Grupos libres profinitos y grafos topológicos

GRUPOS LIBRES PROFINITOS Y GR AFOS TOPOLOGICOS In oducción Luis Ribes Es as no as, cons i uyen una e sión de allada de una se ie de con e encias dadas en la Uni e sidad Au ó- noma de Ba celona, en ma zo de 1977 . La mo i ación p incipal de nues o abajo es, a a de encon a un mé odo gene al, que pe mi a desc ibi la es uc u a de cie os subg upos ce ados de g upos p o ini os lib es . En el caso de g upos disc e os, Se e y Bass [8 ], han in en ado una eo ía que pe mi e desc ibi los g upos disc e os que ope an sob e á boles (disc e os) . En pa icula , demues an que un g upo disc e o G es li- b e, si y sólo si G ope a lib emen e sob e un á bol . Co- mo consecuencia, ob ienen, de mane a inmedia a, la es uc u a de los subg upos de g upos (disc e os)lib es : son lib es (Teo ema de Sch eie ) . La si uación en el caso p o ini o es, po ue za, más complicada . El ideal hubie a sido, pode a i ma que los subg upos ce ados de g upos p o ini os lib es de una cie a clase, son lib es de esa clase (po ejemplo,pa a la clase de los p o esolubles) . Pe o és o es, e iden emen e, also, a no se que es emos a ando de g upos p o-p) : bas a ija se en los p-sub- g upos de Sylow del g upo dado . Su ge, po an o, el p o blema de de e mina , qué subg upos ce ados de un g upo lib e p o ini o de una cie a clase, son ambién lib Es de esa clase . Pues bien, en las secciones 6-9, de es as no as, expongo una eo ía de g upos p o ini os que ope an de ma- ne a con inua sob e cie o ipo de g a os opol6gicos, que pe mi e da una espues a a es a p egun a , en un buen núme o de casos . Es a eo ía es el esul ado de una colabo ación con Dion Gildemhuys [3] . En las secciones 1-5, he in oducido, po una pa e, las de iniciones y esul ados,sob eg upos p o ini os, que son necesa ios pos e io men e ; y po o a, e sul ados que si en de mo i ación pa a el es udio de es as cues iones . Po úl imo, quie ohace pa en e aquí mi ag adeci mien o a la jo en y en usias a Sección de ma emá icas de La Uni e sidad Au ónoma de Ba celona po 1 su acogida, y, en especial, a los P o eso es ManuelCas elle y Pila Báye , po su exquisi a amabilidad . 1 . Lími es p oyec i os Sea (I,5) un conjun o pa cialmen e o denado di i- gido  ( es deci ,  impond emos que i,  j e I => 3 k eI  con k _> i, j  ) . Sean G ,  ie I,  g upos opol6gicosindiciados po I, y supongamos que siemp e que i>_ j, exis e  un ho- momo ismo con inuo e a : G ~ G,, de mane a que !Jk ~ j  =  ~{ k , cuando i>_ j >k . Decimos que los g upos G,, jun o con los homomo ismos ~ j , o man un sis ema p o~ yec i ó . Un g upo opol6gico G, jun o con homomo ismos con inuos ~ : G  =, G , es un limi e p oyec i o de los g upos G , i e I, si 1)  ~ i  ~  =  ~ J  ,  cuando  i >_ j  ; 2) Si H es o o g upo opol6gico, 1, : H  -, G (ie I)  son homomo ismos con inuos con 1 i 01 = cuando i > j, en onces exis e un único homomo is mo con inuo  0 : H  --> G  con y, 0, = ~ (i e I) . Le sigue inmedia amen e de es a de inición, que si el limi e p oyec i o exis e, ha de se único en un sen i do ob io . Veamos que siemp e exis e . Sea G el subg upo del p oduc o ca esiano  II G que consis e en aque i e I llos elemen os (g ) ales que  ~,, (g )= g,, siemp e que i > j .  De inamos  ~~  :  G  -> G,  como la es icción a G de la p oyección canónica n G -i G~ de la opología inducida . En onces cada ~ i es un homo- mo ismo con inuo, y es ácil comp oba que G, jun o con los homomo ismos ~ , es el limi e p oyec i o de los G 1 . U iliza emos la no ación G = lim G,, donde los homomo ismos que in e ienen es án sob en endidos . Do amos a II G S de la opología p oduc o, y a G ie I Es impo an e no a que G es un subg upo ce ado de 2 . G upos p o n os Sea C una clasede g upos ini os que supond e- mos sa is ace las siguien es condiciones : 2 .1 . Ejemplos si A e C, y B es un subg upo de A, en onces B g C ; (ii)  si B es un subg upo no mal de A, y A e C, en onces A/B e C . Di emos que un g upo opol6gico G es un g upop o-C , si es limi e p oyec i o de g upos en C, donde cada g upo A eC se supone con la opología disc e a . 1) Si la clase C consis e en odos los g upos in¡ os, un g upo p o-C, se denomina p o ini o . 2) Si C es la clase de los p-g upos ini os, donde p es un cie onúme o p imo, un g upo p o-C, se denomina p o-p . 3) Si C es la clase de odos los g upos ini os e solubles, un g upo p o-C, se denomina p o- esoluble . 4) Sea G un g upo cualquie a ., y sea C una clase de g upos ini os, que sa is aga las condiciones (i) y (ii) . En onces, la compleción p o-C de G  es el g upo p o-C, 2 .2 . Teo ema Demos ación : donde N a ia sob e los subg upos no males de G ales queG/N e C . Un g upo p o-C es compac o, Hausdo y o almen e discon inuo .(To almen e discon inuo signi ica que la com ponen e conexa de cada pun o consis e solamen e en ese pun o) . Digamos que G = lim G 1 , donde G, e C . Como hemos F is o, G es un subg upoce ado de l G ; pe o es e ieI g upo es compac o, Hausdo y o almen e discon inuo, pues o que cada G lo es . De donde se sigue que G am- bién lo es . 2 .3 . Se puede e ina más el eo ema 2 .2 : si U es un sub g upo no mal abie o de G, en onces G/U e C . Bas a no a que el conjun o ke j,, (ie I), es una base undamen al de en o nosabie os de l . Digamos que U :D ke ~ l . En onces G/U es un cocien e de G/ke ~ que es un elemen o de C, y po an o G/U E C . 2.4 . Teo ema Recíp ocamen e, si G es un g upo opológicocompac o, Hausdo y o almen e discon inuo, de mane a queG/U eC, pa a odo subg upo no mal y abie o U de G, en onces G es p o-C . Demos ación : Los subg upos abie osno males de al g upo o man una base undamen al de en o nos de G (c . [6], p . 56) . Sea l,( el conjun o de odos esos subg upos . Conside a emos a2L .como un conjun opa cialmen eo denadodi igido median e la e- lación U >V a U : V Con cada elemen o U e%(, asociamos el g upo G/U E _C . Si UcV conside emos la p oyección canónica po G/U, (U e Veamos que . : G/U -~ G/V . Podemos, pues, o ma el limi e p oyec i o de los g u- Conside emos el homomo ismo con inuo G  -~  1 im G/U F - inducido po los homomo ismos na u ales Úu = G -> G/U . Es á cla o queke = n U = 1 . Pues o que cada 1 . es sob e, eamos que ambién lo es . Pues o que G es compac o, ~(G) ambién lo es . Bas a, pues, demos a que *(G) es denso en lim G/U . F Un abie obásicode lim G/U  iene la o ma F W  =  (1 im G/U  ) n [ (  II  G/U) xa, U, xaz U 2 x . . . xa U ] -  U7¿ U S , . . . . U donde  a l e G . Sea V Supongamos que W 7 ¿ ~~, y sea  (a u U) e W . En onces ¿ u l  (a   V)  = a,  U,  (i = 1, . .  , ) . (Hemos iden i icado a l con a u, ) . En onces 3 . G upos de Galois 3 .1 .  Sea Kikuna ex ensión de cue pos algeb aica, no mal y sepa able ( es deci una ex ensión galoisiana), y sea G = G(K1k) su g upo de Galois, es deci el g upo de los au o mo ismos de K que dejan ijos los elemen os de k . Si la ex ensión KIk es ini a, sabemos que exis e una co esponden cia biuní ocaen e los cue posin e medios de la ex ensión y los subg uposde-G . Es a co espondencia es á dada po el siguien e pa de unciones in e sas : ~ y de inidas así : a un subg upo H de G le asociamos el cue poin e medio, L = ,), (H) = { x e K I a (x) = x, V a e H } ; y a un subg upo in e medio L le hacemosco esponde el sub g upo de G H = `~ (L) = { a e G 1 a (1) =  1, !/le L } . (Véase, e .g ., [9], p . 80) . Si aho asuponemos que la ex ensión KIk es in ini a, es ácil encon a ejemplos que mues an que al co espondencia no exis e, en es a o ma an gene al . De hecho puede muy bien ocu i que la unción 1 que acabamos de de ini , asigne el mismo cue po a dos subg upos dis in os de G . Puede e seun ejemplo de es a si uaciónen [7], p . 3) . Si bien la unción $ no es inyec i a, la unción ~ sí que lo es, como se deduce del siguien e esul ado que es inmedia o : L,9 (L) = L, pa a odo cue po in e medio L . Podemos, po an o, deci que exis e una co espondenciabiuní o- ca en e el conjun o de los cue pos in e medios L de la ex ensión KIk, y los subg upos de G de la o ma ~(L) . Es a a i mación, ob ia, no end ía mucho in e és a no se que pudie amos ca ac e iza los subg upos ~(L) de G de alguna mane a más na u al . Pues bien, demos a emos más adelan e, que los subg upos I(L) son p ecisamen e los subg upos ce ados de G, cuando aG se le conside a como un g upo opol6gico con la opología que de ini emos a con inuación . 3 .2 .  Conside emos la colección {K, I ie I} de odos los subcue pw de K queson ex ensiones galoisianas ini as de k . Tenemos en onces que y es inmedia o que mal en G, y (i) cada uno de los g upos de Galois G(KIK 1 ) es no - (ü)  n G(KIK,) = 1 . ieI Po an o (c . [1], p . 222) . los subg upos G(KIK S ), de e minan un sis ema undamen al de en o nos, que hacen de G un g upo opol6gico . Es a opología que acabamos de de ini , se denomina la opología de K ull del g upo de Galois G . De aquídeducimos que la ó bi a de , bajo la acción de G, es ini a . Digamos que son los dis in os elemen os de esa ó bi a . Conside emos el polinomio Bajo la acción de G, es e polinomio se ans o ma en sí mismo . Po an o sus coe icien espe enecen a k . De aquí deducimos que KIk es una ex ensión algeb aica . Pues o que las aices de P(X) son dis in as, KIk es sepa able . Los conjugados de es án en e los elemen os 1, 2, . . . n, y po an o pe enecen a K, i . e ., KIk es una ex ensión no mal . Es deci KIk es galoisiana . Po cons ucción G es un subg upo deG(Klk) . Es a inclu- sión es una unción con inua . Pues, supongamos que lo an o = i . 2 . n P (X)  =  (X -  1 )  (X - 2 )  . . .  (X -  n). K,  =  k (ai 'C12 ' - -  , CL. ) es una subex ensi6n ini a galoisiana de KIk . En onces s G(K,Ik)n G ? n G i=1 a, s Pe o como acabamosde e ~~ G  es abie oen G, y po i=1 a, G (K , 1 k)  n G ambién lo es . Pues o que G iene la opología inducida po G(K1k), y pues o que G es compac o, enemos que G es ce ado en G(KIk) . Po o a pa e k es el cue po de elemen os ijos an o de G, como de G(KIk) . Tenemos pues, po el Teo ema 3 .6, que G = G(K1k) . 3 .8 . Ejemplos 1) Sea IF, el cue po con 1 elemen os, donde 1 es un nú- me o p imo, y sea IF, su clausu a algeb aica . Pa a cada nú- me o na u al n, exis e una única ex ensión IF I (n) de IF, de g ado n . Cla amen e, Tenemos,pues, que p-ádicos . G(IF (n) I IF ) z  Z  / n  Z, (el gene ado  1+ n Z  se hace co esponde con el F,- au o- mo ismo de IF (n)  dado po T (x)  = x1) . G (IF I F)  lim  Z/  n Z  =  Z 2) Si 1 y p son núme os p imos y IFa la unión de odas las ex ensionesde IF de g ado p", en onces G (F  I  IF)  z  1 im  Z/p° Z =  Z F  D Nó ese que Z D es el g upoadi i o del cue po de los núme os 1 7 4 . G upos lib es 4.1 . Deno emosmedian e B  ( espec i amen e BP ) la ca- ego ía de los espacios de Boole (es deci , espacios opoló gicos compac o's, Hausdo y o almen e discon inuos), y unciones con inuas ( esp . la ca ego ía de espacios opoló gicos de Boole pun eados y unciones con inuas que p ese - an los pun osdis inguidos) . Sea C una clasede g upos ini os que sa is aga las condiciones (i) y (ii) de § 2 . Dadoun espacio X e B , un g upo p o-C F y una unción con inua di emos que (F,,1), o simplemen e F, con unción n sob en en dida, es un g upo lib e p o-_C sob e X , si pa a cualquie uncióncon inua donde G es un g upo p o-C, exis eun homomo ismocon inuo único con n = u , Es e iden e que si al g upo lib e exis e, ha de se único en el siguien e sen ido : si (F', T) ') es o o, exis e un únicoisomo ismocon inuo ~ :F .-, F' con ~n =TI' . U iliza- emos las no aciones (F C (X), ,1 ) o F C (X) o F(X) pa a e e i nos al g upo lib ep o-C sob e X . Nó ese que F es un un o de adjun o po  la izquie da del un- 18 C la ca ego ía de g upos p o-C . De hecho, FC es el un o o subyacen e que asigna a cada g upo p o-C su subyacen e espacio opol6gico . Si conside amos a los g upos p o-C, como espacios pun eados, dondeun pun o dis inguido es el elemen o ¡den idad, en onces de inimos el un o F C ( ambién deno a do F) de BP a la ca ego ía de g upos p o-C, como el adjun o po la izquie da del un o subyacen e . Decimos que F(X,j ;) ( ambién deno ado P(X)) es el g upo lib e p o-C sob e el espacio pun eado (X,a~) con pun o dis- inguido k . Tenemos pues la siguien e p opiedad uni e sal esquema izada en el siguien e diag ama : (X,*)  -Ti >  F(X,*) donde  1, U 1 = 4 .2 P oposición Las unciones canónicas son monomo ismos . G X  -a  F (X) ,  o  n  :  X  --i  F (X) Demos ación : Sean x y  dos pun os de X . Sea G un g upo en C con IGI > 1 . En onces exis e una unción con inua . XG con U(x) ~,(y) (es o se sigue del hecho que de odo espacio de Boole X  admi e abie os y ce ados) . Sea  : F(X) el co espondien e homomo ismo . En onces de gueque U(x) 9 i i :(y), es deci que ,y es 1-1 . 4 .3 . Teo ema . F(X) exis e ( espec i amen e, P(X) exis e) . y la opología una base de conjun os -~ G (o U : F (X)  G) se si- Demos ación : Sea D el g upo lib e abs ac o sob e el conjun o X( es- pec . X {*}, donde ,F es el pun o dis inguido de X) . Sea el conjun o de los subg upos no males N de D ales que (i) D/N e C , (ii) N n X  es abie o en X (en el caso pun eado, se iden i ica con 1 e D) . Pongamos F (X)  =  lim  D/N F N e J~ ( espec . F(X) = 1im D/N) F NeJV Sea Tl  :  X ----> F (X) 2 0 ( espec . B  :  X - . ., F (X) ) , la unción con inua na u al . Se comp ueba,en onces, con acilidad que (F (X) , T1) ( espec . (F (X) , , n)) , es un g upo lib e p o-C sob e X ( espec . sob e el espacio pun eado X) . 5 . Es uc u a de los g upos lib es 5.1 . . Sea X un espacio de Boole . Conside emos el conjun o R de odas las elaciones de equi alencia en X, de mane a que X/R, con la opología cocien e, sea un espacio ini o disc e o ; es oequi ale a deci , que cada clasede equi a lencia xR (de e minada po el pun o x e X) es un conjun o abie o y ce ado . El conjun o ' R no es acío, pues o que los subconjun os de X abie os y ce ados o man una base pa a la opología de X . Las unciones con inuas canónicas inducen una uncióncon inua X -, lim X/R F R (Nó ese que R es á o denado así : R < R' si y sólo si xRx' = :> xR'x') . Pues o que cada IR es una unción sob e, se iene que I(X) es denso en lim X/R( e el azonamien o en el eo ema 2 .4) E y pues o que I(X) es ce ado, I es sob e . Po o a pa e, es 1-1, pues dados x ~ y en X, sea U un en o noabie o y ce ado de x que excluya a y . Conside emos la elación 21 R U que iene como clases de equi alencia U y X-U cla amen e 5.2 . Lema ~R  (x)  '-,  ~ R  (Y) . U  U de donde  ~ (x) y¿ ~~ (y) . Hemosdemos ado po an o el siguien e esul ado Todoespacio de Boole es lími e p oyec i o de espacios ini os . El siguien e eo ema exp esa los g upos lib es sob e cualquie espacio, en é minos de g upos lib es sob e es- pacios ini os . Cada unalas unciones w  _nd ,  ., . . homomo ismo con- R' inuo que deno amos ambién po ~R ~ R :  F (X)  - F (X/R) Si R_> R', exis e un epimo ismo inducido, 1 RR'  F (X/R)  -~ F (X/R' ) Ob enemos, po an o, un homomo ismo con inuo, ~ :F(X)  -, lim F(X/R) . 1 es cla amen e sob e . Pa a e que ~ es 1-1 bas a áde ini un homomo ismo con inuo lim F (X/R)  - j  F (X) al que  sea la iden idad de F(X) . Dado un subg upo abie o U de F(X), de inamos una elación  RU en X de la o ma siguien e : esul ado . 5 .3 . Teo ema -1 x RUy  ax  y EU . Es á cla o que R U ER, y la inclusión, X/RU (- , F(X)/U, induce unciones con inuascompa ibles l ¡m F (X/R) -~ F (X/R U ) -~ F (X) /U, y po an oun homomo ismo Aho a bien, del diag ama lim F (X) /U  =  F (X) . lim F(X/R)  F  F (X) I  ~  I u F(X/R U )  ` F(X)/U , se deduce ácilmen e que pa a cada U, UV i ~ ~ = PU , y po Todog upo lib ep o-C es el limi e p oyec i o de g u pos lib es p o-c sob e espacios ini os . an o ~~ = 1F(X)-  Hemos, pues, demos ado el siguien e Esencialmen e la misma demos ación nos p ueba 5.4 . Teo ema 6 . G a os de Boole 6 .1 . Un g a ode Boole  consis e en un pa de uncio nes con inuas, 6 .2 . Ejemplos X í , en onces F(X) = lim F(X~) . d o A ( )  V( ) d i d o (a)  es el o igen de a  y  d i (a) es el pun o inal de a en e los espacios de Boole A( )  y V( ) . El espacio A( ) es el espacio de las a is as (o ien adas) de . Si aCA( ), 1) Todo g a o ini o (o ien ado) es un g a o de Boole . E .g ., la siguien e igu a ep esen aun g a o de Boole ini o : 2)  Sea G un g upo p o ini o, y X un subconjun o ce adode G . De inamos un g a o de Boole = (G,'X) asociado a G y X de la o ma siguien e : V( ) = G (como espacio opológico) ; A (P) =Gx X (con la opología p oduc o) ; si (g,x) E Gx X, pongamos d o (g,x) = g, y d l (g,x) = g x . Es e iden e que las unciones así de inidas, (e,a) d i son con inuas . E .g ., si G es el g upo simé ico S 3 = {a =  (1, 2) , p  =  (1 2 3) , e =(1) , ap = (2 3) , ap2 = (1 3) } , y X = {n,E1}, en onces (G,X) es el g a o a p2 V nn Z = U . Si los g upos A y B son ini os, podemos des compone los en sumas di ec as de sus p-componen es . Po an o podemossupone que ambos g upos A y B son p-g upos i- ni os . Si p di ide el o den de algúng upoen C, en onces A, B e C, y po an ocoinciden con su compleción . Si p no di ide al o den de ningún g upo en C, en onces las com- pleciones de A y B son i iales . 6 .11 Nó ese que, po la p oposición 6 .9, el concep o de C-aciclicidad es independien e de C, en el caso de que el g a oconside ado sea bienun g a o ini o o bien el lími e p oyec i o de g a os C-acíclicos ini os . Ve emos más adelan e (Teo ema 7 .6) que en gene al, el concep o de acicli cidad dependede C . 6 .12 Dado un espacio de Boole X, el homomo ismo 6 . 13 Lema :  C¡ (X)  -- a  ZC 32 de e minado po  c (x) = 1  V x E X, se denomina homomo ismo de aumen ación . Su núcleo, ke s , se deno a median e I . x Desc ibi emos p ime amen e gene ado es opol6gicos pa- a el g upo I . Necesi amosan es algunas obse aciones . x En la ca ego ía de g upos abelianos ini amen e gene- ados, el un o C-compleción es exac o . Demos ación : Sea una sucesión exac a de g upos abelianos ini amen e gene a- dos . Conside emos la co espondien e sucesión de g upos abe lianos p o-C : donde - deno a la compleciónp o-C . Ya hemos is o, en el lema 6 .10, que ep es un monomo ismo . Bas a pues e que Ú es el conúcleo de ~ . Supongamos que A -L . . K sea el conú- cleo de cp, en la ca ego ía de g upos abelianos p o-C . Pues o que  0, exis e un homomo ismo con inuo n : K - . ., C alque 7 ,1= p . 6 . 14 P oposición 0 , A ! B- J1-,  o 0 -, A - C L-> B -~ C ' 0 0 --, A ' -, B - - " C Po o a pa e, pues o que  S cp = 0, exis e  b : C --+ K con 6 ji, = pR . Sea  S : C -, K  el homomo ismo con inuo induci do po 6 . Es ácilcomp oba que ny5 son isomo ismos in e sos . Si X es un espacio de Boole, en onces 2 X es el subg u- po ce ado de (9,(X) gene ado po los elemen os {x -y I x . y e X} . De hecho,  I X es el g upop o-(C-abeliano)  lib esob e {x - x o Ix E X}, donde x ) es un elemen o ijo de X . Demeos aci6n : Sea R una elación de equi alencia en X abie a y ce- ada (es deci , las clases de equi alencia de R son abie_ as y ce adas en X) . Tenemos en onces un diag ama conmu a i o con ilas exac as, e o ---~ I X  : a(X)  z  o . e  _ o ---> I X/R ---~  0,(X/R)  zc  -  ' . o . Po el Teo ema 5 .4, lim 0-(X/R) = am . Po o a pa e el un o lim es exac o (c . [7], p . 35) . Tenemos pues que F I X = lim I  Po an obas ademos a nues o esul ado <- X/R cuando X es un  espacio ini o . Aho a bien, po el Lema 6 .13, I es la C-compleci6n de ke c l, donde X e, : L(X) __+ Z , es el homomo ismo de g upos abelianos di_s c e os dado po E 1 (x) = 1, Vx e X, y donde L(X) es el g upo lib e abelianodisc e o sob e X . Pe o es bien sabido (e inme diá o), que ke e l es el subg upo de L(X) gene ado po {x - y1 x,  y e X} .  Como  I  es  la clausu a de ke e l  en  a (X), X enemos la p ime a pa ede nues o esul ado . Pa a demos a la segunda pa e, supongamos p ime o que X es ini o y sea x o e X un elemen o ijo . Es ácla o que ke e l es un g upoabeliano lib e (disc e o) sob e {x - x o 1 x E X } . .Aho a,bien, po el . Lema . 6, .,13, _la C-cumple i_ ci6n de ke .E~  coincide .con el -subg upo ce ado de-a .(X), _ : . gene ado po . {x - ; x,  :x E_X  :Pe o la C-compleci6n,de ,ke .,e ;, es el g upo p o- (C-abeliano)  lib e sob é -{x' -x . .~I  x " E " X :} El esul ado en el caso gen al, es deci cuando X es un es pacio de Boole  cualquie a, se 'ob iene del caso ini o o mando el limi e p oyec i o . 6 .15  Di emos que un g a o de Boole , sucesión es exac a, es deci 6 .16 Lema á a (A ( )~)  d > Q'( (F) ) -& ) - d ( a(A ( ) ) =IV( )  ' Un g a o ini o es C-conexo si y sólo-si es conexo en el sen ido o dina io, es deci , si dos cualesquie a de sus é icesse pueden uni po mediode un camino en- .  - - Demos ación : Supongamos que es conexo en el sen ido o dina io, y sean  J, 2 E ( ) . Sean a,,a2""' a las a is as consecu i as de un cami no de ^ a  . .  En onces 2 - ,=  (-1) 6l  d (a l )  +  (-1)'2  d (a .) _ + + " -" + ( -1)I d(a ), donde ¬ 1 = 0, 1 según sea necesa io . Es o demues a que d(a(X)) = I V( ) ' Recíp ocamen e, suponga- mos que es C-conexo . En onces d(C¿(A( )) =I V( ) . Dado un é ice ijo ,) y un é ice cualquie a , necesi amos demos a que exis e una sucesión ini a de a is as a l , a 2 ,..  , a de mane a que -V O  d(a ), i=1 donde e l = 0,1 . Si al sucesión de a is as no exis ie a pa a cie o i , en onces I ( ) es a ía con enido en el subg u po ce ado de a(V(]-» gene ado po { - o I e V( ), l } . Pe o es e subg upo no con iene a i - ., pues o que el sub g upo ce ado de Ü_(V( )), gene ado po { - o 1 e V( )}, es lib e p o-(C-abeliano) sob e esa base ( e la P oposición 6 .14) . 6 . 17 P oposición Pa a un g a ode Boole , el concep o de C-conexión es independien e de la clase C . Demos ación : Po el Lema 6 .16, el esul ado es cie o pa a g a os i- ni os . Los epimo ismos de g a os de Boolep ese an la C-co- nexión . Todog a o es el limi e p oyec i o de g a os ini os ( e P op . 6 .4), que desde luego son imágenes epim6 icas de . Po o a pa e, el limi e p oyec i o de g a os C-conexos es C-conexo . Teniendoen cuen a es a p oposición, de aho aen adelan e u iliza emos el é mino de g a o de Boóle conexo, en ez de C-conexo . 6 .18 __ P oposición Sea G un g upo p o ini o, y X un subconjun o ce ado de G . En oncesel g a o de Boole = (G,X) es conexo si y sólo si X gene a a G opológicamen e . Demos ación : Si G es un g upo ini o, la p oposición es inmedia a . Si U es un g upoabie o no mal de G, deno emosmedian e X U la imagen canónica de X en G/U . El conjun o X gene a a G opológicamen e si y sólo si pa a cada U, el conjun o XU gene a a G/U . Po úl imo, (G,X) = lim (G/U, X U ) . E El esul ado se sigue, po an o, de 1)  el limi e p oyec i o de g a os de Booleconexos es conexo,y 2)  la imagen de un g a ode Booleconexo es conexa . 6 .19  Se dice que un g a ode Boole es un C-á bol si es a la ez conexo y C-acíclico . Es deci si la siguien e sucesión de g upos p o-(C-abelianos) es exac a o  -~, Q (A ( ) )  d -+  CL ( ( ) ) 7 . Ca ac e ización de los g upo s lib es p o- 37 Sea H un g upo lib e disc e o y X un subconjun o de H . En onces Bass y Se e ~81, demues an que H es lib esób e X si y sólo si el g a o (H,X) es un á bol (disc e o) . La si uación en el caso p o ini o no es, desg aciadamen e, an simple . Sin emba go, si nos es ingimos a cie as clases C, e emos que ob enemos un esul adoanálogo . Necesi amos p ime amen e una se ie de concep os . Si G es un g upo p o-C, el g upop o-(C-abeliano) G,(G) es, de hecho, una  ZC -álgeb a donde su es uc u a mul iplica i a es á de e minada po las de  Z C  y G . Cuando nos e i amos a es e álgeb a, u iliza emos la no ación  a_2(G) . De mane a especi ica donde (G)  =  l¡m  Z C [ G/U] . ZC [G/U] deno a la  ZC -álgeb a del g upo G/U . El ál- geb a  W (G) posee una opología na u al, y con espec o a ella es una Z C -algeb a una de inición p ecisa) . Sea PM la ca ego ía de los Clj(G)- m6dulos opol6gicos A, ales que A sea, al mismo iempo, un g upo abeliano p o-C (és a es p ecisamen e la ca ego íade los (,¿£(G)-módulos pseudocompac os [2], y [4], p . 61) . 7 .1 Lema Sea G un g upop o-C . En onces De (G, M) ;z~ Hom pa a odo M c pm  , donde De (G,M) es el g upo abeliano de las de i acionescon inuas pseudocompac a (c . [29, pa a (es deci , d(u, ) =u d( ) + d(u), pa a odo u, eG) . Demos ación : Ve emos que exis enhomomo ismos in e sos De  (G,M)  Hom 6U (G)  (I G ,  M) . Po el lema 6 .14,' I G es el g upo abeliano p o-C lib e sob e {g - 1 1 g e G } . Si d e De (G,M), pongamos ¿(d) = , donde (g - 1) = d(g) . Se comp ueba acílmen e que e Hom CÁ .P (G) (IG,M) . Si e HomOLQ(G) (I G , M), pongamos Y ( )  = d,  donde d (g)  = (g - l) .  En onces d  e De  (G,M), yy son homomo ismos in e sos . 7 .2 . Si A es un  ~U(G)-módulo pseudocompac o,  e Y ; un espacio de Boole, decimos que A es lib e sob e Y  (con es pec o a una uncióncanónica  Í : Y , A) si pa a cada QQ(G)-módulo pseudocompac o B y cada uncióncon inua ¢ :Y , B, exis eun único homomo ismo de módulos -~ : A -, B,  con y Si A y B son dos g upos abelianos p o-C, se de ine su p oduc o enso ial comple o A ® ZB  = A 0 B, como el g u C po abeliano p o-C que sa is ace la p opiedad uni e sal si- guien e : exis e una unción bilineal A X B , A ® B , (a,b) F--4 a ® b, y si M es un g upo abeliano p o-C, y : AXB ~ M es una unción bilineal, exis e un únicohomo mo ismo con inuo : A ® B  M , al que (a(9 b) = (a,b) . Es inmedia ocomp oba que A ® B exis e y de hecho A ® B  =  1 im  (A /U ® B/V) , F - U,V donde U, V a ían sob e el conjun o de subg upos de A y B espec i amen e . Nó ese que si X e Y son espacios de Boole, en onces 7 .3 Lema CL(X X  Y )  =  a (X)  ®  a( Y) . Sea X un espacio de Boole ( espec . un espacio de Boole pun eado) y F(X)'elg upo lib ep o-C sob e X ( espec . F(X) el g upolib ep o-C sob e el espacio pun eado X) . En onces, (i) I F(X) es el QQ(G)-módulo pseudocompac o lib esob e el espacio pun eado { x - 11 x E X }) ; (ii) IF(X) es el g upoabeliano p o-C lib esob e el espaci_n F(X) X X con espec o a la unción canónica n : F(X)X X -> IF(X), P dada  po  TI ( ,  x)  =  x -  . Demos ación : Expond emos la demos aciónsolamen e pa a el caso en que X es no pun eado . El o ocaso es simila . Sea M un 0Q(F(X))-módulo pseudocompac o, y sea X . .> M una unción con inua . Pues o que M es un g upo p o-C,  p induce un homomo ismo con inuo, F (X) -, M, que a su ez induce un homomo ismo con inuo, p  :  F (X) _ . a Mx s F(X), dado po P ( )  ( ), ) . (M x S F(X) es el p oduc o semidi ec o, donde F(X) ope a sob e M a a és de W(F(X)) .) Aho a bien, la composición, con _  d : F (X) ? M x S F(X) -,  M, donde nes la p oyección canónica, es una de i ación con i- nua como se comp ueba ácilmen e . Po el Lema 7 .1, d de e - mina un aQ(F(X))-homomo ismo con inuo d  (x -1)  = d (x)  =  p (x) . Es deci , enemos un diag ama conmu a i o IF (X) X a M donde  ~(x)  =  x - 1 . Nó ese que sólo hay un W (F(X)-homomo ismocon inuo a , que hace que es e diag amaconmu e, pues- o que IF(X), como 0,2(G ' )-módulo, es á opol6gicamen e gene a do po {x -1 I x e X } . Po an o I F(X) es 0£(G)-lib e sob e 41 es exac a, donde j es á inducida po u . Pues o que p es un monomo ismo, ambién los es jj (es o se siguede una combi nación del Lema 6 .10, el Teo ema 5.4 y el hecho que lim p e _ - se a monomo ismos) . Pues o que X gene a a F(X) opológica- men e,  enemos que im d = ke e .  Po el Lema 7 .3,  1 F(X)  es el QJ(G)-módulo lib e pseudocompac o sob e el espacio pun- eoado X, con uncióncanónica n : X ---> IF(X), dada po n (x)  =x- 1 . Deducimos po an o del Lema 7 .8 que im ~= ke d . Recíp ocamen e, supongamos que G es un g upop o-C y X un subconjun o ce ado de G que con iene al elemen o 1 . Su- pongamos que C consis e en g upos esolubles, y que la suce sión 0 -n U(G) --i CL (G X X)  Q(G)  Z C --P 0 es exac a, donde j(g) = (g,l) . En onces d induce un isomo - ismo (que es á cla o es isomo ismode W (G)-módulospseu- docompac os) (2 (G X  X) / il ( Cl . (G) )  -  IG . Po consiguien e I G es un 01(G)-módulo pseudocompac o lib e sob e el espacio pun eado X con unción canónica, 71 : X -, I G ,  dada po D (x) = x - 1 . U ilizandoun a gumen o simila al de la P op . 7 .5, deducimos que G es lib esob e el espacio pun ado X . 8 . G upos ope andosob e g a os 8.1  Sea G un g upo p o-C y sea un g a o de Boole . Di e- mosque G ope a sob e , si ope ade mane a con inua sob e V( ) y A ( ) , de o ma que 48 d l (x a)  =xd 1 (a) ,  V  x  E  V ( ) ,  a  E  A ( ) ,  i  = 0, 1 . Dada es a si uación, de inimos el g a o de las ó bi as G de la mane a siguien e : los é ices de G son las ó bi as de V( ) bajo la acción de G (es deci el espaciococien e V( )/R', donde R' es la elación de equi alencia en V( ) de inida xR'y o 3 g e G con x = gy ; nó ese que R' es ce a da y que V (I') /R'  . es un espacio de Boole) ;  las a is as de G son las ó bi asde A( ) bajo la acción de G (es deci el espaciococien e A( )/R, donde R es la elación de equi alen cia en A( ) de inida po xRy a 3  g eG con x = gy) ; y las uncionescon inuas do es án inducidas po d oyd i . 8 .2 Ej emplo . A (1') /R  ( )/R' á, Sea G un g upop o-C y X un subconjun o ce ado de G . En onces G ope a de mane a na u al sob e (G,X) (en los é ices, u ilizando la mul iplicación de G, y en las a is as (g,x), ope ando sob e la p ime a componen e) . Nó ese que G (G,X) iene un solo é ice, y el espacio de sus a is as es homeomo o a 'x . 8 .3  Si G ope a sob e , di emos que ope a lib emen e si gx=x o g = 1 (x e A( ) U ( )) . En el ejemplo an e io , es ácil e que G ope a lib emen e sob e (G,X) . El esul ado inal al que que emos llega en es a sección, ca ac e iza (bajo cie as condiciones) a los g upos que ope an lib emen e sob e C-á boles . Necesi amos p ime amen e unos e- sul ados auxilia es . 8 .4 Lema V(4) = V(T O ) U V(T 1) . Sea un C-á bol o un pseudo-C-á bol, y sean T O y T i sub g a os conexos de , que no engan ni a is as ni é ices en común . Exis e en onces como máximo una a is a a cA( ) con do (a) e V(TO) y d j (a) e V(T 1) . Demos ación : Supongamos que exis an dos a is asdis in as a y a' en A ( ) ,  con  d l (a)  =  e  V (T 1 ) ,  y  d l (a')  =  i  e  V (T 1 ),  i=0,1 . Conside emos el subg a o A de , de inido po A (A)  =A (TO)  U  A (T, )  U  {a}  U  {a'}, Pues o que T O y T,,  son conexos, exis en  u1  a Q,(A (T 1)) con d(u 1 ) = l - 1 ,  (i=0,1) . Pongamos y=u O + a, z = u, + a' . En onces, d(y-z) = 0 . Si es un C-á bol, es o implica que y = z . Si es un pseudo-C- á bol, en onces y = z (mod p 0-(V( ))), donde 1 7 : a(V( )) -, a(A( )) es el homomo ismos asociado con el pseudo-C-á bol . Pues o que 0 . (A (V) )  n j(0 .(V( ))  CCl .(A(T O )  U A(T,)), enemos, en ambos casos, que 0_  y  -  z  =  a  -  a'  (mod  0, (A (T O )  U  A (T, ) ) ) . Pe o es o es imposible, pues conside emos el g a . o ini o p que iene un solo é ice , y esa is as  y 1 ; de inamos un mo ismode g a os 8 .5 Lema G po  TT(V(TO)  U  V (T, ))  =  { }, que no es posible . T (a) = á,  (a') = ~' ,  y TT(A(TO ) U A(T,)) = {1} . En onces - a -'al  es un  Z C- múl iplo de 1  en  Q . (A ( - E) ) ,  lo Sea un C-á bol ( espec . un pseudo-C-á bol) . Sea T un sub-C-á bol ( espec . sub-pseudo-C-á bol) . Si a e A( ) y d o (a), di(a) B V(T), en onces a E A (T) . Demos ación : Pongamos d, (a)  = ! (i = 0, 1) .  Exis e en onces u E a (A (T) ) con du = i - O . Po an o a - u E ke d . De donde, si es un C-á bol, enemos a=u E  Q . (A (T) )  l A ( )  = A  (T) . Si es un pseudo-C-á bol, enemos a  -  u  (mod 11  Q . (V ( ) ) ) . Conside emos el subg a o A de P, de inido po A(A) = A(T)A{a}, V(A) = V(T) . Tenemos y po an o es deci 8 .6 Dado un g a o de Boole , decimos que un sub-C-á bol o 1 un sub-pseudo-C-á bol T de es maximal si V(T) = V(- ) . Si un g upo p o-C G ope a sob e un g a o de Boole , exis e una e iden ep o ecci6n canónica de g a os de Boole 8 .7 Teo ema a (A (A) )  (1  jj a (V (7) )  c  CL (A (T) ); a =_ u = 0  (mod  Q (A (T) ) ; a e Q, (A (T) ) l A ( ) = A (T) . Di emos que un subg a o L de G se puedeele a a si exis e un subg a o L' de alque ~, es ingido a L' es un isomo ismode g a os L --, L Supongamos que un g upo p o-C G ope a lib emen e sob e un C-á bol ( espc . un pseudo-C-á bol) , y queG con iene un sub-C-á bol maximal ( espc . un sub-pseudo-C-á bol maxi mal) T', que se puede ele a a . Supongamos, además, que ' - (G,S) . Es a isomo ismo es ob io en los é ices . En el espacio de las a is as es la unción dada po a = A ( ') --~  G x S a (a') = (g, g -1 9 1 ) , donde a' deno a una a is a de gV(T) a g 1 V(T) . Es ácil comp oba que " a es una unción con inua y sob e . Po o a pa e, a(x a') = (xg, g -l g1 ), V x e G . Po an o, pa a e que a es 1-1, es su icien e demos a que si a l y a z son dos a is asen ' que an de T a gT, en onces a (al )  =  a ( a z )  =  (1, g)  --,  a,  =  a Z . Si g Y' 1, es o se sigue del Lema 8 .4, y si g= 1, del Lema 8 .5 . Pa a comple a la demos ación de es e esul ado, bas a, pues, p oba que ' es un pseudo-C-á bol ( e Teo ema 7.9) . Nó ese p ime amen e que el núcleo de la p oyección na u al o . (V ( ))  -- .  o, (V ( ')) es el subg upoce ado de  Q (V( )) gene ado po {g (x-Y)  1  x,  Y e  V(T),  g E  G  } . Es e núcleo coincide, po an o,  con la imagen d(CL(G A(T)), pues o que cada gA(T) es conexo . 0-->  CL (V( '))  5 ,  a (A ( '))  d ,. Cl(V( ')) Sea 0, (A ( ) )  d  - 0 ( ( ) ) V( 1) --~ A( ') la unción 5 Z(gV(T)) = g A(T) . Es e iden e que 5 es el ni- elado de dó :C (V( )) : Q(A( )) asociadoal pseudo-C-á bol . Po o a pa e, es á cla o que 5 4 z C Sea i el homomo ismo inducido po 9 ( e el diag ama), y deno emos median e  las p oyecciones na u ales . Nos al a demos a que im 5 = ke d' .  Desde luego d'! = 0 . Supon gamos que d' (z)  = 0,  y sea  W e  Q (A ( ) )  al que n (W)  = z . En onces nd(w)= 0, y po an o d(w) = d(w'), donde w'  e  a (GA (T) ) .  Cla amen e  T (W)  e im 3  .  Aho a bien,  si es un _C-á bol, en onces  w = W ',  y po consiguien e z e im j Si,po el con a io, es un pseudo-C-á bol, en onces W- w' es áen la imagen del homomo ismo 8 .8 Co ola io 9 . Aplicaciones lubles . n (im 17) C :  im  . Po consiguien e, n w  - w'  e im ~ - 1, y po an o, z= nw e im ~ . Si odos los g upos en C  son eso lubles, yG es un g upo  p o -C, en onces  G es un g upo lib e p o-Csob eun espacio de Boole pun eado, si y s61o si G ope a lib emen e sob e un pseudo-C-á bol de al mane a G con enga un sub-pseudo-C-á bol maximal que pueda se ele ado a . Demos ación : Una de las implicaciones es simplemen e el Teo ema 8 .7 . Recíp ocamen e, supongamos que G = F(X) es el g upo lib e p o-C sob e el espaciopun eado X . Cla amen e F(X) ope a lib emen e sob e el g a o = (F(X),X), que como hemos is o (Teo ema 7 .9) es un pseudo-C-á bol . El g a o G s61o ieneun é ice, y po an o G con iene un pseudo-C-á bol maximal que e iden emen e puede se ele ado a . que Supond emos en es a sección que los g upos en C son eso- 9.1  Que emos u iliza los esul ados ob enidos en las seccio nes an e io es, pa a desc ibi la es uc u a de cie os sub- g upos ce ados de g uposlib es p o-C . En cada uno de los casos que amos a es udia , enemos la siguien e si uación gene al . Sea F(X) ( espc . F(X)) ung upo lib e p o-Csob e un espacio de Boole pun eado ( espc . no pun eado) X, H un subg upo ce ado de F(X) ( espec . F(X)) . Conside emos el g a- odos los g upos en C son esolubles . En onces, G es un g u po lib e p o-C sob e un cie o espaciode Boole que desc ibí emosexplíci amen e en la demos ación . Demos ación : Sea T el "ele ado" de T' a . De inamos un g a o de Boole ' con e ices con a is as V( ')  =  V ( )  /  RV donde R V es la elación de equi alenciace ada V( ) cuyas clases de equi alencia son gV(T) (una pa a cada g eG) ; A ( ') = A( )/RA donde RA es la elación de equi alencia ce ada de A( ) cuyas clases de equi alencia son po una pa e, g A(T) (una pa a cada g c G), y po o a {a} (una pa a cada a sA ( ) U g A (T)) ; y con unciones gFG d ' 0 inducidas po d o y d l . Conside emos el subconjun oce ado de G S = {g e G ~ 3 a e A ( )  con  d o (a) s T y d j (a) e g T } Vamos a demos a , p ime amen e, que 5 6 o i, =  (F (X) ,X) .  ( espec .  = (F (X) ,X) ) .  F (X) ,  y po an- o H, ope a lib emen e sob e i' . de mane a na u al : po ejem plo,  en el caso pun eado,  si  e  F (X)  y E (I')  = F (X) , en onces es simplemen e mul iplicaciónen F(X) ; si E F(X) y ( ', x) e A( ) = F(X) x X,  en onces ( ',x) = ( ', x) . El g a o de las ó bi as H , iene como é ices las clases (digamos a la de echa) de H en F(X) ; y como a is as los pa es (H , x), ( e F(X)) . Pa a pode aplica el Teo ema 8 .7 (que es lo que amos buscando), enemos que pode e i ica sus hipó esis, es de- ci , quepo una .pa e H  con iene un sub-pseudo-C-á bol maximal ( espec . un sub-C-á bol maximal), y po o a, que és e se puede ele a a . En odos los casos que amos a es udia , u iliza emos siemp e es a no ación . 9 .2 Ejemplo Sea H un subg upo abie o de P(X) . Conside emos el g u- po lib e disc e o D = D(X -})  sob e el conjun o X donde 3 es el pun o dis inguido del espacio pun eado X . En- onces (c . Teo ema 4 .3), D es un subg upo densode F(X) . Escojamosun sis ema de ep esen an es  de Sch eie de D n H en D (c . [5], p . 93), es deci , un sis emacomple o de ep esen an es, T = { go =l, g,, g 2 , "" , g, .}, D j F (X) u D l HH In oducción . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.- Limi esp oyec i os . . . . . ..................... . . . . . . . 3 2 .- G upos p o ini os . . . . . . . ............. . . . . . . . . . . . . . . . 4 3 .- G upos de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . 8 4 .- G uposlib es . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . ........ . 18 5.- Es uc u a, de los g upos lib es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 6 .- G a os de Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 7 .- Caxac e izaci6nde los g upos lib es p o-C . . . . . . . . . . 37 8 .- G upos ope ando sob e g a os . . .............. . . . . . . . 48 9 .- Aplicaciones . . . . . . . . .. . . . . . .......... . . . . . . . . . . . . . . . 55 Bibliog a ía . . . . . . . . ......... . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . 63