Grupos libres profinitos y grafos topológicos

GRUPOS LIBRES PROFINITOS Y GR AFOS TOPOLOGICOS Introducción Luis Ribes Estas notas, constituyen una versión detallada de una serie de conferencias dadas en la Universidad Autónoma de Barcelona, en marzo de 1977 . La motivación principal de nuestro trabajo es, tra tar de encontrar un método general, que permita describir la estructura de ciertos subgrupos cerrados de grupos pro finitos libres . En el caso de grupos discretos, Serre y Bass [8 ], han inventado una teoría que permite describir los grupos discretos que operan sobre árboles (discretos) . En particular, demuestran que un grupo discreto G es libre, si y sólo si G opera libremente sobre un árbol . Como consecuencia, obtienen, de manera inmediata, la estruc tura de los subgrupos de grupos (discretos)libres : son libres (Teorema de Schreier) . La situación en el caso pro finito es, por fuerza, más complicada . El ideal hubiera sido, poderafirmar que los subgrupos cerrados de grupos profinitos libres de una cierta clase, son libres de esa clase (por ejemplo,para la clase de los prorresolubles) . Pero ésto es, evidentemente, falso, a no ser que estemos tratando de grupos pro-p) : basta fijarse en los p-subgrupos de Sylow del grupo dado . Surge, por tanto, el pro blema de determinar, qué subgrupos cerrados de un grupo libre profinito de una cierta clase, son también libr Es de esa clase . Pues bien, en las secciones 6-9, de estas notas, expongo una teoría de grupos profinitos que operan de ma- nera continua sobre cierto tipo de grafos topol6gicos, que permite dar una respuesta a esta pregunta , en un buen número de casos . Esta teoría es el resultado de una colaboración con Dion Gildemhuys [3] . En las secciones 1-5, he introducido, por una par te, las definiciones y resultados,sobregrupos profini tos, que son necesarios posteriormente ; y por otra, re sultados que sirven de motivación para el estudio de es tas cuestiones . Por último, quierohacerpatente aquí mi agradeci miento a la joven y entusiasta Sección de matemáticas de La Universidad Autónoma de Barcelona por 1 su acogida, y, en especial, a los Profesores ManuelCastellet y Pilar Báyer, por su exquisita amabilidad . 1 . Límites proyectivos Sea (I,5) un conjunto parcialmente ordenado dirigido  ( es decir,  impondremos que i,  j e I => 3 k eI  con k _> i, j  ) . Sean G t ,  ie I,  grupos topol6gicosindiciados por I, y supongamos que siempre que i>_ j, existe  un homomorfismo continuo eta : G t ~ G,, de manera que !Jk ~tj  =  ~{ k , cuando i>_ j >k . Decimos que los grupos G,, junto con los homomorfismos ~tj , forman un sistema pro~ yectivó . Un grupo topol6gico G, junto con homomorfismos continuos ~ t : G  =, G t , es un limite proyectivo de los grupos G t , i e I, si 1)  ~ ti  ~ t  =  ~ J  ,  cuando  i >_ j  ; 2) Si H es otro grupotopol6gico, 1, : H  -, Gt (ie I)  son homomorfismos continuos con 1 ti 01 = cuando i > j, entonces existe un único homomorfis mo continuo  0 : H  --> G  con y, 0, = ~ t (i e I) . Le sigue inmediatamente de esta definición, que si el limite proyectivo existe, ha de ser único en un senti do obvio . Veamos que siempre existe . Sea G el subgrupo del producto cartesiano  II G t que consiste en aque i e I llos elementos (g t ) tales que  ~,, (g t )= g,, siempre que i > j .  Definamos  ~~  :  G  -> G,  como la restricción a G de la proyección canónica n G t -i G~ de la topología inducida . Entonces cada ~ i es un homomorfismo continuo, y es fácil comprobar que G, junto con los homomorfismos ~ t , es el limite proyectivo de los G 1 . Utilizaremos la notación G = lim G,, donde los homomorfismos que intervienen están sobrentendidos . Dotamos a II G S de la topología producto, y a G ie I Es importante notar que G es un subgrupo cerrado de 2 . Grupos prof n tos Sea C una clasede grupos finitos que supondremos satisface las siguientes condiciones : 2 .1 . Ejemplos si A e C, y B es un subgrupo de A, entonces B g C ; (ii)  si B es un subgrupo normal de A, y A e C, en tonces A/B e C . Diremos que un grupotopol6gico G es un grupopro-C , si es limite proyectivo de grupos en C, donde cada grupo A eC se supone con la topología discreta . 1) Si la clase C consiste en todos los grupos fin¡ tos, un grupo pro-C, se denomina profinito . 2) Si C es la clase de los p-grupos finitos, donde p es un ciertonúmero primo, un grupo pro-C, se denomina pro-p . 3) Si C es la clase de todos los grupos finitos re solubles, un grupo pro-C, se denomina pro-resoluble . 4) Sea G un grupo cualquiera ., y sea C una clase de grupos finitos, que satisfaga las condiciones (i) y (ii) . Entonces, la compleción pro-C de G  es el grupo pro-C, 2 .2 . Teorema Demostración : donde N varia sobre los subgrupos normales de G tales queG/N e C . Un grupo pro-C es compacto, Hausdorff y totalmente discontinuo .(Totalmente discontinuo significa que la com ponente conexa de cada punto consiste solamente en ese punto) . Digamos que G = lim G 1 , donde G, e C . Como hemos F visto, G es un subgrupocerrado de fl G t ; pero este ieI grupo es compacto, Hausdorffy totalmente discontinuo, puesto que cada G t lo es . De donde se sigue que G también lo es . 2 .3 . Se puederefinar más el teorema 2 .2 : si U es un sub grupo normal abierto de G, entonces G/U e C . Basta notar que el conjunto ker j,, (ie I), es una basefundamental de entornosabiertos de l . Digamos que U :D ker~ l . Entonces G/U es un cociente de G/ker ~ f que es un elemento de C, y por tanto G/U E C . 2.4 . Teorema Recíprocamente, si G es un grupo topológicocompacto, Hausdorff y totalmente discontinuo, de manera queG/U eC, para todo subgrupo normal y abierto U de G, entonces G es pro-C . Demostración : Los subgrupos abiertosnormales de tal grupoforman una base fundamental de entornos de G (cf . [6], p . 56) . Sea l,( el conjunto de todos esos subgrupos . Consideraremos a2L .como un conjuntoparcialmenteordenadodirigido mediante la relación U >V a U r: V Con cada elemento U e%(, asociamos el grupo G/U E _C . Si UcV consideremos la proyección canónica por G/U, (U e Veamos que . : G/U -~ G/V . Podemos, pues, formar el limite proyectivo de los gru- Consideremos el homomorfismo continuo G  -~  1 im G/U F - inducido por los homomorfismos naturales Úu = G -> G/U . Está claro queker t = n U = 1 . Puesto que cada 1 . es sobre, veamos que t también lo es . Puesto que G es compacto, ~(G) también lo es . Basta, pues, demostrar que *(G) es denso en lim G/U . F Un abiertobásicode lim G/U  tiene la forma F W  =  (1 im G/U  ) n [ (  II  G/U) xa, U, xaz U 2 x . . . xa r U r ] f-  U7¿ U S , . . . . Ur donde  a l e G . Sea V Supongamos que W 7 ¿ ~~, y sea  (a u U) e W . Entonces ¿v u l  (a   V)  = a,  U,  (i = 1, . .  , r) . (Hemos identificado a l con a u, ) . Entonces 3 . Grupos de Galois 3 .1 .  Sea Kikuna extensión de cuerpos algebraica, normal y separable ( es decir una extensión galoisiana), y sea G = G(K1k) su grupo de Galois, es decir el grupo de los auto morfismos de K que dejan fijos los elementos de k . Si la extensión KIk es finita, sabemos que existe una corresponden cia biunívocaentre los cuerposintermedios de la extensión y los subgruposde-G . Esta correspondencia está dada por el siguiente par de funciones inversas : ~ y t definidas así : a un subgrupo H de G le asociamos el cuerpointermedio, L = ,), (H) = { x e K I a (x) = x, V a e H } ; y a un subgrupo intermedio L le hacemoscorresponder el sub grupo de G H = `~ (L) = { a e G 1 a (1) =  1, !/le L } . (Véase, e .g ., [9], p . 80) . Si ahorasuponemos que la extensión KIk es infinita, es fácil encontrar ejemplos que muestran quetal correspondencia no existe, en esta forma tan general . De hecho puede muy bien ocurrir que la función 1 que acabamos de definir, asigne el mismo cuerpo a dos subgrupos distintos de G . Puedeverseun ejemplo de esta situaciónen [7], p . 3) . Si bien la función $ no es inyectiva, la función ~ sí que lo es, como se deduce del siguiente resultado que es inmediato : L,9 (L) = L, para todo cuerpo intermedio L . Podemos, por tanto, decir que existe una correspondenciabiunívoca entre el conjunto de los cuerpos intermedios L de la extensión KIk, y los subgrupos de G de la forma ~(L) . Esta afirmación, obvia, no tendría mucho interés a no ser que pudieramos caracterizar los subgrupos ~(L) de G de alguna manera más natural . Pues bien, demostraremos más adelante, que los subgrupos I(L) son precisamente los subgrupos cerrados de G, cuando aG se le considera como un grupo topol6gico con la topología que definiremos a continuación . 3 .2 .  Consideremos la colección {K, I ie I} de todos los subcuerpw de K queson extensiones galoisianas finitas de k . Tenemos entonces que y es inmediato que mal en G, y (i) cada uno de los grupos de Galois G(KIK 1 ) es nor- (ü)  n G(KIK,) = 1 . ieI Por tanto (cf . [1], p . 222) . los subgrupos G(KIK S ), determinan un sistema fundamental de entornos, que hacen de G un grupotopol6gico . Esta topología que acabamos de definir, se denomina la topología de Krull del grupo de Galois G . De aquídeducimos que la órbita de f, bajo la acción de G, es finita . Digamos que son los distintos elementos de esa órbita . Consideremos el polinomio Bajo la acción de G, este polinomio se transforma en sí mismo . Por tanto sus coeficientespertenecen a k . De aquí deducimos que KIk es una extensión algebraica . Puesto que las raices de P(X) son distintas, KIk es separable . Los conjugados de f están entre los elementos f1,f2, . . .fn, y por tanto pertenecen a K, i . e ., KIk es una extensión nor mal . Es decir KIk es galoisiana . Por construcción G es un subgrupo deG(Klk) . Esta inclusión es una función continua . Pues, supongamos que lo tanto f = f i . f2 . f n P (X)  =  (X -  f 1 )  (X - f2 )  . . .  (X -  f n). K,  =  k (ai 'C12 ' - -  , CL. ) es una subextensi6n finita galoisiana de KIk . Entonces s G(K,Ik)n G ? n G i=1 a, s Pero como acabamosde ver ~~ G  es abiertoen G, y por i=1 a, G (K , 1 k)  n G también lo es . Puesto que G tiene la topología inducida por G(K1k), y puesto que G es compacto, tenemos que G es cerrado en G(KIk) . Por otra parte k es el cuerpo de elementos fijos tanto de G, como de G(KIk) . Tenemos pues, por el Teorema 3 .6, que G = G(K1k) . 3 .8 . Ejemplos 1) Sea IF, el cuerpo con 1 elementos, donde 1 es un número primo, y sea IF, su clausura algebraica . Para cada número natural n, existe una única extensión IF I (n) de IF, de grado n . Claramente, Tenemos,pues, que p-ádicos . G(IF (n) I IF ) z  Z  / n  Z, (el generador  1+ n Z  se hace corresponder con el F,- automorfismo de IF (n)  dado por T (x)  = x1) . G (IF I F)  lim  Z/  n Z  =  Z 2) Si 1 y p son números primos y IFa la unión de todas las extensionesde IF de grado p", entonces G (Fv  I  IF)  z  1 im  Z/p° Z =  Z F  D Nótese que Z D es el grupoaditivo del cuerpo de los números 1 7 4 . Grupos libres 4.1 . Denotemosmediante B  (respectivamente BP ) la categoría de los espacios de Boole (es decir, espacios topoló gicos compacto's, Hausdorff y totalmente discontinuos), y funciones continuas (resp . la categoría de espacios topoló gicos de Boole punteados y funciones continuas que preservan los puntosdistinguidos) . Sea C una clasede grupos finitos que satisfaga las condiciones (i) y (ii) de § 2 . Dadoun espacio X e B , un grupo pro-C F y una función continua diremos que (F,,1), o simplemente F, con función n sobrenten dida, es un grupo libre pro-_C sobre X , si para cualquier funcióncontinua donde G es un grupo pro-C, existeun homomorfismocontinuo único con fn = u , Es evidente que si tal grupo libre existe, ha de ser único en el siguiente sentido : si (F', T) ') es otro, existe un únicoisomorfismocontinuo ~ :F .-, F' con ~n =TI' . Utilizaremos las notaciones (F C (X), ,1 ) o F C (X) o F(X) para referirnos al grupo librepro-C sobre X . Nótese que F es un funtor de adjunto por  la izquierda del fun18 C la categoría de grupos pro-C . De hecho, FC es el funtor tor subyacente que asigna a cada grupo pro-C su subyacen te espacio topol6gico . Si consideramos a los grupos pro-C, como espacios punteados, dondeun punto distinguido es el elemento ¡den tidad, entonces definimos el funtor F C (también denota do F) de BP a la categoría de grupos pro-C, como el adjunto por la izquierda del funtor subyacente . Decimos que F(X,j ;) (también denotado P(X)) es el grupo libre pro-C sobre el espacio punteado (X,a~) con punto distinguido k . Tenemos pues la siguiente propiedad univer sal esquematizada en el siguiente diagrama : (X,*)  -Ti >  F(X,*) donde  1, Ur1 = 4 .2 Proposición Las funciones canónicas son monomorfismos . G X  -a  F (X) ,  o  n  :  X  --i  F (X) Demostración : Sean xt y  dos puntos de X . Sea G un grupo en C con IGI > 1 . Entonces existe una función continua . XG con U(x) t ~,(y) (esto se sigue del hecho que de todo espacio de Boole X  admite abiertos y cerrados) . Sea  : F(X) el correspondiente homomorfismo . Entonces de gueque U(x) 9 i i :(y), es decir que ,y es 1-1 . 4 .3 . Teorema . F(X) existe (respectivamente, P(X) existe) . y la topología una base de conjuntos -~ G (o U : F (X)  G) se siDemostración : Sea D el grupo libre abstracto sobre el conjunto X(respect . X \ {*}, donde ,F es el punto distinguido de X) . Sea el conjunto de los subgrupos normales N de D tales que (i) D/N e C , (ii) N n X  es abierto en X (en el caso punteado, se identifica con 1 e D) . Pongamos F (X)  =  lim  D/N F N e J~ (respect . F(X) = 1im D/N) F NeJV Sea Tl  :  X ----> F (X) 2 0 (respect . B  :  X - . ., F (X) ) , la función continua natural . Se comprueba,entonces, con facilidad que (F (X) , T1) (respect . (F (X) , , n)) , es un grupo libre pro-C sobre X (respect . sobre el espacio punteado X) . 5 . Estructura de los g rupos libres 5.1 . . Sea X un espacio de Boole . Consideremos el conjunto R de todas las relaciones de equivalencia en X, de manera que X/R, con la topología cociente, sea un espacio finito discreto ; estoequivale a decir, que cada clasede equiva lencia xR (determinada por el punto x e X) es un conjunto abierto y cerrado . El conjunto ' R no es vacío, puesto que los subconjuntos de X abiertos y cerrados forman una base para la topología de X . Las funciones continuas canónicas inducen una funcióncontinua X -, lim X/R F R (Nótese que R está ordenado así : R < R' si y sólo si xRx' = :> xR'x') . Puesto que cada IR es una función sobre, se tiene que I(X) es denso en lim X/R(ver el razonamiento en el teorema 2 .4) E y puesto que I(X) es cerrado, I es sobre . Por otra parte, es 1-1, pues dados x ~ y en X, sea U un entornoabierto y cerrado de x que excluya a y . Consideremos la relación 21 R U que tiene como clases de equivalencia U y X-U claramente 5.2 . Lema ~R  (x)  '-,  ~ R  (Y) . U  U de donde  ~ (x) y¿ ~~ (y) . Hemosdemostrado por tanto el siguiente resultado Todoespacio de Boole es límite proyectivo de espacios finitos . El siguiente teorema expresa los grupos libres sobre cualquier espacio, en términos de grupos libres sobre espacios finitos . Cada unalas funciones w  _nd ,  ., . . homomorfismo conR' tinuo que denotamostambién por ~R ~ R :  F (X)  - F (X/R) Si R_> R', existe un epimorfismo inducido, 1 RR'  F (X/R)  -~ F (X/R' ) Obtenemos, por tanto, un homomorfismo continuo, ~ :F(X)  -, lim F(X/R) . 1 es claramente sobre . Para verque ~ es 1-1 bastarádefinir un homomorfismo continuo lim F (X/R)  - j  F (X) tal que  sea la identidad de F(X) . Dado un subgrupo abierto U de F(X), definamos una relación  RU en X de la forma siguiente : resultado . 5 .3 . Teorema -1 x RUy  ax  y EU . Está claro que R U ER, y la inclusión, X/RU (- , F(X)/U, induce funciones continuascompatibles l ¡m F (X/R) -~ F (X/R U ) -~ F (X) /U, y por tantoun homomorfismo Ahora bien, del diagrama lim F (X) /U  =  F (X) . lim F(X/R)  F  F (X) I  ~  I fu F(X/R U )  ` F(X)/U , se deducefácilmente que para cada U, fUV i ~ ~ = PU , y por Todogrupo librepro-C es el limite proyectivo de gru pos libres pro-c sobre espacios finitos . tanto ~~ = 1F(X)-  Hemos, pues, demostrado el siguiente Esencialmente la misma demostración nos prueba 5.4 . Teorema 6 . Grafos de Boole 6 .1 . Un grafode Boole  r consiste en un par de funcio nes continuas, 6 .2 . Ejemplos X í , entonces F(X) = lim F(X~) . d o A (r)  V(r) d i d o (a)  es el origen de a  y  d i (a) es el puntofinal de a entre los espacios de Boole A(r)  y V(r) . El espacio A(r) es el espacio de las aristas (orientadas) de r . Si aCA(r), 1) Todo grafo finito (orientado) es un grafo de Boole . E .g ., la siguiente figura representaun grafo de Boolefinito : 2)  Sea G un grupo profinito, y X un subconjunto cerradode G . Definamos un grafo de Boole f = r (G,'X) asociado a G y X de la forma siguiente : V(r) = G (como espacio topológico) ; A (P) =Gx X (con la topología producto) ; si (g,x) E Gx X, pongamos d o (g,x) = g, y d l (g,x) = g x . Es evidente que las funciones así definidas, (e,a) d i son continuas . E .g ., si G es el grupo simétrico S 3 = {a =  (1, 2) , p  =  (1 2 3) , e =(1) , ap = (2 3) , ap2 = (1 3) } , y X = {n,E1}, entonces r(G,X) es el grafo a p2 V nn Z = U . Si los grupos A y B son finitos, podemos des componerlos en sumas directas de sus p-componentes . Por tan to podemossuponer que ambos grupos A y B son p-grupos finitos . Si p divide el orden de algúngrupoen C, entonces A, B e C, y por tantocoinciden con su compleción . Si p no divide al orden de ningún grupo en C, entonces las compleciones de A y B son triviales . 6 .11 Nótese que, por la proposición 6 .9, el concepto de C-aciclicidad es independiente de C, en el caso de que el grafoconsiderado r sea bienun grafo finito o bien el lími te proyectivo de grafos C-acíclicosfinitos . Veremos más adelante (Teorema 7 .6) que en general, el concepto de acicli cidad dependede C . 6 .12 Dado un espacio de Boole X, el homomorfismo 6 . 13 Lema :  C¡ (X)  -- a  ZC 32 determinado por  c (x) = 1  V x E X, se denomina homomorfismo de aumentación . Su núcleo, ker s , se denota mediante I . x Describiremos primeramente generadores topol6gicos para el grupo I . Necesitamosantes algunas observaciones . x En la categoría de grupos abelianosfinitamente genetados, el funtor C-compleción es exacto . Demostración : Sea una sucesión exacta de grupos abelianosfinitamente generados . Consideremos la correspondiente sucesión de grupos abe lianos pro-C : donde - denota la compleciónpro-C . Ya hemos visto, en el lema 6 .10, que ep es un monomorfismo . Basta pues verque Ú es el conúcleo de ~ . Supongamos que A -L . . K sea el conúcleo de cp, en la categoría de grupos abelianos pro-C . Pues to que  0, existe un homomorfismo continuo n : K - . ., C talque 7 ,1= p . 6 . 14 P roposición 0 r, A ! BJ1-,  o 0 -, A - C L-> B -~ C ' 0 0 --, A ' -, B - t- " C Por otra parte, puesto que  S cp = 0, existe  b : C --+ K con 6 ji, = pR . Sea  S : C -, K  el homomorfismo continuo induci do por 6 . Es fácilcomprobar que ny5 son isomorfismos in versos . Si X es un espacio de Boole, entonces 2 X es el subgrupo cerrado de (9,(X) generado por los elementos {x -y I x . y e X} . De hecho,  I X es el grupopro-(C-abeliano)  libresobre {x - x o Ix E X}, donde x ) es un elemento fijo de X . Demeostraci6n : Sea R una relación de equivalencia en X abierta y cerrada (es decir, las clases de equivalencia de R son abie_r tas y cerradas en X) . Tenemos entonces un diagrama conmuta tivo con filas exactas, e o ---~ I X  : a(X)  z  o . e  _ o ---> I X/R ---~  0,(X/R)  zc  -  ' . o . Por el Teorema 5 .4, lim 0-(X/R) = am . Por otra parte el funtor lim es exacto (cf . [7], p . 35) . Tenemos pues que F I X = lim I  Por tantobastademostrar nuestro resultado <- X/R cuando X es un  espacio finito . Ahora bien, por el Lema 6 .13, I es la C-compleci6n de ker c l, donde X e, : L(X) __+ Z , es el homomorfismo de grupos abelianos di_s cretos dado por E 1 (x) = 1, Vx e X, y donde L(X) es el grupo libre abelianodiscreto sobre X . Pero es bien sabido (e inme diáto), que ker e l es el subgrupo de L(X) generado por {x - y1 x,  y e X} .  Como  I  es  la clausura de ker e l  en  a (X), X tenemos la primera partede nuestro resultado . Para demostrar la segunda parte, supongamos primero que X es finito y sea x o e X un elemento fijo . Estáclaro que ker e l es un grupoabeliano libre (discreto) sobre {x - x o 1 x E X } . .Ahora,bien, por el . Lema . 6, .,13, _la C-cumple i_ ci6n de ker .E~  coincide .con el -subgrupo cerrado r de-a .(X), _ : . generado por . {x - ; x,  :x E_X  :Pero la C-compleci6n,de ,ker .,e ;, es el grupo pro- (C-abeliano)  libre sobré -{x' -x . .~I  x " E " X :} El resultado en el caso genral, es decircuando X es un es pacio de Boole  cualquiera, se 'obtiene del caso finito to mando el limite proyectivo . 6 .15  Diremos que un grafo de Boole r , sucesión es exacta, es decir 6 .16 Lema á a (A (r)~)  d > Q'(v(F) ) -& ) - d ( a(A (r) ) =IV(r)  ' Un grafo finito r es C-conexo si y sólo-si es conexo en el sentido ordinario, es decir, si dos cualesquiera de sus vérticesse pueden unir por mediode un camino en-r .  - - Demostración : Supongamos que r es conexo en el sentido ordinario, y sean  vJ,v2 Ev(r) . Sean a,,a2""' a t las aristas consecutivas de un cami no de v ^ a  v . .  Entonces v 2 -v,=  (-1) 6l  d (a l )  +  (-1)'2  d (a .) _ + + " -" + ( -1)It d(a t ), donde ¬ 1 = 0, 1 según sea necesario . Es to demuestra que d(a(X)) = I V(r) ' Recíprocamente, suponga- mos que r es C-conexo . Entonces d(C¿(A(r)) =I V( ) . Dado r un vértice fijo v,) y un vértice cualquiera v, necesitamos demostrar que existe una sucesión finita de aristas a l , a 2 ,..  , a t de manera que t v-V O  d(a t ), i=1 donde e l = 0,1 . Si tal sucesión de aristas no existiera para cierto v i , entonces Iv(r) estaría contenido en el subgru po cerrado de a(V(]-» generado por {v - v o I v e V(r),vtv l } . Pero este subgrupo no contiene a v i - v ., puesto que el sub grupo cerrado de Ü_(V(r)), generado por {v -vo 1 v e V(r)}, es libre pro-(C-abeliano) sobre esa base (ver la Proposición 6 .14) . 6 . 17 P roposición Para un grafode Boole r, el concepto de C-conexión es independiente de la clase C . Demostración : Por el Lema 6 .16, el resultado es cierto para grafos finitos . Los epimorfismos de grafos de Boolepreservan la C-conexión . Todografo r es el limite proyectivo de grafos finitos (ver Prop . 6 .4), que desde luego son imágenes epim6rficas de r . Por otra parte, el limite proyectivo de grafos C-conexos es C-conexo . Teniendoen cuenta esta proposición, de ahoraen adelan te utilizaremos el término de grafo de Boóle conexo, en vez de C-conexo . 6 .18 __ Proposición Sea G un grupo profinito, y X un subconjunto cerrado de G . Entoncesel grafo de Boole r = r(G,X) es conexo si y sólo si X genera a G topológicamente . Demostración : Si G es un grupo finito, la proposición es inmediata . Si U es un grupoabierto normal de G, denotemosmediante X U la imagen canónica de X en G/U . El conjunto X genera a G topológicamente si y sólo si para cada U, el conjunto XU genera a G/U . Por último, r(G,X) = lim r(G/U, X U ) . E El resultado se sigue, por tanto, de 1)  el limite proyectivo de grafos de Booleconexos es conexo,y 2)  la imagen de un grafode Booleconexo es conexa . 6 .19  Se dice que un grafode Boole r es un C-árbol si es a la vez conexo y C-acíclico . Es decir si la siguiente sucesión de grupos pro-(C-abelianos) es exacta o  -~, Q (A (r) )  d -+  CL (v (r) ) 7 . Caracterización de los grupo s libres pro37 Sea H un grupo libre discreto y X un subconjunto de H . Entonces Bass y Serre ~81, demuestran que H es libresóbre X si y sólo si el grafo r(H,X) es un árbol (discreto) . La situación en el caso profinito no es, desgraciadamente, tan simple . Sin embargo, si nos restringimos a ciertas clases C, veremos que obtenemos un resultadoanálogo . Necesitamos primeramente una serie de conceptos . Si G es un grupo pro-C, el grupopro-(C-abeliano) G,(G) es, de hecho, una  ZC -álgebra donde su estructura multiplicativa está determinada por las de  Z C  y G . Cuando nos refiramos a este álgebra, utilizaremos la notación  a_2(G) . De manera especifica donde (G)  =  l¡m  Z C [ G/U] . ZC [G/U] denota la  ZC -álgebra del grupo G/U . El álgebra  W (G) posee una topología natural, y con respecto a ella es una Z C -algebra una definición precisa) . Sea PM la categoría de los Clj(G)- m6dulostopol6gicos A, tales que A sea, al mismo tiempo, un grupo abeliano pro-C (ésta es precisamente la categoríade los (,¿£(G)-módulos pseudocompactos [2], y [4], p . 61) . 7 .1 Lema Sea G un grupopro-C . Entonces Der (G, M) ;z~ Hom para todo M c pm  , donde Der(G,M) es el grupo abeliano de las derivacionescontinuas pseudocompacta (cf . [29, para (es decir, d(u,v) =u d(v) + d(u), para todo u, v eG) . Demostración : Veremos que existenhomomorfismos inversos Der  (G,M)  Hom 6U (G)  (I G ,  M) . Por el lema 6 .14,' I G es el grupo abeliano pro-C libre sobre {g - 1 1 g e G } . Si d e Der (G,M), pongamos ¿(d) = f, donde f(g - 1) = d(g) . Se comprueba facílmente que f e Hom CÁ .P (G) (IG,M) . Si f e HomOLQ(G) (I G , M), pongamos Y (f)  = d,  donde d (g)  = f (g - l) .  Entonces d  e Der  (G,M), yy son homomorfismos inversos . 7 .2 . Si A es un  ~U(G)-módulo pseudocompacto,  e Y ; un espacio de Boole, decimos que A es libre sobre Y  (con res pecto a una funcióncanónica  Í : Y , A) si para cada QQ(G)-módulo pseudocompacto B y cada funcióncontinua ¢ :Y , B, existeun único homomorfismo de módulos -~ : A -, B,  con y Si A y B son dos grupos abelianos pro-C, se define su producto tensorial completo A ® ZB  = A 0 B, como el gru C po abeliano pro-C que satisface la propiedad universal siguiente : existe una función bilineal A X B , A ® B , (a,b) F--4 a ® b, y si M es un grupo abeliano pro-C, y f : AXB ~ M es una función bilineal, existe un únicohomo morfismo continuo f : A ® B  M , tal que f (a(9 b) = f(a,b) . Es inmediatocomprobar que A ® B existe y de hecho A ® B  =  1 im  (A /U ® B/V) , F - U,V donde U, V varían sobre el conjunto de subgrupos de A y B respectivamente . Nótese que si X e Y son espacios de Boole, entonces 7 .3 Lema CL(X X  Y )  =  a (X)  ®  a( Y) . Sea X un espacio de Boole (respect . un espacio de Boole punteado) y F(X)'elgrupo librepro-C sobre X (respect . F(X) el grupolibrepro-C sobre el espacio punteado X) . Entonces, (i) I F(X) es el QQ(G)-módulo pseudocompacto libresobre el espacio punteado { x - 11 x E X }) ; (ii) IF(X) es el grupoabeliano pro-C libresobre el espaci_n F(X) X X con respecto a la función canónica n : F(X)X X -> IF(X), P dada  por  TI (f ,  x)  =  f x -  f . Demostración : Expondremos la demostraciónsolamente para el caso en que X es no punteado . El otrocaso es similar . Sea M un 0Q(F(X))-módulo pseudocompacto, y sea X . .> M una función continua . Puesto que M es un grupo pro-C,  p induce un homomorfismo continuo, F (X) -, M, que a su vez induce un homomorfismo continuo, p  :  F (X) _ . a Mx s F(X), dado por P (f)  (f), f) . (M x S F(X) es el producto semidirecto, donde F(X) opera sobre M a través de W(F(X)) .) Ahora bien, la composición, con _  rr d : F (X) ? M x S F(X) -,  M, donde nes la proyección canónica, es una derivación continua como se compruebafácilmente . Por el Lema 7 .1, d determina un aQ(F(X))-homomorfismo continuo d  (x -1)  = d (x)  =  p (x) . Es decir, tenemos un diagrama conmutativo IF (X) X a M donde  ~(x)  =  x - 1 . Nótese que sólo hay un W (F(X)-homomor fismocontinuo a , que hace que este diagramaconmute, puesto que IF(X), como 0,2(G ' )-módulo, está topol6gicamente genera do por {x -1 I x e X } . Por tanto I F(X) es 0£(G)-libre sobre 41 es exacta, donde j está inducida por u . Puesto que p es un monomorfismo, también los es jj (esto se siguede una combi nación del Lema 6 .10, el Teorema 5.4 y el hecho que lim pre _f - serva monomorfismos) . Puesto que X genera a F(X) topológicamente,  tenemos que im d = ker e .  Por el Lema 7 .3,  1 F(X)  es el QJ(G)-módulo libre pseudocompacto sobre el espacio punteoado X, con funcióncanónica n : X ---> IF(X), dada por n (x)  =x1 . Deducimos por tanto del Lema 7 .8 que im ~= ker d . Recíprocamente, supongamos que G es un grupopro-C y X un subconjunto cerrado de G que contiene al elemento 1 . Supongamos que C consiste en grupos resolubles, y que la suce sión 0 -n U(G) --i CL (G X X)  Q(G)  Z C --P 0 es exacta, donde j(g) = (g,l) . Entonces d induce un isomorfismo (que está claro es isomorfismode W (G)-módulospseudocompactos) (2 (G X  X) / il ( Cl . (G) )  -  IG . Por consiguiente I G es un 01(G)-módulo pseudocompacto libre sobre el espacio punteado X con función canónica, 71 : X -, I G ,  dada por D (x) = x - 1 . Utilizandoun argumento similar al de la Prop . 7 .5, deducimos que G es libresobre el espacio puntado X . 8 . Grupos operandosobre grafos 8.1  Sea G un grupo pro-C y sea r un grafo de Boole . Diremosque G opera sobre r, si operade manera continua sobre V(r) y A (r) , de forma que 48 d l (x a)  =xd 1 (a) ,  V  x  E  V (r) ,  a  E  A (r) ,  i  = 0, 1 . Dada esta situación, definimos el grafo de las órbitas G\r de la manera siguiente : los vértices de G\r son las órbitas de V(r) bajo la acción de G (es decir el espaciocociente V(r)/R', donde R' es la relación de equivalencia en V(r) de finida xR'y o 3 g e G con x = gy ; nótese que R' es cerra da y que V (I') /R'  . es un espacio de Boole) ;  las aristas de G\r son las órbitasde A(r) bajo la acción de G (es decir el espaciocociente A(r)/R, donde R es la relación de equivalen cia en A(r) definida por xRy a 3  g eG con x = gy) ; y las funcionescontinuas do están inducidas por d oyd i . 8 .2 Ej emplo . A (1') /R  v(r)/R' á, Sea G un grupopro-C y X un subconjunto cerrado de G . Entonces G opera de manera natural sobre r(G,X) (en los vér tices, utilizando la multiplicación de G, y en las aristas (g,x), operando sobre la primera componente) . Nótese que G\r(G,X) tiene un solo vértice, y el espacio de sus aristas es homeomorfo a 'x . 8 .3  Si G opera sobre r, diremos que opera libremente si gx=x o g = 1 (x e A(r) U v(r)) . En el ejemplo anterior, es fácil verque G opera libremente sobre r(G,X) . El resultado final al que queremos llegar en esta sección, caracteriza (bajo ciertas condiciones) a los grupos que operan libremente sobre C-árboles . Necesitamos primeramente unos re- sultados auxiliares . 8 .4 Lema V(4) = V(T O ) U V(T 1) . Sea r un C-árbol o un pseudo-C-árbol, y sean T O y T i sub grafos conexos de r, que no tengan ni aristas ni vértices en común . Existe entonces como máximo una arista a cA(r) con do (a) e V(TO) y d j (a) e V(T 1) . Demostración : Supongamos que existan dos aristasdistintas a y a' en A (r) ,  con  d l (a)  =  t f e  V (T 1 ) ,  y  d l (a')  =  ti  e  V (T 1 ),  i=0,1 . Consideremos el subgrafo A de r, definido por A (A)  =A (TO)  U  A (T, )  U  {a}  U  {a'}, Puesto que T O y T,,  son conexos, existen  u1  a Q,(A (T 1)) con d(u 1 ) = t l - t1 ,  (i=0,1) . Pongamos y=u O + a, z = u, + a' . Entonces, d(y-z) = 0 . Si r es un C-árbol, esto implica que y = z . Si r es un pseudo-Cárbol, entonces y = z (mod p 0-(V(r))), donde 1 7 : a(V(r)) -, a(A(r)) es el homomorfismos asociado con el pseudo-C-árbol r . Puesto que 0 . (A (V) )  n j(0 .(V(r))  CCl .(A(T O )  U A(T,)), tenemos, en ambos casos, que 0_  y  -  z  =  a  -  a'  (mod  0, (A (T O )  U  A (T, ) ) ) . Pero esto es imposible, pues consideremos el gra .f o finito p que tiene un solo vértice t, y tresaristas  y 1 ; definamos un morfismode grafos 8 .5 Lema G por  TT(V(TO)  U  V (T, ))  =  {t}, que no es posible . Tr (a) = á,  tt (a') = ~' ,  y TT(A(TO ) U A(T,)) = {1} . Entonces - a -'al  es un  Z Cmúltiplo de 1  en  Q . (A ( - E) ) ,  lo Sea r un C-árbol (respect . un pseudo-C-árbol) . Sea T un sub-C-árbol (respect . sub-pseudo-C-árbol) . Si a e A(r) y d o (a), di(a) B V(T), entonces a E A (T) . Demostración : Pongamos d, (a)  = t ! (i = 0, 1) .  Existe entonces u E a (A (T) ) con du = t i -t O . Por tanto a - u E ker d . De donde, si r es un C-árbol, tenemos a=u E  Q . (A (T) )  fl A (r)  = A  (T) . Si r es un pseudo-C-árbol,tenemos a  -  u  (mod 11  Q . (V (r) ) ) . Consideremos el subgrafo A de P, definido por A(A) = A(T)A{a}, V(A) = V(T) . Tenemos y por tanto es decir 8 .6 Dado un grafo de Boole r, decimos que un sub-C-árbol o 1 un sub-pseudo-C-árbol T de r es maximal si V(T) = V(-r) . Si un grupo pro-C G opera sobre un grafo de Boole r, existe una evidenteprovecci6n canónica de grafos de Boole 8 .7 Teorema a (A (A) )  (1  jj a (V (7) )  c  CL (A (T) ); a =_ u = 0  (mod  Q (A (T) ) ; a e Q, (A (T) ) fl A (r) = A (T) . Diremos que un subgrafo L de G\r se puedeelevar a r si existe un subgrafo L' de r talque ~, restringido a L' es un isomorfismode grafos L --, L Supongamos que un grupo pro-C G opera libremente sobre un C-árbol (respct . un pseudo-C-árbol) r, y queG\r contiene un sub-C-árbol maximal (respct . un sub-pseudo-C-árbol maxi mal) T', que se puede elevar a r . Supongamos, además, que r' - r(G,S) . Esta isomorfismo es obvio en los vértices . En el espacio de las aristas es la función dada por a = A (r') --~  G x S a (a') = (g, g -1 9 1 ) , donde a' denota una arista de gV(T) a g 1 V(T) . Es fácil comprobar que " a es una función continua y sobre . Por otra parte, a(x a') = (xg, g -l g1 ), V x e G . Por tanto, para verque a es 1-1, es suficiente demostrar que si a l y a z son dos aristasen r' que van de T a gT, entonces a (al )  =  a ( a z )  =  (1, g)  --,  a,  =  a Z . Si g Y' 1, esto se sigue del Lema 8 .4, y si g= 1, del Lema 8 .5 . Para completar la demostración de este resultado, basta, pues, probar que r' es un pseudo-C-árbol (ver Teorema 7.9) . Nótese primeramente que el núcleo de la proyección natural o . (V (r))  -- .  o, (V (r')) es el subgrupocerrado de  Q (V(r)) generado por {g (x-Y)  1  x,  Y e  V(T),  g E  G  } . Este núcleo coincide, por tanto,  con la imagen d(CL(G A(T)), puesto que cada gA(T) es conexo . 0-->  CL (V(r'))  5 ,  a (A (r'))  d ,. Cl(V(r')) Sea 0, (A (r) )  d  - 0 (v (r) ) V(f1) --~ A(r') la función 5 Z(gV(T)) = g A(T) . Es evidente que 5 es el nivelador de dó :Ct(V(r)) : Q(A(r)) asociadoal pseudo-C-árbol r . Por otra parte, está claro que 5 4 z C Sea i el homomorfismo inducido por 9 (ver el diagrama), y denotemos mediante  las proyecciones naturales . Nos fal ta demostrar que im 5 = ker d' .  Desde luego d'! = 0 . Supon gamos que d' (z)  = 0,  y sea  W e  Q (A (r) )  tal que n (W)  = z . Entonces nd(w)= 0, y por tanto d(w) = d(w'), donde w'  e  a (GA (T) ) .  Claramente  rT (W)  e im 3  .  Ahora bien,  si r es un _C-árbol, entonces  w = W ',  y por consiguiente z e im j Si,por el contrario, r es un pseudo-C-árbol, entonces Ww' estáen la imagen del homomorfismo 8 .8 Corolario 9 . Aplicaciones lubles . n (im 17) C :  im  . Por consiguiente, n w  - rr w'  e im ~ - 1, y por tanto, z= nw e im ~ . Si todos los grupos en C  son reso lubles, yG es un grupo  pro -C, entonces  G es un grupo libre pro-Csobreun espacio de Boole punteado, si y s61o si G opera libremente sobre un pseudo-C-árbol r de tal manera G\r contenga un sub-pseudo-C-árbol maximal que pueda ser elevado a r . Demostración : Una de las implicaciones es simplemente el Teorema 8 .7 . Recíprocamente, supongamos que G = F(X) es el grupo libre pro-C sobre el espaciopunteado X . Claramente F(X) opera libremente sobre el grafo r = r(F(X),X), que como hemos vis to (Teorema 7 .9) es un pseudo-C-árbol . El grafo G\r s61o tieneun vértice, y por tanto G\r contiene un pseudo-C-ár bol maximal que evidentemente puede ser elevado a r . que Supondremos en esta sección que los grupos en C son reso9.1  Queremos utilizar los resultados obtenidos en las seccio nes anteriores, para describir la estructura de ciertos subgrupos cerrados de gruposlibres pro-C . En cada uno de los casos que vamos a estudiar, tenemos la siguiente situación general . Sea F(X) (respct . F(X)) ungrupo libre pro-Csobre un espacio de Boole punteado (respct . no punteado) X, H un subgrupo cerrado de F(X) (respect . F(X)) . Consideremos el gra- todos los grupos en C son resolubles . Entonces, G es un gru po libre pro-C sobre un cierto espaciode Boole que describí remosexplícitamente en la demostración . Demostración : Sea T el "elevado" de T' a r . Definamos un grafo de Boole r' con vertices con aristas V(r')  =  V (f)  /  RV donde R V es la relación de equivalenciacerrada V(r) cuyas clases de equivalencia son gV(T) (una para cada g eG) ; A (r') = A(r)/RA donde RA es la relación de equivalencia cerrada de A(r) cuyas clases de equivalencia son por una parte, g A(T) (una para cada g c G), y por otra {a} (una para cada a sA (r) \U g A (T)) ; y con funciones gFG d ' 0 inducidas por d o y d l . Consideremos el subconjuntocerrado de G S = {g e G ~ 3 a e A (r)  con  d o (a) s T y d j (a) e g T } Vamos a demostrar, primeramente, que 5 6 fo i, =r  (F (X) ,X) .  (respect .  r= r (F (X) ,X) ) .  F (X) ,  y por tanto H, opera libremente sobre i' . de manera natural : por ejem plo,  en el caso punteado,  si  f e  F (X)  y v E v(I')  = F (X) , entonces fv es simplemente multiplicaciónen F(X) ; si f E F(X) y (f', x) e A(r) = F(X) x X,  entonces f(f',x) = (ff', x) . El grafo de las órbitas H\f, tiene como vértices las clases (digamos a la derecha) de H en F(X) ; y como aristas los pares (Hf, x), (f e F(X)) . Para poder aplicar el Teorema 8 .7 (que es lo que vamos buscando), tenemos que poder verificar sus hipótesis, es decir, queporuna .parte H \  contiene un sub-pseudo-C-árbol maximal (respect . un sub-C-árbol maximal), y por otra, que éste se puede elevar a r . En todos los casos que vamos a es tudiar, utilizaremos siempre esta notación . 9 .2 Ejemplo Sea H un subgrupo abierto de P(X) . Consideremos el grupo libre discreto D = D(X \f-})  sobre el conjunto X donde 3f es el punto distinguido del espacio punteado X . Entonces (cf . Teorema 4 .3), D es un subgrupo densode F(X) . Escojamosun sistema de representantes  de Schreier de D n H en D (cf . [5], p . 93), es decir, un sistemacompleto de representantes, T = { go =l, g,, g 2 , "" , g, .}, D j F (X) u v D fl HH Introducción . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.- Limitesproyectivos . . . . . ..................... . . . . . . . 3 2 .- Grupos profinitos . . . . . . . ............. . . . . . . . . . . . . . . . 4 3 .- Grupos de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . 8 4 .- Gruposlibres . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . ........ . 18 5.- Estructura, de los grupos libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 6 .- Grafos de Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 7 .- Caxacterizaci6nde los grupos libres pro-C . . . . . . . . . . 37 8 .- Grupos operando sobre grafos . . ..............r. . . . . . . 48 9 .- Aplicaciones . . . . . . . . .. . . . . . .......... . . . . . . . . . . . . . . . 55 Bibliografía . . . . . . . . ......... . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . 63