Estrategias operativas en la resolución de problemas matemáticos en el ciclo Medio de la E.G.B

INVESTIGACIÓN Y EXPERIENCIAS DIDÁCTICAS ESTRATEGIAS OPERATIVAS EN LA RESOLUCION DE PROBLEMAS MATEMATICOS EN EL CICLO MEDIO DE LA E.G.B. ALONSO GARCÍA, V.', GONZÁLEZ CARMONA, A.*, SÁENZ BARRIO, O.3 (1) Depa amen o de Didác ica de la Ma emá ica de la Uni e sidad de Can ab ia. (2) Depa amen o de Es adis ica e In es igación Ope a i a de la Uni e sidad de G anada. (3) Depa amen o de Didác ica y O ganización Escola de la Uni e sidad de G anada. SUMMARY This wo k is he esul o a esea ch abou how child en eally sol e ma hema ical p oblems. Twel e s a egies ha e been iden i ied in p oblems o a e y di e en na u e. «Con la misma con ianza, pompa y ci cuns ancia con- cedidas a cosas ales como la ma e nidad, el pas el de manzana y la sopa de pollo (és a úl ima sólo pa a es- iados), se conside a a la esolución de p oblemas co- mo la inno ación más impo an e de la ma emá ica en la década de los 80», (B own, 1983). Aunque a i ma- ción an o unda queda sua izada po el ono es i o de la decla ación y la p ema u idad con que ue hecha, hoy pod íamos a i ica la con la pe spec i a que p o- po ciona el casi inal de la década. La publicación casi simul ánea del Anua io de 1980 de la Asociación Na- cional de P o eso es de Ma emá icas de Es ados Uni- a se casi exclusi amen e en el es udio de las a iables ela i as al p oceso de esolución. Cabe señala , sin em- ba go, que, a pesa de que las a iables de p oceso ue- on conside adas ya desde el p ime cua o de es e si- glo como un campo ele an e de la in es igación so- b e esolución de p oblemas, el concep o mismo de p o- ceso es aba poco de inido; po ejemplo, Ba ne , Vos y Sowde señalan cómo muchos in es igado es se cen- a on en el signi icado de las ope aciones undamen- ales o en segui el desa ollo conducen e a la co ec a solución, po mas que ales isiones del p oceso sean pa ien es ce canas de la a iable p oduc o. dos (NCTM), y de la misma Hay p ác ica al a i ma que la e dade a sob e una p opues a pa a la enseñanza de la ma emá- ica, puede se conside ada como el pis ole azo de sa- in es igación sob e las a iables de p oceso se inicia a lida pa a una acción de inida po el NCTM de la si- pa i de los esc i os de Polya, sob e odo con la apa- guien e o ma: ición en 1945 de su How o sol e i . «El Consejo Nacional de P o eso es de Ma emá icas ecomienda que la solución de p oblemas sea el p in- cipal obje i o de la enseñanza de las ma emá icas en las escuelas de los ochen a)). Ello no obs a pa a que la esolución de p oblemas no haya sido con an e io idad obje o de con o e sia di- dác ica y haya endido uc í e as líneas de in es iga- ción (Schoen eld, 1985; Ba ne , Vos, Sowde , 1979). De odas es as líneas, han ido educiendo su p oduc- cibn las ela i as a los aspec os ma e iales ( o mula- ción del enunciado, ayudas isuales, amaño de las can- idades numé icas), e bales (complejidad sin ác ica, lec u abilidad, posición de las cla es e bales), con ex- uales ( amilia idad, o iginalidad, ealismo), pa a cen- 2. MODELOS DE PROBLEM-SOLVING Lo que ealmen e apo a Polya es un modelo. Si la in- es igación p eceden e se ocalizaba en cie os aspec- os ma e iales y conc e os del enunciado, o en las ha- bilidades especi icas de los buenos/malos esolu o es, bas aban sencillos ins umen os de codi icación y me- dida pa a su análisis. Sin emba go la complejidad del p oceso de solución de p oblemas eque ía p ocedi- mien os que pe mi ie an el seguimien o y alo ación de las dis in as ases implicadas y, consecuen emen e, de las habilidades o compe encias eque idas. La heu- ís ica mul i ase de Polya sub iene a es a necesidad, pe o sob e odo o ece un modelo o mal an o pa a ENSENANZA DE LAS CIENCIAS, 1988, 6 (3), 251-264 251 INVESTIGACIÓN Y EXPERIENCIAS DIDÁCTICAS quien esuel e p oblemas como pa a quien enseña a e- a deci lo mismo con o as palab as: ((aunque pa ezca sol e los. Las cua o ases de Polya (1. Comp ende a o, (nues os alumnos) son las íc imas de nues o el p oblema; 2. Concebi un plan; 3. Ejecu a el plan; p o esionalismo, ... les p esen amos los esul ados de 4. Examina la solución ob enida) hacen e e encia a nues as explo aciones ma emá icas de mane a o ga- «las ope aciones men ales ípicamen e ú iles)) (p. 103 nizada y cohe en e)) (p. 32). de la e sión cas ellana de 1965). Pa a hace más ope- La o a absolu amen e en los modelos a i o el p oceso de solución o de enseñanza, Polya des- de ((p oblem-sol ing)), es la que in o ma el pa adigma g ana cada es a egia gene a' en a ias sub ases u 'pe- didác ico llamado de p oceso-p oduc~o, pues o que su aciones ( es en la p ime a, ocho en la segunda, cinco obje i o exp eso es mejo a las habilidades implicadas en la cua a) que es uc u an el a mazón heu ís ico de en el p oceso a la espe a de una mejo a co elacional su mé odo. Toda ía el modelo puede e se aplicado en en la e iciencia esolu i a. sus ~ o~ios é minos en ob as ela i amen e ecien es (P.e: ~ills ein, Libeskind y Lo , 1984). Po o a pa e los modelos concep uales analizados po La mul iplicación de los modelos de solución de p o- blemas consi uye hoy, más que iqueza cien í ica, una dispe sión es é il de los es ue zos en la in es igación; unos po que añaden poco a la heu ís ica de Polya @.e., Schoen y Oehmke, 1980; Lee, 1982); o os po que no es án su icien emen e p obados @.e. B ans o d y S ein, 1986; Fielke , 1985; Rudnick y K ulick, 1982), y aún los hay que son con usos en sus p opues as de ((es a- egias gene ales)) y ((es a egias de ayuda)) (Cha les, 1982). El modelo de Schoen eld (en sus dos e siones de 1979 y 1982) con se el más comple o adolece, des- de nues o pun o de is a, del mismo p oblema que a ec a a odos los modelos que hemos e isado (y que pod ían se muchos más a la is a de los lis ados de ((disse a ions)) pa a M. Ed., Ed. D. y Ph. D., an o en educación como en enseñanza de las ma emá icas en los úi imos años). Tal di icul ad consis e, epe imos, a nues o modo de e , en que son modelos o males cons uidos, a expensas de un a p io i, que es el p oce- so ideal, concep ual, o lógico, si se quie e, pa a esol- e p oblemas. En o os é minos, son modelos a a- és de los cuales se ac ualiza una eo ía. Y aauí no enemos más emedio que es a en desacue do coi Les- e (1982) cuando a i ma que an o la p ác ica como la in es igación sob e la solución de p oblemas ha ca- ecido de una eo ía. Que haya ca ecido de una eo ía adecuada puede admi i se a la is a de los esul ados con adic o ios de la in es igación, pe o que no haya es ado apoyada en algún ipo de eo ía es also. Comp endemos po donde a Les e en las es decla- aciones ela i as a la necesidad de la eo ía, pe o de- bemos hace no a que en los modelos al uso subyacen al menos dos eo ías. Una implíci a, pe o que di ige el p oceso de pensamien o, y que es la heu h ico- deduc i a, p opia del azonamien o ma emá ico. Es a eo ía, inspi ado a de los mé odos de enseñanza al uso, ha sido con unden emen e c i icada po B own (1983) y Schoen eld (1985b). Pa a el p ime o, la enseñanza de la esolución de p oblemas es á iciada po la p o- pia de o mación p o esional del ma emá ico pa a quien, acos umb ado a demos a quep - q, lo único impo an e es la cong uencia del p oceso, alioso po sí mismo, y en el que an o la e dad de p, como la pe sonalidad, la cul u a, el es ilo cogni i o del in es i- gado , son i ele an es (p. 27 y 33). Schoen eld iene Lesh e a¡. (1983) esponden, es buena medida, a cons- uc os eo é icos sob e manejo y p ocedimien o de in- o mación, lo cual pa ece apoya la idea de una eo ía cibe né ica del ap endizaje, explíci amen e señalada po el G upo Ce o al es ablece el pa alelismo en e los enunciados de Polya en las e apas de p og amación en el uso de o denado es (G upo Ce o, 1987). En cualquie caso, el papel de los modelos didác icos, más que un p og ama ígido de en e enimien o, -que en de ini i a la p opues a de los de enso es del (( nodelling)) (Lesh, Niss y Leo, 1986)- debe ía se , en é minos pa ecidos a lo que es el diseño cu icula , una he amien a analí ica en manos del p o eso pa a juzga la adecuación de sus es a egias y las de sus alum- nos, así como un ins umen o pa a ans o ma las ((cla i idencias)) eó icas en de iniciones p ác icas pa- a el aula (Howson y Malone, 1986). 3. DEBILIDAD DE LOS MODELOS TE~RICOS Que exis e eo ía es un hecho. Lo que ocu e es que solamen e pod á ac edi a se cien í icamen e el mode- lo explici ado de una eo ía cuando queden sólidamen- e es ablecidas las elaciones causales en e el sis ema y su modelo uncional. Y es o, desg aciadamen e, no es á su icien emen e p obado en la esolución de p o- blemas, po más que en una decla ación olun a is a el Chupo de ~om~ encias Básicas del Ins i u o Nacio- nal de Educación (EE.UU.) a i ma a en 1975: «Los p oblemas se esuel en más e icazmen e median e la aplicación de una eo ía adecuada)). Y és a es la que echa en al a Les e , de un lado po que no exis e una única mane a «co ec a» de enseña a esol e p oble- mas y hay an as mane as de enseña e icazmen e a pen- sa ma emá icamen e como p o eso es de alen o ha- ya (Schoen eld, 1985a). De o o lado, po que la ela- ción en e los p ocedimien os heu ís icos desc i os y la solución de p oblemas «depende más del análisis con- cep ual esul an e de una e lexión pe sonal y del aná- lisis de la p opia expe iencia en ma emá icas que de un es udio de na u aleza es ic amen e empí ica)) (B own, 1983). Y sigue diciendo B own: «La mayo pa e del abajo empí ico su ge de concep ualizaciones de na- ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1988, 6 (3) INVESTIGACIÓN Y EXPERIENCIAS DIDÁCTICAS u aleza eó ica (ya sea a iculada como al, o no)» (p. 24). El hecho es que el abajo empí ico no e mina de con i ma la alidez de los cons uc os eó icos; P.e., hace ya más de diez años que Sil e (1977) con i mó que el segundo heu ís ico de Polya, « aza un plan)), e a más un aspec o o o ma de ees uc u a los da os del p oblema que de esol e lo. O as in es igaciones han e elado que los es udian es a ían el modelo o - mal de solución de un p oblema a o o; que hay con- adicción en e el núme o y a iedad de es a egias u i- lizadas po los buenos y de icien es esolu o es de p o- blemas; que el uso del ensayo y e o , iden i icado en algunos es udios como ca ac e ís ico de los malos e- solu o es, se encuen a, en o os casos, po encima de la media en las en a i as de los buenos, y que además, el ensayo y e o conduce al éxi o con más ecuencia que el uso de la deducción (Ba ne , Vos y Sowde , 1979). En de ini i a, en con a de la opinión de que el uso de modelos es un buen mé odo de enseñanza pa a la e- solución de p oblemas, las conclusiones de la in es i- gación son inconsis en es. Po ejemplo, la conclusión de Lesh y sus colabo ado es es que las écnicas que los es udian es ap enden en el colegio no se an ie en al mundo eal y que los modelos gene ales no se aplican a si uaciones especí icas (Lesh, Landau y Hamil on, 1983). Po su pa e Schoen eld a i ma: «El pensamien- o ma emá ico es lógico y igu oso, y las écnicas que empleamos (los ma emá icos) pa a en en a nos a los p oblemas son aplicables en muchos campos, pe o a menos que las p esen emos con cla idad, no es p oba- ble que los alumnos adquie an la in uición necesa ia pa a 'comp ende ' o bene icia se de ellas)) (1985b). Con muy pocas excepciones la ins ucción en un mo- delo de solución se ha mos ado poco e icaz en el de- sa ollo de la capacidad gene al pa a esol e p oble- mas. Po el con a io, la enseñanza de p ocedimien os especí icos u ilizados en el p oceso de esolución, a- les como ep esen a median e dibujos, con ecciona esquemas, clasi ica da os, cons ui algo i mos, e c.. . inc emen aba su uso en la esolución o mejo aba el en- oque de p oblemas en cuyo enunciado se u ilizaba al- guno de ales ecu sos, pe o la mejo a de la capacidad gene al esolu i a e a muy modes a. Po o o lado, la a iada ca ego ización de p ocesos, heu ís icos, es a egias, ases, e c ... an o en núme o como en la de inición de la conduc a exhibida o impli- cada, di icul a la con e gencia hacia un modelo de in- eg ación. Desde el modes o esquema analí ico de Means y Lo ee (1986) con es a iables has a las die- cisie e de Flahe y (1975), el de Kan owski (1977) con sie e, has a el úl imo de Schoen eld (1982) con ein i- sie e, en e es a egias gene ales, es a egias básicas y ac i idades especí icas, además de los modelos ci ados an e io men e, uno puede hace se una idea del es ado en que se encuen a hoy la in es igación en es e cam- po de los modelos p oposi i os. 4. NUESTRO PUNTO DE PARTIDA El desconcie o po la inconsis encia de los esul ados de la in es igación di ícilmen e puede se esuel o des- de den o del mismo pa adigma. El modelo de cuju ne- g a, que es á en la base del pa adigma p oceso- p oduc o, deja sin explica lo que ocu e den o de la caja; «sólo es udia concomi ancias en e en adas y sa- lidas del sis ema; al no habe hilos de explicación no hay posibilidades de o ien ación acional de nue os en- sayos an e el acaso)) (Gimeno, 1981, p. 50). De ahí que la ins ucción de modelos se haya mos ado más p oduc i a en habilidades especí icas que en el com- plejo p oceso de p oducción; po es a azón, nues o abajo no p e ende cuan i ica las espues as co ec- as, -al menos no es ése el obje i o cen al-, sino de- e mina qué ipo de compe encias, habilidades o con- duc as u ilizan espon áneamen e los escola es, y si es posible iden i ica algúnpu ón es able que pueda con- side a se como un es ilo de esolución de p oblemas. An e es a si uación cabía p egun a se: ¿Cuál es la con- duc a ípica de un escola an e los p oblemas, su «in- di idual's own app oach))? Dado que las o mas de compo amien o eó icamen e posibles son casi in ini- as y que, además, cons i uyen un campo abie o en que pueden apa ece elemen os inédi os que lo amplían y complican, pod ía in en a se una espues a que des- c ibie a, den o de un cie o ma gen de p obabilidad, el esquema heu ís ico de un alumno o de un g upo, y pe mi ie a pone en elación eo ía y p ác ica sob e un sopo e expe iencial. Es a idea es á muy p óxima a la que Ve s appen expu- so en el g upo de es udio sob e ((In es igación y Ense- ñanza)) en la quin a eunión del ICME (1984) cuando a i maba que el obje i o sup emo pa a los p o eso es e a iden i ica alguna sue e de es uc u a que pe mi- ie a apoya cambios en la acción pedagógica de o - ma que se pudie a pene a en los insigh s ma emá i- cos de los es udian es, y es imula al p o eso como in- es igado en el aula. (Ch is iansen e al., 1986). El mé odo de elección pa a es e ipo de abajos pa e- ce se el de la en e is a clínica. Es a écnica ya la ha- bía u ilizado Wi man en los p og amas pa a la o - mación de p o eso es de Do mund. En su comunica- ción a la misma mesa del ci ado cong eso, dice Wi - man que «la en e is a clínica es el camino más ácil de hace psicología, p omo e ac i udes y compe en- cias docen es, y elaciona la psicología con o os do- minios de la o mación de p o eso es de ma emá icas)) (p. 285). Sob e es as p emisas discu e es e abajo. Pa a elio, se ha pa ido de un conjun o de conduc as que los niños suelen mos a ei e adamen e en la e- ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1988, 6 (3) INVESTIGACIÓN Y EXPERIENCIAS DIDÁCTICAS solución de p oblemas. Tales ac os p o o ípicos, edu- cidos a los que un equipo de p o eso es de E.G.B. ha es imado como ope an es signi ica i os, son los doce siguien es: Ei = Lec u a del p oblema E2 = Esc i u a de da os E3 = Rep esen ación simbólica de los da os (dibujos, g á icos, ablas). E4 = U ilización de da os i ele an es Es = Pe plejidad: sen i se desconce ado, epe i la p egun a del p oblema, epe i se los da os o pedi más. E6 = Fo mulación de hipó esis (si hago es o, en on- ces ...) y planes de abajo. E7 = An icipación de los esul ados (es imación cuan- i a i a o cuali a i a). Es = Cálculo (ope aciones) E9 = Resolución (llega a un émino en el p oceso ope a i o y da una solución) Eio = Comp obación ( e i ica que el esul ado sa is- ace las condiciones) Eii = Rec i icación (cambia de es a egia: O den ope acional, simpli ica el p oblema, u iliza o os da os) E12 = Es ancamien o o ausencia de conduc a. De inido así el campo de obse ación ya puede some- e se a expe imen ación. En p incipio odas es as ac i- idades son igualmen e posibles y mu uamen e exclu- yen es, es deci , un suje o no puede se obse ado si- mul áneamen e en dos o más de ellas. A pa i de es- as condiciones podemos p egun a nos: ¿cuál es la p o- babilidad de que un de e minado escola p oceda de un cie o modo?; ¿cuál es la p obabilidad de que a un ac o conc e o siga o o? Se a a, pues, de in es iga las conduc as ípicas de los escola es en e a los p o- blemas ma emá icos, ya que a es a edad el niño ha al- canzado la madu ez su icien e pa a en en a se a ellos con una a iedad ma e ial y o mal que p e igu a a- eas más complejas y ex ensas. 6. MUESTRA Se pa ió de una mues a cons i uida po 102 niños de 5' cu so de E.G.B. de 4 colegios si uados en cada uno de los pun os ca dinales de la ciudad de San ande . 7. CONTENIDO Po lo que se e ie e al con enido, se es ablecie on 5 á eas: conjun os, nume ación, cálculo, magni udes y geome ía. Se pidió a los p o eso es de esos cen os en- ca gados de la ense ianza de las ma emá icas que eli- gie an 4 p oblemas s anda d de cada á ea co espon- dien es a los cu sos 3', 4' y 5' de E.G.B. Se ob u ie- on así 80 enunciados, que se some ie on a so eo con bolas nume adas has a ecoge la mues a que expone el cuad o adjun o. COLEGIOS a = conjun os d = magni udes e = geome la Las ci as indican el núme o de o den de cada á ea, en la elación que acili ó cada uno de los colegios. Es os 20 p oblemas se p esen a on pa a su esolución a los 102 niños de la mues a. De los 20 p oblemas se selecciona on pa a su aplicación inal 5 p oblemas, uno po cada á ea ma emá ica, y que hubie an ob enido en la aplicación pilo o en e un 66% y un 75% de esul a- dos posi i os. La educción a cinco p oblemas e a exi- gible po la labo iosidad de la aplicación, que no pe - mi ía una obse ación muy dila ada. Y el po cen aje de éxi os, po que se en endió que e an p oblemas idó- neos del ciclo, ni muy áciles ni muy di íciles, sino e- p esen a i os de las habilidades ca ac e ís icas en ma- emá icas de los alumnos ípicos del ciclo medio. (Es- os p oblemas, se incluyen como apéndice al inal del a ículo). Dada la me iculosidad de la écnica de obse ación, la complejidad del sis ema de compu ación de conduc as y la can idad de iempo necesa io pa a el egis o indi- idual, e a imp escindible educi el núme o de casos, que quedó es ablecido en 20 niños. Es a educción de- bía hace se sin pé dida de ep esen a idad, que se cal- culó median e un con as e de medias, p e ia la com- p obación de la no malidad de las dis ibuciones, lle- gando a la conclusión de que e ec i amen e, e an dos ENSEÑAXZA DE LAS CIENCIAS, 1988, 6 (3) INVESTIGACIÓN Y EXPERIENCIAS DIDÁCTICAS es imaciones de la media de una misma población (Alonso, 1986). Elegidos al aza 5 niños de cada uno de los mismos co- legios, aulas y g upo que habían pa icipado en la p i- me a ase, se decidió es udia su conduc a en el cu so de la esolución de los p oblemas de modo di ec o y simul áneo con egis os pe sonales, median e pa ejas de obse ado es. debidamen e adies ados, y egis os audi i os (magne ó ono) y isuales ( ideóg a os). Cal- culamos la iabilidad de cada dos se ies de obse acio- nes has a consegui que el coe icien e i de Sco uese mayo que 0.85, índice acep able en la in es igación pedagógica. Los niños pensaban en oz al a exp esando odas sus i encias en el cu so del p oceso de esolución. Ex e- io izaban e balmen e su p ocede sin la meno di i- cul ad e incluso de una o ma mucho más na u al de lo espe ado. Las pa ejas de examinado es-obse ado es ano aban la se ie de las conduc as exhibidas en in e - alos de 15 segundos en p o ocolos que ecogen el cu so de la conduc a de cada niño an e cada p oblema, me- dian e un sis ema de no ación que comp ende núme- os del 1 al 12, según los subíndices co espondien es a cada una de las es a egias. 10. TRATAMIENTO Aunque se u ilizó un sis ema de egis o es á ico, los da os se codi ica on de o ma dinámica, e e ida, asi- mismo, a niño y p oblema, median e ma ices de an- sición, que pe mi en descub i en una conduc a se ia- da si la sucesión de los acon ecimien os su ge al aza , o po el con a io hay una cie a endencia, medida en é minos de p obabilidad, de que un suceso ocu ido en un iempo, p oceda de o o, y de que en la unidad empo al siguien e pe manezca en la misma si uación o pase a o a. ko ianas es udiado po González Ca mona (1975) y cu- ya e icacia ya se ha p obado en la desc ipción de con- duc as cuya a iable undamen al, más que la me a ocu encia del e en o, es la ansición de un es ado a o o en una secuencia empo al (F ancés, González y Sáenz, 1987 y F ancés y Sáenz, 1987). De cada suje o se ob u ie on 12 ma ices de ansición 12 po 12 (2 po cada p oblema en é minos de ecuen- cia: (niaj), y en é minos de p obabilidades: (piVj), así como o as 2 más de la misma o ma que engloban los cinco p oblemas); además 10 nue as ma ices: 5 de ellas exponen de o ma global las ecuencias ni,j de an- sición e e en es a los esul ados de cada p oblema de los 20 niños en su conjun o y las o as 5 las p obabili- dades de ansición con sus g a os espec i os; 2 úl i- mas ma ices: una que esume las ecuencias de an- sición o ales y la o a exp esa las p obabilidades con que .es posible espe a esas ansiciones. Cada una de las ma ices con iene doce es ados Ej. Las ma ices de ecuencias absolu as de ansición (niVj) ienen de inidas de acue do con la condición de que cada elemen o ni,j sea el núme o de ansiciones obse adas desde el es ado E, al Ej: n,, = (E,, E,). Es a ma iz, nos o ece una in o mación mucho más ica que la simple exposición de las ecuencias abso- lu as, aunque és as se pueden ob ene , si se quie e, me- dian e la suma de los é minos nl,j, nlj, qj,.. . n ,,.,, de la columna j: I : 12 (El) =E n,, i ; ........; (El?) = 2 ni. 12 i= l i= 1 En la abla 1 se o ece, po su alo in o ma i o, un esumen de las ecuencias absolu as de los 20 niños en los 5 p oblemas, y las ecuencias ela i as globales de cada conduc a. El a amien o de las obse aciones se ha ealizado me- Las ma ices o ecen la misma in o mación que el cál- dian e la aplicación de un algo i mo pa a cadenas Ma - culo adicional, y además in o mación adicional que Tabla 1 E a Ez E3 El Es Es E7 Es Es Eio El1 Elz 12.89 6.88 0.94 1.26 14.37 3.29 0.30 16.28 2.93 0.17 1.57 2.70 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1988, 6 (3) INVESTIGACIÓN Y EXPERIENCIAS DIDÁCTICAS las ablas o dina ias de ecuencia no pueden u ilizado p e iamen e o a es a egia. p opo ciona . La E2 ue u ilizada 14 eces. La ma iz (niSj) nos in o - Veamos a modo de ejemplo dos de las ma ices indi i- ma que pasó de E, a E,, n2,, = 5 eces con una p o- duales de la niña Alicia: P oblema 4, al como se han babilidad de ansición de p2,: = 0.30 (de esc ibi da- desc i o (Tabla 2). os a segui esc ibiéndolos); de E4a E2, 114.2 = 3 eces con una p obabilidad de ansición p4.2 = 1 (de u ili- En el caso de Alicia, sus es a egias en la solución del za da os i ele an es a esc ibi los); de Es a E2, ns,2 = p oblema 4 nos e elan que EI (lec u a del p oblema) 1 ez con una p obabilidad ps,z = 0.04 (de sen i se ue u ilizada 8 eces mien as que la ma iz (niSj ) de desconce ado a esc ibi da os); de Esa E2,ns,2 = 4 e- ecuencias de ansición de Ma ko nos in o ma que ces con p6.2 = 0.44 (de o mula hipó esis a esc ibi pasó de E, a E,, n,, , = 7 eces y con una p obabili- da os); de Esa Ez, ns,z = 1 ez con p9.2 = 0.20 (de con- dad p1.i = 0.9 y que comenzó con la lec u a sin habe segui un esul ado a esc ibi de nue os da os), e c ... Ma iz de ecuencias de ansición E3 E4 Es Es E7 Ee Es Eio 00010000 O0110600 00000000 00000000 002041000 01310000 00010000 O00001450 02000011 00100000 00010000 00100000 Eii E12 o o o 1 O o o o o o o o o o 1 o o o o o O o o o F ecuencias Ma iz be p obabilidades ansición Ez E3 E4 ES Es E7 Es E9 E1o .O0 .O0 .O0 .O0 .13 .O0 .O0 .O0 .O0 .36 .O0 .O0 .O7 .O7 .O0 .43 .O0 .O0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 1.0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 .O4 .O0 .O0 .77 .15 .O4 .O0 .O0 .O0 .44 .o0 .11 .33 .ll .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 1.0 .o0 .o0 .o0 .o0 .O0 .O0 .O0 .O0 .O0 .O0 .70 .25 .O0 .20 .o0 .40 .o0 .o0 .o0 .o0 .2.0 .20 .o0 .o0 .o0 1.0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 1.0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 1.0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1988, 6 (3) INVESTIGACIÓN Y EXPERIENCIAS DIDÁCTICAS Es os da os no son solamen e una desc ipción de las es a egias u ilizadas po un suje o de e minado en la esolución de un p oblema conc e o, sino que si en ealmen e como un ins umen o de diagnós ico que pe - mi e de ec a las di e en es ases que eco e un suje o en su p oceso men al a la búsqueda de la solución. Es- e conocimien o es el único c i e io que ga an iza la a- cionalidad de un p og ama de eeducación o a amien- o de las di icul ades, si las hubie a. 12,. MATRICES DE TRANSICIÓN Y VECTOR LIMITE Puede deci se que la ma iz (ni,j) de ecuencias de ansición, da una isión de la e sa ilidad con que es u ilizada cada una de las o mas de conduc a Ei y que no es posible a e igua a pa i de los da os que p o- po ciona la abla de ecuencias. Conside ando la sucesión egis ada en los es adillos de obse ación, y admi iendo que el conjun o de las doce es a egias Ei sa is ace las dos p opiedades siguien es: i) Cada esul ado de obse ación pe enece al conjun- o ini o de es a egias El, Ez, E3, E?, Es, E6. E7, Es, Es, Eio. EII, Eiz. 1 que podemos llama espacio de es ados del sis ema. Si el esul ado de la n-ésima obse ación es Ei en onces decimos que el sis ema es á en es ado Ei en el paso n-ésimo. ii) El esul ado de una obse ación depende a lo su- mo del esul ado de la obse ación inmedia amen e an- e io y no de cualquie o o esul ado p e io. Con ca- da pa de es ados (E,, Ej) se es ablece la p obabilidad de que Ej suceda inmedia amen e después de que suceda Ei . El p oceso es ocás ico se puede inse a den o de las llamadas CADENAS DE MARKOV ( ini as). Los núme os P,,~ llamados p obabilidades de ansi- ción, se pueden o dena en una ma iz llamada Ma iz de ansición. A cada Ei co esponde el ec o ila (pi,~ pi,2 ,..., pi,12). Si el sis ema es á en el es ado Ei.en on~e~ el ec o i- la ep esen a las p obabilidades de odos los es ados posibles de la obse ación siguien e. A pa i de las ma ices de ecuencias de ansición ab- solu as (n,, j) podemos ob ene unas ma ices es ima- das P* = (p* i,j), no malizando la ma iz de ecuen- cias, al di idi cada elemen ~ nij po la suma de los elemen os de su misma ila: n. p*. , = A' '.J 12 j = : así de (ni,j ) se ob iene (p,,,). Si un suje o o un g upo de suje os se encuen a en un es ado Ei con una p obabilidad ni. es as p obabilidades se pueden ep esen a po el llamado ec o de dis i- bución de p obabilidad. Podemos desc ibi la dis i- bución de p obabilidad inicial po T (0) y po ? (n) la dis ibución de p obabilidad en el paso enésimo. Hay dos ipos de ec o es de pa icula in e és: los ec- o es lími es y los ec o es es aciona ios, pudiendo o no exis i en cada caso conc e o. Un ec o es aciona io V indica que en el caso de que el sis ema (el p oceso men al de un niño o del g upo) se ep esen e po él, pe manece á en él inde inidamen e. Un ec o lími e W co esponde al hecho de que, pa - iendo de cualquie posible ep esen ación del sis ema y pasado cie o iempo, se ob iene como lími e el ec- o mencionado. Si es e ec o exis e, en onces es es a- ciona io y no exis i án o os ec o es dis in os de él que sean es aciona ios. En odos los casos que hemos es udiado exis en es os ec o es lími e po cumpli el c i e io de exis encia de comunicación en e los es ados y de un ciclo unidad (González Ca mona, ibídem). La exis encia del ec o lími e implica que sea cual sea la si uación inicial (en nues o caso un p oceso men al indi idual o de g upo), llega á a alcanza se el ec o lími e, po lo que es a emos en una si uación de equi- lib io. Lo que signi ica que los p ocesos iniciales de un suje o o de un g upo son i ele an es, ya que con ma- yo o meno apidez se i án ace cando has a exhibi las condiciones ep esen adas po el ec o lími e. Se ha encon ado que nues as ma ices de ansición P(") llegan a es ados es aciona ios en la po encia n = 32. A pa i de es a po encia odas sus ilas son igua- les y el ec o de dis ibución de p obabilidad^('^) e- p esen a el ec o lími e W. 13. POSIBILIDADES DEL CALCULO Tan o desde el pun o de is a desc ip i o como de diag- nós ico, el a amien o ma icial de da os de obse a- ción es muy e sá il. Con an e io idad se ha p esen a- do la ma iz de ansición de un suje o en un p oble- ma. Pe o la p opiedad adi i a de las ma ices pe mi e ob ene una nue a que sea el esul ado de la combina- ción de a ias ma ices singula es. De es a sue e se pue- de ob ene : a) Una ma iz que e leje el pe il heu ís ico de un su- je o en la solución de un conjun o de p oblemas, lo que equi ald ía a la secuencia p o o ípica de dicho suje o, en el uso de las es a egias analizadas, pa a cualquie ipo de p oblema. El conocimien o de dicho p oceso indi idualizado pe mi i ía una in e ención pe sonalizada. b) La ma iz de un p oblema a pa i del uso que de ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1988, 6 (3) INVESTIGACIÓN Y EXPERIENCIAS DIDÁCTICAS las dis in as es a egias hace un cie o núme o de esco- de ecepción como de pa ida, pe o sob e odo cabe la es, lo que acili a ía descub i qué ansiciones, y en des aca el ca ác e abso ben e de es e es ado, en que qué o den, son p io i a iamen e elegidas po una co- la niña es obse ada du an e la gos pe íodos de iem- ho e en di e en es ipos de p oblemas. po o al que e o na desde cualquie o a ac i idad. A con inuación apa ecen Es. E2 y ~6, po es e o den (apa - C) Una ma iz global o « inal» que sea el esul ado del e de la me a lec u a), lo que e idencia que Alicia en en amien o de muchos niños con muchos p oble- mas. Es a ma iz e leja ía las ansiciones p obabilís- cen a con p e e encia en los aspec os numé icos más icamen e más ecuen es de la coho e sea cual ue e que en es a egias de descub imien o. La al a inciden- cia en Es se explica desde el momen o en que el abo - el ipo de p oblema; es deci , qué es a egias o cade- daje es pu amen e po an eo; en consecuencia, al no nas heu is icas son ins umen adas p e e en emen e po a aca los p oblemas median e un plan o ganizado, las un g upo de edad, ni el escola , e c ... ases de pe plejidad y de e o no se plan ean cuan as 14. RESULTADOS 14.1. Pe iles indi iduales --- eces los da os o los-p ocedimien os-de cálculo elegi- dos no pa ecen « azonables»; pe o sin que el c i e io de « azonabilidad» lo sea a su ez, po cuan o que Ali- cia ope a al aza ( e abla 4). La suma de ma ices de un suje o pe mi e descub i su El p ime con ac o con el p oblema es la lec u a. A pa - i de E6, la cadena p obabilís ica se es ablece como in- es ilo pe sonal de a aque y desa ollo de los p oblemas; dica el, g a o algo así como su pe il heu ís ico o me odología eso- lu i a pe sonal. siguiendo con Alicia, he aquí cómo u i- A pa i de la lec u a del p oblema, la niña se es acio- liza sus ecu sos men ales y ope a i os en el conjun o na, como pa ece na u al, en una ac i ud apa en e nen- de los cinco p oblemas esuel os: e inquisi i a (Es): Y es apa en e po que si uese e - . ,. - . - dade a, la ansición naG al se ía hacia E6 O E7 con Las 412 conduc as egis adas a Alicia en la esolución una p obabilidad mucho mayo que la e lejada. El he- de los cinco p oblemas se han dis ibuido de la o ma cho de que pe manezca en E , de o ma ci cula y pe - que indica la abla 3. sis en e, demues a que la pe pleiidad no es acional --- El mayo núme o de ansiciones lo egis a Es, an o sino e dade o bloq;eo emo i o. Tabla 111 - -- - -- Tabla IV *************MATRIZ DE PROBABILIDAD DE ALICIA. TOTAL ********* El E2 E3 E4 E5 Es E7 Ee Es Eio EXI Eiz El .83 .O0 .O0 .O0 .13 .O2 .O0 .O0 .O0 .O0 .O0 .O2 E2 .O0 .39 .O0 .O0 .O9 .O7 .O2 .41 .O0 -00 .O0 -02 E3 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 E4 .O0 .50 .O0 .O0 .25 .O0 .O0 -12 .O0 .13 -00 -00 Es .O3 .O6 .O0 .O2 .62 .14 .O3 .O2 .O0 .O0 .O3 .O5 Es .O0 .36 .O0 .O6 .42 .O3 .O3 .lo .O0 .O0 .O0 .O0 E7 .O0 .S0 .O0 .O0 .O0 .17 .O0 .16 .O0 .O0 .O0 .17 Es .O0 .O2 .O0 .O1 .O6 .O2 .O0 -66 .15 .O0 .O8 .O0 Es .O8 .O8 .O0 .17 .O8 .25 .O0 .O0 .25 .O8 .O0 .O0 El0 .o0 .o0 .o0 .o0 1.00 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 EII .O9 .O0 .O0 .O0 .27 .18 .O0 .46 .O0 .O0 .O0 .O0 E12 .O8 .O0 .O0 .O0 .53 .O8 .O0 .O0 .O0 .O0 .O0 .31 G a o 1 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1988, 6 (3) INVESTIGACIÓN Y EXPERIENCIAS DIDÁCTICAS ~l e na i amen e sal a a Ez(u i1ización de da os) Y Es 14.2. Ma iz de ~ oblema- i~o (cálculo), pe o como su es a egia es «blind guessing», no hay comp obación, po lo que, sin jus i icación, pa- sa de la ob ención de un esul ado (Es) a un aná qui- co uso po ensayo y e o de da os i ele an es (E4) con los que encon a una solución más plausible, a pe- sa de que no haya jus i icado el posible e o de los ya ob enidos. El desemba co en E, signi ica ol e a si ua se en E2 y en Es haciendo ecu en e de nue o el p oceso. Es e iden e que Alicia equie e una in e ención deci- si a en dos momen os: 1) En E, pa a sali hacia E,, median e la p oducción de una hipó esis, de abajo o plan de desa ollo, y pasa a con inuación hacia E7; y 2) En Esque sólo iene una salida azonable que es hacia Eio, con una bi u cación: hacia Eii pa a ees- uc u a el p oceso o hacia Ei2, es ado de eposo y e- ue zo, po habe esuel o el p oblema. El p oblema 5 es ípico de cálculo, pe o no al es ilo de los usualmen e p opues os en la escuela, cuyos elemen- os incluyen exclusi amen e los da os que han de se manejados pa a la solución. Po el con a io, la eali- dad es mucho más ica en in o mación, lo que obliga a selecciona los da os ele an es al p opósi o del eje- cu o y desecha la in o mación i ial o no pe inen e. ¿Cómo ha sido abo dado es e p oblema- ipo? ( e a- bla 5 y g a o 2). El ec o lími e e ela que, es abilizada la conduc a, la mayo p obabilidad de se obse ado cualquie es- cola co esponde a la ac i idad Es, seguida a co a dis ancia de la Es y con p obabilidad dec ecien e El, Es, e c ... y que di ícilmen e se le encon a á en E3, E7, e c ... Pe o una ez leído el p oblema y si uado en Es, su conduc a siguien e se á pe sis i en la misma con una Tabla V 1 Ma iz de p obabilidad El E2 E3 E4 E5 Es E7 Es Es Elo El1 E12 El .83 .O1 .O0 .O1 .10 .O3 .O0 .O0 .O0 .o0 -01 .o1 E2. .O1 .30 .O0 .O1 .O3 .O2 .o0 .61 -01 .o0 -01 .o0 E3 .O0 .O0 .O0 .O0 .O0 .O0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 E, .O4 .19 .O0 .O9 .31 .O2 .O0 .20 .O7 .O0 .O6 .o2 Es .O7 .O3 .O0 .O4 .68 .O8 -00 .O2 .O0 .O0 .o1 .o7 Es .O2 .50 .O0 .O7 .18 .14 .O0 .O2 .O2 .O0 .O1 .o4 E, .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 .o0 Es .O8 .O1 .OO. .O2 .O4 .O2 .O0 .71 a18 .O0 .O2 -00 Es .O3 .16 .O0 .O6 .30 .28 .O0 .O1 .13 .O3 .O0 -00 El0 .o0 .o0 .o0 .o0 .33 .34 .o0 .o0 .o0 .33 .o0 .o0 El= .O9 .32 .O0 .O9 .23 .O9 .O0 .18 .O0 .O0 .O0 .o0 Elz .O6 .O2 .O0 .O0 .61 .O6 .O0 .O0 .O0 .O0 .O0 e25 Vec o lími e EL E2 E3 E4 E5 Es E7 EQ E9 E10 E12 .16 .10 .O0 .O3 .29 .O7 .O0 .26 .O6 .o0 -01 .o3 G a o 2 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1988, 6 (3)