Reticulos distributivos y cohomología de espacios noetherianos y compactos con valores en un haz

R E T I C U L O S D I S T RI B U T I V O S Y C O H O M OL O G I A D E ESPACIOS N O E T H E R I A N O S Y C O M P A C T O S CON VALORES E N U N HAZ . Tesis p esen ada pa a aspi a al g ado de Doc o en ciencias po Ampa oLópez Villacampa . U N I V E R S I D A D  D E  B A R C E L ONA Ba celona, Diciemb e, 1977 INTRODUCCION . . . . ... . .... . .... ... ... . ..... . . . . .... . . pg .  1 CAPITULO 0 Re ículos dis ibu i os : pasoal cocien e y lo calizaci6n . . . .... . .... . ...... .... . . .... . ..... . . . pg .  4 CAPITULO I I N D I C E La noción de espec o en e ículos . ..... . . ..... . pg .  19 CAPITULO II Aplicaciones a la opologíagene al .. .... . . . ... . pg .  56 CAPITULO I II Cohomología de espacios o denados y espacios noe he ianos con alo esen un haz . . ..... .... . ..... pg .  75 APENDICE Un esul ado sob e la cohomología de espacios compac os con alo esen un haz . . . .... . .... . .... pg .  109 BIBLIOGRAFIA ... ..... . . .... ..... .... . . ..... .... . .... pg .  113 INTRODUCCION Es amemo ia ecogealgunode los esul ados inédi os quehan apa ecido al inicia un a amien o "algeb aico" de la opología . Dado que el conjun ode ce ados de un espacio opológico iene es uc u a de e ículo dis ibu i o con elemen o máximo y mínimo, el es udio sis emá ico dedicha es uc u a en pa alelo a la de anillo, apa eció como el camino idóneo pa a in oduci en opología un lenguaje más' algeb aico . La noción de espec o p esen aba el máximoin e ésen cuan ope mi ía ecupe a cie os espacios opológicos pa iendo de e ículos - al igual que las a iedades algeb ai cas a inesson los espec os de k - álgeb as ini o-gene a dady sin adical - . El Capí ulo I se iniciacon la de i- nici6n de espec o p imodeun e ículo - aquíy en ade- lan e " e ículo"ab e ia a " e ículo dis ibu i o con .ele men o máximo y mínimo" - que es encie amane a dual de la conocidaen anillos . Todo' el capí ulo gi a en o noa es anoción ; en los dos p ime ospa ág a os se ca ac e izan espec i amen e los espacios espec ales - espec osde e ículos - y las aplicaciones espec ales - aplicaciones con inuasinducidas po mo ismos de e ículos- .E1 pa ág a o 3 seocupa de las ep esen aciones dé un e ículoen sus dis in os espec os y en pa icula da la ca ac e ización de los espacios espec alesnoe he ianos y de los espacios que son espec osminimales de e ículos . El capí ulo aca- ba asladando la nociónde dimensión de K ullde anillos a e ículoá . El Capí ulo II . d e aplicación a la opología gene al, mues a el in e és del es udiosis emá ico ealizado en I, en elación al p oblema de compac izaciones y cuasi-compac izaciones de un espacio . En pa icula , pa a un espacio comple amen e egula se ca ac e izan aquellos e ículos de ce ados, cuyo espec o maximal es una compac izaci6n del espacio . Es a ca ac e ización es po an o un mé odo cons uc i o de compac izaciones . Es e abajo se mue e ambién,en el ho izon e de una eo ía gene al de la dimensión cohomol6gica de_ un espacio o más conc e amen e en el del p oblemade halla pa a la misma una co a en é minos "algeb aicos" . El p oblema si gue abie o . Con odo en el Capi ulo III se da, pa a un cie o domi nio de espacios, un mé odo de cálculo de la cohomologia de un espacio con alo es en un haz . El mé odo consis een la cons ucción de una esolución " lasque" pa a un haz sob e : 1/ espacios ini os T O -sepa ados - y más gene almen e espaciosen que cada plin o iene un en o no mínimo - median e haces de gé menes de cocadenas de un cie o complejo se- mi-simplicial . 2/ espacios espec ales noe he ianos median e un p oce so de paso al limi e a pa i del caso 1 . Las esoluciones cons uidas es án en la linea de la cohomologiacombina o ia de Lubkin (9) . Como co ola io, se ob iene el conocido eo ema de la aco aci6n de la dimensi6n .cohomol6gica de un espacio noe he iano po su dimensión de K ull . El hecho - demos ado en el apéndice - de que la coho mologia de un compac o con alo es en un haz coincida - en el sen ido que allí se de e mina - con la cohomologia del espec o p imo de un e ículo cualquie a,que sea base de ce ó dos ; pa ece ab i nue as pe spec i as pa a el p oblemade la dimensión . El Capi ulo 0 ecoge en lenguaje algeb aico las nociones básicas y bien conocidasde e ículos . Es po an o un capi ulode e e encias . Es una obligación y a la ezunag ansa is aci6n e mi na es as líneas, exp esando mi ag adecimien o al p o eso D . Ra ael Mallol sincuyoes ímulo es e abajo no hubie a is o la luz ; y lo hago ex ensi o a odosmis p o eso es de licencia u aqueme die on la o mación ma emá ica básica e indispensable pa apode inicia meen la in es igación . CAPITULO 0 : RETICULOS DISTRIBUTIVOS : PASOAL COCIENTE Y LO- CALIZACION . En es e capí ulo se dan las de iniciones y esul ados . p e iosque delimi an el campo, obje ode es udiode es a me- mo ia . El capí ulo gi aen o no a espun os : 1/ la noción de ideal y la noción dualde il o-de un e ículo dis ibu i o . Los enunciados undamen ales son : a) cada ideales in e sección de odos los ideales p imos que lo con ienen . b) exis euna . co espondencia biyec i aen e los idea- les p imosy los il osp imos de un e ículo . c) pa a e ículos de dual complemen ado, ca ac e ización de los idealesp imos minimales comoaquellos quesólocon ie nen di iso es de ce o . 2/el paso al cocien e en e ículos dis ibu i os . A di e en cía de lo queocu een anillos, el núcleode un mo ismo en e e ículos no de e mina la imagen ; pe o el e ículo cocien e A/p es un obje o uni e sal pa a los mo ismos de A de núcleo p . 3/ la localización de un e ículo A po un sis emamul- iplica i o S es imagen epimó ica deA . .Si Y es el il o che ne adopo S se e i ica : A s = A- ,  y (AS)#= A ; `/ Y  lo quede mues a queel p oceso de localiza es exac amen e dual - del p oceso de pasoal cocien e . El ejemplo 0 .1 iene el in e ésde aduci algunos de los esul dos y de iniciones dadas,en é minos de opología ge ne al, cuando A es el e ículo de ce ados de un espacio o- po16gico X . 1/ A es un e ículo si . y sólo si en Aexis en dos ope- acionesno adas +,-suje as a e i ica : a) son asocia i as, conmu a i as y ienen elemen o neu- o no ados 0,1 espec i amen e . b) !i a,b,c e A se e i ica :  (a+b) .c = a.c + b c . c) y a e A se e i ica : a .0 = 0 a+l = 1 . d) y a e A se e i ica : a .a = a . 2/ In i iendoel o dende las dos ope aciones en un e ículo A,se ob iene el e ículo A41 . En lo que sigue,un e ículo A se áun conjun o con dos ope aciones que e i ican las p opiedadesan e io es . ., De inición 0 .1 : No ación : En oda la memo i .aun e ículo deno a áun e ículo dis ibu i o con elemen o mínimo y elemen o máximo . Si A es un e ículo, A 41 designa su e ículodual . P oposición 0 .1 : Sea Aun e ículo . Un ideal q de A, es un subconjun o de A al que :  ' 1/ si a,b eq en onces  a + b e q . 2/ si a e A y b e q en onces a .b e . q . Lasnociones de ideal p imo, maximal o p incipal de un anillo, se asladan sin di icul ad al dominiode e ículos . De inición 0 .1' : SeaA un e ículo . Un il o Y de A es un subconjun o de A al que es un ideal de A * . Si A es un e ículo de pa esde un conjun o, donde la su ma es la eunión y el p oduc o la in e sección ; la noción da da de il o coincide con la usual, ya que : 1/ si a, b eS  en onces a .b e~ - 2/ si a e A  y b e  en onces a +b e S . P oposición 0 .2 : Sea A un e ículo . La aplicación que asigna a un subcon jun o de A su complemen a io ; de ine una biyecci6n en e el conjun o de los ideales p imos de A y el conjun o de sus- il os p imos . Comp obación : Si p es un ideal p imo de A, no amos A - p su complemen a io . La p oposición esul a, habida cuen a de las p opiedades de la aplicación paso al complemen a io, del hecho de se A - p un il o p imo . De inición 0 .2 : Sea A un e ículo . Un ideal p imo minimal es un ideal p imo p al que su complemen a io es un il o maximal . De inci6n 0 .3 : Sean A l y A 2 e ículos . Una aplicación cp : A l > A 2 se dice que es un mo ismo de e ículos si : 1/ cp conmu a con las dos ope aciones : cp(a+b) = cp(a)+ (b) cp(a- .b) - cp(a) . (b) 2/ cp(0) = 0 y cp(1) = 1 . De inición 0 .4 : Sea A un e ículo y q un ideal . Llama emos e ículo co- cien e de A módulo q , no ado A/q al conjun o cocien e po la elación de equi alencia : a- b -  ----> exis e q e q al que a + q = b + q ;do ado de las ope aciones inducidas po las de A . P oposici ón 0 .3 : Sea Aun e ículo y q un ideal . Se e i ica : 1/ la p oyección canónica A P > A/ c ,  es un epimo is mo de e ículos de núcleo q . Comp obac ión : P oposición 0 .4 " Comp oba ción : 2/ p es ablece una aplicación biyec i aen e los idea- les deA que con ienen a q y los ideales de A/ q . 1/es inmedia o . 2/ se demues a igual que pa a anillos, sal o el siguien e pun o : sean qa 9~ q2 dos ideales deA que con ienen a q . En onces p(q,) 7¿ p(q 2 ) ya que si aeg2  ya íq2, si exis ie a b e q2 alque p(a) = p(b) en onces exis e q eq al que a + q = b+ q lo queimplicaa=a (a 4 . q)  = a (b + q)  e  q2' SeaA un e ículo yq un ideal . Se e i ica : 1/ q es p imo si y sólo si A/ q es sin di iso es de ce o . 2/ q es maximal si y sólo si A/ q - {0,1} - e ículo con dos únicos elemen os - . 1/ se demues a igualqueenel casode anillos . 2/ es co ola io de la P oposición 0 .3, y del hecho de queenun e ículo, un elemen o q¿ 1 es no in e ibley gene a po an oun idealp opio . Co ola io : En un e ículo, odoideal maximal es p imo . P op osición 0 .5 : Sea A un e ículo . Se e i ica : 1/ Una iujagen epim6 ica de A noquedade e minadapo su núcleo . 2/ A  p - A/ q es un obje o uni e sal pa a los epimo ismosde A de núcleo q . Demos ación : 1/ Sea p un idealp imo, no maximalde A . La aplicación : A  cp . .-~ {0,1} a  _ cp(a) = 0 si a ep =1 si aép zado de A enS y no ado P oposi ción 0 .12 : SeaA un e ículo y S un sis ema mul iplica i o de A al que leS  y 0 ¿ S . En onces exis e un mo ismo epiyec i o cp : A  ~ A S . Comp obación : 1 z s i  / sie S y de aquí odoelemen ode AS iene un ep esen an e en A, = A . De aquí c p(a) = {a} es epiyec i a . P oposic ión 0 .13 : SeaA un e ículo, S un sis ema mul iplica i o de A al que 1 e S y 0 ¿ S ; yy el il ogene ado po S . Se e i i- caA S = A5 : Comp obación : 1 4 S es co inal en y ya que si b a e A y s e S al que b =a+ s P oposició n 0 .14 : ~ .  A' /Y  ,  (A  )# e .F en onces exis en -> b . s  =  s . SeaA un e ículo,S un sis ema mul iplica i o de A al que 1 e S y 0 ¿ S, y S el il o gene ado po S . Se e i ica (AS)* u_ A */Y pAmos ación : A pa i de la De inición 0 .4 y de la De inición 0 .8, se comp ueba inmedia amen e que la aplicación : {a}  -__~ ep(a)  donde c p es la aplicación de la P oposición 0 .12, es un isomo ismo de . e ículos . La P oposición 0 .14 esul a en onces de P oposición 0 .13 . 1 5 Es e iden e además que cp = - o p dondep :  A `/~ es el mo ismocanónico de pasaal cocien e . P oposic ión 0 .15 : SeaA un e ículo y .S un sis emamul iplica i o deA al que 1 e S y 0 ¿ S . En onces cp :A -  sA S donde cp es la aplicación de la P oposición 0 .12, es ablece una co espondencia biyec i a en- e los idealesp imos de A que no co an a S y los ideales p imos de AS . Demos ación : a) Se educe al caso : S il o de A, ía la P oposición 0 .1-~ y eniendo en cuen aquepa aun ideal p de A sip ()S=0 .p n y= O donde S : es el il o gene ado po S . b) Caso S = 1 : La P oposición 0 .3, 2/ asegu aqueel mo ismocanónico : A* P  ~ A41/S  es ablece una co esponden cía biyec i a en e los il osp imos de A que con ienen a y los il osp imos de (A * /5-) ;i , A pa i de la P oposición 0 .2, p es ablece en onces una co espondencia biyec i aen e los idealesp imos de A que no co an a  Y  y los idealesp imos de (A x /y) # . La p oposición se sigueaho ade que cp =- o p donde cD es la aplicación de inida en la demos ación de la P oposi ci6n 0 .14 . P oposición 0 .16 : Sea A un e ículocomplemen ado y q =(c) un ideal p in- cipalde A . En onces A/ q es complemen ado y (a} c = {ac} . Comp obación : EnA/q el il o  1'= ((b}j{a}+{b} = {1}} es á gene- adopo (a c } ya que : 16 pe enece al il o gene ado po ¿ac } . No ación : {a} + ¡b} = ¡1} - a + b + c = 1 es deci b + c pe enece al il o gene ado po ac y po an o b+c+a c = b+ c . En A/ q es a igualdad se esc ibe (b}+ {a } _ ¡b} es deci 1b} c En los ejemplos siguien es, si X es un espacio opológico y V una pa e de X, V deno a á el cie e de V ; y VO su in e io . Ejemplo 0 .1 : Sea X un espacio opológico y A su e ículode ce ados, con las ope aciones unión e in e sección de conjun os . 1/ Exis e co espondencia biyec i a en e el conjun ode il os p imos p incipales de A y el conjun o de ce ados i e ducibles de X . En e ec o :  Y = A*c  es p imo si y sólo si pa a odo pa a, b e A al que  (a+ b) c   c, se e i ica que c es i e ducible . 2/ A es complemen ado . En e ec o :  si a e A,  el il o  S = (bla+ b = 1}  es p incipal de gene ado X -a . 3/ Los no-di iso es de ce o de A * son los ce adosde in e io acío . En e ec o : c a =  .-  - X - c =X En la li e a u a,- los ce ados de in e io acío se llaman ce ados po odo .no densos y es án ca ac e izados como las on e as de ce ados . 4/ ad J A = conjun ode ce ados .d e X, po odo noaansos . Bas a ene en cuen a la P oposición 0.9 y 3/ . 5/ Los il os minimales de A son los il os p imos que no con ienen ningún ce ado po odo no denso . 17 Bas a ene en cuen a la P oposición 0 .11, dado que Aes com- plemen ado . 6/ Sea ceA un ce ado de X . El e ículo de ce adosde c es A c' 7/ Sea U un abie o de X . En onces el e ículode ce ados de U es isomo o a A/ (X-U) . En e ec o, si A(U) designa el e ículode ce adosde U, de inimos : c p :A/(X - U)  ---->  A (U) cnu es á bien de inidaya que :  {c} = {d} .  - c + U-X = d+ X-U cn U = d n U lo que demues a además que cp es inyec i a . Es e iden e aho a que cp es isomo ismo . 7/ E a de espe a , dado que A 41 es isomo o al e ículode abie os de X con las ope aciones unión e in e sección de con jun os . 8/ Si U es un abie o de X, A(U) es complemen ado, y el complemen o de a n U  es X -a n U . Bas a ene en cuen a 7/ y la P oposici6n'0 .16 . Ejemplo 0.2- Sea X un conjun oo denado . Un subconjun o c de X se lla- ma c ecien e ( espec i amen e dec ecien e) si z > x ( espec i- amen e z < x) y x a C implica z e C . De inimos en X la siguien e opología : los ce ados de X son el 0 y los subconjun o c ecien es . 1/  Si  x  C  X  _  x  = ' y¡  y z  x ) 2/ La unión cualquie a de ce ados es ce ada . En pa i- cula el cie e de un subconjun o es la unión de los cie es de sus elemen os . 3/ Si x e X, x iene un en o no mínimo U(x) _ {y¡ y 5 x} . En ec o,  si V es un abie o que con iene a x : x  X - y pues o que X - V es c ecien e : U (X)  n X - V = o -P  U (x) c : . 3/ se sigueaho a de lo siguien e : si y i x, x ~ y - x e X- y e y ¡ X - y . Po an o exis e un abie o que con iene a x y no con iene a y . Dado que - a pa i de 2/ - la in e sección cualquie a de abie os es abie o, U(x) es abie o . 4/ Si Aes el e ículo de ce adosde X, ad J A = ce ados de A que no con ienen ningún subconjun o dec ecien e . En e es o : a . pa i , de 4/ del ejemplo 0 .1,  ce ad J A si y sólo si 0 c = 0 . 4/ se sigue aho a de 3/ . Po ejemplo si x e X no es un elemen o minimal : 3¿ e ad JA . 5/ Si A es el e ículo de ce adosde X, A es el dual com plemen ado . 18 En e ec o : si c e A po 3/ U U(x) es el mínimo abie o que xe c con iene a c . De aquí X - U U(x) = yld xec (x,y) es no xec aco ado supe io men e} es el gene ado del ideal de los di i- so es de ce o de c . A pa i de 4/ y 5/ hemosob enido un ejemplo de un e- ículo 61 y su dual complemen ados, pe o que no es de Boole . CAPITULO I : LA NOCIONDE ESPECTRO EN RETICULOS . El capi ulo gi a « en o no a la nociónde espec op imo de un e ículo, nociónque co esponde a la de inida enani- llospe ocon la opología dual . De hecho se de ine el . espec op imo de un e ículo A como el conjun o de sus il os p imos con la opología que ienecomo base de ce ados los conjun os  (a) 0  a e A  donde  (a) 0  designa el conjun ode il os p imosque con ienEn a . A di e encia de lo queocu e en anillos,es a base es ce ada po la unióne in e sección ini asy po an opuede oma se ambién comobase de abie os . Al hace lo así se ob iene el espacio opológico dual, ho meomo o al espec o p imodel e ículo dual . La elección de nues a de inición se jus i icapo lo siguien e : la aplicación : a ~ (a) 0  es en onces un mo is- mo del e ículo A en el e ículo de ce ados de Spec p A . Enunciamos b e emen e los esul ados del capi ulo, po pa ág a os . 1/ Espec o p imode un e ículo : El es udio de las p o- piedades opol6gicas del espec o p imo, culmina con la ca ac e izaci6n de los espacios opol6gicos que son espec os p i- mos de e ículos,en adelan e llamadosespacios espec ales . La ca ac e ización dada aquí, de ine ambién el dominiode los espacios queson espec os de anillos . Ve (7) de la bibliog á ía . 2/ P opiedades unc o iales : Un mo ismo de e ículos in duce de mane a con á a ian e una aplicación con inua en e es pec osp imos . A di e encia de lo que ocu e en anillos los 2 0 mo ismos inyec i os inducen aplicaciones con inuas epiyec- i as y no sólodensas . Des acamos : a) la ca ac e ización dadade los mo is- mos espec ales,en endiendo po ales las aplicaciones con- ínuasen e espec osinducidas po mo ismos de e ículo . b) la conmu ación del paso al espec o con el lími ein duc i o,en el siguien e sen ido : Specp lim ind  A i =  E lim p oy  Spec pA i ie 1  ie i donde el homeomo ismo es espec o a la opología lími ep o yec i o . En pa icula es o pe mi e ca ac e iza los espacios espec ales comolími es p oyec i os de espacios ini os T 0 -sepa ados . 3/ Rep esen ación de un e ículoen sus dis in os espec - os : El es udio sis emá ico de la ep esen ación de un e í culoen sus dis in osespec os -p imo, maximal, minimal y a ómico -  pe mi e ob ene las siguien esca ac e izaciones : a) la de los espec os de e ículos alesque odo il- o es p incipal,como los espacios espec ales noe he ianos . b) la dé los espacios opol6gicos queson espec os mi- nimales de un e ículo . Con odoaquíel e ículo no es áuní ocamen e de e minado : un mismo espaciopuede se el espec o minimal de e ículos .n o isomo os . c) la-de la p opiedad Hausdo pa a el espec o cimaximal . Con es a p opiedad,de sepa ación el espec omaximal esul a se un e ac o del espec o p imo . d) la de las condiciones de sepa ación pa a el espec o a ómico . 4/ Dimensión de K ull : La de inición dada pa a e ícu- los es copia de la conocida en anillos, y esul a se igual a la dimensión de K ull del espec o p imo, en endiendo po al el ex emo supe io de las longi udesde cadenas ini as es ic amen e c ecien es de ce ados i educibles . zl Espec o p imo de un e ículo . De inición 1 .1 : Sea A un e ículo . Llama emos espec op imo de A, no a- do Spec  A, al conjun o de los il os p imos de A do ado de p la opología de inida po {(a)0 1 a e A } como base de ce a- dos . -  (a) 0 designa los il os p imos de A 'que con ienen a - . ica : 22 La opología an e io es á bien de inida ya que se e i- (a) 0U  (b) 0  =  (a + b) 0 (a) 0  i  (b) 0  =  (a . b) 0 (0) 0 = 0  (1) 0 = Spec pA . No aciones : En adelan e : Spec M A  - espec o maximal de A -  deno a á el subespacio de Spec p A cuyos elemen osson los il os maximales . Spec mA  - espec o minimal de A - deno a áel subespa io de Spec p A cuyos elemen osson los il os p imos minimales . SpecR A  - espec o eal de A -  deno a á el subespacio de Spec pA cuyos elemen osson los . il os p imos p incipales . Spec a A  - espec o a ómico de A -  deno a á el subespacio de Spec p A cuyos elemen osson los il os maximales p incipales, 23 llamados ambién il os a ómicos . (a) M ,  (a) m ,  (a) R ,  (a)a  deno a á la in e sección de (a) 0 con el espec i o espec o . Si  i  es un il o de A, V(F)- a iedad de 7 -  designa al conjun o de il os p imos de A que con ienen a F . P oposición 1 .1 : Spec  A" es homeomo o  al conjun o de los il os p i P mos de A, do ado de la opología de inida po {(a)0 1 a E A} como base de abie os . Comp obación : Bas a ene en cuen a la P oposición 0 .2 . En adelan e, llama emos a Spec pA ;1 el espacio opológico dual de Spec pA . P oposición 1 .2 : Sea A un e ículo . Se e i ica : 1/ Sea U c : Spec pA ;  y {  F i  i s  I}  el conjun o de los elemen os de U . En onces UJ = ( n F i ) . 2/ Los ce ados de Spec pA son el 0  y los subconjun os (S .)-donde F es un il o cualquie a de A . 3/ Spec pA es un espacio TO -sepa ado (pa a odo pa de Qun  os exis e . un abie o que con iene a uno de ellos y no con iene al o o) . 3 0 la unión e in e sección de conjun os, ieneen onces es uc u a de e ículo de Boole . La P oposición 1 .5 asegu a aho a que A es de Boole . En pa icula - es e co ola io demues a : 1/ El Teo ema de ep esen ación de S one : Sea A un e í culo de Boole . Exis e en onces un espacio compac o X al que A es isomo oal e ículo de los ce ados de X que son am- bién abie os . En e ec o : bas a oma X = Spec pA . 2/ En el co ola io a la P oposición 0.11 la condición de se A de dual complemen ado es sob eabundan e . En e ec o A es un e ículo de Boole si y sólo si odo il o p imo es maximal . Teo ema 1 .2 : Ca ac e ización de los espec os p imos de e í - culos . . Sean X un espacio T0 -sepa ado . Las dos condiciones si- guien es son equi alen es : 1/ X es el espec op imo de un e ículo . 2/ X e i ica : a) el conjun o de sus abie os cuasi-com pac os es una base de abie os, que con la unión e in e sección de conjun os iene es uc u a de e ículo . b) Los ce ados i educibles de X son los cie es de pun os . Demos ación : 1/ -  - 2/  Si X = Spec p A, X e i icaa) po el Teo e- ma 1 .1 2/ y e i ica b) po la P oposición 1.4 3/ . 2/ ; 1/ Sea A el e ículo de los ce ados complemen a- ios de abie as ciiasi-compac os de X . De inimos :  X  ( :P -,  Spec pA x--^, F x= {aeA 1 xea} 3 1 cp es á bien de inida : yx  es un il op imo ya quesi a+b F S' X E  _ xe a +b < , ~ xea6xeb  ~ a£'Yx 6be x . cp es in ec i a : En e ec o si x, T .-sepa ado : x, 7¿ x 2 . Dadoque  n  a= x  aquello impli a a  S x ca :  Vx 1  'z  Y x 2 es epiyec i a : En e ec o : La condición a) asegu a en pa icula que X es cuasi-com pac oy po an opa a odo il o y de A : n  a yÉ ae i Si aé £, a = d  en onces  F = {  c e A I c ~d } . - hacemos no a que d no ienepo qué pe enece a A - . En e ec o : F c { cs A  ~  c :D d }  y ecíp ocamen e si c e A  c D d, X - c es un abie o cuasi-compac o y de aquí la igualdad : 0 = (X -c) n d = (X -c)  n  a, implica la exis encia de un ae 57 n núme o ini o : a l   a .e i  alesque :  (X -c)  n  a¡ = i=1 Es aigualdad asegu a c  n  a l o equi alen e : i=1 ceF . po se X un espacio Si Y es un il op imo de A y  n a = d en onces d aey es un ce ado i educible de X . En e ec o si suponemos lo con a io d = d 1 + d 2 con d, yá d y d 2 7 , 6d, en onces la con dici6n a) asegu a queA es una base de ce ados y po an o exis en c 1, e 2 e A alesque c i zd i , . c i ~ d d  i = 1, 2 . En on ces c,+ c2 eF  y c l ,c 2 con lo que se llega a con adi- cci6n pues 5 es p imo . En onces po b)  si  F es un il op imode A,  n  á, es ae9 el cie e de un pun odeX y es o demues a que cp es epiyec i a . cp es homeomo ismo . Si d es un ce ado de X, en onces po se demues a que De inición 1 .2 : P oposición 1 .6 : 3 2 A basede ce ados,exis en c ie A  ie I alesque d = n  c . . Pues o que  x e d= n c .  equi ale a ieI i  i I i i x e n ici)0 se e i ica : cp( n c i ) = n (ci)0 y es o ieI  ieI  ieI PROPIEDADES FUNCTORIALES es homeomo ismo . Di emos queun espacio opol6gico T O sepa ado es espec al si e i ica una de las dos condiciones equi alen es del Teo ema 1 .2 . Sea  A' -- p -> A  un mo ismos de e ículos . En onces de inede o ma canónica una aplicación cp E : Spec P A --*Spec P A' . Se e i ican ademas las elaciones : Demos ación : 1/ pa a odo il o V de A' :  1 V(s :') = = V ((cp .F") ) donde  (cp F' ) designa el il ogene ado po cpy' . Es oasegu a que cp * es con inua .  _ 2/pa a odo il o  F  de A : Cp * V(F) = V( c p -1 F) . De inición de cp .: Si F es, un il op imode A, se com p ueba inmedia amen e que cp -1 7  = {a' e * A' ] cp(a') e F' } es un il op imode A' . En onces cp  = cpes la aplica- ci6n de Spec A en Spec A' de inidacanónicamen e po la (p . P  P 1/queda demos ado po la siguien ecadena de equi alen cías i iales :  Fe  V  ( (cp F') )  ,---e  1, =)  (cp  cp -1 IF  Z ~' -- +  Cp F  e  V ( 57')  <--,  S e  (cp * ) -1 V (S-') . 3 3 Dadoque los ce ados de Spec A' son los subconjun os P de la o ma V(F'), 1/ asegu aquecp es con inua . 2/ queda demos ado po la siguien e cadena de equi alen cías :  F' e V(cp -1 F ) ---, S' => cp -1 F ,----+ si a' ,¿  S'  en onces a' ¿ CP -1 y <-- . si a' 0 F' en onces cp(a')  si a' ¿ i' exis e  57 1  e  V (F)  al que cp (a')  S~q  <-~  si a'  ¿ S'  exis e y o e V(F) al que : a' e cp -1 S, = cp # 1'' 1 . Es o Gl imo es equi alen e a deci que odo en o noabie o de S' de la o ma Specp A'  -  (a') 0 ieneconcp V(F)  in e sección no acía ; y dadoque {Spec p A - (a')0 I a' e A'} es una base de abie os de Spec P A'  es o equi ale a  F'  s CP*Y- V(F) . P oposición 1 .7 : Sea cp : A'--, A un mo ismo de e ículos . Se e i ica : 1/Si cp es epiyec i a, cp es inyec i a y homeomo ismo de Spec PA en Imag CP la/En pa icula si A es un e ículo y p - un ideal, Spec pA/p es homeomo o al subespaciode Specp A o mado po . los il osp imos F ales que  S np = o . 2/Si ep es inyec i a, cp 41 es epiyec i a . Demos ación : 1/ Sean  F,, 9¿ 5- 2  e Spec p A . En onces F, = CP -1 F1 7, CP-1 F2 = CP * yz  pues Cp es epiyec i a . Es o demues aque m` es inyec i a . A pa i de la P oposición 1 :6 2/ pa a odo il oY -de A  :  cp - V (5)  =V ( cp -1 F )  y de nue o po se cp  epiyec i a  se comp ueba inmedia amen e :  V (cp -1 F )  D Imag  CP Y = cp * V (F) . Es o demues a que cp es ce ada como aplicación de Spec A p en Imag cp# , 3 4 la/ En pa icula si p es un ideal de un e ículo A, la P oposición 0 .14 asegu a  (A/p) «' . _ (A~1) p y en onces la P o posición 0 .15 a i ma la exis encia de una co espondencia biyec i a en e ideales p imos de (A') pe ideales p imos de A* que no co an a p . la/ s e sigue aho a de l/ . 2/ a/ Se e i ica : Imag Cp* n Spec m A' . En e ec o si S' es  un il o maximal de A', en onces ep Y' gene a un il- o p opio de A, pues si exis ie an a, e A, l e cp S '  i = l . . .n ales que 0 =  (a l + ,) . . .(a . + ,) =a+  , ... . en onces i . . . o = 0 y po se cp inyec i a, F' no se ia un il o p opio de A' . Po an o, exis e po el lema de Zo n un il- o maximal  F  de A, al que  F" D cp J' . De aquí  Cp * S7 :D 57'  y po se  x'  maximal  cp y = y' . b/ Sea y'e Spec A' un il o no maximal . En onces p ,y' e Imag cp . La demos ación es una educción a la si uación a/ po paso al cocien e . En e ec o sea p . = A' - F'  ideal p imo de A' y p  el ¡de al de A gene ado po cpp' . En onces la aplicación : {  a .  }  ; . { cp a . } es un mo ismo inyec i o : -_ los elemen os de p son de la o ma a . cp (p') con ae A, p' e p'  como se comp ueba inmedia amen e . De aquí  ( c p a' } _ { cp b' }  ~-- .  cp a'  + a . cp p' b' +a .cpp'  implica  cp(a' + p') = co(b' + p') y po se inyec i a : a' +p' = b' + p' ~-+ { a'} _ ( b' } - 'P' = {{a'} 1a'e y'} es el único il o maximal de A'/p'  y po a/ exis e un il o .F e Spec p A/p  al que F = {a s A 1  {a} s Y } e  Specp A  y  S' = ep',F"  lo que demues a De inición 1 .3 : 3 5 F . El il o Sean X = Specp A, X' = Spec p A' dos espacios espec ales . Una aplicación con inua : X --- > X'  se diceque es espec al si exis eun mo ismo de e ículos cp : A'---> A  alque =cp . Cuando no haya luga a con usión, come e emos a menudo el siguien e abusode no ación : esc ibi a' po (a') 0 . La P oposición 1 .6 1/ a i maque si es espec al pa a odo a' e A' se e i ica : cp(a') = -l(a') . Teo ema 1 .3 : Sea X = Spec p A un espacio espec al . Exis e en onces un espacio espec al compac o X yuna aplicaciónespec al : X, X biyec i a . Demos ación : Sea 'Á el e ículode Boolegene adopo A y po {X-alacA}, es deci odo elemen o de K se ob iene po unióne in e sección ini a de elemen os deA y de elemen os de {X-aj aeA} . Sea i : A , l o W  la inyección na u al . Po la P opo sici6n 1 .7 2/ la aplicación : Specp A 1 i Specp A = X  es epi yec i ay con inua . El co ola io a la P oposición 1 .5 a i ma queX = Spec p A  es un espacioespec alcompac o, y po an- o el eo ema queda demos ado si comp obamos que i~ es in- yec i a . i * es in ec i a :  Sea  S e Specp Á  al que i * F  =x . En onces : F  { á e A 1  xe - á }  a que inconexade X . Demos ación : 36 / si  x e c,  c e y  ya que i -l ~ - y= x x¡ c, X - c e S yaque F es p imo, c + (X-c) =1 y cí .F Pe o {a E F1 1 x e a } es un il o p imo de Á ypues oque A es de Boole,esmaximal ; de aquí y = ( a E Á x e a} lo que demues a la inyec i idad de 1' . De inición 1 .4 : Sea X un espacio espec al . Con las no aciones del eo e- ma an e io , « R = Spec pA  se államada la opología o almen e Teo ema 1 .4 : Ca ac e ización de las aplicaci ones espec ales . Sean X = Specp A,  X' = Specp A' dos espacios espec ales : X~ X' una aplicación con inua . y Las siguien escondiciones son equi alen es : 1/ es espec al . 2/ Si U' esun abie ocuasi-compac o de X', en onces -l U' es un abie ocuasi-compac o de X . 3/ es con inua espec o a las opologias o almen e in- conexas de X y X' . 4/ es espec al espec o a las opológlas o almen e inco nexasde X y X' . 1/  2/ . En e ec o sea  = Cp4 `, donde A' T + A es unmo ismo de e ículos . Po el Teo ema 1 .1 2/ los abie os cuasi-com pac os de X' son los subconjun os de la o ma X' - a', a' e A' . 37 En onces -1(X'  - a')  = X - _ (a')  = X - cp  (a')  comohicimos no a en la De inición 1 .3 . 2/--,4/ . Po 2/ se e i ica : l a' sA '  -1(X' -a')  _ = X - _ (a') esun abie ocuasi-compac o de X y po an o -1 (a') g A . Pues oque Á' es ágene ado po los elemen os de A' y los de {X' - a' 1 a' s A'} y -1 conse a uniones e in e secciones ini as, -1 : A', Á es un mo ismo de e ículos . En onces = ( -1 ) : X = Spec p A --~  Specp A' = X' es espec al . 4/, 1/ . La demos ación de es a implicación se basa á enel lema :  SeaX = Specp A . En onces los elemen os de l1 son subconjun os cuasi-compac os de X . - seguimos la no ación del Teo ema 1 .3 . - . Demos ación del lema : Los elemen osde 11 sonae la o - ma n ~ ci (X-dc i , d i e A . Dadoque la unión ini a .d e cuasi- i=1 compac os es cuasi-compac o el lema queda demos ad ói comp ó bamos :  dc, de A  c .(X-d) es un cuasi-compac o deX . Es o úl imo .e s e iden e : c .(X-d) n ai . = 0 implica de X y c un ce ado . n (X -d)  a , c = O  pues  (X -d)  es un abie o cuasi-compac o j=l 7 La demos ación de la implicación es aho acomosigue :, Pues oque  : X ----, X'  es espec al sea cp :  A  el mo ismo de e ículos al que = cp . Si comp obamos que ep (A ') C : A , en onces ., cp l A ," A l --yA  es un mo ismo de e ículos y mani ies amen e  (cp 1A , .) * = lo que .demues aque : X---# . X' es espec al . -1 cp(A') c : A  : En e ec o si a'  g A : X-  (a')  = -1 (X' -a')= = cp(X'-a')  e Á es un abie o . de X pues , es con inua .  Po el lema es un abie ocuasi-compac o deXypo el Teo ema 1 .1 2/ P oposici6n 1 .8 : cío . 38 su complemen a io -1 (a')- . =cp(a')  eA . 3/ -- .0  4/ Sea  :%  X' una aplicación con inua . Po se -{' .espec al compac o, A' es el conjun o de los ce ados de X' queson ambién abie os . Po se con inua, si a' e A' -1 ( - a') es un ce adode X quees ambiénabie o . En onces -1 : Á . es un mo ismo de e ículos y = ( -1)# es es pec al . 4/-, 3/ . Es e iden e . Sea X = Specp A un espacio espec al e Y C : Xun subespa- Y es espec al y la inyección na u alde Y enX es espec al si y sólo si Y es ce ado en la opología o almen e in- conexade X . Demos ación : 1/SeaY espec al e i : Yc ->X  espec al . Po el Teo e- ma 1.4, i es con inua espec o a las opologías o almen e inco nexas de X e Y . Pe o Y es un compac o y la imagenpo una apli caci6n con inua de un compac o es compac a ; dado que X es Haus do es o asegu a que 7 es un ce ado de X . 2/ Sea Y un ce ado de 7{  y  Y = {á c W1 á z Y} . A pa i del diag ama A  i 1 . Á A yY ob enemos : Spec P Á 8  (P o i) 4 > Spec P A  1  donde y Imag  (poj)  = Imag  (j #o p )  _ . Y C: X  ya que po el Teo ema 1 .3 j # es biyec i a ; ypo la P oposición 1 .3 : Imagp 3a _SpecpA FY = Y con la opología es icción de la de X . 3 9 A pa i de la sucesión :  A -  ~ (poj)  A cJ 2 _ A y Y donde cp es epiyec i a y j 2 o cp = p o j ob enemos : #  E jo p = CP o j~ . Dadoque j2 es epiyec i a y CP es inyec i a ob enemos inalmen e Specp (poj) A - cp Specp (poj) A =Ye : X . Es o demues a queY es espec al y es cla oque la inyección na u al de Y enX iene en onces inducida po el mo ismo de e ículos :  ~P : A >(poj) A . P oposición 1 .9 : SeaA .  ie I una amiliade e ículos e i icando las 1 condiciones pa aque sea posible pa .sa al limi e induc i o .- - e De inición 0 .9- . Se e i ica : Spec  l im ind , A  es P ieI  i canónicamen e homeomo o  a limp oy E -  Spec A, . Demos ación : Sean  V i >_ j  j . A i  > A .  los mo ismos es- 7 pec o a los cuales se oma el limi e induc i o y Vi ., I sea lim ind pi el mo ismo canónicamen ede inido de A i en  i eI1- A i . Es bien sabidoque si i Z j en onces cpi =cp j o cp ij . De inimos la aplicación : limind Specp - ii  II 1 A i >  II  Specp A i ic . I ' 1/ cp es in ec i a : Sean  e Spec lim ind p A i . i eI Exis e en onces a e lim ind . A i que pe enece a unode i e I ellosy no al o o . Po la de inición de limi e induc i o, 4 8 al que : a) dicha base ienees uc u a de e iculocon la unión e in e seccióno dina ias de conjun os . b) si una amilia de ce ados de la base ecub e X, exis e una sub amilia ini aque ambién ecub e a X . Demos ación : Ha quedado demos ado en la P oposición 1 .12 . 2/ --->1/ . Sea A el e ículo de la base de ce ados de X que e i ica las condiciones a) y b) . De inimos :  X   -> Spec m A x  S x= {a E A 1 x E a) es á bien de inida es deci S' es un il ominimalde A . x En e ec o sea c e ~x . Po se X Hausdo :c U d i = X  y x¿d i po la condición b),  exis eun núme o ini o d, . . . d,  de ce a dos queno con ienen a x alesque c +d,+ . . .+d, = 1 . Po an o si c e Fx exis e  d =d, + . . .+d, é S x al quec + d = 1 y es o equi ale a  (A -S x ,  c)  = A, .  V cE5x lo quedemues a que  ~ x es un il o minimal . es inyec ¡ a : En e ec o po se X Hausdo yA una base de ce a dos n  a = x . es epiyec i a : es eg i alen e a demos a que si  ESpecm  m en onces  n  a l Es o úl imo es ácil de e : po se a i e ym A m  minimal, si . a i .  e 5" m  exis eb i  ¿ 5" m  al que  ai+ b i = 1 .  Po an o  (  ('1  a . ) u (  (~  b 1 .)  = X  y  si  n  a l =  en onces ai .  E  x m  1  iEl  ai .e  S m 4 9 po la condición b) exis eun nó ini o de b i : b 1 . . .b o ales n que U  b j =X es deci b + . . .+bo =1 con lo que llegamos a j=1 con adicción pues b 7 ,  e Ym  j  = 1 . . .n es aho a un homeomo ismo . P oposición 1 .13 : os maximales deAcualesquie a,no exis eningún il o p i mo con enido enambos . Demos ación : Sea A un e ículo al que SpecM A es denso enSpec A P Spec M A es un espacio Hausdo si y s61o si, dadosdos il- 1/ Sean  ~ , y M e SpecM A y supongamos que no exis e ningún il op imo con enido en los dos . Po la P oposición 0 .2 es oequi ale a (A - FMI A -$M) = A  y po an o exis en b  F M  alesque  a + b =1 . y Es oasegu a la exis enciade ce ados : M ¿  (a) m  y  YMé  (b)o  alesque  (a) o  U (b)ó  = Spec M A y po an oSpec M A es Hausdo - pásese a los abie os com plemen a ios de dichos ce ados - . 2/ Recíp ocamen e supongamosqueSpecM A es Hausdo y sean  F M , yM e SpecM A . Po se Hausdo exis en ce ados de la base de SpecM A  :  Y M¿(a)ó , FM ¿(b) M  alesque (a) M u  (b)ó = Spec M A .  Pues oqueSpec M A es densoen Spec  A P_ es o asegu a a +b = 1 y po an o (A -S M , A - SM) = A . Es o e mina la demos ación . P oposición 1 .14 : Sea A un e ículo al queSpec M A es un espacio Hausdo y densoen Spec P A . En onces Spec M A es un e ac o de Spec P A,  es deci exis e una aplicación con inua  : Spec p A - Spec M A al que ISpecm Aes la iden idad Demos ación : Po la P oposición 1 .13 podemos de ini la aplicación : Specp A  Spec M A 50 FM=único il omáximalque con iene a F P es con inua : Pa a e lobas a ácomp oba que pa a odo 19  a e A, -1 (a  0 Spec MA = (a)m0 pues en onces si  Fe -1 (a)0 M exis e  FM e Spec M A al que a e FM y  Fc YM y po an o F e -l(a)o . Pasamos pues a comp oba la igualdad :  -1 (a) M n Spec M A = M _  (a) o .  Sea  a  ~  SM e SpecM A .  Po se  7 m máximal exis e be S M al que a .b = 0 . Pues oqueSpecM A es compac o, es no mal (dados dos ce ados disjun os ienen en o nos abie os disjun os) y de aquí exis en c, d$A ales que (a)M n(c)M e  o = 0 " (b) M o 0  (d) , o  = o  y  (c)0 m o U  (d) 0 o = SpecM A .  DadoqueSpecM A  es densoen Spec p A es o equi ale a : a .c = 0 b .d = 0 y c } d = 1 . Pues oque b eY - M  ,  d¿  F M  y po an oSpecp A  -  (d) o  es un -1 M abie o que con iene a M . Si  S e (a) o ,c¿Y ob iamen e po an od e F . Es odemues aque (Spec p A - (d) o ) ni -l(a)o = _ 0y po an o sM¿ -1(a)M . Es o demues a la igualdad pues el con enido en el o osen ido es ob io . P oposición 1 .15 5 1 SeaA un e ículo alqueSpec a A es densoen Spec p A . 1/ En onces Spec a A es un espacio Hausdo si y s61o si, dadosdos il osa ómicos cualesquie a de A, no exis eningún il op imo con enido enambos . Si . l a ep esen ación na u al de A en Spec a A 'Pa (a) = (a)o 2/ Spec a es iel ycomple a se e i ica : A es un espacio egula , el y s61o si, dadoyn cualquie a de A y un il omaximalcualquie a il o a ómico de A, no exis e ningún il op imo con enido enambos . 3/ Speca A es un espacio no mal, si y s61o si dadosdos il os maximales cualesquie a de A, no exis e ningún il o p imocon enidoen ambos . Demos ación : 1/ Se demues a exac amen e igual que la P oposición 1 .13 . 2/ Supongamos que se e i ica la condición y sea ~e Spec a A  y  F¿ (a)á . Pa a cada  i e .(a)o  pues o que (A- y , A -  ~ i )  =A exis en  b i ¿ F  y ci é S:i  ales que b, + c i = 1 . Si (a) . = { Fi  ie= } i M M (a) .  n (ci)0 = 0  y pues oque Spec m A es ie= (Teo ema M (a .c, . . .c o ) O _ 0 . Si designamos :  c =c, . . .c n MM ob iamen e b  b+ c = 1 y (a) () n  (c) o (b)') . (a) p ) (c) o =, y  (b) o U  (c) a = a queSpec a A es un espacio 1 egula . Recíp ocamen e : sea Specá A egula . se e i ica en onces cuasi-compac o 1 .1 1/)  exis eun núme o ini o c, . . . c .  ales que y b=b l .+ . . .+bn = Q5 . Po an o Speca A lo que Sean demues Se Spec A a y  SM e Specm A cualesquie a . En onces exis e  ae  S M y a ÉS a es deci S ¿ (a) 0 . Po se Spec a A egula exis ence ados : ¿  (b) a y  (c) a  I  (a)a = a  alesqueSpec  A= (b) a u (a)a 0 0 0  a 00 5 2 - la a i maciónan e io p esupone que la ep esen ación ná u al de A en Spec a A es comple a - . Pues o que la ep esen aci6n de A en Spec a A es iel,  lo an e io se aduce : exis en b ~ F,  c ¡  7M  ales que b + c = 1 y po an o (A - 5 ; , A - 57M) = A o equi alen emen e :  5 : n i m no con iene ningún il o p imo . 3/ Supongamos que se e i ica la condición y sean a,beA ales que (a) a (1(b)o =  . Sean (a) m  y (b)ó = ~ j  je j} . Pues o que la ep esen ación de A en Speca A es iel (a)m . 1 (b) 0 =  y de aquí  di e I y bj s J se e i ica : exis en ales que cij M M Po an o pa a cada i E I :  n  (d ij ) o n (b) o = 0 y po se jEJ Spec m A cuasi-compac o exis en di ,, . . .din ales que M (d il' " -d in ' b)c  Si aho a no amos d i = d il . . .d - in  y ci =c il + . . .+C in  se ob iene : - ii = 1 pues (A - S i , A - j) = A c .  d . . b = 0  y  c . +d . =1  Vi, I . M . M Pues o que n (ci)() 1(a) o =o un azonamien o idén i- co al an e io demues aque exis en c,dEA ales que c .a = 0, d.b = 0  y  c ., d =1 . Si aho a hacemos la ep esen ación na u al de A en Spec a A ob enemos : = Speca A 53 (c)a n (a)a =4 "  (d) a n (b) a =~  y (c)a + (b)a = 0  0  0  n  0 c lo que demues a queSpec a A es un espacio no mal . Recíp ocamen e : sea Spec a A un espacio no mal . Sean s' e Spec M A . Po se maximales exis e a e Y  y b e  ,F' a les que a .b = 0 . De aquí (a)a n (b)ó = 0 ypo se Speca A no mal exis en ce ados : (c) a n  (a)a = (d ) a n  (b)aa  = a a y (c) 0  I  (d) 0  = Spec a A - ambién aquí hemos usadoque la ep esen ación na u al de A en Spec a A es comple a - . Dadoque la ep esen ación na u- al de A en Spec a A es iel, lo an e io se aduce : exis- en c  dpA alesque c .a = 0, d .b=0 y c+d = 1 . Dadoque c ¿ S :  y d ¿ y'  es o demues a que (A - Y , A - ,F') = A o equi alen emen e  F n5 :' no con iene ningún il op imo . co ola io : Sea A un e ículo, al que su ep esen ación na u alen Spec a A es iel y comple a .  Spec M A es compac o si*y sólo si Spec a`A es no mal . comp o bación : El que la ep esen ación na u alde A en Speca A sea iel implicaqueSpec a A es denso en Specp A y a o io i lo se á Spec M A . El co ola io es aho a inmedia o a pa i de la p oposición 1 .13 y de la P oposición 1 .15 3/ . DIMENSION DE KRULL DE UN RETICULO De inición 1 .6 : 5 4 Sea A un e ículo . Llama emos dimensión de K ull de A, no ado dim k A al es emo supe io de las longi udes de cadenas ini as es ic amen e c ecien es pe c p, c---c pn  de ideales p imos de A - se ecue da que la longi udde una cadena es igual al núme o de elemen os de que cons a menos uno - . Lema 1 .1 : Sea A un e ículo . Se e i ica : 1/ dim kA = al ex emo supe io de las longi udes de cadenas ini as es ic amen e dec ecien es de il os p imos de A . 2/ dim kA= dim k Spec pA  donde dim k Spec pA deno a al ex emo supe io de las longi udesde cadenas ini as es ic amen e c ecien es de ce ados i- : - educables de Spec - , A . Comp obación : 1/ Inmedia o a pa i de la P oposición 0 .2 . 2/ Inmedia o a pa i de ] ./ y de la P oposición 1 .4 3/ pues si dos il os p imos e i ican S, c 12 en onces (S~ l ) D V(F2) . Lema 1 .2 : Sea A un e ículo . dim kA Comp obación : = 0 Ha quedado demos ado en el co ola ic Lema 1 .3 " Sea A un e ículo . Se e i ica : 1/ Si dim k A es ini a, dim k A = diN 2/ S : . dim k A es in ini a, dim k A a° es ambién in ini a . Comp obación : 1/ es ob io . 2/ se sigue de 1/ dado que A ~ = A Si y x610 si A es de Boole . a la P oposición 1 .5 . A -Vk . P ~ sici6n 1 .16 : Demos ación : 5 5 Sea A un e ículocomplemen ado y B el conjun o {1, a E A l a{ b=1-b = 1 } En onces B es un e ículo y dim kB > dim k A . La comp obación de queB es e ículo es inmedia a . Sea B  i -, A la inyección na u al,  en onces i* Specp A  . Specp B - 57 n B es epimo ismo . La p oposición queda á demos ada, si comp obamos que pa a odopa de il osp imos 5, n Y 2 de A se e i i Ca : F, n B => $ . _ - . B . Y es o es ácil- de e : en e ec o si a Ey,  a  y a_ designa el complemen o de a, se e ¡- <  < . Pica  a c e S~ 2 c y l  y de aquí  a .ac E Y .  ya .a c é S 2 .  Po el Lema 0,1 a .a c s B y po an o 5-, ; n B => 52 n B . CAPITULO II : APLICACIONES A LA TOPOLOGIAGENERAL . En es e capí ulo se aplican los esul ados del capí ulo p eceden e a la opologíagene al . Es a aplicación se hace asignando a cada espacio opol6gico X su e ículode ce a- dos A, y a a dos emas : 1/ Ca ac e izaciones de espacios : Des acamos en es e pun o : a) Ca ac e ización de las condiciones de sepa ación en é minos de Spec A . p b) Ca ac e ización de los espacios noe he ianos como aquellos cuyo e ículo de ce ados es al que odo il o es p incipal . 2/ Cuasi-compac izaciones y compac izaciones de un es - cío . Señalamos como esul ados p incipales : a) Si X es un espacio To -sepa ado y Asu e ículo de ce ados, Spec p A es una cuasi-compac izaci6n de i al que oc_ impli- cación con inuade X en un compac o Y, ex iende a una aplica . ción con inua de  Spec P A en Y . Análogamen e si X es un espacio T,-sepa ado yAsu e ícu lo de ce ados, Spec m Aes una cuasi-compac izaci6n de X con la misma p opiedad de ex ensión . De aquí se sigue que pa a aquellosespacios pa a los que Spec m A es Hausdo , Spec m A es un modelo de la compac izacibn de S one-Cech . El dominio de dichos espacios se ca ac e iza en le L pa e del capí u- lo " co no el de los espacios no males . b) Pa a el dominio de los espacios comple amen e egula es, exis en e ículos"su icien emen ebuenos" de ce adoscuyo espec o maximal son compac izaciones del espacio . Es o da un mé odocons uc i o de compac izaciones de un espacio com ple amen e egula , mé odo que en pa icula ,cons uye un mo delo de la compac izaci6n de S one-Cech de un espacio no no - mal, y la compac ización de Alexand o ° de un espacio localmen e compac o . 57 CARACTERIZACIONES DE ESPACIOS P nnoai  ión  _1 : Sea X un espacio opológico y A su e ículode ce ados . Se e i ica : 1/X es T o -sepa ado si ysólo si X es homeomo o .a un subespacio de Spec R A . 2/X es T,-sepa ado si y sólo si X es homeomo o a Spec a A . Comp obación : 1/ Si X es T .-sepa ado, pa a cada pa de pun os x, y¿ x Z e X se e i ica x, y£x 2 . En onces la aplicación : = {a e A I x e a} x es á bien de inida, pues x es un ce ado i educibley po . an o gene a un il op imo ; es in ec i a y mani ies amen e es un homeomo ismo . El ecip oco es ob iopues Spec R A es T .-sepa ado . Nó ese que X, T o -sepa ado es homeomo o a Spec R A si y sólo si odoce ado i educible de X es el cie ede un pun o . 2/ Sea X, T i -sepa ado . En onces la aplicación : X  - -- Spec a A = (ae A 1 xea} ~x es á bien de inida  puesx e Fxy si  a ¿ 57  a .x = 0 lo que x demues a que Y x , il o gene adopo x es máximal . Es mani- ies amen e in ec i a  y ambién epiyec i a , pues si  F= (a) es P oposición 2 .8 : el diag ama : Demos ación : 64 S unabasede ce adosde X . c M A es en onces iel y comple aes odemues aque B es COMPACTIZACIONES Y CUASI-COMPACTIZACIONES . De inición 2 .1 : Sea X un espacio To -sep ado .Di emosque un espacioYes una cuasi-compac ización de X,siY es un espacio T .-sepa ado cuasi-compac o y X es homeomo o a un subespaciode Y, denso enY . Si Y es Hausdo y una cuasi-compac ización de X, se di á que Y es una compac ización de X . Spec p A comp obación de la P oposición 2 .1 1/ . Sea X un espacioT o -sepa adoy A su e ículode ce ados . En oncesSpec P Aes una-cuasi-compac ización de X alque pa a odocompac oY y oda aplicación con inua : X-->Y exis e una aplicación con inua : Spee p A---_>Y  al que  es conmu a i o i deno a la inyección na u al de X en Spec p A de inida en la Es ob ioqueSpec P A es una cuasi-compac ización de X, ya que  n  Y x  = 1  implicapo la P oposición 1 .2 5/ queiX c X x,X es densoen Spec pA ; y po . el Teo ema 1 .1 1/Specp A . es . un 67 de inidaen eespec os po la inclusión de B en A . En onces a) asegu aque i' 4 `(Spec a A) c : Spec M B, y en onces la ep esen aci6n de B en Spec M B es iel . En-pa icula Spec M B es den- so en Spec PB . No amos po p la es icción de i # á Spec  A a cp : Specá A  SpecM B x  -----, . 1 n B x En onces : Cp es inyec i a : ya quepo b) B sepa a pun osde X . m es homeomo ismo de Spec a A en Imag cp : ya quepo b) si a e A se puede exp esa en la o ma a=n b ., b, e B ; y se í . i comp ueba inmedia amen e que (p(a)o = n  (bi )p n Imag cp i e I cp S ec a A) es denso en Spec M B : comose deducede la P oposición 1 .2 5/ eniendo en cuen aque 1 es el único elemen o de B que pe enece a odos los il osde cp(Spec a A) . De inición 2 .2 : Un e ículo A se di á que es no mal si Va,,a 2e A_ a- les que a l .a ? = 0 exis enc,,c 2e A alesque : a, .c, = 0, a P . c2 =  0  y  c1 +c2  =  1 . P oposición 2 .11 : Sea X un espacio T,-sepa ado, B C : A un e ículo que e i ica las P oposición 2 .10 . En oncesSpec M B B es no mal . A su e ículode ce ados condiciones a) y b) de la es Hausdo si y s61o si y Comp obación : 68 Sea B no mal ; y sean Y, . S- 2 dos il os maximales cuales quie a de B .Dada la maximalidad de Y,  y  Y2  exis en b 1 e S : I b 2e 'F 2 ales que b l .b z = 0 . Dado que B es no mal,exis en c 1 , c 2 e B ales que c, .b, = 0, c, ,_b, = 0 y cl+ c2 = 1 . En on ces c l ¬Y I c 2 ¿ Y2  y po an o no exis e ningún il o p i- mo de B con enido en ambos . Dado que Spec M B es denso en Spec P B la p oposición 1 .13 asegu a que Spec M B es Hausdo . El ecip oco se ob iene ácilmen e dado que si Spec M B es Hausdo ,po se cuasi-compac o es no mal . Co ola io : Sea X un espacio T,-sepa ado, A su e ículode ce ados y B C : A un e ículo no mal que e i ica las condiciones a) y b) de la P oposici6n , 2 .10 . En onces X es comple amen e egula . Comp obación : Se ecue da que un espacio X comple amen e egula es un eé- pacio de Hausdo al que los ce os de las unciones con inuas eales de X cons i uyen una base de ce ados . Es inmedia o que los subespacios de un espacio .comple amen e egula son comple amen e egula es y el lema de U ysohn a i ma que un espacio no mal es comple amen e egula . Po an o si un espacio T,-se pa ado admi e una compac izaci6n es comple amen e egula . El co ola io se sigueaho a de las P oposiciones 2 .10 y 2 .11 . De inición 2 .3 : Sea X un espacio comple amen e egula . Llama emos com- pac izaci6n de S one-Cech de X, no ada SX,al .elemen o uni e - sal, de e minado sal ohomeomo ismos, de sus compac izaciones ; es deci pa a odo compac o Y y oda aplicación con inua : X -----~Y  exis e una aplicación con inua : RX---- .~Y  que ex iende a . 6 9 P oposición 2 .12 : Sea X un espacio T,-sepa ado y A su e ículode ce ados . En oncesSpec mA = pX si y sólo si X es no mal . Comp obación : Po las P oposiciones 2 .2 3/y 1 .13 X es no mal si y sólo si Spec m A es Hausdo . Bas aaho a ene en cuen a la P oposición 2 .9 . P oposici6n 2 .13 Sea X un espacio comple amen e egula , 'CM su anillo de uncionescon inuas y  ~ . ._ ¡ Z ( )  = -1 (0) I e,P(X) } . En on ces : es un e ículono malque e i ica las condiciones a) y b) de la P oposición 2 .10 . 2/Spec m = FX . Demos ación : 1/ 2 es un e ículo con la unión e in e sección o dina- ias ya que : Z( .g) = Z( ) + Z(g) . Z( 2 +g 2 ) = Z( ) .Z(g) . Z(0) = 1 " Z(1) = 0 . e i ica la condición a) de la P oposición 2 .10 : en e ec o si x jí Z( ) po se X comple amen e egula ,exis e g e LC(X) alque g(x) = 0 y gIZ( )e 1 . e i ica la condición b) de la P oposición 2 .10 : po la de inición de espaciocomple amen e egula . >_ es no mal :,en e ec o si Z( ,) . Z( 2 ) = 0 de inimos : h = ? 2 + 2 e  (X) pues Z( 2+ 2) _ ~ . 9 Sean aho a las unciones eales : g,(x) = mín (h(x)- 1 3, 0) 2 (x)  = máx  (h (x) -3 , 0), 7 0 que cono es bien sabido, siguensiendo con inuas . Dado que Z(g 1 ) = xcXlh(x)< 3 } y Z(g2)=¡xcXih(x)Z 3 } se iene Z( l ) .Z(g z ) = 0, Z( l ) .Z(g 1 ) = 0 y Z(g 1 )+Z(g 9 ) = 1 . Aho a las p oposiciones 2 .10 y 2 .11 demues an que SpecM -Y  es una compac ización de X . 2/ SeaY un espaciocompac o y  su e ículo de ce os y de uncionescon inuas . Sga : X----->Y una aplicación con inua . En onces : -`Y  es un mo ismo de e ículos ya que  si  g s  le, (X)  -1(Z(g))  = Z (g o  ) . Po an o de ine una aplicación con inua : ( -1 ) * Spec  Spec ppY Pe opo se Y compac o y _ Y unabasede ce ados, la P o posición 2 .7 asegu a queY _ SpecM  '1 Y  y po se Y Hausdo la P oposición 1 .14 a i maque la aplicación : Specp y Y  CP  Y c SpecM  ':X Y o S=y-donde  Y  es el único il o máximal de  Y  _ que con iene a Y- es con inua . Si aho a designamos :  _ CP o( -1 )  : Spec M ~É -~ Y,  ex iende a y es o demues a que SpecM <71 = RX . No a :  SeaX un espaciocomple amen e egula , 'e(X) su anillo de uncionescon inuas eales y Y={Z( ) j' e `e(X)} Se comp ueba ácilmen e que la aplicación : SpecM  `e (X)  CP  i Spec M p  5  _ {Z ( ) 1  e p} p 7 1 es un homeomo ismo y po an o : 1/ SpecM l° (X) es un modelo de la compac ización de S one-Cech del espacio X . 2/ Dado que ad_ L (X) -es deci la in e sección de odos los ideales maximales - es ce o y Spec M Le(X) es un espacio no mal, cada idealp imo de 'e(X) es á con enido en un único ideal maximal . De inici6n 2 .4 : Un espacio X Hausdo di emos que es localmen e compac o si cada pun o iene un en o no compac o . Es bien sabido que en onces los en o nos compac os de cada pun o x cons i uyen una base de en o nos de dichopun o . Si X es localmen e compac o, X * designa al espacio X uní6n con un pun o no pe enecien e a X, que no a emos co, con la o- pología cuyosce ados son los ce ados compac os de X y los conjun os de la o ma caco donde c es un ce ado cualquie a de X .  X 4E se llama la compac ización de Alexand o de X . P opósició n 2 .14 : Sea X un espacio localmen e compac o y no compac o .Sea B el e ículo gene ado po el conju o{K, X - KI  K compac ode X} . En onces Spec M B es una compac ización de X .y Spec MBz X# . Demos ación : 1/ B e i ica las dos condiciones de la P oposición 2 .10 y po an o Spec M B es una cuasi-compac ización de X . En e ec o : a)  Si b e B  y x ¿ b en onces x s X-b y pues o que los en o nos compac osson una base de en o nos del pun o, exis e un compac o K de X al que X - b :) K ax .  Po , an o xE K y K .b = 0 . b) B es una base de ce adosde X : pues si x ¿ c donde c es un ce ado de X,exis e en oncesun compac o K de X al que 7 2 X - c => Ko 3x . De aquí x é X-K y X-K => c . 2/ B iene un único il o maximal no a ómico que no a- emos -Y . . Es consecuencia de las siguien es a i maciones : Los pun os de X po se compac os pe encen a B y de aquí son los á omos de B . Sea K un compac o de X . Si K E  7 M il o maximal de B, en onces  y m es a ómico, ya que en caso con a io K n b = b£ F y po se K compac o exis en b, .. .b o ales que K .b, . . .b n = 0 en con a de se  SM il o p opio . El il osde B gene ado po la amilia {X - K I K compac- o de X} es un il o maximal no a ómico . En e ec o : es il o p opio pues si exis ie an K i i =l, . . . . n com- n  n pac os de X ales que :  n  X -K ¡_ 0 en onces X = U Ki i=1 1  i=1 n y a o io i X = U K, con lo que X se ía compac o . 1 Y es un il o no con enido en ningún il o a ómico po se X localmen ecompac o  n  b = 0 . bE ,S be y i=1 Y es un il o maximál, ya que si K es un compac o de X, K n b = 0 implica la exis encia de un núme o ini o b i i = l . . .n de elemen os de Y ales que K .b 1 . . .b n = 0 . 3/ Spec M . B es un espacio Hausdo . Po la P oposición 1 .13 es o equi ale a p oba que dados dos il os maximales cualesquie a de B,no exis e ningún il o p imo con enido en ambos . Dado que Speca B_ X, .Spec a B es denso en Spec pB y da- do que X es Hausdo , la demos ación de 3/ se educe po la P oposición 1 .15 1/ a comp oba que dado un il o a ómico 1 x de B,no exis e . ningún il o p imo con enido en él y en . Es o úl imo es inmedia o : po se X localmen e compac o exis e un compac o K de X al que xe K? En onces X - Kx pues K ¿Y  y K+X-K = 1 4/ SpecM B 7 3 En e ec o,la ep esen ación na u al de B en Spec M B da una base de ce ados y es ob io que se e i ica : si K es un compac o de X : (K) 0 = K  (X -K)0 = X-K US oo De aquí los ce ados de Spec M B son los compac os de X y los conjun os de la o ma c U co,donde c es un ce ado de X . Ejempl o 2 .1 " Sea A el e ículo gene ado po unión e in e sección i- ni a de las semi ec asce adasde la ec a eal R . En onces Spec M A es la compac ización o dina ia de la ec a eal po dos pun os (conjun o de los eales ex endidos) . En e ec o : 1/ Pues o que A con iene a los in é ales ce ados, es inmedia o comp oba que A e i ica las condiciones a) y b) de la P oposición 2 .10 y po an o Spec M A es una cuasi-compac i- zación de la ec a eal . 2/ Spec M A cons a de los il os a ómicos de inidos po pun os de]R y dos il os maximales no a ómicos . Se sigue de las siguien es a i maciones : Los pun os de R pe enecen a A y po an o son sus a 6mos . Si  Yg Spec M A con iene un in e alo .ce ado, en onces 57 es a ómico . Si S  deno a el il o gene ado po las semi ec as de +m la o ma x >  £ IR, en onces +  e Spec M A . En e ec o si b ¿  y  b no con iene ninguna semi ec a de la o ma x z 7 4 y en onces exis e  s e7R al que s z y  V y e b . De aquí b .(x >_ s)  =0 y po an o  E  es un il o maximal . + ao Análogamen e si 5 : deno a el il ogene adopo las _ ,o semi ec as de la o max <_ , en onces  S_ m e Specm A . 3/ Spec mA es Hausdo . En e ec o : A es complemen ado y dadoque los elemen os de y  y de 5~  son di iso es de ce oal dual, la P oposición 0 .11 asegu a que Y  y son il os p imos minimales . Po an o, dados dos il os maximales cualesquie a de A  , no exis eningún il o p i- mo con enido en ambos, y de aquíSpec m A es Hausdo . 4/ Si enSpec k A se de ine el o den : Y x < Iy i-1 X :5 y F  z 1 > $  E/ x e R, la opología de Spec A coincide + oo  x  -oo  M  , con la opología de dichoo den . Comp obación imedia a . CAPITULO III : COHOMOLOGIA DE ESPACIOS ORDENADOS Y ESPACIOS NOETHE RIANOS CON VALORES EN UN HAZ . Es e capi uloabo da el p oblema de halla pa a cie os dominios de espacios, un mé odo pa a compu a su cohomología con alo es en un haz . 1/ Espacios o denados : A lo la go del capí ulo,un espacio o denado es un conjun oo denado con la opología cuyos ce ó dos son los subconjun os c ecien es y el 0 . En un al espacio cada pun o iene un en o no mínimo : el conjun o de pun os meno esó iguales que él . Ejemplos de alesespacios son los espá cios ini os T .-sepa ados y los espacios opol6gicos duales de espacios espec ales noe he ianos . Si R es un haz de g upos sob e un al espacio,se le asigna un complejo semi-simplicial de cocadenascon alo es en ,R , al que se do a de es uc u a di e encial . Dado que los abie os, de un espacio o denado siguen siendo o denados, la asignaciónan e io pe mi e cons ui un complejo di e encial de haces que son una esolución " lasque" de ,R . El hecho de que cada pun o enga un en o no mínimo es aquí esencial . Al oma secciones en dicha esolución " lasque" se ob iene el complejo semi-simplicial de cocadenas con alo es en ,R y po an o los g upos de cohomología de és e, coinciden con los g upos de cohomología del espacio .con alo es el haz .R . La demos ación de que la cohomologia del complejo se- mi-simplicial de cocadenas coincide con la del subcomplejo de cocadenasno-degene adas,da la aco aci6n .d e la dimensión cohomol6gica del espacio po su dimensión de K ull . 2/ Espacios noe he ianos : El p oblema se esuel e en un dn > 0,un n-cociclo es un n-cobo de y es odemues a la p o- posici6n . No aciones : X+ designa á el conjun o de los simplices de o den p de P X queson aplicaciones es ic amen e c ecien es ; es deci s p e Xp si y S610 si s p : p P --_  >X Si s p EX p y s p¿ X+  se dice que sp es un símplice degene a- do . CP (X  R) _ {a EC p (X  R) a(s p ) = 0  ds p ¿ X + p } designa el conjun o de las cocadenas de o denp que se anulansob e los simplicesdegene ados de o den p . Po úl imo, C+(X,S) designa á el g upo g aduado (C P (X . .2) ) P > 0 P oposición 3 .2 " Con las no acionesan e io es : 1/ C~ (X,,R) es un subcomplejo di e encial de C# (X  R) . 2/ Si no amos HP (X,,Q), p >_ 0 los g uposde cohomolog a delcomplejo C (X  R) se e i ica : a) H O (X R) = HO(X3) . b) dp > 1 .  HP (X,A) es sumando di ec o de Demos ación : quex = x + 1' 82 >x ó <x, < . . .<x p P H+ (X_ R) . 1/Bas a e que si a eC P-1 (X  R), d ( . EC P (X_R) y es o es inmedia o : si s p =  (xp< . . .< xp ) í X +p exis e 0 _< < p al 8 3 En onces : (dcL)(s p ) = es icción a U(x,) de P  - E (-1) 1a(x , < . . . x . < i=0 i _ < . . .x -15 x 15 ... a donde (nP CI,) (s p ) = a (sp) si s p E X+p (Ti p n) (s p )  =  0  si  s p , ¿ Xp y designamos TT =(n A ) P>0' En onces les de inen mo ismos : es icción a U(x 0 ) de yaque los es an essumandos se anulanpues p E C P-1 (X  R) . Dadoquex = x l se ob iene inalmen e (da) (s p ) = 0 . 2/ a) Es ob io pues C (X,A) = C (X  R) . 2/ b) De inimos : CP(X  R,)  P  - Cp(X  R) + (-1) +1n(X05 ... x1 ;XIS .x~ u al se e i ica II p o i p = iden idad en C P (X,R) . HP (X  A .)  Wp -  ~HP  (X 1 es un mo ismo de comple jos di e enciales es deci II o d = d o TT . La comp obaci6n . " s un cálculoanálogo al de l/ . Si i : C P (X  R) ~C P (X,,R) designa la inclusi,nna- P + Pues oqué I e i son mo ismos de complejos l e encia- y 1 p de b) . Co ola io : mo se e i ica I)Pmna > a i 6n : Le^ ',a - i- l s 8 4 un mo Ni mo del o den . bación : np Hp (X  R)  --  ~ Hp (X  1 Z) = iden idad en H p (X, .R) . Es oacaba la demos ación p  ++ Con las no aciones an e io es, si X ieneelemen o máxi- ., dp > 0  Hp (X,,Q) = Hp (X,M . ++ + Pa a p = 0 el esul ado lo hemos`ú'~ enido en la p oposi- ción an e io . Si p- > 0 la P oposición 3 .1 a i maHp (X  Q) = 0 y pues- ++ o qué'-po la p oposición an e io Hp (X,,q) es sumandodi ec- o de Hp (X  R) , sé gene Hp (XII) = 0 . +  T~ ; .Sean X ' , X z conjun os o denados con la opología cuyos ce a só,n el 0 y los subconjun os c ecien es . 1/ ' . Si U es un abie o de X,,  los ce ados de U son el 0 y 11 subcoi un os c ecien es deU . 2/ Una aplicaci .ón  : X ., ' es inmedia o . ;Sea  un mo~ ismo delo den ; y C 2 un ce ado de X 2 . y e  -1 (C Z )  po se cp mo ismo del o den : p(y) scp(x) . k es con inua si y sólo Pues oque De i .nici6n 3 .4 : U s p (P) E U i 8 5 cp(Y) E c 2 y e 2 es c ecien e : CP(x) E c ? . y po an o -1 (c 2 ) es un conjun oc ecien e . Es o demues a quecp es con- inua . Sea o con inua ; x > y pun osde X i. Po se cp con inua -1 cn (~p(Y)) es un conjun o c ecien e de X, que con iene a y . De aquí xEc -1 (cp(Y))  , co(x) E 4P (Y) -> cp(x)Zcp(Y)- Es odemues aque cp es un mo ismo del o den . Haces de gé menesde cocadenas : Sea X un espacio o dena- do con la opologíacuyosce ados son el 0 y los subconjun os c ecien es, y ,R unhazde g upossob eX . Pa a cada p > 0 se de ine el p ehazsob eX : U -> C p (U,  U)  =  II V --> C p (V, .R1 V)  =  n  I'(u(Sp(0))  R) s EV P P P(U(S p (0) )  R) donde el mo ismo de es icción cp es la p oyección na u al puesU D V implicaUp D V p . Dadoquepa a oda amiliade abie osU i  iE I se e a . ica : ( U U .) = l) (U .)  - ya que si s (p ) c U U . ¡el i p  ¡EI  1 . p  9 P  ¡Ci 1 pa aalgún i y po se U i abie o en onces s p (A p ) c U i -  se comp ueba ácilmen eque el p ehaz de inido es un haz . En . adelan e lo no a emos  p (X,a) . Po su misma de inición `e p (X  R .)  p > 0 sonhaces" lasques son " lasques" . Teo ema 3 .1 : Sea X un conjun o o denado con la opología cuyosce ados son el 0 y los conjun os c ecien es ; y .R un haz de g upos so- b e X . Si HP (X, .R)  p > 0, deno an los g upos de cohomologia de X con alo es en el haz ,R, se e i ica : Hp (X  R) = Hp (X .A) = H p (X,-Q .)  Vp> 0 . Demos ación : 86 Se de inen análogamen e los haces  )e p (X, .R) que ambién 1/ Los haces ('ep(X, .R)) p ~ 0 cons i uyen una esolución " lasque" del haz 51, . En e ec o : a) la di e encial d de los complejos de ine un mo ismo de haces : _p(X  R)  d  ->,e p+1 (X  í1) , p z 0, que segui emos no ando d . b) de inimos e : 1 --~ ¿ g (X  ))) de la o ma siguien e : 0 (U  R)  u ---~E ( u )  e  C  (U, ,R IU)  donde si x s U e( u )(x) = es icción de u a U(x) . c ) la sucesión de haces : 0 ---- i ,A E ',`e ° (X, A)  d  1 (C p (U, ,RIu)) pz 0 es exac a ya que pasando a ib a - ,pa a x e X se iene : 0  - (u (x)  - C0 (U (x) , A~  U(x))  d  - C  (u (x)  u (x) )~ cuya exac i ud queda asegu adapo la P oposición 3.1 y po el hecho de que Imag E= Ke d . Jus i icamos es e úl imo hecho 8 7 si a eCO (u(x)_RI U(x)) es al que da = 0,en onces pa a odo pa de pun osx o 5x i de U(x) se e i ica : Y 0 =  (da . )  (xo 5 x, )  = es icción a U (x,)  de  (a (x1 )-a(x o )) es o es equi alen e a : a = c( U(x) )  donde u (x) (Y)  = a (Y)  dY  e  U (x) 2/ La p ime a igualdad esul a aho adelhechode que (X,'ep(x.A))  = CP(X  R) . 3/ Pa a demos a que H P (X_R) = H P (X, .2) se comp ueba de mane a análogaque los haces T P (X"R))  cons i uyen una e- +  p >_ 0 solución " asque" del haz ,R . . La exac i ud de la sucesión de haces esul aaquídel co ola io a la P oposición 3 .2 . No a : En pa icula ,el eo emaan e io gene aliza el esul a- do del co ola io a la P oposición 3 .2 en el sen idode que la hipó esis de queX enga elemen o máximo es innecesa ia . Co ola io : Con las no aciones del eo ema an e io ; si cR es un haz " asque", el complejo de cocadenas (CP(X, .R))p > 0 es acíclico . Comp obac i6n : Es ob iopues si  ~ .  es " asque"  Hp (X  A)  = 0  dp > 0 . Teo ema 3 .2 : Sea A un e ículo al que odoideal es p incipal y de dimensión de K ull ini a . En onces dimSpec PA 5 dim k A . Demos ación : Si odo ideal de A es p incipal,  odo il o de A i , es p i, e i ica : culo 8 8 cipal y en onces po .el co ola io a la P oposición 1 .11, Spec p A es un conjun o o denado con la opología cuyos ce ados son el y los conjun os c ecien es . Po an o,pa a odo haz de g upos  R  sob e Spec P A  se Hn (Spec A A) = H n (Spec A,$)  -1/n>0 . p ++ p Pe o si n> dim k A -  po el Lema 1 .3 -  odo símplicede o den n de Spec A es gene ado y po an o H n (Spec A,,R) = 0 . Es o P  ++ P demues a la p oposición . No a : El Teo ema 3 .2 engloba el caso de los espacios ini os T C i-sepa ados y el caso de los . espacios  duales de espacios es- pec alesnoe he ianos . Ejemplo 3 .1 : Sea X un conjun o que cons a de 3 pun os x,, x 2 , x 3 con la elación de o den : x 3 < x,, x 3 < x 2 con la opología cuyos ce ados son el 0 y los subconjun os c ecien es : Po el Teo ema 3 .2 dimX , dim k A = 1 donde A es el e í- de ce ados de X . Vamosaho a a cons ui un p ime g upo de cohomología sea dim X = 1 y que po an o la co a del Teo ema 3 .2 no es mejo- able . haz de g upos sob e X cuyo no nulo . Es o demos a á que 8 9 Sea Z  el haz sob e X, de inido : x3 u(x3 )=x 3 . es iccióne iden es . la diagonal de Z ga Z . 0 >0 0  3 En onces C + (X,  Z xb )  = iR=1 (U(x 1 .),  Zx3 ) s i =(x 3 < x, )  Y si =(x 3 < x 2 )  se iene : Cálculamos aho a la imagendel mo ismo : Ca (X,  Z  )  d  - C' (x, Z  ) Z con los mo ismos de Dadoque los 1-símplices no degene ados de X son C' (x,Z)  = (u(x 3 ),  z x3 )  e  (u(x3),Zx )  = z® Z . + xs  3 al a  e  C O (X,  Z  ) ,  (d a . ) (s i )  =  es icción  a  x, de (CL (X 3 ) - CL (X I + x3 (dei (s ;) = es icción a x 3 de  ( a (x 3 )-a (x 2 )) =a(x 3 )  e Z . y po  an o  Imag d =  ( S e  c+ (X, Z x3 )  p (s~)  = B (s~ ) } . 1  Z ® Z  Z®Z De aquí H(H, Z  - Z,donde p deno a ++  x 3  Imag d  p El Teo ema 3 .1 asegu a aho aH 1 (X,ZX ) =Z . 3 Ejemplo 3 .2 : Sea X un conjun ocon 5 elemen os x,, x 2 , X V x 4 , x 5 con la elación de o den : xG < x4' x 5 < X 3 1 X I< X II X 4 < X2 ; do a- do de la opologíacuyos ce ados son el 0 y los subconjun os c ecien es : 90 Po el Teo ema 3 .2 dim X < dim k A = 2  dondeA es el e ículo de ce adosde X . Vamosaho a a demos a que odohaz de g upos J? sob e X iene g upo 2 de cohomología nulo . Es o demos a á queel esul ado del eo ema 3 .2 no se puede e ina en el sen ido de que alga la igualdad . Símplices no degene ados de o den 1, de X : si  =(x 5 < x4) s~ = ( x5  1) , s1 =(XS<X2 ) , s =(X5<x 3 ) ,  X1 =(X4<X1 ) ,  sP=(X Q <X 2 ) . Símplices no degene ados de o den 2, deX : s2=(x s < x 4 < x 1 )  s2=(x 5 < x 4 <X 2 ) Po an o : C(x :M = P(x 5 ,SZ) ®P(>5  R)® (XS"R)® (XS,-R)®P(U(X4)"C)®P(U(X4) . .R) Vamos aho a a comp oba 'que el mo ismo : n las 0 d 2 C (X,a) - . C(X  2) es En e ec o si SeC 2 (X,Q) de inimos a e . 1 4 igualdades ldades siguien es : s a (s 1 ) = o . (s 1 ) = CL (s1 ) epiyec i o . C(X  2) p . i = a (s 1 ) = CL (sz) _- S(s2) a (s3) =- p (s2 ) 91 y aho a es inmedia o comp oba que da = p . Es o demues a que H 2 (X  R) = 0 y po el Teo ema 3 .1 COHOMOLOGIA DE ESPACIOS NOETHERIAN OS CONVALORES EN_ UN- .HAZ . Teo ema 3 .3 : Sea A un e ículo alque odo il oes p incipal . Si dimk A = n, exis e una amilia il an e, espec o a la in clusi6n na u al, de e ículos ini os A i c A  icI, ales que A = lim ind, A i y dim k A i < n  di ga . ieI Dem os ación : Po inducción sob e dim k A . Si dim k A, = 0, po el co ola io a la P oposición 1 .5, A es un e ículo de Booley mani ies amen e es lími e induc i o de sus sub e ículos de Boole ini os . baci6n de que odo il o de A/p es p incipal es inmedia a . Seaaho a A i c A un e ículo ini o ; y no amos po A ¡ el A Sea dim k A = n y no amos  p el idealdeA gene ado po los á omos de A . Po la P oposición 1 .7  la/, Specp A/p - SpecpA - Specm A y po an odimk A/p = n-1 . Po úl imo la comp o- e ículo c A/p, imagen de A i po la aplicación canónica : P? I A/ u Po hipó esis la inducción exis eun e ículo ini o Á 7 alque Á i c  J . c A /p  ydimk Á J . < n-1 . SeaB ; una amiliade an iimágenes po p de Á ., quecon- 3  J engaa A i ; y Aj el e ículogene ado po B j . Designamos po A j el e ículogene adopo A í . y una amilia ini ade á omos De inición 3 .7 : P e-haces de gé menesde cocadenas sob eSpec P A : - donde el mo ismo de es icción queseguimosno ando II, se de ine a a ésde ep esen an es : n{a} = {II a} . La p oposi- ción an e io asegu aquees a de inición es co ec a . P oposición 3 .4 : Pa a cada n >_ 0 el p ehaz de inido en De inición 3 .7 es unhaz" lasque"sob eSpecp A queno a emos  'e n (Spec p A  R) . Demos ación : Pues o que odoabie o de Spec P A es cu .asi-compac o, bas acomp oba las dos condiciones de haz pa a uniones ini- asde abie os . n k  k Sea U = U UdondeU = Specp A - (ck)o  son abie os k=1 de Spec A . P 98 Pa a cada n Z 0 de inimos sob eSpecp A el p ehaz : Spec p A =) U  ---- s lim ind a C (~ i U, yp i . (,R  U ) ) +Y i7 U n a Spec p A J V  _-------- , lim ind, Cn (cpi V, ~pi  (al U) ) $i7  # Si A i c A es un e ículo . ini o alque c k e A i k =1 . . . n, en oncesel Lema 3 .3 asegu a : - k k cp i (U k ),  k =1 . .n son abie os de X i Y epi 1 epi U  =U cp . (U) = u q (u'`) k=l i  s Pi (u)  (1 cp¡(U,)  = cp i (U  1 U )  , s = 1  n Seanaho a alesque sus es icciones a cada u k , k =l . . .n coincidan . Es ob ioquepues oque A = im ind A i se puede halla Ai A al queck e A i , k = l_ _ n ; y ep esen an es al , a,2  de {a l },  {a2 } en Cn (cp i U, cp i ( .ll  U)) ales  que sus es icciones a cada cp i .U , k =1, . . .n coincidan . Dado que cp i1 cpi Uk = Uk  k= 1, . . .n se comp uebainmediá k  k amen e que los haces sob e cp i U : cp i  (,Al U ) y k Pi (,p,l U)  cp iU  sonisomo os . Es o pe mi e conside a a ; , a2 iF como secciones del haz  `e  (cp i U, cp i (,R 1 U) )  alesque sus es icciones a cpi Uk , k = 1, . . .n coinciden . Deaquí a1' =C,2, y po an o {a,} = {a2} . La segunda condición se comp ueba de mane a análoga . Po an o, dnZ 0 el p ehaz  sob eSpecp A de la De inición 3 .7 n es un hazqueno a emos 2 (Spec p A,&) . La p opn osici6n queda á o almen e demos ada si comp o- bamosque `e (Spec p A, .A)  Vn 2 : 0 son haces " lasques"o equi- alen emen e, si pa a odo abie o U de . Specp A el mo ismo de es icción es epiyec i o . {a} e 99 {al } " {a2} e n lim ind, C n (cp i U,cpi U)) U ij  # iE n :  lim ind  C n (X1 .,  , cp i ,SI ) ---~ lim  ind  C n (cp iU,  cp i  (,A 1 U) ) ~ij  ij La comp obación de es e hecho es comosigue : sea lim ind, Cn(p,iU, cp i ( Q ¡U) ) .  Po el Lema 3 .3 exis e ~ ~ij un e ículo ini oA i c A alque cp i U es un abie o de X i -1  U=U . Sea  n  (,R U)) un ep esen- cp i cp i a' e C(cp iU, ep i ~  P esen- an e an e de {a} . 10 0 De inimos aho a p eC' n(Xi .p i R ) de la siguien e mane a : u 0(s n )  = CL ' (S,)  si s n (A n ) c mi U = 0  si  sn (A n ) Cí cp i U . La de inición an e io es co ec a, Ya quepo se cp iU abie o de X i , si sn(An) c cp i U en onces U(s n (0)) c ep i U y de aquí : c p- 1 U(s n (0)) c cp-i 1 cp i U = U .  Es o asegu aque i a ' (s n )  e (cpi 1 U(sn (0))  Es inmedia o a o aque IIS =a' y po el Lema 3 .5 se sigue : DÍ9} =(a} . Teo ema 3 .4 : Sea A un e ículo al que odo il o es p incipal . Sea Ai i I una amilia il an e - espec o a la inclusión na- u al - de e ículos ini os con enidos en A alesque A = lim ind . A i Sea  R un haz de g upossob eSpecp A yH P (Spec p A _q) n >_ 0 los g uposde cohomología de Specp A con alo es en Con las no aciones del co ola io a la P oposición 3 .3 se e i ica : / n > 0  Hn (Spec A, ,R ) = Hn (Spec A,á) _ _  p  + P = lim ind  A+(X i , cp i .)i ) Demos ación : 1/Lemap e ío : pa a cada n -,» 0, cada A i y cada pa de Cn(CD i  U,  P i  ( .R1 U) ) i es conmu a i o . posición 3 .3 . d abie os U z) V el diag ama : d n n C  (cpl V, cp l G Al V) )  - C + 1 (p1 V, cp l iE  ;( " UJ V) La comp obací6n se omi epo se análoga a la de la P o La conmu a i ídad deldiag ama an e io , jun o con la P oposición 3 .3, pe mi e de ini un mo ismo de haces : n `e n (Spec p A,5?)  d .  )e n+1 (Spec pA A) 2/ De inimos un mo ismó de haces : 2 £~ C (Spec p A, a) de la siguien e mane a : si u e P(U,A)  e ( u ) = {a}  donde a e C ° (cp i U,cp i_ (al U) ) -siendo cp i U  un abie o de X i alque cpi1 cpi U = U- es áde inida :  si x . e cp i U .  ¢ (xi )  = es íccí6n a cp i 1 U (xi )  de  u . 3/ Teniendo en cuen a la P oposición 3 .4 el Teo ema queda á demos ado si comp obamos que : es un sucesiónexac ade haces . CnF1 (cp lU, ' cp i* u 1 U) ) 0 0----~~A, E-> C 0 (Spec p A,,A) -- á- .~~ (Spec p A R-) : : d ~ . . . . 10 2 a)  Ke L  =0 .  En e ec o si x e  ,R x  es al que  F( x ) =0 exis e u eI'(U,,R) ep esen an e de x alque E( u ) =0 . Po la de inición de , en onces la es icción de a cada u cp-1 1 U (x 1 .),  x 1 ,  ecn .  U es  ce o ;  dadoqueU=  U  Pi 1 U(x .) 1  1 xi ecp iU en onces u = 0 y de aquí x = 0 . b/ Imag E = Ke d0 . 0 Sea gx e  e° 0 (Spec p A, .R) x al que d g x = 0 . En onces exis ex e U, unX i alque cp,U es abie o deX i y (Pi1epi U = U ; y a . e E0 (pi U,  pi  (~P IU))  al que u)  es un ep esen an e de 0 g y d a= 0 . En es a si uación, se iben el Teo ema 3 .1 que x de ine una  seéci6n  a' del haz ep,  (,7 1 U)  y po an o a .' e (ep il U-A) . Si x e `Rx es el ge mende inidopo a' se comp ueba inmedia amen e queE( x ) = g x lo que demues a : Ke d 0 :D Imag L . . El con enido en el o o sen ido, se comp uebainmedia a men e . c/ Imag d n-1= Ke d n Vn z 1 Imag d n-1 C- Ke dn es ob io . Seaaho a x e e n (spec p A,a) x al que dn x = 0 . Po el Lema 3 .4 exis e un abie o x e V de Spec p A, un X i al que cpi V es el mínimo abie o de X i quecon ienea p i (x) y a e  C n(Ii V,  pi  (,%I V))  alque u}  es un ep esen an e de x yd,n, =0 . Pues oque cp i V  esun :o dencon elemen o , máximo la P oposición 3 .1 asegu a la exis encia de s Cal (~o i V, 'pi  (,RIV))  alque dn-1p  = a .  Si aho a no a- mosge e n-1 (Spec p A,A ) x  el ge men de inido po le} es ob io que d'n-1 gx= x lo que demues aqueKe J C Imag d' 1 . Teo ema 3 .5 : Sea A un e ículo alque odo il o es p incipaly dimk A = n . En onces : 1/ dimSpec PA 5 n Demos ación : 1/ Po el  Teo ema 3 .3, A = lim ind A i donde los A i son e ículos ini os alesquedimk A i 5 n . En es as condiciones si X i = Spec p Ai ,, ob enemos a pa i de los Teo emas 3 .4 y 3 .1 : pa a odohaz dé g upos ~R sob e Spec p A q H (Spec p A,2) =0  Vq > n = dim kA . Lema 3 .6 : H q (spec p A ,R) El Teo ema 3 .2 a i ma aho aque 2/Ve no aal Teo ema 3 .2 . Sea X un espacio noe he iano y A su e ículo de ce ados . Sea X 1--- Spec  A la inyección na u alde inidaen la P o P posición 2.1 . U n iX en Specp A . 10 3 2/ dim Specp AaF< n limes HR (Xi , cp i ,R ) ~ij  -11 dq2. 0 Si U es un abie o de Spec P A, U  es el mínimo en o node Demos ación : ezde iX . 10 4 Usa emos el siguien e abusode no ación : esc ibi X en Po las P oposiciones 2 :4 y l .ll, odoabie o de Spec P A es de la o maSpec P A -  (d),  con  d E A . Es inmedia ocomp oba que (Spec p A - (d) o ) n X = X - d . Supongamos aho aque exis e c e A al que La lá inclusión asegu a (d) O c (c) o c  > c n d . La 2" inclusión asegu a : si x ¿ d  ix = S7 x g' (c), 4  3- x ¿ c y po an o c c : d . De aquí c = d lo que demues ael lema . P oposición 3 .5 : Specp A -  (d) O =) Spec p A - (c) . =>X - d Sea X un espacio noe he iano, A su e ículo de ce ados y .R un haz de g upossob eSpecp A .Se e i ica : (u-2)  = P (U n X,  J l X) , pa a odoabie oU de Specp A . Demos ación : De inimos el mo ismo de g upos : P (U  A .)  9 i (U (1 X, ~R1 X) s  --> cp(s) = s +U n X 1/ cp es in ec i a : Sean s 1 , s 2 E (U  R) alesque ep(s 1) = cp(s 2 ). Dadoque si dos secciones coinciden en un pun o, coinciden en un en o no ; y que U es el mínimo abie o de Spec pA que con iene 'a U n X - lema 3 .6 - se sigue :  s, =52 . 2/ ep es  epiyec i a :  Sea  s'  e  (U n X,  al  X) .  Si x E U(1 V exis eun abie o x e V(x) de Spec p A y una sección 10 5 s e  ( (x),J~)  al que s x (x)  = s'(x) .  Po an o las secciones x s  1 (x) n X y s'1 (x)nX del haz .  ,el X  coinciden en un cie o x abie o w(x) n X c V(x) n X . Po abuso de no ación segui emos no ando sa s ¡W(x) . x x La si uación es aho a la siguien e : pa a cada x e U n x exis e un abie o x 'e W (x)  de Spec  A y s  e (W (x) , .2)  al px que s x jw(x) n X = s' jw(x) n X . Po el Lema 3 .6 U = U  W(x) ydadoquees cuasi,compac xeunx ya que po de inición s x . Iw(x i )nw(x j )nx=s x, lw(x i )nw(x j )nx i  J i,7  = l . . .n ;  y po 1/ s x . lw(x i ) nw(x j ) =sx .Iw(xi)nw(xj ). Co ola io : Sea X un espacio noe he iano,A su e ículo de ce ados y .A un haz de g upossob e X . Si i designa la inyección na- u alde X en Spec p A se e i ica : Co mp obación abie o de Spec p A . Todoabie o de X es de la o ma UnXdondeU es un En onces :  (U n  X,  loa ,R I  x) _ (u,  i * S )  =  (un x, IR) . . Teo ema 3 .6 : Sea X un espacionoe he iano, A su e ículo de ce ados n o, exis en x,,, .... x n e U n X alesqueU = U W(x i ) . Las i=1 a e (W(xi) ,J1 .) de inen aho a una sección se (U, .R) :sjW(x i )=s x . 1 x i Demos ación : Com obación : P oposición 3 .6 : Demos ación : 106 H p (Spec p A,2) -Hn (X,,21 X) sigue siendo sucesiónexac a . La P oposición 3 .5 asegu a : V n>_ 0 . a) los haces J( . 11 X son " lasques", y R un haz de g upos sob e Spec A . Se e i ica : p 0 Sea 0  una esolución " lasque" del haz R . 0 Es bien conocido que : 0 -  Q1 X -~ ,R  X -~ 9  ` X--~ b) Al oma secciones en la esolución de R y en la e- soluciónde .R1X, se ob iene el mismo complejo di e encial . Es o demues a el eo ema, Co ola io : - Sea X un espacio noe he iano, A su e ículode ce ados y R un haz de g upos sob e X . Se e i ica : H n (X, .R) =H n (Spec p A, i  0 . x Inmedia o a pa i del eo ema an e io y del co ola io a la P oposición 3.5 . Sea X un espacio noe he iano . Se ecue da que pa a - un al espacio, dim k X designa el ex emo supe io de las longi- udes de cadenas ini as, es ic amen ec ecien es,de ce a- dos i educibles de X . Si dim k X es ini a, se e i ica : dim X < dim kX . Sea A el e ículo de ce ados de X . El eo ema 3 .6 y su co ola io a i man que dim X = dim Spec p A . Dado que dim kX = dim k A - como se comp ueba ácilmen e - el Teo ema 107 3 .5 demues a la p oposición : dimX = dim Specp A-< dinil A ~ dimk X .