Puntos de reposo genéricos y trayectorias periódicas de semisistemas dinámicos definidos por ecuaciones diferenciales funcionales

PUNTOS DE REPOSO GENERICOS Y TRAYECTORIAS PERIODICAS DE . SEMISIST .EMAS DINAMICOS DEFINIDOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES FUNCIONALES . iUl~ ' ~4' VI , Tesis p esen ada pa a aspi a al g ado de Doc o en Ciencias po Ca los Pe ell6 alls . UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BARCELONA Bella e a,  Julio . . de  1975 Depósi o Legal B .12020-1976 Es a esis doc o al ue di igida po el D . D . FLORENCIO DEL CASTILLO ABANADES, y ue leída el día 29 de sep iemb e de 1975 en la°Facul ad de Ciencias de la Uni e sidad Au ónoma de Ba celona an e .el siguien e i- bunal PRESIDENTE D . D . Juan Augé Fa e as VOCALES D . D . Joaquín Ma ía Cascan e Dá ila D . D . JuanLuisCe dá Ma ín D . D . Flo encio del Cas illo Abánades VOCAL SECRETARIO D . D . Julián Cu í Sob eg au Cali icación SOBRESALIENTE "CUM LAUDE" INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. ... .. .. . .. .. . . . . . . . pg . 1 CAPITULO I Resul ados básicos conocidos ... .. .. .. . . . . . . . . . . . pg . CAPITULO II Va iedades asin 6 icas a singula idades gené icas . . . . . . . . . .. .. .. ... .. . . . . pg . lg CAPITULO III T ayec o ias pe iódicas en el en o no deun pun o de eposo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pg . 29 CAPITULO IV I N D I C E Ejemplos y comen a ios . . . . . . . . . .. .. .. .. . . . . . . . . . pg . 47 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . .. .. .. . pg . 59 ci6n dé dependencia uncional en e una unción de a iable eal (gene almen e con alo es en un espacio' euclidiano de dimensión ini a), y sus de i adas : Si es a dependencia es s61o en e los alo es de la unción y sus de i adas pa a un mismo alo de y pa a oda en cie o in e alo, se a a de una ecuación di e encialo dina ia . La de inición p ecisa de las ecuaciones de que nos amos a ocupa equie e cie a no ación, y se da en las p ime as secciones de es e abajo . Ejemplos de ecuaciones como las que amos a a a son INTRODUCCION Una ecuación di e encial uncional es una condi- x' ( ) =x ( -1) x' ( ) = ax ( -1) + bx' ( -1) xy+ ( ) = (x ( -1) ,x( -2) ,x' ( -3))  , que se suelen llama ecuaciones di e o-di e enciales . O o ejemplo se ía x'M=g( ° da(9)x( +e)¿lo (e)x'( +e)d8), en que la de i ada de x pa a el alo depende no s61o de los alo es de x en , sino de los alo es de x y de x' en odo un in e alo . En nues as ecuaciones pedi emos que es e in e a- lo dedependencia sea siemp e de longi ud ini a y uni o me- men eaco ado . En es e caso se habla de ecuaciones di e en ciales uncionales con e aso ini o . Es as ecuaciones apa ecen ecuen emen e en la éc- nica, sob e odo como modelos de sis emas en que se emplea un iempo ini o en la ansmisión de in o mación o bien en los llamadossis emas "con memo ia' . Si se quie e plan ea un p oblema de alo inicial pa a es as ecuaciones, nobas a pa a de e mina en o maúnica la solución, conda el alo de x en 0, sino que hab á queda los alo es de x en odo el in e alo de "memo ia" p e io . Así . . po ejemplo, en la p ime a ecuación que hemos esc i o, hab ía que da los alo es de x en el in e alo [-1,0], digamos . Pa a una clase amplia de ecuaciones, que incluye odas las llamadas - del ipo e a dado y una pa e impo an e de las llamadas del ipo neu o, esul a que el p oblema así pues o es á bien plan eado . Dehecho exis i á una única solu ci6n con una condición inicial dada en =0, de inido pa a un cie o in e alo [O,T) y el alo cíe es a solución en depen de á con inuamen e del alo inicial . Resul a en onces que pa a es a clasede ecuaciones se end á que en un cie o espacio' de unciones, a sabe en el espaciode unciones con inuas en un in e alo ce ado de longi ud igual que el e aso máximo, queda á de inido lo que se llama un "semisis ema dinámico lo- cal" . Pa a de iniciones y ejemplos de ecuaciones de los i pos e a dado y neu o, e e i emos a los lib os [l] y [2] . En la eo ía de los sis emas dinámicosde inidos po campos ec o iales di e enciables, iene un luga impo an e el es udio de los pun os de eposo (singula idades) gené icas (po "gené ico" se en iende que las p opiedades que nos in e e san ( opol6gicas enes e caso) son poseidas po la "gene alidad" de los campos) . A es ospun os de eposo gené icos es ánasocia das unas a iedades in a ian es asin 6 icas que juegan un papel básico en la eo ía de la es abilidad es uc u al y las p opie dades gené icas de los sis emas dinámicos di e enciables ( e Po o o lado son impo an es los mé odos pa a de e mina la exis encia de solucionespe iódicas de ecuaciones di e enciales, an o po su in e és den o de la eo ía de solu clones,como po que las ayec o ias pe iódicas juegan un pa- pel impo an e en el aspec o geomé ico de las ecuaciones . El obje o de es a esis es es ablece en el caso de los se misis emas dinámicos de inidos po una clase amplia de ecuaciones di e enciales uncionales, la exis encia de a ie dades in a ian esasin ó icas a los pun os de eposo gené icos, así como da algunos esul ados sob e la exis encia de ayec o ias pe iódicas . En los abajos (41 y 5J sedaban esul ados en es a di ección pa a ecuaciones de ipo e a dado, es deci , de la o ma x° ( ) = (x ), en que x es la unción x es ingida al in e alo de "memo ia" p ocediendo a . Ennues o caso ampliamos los esul ados a ecuaciones de la o ma D g(x ) = (x ) . con cie as es icciones en y g, na u almen e . Es as ecuacio nes incluyen las an e io es y muchas de las del ipo neu o . ,Es a ampliación ha enido que espe a la apa ición del abajo [61 que es ablece los eo emas undamen ales que dan la, descomposición . d e cie o espacio ec o ial, y las co as exponenciales indispensables pa a es a clase más gene al de ecuaciones . Hemos di idido el abajo en cua o capí ulos . En p i me o enunciamos, sin demos ación, los esul ados conocidosde la eo ía de ecuaciones di e enciales uncionales que se u ili zan en los capí ulos siguien es . En el segundo demos a emos A (a) =kI-Xj _0 e e d :(e)- 0 e ae dTl(0) . J  ,l- Resul a que a(A) es un conjun o disc e o y su pa e eal es á aco ada supe io men e . SiA es á en el conjun o esol en e de A, y cpcC, se iene donde (X I-A)' 1 cp (e) = be' +J' ex (e-') cp (§) d§, u b=A(k) - '  (cp(0)+M(cp)+(, $ .i+dTl)( .oex(e-§)cp(1)d§) e Además, si k es una aiz de (3) de mul iplicidad m, se iene que C es la suma di ec a de los subespacios NI := N(hI-A) _ { cpeD (A) : (X I-A)cp = 0 } ,  de dimensión m, y Ra := R (k I-A)= { cpeC : 3 J eD (A)  al que  (JAI-A) m l =9p }, ( e [12] ) . Si k ?m se iene que N(kI-A)'=N(XI-A)k, R(aI-A) _ = R (k I -A) '  . Los subespacios NI - y RI son in a ian es bajo la acción de T( ) . -Po conmu a A con (XI-A) k se iene que N a es in a ian e bajo A . 10 . Si 1 :=(ep, ,. . . .cp m )  es una base de N), y B es la ma iz de i- üida po AJ=IB, se iene que el único alo p opio de B es a, que 1(e)=1 (0)e Be y que T( )J=Je B , eII ' . Como es a exp esión úl ima iene sen ido pa a odo e1R, podemos d ini T ( ) en NI pa a odo alo de en IR po medio de dicha exp esión . De es a mane a queda de inido un sis ema dinámico T en NI . De hecho, dado cpcNI ,  si aen m es al que cp = la,  se iene que T( )cp=lx( ), en que x( ) es la solución de la ecua- ci6n di e encial x' = Bx, con x(0) =a . Tenemos de es a mane a que dada epeC, se puede exp e- sa en o ma única como cp = cp N +cp R , en que cp N  R ENI y T£Rx , y se iene que T ( ) cp =T ( ) cp N+ T ( ) cpR, Se puede ca ac e iza RI median e el ope ado adjun o de A, lo que es ú il pa a los cálculos p ác icos . Re e imos pa a ello al abajo 10] . 11 . En el caso en que M en (2) es nula ocu e que ( e 1_ 2 )) s6 lo hay un conjun o ini o A de pun os de a(A) con pa e eal mayo o igual que un núme o eal dado y, y que ale la aco ación en el aeA . I T( )CP I : 5 Ke"c 1<P1, subespacio de  dado po la in e sección de las RI pa a Se iene ambién que a (T ( )) es exp _ {a(A) }, y que T ( ) es una aplicación compac a pa a >_ . 12 . En el caso en que M no es ce o, nos encon amos en una si- uaci6n muy di e en e, y no podemos asegu a que T( ) es com- pac o pa a ? (de hecho no es necesa io ni que su espec o sea disc e o en T {0}) . Sin emba go, con cie as es icciones en M sigue siendo cie o que si no exis en alo es p opios de A con pa e eal en un in e alo cen ado en y (aunque haya una in inidad dé ellas po pa a eal mayo que y), se puede exp esa Ccomo suma di ec a de subespacios in a ian es en que alen cie as aco aciones exponenciales . Es os esul ados, que hacen posible la ex ensión a ecuaciones neu as de los abajos ' [41 y[5J ; son debidos a D . , Hen y y se hallan expues os en j6] . 13 . La es icción suplemen a ia que se impond á aMde aho a en adelan e es que ~i no iene pa e singula en su descomposi ci6n de Lebesgue, es deci , que 00 ~ 0 (4)  MícP)  (  )cP=  akCP( - k)+~ acp, k =~ en que 0< k <_ , y a, a k son ma ices ales que aCL' l- , 0 1 y ka k es absolu amen e*con e gen e . =1 14 . Lo que se hace en uncional o bien 00 (5)  x ( ) =  a k x( - k ),  ?0, k =1 que se puede esc ibi x ( ) =Mo (x ) N O (x ) = 0, es conside a p ime o la ecuación y cuyas soluciones ienen dadas po el semig upo TO( ) ac uando en el subespacio Co de C que es anulado po No . Es e semig upo es ue emen e con inuo y iene como gene ado in ini esimal al ope ado Ao, cuyo dominio D(A0) ie ne dada po los elemen os de Co cuya de i ada ( espec o a e) es á en CO, y si cpedd, Aocp=cp- . Se iene en onces que si h (X) = de (I- y ak e - X e) , k =1 O (A0) = Pa (AO) ={X e T : h(a) =O} . Nó ese que h es una unción casi pe iódica de a . El espec o de Ao, a di e encia de lo que ocu e con el espec o de A cuando M =0, puede ene una in inidad .de pun os en . una aja de Q con pa e eal en un in e alo ini o . Se iene en onces que si OLORe a(A 0 ), en onces Co = = Po®Qo , Po y Qo in a ian es bajo TO( ), Po es la clausu a de la ex ensión lineal de los NI(A 0 ) pa a odas las X ales que ReX > a, y que TO( ) se puede ex ende en o ma única aun g upo de inido pa a oda e]R en Po (de al mane a que TO( )cp es so luci6n de (5) pa a oda eg ) . Dada cp en , CO, es exp esable en o ma única como cp = cp,+ cp" cp`e Po , cp 4 EQo . Se iene en onces que To ( )cp=T o ( )cp p +T o ( )cp 4 . Exis en cons an es K,e ales que T I ( )~ Q 1 <_  Ke(a-e) Q  Q  o cp   ,  2: 0,  ep e Q  , 1 Ta ( ) w p i s  Ke (a+e ) . I p PI ,  :5 o,  o P e Pa . Además,  si  Z= {~ e IR :  = Re a ,  X e a (A°) } , se iene a(TO ( ) IPo) e { u : I uI =  e e ,  ee Z,  S > a} ." a(TI ( ) I Q a')'e { u :I pi =  e S ,  C e 1,  C < a} . El ope ado T( ) co espondien e a la ecuación (2) di ie e de TO( )en un ope ado compac o (como se demues- a en i7,), y el espec ocon inuo de T( ) es el mismo que el de TO( ) . Como ya se sabe que pa a los espec os pun ua- les y esiduales se iene Pa (T ( )) = exp { Pa (A) } , Ra (T ( )) =exp{ Ra (A) } , ( e  [11]) ,  y Ra (A) = 0 , el espec o de T( ) di e i á del'de TO( ) en un conjun o aco ado de pun os que end án como único posible pun o de acumulación el 0 . Se ob iene en onces el siguien e Teo ema . Pa a la ecuación (2) suje a a las es icciones (4) se iene : in a ian es bajo T ( ) ,  P = ex lin {Nl :~ ea (A) ,Rea > a} , Q={O :Excp=0, ReX>a} . (Aquí Ejes la p oyección sob e NI a lo la go de Rk(A)) . La es icción de T( ) a P se puede ex ende de o maúnica a un g upo T( ) de ope ado es aco ados ales que T ( )cp es solución de  (2) pa a odo e IR . Dada cp en C, se puede exp esa en o ma única como cp=eo p +cp Q , y se iene que T( )cp=T( )cp p +T( )CP Q , que Pa (T ( )) {0}={e : Xea(A)}, Ra (T ( )) =0, Ca (T ( ) ) {0} c {p : p I ° eS ,  S e Z} . Si a >V Re a(A), en onces exis en subespacios P y Q Ademásexis en cons an esposi i as K,M y e ales y (7)  D (x ( )-M(x )-k( )) =L(x ), K P ( )k -EK( )k, KQ ( )k= (I-E)K( )k,  ?0, de ini emos pa a < 0, KP ( )k =- T( )1 p K p ( )k . K Q ( )k son 0, po lo que da X P ,X Q ales que 15 . Se demues a en [131 que la solución con alo inicial cp de la ecuación no homogénea en que k : IR + -4]R n es con inua, iene dado po x (cp,k) =T( )T+K( )k, con (8)  K( )k=-¡'ó d .X( -s+ ") (k (s)-k(0)) ., donde X es una ma iz de unciones de inidas en [ - ,-), de a iación aco ada en in e alos ini os y que se anula en - ,0j . Se puedepensa en X como una solución undamen al de la ecuación (2) . Tenemos que , obse a que X(s) iene en 0 unsal o uni a io, pasando de 0 a I, po lo que d a X(s) iene un impulso uni a io en .0, quehayque oma en cuen a en las in eg aciones . Dehecho esul a que si k es absolu amen e con- :"~' inua, se iene J X( -s+ ") k' (s)ds=-X( + " )k(0)- .I d.X( -s+ . )k(s) . o Pa a los de alles e 113  y h j . Si E es la p oyección sob e P según Q, deno a emos Si k es cons an e se iene que an o Kp ( )k como exis en unciones de a iaciónaco a IT( )ppl <Ke (a+e) 1P P I _< 0 , cp p e P, IT( )p Q 1 <_ke( a ' - e) I CP QI >_0, c~eQ, 1T( )p p l ?Me (a+e) !cpPI ? 0, cpP e P . KQ( )k= d .X Q ( -s+ " ) (k (s)-k(0)) l, J o y X( ) =X P ( ) +X Q ( ) pa a >_- . Aunque X no es una unción con inua (de hecho iene un sal o uni a io en 0), y que po lo an o no iene sen ido el aplica T( ), a sus columnas, es habi ual ( e [7], pág 122) el u iliza las no aciones Es o es á mo i ado po que si Y ., es con inua, en onces T( )X, es, e ec i amen e, la ma iz ob enida aplicando ( ) a las columnas de X, . En caso en que P es de dimensión ini a esul a que XO iene columnas en C y en onces las columnas de T( )X0 son soluciones de(2)(Ve más adelan e la sección 17) . Se iene el siguien e Teo ema . Si a, jí Re a (A)  yC= P® Q es la descomposición dada po el eo ema de la sección 14, en onces las soluciones de (7) cumplen KP ( )k=l od a X P ( -s+ " ) (k (s)-k(0)), T( )XO=X , k0 T( )XO =X ,  e IR T( )XO =X Q,  ? 0 (9)  x (cp,k) =T( )9 P +~ O d,T( -S XJ(3,,(s)-k(0)), e IR, - xQ(cp,k) =T ( )cp Q+ Jo d .T( -s)XO(k(s)-k(0)), ?0, en que los é minos ep esen an elemen os de C, se ha u i_ lizado la no ación (10)  P,Q O d,T( -s)Xo " Q k(s) _ .~ o (d y Y  i -s+ .»k (S) Ademásexis en K y e > 0 ales que + T( )X0I < Ke (a  e) 1  ~ 50 iT( )Xpl <Ke (w e ) , +>0,  y (11)  0 IdBT(s)Xple -(a+E)s <_K J .i . id,T(s) óle -(a-E)s ~K . También se e i ica que T( ) lo d .T(-s)XP,Q(k(s)-k(0)) = (' 0 d,T( -s)XÓ'Q(k(s)-k(0)) . ,J 16 . Si conside amosaho a la ecuación (12)  D (x ( )-M(x )) =L(x )+h( ), con h con inua, podemos educi la al caso an e io omando una k al que k' =h . En al caso, in eg ando po pa es, ob- enemos la siguien e e sión del eo emaan e io Teo ema . Bajo las mismashipó esis del eo ema an e io se iene pa a las soluciones de (12) (13)  P  P  'P x (~,h) =T( )cp +~ o T( -s)X O h(s)ds,  e ]R, ci6n x Q (cp,h) = T( )O Q +loT( -s)Xoh(s)ds, >_0 . Exis en K y E > 0 ales que (10) se cumple . Pa a una a ija, las cons an es K y E pueden oma - se las mismas en odos los casos en quehan apa ecido ; bas a pa a ello oma pa a K la máxima y pa a E la mínima . De aho a en adelan e en las exp esiones como (9) y (13) no esc ibi emos 6, pa a ab e ia . 17 . Si n es un conjun o ini o de elemen os de a(A), podemos oma P =X®A NI Q  ~,Én R?,  y ob enemos la descomposi- y C=P!9 Q . En onces, análogamen e a lo exp esado en las seccio- nes 15 y 16, pa a las soluciones de la ecuación D (x ( ) -M (x, )-k( )) =L(x )+h( ) alen las exp esiones XI P,Q ( .,c0) =T( )C P P' Q + lO T( -s)XÓ' Q h(s)ds- -(' d .T( -s)XP,Q(k(s)-k(0)), Sea § una base de P (que es de dimensión ini a, m) . En 10 se demues a que exis e una ma iz Y al que Xá =I , y que T ( ) Xó = leB Y , donde B es la ma iz m Xm de inida po Al _ §B . Ha emos no a que si en luga de conside a la solu- ci6n x(- cp)  al que x 0 (", cp) = cp,  conside amos la solución x( - ,a,cp) que cumple con xa (',Q,cp) =cp, en onces la .exp esi6n an e io oma la o ma a4,Q(,,c,CG) =T( -a)CPP,Q+ . o T( -S)XO'Qh(S)ds- -JQ d .T( -s)XP'Q(k(s)-k(0)) . CAPITULO II Va iedades asin 6 icas a singula idades gené icas 18 . Conside a emos la ecuación (14)  D (x ( )-M(x )-G(x )) =L(x )+P(x ), en que supond emos que L yM sa is acen las condiciones de las secciones 6 y 13 . Supond emos además que F y G son unciones con inuas de un abie o 2, Oel2c C, en IR",  sa is aciendo F (0) = G(0) =0 (15)  I F (cp) -F w1 :S p (6) l cp-UV I LG(cp)-G(J)I <_p(6)ICp-II-IwI-I$I<6 dónde p es una uncióncon inua no dec ecien e al que p(0) =0 . La ecuación (1) es del ipo (14) si y g son de clá se C'  e i Qy (0) =g (G') =0 .  En al caso x ( ) -M (x )  y L (x )  son espec i amen e las de i adas de F eche de yg en 0, e alu_a das en x . Cómo en el capí ulo an e io , deno a emos po x( " ,cp) la solución de (14) con alo inicial cp . Es a ecuación admi e como solución x( ) = 0 pa a oda e]R, y po lo an o 0 es un pun o de eposo del semisis ema di námico,local de inido po (14) en 0 . Si conside amos una ecua ci6n con el pun o de eposo que no es é en el o igen ; una as- laci6n bas a pa a poné nosla en la o ma deseada . 19 . Asociada a (14) conside a emos la ecuación lineal (16)  D (x ( ) - M(x )) = L(x ), que es la misma ecuación (2) conside ada en el capi ulo an e io . Po T( ) deno a emos el semig upo de ope ado es de ini dos po las soluciones de (16), y po A deno a emos el co espoa dien e gene ado in ini esimal . Si ce o no es á en la clausu a de la pa e eal del espec o de A, en onces, de acue do con el eo ema de la se- cci6n 14, exis en subespacios P y Q ales que oda cp en C admi e la descomposici6n única cp = cp ° +cp 4 , cp" e P , cp 9 e4  , T ( ) cp P es á de inido pa a oda en IR, y Es os dos subespacios P y Q son pues a iedades asin 6 icas a 0, en el sen ido de queson in a ian es bajo T( ) y las ayec o ias ienden a 0 cuando ->co en Q ( a iedad es a ble) y cuando -  00 en P ( a iedad ines able) . Todos los pun os de C que no es án ni en P ni en Q no ienden a 0 ni pa a ->co ni pa a - -co .(Puede se que P o Q se eduzcan a {Ó}) . En es e caso, es deci , cuando 04e a (A), decimos . que 0es un pun o de eposo gené ico de la ecuación (14) . Usa emos la no ación n p pa a la p oyección sob e P a lo la go de Q, y n Q pa a la p oyección sob e Q a lo la go de P,  de mane a que end emos cp F> = n, cp, cp , = 74ep . 20 . Demos a emos en es e capi ulo que si 0 es un pun o de e poso gené ico de (14), en onces exis en a iedades in a ian es asin 6 icas a0 y angen es a P y a Q espec i amen e en dicho pun o . Más p ecisamen e, demos a emos que exis e un en o no de 0 y en él dos conjun os 1 y 1 in a ian es locales bajo la acción de inida po (14) , ales que las p oyecciones .,, yu a son homeo o mismos, y que en ~p las ayec o ias es án de inidas pa a e(-00,01 y ienden exponencialmen e a 0 cuando -->-- , sin sali del en o no, mien as que en W lo hacen cuando - . Una ayec o ia que no es é ni en T ni en T deja el en o no de 0 conside ado pa a c ecien e . 1 y ] son espec i amen e las (17) IT( )cp1 <Ke e icp1 , <0 IT( )cp1 <-Ke -s lcp1 . ?0 IT( )cp1 ~->Me 6 lCPI , ?0 Aquí M es una cons an e que aco a cada una de las dos úl imas in eg ales .  ' A pa i de aquí ob enemos, subs i uyendo en la exp esión pa a a,, que laNáCpl )-Q - (CP2)I5191 - CP2 1 + +  . .IT(-s) Xp 1 IF(s)) - F(92 (s)))ds+ +1T( )X p I IG( §1 (0)-g2  (0))I+ + J O  ~d,T(-s)XÓ ~~G( ~'1(S) )-G( j'2 _ (S) -ao :5 1 cp - cP2  + 2 K 2 F (b ) -~ 4)1 -cP 2 ~ ~+ 4K2 p (b)  CPi2 ° ~ < <_  L cp P -CP2' !  , pa a una cie a cons an e M, lo cual p ueba la con inuidad lipschi ziana de a ., y con ello que -T P es un homeomo ismo . La demos ación de que ~( )1 < 2KeF cpp -cp2 I, y que po lo an o las a- yec o ias en 1 ienden exponencialmen e a0 cuando ->-co se sigue de (22) omando 12 =0 . Pa a demos a la angencia de `¢ y P en 0, obsé e- se que, pues o que oda cpe~p co esponde a una g - , enemos del lema de la sección an e io que 0 ~cp g l<_~ ~T(-s)XOG IF(F§_(S))~ds + 0 . +  Id,T(-s)X0 I IG(j - (s))I + <_ é K 2 p ( 2 Kjp '' j) jep'I+2K 2 p (2Klcp"¡) leP " I+ + Kp (2K 1 cp p ~) 1 cp 1  ,  de donde se sigue que I cp Q /~ 9~-> 0 cuando  cp -> 0, que es p ecisamen e la exp esión de la angencia de ~p y P en 0 . La demos ación de la pa e co espondien e a T se lle a al cabo en o ma análoga, conside ando el espacio de unciones P : {'q : 0,eo)-+C :,n con inua,  I71( )I :5 k,  e IO,CO)}, con la no ma  1711 1 = in  {k : 171 ( ) I <_ k,  e C0, Co) } . Pa a 4 co 1 BS 214 se conside a en onces el conjun o Fa (0)={~leF :1711  b, x04=CPQ} . y se de ine un ope ado Y:FS (cp G ) -~ F, (cp Q ), po medio de (Vid) ( ) igual a la exp esión en el lado de echo de (21) . Se demues a que Y es una con acción y iene po an o un único pun o ijo n - . El es o de la demos ación se sigue de mane a análoga a lo que hemos hecho,u ilizando ambién el lema de la sección an e io . 24 . Del eo emaan e io ob enemos que oda solución que no sale de BS pa a c ecien e pe enece a la a iedad T, po lo que enemos el compo amien o de las ayec o ias enun en- o no del o igen es del ipo de unpun o silla . Si se supone que pa a un cie o eal a> _ 0, aí Re a (A) , y se oma la descomposición co espondien e C=P® Q, en onces, de mane a o almen e análoga a como hemos p ocedido, ob enemos la exis encia de una a iedad in a ian e angen e a P en 0, y al que es á cons i uida po odas las ayec o ias que es án de inidas en (-co,Oj, y cumplen ix .15Me a ix0l pa a e n y alguna M> 0 . Si a :5 0 se ob iene que exis e  in a ian e, angen e a Q en 0, y que es á cons i uido po las ayec o ias que cumplen 1 x,1 < Mea' 1 x01 , k 0 pa a cie a M> 0 . 25 . Debemos hace no a que en el abajo [14], siguiendo los lineamien os del abajo (5J, se p ueba un eo ema como el que hemos p obado en es e capi ulo, pe o con la ue e es icción de que P sea de dimensión ini a . Es a es icción ha podido se sal ada g acias a los esul ados de [7] . CAPITULO III T ayec o ias pe iódicas en el en o no de un pun o de eposo . 26 . Pa a la ecuación (14) con 0 ¡d Rea (A), es ablecimos en el capi ulo an e io la exis encia de la a iedad asin 6 ica y el que odas las ayec o ias que no es án en dicha a- iedad dejan el en o no B b cuando c ece . Se iene en onces que en B b no hay ayec o ias pe iódicas, excep uando la idén icamen e 0 . . Vemos además que una pe u bación que no haga cambia mucho a(A), espe a á dicha si uación, a sabe , que exis a algún en o no sin ayec o ias pe iódicas no i- iales, debido a que pa a modi ica la necesi a íamoscambia a(A) has a hace que el ce o es u ie a en la adhe encia de su pa e eal, Vamos a conside a en es e capi ulo la misma ecua- ci6n (14), pe o suponiendo que a(A) con iene un núme o i- ni o de alo es pu amen e imagina ios, odosmúl iplos de unmismo núme o, y amos a pe mi i que FyG con engan una pa e lineal pequeñadis in a de 0 . '  Nues o obje o a a consis i en da condiciones necesa ias y su icien es pa a la exis encia de ayec o ias pe iódicas en un en o no del o igen . Es as condiciones se p esen a án en o ma de una ecuación de "bi u cación" o "de e minan e", que deben cumpli los pun os ijos de cie - a aplicací6n . El nomb e "bi u cación" apa ece de que al cambia los pa áme os de F y G, la solución idén icamen e nu~l ¡ a~se "bi u ca" pa a da o igen a o as soluciones, :pe i 2 9 bi u cación se pueden esol e po ap oximaciones sucesi- as, p es ándose po lo an o al cálculo numé ico . El mé odo que amos a desa olla es una adap a ci6n a las ecuaciones neu as del de Cesa ¡-Hale, que , se encuen a desc i opa a ecuaciones o dina ias en C15j . Es e mé odo comienza conside ando cie as ecuaciones no au- ónomas dépendien es en , pa a las cuales se ob iene la eo ía . Dicha eo ía se aplica en onces a esol e nues o p oblema y si e, además, pa a decidi sob e la es abilidad de las ayec o ias pe iódicas encon adas . 27 . Conside a emos la ecuación (23)  D (x( )-M(x ) -G( ,x p) =L(x ) +F( ,x ,p), en que L y M sa is acen las condiciones de las secciones 6 y 13, mien as que F,G con inuas es a án de inidas en II x 2x I , donde Q es un en o no de 0 en C y Ies el in e a- lo eal C- u o u oj pa a cie a p o > 0 . Nues as hipó esis so- b e F yG son : i)  F ( , 0, 0) =0 ü) F( " ,R,u) es pe iódica de pe íodo T en IR (T-pe iódica) üi)  I F( PI.P) - F( . o2 " u) 1 Sp (lu l .e) IT1 - SP2j,  pa a cN , CP2 F B e c:O 'Y p es una unción con inua, no dec ecien- e  en 1 u I  y e,  y con p (0, 0) = 0, y las mismas pa a G . Las condiciones ga an izan la exis encia y unici- dad locales de solución con alo inicial cP pa a = o, cu- yo alo en deno a emos po x( ,a,cp) ( e [8j) . Obse emos que las condiciones impues as sob e F, G no impiden que engan una pa e lineal dis in a de 0 . 28 . Supond emos que la ecuación lineal co espondien e 3 0 (24)  D (x( )-M(x )) = L(x ) es al que a(A)con iene un conjun o ini o A.de alo es imagina ios, y que odos ellos son múl iplos de 2TTi/T = iW . (Si el p oblema es eal, odosellos apa ece án en pa es conjugados) . De acue do con la sección 10, end emos subespacios de C, P y Q in a ian es bajo la acción de T( ) ales que o- da cp en C es exp esable en o ma única como cp=cp p +cp Q , con cp P e P,cp Q e Q, P se á de '  dimensión ini a m . Si ~ es una base de P, en onces a odo elemen o cp de P le co espondeun único elemen o p e IR m alque cP=Ip . En al caso enemos T( )m =~eB p, B  la ma iz mx m de inida po A~ =~B . Los alo esp opios de B son los ele- men os de A . Si se escoge ap opiadamen e ~, podemos ob ene B en o ma canónica de Jo dan . Pa a el es o de es e capi ulo amos a hace la hipó esis complemen a ia sob e A, de que es a o ma canónica sea diagonal, es deci , que B sea diago- nalizable . Con es a hipó esis esul a que en P odas .las ayec o ias son pe iódicas con pe iodo T . Dadoun elemen o cp de C, designa emos po p(ep) al único . elemen o de I2 m al que cp = lp(cp) +p Q . 29 . Deno a emos po S el espacio de las unciones con inuas T-pe iódicas de IR  en IR m con la no ma del sup emo  !  IS . Po E deno a emos el espacio de uncionescon inuas T-pe iódicas de IR en C con la no ma del sup emo E' De inimos el ope ado 2 : S -+ S po 1 T  B( -s) ( 2 ) ( ) = T J  e  (s) ds . Obsé ese que (O )( ) es de la o ma e B a, y es po lo n c ; . solución de la ecuación y' = By . Usa emos indis in amen e (n ) ( ) yn (£ ( )) . 30 . Lema . Si e S, en onces la ecuación Y' E ) = By( ) + ( ) ,  en que ~ :?_ como en la sección 28,  ie- ne una solución pexi6di .c a si . y s61o si P =0, y en al caso pa a odo a  ]R T la ecuación admi e una única solución y-(a) alque 12 (y .- (a' _.  _  ..  ~ . _ : (a) . Además se e i ica la desigualdad Y- (a) - (a)i SSK .Jo  (s)1 ds, en que K no depende ni de ni de a . (Nó ese que y - (a) no es necesa iamen e la solu- ci6n con alo a en = 0) . DPMob aci6n . La solución con alo yo en = 0 iene dada po (25) Debido a que e B yo es T-pe iódica, a in de ene y( ) 7 - -pe iódica . es necesa io y su icien e que JT e-Bs (s) ds =0,  o, usando nues a no ación,que Q ( ) =G . S c ;Dn alo medio 0 . Tenemos de (25) que e -B y ( ) =a+ g( ), donde j e -Bs (s) dsd = yo + c, y g es una unción e,n lo Aplicando el ope ado na y e S ob enemos nY ( ) = e B ~ ., - . 1(~T E  e -Bs £ (s) ds do = e B a = : (a) ( ) . TJ .~c con lo que enemos una co espondencia biuni oca en e las solucionespe iódicas de la ecuación homogénea y de la no homo , ^nea . . z .  hecho de que IgIkJ  I (s) I ds pa a alguna E5 o1 k independien e Cie o de la soluciónpa icula , se sigue inmedia amen e obse ando que gI .<2TIe -BT jjI (s)1ds ; 0 y de aquí se sigue la úl ima pa e del lema omando K= IeB iE k, donde IeB i, signi ica el sup emo de la no ma de la ma iz pa a é [0,T] . 31 . Lema . Sean h :n -> IR n, k : IR -i 7R n pe iódicas de pe iodo T . Exis e una única cp e Q al que xQ=T( )cp+l o T( -s)Xoh(s)ds+l o d,T( -s)Xo(k(s) -k(0)) es 0  0 T-pe iódica . Además se e i ica que es deci , SE~ Q I <_ K' ¡¡' T Ih(s) l ds+sup  Ik(s)j), E  0  se[o T .1 en que K' es independien e de h y de k . Demos ación . Si S~ Q es .T-pe iódica, se iene cp=T(T)cp+ 7 T( -s) X0h(s) ds+ ,d,T( -s)Xo(k(s)-k(0)), JO  0 cp= (I-T(T)) - '( 0 T( -s)Xoh(s)c1+ o ~IIT( -s)Xo(k(s)-k (0))) Tenemos que (I-T (T)) -' exis e po que  (I-T (T)) cp = 0 implica cp= 0 . Es e es el caso, pues hemos supues o que no hay soluciones T-pe iódicas en Q, excep o la que es idén icamen e nula . ;La solución iene dada en onces po Q  +7 Q SE ;, = (I -T ( )) .-~ (1, T ( +T-s) Xo h (s) ds + c T d, ( +T- S)Xo(k(s)-k(0) Pa a ob ene una co a pa a la E- no ma de RQ emos : IXQlE_ I(I-T(T))-11 (sup IT( +T - s)xó~~ólh(s)1ds x se( , +Tj L .~ . 7 x 2 sup 1k(s)1  (d,T( +T-s)XO se [0, T] T 1(I-T ( ) )-1  (sSI09Ta .IT( )xoi o~h(s) .~ds x Y 2 sup jk(s)¡1 T Id,T(s)Xp1)< se [o  T]  o <_ K  T Jh(s)Ids+ sup ik(s)j ) se[se ,) ,T Z , 32 . Teo ema . La ecuación (26)  D (x( )-M(x,,)-k( )) =L(x ) +h( ),  ? 0, con kyh con inuas y T- pe iódicas y L y M como en la sección 28, admi e una solución T-pe iódica si y sólo si n (Yh + BYk) = 0, en que Y es la ma iz que apa ece en la sección 17 . =bEn es e caso pa a oda ae a mexis e una única sol_u ci6n x (a)  T-pe iódica al qüe 0 (p(Rc (a))  = eB=(a+b)= :eB ,con T l Te-BsTk (s) ds . 0 Vale además la desigualdad ~R (a) -T( )1cI  <K(J T 1 h(s)1 ds+ E  su , ~  1 k(s) o  se[0T  ~ ) pa a una cons an e K que no depende ni de h ni de k . Demos ación . P oyec ando las soluciones de (26) sob e P y Q de acue do con la sección 17, y omando en cuen a (sección 18)  que T ( ) Xo = ~eB Y, ob enemos que x (", cp)  es la solución de (26) con alo inicial cp si y sólo si P(x (- .cp))-Yk( ) =e B (P(cp)-Yk(0)) + (27)  +y' eB( -s) o  (Yh(s) + BYk(s) ) ds, x Q (-,cp) =T( )CPQ+J0T( -s)Xph(s)ds+Jo d,T( -s)Xok(s)ds . Deno ando po a Yh + BYk y po y ( ) a p(x )-Yk( ), la p i- me a igualdad nos queda Y ( ) =e B y(0) + oeB( -s) (s)ds, que no es másque la solución de la ecuación di e encial Y'= BY+ que oma el alo y(0)  pa a =o . Se sigue en onces de los lemas an e io es la con clusi6nde nues o eo ema . En pa icula la desigualdad p o iene de ~P(x .)-( k+eB .a) 15 K'  ¡Th(s)+BTk(s)  ds<_ o <x" ó(Ih(s)j +1k(s)j) ds . 33 . De lo dicho an e io men e se sigue que si §e E, én onces, pa a oda a e M m ,  la ecuación y' ( ) = By ( ) +H ( , § ( )) -0H( , §( ) ) , donde H( ,cp) es con inua, T-pe iódica en y localmen e lip- schi ziana en cp, iene una única solución I(a,~) en S al que l (Y (a, g)) = eB ' =  (a) . Pa a ab e ia usa emos la no ación (E) ( ) =H( ,~( ))-(ZH( ,F( )) . La solución y(a,~) puede esc ibi se en onces 51(a, F,) ( ) = eB (a+J i e - Bs (§) (s) ds-  u e -Bs (§) (s) dsdul  _ . 0  x .  0 ! 00 = :e B (a+ g( )) . Podemos ocupa nos de las componen es de g( ) po sepa ado . Cada una de las unciones g i ,i = l_ .,m, iene a lo medio 0, po lo que exis e a ! e[O,T .1 alque gs(a s) =0 . Sea á . el ec o de componen es  (ojo . . . a m ), y sea e  e -Bs `  J  (1) (s) ds  el ec o g( ) (E) que iene po componen es gi ° e-Bs ( )  1 (F) (s)ds . No emos que ealmen e j(§) no es una unción de samos en onces cualquie alo con es a p opiedad . puedehabe más de una alo de a pa a los que g (a l ) le, aún es ingiéndonos al in e alo i0,T_j . Con á(§) pues o que se anu exp e Obse amos aho a que si omamos o o elemen o § i de E, la siguien e p opiedad de adi i idad ale pa a alguna En K,  in e iene la co a M de ID agkj ., mien as que en Kp in e iene la co a de D en B . cQ  e  , De que 52 es una con acción con cons an e de Lip- schi z b ( e la demos ación del lema de la sección 34), enemos, jase el máximo que donde k Ek (u .e)- ; (u .e)  <_ - 18 --  I ~~ (a,4) -§0 Sea y el máximo de p(Ipl,£)K, y p(jpI ,e)K2 y esc6 E) su icien emen e pequeño pa a que y < 1 . Si Ses de y y b, se sigue de las desigualdades an e io es D a E k+ la , ~1)_D a gk(a.~) ( 5 i B k + Sk _1  +  SIDagk (a,~1) -D agk  < 5 S(Ak+S¿k-1 + . . .+9 k-1  + +s kl Da~1_Dago 1<ksk  1 +S . ~g~_go  E + .+ó k  _go~ E Ok (k i+ s  + L)  Ig'-gol E . k -,~ .  . pk deno a a  $ k +S  , y L es una cons an e elacionan do las no mas de I,ii-goi Ey ID aS I-D a§ o¡ E . Debido a que E kB k con e ge, se sigue que D k a, k = 1  { a g ( p)} es una sucesión de Cauchy, que con e ge a un elemen o de E, que es D a I(a,~1) . - Con es o queda demos ado el lema . 39 .  Es amos aho a en si uación de da un eo ema que da condiciones su icien es p ác icamen e e i icables pa a la exis encia de soluciones T-pe iódicas . Teo ema : Supongamos que se cumplan las hipó esis del lema an e 42 io , y que, además, H= p H  con H con inua . En onces, la exis encia de ao con  B . I c e  a0 l .< b  y pa a la que (32)  nH ( ,~e B a o ,0) =0, y de Da n1 ( ,~e B ao,0)yÉ0, implica que exis e p,>0 al que - la ecuación (23) iene una única solución S (a, ,pL) pa a cada p con ¡u 1< U-  con la p opie- dad 5c (a, ,0) =~eB a, . .Es a solución es con inua en F (en el espacio E) . Demos ación : Del lema de la sección 34 enemos que pa a p,a su icien emen e pequeñas, exis e F,(a,p) pun o ijo de b ( e demos ación de dicho lema) . Del eo ema de la sección 35, ob enemos que la ecuación (23) iene una solución T-pe i6di- ca al que x (a,p) _  (a, .p) pa a alguna a y u~ 0, si se cum- ple (30) . Po el lema an e io , nFI( ,~(a,~)( ),u) es di e- enciable espec o a a, y po lo an o si se cumplen las condiciones (32) el eo ema de la unción implíci a nos da una únci6n T-pe iódica pa a U su icien emen epequeña . Po o o lado, la o ma de H, con eniendo un ac- o p, nos asegu a que ~eB a = j(a,0)( ), y de ello la conclu- si6n del eo ema . 40, Si en el eo emaan e io se iene que de D a ni( ,je B a  0) =0, en onces no podemosasegu a nada sob e la exis encia de solucionespe iódicas sin el uso de ap oximaciones de o den supe io . Pa a hace es os cálculos se puede usa el polígono de New on . Supongamos que a es un escala , que nH( ,0,0) =0 y que nH( , (a,p) ( ) p) = _~° (k .a nb .+k,a m 'u n' + . . .+k p a%PLn 1 ) + h(a,pj) _ =u~P(a,u) +h(a,u), donde h consis e de é minos de o den supe io en a,a, y P(a , a) se ha escogido de mane a de oma en cuen a s61o los é minos que se encuen an en el lado de más pendien e del polígono de New on, es deci , aquellos pa a los que nj/(m, -m j )  es, un mínimo .  Si X , =n j /(m, -m, ) , j = O, l, . . . . p, a = a4 , OH( ,1(au,,a) ( )  H(a, en onces (33)  H(a, a ) =a (k .a m O + . . .+k,a n P ) + h(a,a) _ +X m, donde  h(a,a)es o(a  ) pa a a ija . pa a p su icien emen e pequeño, cabe aplica el eo ema de unción implíci a . Debido a la o ma de F(a,a), bas a con encon a a al que H(a) =0 . Da P(á) ~ 0 . La exis encia de al a implica la exis encia de una solución de (33) alque la a(a) co espondien e es asin 6 ica con a ~ cuando a iendea 0 . el a amien o es análogo, pe o desa ollando en é minos de a-a, . :a + J~m, P (a) +h (a,a) . Si se quie e de e mina a(a) alque H(a(a),a) = 0 En . el caso en que (ZH ( , § (a, , 0) , 0) = 0 pa a a, ~ 0, 41 . Tenemos aho a ya los esul ados p e ios necesa ios pa a abo da el p oblema p opues o al comenza el capi ulo, a sa- be , de e mina -las solucionespe iódicas en el en o no deun pun o de eposo -(que conside amos, sin pé dida de gene alidad que sea el 0), de la ecuaci6n(14),que es la misma (23) cuan- do FyG son independien es de . Supond emos que FyG cum- plen las condiciones de la sección 27, y la pa e lineal las es ipuladas en la sección 28, es deci , que la ma iz B es diagonalizable y iene po alo esp opios múl iplos de 2 i/T = iw con lo cual odas las ayec o ias con enidas en P son T-pe iódicas . Aun cuando la diagonalizaci6n no pod á necesa ia- men e ob ene se po medio de ans o maciones eales, en el caso eal, que es el que nos in e esa, siemp e pod emos es coge 1, la base de P, de al mane a que .l a ma iz B sea de la o ma con B(w)= diag(0,,C, (w)  c, (w)) , C i (w)  0_  n, w = (-n j , 0 ), donde 0,es la ma iz nula de p x p, y n j son en e osposi i- os . Puede ocu i que n ' = n i pa a j ~ k . En es e caso no podemos supone que el pe iodo T -de las soluciones del sis ema lineal se p ese e cuando se añaden FyG . Sin emba go es de espe a se que cuando ienda a 0, las soluciones pe iódicas de (34)  D, (x ( ) -M (x, )-G(x, ,pi)) =L (x, ) + F(x,p) , iendan a las soluciones de la pa e lineal (24), y que, po lo an o, su pe iodo ende á a T . Po lo an o amos a busca solucionespe iódicas de pe iodo T (~1) = 2 /w (p) , con w (W) =w+ 71 (p) , en que q es la unción a de e mina . Tenemos g( ) =~p(g( )) + g( ) Q  es solución de la ecuación (i4) ,si y sólo si P(§( » = :y( ) + TG(g ( ) ,u)  y g( ) Q sa is acen las ecuacionessiguien es : (35)  Y' ( ) =B(w(0)) Y ( ) +g (x, ,p), donde (36) 9(g( ),p)=TF(g( ),p)+BYG(g( ) .p), Y g( )Q=T( )g(0)Q+ T( -s)XQF(g(s),p)ds+ d T( -s)XQ(G(g(S),i)-G(g(0),{1)) . 0 s  0 Si aplicamos el cambio de a iablespe iódico B(w(u)) Y_ .'( ) =e  z( ), ob enemos en luga de  (35) la ecuación " (37)  z'( )=4e-B (w(u)) B(71(p»eB(w(M)) 2( ) + +e-B(w(u)) g(~eB(w(p)) z( )+%,Q,u) . En combinación con (36) es o es de la o ma z' ( ) =Dz( ) + ( ,z( ),~( )Q, (38)  9( ) Q =T( )X Q+ T( -s)XQB( S,z(S) .~(S)Q,u,i1)ds+ + Jód .T( -s) X 0 G(s,z(s),g(s)Q,u,~), donde D es la ma iz 0 de m x m, y F, G  son T-pe iódicas en , y sa is acen odas las condiciones necesa ias pa a que algan el lema de la sección 34 y el eo ema de la sección 35 . Si que emosaplica el eo ema de la sección 39 u ilizando la di e enciabilidad de F y G, obse amos que si de inimos a, ;l , 1) ° lo T(u .) 4 (s,z(s,a,  x Q , (a, I, , T1) " I~ " l)ds, ,J en onces (32) iene dado po ( 39 )  (a, , 0 " lo) = 0 ango (D4a,11) (a, , 0,71 . )) = m , con lo que se ob ienen a y n en unción de u . En es e caso quedande e minadas T1 y p-1 de las componen es de a, mien as que la o a componen e de a se puede ija a bi a iamen e debido a la au onomía de la ecuación, en que . una amilia monopa amé ica de soluciones co esponde a una sola ó bi a ce ada . CAPITULO IV Ejemplos y comen a ios . 41 . En es e capi ulo amos a p esen a un ejemplo a in de indica de que mane a se puede p ocede en un caso conc e- o pa a de e mina los subespacios P y Q y la exis encia de ayec o ias pe iódicas . El ejemplo es de una ecuación con M y G iguales a 0, es deci , del ipo e asado . Indica emos ambién cual es el p ocedimien o que se sigue pa a de e mina las ca ac e ís icas de es abi- lidadde las ayec o ias pe iódicas en el caso de ecuacio- nes de ipo e asado, y es o nos ha á e que hay que lle- na algunos huecos pa a hace es e p ocedimien o aplicable a la clase más amplia de ecuaciones de ipo neu o . Es o nos indica una di ección de in es igación u u a . También, pa a conclui ha emos no a como se di icul a el de e mina ayec o ias pe iódicas po mé o- dos opol6gicos, debido a la al a de compacidad de las aplicaciones T( ), a di e encia de lo que ocu e cuando las ecua~iones son del ipo e asado . 42 . Conside a emos la ecuación (40)  wn ( ) + az ° ( ) + bz z' ( ) + kz ( - ) + F- * (z ( - » =0, en que a, b?k, .y e son cons an es posi i as, y 1, una un- ci6n eal, localmen e lipschi ziana . Es a ecuación co esponde a un sis ema con e oalimen ación no lineal y con e aso en el iempo . Indica emos que condiciones deben cumpli los pa áme os pa a que las aíces ca ac e ís icas sean odas de pa e eal nega i a, excep o dos que se án pu amen e ima- gina ias . A con inuación encon a emos P co espondien e . a es as dos aíces, y de e mina emos soluciones pe i6di- cas . 43 . La ecuación ca ac e ís ica de la pa elineal de (40) es k 3 +ak 2 +b 2 k+ke k =0, que con el cambio de a iable X = k, y omando a =p . b 2 2 =q, k 3 =m, queda ( 4 1)  H(a) =a 3 +pX 2 +qA+me -x =0 Vamos a e que condiciones necesi amos pedi pa a que (41) enga-s61o dos aices imagina ias +_ iw, w ? 0 y el es o con pa e eal nega i a, (a in de que en Q las ayec o ias iendanexponencialmen e a 0) . Pa a ello a mos a segui el mé odo dado en el capi ulo 13 de (1] . Tenemos que H(iw) = .F(w) + ¡G(w) con F (w) = -pw 2 cos w+w (w 2 -q) sen w+ m G (w) =-w(pw sen w+(w 2 -q)cosw ) . Debido a que el é mino p incipal de G(w) es -w 3 cos w , y cos (iy) ~0 pa a oda y eal,  G(w) =0 iene p ecisamen e 4n+ 2 aices en la aja -2n <_ Rew 5 2nn pa a n su icien emen e g ande . Es as 4n+ 2 aices son eales po que G(w) = 0 es equi alen e a g w =(q-w2)/pw . Debido a que g w y (q-w 2 )/pw son unciones impa es, y a que ademas (q -w 2 ) / pw -~ -  ,  Dw (( q - w 2 ) / pw) , -1/p,  D 2 (( q - w 2 ) / pw) _ = 2q/pw 3 _0 cuando w -+-o, con 2q/pw 3 > 0, se iene una aiz de G(w) = 0 en cada ama de g w , y a pa i de cie o a- lo de w,el alo de g w se á nega i o . Vamos a designa los . alo es no nega i os de w ales que G(w) = 0 po wo =0, w1,w2, . . . y oma emos W_ 1 = -W, . Debido a que que emos aices conjugadas, pe- di emos que pa a cie a j, w j y w- j sean ales que F (wj) =F (w -) =0 .  G' (w j ) ~ 0 ~ G' (w _j )¡mien as que pa a el es o de las w,  se debe á e i ica G'(w,)F(w,) > 0, a in de asegu a que las aices de H(X) =0 engan pa e eal nega i a . Tenemos G' (w) =w (w 2 _q-2p) sen w+ (q-3w 2- pw 2 ) cos w , en que an o F como G' son unciones pa es . Como G' (0) =q, F(0)= m, se iene F (0) G' (0) = qm> 0 . Pa a las w, no nulas, po o o lado exp esión es siemp eposi i o, enemos que F(w,),G'(w,) ienen el mismo signo que L(w 1 ) > 0 . F (w,) _ -cos w,  (p 2 w? + (w 2-q) 2 ) / p+ m G' (w,) _ -cos w,  (( w? -q) 2 + w? p+ w? P 2+ pq) /P " y debido a que el é mino en e pa én esis en la úl ima L(ws) =cos2w, ( p 2 W2 + (w2-q)2)/w? p2-mcosw,/p= = l-m cos w, /w? p . Pa a i pa enemos cos w, <0,y  po lo an o Pa a i impa se iene MCOSW,/w?p=m/ (w,J(I2w 2 + (w ;-q) 2 )) . Se debe po lo an o cumpli 1-m/(w,N (P 2 wi + (w?-q) 2 )) >0 pa a odos los _ a- lo es de i excep o uno . La exp esión bajo el adical es c ecien e pa- a w, ? 0 si p 2 ? 2q, po lo que su alo mínimo se ob iene en wj . Si omamos m =' L, N/ (p 2 wl + (wj 2 -q)2 ) , podemosasegu a que enemos sólo dos aices pu amen e imagina ias de H(X) = 0, mien as que el es o ienenpa e eal nega i a (Obse emos que 0 :5 w, <_ /2) . 44 . Podemos esc ibi la pa e lineal de la ecuación (40) en la o ma (42)  x' ( ) =Ax( ) + Bx( - ) , 01OI donde  A =  0  0  1 -b -a donde  u ( )  0  pa a < 0 - {l pa a 2 :0 . 00 -01 000 -k 00 ; La ecuación (42) es de la o ma x' ( )  dn(6) .x( + e) si omamos 0  u (e)  0 ,1(e) =  0  0  u (e) -ku(0+ 1)  -bu (e)  -au(9) Vamos a descompone C=P ® Q, en que P sea la suma de las NI co espondien e a las aices iw1,-iwI (de aho a 'en adelan e oma emos w, =w) . De es a mane a, en C, end emos un subespacio bidimensional, P, en que odas las ayec o ias se án pe iódicas, y un subespacio complemen a- io Q, en que las ayec o ias ende ánexponencialmen e a 0 cuando ->- . Vamos a de e mina una base de § pa a P . Un ec o ca ac e ís ico c co espondien e a un alo p opio a de (42) debe sa is ace p (a) c =0, con de donde  omando en cuen a que B =l 0 wi -w 01 1(9) =1(0)eBe y que se sigue que una posible 1, eal,( e sección 10) iene dada po cos we  sen we 1(e)=¡-wsen we  wcos we `-w 2 cos we  -w 2 sen ws) (43)  (*,cp) _  (0)cp(0) J ó  (E-e) (d 1 (9) )p(g)dg, en que n es la ma iz de unciones de a iación aco ada que apa ece en la ep esen ación del uncional L de (2) . Sea aho a el conjun o D(A * )c :C*de aquellos elemen os que son unciones con de i adacon inua en [0, ], y pa a los que se cumple 45 . A in de pode ca ac e iza los elemen os de Q de una mane- a que se p es e al cálculo, así como pa a de e mina la ma iz que apa ece en la sección 17 y que en a en las ecuaciones de bi u cación, amos a inclui los esul ados de la pa e que nos in e esa de la eo ía, que se encuen a expues a en [2J pá a las ecuaciones del ipo e a dado, y en [10] pa a las de i po neu o . Conside emos el . espacio C * := C([0, ],W), en que, po la con eniencia de la no ación ma icial, amos a supone que los ec o es son ma ices ila ( eco demos que en C conside a mcs a los ele ki .os como ma ices columna) . Pa a cp en C y * en C * de inamos la o ma bilineal ($,p) po medio de a -1 0 _0 ke -a a b2 -1 a+ p .ios de la ma iz -y 0 que son 0 y - y . De aquí deducimos que nues asolución es asiü- 6 icamen e es able . 50 . Que emos hace no a la siguien e di e encia undamen al en e las ecuaciones del ipo . e a dado y las más gene ales del ipo neu o . En las del ipo e a dado se iene que T( ) es un ope ado compac opa a i- , lo que pe mi e usa eo emas de pun o ijo del ipo del de Schaude pa a de e - mina la exis encia deó bi as ce adas . Es e mé odo ha si- do u ilizado po a ios au o es, y es el más iable pa a ecuaciones no lineales cuando no en an pa áme os peque- íños . En las ecuaciones neu as más gene ales, en que no po- demos asegu a que T( ) sea compac opa a ninguna , no po- demos u iliza eo emas de pun o ijo como el mencionado . Pa ece una linea de in es igación in e esan e el encon a c i e ios que los s ís i uyan . Pa a e mina que emos ecomenda la lec u a del' abajo 119 de J . Hale, que nos pa ece una uen e de p oble- mas in e esan es, que se pueden gene aliza a ecuaciones de ipo neu o . REFERENCIAS [1) Bellman, R . y Cooke, K .L . " Di e en ial-di e ence egqa ions" . Academic-P ess,1963 . [2) Hale, J . "Func ional di e en ial equa ions" . Sp inge - Ve lag,1971 . [3] Smale, S . "Di e en iable dynamical sys ems" . Bull . Ame . Má h . Soc . o1 .7 3 (1967) pp .747-817 . [41 Hale, J .K . y Pe ell6, C . "The neighbo hood o a singula . .  poin o unc ional di e en ial equa ions" . Con ih Di e en ial Equa ions, ol . 3 (1964) pp . 351-375 . Pe ell6, C . "Pe iodic Solu ions o di e en ial equa ions wi h ime lag con aining a small pa ame e " . J o Di . Eq is . o1 .4 (1968) pp . 160-175 . [61 Hen y, D . "Linea au onomous neu al un ional di e en- ial equa ions" . J . o Di . Equs . ol .15(1974) pp .106-128 . (7] Bha ia, N .P . y Hajek, 0 . " Local semi-dynamical sys ems" . Sp inge -Ve lag, 1969 . [8] Hale, J .K . "Fo wa d and backwa d con inua ion o neu al unc ional di e en ial equa ions" . J . o Di . Eqns . ol . 9 (1971) pp . 168-181 . D i e , R . "A unc ional-di e en ial equa ion a ising in a wo-bodyp oblem o elec odynamics" . In . Symp . Nonlin . di . eq n s . and nonlin . mech . pp . 474-484, Academic-P ess, New Yo k, 1963 . [10]Hale, J .K . yMeye ,K .R . " A class o unc ional equa ions o neu al ype" . Memoi so he Ame . Ma h . Soc . Nó 76, (1967) . and (11)Hille, E . y Phillips, R .S . "Func ional analysis/semig oups' . Ame . Ma h . Soc ., 1957 . (12)Le inge ,B .W . "A olk heo em o unc ional di e en ial equa ions" . J .o Di . ecp s . o1 .4(1968)pp .612-619 . (13]Hale, J .K . y C uz, M .A . "Asymp o ic beha io o neu al unc ional di e en ial equa ions" . A ch . Ra .Mech . Anal . ol . 3 4 (1969) pp . 331-353 . [14]C uz, M .A . y Hale, J .K . "Exponen ial es ima es and he sa_d dle poin p ope y o neu al unc ional di e en- ial equa ions" . J . o Ma h . An . Appl . ol .3 4 (1971) pp . 267-288 . 115] Hale, J . K . " Oscilla ions in nonlinea sys ems" . Mcd aw~ Hill, New Yo k, 1963 . [16] S okes, A . "Floque heo y o unc ional di e en ial equa ions" . P oc . Na l . Acad . aci . U .S . o1 .4 8 (1962) pp . 1330-1334 . [17] S okes, A . "On he s abili y o a limi cycleo an au o nomous unc ional di e en ial equa ions" . Con ib . Di e en ial Equs . o1 .3(1964) pp ., 351-375 . [18] Shimano , S .N . "On he heo y o linea di e en ial egqa ions wi h pe iodic coe icien s and ime lag" . P ikl .Ma .Meh . o1 .27,(1963) pp .450-458 .(T ad .-al inglés : J . Appl .Ma h.Mech . o1 .27(1963) pp .674-687) . [19] Hale, J .K . "Geome ic heo y o unc ional-di e en ial equa ions" . En "Di e en ial equa ions and dynámi cal sys ems" . Academic-P ess,1967 pp . 247-266 .