Semisistemas dinámicos discretos débiles, y su aplicación a la optimización de funcionales

Publ . MatU .A .B . n4 8 Juny 1978 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BARCELONA FACULTAD DE CIENCIAS SECCION DE MATEMATICAS SEMISISTEMASDINAMICOS DISCRETOS DEBILES, Y SU APLICACION A LA OPTIMIZACION DE FUNCIONALES Memoriapresentada para optar al grado de doctor E .Llorens Fuster Este tesis doctoral fue dirigida por el Catedrático Dr .O . FLORENCIO DEL CASTILLO ABANADEES, y fue leida el día 9 de diciembre de 1977 en la Facultad de Ciencias de la Un¡ versidadAut6noma de Barcelona ante el siguiente tribunal : PRESIDENTE Dr .D . Alberto DouMas de Xexás VOCALES Dr .D . Juan Luis Cerdá Martín Or .D . Florancio del Castillo Abánades Dr .D . Julián Cufí Sobregrau VOCAL SECRETARIO Dr .D . Carlos Perell6 Valls Calificaci6n : SOBRESALIENTE "CUB LAUDE" Deseo hacer constar mi agradecimiento al Prof .Dr .D .Florencio del Castillo Abanades, Catedrático de la Universidad de Málaga, Director de este trabajo, sin cuya ayuda y comprensión no hubiera sido posible . 1 9 1 N D 1 C E INTRODUCCION .... . . . . . . .... .... ........ .. ........ . . .. 1 .* EL ESPACIOCON LIMITE  (F(11) ,o) 2 . :SEMISISTEMAS DINÁMICOS DISCRETOSDÉBILES Definición y ejemplos . . ... ...... ........ . . Soluciones . ....... . ... . . ...... ..... ....... Semiconos de trayectorias ... . . . . ......... . Invariancia .... .... ........ . . . - . ........ . . Puntos críticos, de partida y periódicos . Conjuntos limite . . . . ... .... Funcionales de Liapunov ........ ..... . . .... Atracción . ........ . . ... ........ ... ....... . Estabilidad ..... . . . ........ . . ......... ... Minimalidad . ...... ....... ...... ...... .... Recursividad y estabilidad Poiss6n . . . . . . . Semisistemas sobre un conjunto débilmente compacto de H .... . .. . ........ . . ... ........ ... . . . .... 3 . : APLICACION AL ESTUDIO DE ALGORITMOS DE MINIMIZACIONDE FUNCIONALES .... ........ ..... ....... ... . . .... . . . . . . .  60 Hipótesis y planteamiento del problema ...  60 Semisistema sobre IVEF(H) asociado a un algoritmo tipo gradiente ..... . . ......... ... ....... .  67 REFERENCIAS . ..... ........ .... ......... ............. 2 e 16 16 21 22 23 24 26 34 37 45 50 54 57 72 TNTR0DUCCln-14 Dado un espaciotopológico X y una aplicación n :XxR -y X con las propiedades : I) VXEX, n(x,0)= x  ' II) VxcX,Vh,keR, n(n(x,ii),k))=n(x,h+k) . III) n es contínua en XxR, se diceque la terna (X,R,a) es un sistema dinámico ordinario, definición axiomática que se inspira en algunas propie dades de las soluciones de un sistema diferencial autónomo sobreRn . Si xcXse llama solución de (X,R,n) pasando por x, a la aplicación a x :R ; X definidapor n x (t)= n(x,t),y se llama trayectoriade x al conjunto {n(x,t) :tcR} . Si la trayectoria de x se reduce al punto x, di . cho punto es llamado crítico o de equilibrio . Una propiedad de especial interés es que si x es crítico, de sery~x con n(y,t n )yx,  tiene que ser  t ni+m ó  t n i--,  es decir que  los puntos críticos no puedenalcanzarse en tiempos finitos . Un estudio detallado de los sistemas dinámicos ordinarios, se encuentraen el libro de V .V .Nemytskii y V .V Stepanov, Qualitative Theory of Differential Equations,1947, y unapuesta al día de esta teoría,con indicación de los camposestudiados y técnicas empleadas en los últimos años, puedeverseen (S), obra desarrollada preferentemente  en el casoenque el espacio fase X es métrico localmente compacto . En Topological Dinamics and Ordinary Differential Equations, (1971), G .R . Sell estudia el caso en que X es un espacio uniforme . Modificando algunos elementos de la terna que constituyeun sistema dinámico ordinario, se obtienen algunas ele las generalizaciones queconducen al concepto de se mi-sistema dinámicodiscreto débil sin unicidad - , cuyo estudio es, enparte,un objetivo de la presente memoria . Citaremos algunas de ellas . Si se considera n .XxR+ -->X se obtienen semisi .stemas dinámic os, estudiados por N .P . Bhatia y 0 .Hajek en (3) . Como particularidades importantes propias de  los semisistemas dinámicos pueden señalarse : a) El concepto de punto de partida : .Si .tuacio - nes que no puedenser intermedias del fenómeno considerado y sí puedenser condiciones iniciales . b) Un punto crítico puede ser alcanzado en tiem po finito . En 1 .970 M .Slemrod en (29) definesistemasdiná micos débiles (en realidad semi-sistemas) manteniendo inal _ terados los axiomas I y II, y reenunciando . III de modo que, (siendo X un espacio de Banach), III') Si ¡t n -tl-0 y xn ~x (débilmente) entonces ,r(xn,tn)- .n(x,t) (débilmente) . Si la aplicación n es multívoca se obtienen, a partir de los sistemasdinámicosordinarios, los sistemas dinámicos sin unicidad , que constituyen un estudio axiomát_i code las ecuaciones diferenciales ordinarias con existencia de solución y prolongación de cada una de ellas a toda la recta real . y que han sido estudiadospor G .P . Szego y G .Treccani en (32) . Análogamente, si la aplicación n es multívoca , se obtienen a partirde semisistemas dinámicos ordinarios los sistemas generalesde control , un estudiode los cuales puede verse en "Stability in generalcontrolsystems"(1965) de E .Roxin . También en 1 .970, G .P .Szego y G . Trecceni presentanen Varenna (Como,Italia) la comunicación "An abstract formulation of minimizaban algorithms,recogida después en (30), en la que se introduce el concepto de semi sistema dinámico discreto , que considerado en la linea de las anteriores generalizaciones, toma la aplicación n :XXI + - & y el axioma III queda, .si X es un espacio métrico . III')  Si  xn -x entonces  n(x n) k) sn(x,k)  Vkcl, donde el símbolo R indica la convergencia en una adecuada topología introducida en F(X), espacio de las partesno vacías y compactas de X . En el mismotrabajo se aplica la Teoría de Semisistemas dinámicosdiscretos para dar unapruebaelegante de la convergencia de determinados algoritmos de minimización de funciones sobre Rn . yn efecto, si J :Rn ---~R, y se trata de determi--- nar sus mínimos, un * procedimiento es constr+id r una sucesión {x n )C R n tal que a) J(x0)>J(x1) >... b) (x n ) tiene como límite un punto x*, en el que J tiene un mínimo . Si J es suficientemente regularcomopara que las operaciones que se indican tengansentido, un métodopa Ya construir {x n ) es el llamado del gradiente,en el que, a partir de un puntoinicialarbitrario xo se toma : -Grad .J(x n _)_ x n+1 = x n + p n siendo 11 Grad .J (x n )1I p - arg .min . J( xn + p 'Grad .J(xn) ) n  () p e [O,k]  Grad . J (xn)II con k>0 previamente fijado . Se trata de definirsobre Rn un semi-sistema dinámico discreto adecuado, (R n ,I + , r) de modo que, si xeRn ir(x,k) sea el conjunto de los puntos obtenidos a partir de x por k aplicaciones sucesivas del algoritmo, aprovechando propiedades del semisistema para probar .su convergencia . Observamos que : a) El proceso sólotienesentido en una direc - cibn,y ademásseríade desear que el punto crítico se alcance en un númerofinito de pasos . b) Fijado x n sucedeque  p n , y por tanto x n+1 no está unícambnte determinado, lo que hace pensar en la ne cesidad de prescindir de la unicidad . c) Fijado x n los posibles xil+1 forman un compacto de Rn . Los compactos no vatios jugarán un papel funda mental en toda la Teoríade semisistemas dinámicos discretos . En (B) se hace un estudioextenso de cierta cl_a se de semisistemas dinámicos discretossobreR n , que en (3d) G . Treceani aplica a la minimizacibn de funciones sobreR n . También se expónen resultados en la misma línea toque Sara algunasubsucesión  {A l ,, )} de  {An } se tiene que A n p -f--~ A . En tal caso, al menos una subsucesión  {Anp _ }de {A np } verifica que A np7 -°~-) A . tiene que Para ver (1) supongamos que A n =--1 A mietras Pero como {AnP7 es subsucesión de (A n } se obti A n  ° -1 ; A en contra de lo supuesto . Si, para cada n, An =A, y{A np } es una subsucesión arbitraria de{A n } entonces tomando {xp } cH con xp CAn p (p=1, . . . ),  porserA débilmente compacto, puede su ponerse que  xp ---Ix E A . Luego  A jlp -2--> A, y al ser arbitraria la subsucesión  {A np }, se tiene que An p A, estableciéndose de este modo (2) . Si  la sucesión  {An }  no Q -converge hacia A,  al ®  guna subsucesiónsuyaverifica que A np °~-~ A . Probaremos que ningunasubsucesión de {A np }áconverge al compacto A . a  En efecto : Caso contrario, si la sucesión {A np1 } extraida de  A np  verificaseque  A np y . ) A,  en particu lar también se tendría que Anp,  o --> A y si tomamos cualquiersucesión  {x np }e H,  con  x np EA np (p=1, . . . ),una subsucesión de {xnp) } _  converge débilmente a un punto de A . Pero,  al ser esa misma,subsucesión de  {xn P } se obtiene, en definitiva que Anp ó -i A una contradicción . Se ha demostrado pues (3) y con ello el teore ma .  O Nótese que la convergencia a verifica en F(H) los axiomas (2) y (3), mas no el (1) . No obstante : 1 . 14 . : '  TEOREPIA Sean {An ) CF(H) ,  AeF(11) .  A n - a 4 A  si y sba lo si, para alguna subsucesión  A n  A . P Prueba : Si paraalguna subsucesi6n '{A np } de (A n ) se 21 tiene que  A nn - ° -r A, entonces dada cualquiersucesión {xn}Cl{,  con xneA n (n=1,2, ... ),  {x np }  admiteuna subsuce  -- si6n débilmenteconvergente a un punto de A . Luegotambién {xn } admiteuna subsucesión . débilmente convergente a un punto de A, y, en consecuencia, A n - a- -T' A . 1 .- 1 j .' :'  TEOREMA Sea {A n } una sucesí6n en F(H) . Si  A n p A,  entonces  An% A . Prueba : Si An -4 A,  dado  k>0  se tiene que S(A n ,A)<k salvo, quizás, para un númerofinitode subíndices . Puede suponerse, por tanto, que A n CS[A,k] n=1,2, . . . Si (x n ) es cualquier sucesión con xn eA n para n=1,2, ... entonces '{xn)CS[A,k] y como consecuencia de 1 . 3 . ., admiteuna subsucesi6n {x np } con x n p xe5[A,k] . Como B(A np ,A) -" 0, también anp = d(x np ,A) - "0 . De modo .análogo al expuesto en la prueba de 1 .3 , ., puede ha llarseuna sucesión {Ynp}CA', tal que d(x np ,y np)= d(x np ,A) =a P . Al ser A _débilmente compacto, puede suponerse que , Ynp .-S YCA . '  Dado e>0, puede hallarse p(e)cI + tal que si p 5 p(e), d(xnp,Ynp~ =a np <e, lo que, en virtud del  lema  1 .2 ., implica que d(x,y)?e . Luego, necesariamente -d(x,y)=0, es decir qué xeA, completándose de este modo la demostración . Sea {A n } una sucesión en F(H) .  Sea AcF(11) . Si  An  0 . .  A, entonces  An  a  ~-- . A . Prueba : Si A n  0 ' A, paracualquier subsucesi6n {Anp } de {An } se tiene que  A np - 5 -~- Q, y en consectiencia, , l por a el teorema anterior, AnP ° A . Luego An  > A . 0 Si  {e i )  es  una base  ortonormal en 11,  entonces ®  221a sucesión ({e i }jcF(M) verifica que {e i } a {0) Pero 5({0} )  1 te¡] ,  =  para odo i=1,2, ... . Por lo tanto el recíproco del anterior teorema ylcA arbitrario, . . . ,yn9^1cAn9-1 arbitrario, (1)  (~) ynl=xnleAni,  . ..  ,  y n2_1 _-xn2_1eAn2_1 . _ a)  _ (3) ._  y n .2 _xn2 eA n2 , . . . , yn3-1-xny1 eAn3 _ 1 , ... Obviamente : d(y ni .A) ! 2, . . .. .d(y n2 _1~A) 12 d(y n3 _ 1 ,A) -N 2 ; . . . . Como yn cA n n=1, . . ., y An 1 A por hipótesis, puede obtenerseuna subsucesión {ynk } de .{y n } tal que y nk ^s yeA y además,para cada k, d(ynk,y) ! d(Ynk,A) . te modo' : 1 -13 . :  OBSERV!1CTON es falso . i 1 .14 . : TEOREb1A Sea {A n ) una sucesión en F(H) . .  Si  Al, ° A  puede encontrarse una subsucesión {Anp }  de  {A re }, tal que  A np C S[A,k]p=1,2, . . . , p .  a  al gún k>0 . '  (0, en otros términos,  {A n } estácontenida  fr_e cuentemente  S[A,k] * para algún k>0) . Prueba : Caso contrario {A n ) está últimamente no contenida en S[A,k] para todo k>0 . Dado k=2 3n 1 . / si ninl  B(An,A) á2 . Dado k=2  sn 2 >n ) / si n i n2  B(A n) A)  2 2 Se construye ahora la sucesión (y¡ } del siguien d (y n2? A)12 2 , . . , Dadok=2p 3nP>nP_1/ si n~np Portanto : B(A n ,A) 2p Dado k=2 3n 1 / si n''-n, 3xñeA n d(xñ,A)12 ' Dado k=2 2 3ñ 2 >nj / si niin 2 3xñeA n d(xñ,A)!!2 2 ." Dado k=2p 3np>np_1/ si-n-np 3xñeA n d(xñ,A)12P 2 3 Por lo tanto,  {d(Ynk,y)}  está minorada por una sucesión numérica no acotada, lo cual es absurdoya que si  ynk -~ y, existe  K1>(1  tal que lYnk -  YO  < M,  (k=1, .. . )- Sea  J : H ---3 R un funcional sobre Fi tal que 1 .15 .1 .! J es débilmente secuencialmente contínito en H . 1 .15 .2 . : J admite un mínimo,x* . Entonces si J(x 0 )> J(x*), el conjuntode nivel 14(x 0 ) = {z E FI~ , J(z)4J(x 0 ) } es no acotado . Prueba : Sea (xn ) una sucesión en H tal que x n x* . Al ser J débilmente secuencialmente continuo, J (x*)  . por lo que, para n suficientemente grande J(xn) - J( x *) < J(x0)-J(x*) . Puede suponerse, pues, que {x n }Cl4(x 0 ) . . Por otra parte, si  {el,e2, . . .,en` - }es la base ortonormal canónica de H, se tiene que : e p +x P ,...  x * 2e p +x p , ... _ ._-~ x*' ke p +x o ,  ...  --> x* continuo 1 .15 ": TEOREMA Por lo que, al ser J débilmente secuencialmente J( el+x1), . . ., J( ep +x p ) , . ..- . J(x*) J(2el+xl), . . .,  J(2e p +x p )  ,.. .  ->  J (x*) J(kel+x1), . . ., J(ke p +x p ),.. . ' J(x*) el +x 1 , e2+x2' . . . 2e l +x l , 2e 2 +x 2 , . . . . ke i +x 1 , ke 2 +x 2 , ... 24 Sea r= J(xo)-J(x*) . Dado r/2, se tieneque an i CI + ~ si n'-n 1 J(en+xn)-J(x*)<r/2 -in ? £I + 1 si n''-n 2 J(2e n +x n)-J(x*)<r/2 3n k eI + 1 si n=nk J(ken+xn)-J(x*)<r/2 De donde J( e ne +x nk)<J(x*)+r/2=J(x o ) . -r/2<J(x o ) J (2en2+x n 2) <J (x*)+r/2=J (x0 ) -r/ 2<J (x' o ) . J(ke nk +x nk )<J(x*)+r/2=J(x o ),r/2<J(x o ) Obteniéndose así la sucesión  {ke nk +x nk }, obviamente no acotada y contenida en W(x o ), completándose de estemodola prueba . Nótese que 1 .15 . .1 se da, porejemplo, si el funcional J es Gateaux diferenciable en H y si además se verifica que x n x 1 yn _~ yi=5 J , (x n 1Y n ) - -> J' , (x y) . 2 . :  SEMISISTEMAS D INÁMICOS DISCRETOS DÉBILES ' 25 SOBRE H 2 .1 . : DEFINICION Se denomina semisistema dinámico discreto debil sinunicidad sobre H a la terna (H,I + ,  ), donde n : HX I+  ---~  F (H) verifica : 2 .1 .1 . :,r (x,0) _ { x}  Vx£H . 2 .1 .2 . :Si x n  ` x en H, entonces, para cada entero no negativo k, ,r (x  ,k) - °-) r (x . k) . 2 .1 .3 . : , r (,r (x,h) ,k) = ,r (x,h+k)  VxeH, V h,kFI + . 2 .2 . : OBSERVA CIONES 2 .2 .1 . . En 2 .1 .3 . se afirmaimplícitamente que es dé - bilmente compacto el conjunto n (n (x, h)  k)  =  b__ . .s n (y . k) . yen (x,h) Ello es consecuencia de los axiomas anteriores, en el siguiente sentido : Si McF(H), y  F(H) 'verificalos axiomas 2 .1 .1 . y 2 .1 .2 ., entonces el conjunto ,r (M,k) =  U n-(y,k) ychí es débilmente compacto . En efecto : Sea (xn }C,r(M,k) .Por definición puedeobtenerse otrasucesión {y n } C M, tal que x n cir(yn ,k)  (n=1,2, . . .) . Como M es débilmente compacto, {y n } admite una subsucesión (y np } tal que Ynp "  " YEM, lo que,envirtud de 2 .1 .' ., implica que n (y np , k)  or  .  n(Y, k) . Como x np e,r(Ynp ,k) (p=1,2, . . .), la sucesión {xnp } ad mite una subsucesión {x np* } tal que x np*  ` xc,r (y,k) Cn (NI,k) . Se ,ia probado, pues, que ,r(Df,k) es débilmente secuencialmento compacto y, po r t a n t o t a m b ié n q u e es débilmente compacto . . 2 .2 .2 . . La definición de semisistema dinámico discreto sin unicidad sobre un espaciométrico X, dada en (30) y re cogida en (26), es comosigue : (X,I n) es un s .s .d .d . sobre X si -n :XxI + F(X) ve  1) ,r(x,0) _ {x} VXeX . 2) ,r(,r(x,k),h)= ,r(x,k+h) V  cX Vh,k£I + 3) Phra cada kcI + , xn 3 x ==> n(X 11 k) 1 ,r(x,k) . Como consecuencia de 1 .12 ., es claro que todo semisistema dinámicodiscretosinunicidadsobreRn , es un semisistema dinámicodiscreto debilsinunicidad sobre Rn . Recíprocamente, supongamos que x jl + x en Rn .Entonces, por 2 .1 .2 ., paracadaentero no negativo k, n(x n ,k) -~,r(x,k) Veamos que también  n(x n ,k) ~,r(x,k) : Casocontrario existee>0 tal que, para una subsucesión S(,r(xnp,k), ,r(x,k)) -1 e .Puede encontrarse entonces ynp e ,r(x np ,k) p=1,2, .. . tal que d(Yn n ,'T(x ,k))'- e . Como x np -> x, necesariamente ,r(x np ,k) á, ,r(x,k), en cuyo caso, parauna subsucesión de {ynp } (que, por comodidad supondremos es ella misma) : Yn p - Ye n(x,k) es decir, d(Ynp,y)- ;0, y . por tanto, d(Ynp,'L(x,k))-0, lo que es absurdo . Luego,sobreR n, coinciden los conceptos de semisistema dinámico discretoy semisistema dinámicodiscreto debil .~ rifica : 2 .2 .3 . : El axioma 2 .1 .2 ., puede expresarse de modo equ_i valente afirmandoque : 2 .1 .2 .'  :  Si xn -- ' x  en H,  entoncesparacada entero no negativo, k, ,r(x n,k) ~ > ,r(x ti En efecto, si x n --~ x y'se tuviera que ,r(x n ,k) - °1 > n(x,k), para alguna suUsucesión x(xnP,k) - °f - ~ ,r(x,k) pero como x np  ` x, en virtudde 2 .1 .2 ., ,  . ,r(x np ,k)  2  ~ ,r (x ,k)  . lo que es contradictorio . Por lo tanto, si se considera el espacio topológico (H,a) como espacio con límite, al igual que (F(H),ó) 2 todavía puede redactarse de otro modo .el axioma consáderado' semejante al_ introducido originalmente en (30) : 2 .1 .2" : Paracada k,eI + , la aplicación a ( . ,k) :  1{  F(H) es a-a-continua enH . Naturalmente, la continuidad debe entenderse en el sentido de (22) .20 .111 . 2 .2 .4 . . Si ir(x,k) está constituido porun número finito de puntos, para todo kcI + , se dice que (H,I ;,r es local mente finito en x . Si para cada xel1, existe ycH tal que w(x,1)={y) (11,1 + ,n) se dice quetieneunicidad positiva . El siguiente teorema proporciona un método "standard" paradefinirsobre H un semisistema dinámico dis creto débil : que : 2 .3 . : TEOREMA Sea ,r( .,1) : H ---- i F(11)  una aplicación tal 2 .3 .1 . : Si x n  ` x en H, entonces __  n(xn11) á,~ n(x,1), en F(H) . Si se define m :llXI  -~ F(H) de modoque : ir(x,0) = (x) ' d xcH .  , n(x,k+1) = L__o .Jn(Y,1) ye u(x,k) la terna (H,I ,n) constituye un semisistema dinámico discreto sobre H, que denominaremosinducido en 11 por la aplicación , r( .,1) dada . Prueba : ,r :HXI + -> F(H) está bien definida como conse _ cuencia de 2 .2 .1 .,y verifica 2 .1 .1 ., por construcción . Veamos que cumple también 2 .1 .3 . : Se procederá porinducción sobre k . Para k=1 se cumplepor la misma definición de n .Supongámoslo válido pa Ta k-1 . 28 de donde ze,r(z l ,1) C d(u(x,h+k-1),1) = ,r(x,k+h), es decir que también ,r(r<(x,h),k) C ,r(x,h+k), completándose la prueba de 213 . . . i v Por último .veamos, por inducción sobre k,que se verifica 2 .1 .2 . : Para k=1 es evidente . Si x  x en H consideremos la sucesión {z } n , n con z n err(x n ,k), n=1,2, . . . . Como ,r(x,k)=  rr(rr(xk-1)1)  existe una suce - nn ,,, sibn {yn} con y n e ,r(xn, .k-9) Vn=1,2, . . . .,ta1 que zcu(y n ,l ., para cada n=1,2, . . . . Si zcr(x,h+k), existe z l crr(x,h+k-1) tal que 1), y porhipótesis de inducción, z1cu(,r(x,h),k-1) . Sea ycrr(x,h) tal que z l c,r(y,k-1) . Entonces : zex(zl,l)Crr(rr(y,k-1),1) y por tanto zcrr(y,k), de donde zen(rr(x,h),k)  ' con lo que se demuestra que  r(x,h+k)  C a (,r (x, k), k) . Sea ahora  ze,r(ir(x,h),k) . Puede encontrarse ycu(x,h) tal que zc , r(Y,k) = n(n(Y>k-l)),l) . Entonces si z l e,r(y,k-1) es talque ze,r(zl,,1), .se tiene que : z 1 cu(y,k-l)C,r(rr(x,h),k-1) = rr(x,h+k-l) ze,r(z 1 Por hipótesis de inducción , r(x n ) k-1) - 2 4n(x,k-~ y de aquí que {yn) admite una subsucésión {y np } tal que . pero entonces Ynp yerr(x,k-l) ir (Y, P el)  á  n(Y lo que implica que {z np ) admite una subsucesión'{z np* }tal que :  11 z np*  ` zerr(y,1) . Como yerr(x,k-1), zcrr(v(x,k-l),1) = ,r(x,k) lo que demuestra que n(x n ,k) -2--4  r(x,k), probándose as¡ el - teorema . 2 .4 . : EJEMPLOS O Como consecuenci .a del teorema anterior, pueden i  darse definiendo únicamente una aplicación n( .,1) :H -F(F1), sobreentendiéndose que se trata del semi : ;istema dinámico dis débil que induce en H . creto 2 .4 .1 . . : Sea biaF(li), fijo . W .i (x,l) = M . Obviamente verifica 2 .3 .1 ., y por tanto  (F1,I + 7' i ) es un semisistema dinámico discreto débilsobre 11 . z 7' = (x 7' /v i(n) )v i ( i1 ) y al ser F finito, para algún i o £F tal que znp = (xnp/vio) vio caso es inmediato que {z np } en cuyo (11,1 ,7'2 ) H . luego Se define para 2 .4 .2 . : Sean F un conjunto fini .t o no B= {v i : icF}CH . Definimos 7' 2 (x,1)= {(x/v i )v i : ¡EF} Si xn _s x en H, sea (z 7' } tal que n=-1, . . . . Puede escribirse entoncesque : zn p \ (x/Vio)Vioc7'2(x°1)' Luego , r2(x n y1) T  7'2(x,1) Y es un semisistemadinámico discreto ax + ve S[ax,k] = 7'3(x,1) todo x de H : vacio y z n E,r 2(x 7' ,1) existe una subsucesión de aquí que débil sobre 2 .4 .3 . : Sean k>0 y acR, fijos . Se define 7'3(x,1) = SIax,k] Si x n x en H, sea {z 7' } tal que z n e7'(x n i) En tal caso z 7' = xx n+ v7'  con 11v n ti k, (n=1,2,  ) . Al ser {v 7' } acotada, puedeextraerse de ella una subsucesión v n p  ', VES [0 ,k] Por tanto, 1 f3(x n > 1) -  "3(x, 1 ) , y, en consecuencia, (H,I + , n3) es un semisistema dinámico discreto débil sinunicidad sobre H . dad . 2 . 18 . :  o~sE~zvnc IOi4ES Todo puntocrítico es periódico y singular . Todo punto singular es periódico de período un¡ Si x es crítico {x} es positivamente invariante, y si x es singular, ;x} es débilmente positivamente invariante . que : Igualmente : n(n(x,p)~ko) C n(n(x,ko+p),ko) por lo que ,r(x,k o +p) c (x,2ko+p) . Procediendo de igualforma se llega a la conclu_ si6n deseada . de modoque 2 .19 . :  TEOREMA S .i xeH es periódico de período k o se verifica n (x,P) e n (x,  k o ±p) e n (x, 2ko+p) e ...  (Vpe I + ) . Prueba : Porhipótesis,xen(x,ko) . Entonces : n(x .P)c n(n(x,ko),p) = n(x,ko+p) . 2 .20 . : TEOREMA Si xeH es periódico de período k o entoncesy s61oentoncesexisteuna solución xa través de x tal que x(nk o ) = x VncI + . Prueba : Como xen(x,k o ), por 2 .6 . sabemos que existeuna solución x* a través de . x ; conx*(k o )=x . Naturalmente, se cumpleque : x*(0) = Xen(x,0) e n(x,ko) x*(1)en(x,l) x * (2) en(x,2)  , x*(ko-1)en(x,k o -1) Podemosentoncesdefinir la aplicación x :I+ -- . H x(0)= x(ko) = x(nko) = . . . = x x(1)= x(k0+1)=x r 2k0+1) = . . . = x*(1) x(2)= x(k+2)=x(2k +2) = .. . = x*(2) x(ko - 1)=z(2ko-l) =x(nko-1) = ... = x*(ko-1) Como c~¿n - ~secuencia del teórema antéri - or, xes só lucibn de (H,I + ,n) que verifica la tesis del teorema, com pletándose de este modo su prueba .  11 tivo de X . CONJUNTOS LIMITE 2 .21 . : DEFINICION Sea X una solución de (H,I +,n) . Se llama conjunto norma-limite secuencia) pos¡ al L+ (X) = {ycH : 3{kn)CI+, kn-.m ,x(k n ) -' Y} 2 .22 . : DEFINICION Sea x una,solucibn de (H,I +,n) . Se llama conjuntolímite débil secueücialpos¡ tivo de X, al LQ(x)= {ycH : s{kn}cl+, kn- ,x(k11) ', Y} 2 .23 . : DEFINICION Sea x unasolución de (H,I + ,,r) . Se llama conjunto límitefinito de X,al LF (X)= {ycH : s{kn}cl+, kn~m ,X(k n ) = Y} 2 .'24 . : DEFINICION Sea x una solución de (H,I + , tt), sin puntos de .partida, con I = Ix . Se llamaconjunto norma-límite secuencia) nega tivo de x, al L - (X)=  {ycH  :  3{k n )cI,  kn - " _m  ,X(kn)  -'' y) 2 .25 . : DEFINICION Sea x unasolución de (H,I + ,R), sin puntos de partida,con I= I x . Se llama conjunto límite débilsecuencia) nega tivo de x, al C(-x)- {ycH : 3(kn)cI, kn- .-m .x(k n) -'- y} Z .26 . : OBSERVACION Obviamente  LF (X) C L+(X) C LQ(X)  paracada solución X de (H,I ,n) . También, si X es cualquier solu-- cibnapropiada, L . (x) -- LQ(X) . es un puntode partida . '  Todo punto de tenpuntos críticos . .La aplicación ir :I-1 11 definida de modo que r  . , y(0) = xeS[0,1]  (i=1,2, . . .) «i) = 1/2 1 e l (i=1, . . .) es, igualmente,una solución de (H,I + ,al) para la que se tiene : L ¢ (V~) = L * (J) = {0} L o (VP) _ {0} . 2 .28 . TEOREMA Sea x unasolución de (H,I + ,,r) . El conjunto L + (X) es débilmente positivamente invariante . Prueba :  ' Sea  yeLQ()() . por definición e xiste {k n }cI + ' i k n-m , tal que X(k n )  ` y . Entonces : Sea (H,I + ,n,) el semisistema dinámico discreto debilsin unicidad introducido en 2 .4 .1 . que : 2 .27 . : FJEMPLOS Obviamente se tiene : L F(x) = {e 2 ,e3 ,e 5 ,. . . , ek , . . . kEI + primo } L * , (X)  = LF(x)- La (x) ='{0)ULF(x) . Por otraparte, si xi S[0,1), necesariamente S[0,1] es singular, yno exisSea {e i } unabase ortonormal de 11 . Considérese la siguiente solución : x :I + - 11 tal x(0) =x(1) =e 1 x(2) =X .(4) = x(8) _ . . . = x(2 P ) = . . . =e 2 X(3) =x(9) = X(33)= . . . = x(3 P ) = . . . =e 3 X(5) =x(25)= x(5 3 )= . . . = x(5 P ) = . . . =e 5 x(6) = e6 x(7) = X(49) = x(7 3 ) = ... = x(7 P ) = . . . =e 7 rt (X (k n ) 1 1 )  -° ~ ,n (Y") y como  X(k n +1)e,r(x(k n ),1)  la sucesión {X(kn+1 )}  admite  37 una subsucesión {x(kni+1)} con x(kni+1)  ` y*en(Y .1) -CómSkni+1-+ +m, y*cL + (x), y por consiguiente L a (x)nn(y,1) siguiéndose la conclusión de 2 .11 . Nótese que L+(x) no es, en general, positivamente invariante, como se pone de manifiesto en el ejemplo anterior . Si xell es periódico de período k entonces existe una solución X a través de x tal que xEL F (x), ysu semitrayectoria positiva coincide con sus conjuntos .límite . positivos . Prueba : Basta tomar la solución x construida en la prue ba Su semitrayectoria positiva consta de k puntos, por lo que L P(x) = L + (X) = L + (X) = Im .(X) = {x,X*(1), . . . . . , x*(k -1) ) . 2 .30 . : TEOREMA de 2 .20 . . 2 .29 . : TEOREMA O Sea x una solución de (11,1+,70 . El conjunto L F (x) no contiene subconjuntos pro pios positivamente invariantes . Prueba : Sea Aeli, positivamente invariante cono ¢Ar-L I .(x) El conjunto {heí + : x(h)eA) es entonces no vaLa aplicación x* :1 + H definida con x* (j) = x (h A +j) es una solución de (H,I ,") a través de x*(O) = =X(h A ) eA, luego : Pero si te LF (x) existe una sucesión {k n }CI ' kn -,m con X(k n ) =t, por lo que te{x(h) : h ~l hA} Por lo tanto  L F (x) C{x(h) : h 1 h A ),  y, .en consecuencia : L F (x) = A .  0 2 .31 . : TEOREMA 38  Sea X una solución de (1-I,I ,rr),a través de xeH . Si (H,I + ,n) es localmente finito en x, entonces L F (x) es débilmente positivamente invariante . Prueba : Sea yeL F (X) . Por definición, existe una sucesión  {k n } CI + ,kn ~m, con -,(k n )=y, de donde -(Y .1)=-(x(kn) .1) .  (n= 1, . ..). Si tomamos X(k n +1)en(X(k n ),1), al ser necesariamente finito el conjunto n(y,1)=n(X(kn),1), parauna su_b sucesión {kñ+1}e I + , kñ+1y-, se cumpliráque z= X(kñ+1) (n=1, . . .) luego siguiéndose la conclusión de 2 .11 . y al ser k +1+m n x(k n +1) eL F(x) o lo que es lo mismo, zeLF(x) " Como también zen(y,l) se obtieneque n(Y, 1 )n L F (x)  Y 2 .32 . : TEOREMA 13 Sea X una soluciónde (H,I + ,n), a través de xeH Si para todo kcI + , n(x,k) está constituido por un solopunto, (es decir si el semisistema tiene en x unic_i dadpositiva),entonces LF (X) es positivamente invariante . Prueba : Sea ycLF(X) . Por definición existe {kn }CI + , kn +m, tal que x(kn )= y . Como X(k n +1)en(X(k n ) .1) = n(y,1) . (n=1, . .)  Y el semisistema tiene unicidadpositiva en x, quedará que n(x,k n +1) = n(y,1) = {X(kn+1)} n(Y,1) C LF (X) lo que equivale a que L F (x) es positivamente invariante . O 2 .'33 . : COROLARIO Si (H,l + , a) tíeiie unicidadpositiva en x, y para la solución correspondiente X a través de x, LF (X)¢D en tonces existe hEI + , dependiente sólo de x, tal que LF(x) ={X(k)cFl : k ' h} = Mh Si  (X,1 4 ',n)  es un semisistema dinámico discre-  39 to sobre el espacio métrico X, el conjunto límite de cualquiersolución x, .para la topología de la norma, es cerrado en dicha topología . (30) . En nuestro caso cabría esperar que L+ (X) fuera débilmente secuencialmente cerrado . Sin embargo, en general no es así, como se pone de manifiesto en el siguiente ejemplo : de modoque : ma que : 2 .34 . : 013SERVACION 2 .34 .1 . . Sea {e i } una baseortonormal de H . Consideremos la sucesión {x i } en H, construida x 1 = e l +el x2 =e l + e2 xs = e l +e 3 x3 e e2+2e3 x5 = e2+2e2 xe = e 2 +2e3 x4= e3+3el x y = e3+3e2 x o = e 3 +3é3 Se define la aplicación 11( .,1) : H- " F(H) de for11(x i ,1)  =  {xi,x j+1) 11(x,1) = S[0,1]  si xc{0,e,,e 1 , . . .} = B 11(x,1) = {x}  si XLB y XIIM .{X i =NI . Nóteseque VxcH, xcn(x,1) . Sea {yn } H Pueden darse las siguientesalternativas (no triviales) a) Una subsucesión {ynj } extraída de {yn } es tal  que  yn j  E  B V M  (Vj=1,2 ... . ) . Entonces  v(ynj ,1)  =  {y nj } ----~  ,r(y,1) ya que Ynj' Ycn(Y,1) Como consecuencia de 1 .h . ., se cumple, entonces que m(yn,1) --2-4 n(Y .1)- tal que yn  ` y . b) Una subsucesión { y nj } extraida de {y n } es tal que Ynj' ep(j) (j=1,2, . . .) . En tal caso, sea finito o no el conjunto (ep(j)  :  j=1, . + . .}  ,  necesariamente  y =  0  o bien  y=  e j pa ra algún  j cI . a En ambas situaciones  T(ynj, 1 )  -~ Ti (Y,1)  Ya 0 40 que Tr(ynj,1) = S[0,1] = ,r(y,1) . También por 1 .10, se sigue que c) Una subsucesión {y nj } extraida de {yn }  es tal que  Ynj a xp(j)  (7=1, . . . ) . Si  {xPj  : j=1, . . .}  es finito, claramente T' (Ynj ,l)  _  {xn j ,xnj +l} -°  i Tr(y,1) Si  {x P0} :  j=1, . . .}  es  infinito,  necesariamente es el rango de una subsucesión de una fila de (1), pues, de otro modo, {y nj } sería no acotada, lo que es absurdo . Ponlo tanto, puedesuponerse que y nj  " y= e r es . y entonces Tr(y,1) = S[0,11 . Si tomamosuna sucesión {z j } con  z j e,r(y nj ,1) j=1, . . .  necesariamente tienesu rango en la uniónde las fi las r-1,r,r+1 de (1), por lo queuna subsucesión extraida de ;z j ; converge débilmente, bien a er-1, a e róae r+l perténecientes a S[0,1] . Luegotambién u(Yn .,1) ~ «y,1) -(Yn .1) ~ > Tt(Y'1)- 7 tres casos, Tr(y 1 1) ) n(Y'1)- Se ha llegado , en resumen, a probar que, en los La aplicación n(.,1) induce en H un semisistema dinámicodiscreto debil, sinunicidad,para el cual, es unasolución, a través de X(O)=X l .  . Pero no es débilmente secuencialmente cerrado, ni (por tanto) débilmente cerrado . Paraque se de una situación análoga a la del ejemplo anterior, es esencial que el conjunto {x(i) :i=1, . . .} sea no acotado, comopuedeverse en el siguiente : 2 .35 . : TEOREMA Sea xeH, tal que T + (x) es acotado . Entonces, para cada solución X a través de x, L +(X) es no vado y débilmentecompacto . Prueba : (x(n)}  _(n=1,2, . . .) es una sucesión en T + (x), ;q1_ que, porestar contenida en un conjunto acotado, admite una subsucesión débilmente convergente :  . (x (n J . .) r  con  X(n i ) --~ ZCH . Como nzcL + Q (x) íf m .  . . SeaahorayeL+(x) . Por definición y es limite debil de una sucesión de elementos de T+ (x), luego yc O TFXT ; es decir que  La (x) Q G T* - Ux7 . Al ser T + (x) acotado, su clausura débil es un conjuntodébilmente compacto, y por consiguiente,también acotado . ; Sea (yn}CL+(x), yn --~ y . Existen sucesiones de enteros no negativos, {kp} , kp 1-,tales que x(kp)--~-' y n , (n=1,2, . . . ) . Como T + (x) es acotado, su topologíarelativa de la débil de H, es definible mediante unamétricad*( ., .) y podemossuponer que las sucesiones . {x(kn)} verifican que d* ( x(kp) .y n )6 1/p  (Vn °1, . . .) . y también que kn <kn+i Es fácil ver, entonces, que  x(k n ) --~ y  lo queimplicaque yeL + (x) . L + (x) es pues débilmente secuencialmente cerró a do, y al estarcontenido en un conjunto débilmente compacto es débilmente secuencialmente compacto,y porconsiguiente, débilmente compacto, completándose de este modo la prueba . d Se dice que  (H,I + ,n)  es estableen el sentido deLagrange,en el punto xcH, si T + (x) es acotado . Se dice que (H,I + ,n) es estable en el sentido de Lagrange, si lo es en cada punto x c H . El teoremaanteriorpone de manifiesto la ¡in portancia de estetipo de semisistemas . que : 2 .36 . : DEFINICION 2 .37 . : DEFINICION Se considera la aplicación a + :H -~ 2 H tal si existe una solución X por x tal 42  +(x) _  que L + (X)° 0 . L * (x)  en casocontrario . X (0)= x Para cada xcH,a + ( x) se denominaconjunto norma limite positivo de x . que : que : 2 .38 . : DEFINICI0N Se considera la aplicaciónaá :H ---) , 2 H tal X (0) =x 2 .39 . : ' DEFINICION Se considera la aplicación X F :H -) 2 H tal 0 si existeunasolución x por x  tal X (0)=x  LFCx)  en caso contrario . Paracada xeH, ao(x) (XF(x)) se denominaconjun to límitesecuencial debil (conjunto limite finito) de x . 2 .40 . : 'TEOREMA SeaxeH . El conjunto aa(x) es débilmente positi vamente invariante . Prueba :  , . ' Es simple consecuencia de 2 .12 . y 2 .28 . 2 .41 . :" TEOREMA si existe una solución X porx tal que  LQ (X ) =  0  . ~~ L+ v(x)  en casocontrario . que LF(x )= 0 . SeaxeH . Si (H',I + ,n) es localmente finitoen x, entonces IF(x) es débilmente positivamente invariante . Prueba : Es simple consecuencia de 2 .12 ., y 2 .31 . 2 .42 . : DEFINICION 2 .43 . : - OBSERVACIOIJES Sean VCH y J : V--4R . Se dice que J es un funcionalde Liapunovpara (H,1 TI) Si Y 5610 - si : 2 .42 .1 . : J es débilmente secuencialmente inferiormentesemicontfnuo . 2 .42 .2 . : Si x es cualquier soluciónde (H,I + ,n) contenida en V, y (k n } cualquiersucesión creciente de enteros positivos, con  x(kn) - veV, entonces  J(x(kn))-J(v) . 2 .42 .3 . : J(x) 'k J(x(1))para todo xcV y para cualquier soluciofi x por x -con  x(1)cV . 2 .43 .1 . : Un semisistema dinámico dicreto . .débil dado,puede no admitir mas funcionales de Liapunov que las constantes, como sucede, por ejemplo, al introducido en 2 .4 .3 . para a-l, pues si x,ycHson tales que para algún fun cionalde Liapunov J(x) # J(y), comoexiste en el semisistema una solución por x que contiene al punto y, J(y) 1J(x),y recíprocamente, al existir también una solución a través de y en cuya trayectoriaestá x, J(x) *' J(y), obteniéndose en tal casouna contradicción . 2 .43 .2 . : Si J es un funcional sobre Vc li, débilmente secuencialmente continuo, verifica trivialmente 2 .42 .1 y 2 .42 .2 ., y será funcional de Liapunov para el semisistema considerado si es no creciente a lo largo de las trayectorias de sus soluciones . 2 .43 .3 . : Si H es de dimensión finita, yJ cualquierfunciónsobre 11, cont£nua,a valoresrealesacotada infe riormentey con todos sus conjuntos de nivel acotados, puede definirse de modo que n( .,1) :  H -3 F (H) r(x,1) = W(x . )= (zeH : J(z)L/J(x) } Claramente está bien-defini .da, pues para'cada x de H, n(x,1) es serrado y acotado . Veremos inmediatamente que inducesobre H un se misistemadinámico discreto, ynote-mos que es esencial el requerir que 11 sea de dimensión finita, en virtud de 1 .15 . 1 9 Sea McF(H) . Se verifica que Af (M)CAd(11) . Prueba : Sea xeA f (M) . Consideremos los norma entornos de M de la forma S[h1,1/ln] (nEI + ) . Por definición podemos en contrar una sucesión de norma entornosVn de x, y una s_u ®  cesiónde enterospositivos  kn tales que ®  VO k n ,  ir (V n ,k) C S[M,1/2 n ]  (n=1, . . .) . Si x es cualquier solución arbitraria a travésde x, como 0(n(v n ,kn ), M) ` s( S[M,1/2n), M) --i 0 y xJk n)ea(Vn,k n ) (n-1, . . .), como consecuencia de 1 .11 ., se deducequeuna subsucesión (X(kn p)} extraida de(X(kn )} cu_m ple que, X(k np )  `YE11 Luego L + (x) ¢o y también, por ser x arbitraria av (x)  y Si zc1,á(x), un razonamiento análogo al expuesto en 2 .49 ., muestra que  ZCM, y, en consecuencia  a * (x) C M, -1  lo quecompleta la prueba . 501 2 . 5 1.: TEOREMA 2 ."52 . :  ' TEOREMA O SeaMcF(H) : El conjuntoAG(M) es positivamente invariante . Prueba : Casocontrario existirían xeAO(M) » y una solución x a través de x, tales que para algúnentero positivo h,' x(h)d Aa(A1), lo cualimplica que, o bien XQ(X(h)) = 0, o aa (X (h)) St M . Existe, por lo tanto una solución 0 a través de x(h) tal que LQ o bien  LQ (J) SEM . La aplicación C :I + -~ H definida de modo que (j) = x(j)  j 1 h , I(j) .=  «j - h)  j>  h es usa solución a travésde x, con LQ(C) = LQ(V+) . Se tendríaentoncesque xíA d (M), en contrade la hipótesis . Sea McF(H) . Son positivamente inváriantes~'las _51 regiones  A(M),  A ° (M), Ad (M)  AW (M) y por 2 . 5 3 . : TEOREMA - La prueba es idéntica a la del teorema anterior tanto se omite . 2 .54 . : TEOREMA Sea McF(H) . Si para todo xcH se verifica que el norma-interior de v(x,1) es no vatio, entonces la re gi6n Au (M) es cuasipositivamente invariante . Prueba : Caso contrario existe xeA u(M) tal que ,r(x,1)nA u (M) = m Sea entonces zcu aint .(n .(x,1)) . Como zIA u (M), para todo norma entorno de z, y en particular para n(x,1) existe yc,r(x,1) tal que alguna solución X a través de y,no está últimamente en algún norma entorno de M . X puede ser prolongada, como se hizo en la prue ba de 2 .52 ., de modo que sea solución a través de x, y entonces para todo norma entorno V de x,existe un punto, el propio x,'tal que una solución por x no está últimamente en algún norma entorno de M . Luego xl A u (M), contra la hip6te sis . 2 .55 . :'' TEOREMA 0 Sea McF(H) . Si para todo xcH se verifica que il II-int .(n(x,1)) ¢ 0, entonces Aú(M) es cuasipositivamente invariante . La demostración es idéntica a la anterior . 2 .56 . : TEOREMA Sea McF(H) . Si para todo xcH, II II-int .(z(x,1))# m , entonces A f (M) es cuasipositivamente invariante . Prueba : Caso contrario, existe xcA f (M) tal que n (x,1) n A f (M)  = Sea zcIIII-int .(Ti(x,1)) . Como z¿A f (M), existe un norma entorno  U z de M tal que para todo norma entor ®  no V de z puedehallarse una sucesión creciente de ente- - 52 ros positivos {k V ) tal que  n(V,k V )<4U z . Tomando, en parn  11 ticular V= n(x,1), obtenemos la correspondiente sucesión (k~' .'>}=_{kn} para la que n(n(x,1)rk n ) U z es decir : n(x,k n +1) 0 U z Entonces, si W es cualquier normaentorno de x, es claro que n(x,kn +1) c n(W,k n +1) y por tanto n(W,k n +1) d U z de donde se deduce que  x¿A f (M) contra lo supuesto . o 2 .57 . : DEFINICION Sea McF(H) . 2 .57 .1 . : Si A'(M) es normaentorno de dicequeM es o-atractor . 2 .57 .2 . : Si A (M) es norma entorno de dice queM es norma atractor . 2 .57 .3 . :  Si  AG(M)  es , norma-entorno de dicequeM es a-atractor debil . .  2 .57 .4 . : Si A d (M) es norma-entorno de dice queM es normaatractor debil . 2 .57 .5 . : Si Af (M) es norma-entorno de dice queM es atractor fuerte . 2 .57 .6 . : Si A7(M) es normaentorno de dice queM es a-atractor uniforme . 2 .57 .7 . : Si Au (M) es normaentorno de dice queM es norma atractor uniforme . 2 .51 .8 . : Si A W (M) es normaentorno de dice que M es atractorpuntual debil . 2 .57 .9 . : Si A F (M) es normaentorno de dice queM es atractor finito . nes, se deduce de formainmediata : M, se M, se M, se M, se M, se M, se M, se M, se M, se 2 .58 . : OBSERVACIONES Sea McF(H) . Como consecuencia de las definicio '53 ' 2.56 .1 . : Si M es atractor fuerte, entonces es norma atractoruniforme . ` 2 .58 .2 . : Si M es norma atractor uniforme, entonces es a-atractor uniforme . 2.58 .3 . : Si M es norma atractor, entonces es o-atractor . 1 .58A . : Si M es á-atractor, entonces es a-atractor débil . 2 .56 .5 . : Si M es norma atractor, entonces es norma atractor débil . 2 .58 .6 . : Si M es norma atractor debil, entonces es a-atractor débil . 2 .58 .7 . : Si M es norma atractor uniforme, entonces es o-atractor débil . 2.58 .8 . : Si M es atractor puntual debil, entonces es o-atractor débil . 2 .58 .9 . : Si M es atractor fuerte, entonces es atractor débil, en norma . 2 .58 .10 . : Con las notaciones de 2 .47 .2 ., se ve rifica que M es atractor fuerte, atractor puntual débil, norma atractor uniforme, atractorfinito y también a-atractor débil, pero no es norma atractor, norma atractor debil ni a-atractor . Se tiene as¡ un contraejemlo que prueba la falsedad de los recíprocos de 2 .58 .4 . y 2 .58 .6 . 2.58.11 . : En el semisistema descrito en 2 .47 . S ., DI=401 es norma atractor, atractor, a-atractordébil norias atractordébil y atractor puntual débil . . 2.58 .12 . : Para el semisistema dinamicodiscre to definido sobre H= L2 ,en 2 .47 .6 ., M={0} es a-atractor o-atractor débil, o-atractor uniforme . No es en cambio,nor . ma atractor, atractor puntual débil, atractor fuerte,  ni norma atractor débil . Se tiene as¡ un contraejemplo que muestra  la falsedad de los recíprocos de 2 .58 .7 ., 2.58 .8 ., y 2 .58 .9 54  Sea McF(H) . Se diceque M es estable si, para cada xdr1, ycM existen sendos normaentornos U de x, V de ®  y, tales que : 2 .59 . : DEFINICION U- (1 T + (V)  =  0 . 2 .60 . : DEFINICION SeaMcF(H) . Se dicequeM es orbitalmente esta ble, si existen normaentornos de M positivamente invarian tes arbitrariamente pequeños . 2 .61 . : TEOREMA SeaMcF(H) . Si M es orbitalmente estable, entonces es positivamente invariante . Prueba : Casocontrario, existe xcT + (M)-M . Cómo M  es norma cerrado, existeun norma abiertoV tal queM CV  y xdV, en cuyo caso : MCVCH-{x} ' Por tanto, H - {x} es un norma entorno de M y como M es orbitalmenté estable, contieneun normaentorno U de M, positivamente invariante .Es decir : xcT + (M) C T+ (U) .CU C H- {x}, lana contradicción . 2 .62 . : TEOREMA 2 .63 . : - TEOREMA 0 Sea McF(H) . Si M es estable,entonces es positivamente invariante . Prueba : Si xcM e y£M, por definición existen norma entornos U de x, V de y tal que Uf1T + (V) = m , y, enpar ticular x4T+(y) . Al ser y arbitrario en M, obtenemos que x«+(M)- Luego H-M C HT+ (M), o lo que es lo mismo T + (M)CM lo que prueba que M es positivamente invariante . D SeaMcF(H) . Si M es orbitalmente estable, en tonces es estable . Prueba : -  Al ser NI débilmente compacto es débilvien,td ce-- _5 _S rrado y por tanto, normacerrado ; si x¿M existen norma abiertos disjuntos  W, U,  con  11C W y xcU .  - Comochesorbitalmente estable, existe .un norma entorno V de M, positivamente invariante contenido en W de donde T+(V) C V CW . Luego UnT + (V)  y como V es, obviamente, entornode cada yeM, sE concluye que M es estable : O 2 .64 . : TEOREMA Sea McF(H) . Si 11 es orbitalmente estable y norma atractor debil, entonces es atractor puntual debil . Prueba : Sean xeA d (M) yV un norma entorno arbitrario de M . Como A d (11) es norma entorno de M, también lo es UA d (11) y porserM orbitalmente estable existe un norma entorno W de M, positivamente invariante, tal que  W C A d (11)f1V . - Sea x una soluciónarbitraria por x, y {x(i)} su semitrayectoria positiva . Sabemos que L + (x) Y * yL + (x)CM por lo que {x(i)} está frecuentemente en cada norma entorno de DI y en particular en  11 II-int . (W) CW . Pero al ser  IV  pó sitivamente invariante, se tendrá que {x(i)} está Gltimamen te en W, y porconsiguiente en V . Por lo tanto x cA W (M), obteniéndose puesqué A w (M) D A d(M) de donde se deduce que M es atractor puntual debil . 2 .65 . : DEFINICION Sea McF(H) . 2 .05 .1 . : M es a-asintóticamente estable, si es orbitalmente estable y - o-atractor . 2 .65 .2 . : M es asintóticamente norma estable si es orbitalmente estable y normaatractor . 2 .66 . : EJEMPLOS 2 .66 .1 . : En el semi - sistema dinámicodiscreto in ducido en 11 por el operador identidad, si xcH, todo conjun 56_to de la forma (x} es establey orbitalmente estable, pero no es atractor en ninguno de los sentidos definidos . 2 .66 .2 . : El conjunto M= S10,11 es orbitalmente estable en el semisistema dinámicodiscreto (H, I + ,nl) descrito en 2 .47 .2 . 2 .66 .3 . : Con las notaciones de 2 .47 .5 ., (0) es asint6ticamente normaestable en 2 .66 .4 . : Para el semisistema dinámico discreto sobre L 2 definido en 2 .47 .6 ., M= {0} es asint6ticamente a-estable, pero no asint6ticamente norma estable . 2 .67 . : DIAGRAMA TEOREMA Sean VCH,, y . J :V ---~ R un funcionalde  ??, Liapunovpara Sean McF(H), y  WcF(H), con  M CIVC V, tales que W es normaentorno de M 2 .68 .2 . : W es positivamente invariante . 2 .68 .3 . : Si xcW-M y X es cualquiersolución a través de x, J(x(1)) <J(x) . EntoncesM . es o-atractor debil, y Ad(M)7w . Prueba : Sean xcW y X una solución arbitraria a través de x . .Su semitrayectoria positiva es unasucesiónen W, por ser éste positivamente invariante . Al ser W débilmente compacto, para una subsucesi6n {X(np)} se verificaque x (np )  1 yelV . + Por lo tanto,  L * (x)  0m  , y al ser x arbitra - Tia, XQ(x) YQ . Por otra parte,  si  zel + (x)-M, existeuna soluei6n 0 a través de x, tal que zeLQ(V+)-M . Como L o * (*) es cuasipositivamente invariante, existeunasolución Ea través de z tal que E(1)cL a (o) . Al ser z¿M se puede afirmar que J(z)>J(E(1)) pero esto es unacontradicción, pues se ha probado en 2 .44 . que Jes constante sobre L + + (o) . Por consiguiente, x + (x) - M - o , o-, lo que es lo mismo, . ac(x) C M . Al ser el conjunto límite débil de x, no vacío y contenido en M, se tiene que  x cA c (M), completándose de estemodo la demostración . COROLARIO O Con las mismasnotaciones e hipótesis que en 2,68 ., si paraalgún x"cH, M-{x"} , entonces : 2 .69 .1 . : M es o=atractor . 2 .69 :2 . : Para todo xcW, J(xk) 11 J(x) . Prueba : SeaxcW . Sea X unasolución arbitrariapor x . Si se tuviera que X(n) --/- x*, existirían un abiertodébil U, entorno de x*, y una subsucesi6n {X(n p )} de{X(n)} tales que  x(n p )éU p=1,2 . . ... Al ser  {X(n p )}C W,  paraunasubsucesi6n X(nPi)  11 zcw . Por un razonamiento idénticoal empleadoen 2 74 ., se obtieneque zcM, y en consecuencia : x( n pi) x* lo cual es absurdo,pues  X(n pi )1U i=1, . . . . Necesariamente, por tanto, x(n)  ` x*, y entonces xeA ° (M), completándose la prueba .de .2 .69 .1 ., Paraver 2 .69.2, supongamosquepara algún ycW J(Y)<J(x*) " Como y¡11, dada cualquier solución X por y, J(x(1)) <J(Y)< J(x * ) luego X(1)1M . Procediendo de igualforma se llega a estable - cer que J(x*)>J(Y)>J(x(1))>J(x(2)) .> . . .> J(x(n))> ... Pero, por 2 .75 .1 . sabemosque X(n) -~ x*,y al ser J débilmente secuencialmente inferiormente semicontínuo, J(x*) _' lim inf J(X(n)) una contradicción . ' 2 .'70 . :  COROLARIO Con las mismas hipótesis y notaciones de 2 .68 ., si J es constantesobreM y M'£F(H), M'C M, verifica 2 .68 . 5 - ., entonces- ~ .M" = M . Prueba : Si XCM -11 ; como para cualquier solución X a través de x, J(x(1))< J(x), al ser J constantesobre M,n_e cesariamente X(1)cW-M . Si x(2)cM se llega a una contradicción, pues J(x(1))>J(x(2)) . Luegotambién x(2)eW-A1 y repitiendo el razonamiento puedellegar a establecerse que J(x)>J(x(i))>J(x(2)) . > . . . 'Como M'esatractordébily su correspondiente región de atracción contiene a 1V, L+(x) es no vacíoy con_ tenido en M ; es decirqueparaalguna subsucesi6n (x (n p )1  extraida de (X(n))  se tendrá que X (np ) - ; zeM' C M por lo que  -  '- -  1S9 J(X(n p )) --i J(z)  ___ y, en consecuencia : - J(x)>J(z) lo que es  absurdo, pues  J , es constante sobre M . Luego M'-M = 4, es decir  M' = M . MINIMALIDAD 2 .71 . : DEFINICION 2 .72 . : ' DEFINICION .2 .73 .' :'  OBSERVACIONES Y EJEMPLOS O El conjunto' M C H  es positivaménte minimal, si es a-cerrado, positivamente invariante,y no poseeningún subconjunto propiocon ambas características . El conjunto M C H  es débilmente positivamente minimal,si es a-cerrado,débilmente positivamente invariante, y noposeeningún subconjunto propio con ambas características . 2 .73 .1 . : En el semisistema dinámicodiscreto debil (H,I * , A1) descrito en 2 .4 .1 ., el conjuntoM= S~0,1l es positivamente minimal . 2 .73 .2 . : En el semisistema dinámico discreto débil (H,1 w3) descrito en 2 .4 .3 ., el conjuntoM-H es sitivamente minimal . Pi 2 .73 .3 . : Dos conjuntos positivamente minimales, o coinciden o son disjuntos . 2 .73 .4 . : Un conjunto positivamente minimal, no necesariamente es débilmente positivamente minimal,como su cede, púrejemplo, al M de 2,7 .1 . 2 .73 .5 .: Si xcH es un punto critico, entonces M -'{x) es positivamente minimal, y débilmente positivamen SEMISISTEMAS DINÁMICOS DISCRETOS DEBI1_E_5 66' SOBRE UN CONJUNTO DÉBILMENTE COAIPACTO Sean WEF(H) y F(W) el conjuntode las partes no vacías débilmente compactas en W . Nótese que F(W)C F(H) . Llamaremos semisistema dinámico discreto débil sin unicidad sobre W, a la terna (IV,I + , n) donde ir :WXI + -j F(11)  . verifica : . 2 .85 .1 . : a(x,0)= {x} VXe1V . 2 .85 .2 . :  Si  {x n } CW  es tal que  x n -1 x, entonces n(x n ,l :)-  (x,k) en F(W), VkrI' . 2 .85 .3 . : v(v(x,h),k) = v(x,h+k) VxcW, Vh,krI 4 ' 2 .85 . : DEFINICION Si .M c F(W) entonces, de forma enteramente anál_o ga a comose hizo en 2 .2 .1 ., se comprueba que +r(M,k)EF(H) . Damos ahora, sin desarrollarla prueba, el resultado correspondiente al teorema 2 .3 . : 2 .86 . : TEOREMA Sea ,r( .,1) :W -}F(W) una aplicación tal que : 2 .86 .1 . :  Si  xn --~ x  en W,  n(xn,1)+ " (x,1)  en Si se define v :WXI*49Cde modoque : e(x,0) - {x} v(x,k+1) -  v(y,1)  (k=1, . . .) yev(x,k) entonces (W,I 4,v) constituye un semisistema dinámico discreto débil sobreW que denominaremos inducido en W por_la aplicación dada . De forma idéntica a como se hizopara semisist_e masdinámicosdiscretos débilessobre H, se definen en este caso, con las modificaciones (formales) obvias, soluciones, conjuntosinvariantes y débilmente invariantes,conjuntos límite, funciones de Liapunov etc . No se repetirán tales de finiciones, ni se establecerán más resultados que los inmediatamente aplicacbles al estudio de algoritmos de minimiza ciónde funcionales . Se omitirán las pruebasreproducibles de modo evidente, a partir de sus correspondientes parasemisiste - massobre }1 .  . 2 .87 . : OBSERVACION Si (H,I',u) es un semisistema dinámico discreto débil para el que todo punto de W es singular, entonces la aplicación wW( .,1) :  W --~ F (W)  /  ,r w (x,1)=  Ti (x,1)nW inducesobre W un semisistema dinámicodiscreto débil,que diremos es 'La restricción a W de (H,I + ,,r) . La condición de  que todos los puntos de  W sean singulares, puede debilitarse exigiendo únicamente que  VxcW,  ,r (x, 1) n W i  o . invariante . 2 .g8 . : TEOREMA Sea x una solución de (W,I ,n) . Entonces LQ(X)EF(W) . Prueba : Cfr . 2 .35 . 2 .89 . : TEOREMA Sea X unasoluciónde (W,I ' ,a) . . El conjunto L*(X) es débilmente positivamente Prueba : Cfr . 2 .28 . 2 .90 . : TEOREMA Sea J :W -4 R un funcionalde Liapunov  para (W,I',w) . Sea X cualquier solución de dicho semisistema . En estas condiciones, J es constantesobre el 1 conjunto L+ * (x) . Prueba : Cfr . 2 .44 . 2 .91 . : TEOREMA Sea J : W -->R un funcional de Liapunov para (W,ISea MEF(W) . Si se verifica : 2 .91 .1 . : W es norma-entorno de M . 2 .91 .2 . : Para todo xeW-M y para cualquier sol_u ci6n X a través de x, J(x(1)) <J(x) . EntoncesM es a-atractor débil y su región de atracción es W . Prueba : Cfr .2 .68 . 2 .9? . . : TEOREMA Sean J :W -+R una función de Liapunov para y x*eW tales que : 2 .92 .1 . : Si x¢x* y x es cualquier solución a travésde x,, J(x(1))<J(x) . Entonces X(n)- x* y J(x*) 11 J(x) VxcW . Prueba : Desdeluego,una subsucesión de {X(n)} es .débilmente convergente,porserWeF(H) . Si X(np )  k y~x* comoycLQ(X)y LQ(X) es cuasipositivamente invariante, exi_s te una solución 0a través de y con semitrayectoria positiva contenida en LQ(x), y en particular con 0(1)cLQ(X) . Pero, por 2 .92 .1 ., J(0(1))<J(y), obteniéndose un absurdopues J es constante sobre los conjuntos limite de soluciones . Luego y=x* . Si {X(n)} no converge débilmente a x*, existe un abiertodébil U que contiene a x*, y una subsucesión {x(n p )}  tal que  x(n p )íU  (p=1 . . . ) .  Repitiendo con esta subsucesión el razonamiento expuesto en los párrafos anteriores, se llega a probar que X(n~) --~ x*, unacontradicción, La prueba de que J(x*) 11 J(x) VxeW es idént_i ca a la de 2 .69 . .2 . verificando : continua para todo IH<MINI11I2 .ACION DE FUNCIONALES El objetivo de esta masdinámicosdiscretos débiles ci6n de algunos de los algoritmos nales --obre H, cuyo estudiodesde cucntra en (10) 6 en (14) . Consideraremos J : H  ) R HIPOTESIS Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA en lo que -H .1 . Para cualesquiera x,y cH existe J . (x'Y)  -  '¡m J (x '8Y) -J (X) e lineal y ,,H .3 . Si {u n ) es e- "o y la aplicación  y+ J'(x,y) es H . 2, Existe en H un es precisamente su mínimo . lim J (u n ) n-O . m +H .4 . J es convexo en H . u . S . Paratodo ycH, x " x n i H .6 . sección es definirsemisiste adecuados para la descrip - de minimizaci6n de funciootropunto de sigue un funcional continua . únicopunto x" crítico de J, que cualquier sucesión en H si y 5610 Si  , un ¡ , J'(xnsy)->J'(x,y) La aplicáción en algúnconjunto de la forma W(x 0 )  =  {XCH  1  J (x) `  J (x o ) } ycHcon ityu =1 . u+ J'(u,y) es uniformemente vista, se en Obsérvese que, como consecuencia de H .1 y H .4, J es débilmente secuencialmente . inferiormente semicontínuo . (Cfr . (10),Ch .2, 1-4) . te es tal que Como, en virtud de H .3 mente compacto . Por tos posteriores, sería de desear que J cuencialmente contínuo, mas se ha visto mensión infinita ello es contradictorio un conjunto de nivel acotado .(11(x o )) . Hechas las ' hinótesis anteriores, en lo que sigue escribiremos vJ x P(x)= J IIvJ(x» 1 verificar J lo que además por lo siendo Por otra parte, el conjunto 1 " J(xo) es débilme_n secuencialmente cerrado, pues si la sucesión fx n }c!V(x 0 ) xn --~ x, entonces J(x) `- lim inf .J(x n ) 1 J(x o ) . W(x0) es acotado, es también débil hipótesis simplifi-car notablemente los planteamien - fuera débilmente seque, si H es de di con la existencia de Sea  {x } CH n Por tener limite débil, a .5 . se sigue que vJ (x n )  -~  vJ (x) implica, igualmente,que {JIVJ(x n )JJ}es acotada en tal que xri x#x,, :  (xJ x* n=1, . . .) {x n } es acotada 0 < BVJ(x)9 á lim inf . HVJ(x n )H que, para una subsucesión . W (xn n )p -->  y = 1 im inf . 11 vJ (x n ) 11 y por R, y de donde ¡in P(xnP) -- y  i! Z =  J y xn  p(x) = a . P(x), y No es cierto, en general, que anteriores, y {u n ) {v n } son sucesione's en H U n - u, v n v, J(v n ) b, J(u n ) necesariamente se siga que J(v) 4 J(u) . No obstante, admitiremos que J verifica : b H,7 . Si  t n - . t  en R  y  xn - --L x si J J (x n -t nP (x n ) ) . J (xn-c(uvJ (x n )G) P (x n )) cumple en H, con entonces J(x -t«P(x)) ¿ J(x -cCvJ(x)II)p(x)) c :R + - .R + contínua .  ,y las restantes notaciones introducidas , al comienzo del presente nárrafo . las con las En adelante se supone dado .un funcional J sobre H, verificando, salvo advertencia en contrario, las condicio 3 2 . :  DF F - 1N Tn0 - 1 - La función  d : R*-) R+ es llamada  f-función si, vara toda sucesión {x n } C R + ,  d(x n ) - "0 si y sólo si x n -+0 . 71 Sea a = sup . { dVJ(x) - VJ(Y)u : x,yc1V(x 0 ) ) La función  6 ;R + )R + definida de modo que inf .{px-ylI :x,yeW(x 0 ), IIVJ(x)- VJ(y)pat , si te[O,a) d ( t ) I lim - á(s)  si tE s->a es llamada"móduloinverso de continuidad de  J en W(x 0)" Está bien definida como consecuen d a de H .6 .  y es una f-función acotada y monótona creciente en R + . La sucesión  {x n }C H es minimizadora  para J si y sólo si J(x n )- J(x*) . La sucesión  ix n j C H es critizadora  para  J si y 5610 s i  II VJ (x n ) d  -o . luego te : luego 3 .3 . : --DEFINICION 3 .4 . : DEFINICION 3 .5 . : DEFINICION 3 .6 . :  TEOREMA  ((14),T 4 .3 .1 .) . Si {xn } es critizadora, es minimizadora . Prueba : Como J(x*) = inf . {J(x) : x£W(x 0 )} podemosobtener una sucesión  {y n }C W(x o ), tal que  J(yn)-+J(x*) . Al ser J convexo J(Y n ) - J(x n )  ( Yn-xn> VJ(xn)) . Ahora bien : I (Y n - x n .  J (xn )) I  lly n -VI . 119j(%)11 y como las sucesiones {y n }{x n } son acotadas, y {x n } es cri tizadora : Mm I(Y n-xn . J(x n ))I =0 lim sup . (J(yn)-J(xn)) 1 0 . Por construcción existe lim J(y n .), y por otra par J(x*) 4 lim inf .J(x n ) 2 . lim sup J(x n ) &'limj(yn)=J(x*) Los algoritmos 72 de tipo iterativo, es " "'to inicial  x0cH, se que, si x iYx*, J(x i+ 1)<J(xi) donde la dirección p i y el escalar p i se calculan en cada paso de minimización considerados serán decir en los que, fijado un cierto punconstruyeuna sucesión {x i }_de suerte en función de xi (y del funcional J) . p = VJ(x)/ IIVJ(x)II, si dimiento de cálculo del ,elección se hace, en la lo dependiente de x i La sucesión anterior se forma de modo que x i+1_  xi  -  pipi Como dt J(x+tp)I t_0 = (VJ(x),p) , vemos que J es instantáneamente más rápidamente decreciente en la .direc-- ción . p que verifique : (VJ(x),p) = - II VJ(x)II = sup  (VJ(x),y) iy¡=1 dirección llamada de máximo descenso, y que en un Espacio de Hilbert es vJ x p= 1113N511 lo que justifica la notación anteriormente adoptada . Todos los algoritmos considerados en esta sección serán del tipo del máximo descenso ( es decir, en los que x¢x*) variando en cada caso el proce escalar p i ("amplitud de paso") cuya mayoría de los métodos, en un interva y de p(xi) .  _ La convergencia de un algoritmo implica poder garantizar que la sucesión {x i } obtenida converge (débilmente o en norma) al mínimo del funcional, lo que en dimensión inf_i nita, no necesariamente va ligado al hecho de que J(xi)-+J(x*) . Un modo natural de calcular p i es darle el valor del primermínimo de la función t-+J(x-tp(x)) .(Método de Curry) que puede generalizarse prefijando una sucesión{a n } con Ogan4 Éa<1 .En estas condiciones se toma pi igual al primermínimo local positivo de la función t - J(xi - tp(xi)) - ai tIVJ(x i )II . (Tomando a l =0 resulta el algoritmo habitual) . En adelante nos referiremos a al algoritmo aquí descritomediante el nombre de "método de Curry generalizado" (Cfr . (14) Secc .4 .3) . 3 .7 .: TEOREMA 73 Para cada xeH se define el conjunto f(x)={x-tp(x) : c(IIvJ(x)Y)lIt, J(x-tp(x))`-J(x-c(IIvj(x)D)P(xllJ(x)} siendo c :R -R * ., úna f-función continua verificando que c(t)/t es monótonacreciente, y tal que haga f(x)YO para cada xeH . Entonces se tiene : 3 .7 .1 . : f(x)cF(H) ; VxcH . 3 .7 .2 . : xn -u x en H, f(x n ) -1 f(x) en F(H) . Prueba : 3 .7 .1 . Si x=x* f(x)={x*}cF(H), obviamente . Si x¢x*  y tomamos una sucesión {y n }c f(x), será . yn = x - t n p(x), con J(yn) s J(x-c(uVJ(x)l1)p(x)) . Como, para cada n,  n x-tnp(x )11 a u-t n p(x) 11 - u x11 si la sucesión {t n } no fuera acotada, tampoco lo seria en norma la sucesión lx-t n p(x)}, lo que es absurdo pues está conteni da en el conjunto de nivel W(x), que es acotado en virtud de H .3 . en cuyo caso Puede suponerse pues que t n + trR* y n ~ Y - x -  tP (x) y como J es débilmente secuencialmente inferiormente semicontí nuo J(y) 6  lim inf J(x-t, p(x))  6 J(x-c@IVJ(x)1)p(x)) . Además, al ser  c(IIVJ(x)11) li~ t n , también c( avi(x)1) 6 t, deduciéndose de ello que ycf(x .), y en conse cuencia que f(x) es débilmente compacto . (En realidad se ha probado que es compacto para la topología de la norma) . 3 .7 .2 . : a) Consideremos en primer lugar el caso en que x n #x*  (n=1, . . .) y también  x¢x* . Tomemos la sucesión {yn } con  y n cf(x n ) (n=1, . . .) . Será yn = xn-tnp(xn) . Al cumplirse que  x n - 'x, como consecuencia de H .5 . VJ(x n VJ(x), por lo cual puede suponerseque Y71= . 11 VJ (xJ1-Y . - Además no puede ser y=0, puescomo IIVJ(x)II `- lim inf Y n = Y, 74-si fueraeste el caso, necesariamente 11VJ(x)11=0, y entonces x sería crítico en contra de lo supuesto . Veamos, por otraparte,que {t n } es acotada : Caso contrario, como Ilx n - t np(x n ) n  '- II - t nP(x n )U  - II x n il y para un cierto MeR es Ux n p`- M (ya que {x n } tienelímite débil), quedará : Ilx n - t nP(x n ) II  '- I t ni  - M y en el supuestoconsiderado Ilx n - tnP (xn) II -- lo que,en virtud de H .3 ., implica que : J(xn - t nP(x n ))-m ---> J(xn-c(11U(xn)II)P(xn))im lo cual, nuevamente en virtud de H .3 ., daría que Ilx n - c(1U(XJ) P(xn)II am lo cual es absurdo pues,porH .S . xn -  c (0 U (xn)u)  VJ (x n )  x  -  c  y  VJ (x  ) NVJ (x n )N  y .  Por lo tanto, {t n } es acotada, y para una subsu cesión y entonces y o x=XQ . t nk t xnk-tnkP(xnk) ' x-t VJ(x) =x -t gVJ x P(x)= y teniendo en cuenta H .7 . :  y  Y J(xt pVJ x Ilp(x))  L  J(x - c(IIVJ(x)II)P(x)) Y Como, además  c( II VJ(x nk )II) 4 t nk , se tendrá que c(y) ¿ t ; La función c(t)/t es monótona creciente y al ser  uVJ(x)W4 y c( 11 VJ(x)11 )  4  c(y  ,C  t uVJ(x)11 Y Y luego c( V VJ(x)11)  t IIVJ(x)11 Y lo que prueba que yef(x),y por tanto que f(xn) a f(x) en estecaso . b) Supongamos ahoraque x n Y xR (n=1, . . .) y que Si y¢0, procediendocomo en el caso anterior obte nemos una subsucesi6n  -- .  xnk-tnkp(xnk) -~ x*-Y VJ(x*) = x*ef(x*) con lo quetambién f(x n ) Z f(x*) .  75 Si y=7 la sucesión(xn ) es critizadora, y por tanto minimizadgra, es decir  J(X 11 )-+ J(x*) . Como J(y n ) 1, J(x n -c(JIVJ(x n )II)p(x n )) d J(x n ) envirtud de H .3 . deducimos que  {y n }  es acotada, y ' para una subsucesión de donde Ynk -- y y J(y) 1lim inf J(Ynk) 11 lim inf J(x n ) = J(x*) y'al ser x* el único mínimo de J en H y=x* lo que completa la prueba de que  f(x n )  f(x*), y también la del teorema . O 3 .8 . : COROLARIO Bajo las hipótesis de 3 .7 ., si se define n f :HxI * i F(H), de modo que f (x,0) = {x } f ( x, 1)= f(x) ,f (x,k+1)  nf(Y,1) yeir f (x,k) la terna (H,I + ,,r f ) constituye un semisistema dinámico discre to débilsobreH . La existencia de unaf-función c que verifique las condiciones exigidas en 3 .7 . dependerá en cada caso de las característicasdelfuncional J . entonces 3 .9 . : OBSERVA CION Si escribimos, como es habitual,  (H(u» ,+y) = J (u,~ .,rV), y, porejemplo,existenm>0, M<+m, tales que pa ra todo uYCH  (H(u)y,y) = mJyH 2 , y 11H(u)1JIM, entonces se demuestra en (8),5 .3 ., que si 0 < a `- b 4 2m/M 2 xcH es no critico y ac [a livJ (x)J),  b 1wJ (x))1] J (x  -  ap(x))  <J (x) bastando pues en este casotomar  c(t) Ea .t . (11) CEA, J . Les Methodes de "Descente" dans la Theorie de L'Optimisation . R .l .R .O . 2° année n ° 13, p .79-102, 1 .968 . (14) DANIELL,J .W . The Approximate Minimization of Functionals . PrenticeHallSeries in Aut . Comput.Englewod CliffsN .Y . 1 .972 . (15)-DANIELL, J .W . Convergent Step Sizes for Curviiinear Path Methods of Minimization . C.N .A . Univ . of Texas at Austin (1 .971j . (17) DUMFORD,N . : SCHWARTZ, J . Linear Operators,Part . I . 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