos, también (teorema de Kulikov) y, aplicando el teorema Si VG es libre de torsión y H 2 (G,A) es suma directa de - grupos cíclicos (en particular, finitamente generado), entonces la sucesión V(G,A)  1j H2(G,A)-»T(A) es exacta y descompone . 111 .4 . Consideraciones finales En el análisis de la descomposición de la sucesión exacta 9(G,A)>---i H2 (G, A) -»T(A) he estudiado, como primera aproximación, cuándo iV(G,A) es 2 un subgrupo puro de H (G,A) . Una de las condiciones suficientes para ello era que el funtor T fuera exacto por la izquierda sobre todos los grupos abelianos o sobre los grupos abelianos sin 2-torsión (teorema de Hilton-Deleanu) . He hecho observar que esto no es cierto para cualquier variedad de exponente cero . Un problema interesante a este respecto es estudiar para qué variedades V el funtor T es exacto por la izquierda, o bien (lo que "casi" es equivalente), cuándo T es un funtor Hom(J,-) para un cierto J cociente de nuestro I . Por ejemplo, para V .= Ab, T es, precisamente, Hom(H 2 G,-) con H 2 G =I . Parece probable que para V = N  este resultado pueda generalizarse, pero, hasta el momento, la cuestión sigue abierta . Un grupo abeliano se llama inyectivo puro (o algebraicamente compacto) si, para todo monomorfismo  A r j--9H  con j(A)  puro en  H,  todo homomorfismo  A ->G  puede extenderse a H descompone . En los casos en que ¡V(G,A) es puro en H 2 (G,A), si V(G,A) es, además, inyectivo puro, la sucesión exacta U(G,A_)~-~ H 2 (G, A) -»T(A) Varios criterios permiten determinar si V(G,A) es inyectivo puro : a)  V(G,A) es inyectivo puro si y " s61o si es sumando directo de un productodirecto de grupos cocíclicos (Fuchs (2)) . Las grupos cocíclicos son los grupos  Z(p k )  con  p  primo  y k = 1,2, . . . o om . b)  Si V(G,A) es libre de torsión, entonces es inyectivo puro si y s61o si es de cotorsi6n . Un grupo abeliano C se dice de cotorsi6n si y sólo si Ext(Q,C) = p . En la variedad de los grupos abelianos Ab V(G,A) = Ext(G,A) es siempre de cotorsi6n . Un problema inte resante es estudiar en qué variedades V(G,A) es de cotorsi6n (parece naturalesperarlo para 1 = N ) . En estasvariedades, es decir, cuando V(G,A) es de cotorsión, puede utilizarse el siguiente criterio : "V(G,A) es inyectivo Duro si y sólo si su primer subgrupo de Ulm nn V(G,A) es divisible" . n En particular, para la variedad Ab, el primer subgrupo de Ulm de V(G,A) = Ext(G,A) es, precisamente, el subgrupo Pext(G,A) de las extensiones puras de G por A (Nunke (12), es decir, de las extensiones donde  A es un subgrupo puro de E . El concepto de pureza está definido, únicamente, para subgrupos de grupos abelianos, y, por tanto, no puede hablarse de extensiones puras sino dentro de la variedad Ab . Sin embargo, una generalización al caso de variedades nilpotentes N  no presenta dificultades formales serias . El hecho de que las extensiones puras en  N t  coincidan con el primer subgrupo de - Ulm de V(G,A) no parece trivial .