Las pruebas de matemáticas en los exámenes de acceso

INVESTIGACION Y EXPERIENCIAS DIDACTICAS LAS PRUEBAS DE MATEMATICAS EN LOS EXAMENES DE ACCESO I'ASTOR, J.(*) Ca ed á ico I.B. So olla (Valencia) (*) Es e abajo se ha elabo ado en base al ma e ial del p oyec o «Las ma emá icas en la o mación del uni e si- a io ac ual: p oblemd ica del acceso y análisis documen al de planes de es udio)), ap obado en el X Plan Nacional de In es igación Educa i a, en cuya ealización omó pa e el au o . SUMMARY Fi s , we desc ibe he o ganiza ion p<culia i ies o he inal es pape s o Seconda y Schools in a ious coun ies wi h ega ds o ma hema ics. In he second pa o ou pape we conside some ele an cases including, o cou - se, he Spanish one. Finally, we o e) di e en al e na i es in o de o imp o e he abo e men ioned es pape s. - .C I 1. EL MARCO GENERAL Las p uebas de acceso ienen en los dis in os paises eu opeos una doble unción: po un lado se ialan el i- nal de una ins ucción gene al pa a un colec i o, cada ez mayo , de la población; po o o, pe mi en el pa- so a una ins ucción supe io . Tales p uebas se cono- cen po Abi u en Alemania, BAC en F ancia, Ma u- a en Suiza, Ma u a en Aus ia y GCE A-lé el- en In- gla e a. En Es ados Unidos no exis e una p ueba de acceso en el sen ido an e io . La di icul ad de ales p uebas consis e en e alua , conjun amen e, las dos unciones a las que si en. Dado que no nos ocupa emos de la selec i idad en ge- ne al, emi imos al lec o a dos publicaciones ele an- es po la can idad de in o mación que p opo cionan: la de 1a.O icina de Educación Ibe oame iaca (1973) y la del P o . R. Cid y colabo ado es (1977) Si bien no hay ipi icación, en las dis in as discipiinas, espec o a lo que se en iende po conocimien os nece- sa ios pa a accede a los es udios supe io es, sí que hay in es igaciones empí icas y búsqueda de modelos en dis- in os paises ela i os a es a cues ión. Tales in es iga- ciones han pe mi ido obse a ( éase Mi e , ed. (1979): 1.- Hay co elación signi ica i a en e no as de la p ueba de acceso Y éxi o u u o en los es udios supe io es. 2.- En un núme o c ecien e de paises se u ilizan los es s de capacidad Y de endimien o.pa a mejo a el p onós ico del éxi o u u o en el es udio. 3.- En muchos paises se obse a el eque imien o, pa- a el acceso a la o mación supe io p o esional, de un cie o núme o de anos de p ác ica. En lo que espec a al pun o e ce o, no deja de se cu- iosa la mesa de abajo o ganizada en Ba ie a po e- p esen an es del los ((Gymnasien)) (colegios supe io es de ense ianza media; y del Consejo de Economía e- gional, cuyo obje i o e a de e mina la ((ins ucci n ge- ne al)) que debe ían posee los u u os es udian es de economía. En e los p ime os esul ados de la mesa es á la so p enden e exigencia de los ep esen an es econó- micos de que los alumnos eciban una cul u a gene al más as a ( éase Schmid (1980)). Pasa emos e is a, en p ime luga , a cie os paises en los que el sis ema de acceso es á cen alizado. 1.- F ancia F ancia es sin duda modelo de plani icación es a al, o - ganización y con ol de la educación. Las p uebas del BAC ela i as a la asigna u a de ma- emá icas es an en e las de mayo con enido de Eu o- pa, incluyendo las écnicas de cálculo más complica- das. Según la elección de ma e ias hechas po el alum- no, las p uebas de acceso con ienen los siguien es po- sibles ópicos: eo ía de núme os; cue po de los eales y de los complejos; análisis ( unciones logan micas, ex- ponencia1 y igonomk icas; ecuaciones y álgeb a mé- ica) y eo ía de la p obabilidad. La peculia idad del sis ema ancés consis een la exis- encia de dis in as opciones, según el ipo de es udios uni e si a ios que el alumno desea ealiza . Los p o- g amas de ma emá ica igen es ue on elabo ados po la ((Comisión Lichne owicz)), hace más de una dk- da. En conc e o, las opciones C. D y E del cu so «Te - ENSERANZA DE LAS CIENCIAS, 1984, pp. 17-24 INVESTIGACION Y EXPERIENCIAS DIDACTICAS minale), an di igidas a ca e as cien í icas. Como es emá icas, es p ác icamen e imposible analiza an o los bien sabido, la posesibn del BAC no signi ica, de o - c.ie cicios p opues os como los esul ados ob enidos. ma au omh ica, el ing eso del alumno en las acul a- (No a: hay que senala que en Suiza se ealiza la e - des 0 escuelas, poseyendo es os cen os po es ad pa a dade a a la en ada del bachille a o, donde o ganiza p uebas de acceso que, en ocasiones* exigen no más del 20% de los es udian es coi,siguen llega a él). a los alumnos dos y es anos de dedicacibn, a iando la di icul ad según el p es igio del cen o. Seilalemos, 4.- Aus ia a í ulo de cu iosidad la exigencia de dos ailos de expe- En Aus ia se hace necesa io ecu i a una in es iga- iencia labo al. además de una edad mínima, no in e- ción algo an igua, al no conoce se aún los esul ados io a 21 anos colno único equisi o pa a el acceso a del nue o plan de es udios, ecien emen e in oducido. la Uni e sidad de Vincennes. Tal sis ema de acceso ha En 1978 se publicb un es udio conjun o del ins i u o epe cu ido en el desp es igio académico de dicha Pedagbgico y del Educacional de la Ciudad Uni e sidad. de Viena, en el que se analizaba la e olucibn del ni el eque ido, an o en lo que se e ie e a los emas como 2.- República Democ h i a Alemana y o os paises del Es e. .. C Así. en la URSS. se ha~laii~dis~ensados de ealiza las os de ida y igome ía En su bga apa e- p uebas de acceso 10s jó enes que hayan des acado en cie on nue os emas: dlculo ec onal, a ia- el abajo Y hayan seguido un cu so de adap ación. Ií ica del espacio, clases esiduales, de p edica- O o an o ocu e en Bulga ia donde ambien exis e la dos, lineal y a amien o de Con po azones polí icas. En ambos casos las la mode nizacibn del p og ama de ma emá icas, in o- p uebas de acceso co en a ca go de los cen os. ducida a pa i de 1945, se ha in en ado disminui las Vol iendo a la R.D.A., en sus exámenes se exige, un- di e encias que sepa an la ense ianza media de las ma- damen almen e, el dominio de écnicas ma emá icas pa- emá icas de «la ciencia ma emá ica)). Se a a, sob e a la esolución de p oblemas. Se encuen an ambien odo, de una eno acibn me odológica a a ks de con- eje cicios de demos acibn y concep uales. Anualmen e cep os de la eo ía de conjun os. se publican los eje cicios p opues os en la e is a «Ma - Eje cicios de geome na heima ik in de Schule~. De los in o mes se desp e ide os ex emos, cálculo in eg al y se en- po cu as e c.-- apenas p esen an di icul ades. bilidad calculis ica. ximos apa ados. 5.- Ingla e a En Suiza cada can ón o ganiza sus exámenes de «Ma- La p ueba de acceso a la Uni e sidad en Ingla e a con- u a )). Fundamen almen e cada p o eso , de cada co- sis e en la ob encibn de una modalidad del GCE (Ge- legio, puede pone los eje cicios de ma emi icas pa a ne al Ce i ican e o Educa ion, Ad enced le el) que su clase. De es a o ma, a ios as ano, se p oponen se conoce, desde 1951, como el «A-le el)). Es e GCE- más de 100 se ies de eje cicios inales. Como comen- examen es un examen ex e no de ca ác e especial: Las a a la Asociaci6n Suiza de p o eso es de Física y Ma- exigencias del examen son impues as desde ue a del ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS INVESTIGACION Y EXPERIENCIAS DIDACTICAS colegio; la co ección de los exámenes (Examyning o a pa e, la asis encia masi a a la Uni e sidad es ya Syllabiiscs), asi como los co espondien es exámenes, un hecho en Es ados Unidos, accediendo a la misma co en a ca go sie e cen ales examinado as (Boa ds). ap oximadamen e el 33% de los es iidian es de ense- Es iio able cons a a la u ii icación que consiguen los ñanza media. No nialnien e, es la p opia Uni e sidad Syllabuscs (p og amas) a pesa de la ausencia de un la que decide, en e los solici an es, cuáles deben in- plan p ees ablecido de enseiianza. n esa . La selección se ealiza a a és de dis in os es s A la edad de dieciseis años los aluinnos b i ánicos pa- de capaci ación y conocimien os, cuya pe ección pe - san el ((0 le cl>) (O dina y le el) que es el equi alen e mi e, al menos inicialmen e, igno a el plan de es u- a la an igua c álida de bachille a o. A pa i de ella, dios seguido po cada es udian e. y du an e dos años, se p epa an pa a el examen del «A Veamos dis in os mé odos de e aluación igen es en Es- le eln. Dicho examen e sa á sob e, al menos. es ma- ados Unidos. ic ias, siendo las ma emá icas la única que goza del p i- ilegio de se conside ada como ma e ia doble: ma e- m i ica pu a y ma emá ica aplicada. Las sie e cen a- les, o almen e independien es, enca gadas de señala el ni el eque ido y de p opone los exámenes en In- gla e a, no es ablecen el núme o máximo de ma e ias a elegi ni las posibles combinaciones de las mismas. Son las p opias escuelas .las;que, de acue do con sus disponibilidades, o e an dichas combinaciones. Es adis icamen e, de los 200.000 alumnos mayo es de 16 años que pe manecie on en las escuelas inglesas du- an e 1978, ap oximadamen e dos e cios se p epa an pa a el «A le el)) y, en e ellos, al ededo de un e cio escogia ma emá icas como, al nienos, una de sus ma e ias. El sis ema del «A le el)), a pesa de habe su ido in- signi ican es a iaciones du an e los úl imos 30 años, ha me ecido muchas c í icas. La objeción más ecuen e es que in i a a la supe -especialización: así, po ejem- plo, un es udian e que elija como ma e ias de examen ma emá icas, ísica y química dedica á p obablemen- e el 25% de su iempo al es o de las ma e ias, de las cuales no se iene que examina . La década de los 70 alumb ó soluciones al e na i as. Una de ellas p opo- ni !a elección de cinco ma e ias, bien a ni el elemen- al, bien a ni el a anzado, siendo asumida dicha p o- pues a po la ((S anding Con e ence on Uni e si y En- ance')) ( éase ((S anding...)) (1979)). A pesa de ello, en 1980, se omó la decisión de man ene el sis ema del (<A le eln como p ueba de acceso. En cualquie caso, la posibilidad de in oduci cambios en el ya iejo sis ema sigue discu iéndose. La p oposi- ción mas ele an e aboga po un p og ama uni a io pa- a el «A le el)) en ma emá icas. El sis ema de acceso, que se acaba de desc ibi , iene excepciones. En e ec o, con a iamen e a la p ác ica de la mayo pa e de los Cen os Uni e si a ios, la Open Uni e si y no exige más condición a los aspi an es que la de habe cumplido 25 anos. 6.- Es ados Unidos. , La di e encia undamen al en e las escuelas ame ica- nas y eu opeas adica en la mayo di e si icación que impe a, en las p ime as, deqnas escuelas a o as (El s a us y el alo de los exám-es es muy dis in o); po El «me odo Ca negie)), consis en e en asigna un «g a- do~ o pun uación al inal de cada e cio o mi ad de año de abajo en ma emá icas, elegó a un segundo plano los exámenes inales, an o p a ex ende un di- ploma de ín de ense ianza media, como pa a la selec- ción de aspi an es a las Uni e sidades. No hay ningu- na p ueba de acceso en USA que signi ique el in de la enseñanza secunda ia y el acceso a la supe io o a un abajo. En su luga , el sis ema USA es una mezcla de sis emas dispa es, ninguno de los cuales es en e a- men e sa is ac o io pe o que en su conjun o se e e- lan, al menos, e icien es. Da emos una pano ámica (en el apa ado «Modalidades de examen))) de la di e si- dad de es s u ilizados en los Úl imos a ios de la escue- la secunda ia y en el acceso a la Uni e sidad. Se ag u- pan en cua o ca egonas, siguiendo a Kilpa ick (1981): (a), exámenes inales, (b) ni eles mínimos, (c) es de admisión en las Uni e sidades y (d) es de ubicación en las Uni e sidades. 7.- España El caso español es un ejemplo ípico de sis ema cen- alizado, si bien el nue o plan de 1978 (B.O.E. 17-3-1978), ees uc u ación del co espondien e a 1975 (B.O.E.. 10-1-1975), lo es menos que el de 1%3 (B.O.E. 28-8-1 963). En el nue o plan se o o ga au onomía pa- a la elabo ación de los exámenes a los Coo dinado es de las dis in as ma e ias, p opues os po cada Uni e - sidad. A di e encia del modelo ancés, con cuyo sis- ema educa i o p esen a el espanol no ables simili u- des, exis e un p og ama Único pa a odos los alumnos de COU sin ene en cuen a su u u o ipo de es udios. La asigna u a de ma emá icas es obliga o ia pa a o- dos los alumnos de la opción «Ciencias» y op a i a pa a los es an es (Opción «Le as»). A di e encia del plan 1963, en el ac ual puede da se el caso de que los alum- nos de Ciencias ap ueben el examen de selec i idad sin habe sido examinados de la asigna u a de ma emá icas. 2.- DESCRIPCION DE ALGUNOS MODELOS EXPERIMENTADOS 1.- El caso b i 4nico Nos amos a cen a en cua o de los «Syilabus» i- gen es, po se los de mayo incidencia: AEB, JMBA, JMBB y SMP. Re isemos, inicialmen e, el iempo que p esuponen los exámenes pa a cada p egun a, sob e ENSERANZA DE LAS CIENCIAS 19 INVESTIGACIiON Y EXPERIENCIAS DIDACTICAS - una mues a de 1980. En un examen de la AEB co es- pondien e a ma emá icas aplicadas se p opusie on 10 p egun as, de las cuales debían esol e se 7 en un pla- zo de 3 ho as: el iempo disponible pa a cada p egun- a, eniendo en cuen a que pun uaban po igual, e a de al ededo de 25 minu os. Po con a, en un examen de ma emá icas pu as de la misma asociación se debla esponde en el mismo pe iodo de iempo jus o al do- ble de p egun as (14). Po ello cada p egun a debía se comple ada en 13 minu os. Lo habi ual es quc los exámenes p opongan p egun as la gas y co as. Es e es el caso de la JMBA, cons ando su examen de ma emá ica pu a de 10 cues iones ipo S y 4 ipos D. Sabiendo que las cues iones ipo S pun- uaban la mi ad de las que ipo D. se pedía con es a el equi alen e a 7 cues iones ipo D. Pa a el caso de ma emá ica aplicada y bajo el mismo esquema, se p o- pusie on 4 cues iones ipo S y 7 ipos D. El iempo e- sul an e pa a las p egun as la gas y co as es el mismo que el que les asigna 1a;g~J Los exámenes de la SMP coni an asímismo de cues- iones la gas y co as. Las ins ucciones ue on: «Hay 22 p egun as. Las 12 de la sección A alen la mi ad que las 10 de la sección B. Debes con es a an as p egun- as como puedas)). Pa a con es a las odas, se dispo- nía de 11 minu os pa a las de ipo B y de 5 pa a las de ipo A. Como, p obablemen e, no espe aban la con- es ación a las 22 cues iones, las cues iones del ipo B se ían equipa ables a las co as p opues as po los exá- menes an e io es, mien as que las de ipo A se pue- den clasi ica como supe co as. En el examen se en- con aban cues iones an o pu as como aplicadas. O o ipo de examen de la SMP incluía 4 cues iones del ip A y 8 ipo B, con esquema muy simila a la JMBA, si bien se eque ía la con es ación de, an solo, 5 p e- gun as del ipo B. En cuan o a la JMBB, p opuso un examen con 17 cues- iones, de longi udes a iables, oscilando sus pun ua- ciones de 2 a 7, pa a las co as y 10, 12 6 14 pa a las la gas, con un o al de 118 pun os. La cues ión más co a end ía asignados 3,6 minu os y las más la ga 25.2, minu os. Del análisis an e io se concluye el abandono del pa- ón de examen adicional, consis en e en 7 cues io- nes de igual longi ud a con es a en 3 ho as, siendo sus- i uido po mayo núme o de p egun as más co as y, en algunos casos, mucho más co as. Obse ando el ipo de p egun as se concluye, asi mismo, que la ma- yo ía de las cues iones co as y muy co as se e ie en a ma emá ica pu a (el 85%) mien as que las p egun- as la gas son, undamen almen e, de ma emá ica apli- cada (el 70%) 2.- El caso de Alemania Fede al. En la R.F.A., las p uebas es án di e si icadas según los di e sos «Lands». En 1'977 elabo ó Baue un in o me, en base a las p ue- bas de su iciencia de Ba ie a co espondien es al pe- iodo 197 1-76, donde in es igó cuáles e an los conoci- mien os in elec uales exigidos. Jun o al hecho, ácil- men e cons a able, de que el con enido de los eje ci- cios se es ingía al Análisis y a la Geome ía analí i- ca, ob u o conclusiones in e esan es: «en la mayo ía de ocasiones la esolución de los p oblemas se ob iene a a és de un p ocedimien o de cálculo conocido. Los p oblemas pa a los cuales hay que dise ia una nue a es a egia pa a su esolución son casi inexis en es. En la p ueba de ma emá icas se exige la ap!icación de al- go i mo~ y la ob ención de elaciones, bien sea clasi i- cando, analizando, sin e izando, deduciendo o demos- ando. Po con a, al an con enidos donde pode de- sa olla p ocesos de pensamien o heu is ico, de o de- nación lógica (o den pa cial, axioma izacibn), de de- inición, de abs acción, de conc eci611, de gene aliza- - ción y de especialización)). (Baue (1978)). 1 3.- El caso de Es ados Unidos = =, 1 De acue do con Kilpa ick (1981) hay que dis ingui , en un análisis del sis ema ame icano cua o ipos de exá- menes, según las inalidades pe seguidas: (a) exáme- nes inales; (b) exámenes de ni eles mínimos; (c) es s pa a la admisión en las Uni e sidades y (d) es s pa a la ubicación en las Uni e sidades. Veamos las pa icu- la idades de cada uno de dichos ipos. (a) Exámenes inales I Los equisi os pa a ob ene el i ulo de bachille se ba- san en el núme o de aAos dedicados al es udio de cada ma e ia. Cada es ado de la Unión ija los mínimos. Así, los alumnos que sólo p e enden el i ulo deben cu sa , al menos, un aAo de ma emá icas, mien as que los que p e enden accede a la Uni e sidad, al menos es. Los p o eso es espec i os examinan a sus alumnos. Tales exámenes son p epa ados po el p o eso en colabo a- ción con o os p o eso es del mis no cu so, e sando el mismo sob e el con enido del cu so impa ido. En .. ocasiones se ecu e a es s come cializados p epa a- ' dos al e ec o, cuya e olución es muy len a espec o a . las inno aciones en los planes de es udio. Tales es s, cons uidos habi ualmen e con espues as co as o con espues as de elección múl iple, ienen g an in luencia sob e el ipo de exámenes inales que p oponen los p o- eso es, aún en los casos de no se u ilizados di ec a- men e. De hecho, las habilidades necesa ias pa a ela- bo a demos aciones o iginales, pa a modeliza una si uación o pa a esol e un p oblema complejo son - a amen e examinadas. El hecho de que pa e de los alumnos quie an pasa a la Uni e sidad condiciona a los p o eso es, cuya labo docen e iene como úl imo obje i o el Cxi o del alumno en los es s pa a admisión a las Uni e sidades. (b) Exámenes de ni eles mínimos I Desde que se decidie a, al p incipio de es e siglo, que odo ciudadano es adounidense iene de echo a la a~ seC lid; P~C e alu a a in ii ie me Da a q los Ye' Ilo 0 P cic a c cil' es da 10: a5 si ? Lc ci( G I: i (c! A di; m1 ha ce U ! da di. E in CI pi e u CC A ac di bc m m di U i e: E al e P' i nc 20 ENSERANZA DE LAS CIENCIAS INVESTIGACION Y EXPERIENCIAS DIDACTICAS seiianza media, se ienen discu iendo dis in as posibi- lidades, como son: que odo es udian e eciba un di- ploma al inal de su es ancia, que se ex iendan di e- en es diplomas segun el g ado de madu ez de cada alumno, y, inalmen e, que no se en egue el diploma 3 aquellos que no ac edi en un ni el mínimo. Es a úl- ima posibilidad es la que poco a poco se es á impo- iiiendo, eniendo en cuen a que cada ez un núme o mayo de es ados dis ibuyen es s de ni eles minimos. Dada la di e sidad en la o mación de alumnos -desde aquellos que sólo oma on un a io de a i mé ica has a los que p epa a on 4 o 5 a ios de ma emá icas, inclu- yendo cálculo- ales es s son necesa iamen e senci- llos. De hecho, exigen an solo el conocimien o de las ope aciones a i mé icas elemen ales con en e os, ac- ciones y decimales (e aluando la capacidad de cálculo a una cie a elocidad y la esolución de p oblemas sen- cillos) y de concep os geomé icos elemen ales. Tales es s juzgan undamen almene la capacidad de eco - da concep os y de aplica los sin ecu i a azonamien- os o juicios complicados, ma cando con ello las pau- las a segui po los p o eso es co espondien es. Ello, sin duda, uni ica las ense ianzas a es e ni el. Los es s de ((ni eles mínimos)) ienen una cla a un- ción selec i a: p e enden iden i ica al incompe en e. Gene almen e son es s con espues as de elección mul- iple de o ma que són ácilmen e pun uables. (c) Tes s pa a la admisión en las Uni e sidades. A pesa de que los ((g ados)) ob enidos po los es u- dian es en su paso po la ense ianza media son, inicial- men e, un buen indicado de la madu ez alcanzada, se hace di icil compa a a es udian es que p o ienen de cen os dis in os. Po ello, sin pe juicio de que cada Uiii e sidad es ipule su examen de en ada, y en a as de la e ec i idad, se ha desa ollado un sis ema, me- dian e el cual, agencias independien es suminis an es s T. los colegios y Uni e sidades. Las dos agencias más impo an es son la ((College Boa d)) y la ((Ame ican College.Tes ing P og am)). O e an es s que los p o- pios es udian es pueden e ec ua po su cuen a du an- e los dos Úl imos anos de ense ianza media. Las pun- uaciones de los es s son en egadas al alumno, a su colegio y a las uni e sidades donde se ha p einsc i o. A pesa de que ales es no son el único c i e io pa a admi i o echaza a un es udian e, in o man al es u- dian e de cuales son las Uni e sidades a las que no de- be á acudi . Tales es s se componen de p egun as mul i- espues a. cuya espues a equie e, undamen al- men e, azonamien os lógicos. Hacen un uso modes o de conocimien os algeb aicos y geomé icos, y algunas uni e sidades o ecen cu sos de eciclaje pa a aquellos es udian es que no los supe a on, En gene al, el iesgo de que se den acie os po aza al esponde a las p egun as mul i- espues a es e iden- e, pues siemp e es posible elegi la p egun a ce e a po eliminación de las es an es (po azonamien os g á- icos, de an eo, e c.1. Ello in luye poco en los es que nos ocupan, dado que su in e és p imo dial, consis en e en e i ica la capacidad de azonamien o lógico, se po- ne ambién de mani ies o en la elabo ación de es as ác icas. De los es s de admisión no se espe a que con ibuyan a la educación gene al; más bien son indicado es de al educación. Pe o odos los ins umen os de e aluación cumplen alguna unción educa i a. De hecho, los cu - sos o ecidos po los colegios o po i mas come cia- les pa a la p epa ación de ales es s se dedican p imo - dialmen e a amilia iza al alumno con las es a egias de los mismos y a educi su ansiedad espec o a los exámenes. No obs an e, los cu sos mejo es si en i- nes educacionales más in e esan es, al ense ia habili- dades an o ma emá icas como e bales que, aun en el caso de habe se desa ollado con an e io idad, po- d ían es a a o iadas. (d) Tes s pa a la ubicación en las uni e sidades. Las agencias independien es dis ibuyen o o ipo de es cuya inalidad es la ubicación de cada es udian e en el cu so de ma emá icas ap opiado a su ni el.. . Al inal de la década de los 60, y coincidiendo con la decla ación del cong eso no eame icano en el sen ido de que odos los ciudadanos ienen de echo al acceso a la Uni e sidad, la mayo ía de las Uni e sidades exi- gían a sus aspi an es el habe comple ado dos años de ma emá icas (álgeb a y geome ía) en la ense ianza me- dia. En la década de los 70 ales exigencias ue on e- ducidas o eliminadas, comenzando la Uni e sidad a c ea nue os cu sos de ma emá icas des inados a la ma- sa de es udian es que llegaban con una p epa ación mi- nima. De hecho se exigió a ales alumnos que hicie an un es en ((a i m ica y álgeb a elemen al)). Habi ual- men e, ales es s e an cons uidos po los depa amen- os de ma emá icas de cada Uni e sidad. Los que no ap obaban e an obligados a oma un cu so de a eci- claje en ma emá icas)). Ul imamen e las Uni e sidades uel en a exigi que sus aspi an es engan a su ilega- da, al menos, un cu so de álgeb a, in en ándose con ello es au a los ni eles de calidad deseables. Los es de ubicación son, quizás, los que mayo es a- iaciones han su ido en los úl imos años. Los es udian- es que llegan hoy en dia a las Uni e sidades han cu - sado p e iamen e un amplio abanico de cu sos de ma- emá icas. Po ello, los es s de ubicación han enido que se emodelados, incluyendo un espec o mayo de geome ía sólida y de geome ía analí ica, mayo a en- ción a las unciones elemen ales e inco po ación de p e- gun as sob e p opiedades de los sis emas num icos. Los es s de ubicación eje cen una g an in luencia so- b e los obje i os de la ins ucción ma emá ica en la en- se ianza secunda ia, conscien es alumnos y p o eso es de que el acaso puede supone la epe ición de algún cu so. Sin duda, dichos es s son el elemen o uni ica- do más pode oso de la ense ianza de las ma emá icas pa a el acceso de la Uni e sidad. Siguiendo la no ma gene al, los es s de ubci6n son del ipo mul i- espues a. Las cen ales que dis ibuyen ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS .. 21 INVESTIGA<:ION Y EXPERIENCIAS DIDACTICAS 1 P - los es s han lle ado a cabo in es igaciones enden es El análisis de los modelos de p uebas de acceso sólo a demos a que los es s mul i- espues a se pueden es posible si uándose en el ma co de una clasi icación cons ui de o ma que midan, con igual e ec i idad, de obje i os educacionales. En o no a es e ema exis- an o los conocimien os del alumno como su habilidad e abundan e bibliog a ía, an o gene al como pa i- pa a esol e p oblemas complejos o desa olla una cula men e e e ida a ma emá icas. Desde el p ime cues ión de ensayo. Es a esis ha sido e u ada po Sil- pun o de is a la oxonomia de Bloom ( kase Bloom e y Wai s (1973), en un abajo expe imen al. (1956)) cons i uye obligado pun o de e e encia, mien- as que la axonomía especi ica más in luyen e en los 4.- El caso espaíiol. úl imos iempos es, p obablemen e, la debida a la b i- co no es bien sabido, la pnieba de acceso en Ma emá- ánica Ma hema ical Associa ion (1976). O os pun os icas p esen a dos opciones, debiendo el alumno elegi de pueden encon a se en A i al y She lewo h la que juzgue más con enien e. Cada opción cons a de (1968) Y en Jansson Y Heime (1973). En 'aldi ia e dos cues iones y un p oblema, que, habi ualmen e, se al. (1982) pueden encon a se desa olladas las dos ~ i- de a ios apa ados. iempo disponible po me as axonomíás, así como ejemplos ilus a i os de pa e del alumno es de 45 minu os. H~ enido siendo las habilidades eque idas pa a la esolución de di e- no ma consue udina ia que cada una de las opciones 'en es ipos de p oblemas y una de la co- haga e e encia a un solo capí ulo del p og ama, es de- be u a de ales obje i os en las p uebas de dis in os ci , que se e ie en en su in eg idad a álgeb a (inclu- paises. yendo la geome ía) o cálculo y, en a as ocasiones, a Es un hecho cons a ado que los exámenes p opues os la eo ía de la p obabilida i-c éase la abla 1). Es a cos- pa a el acceso a la Uni e sidad en los di e sos paises umb e, a o unadamen e aljandonada, gene ó una pi- e alúan, an sólo, el conocimien o y la comp ensión ca esca basada en la p epa acibn concienzuda de an de los con enidos y, ecuen emen e, la aplicación. solo una de las dos pa es undamen ales de la asigna- u a. Quizás ello demues e, bien a las cla as, la nece- ha es udiado, desde pun o de sidad de que sean p opues os exámenes que cub an is a de la e aluación de obje i os po Baue (1978). cuadamen e odos los obje i os, an o de an enido co- LOS exámenes en Es ados Unidos, de ipo mul i- m. me odol~gicos. Podemos comen a , más en p o- espues a, hacen casi imposible la e aluación del aná- undidad, el con enido de las p uebas de los úl imos lisis y de la sín esis, a pesa de lo cual las cen ales exa- anos. ~~d~ que no exis e una publicación o icial que minado as siguen siendo pa ida ias de al modelo de ecoja anualmen e las p uebas p opues as en 10s dis- examen, po ob ias azones de economía y iempo. En in os dis i os, y an e el silencio de los coo dinado- Valdi ia e al. (1982) se desc ibe una expe iencia b i- es, cuya colabo ación se solici ó a a és de los es- ánica enden e a e alua las habilidades supe io es y pec i os ec o ados, nos basa emos en la publicación que* po su de exigencia, p ospe ó. de He nández, L,o enzo y Ma inez (1 982). Conside emos, po ul imo, el caso español. En una Comenza emos con las cues iones eó icas. En la si- mues a elegida al aza de cien p oblemas p opues os guien e abla de ecuencias se ap ecia el p edominio en exámenes de Selec i idad, an solo dos de ellos exi- gían «sín esis»; ca o ce eque ían «análisis» (si bien de casi de las p egun as pa a cuya apues a has- o ma incipien e: la mayo pa ie de el]os consjs ian en a con el es ic o conocimien o de los con enidos ( ipo aplicaciones del Teo ema de RouchbF obenius, que A). Tah p egun as piden una de inición, la demos- exigen una dUcusi6n segln los alo es de los ación de las p opiedades inmedia as de un concep o as) y ninguno ambas habilidades a la e . En o as a la p ueba de un eo ema enunciado explíci amen e en el p og ama. L.a o a clase de p egun as ( ipo B) in- palab as: el 84Vo de los p oblemas e an me os eje ci- clui ían con a-ejemplos, co eccibn de e o es en de- cios de u ina, aunque puedan exigi cálculos mas aciones inco ec as, comple ación de una p ue- di icul osos. ba, ma ema ización de una si uación del mundo ísico 3, RECOMENDACIONES o del en o no económico, e c. 1. Sob e la o ganización del sis ema de acceso. Tabla 1 a) Los exámenes de las di e sas ma e ias debe ían Se independien es. . Tipo A Tipo B b) Los cen os Uni e si a ios debe ían posee la acul- ad pa a dic a las no mas de acep ación de alum- nos, exigiendo una no a minima en cada una de las Cbilculo di e encial ma e ias que se juzguen básicas pa a la o mación Cíílculo in eg al de los candida os. La adminis ación pod ía dic a Teona de la p obabilidad una no ma i a p e ia, indicando el nume o dema- e ias exigibles, como mínimo, así como la cali ic9- TOTALES 74 2 ción mínima co espondien e a las mismas. C) La dispa idad de c i e ios e in e eses de los cen s ENSEFIANZA DE LAS CIENCIAS INVESTIGACION Y EXPERIENCIAS DIDACTICAS 2. Sob e el modelo de examen. El examen de ma emá icas pod ía cons a de dos pa - guien e mé odo, que cons a de dos pasos: 1 o su- es, que llama emos A y E, e aluando la pa e A los ma -A a los dos miemb os. Se ob iene obje i os de conocimien o y comp ensión y, la pa e BX= C-A B los obje i os de sín esis y analisis. 2O mul iplica a la izquie da po la in e sa de B ainbos miemb os. El esul ado es: El examen A pod ía se , pa a acili a la co ección, X = B-I(C - A). de ipo mul i- espues a, mien as que el examen B de- ~1 mé odo p opues o, es álido be ia consis i en la esolución de un conjun o de.(al - menos dos) p oblemas adecuados. - ¿sólo algunas eces? Aunque la adminis ación pod ia dic a una no ma i- - ¿nunca? a gene al pa a la ponde ación de ambas pa es, Po- 2.- (Eje cicio de aplicación). Del SMP, Book 1, d ía a ibui se a los cen os uni e si a ios al acul ad, 1979). eniendo en cuen a el in e és a iable de las habilida- Una iga de 3 m s. de longi ud se apoya en uno des ma emi icas supe io es, según la Indole del cen o. de sus ex emos, A, y en un pun o B que dis a Apo amos a con inuación una mues a de p egun as 1 m . de A. El momen o de lexión, M, en un pun- acla a o ia de la p ueba de acceso ,que p oponemos. o que dis a x m s. de A, iene dado po : M = 2x2 - 3x, sí x/< 2;y po 2(3 - xjZ, si x ) 2- - Encon a el pun o donde es más ácil que se om- pa la iga que co esponde al pun o donde M es mayo . 1 .- Dadas las ecuaciones (x,y,z) = a(1,2,3) + b(-2,-4,-a6) Y (x,Y,z) = (0,l.O) + a(l,-1.0) + 4. CONCLUSIONES b(0,1,1), deci si co esponden a: - dos planos dis in os del espacio a in De la e isión de modelos ealizada, y a pesa de la di- - un plano y una ec a e sidad de los mismos, se puede deduci las siguien- - dos ec as dis in as es conclusiones: - un plano po el o igen y una ec a. 1. Las p uebas de acceso en la asigna u a de ma emá- (Sehilese lo que p oceda) icas ienden a e alua , de o ma casi exclusi a, el 2.- Muchos au o es exp esan el hecho de que la ec- conocimien o y la comp ensión de los son en id os^ a angen e es e po debajo de una cu a en un 2. No obs an e, las habilidades supe io es de aplica- pun o diciendo que la cu a es «con exa» en di- cibn, análisis y sín esis son eque idas po las Uni- e sidades más p es igiosas que, no malmen e, so- me en a los es udian es a una segunda p ueba. (2,3), deci si es: 3. En gene al las p uebas de acceso son ep esen a i- as de oda la ma e ia obje o de examen, siendo po - c ecien e y con exa - c ecien e y cónca a ello su longi ud conside ablemen e supe io al caso - dec ecien e y con exa español. - dec ecien e y cónca a. Todo ello aconseja una e isión del sis ema español ac ual. REFERENCLAS BIBLIOGRAFICAS CID, R. e al 1977, Rasgos de madu ez y éxi o en las pme- AVITAL. S.M., SHETTLEWORTH, S.J., 1968, Objec i es bas de acceso a la Uni e sidad. Memo ia ealizada den- o Ma hema ics. Lea ning. On a io Ins . o S udies in o del V Plan Nacional de In es igaciones de la ed Educa ion, To on o Bulle in no 3. INCIE-ICES. BAUER, L., 1978, Ma hema ische Fahigkei en im didak is- FANGHANGEL, G. e al. 1981, su einigen ~~hl~~~ ~l~~~~- chen P ozess. Pade bo n, Schoning. gen aus den E gebnissen de sch i lichen Abschluss und BLOOM, B.S.. 1965, T onomy o Educa ional Objec i es. Rei ep ii ung des Schuljah es 1979/80 u die Ges al ung Handbook 1: Congnl i e domain. McKay. des Ma hema ikun e nch s. Ma h. Schule. . 19(1), 31-53. ENSERAN. DE LAS CIENCIAS , I IN VESTIGACIO N Y EXPERIENCIAS DIDACTICAS HERNANDEZ, F , LORENZO, F., MARTINEZ, A., 1982, MITTER, ed., 1979, Hoschschulzugang in Eu opa. Winheim, P uebas de acceso a la Uni e sidad, Ma e na icas. (Ed. Bel z. SILVER, J., WAITS, B., 1973. Mul iple-choice Examina- JANSSON, L.C., HEIMER, R.T., 1973, On beha io al ob- ions in Ma hema ics, no alid o we yone. Ame . Ma h. jec i es in na hema ics educa ion. Ame . Ma h. Mon hly. Mon hly. JUNA, J., NOWQTNY, E., SCHNECK, P., 1978, Rei e- S anding Con c ence on Uni e si y En ance: The Uni e si- ies iews on he N and F p oposals (1979). p u ung: s eigendes Ansp uchsni eau. E s e E gebnisse eine LPngsschni un e suchung de Ta sachen o schung SCHMID, M., 1980, Pa ne im ln e esse de ~bi ueien en. des Padagogisclien lns i us de S ad Wien. E ziehung und Hohe e Schule, n . 9, 319. (Sep .) Un e ich , He 8, 477-489 (Ok .). The Ma he na ical Associa ion o England, 1976, Why, Wha KI LPATRICK, J., 198!, Ma hema ics Exa nina ions a he and How? End o Secondwy School in he USA. Zen albla u Di- VALDIVIA, M., e al, 1982, L~~ ma e na icas en la o ma- dak ik de Ma hema ik. Jah gang 13, He S. Ok . ci6n del uni e si a io ac ual: p oblema ica del acceso y O icina de Educaci6n Ibe oame icana: Es udios supe io es. analisis documen al de planes de es udio. Memo ia eali- Exposición compa a i a de los sis emas de enseñanza y zada den o del Plan Nacional X de In es igaci6n Edu- de los í ulos y diplomas. (UNESCO, Ba celona, 1973). ca i a. ICE de la Uni e sidad de Valencia. ! 7 . ENSEÑANZA DE LAS C~ENCIAS