La integración del momento de la técnica en el proceso de estudio de campos de problemas de matemáticas

LA INTEGRACI~N DEL MOMENTO DE LA TÉCNICA EN EL PROCESO DE ESTUDIO DE CAMPOS DE PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS BOSCH, M. y GASCÓN, J. Departament de Matemhtiques. Universitat Autbnoma de Barcelona. SUMMARY This article provides a model of mathematical activity which describes it in terms of the study of fields of problems. This model helps us to analyze some didactical phenomena which are characteristic of the present systems of mathematics teaching. Special emphasis is devoted to the relation between the absence of so-called technique work, and some paradoxes about «mathematical creativity)). A new didactical device is proposed, the workshop of mathematicalpractice, in order to bring the technique work alive in the classrooms as an integrating force in the study of mathematical problems. Finally, as an example, one of the workshops designed and tested is described. El criterio de la creatividad no es s61o la novedad; comprende también algo más -un nivel más elevado de acción, un mayor esfuerzo, una mayor eficacia. Wladyslaw Tatarkiewicz, Historia de seis ideas (1976). Todo trabajo de teorización o de ingeniería en didáctica de las matemáticas presupone y utiliza necesariamente un modelo más o menos elaborado (aunque a menudo implícito) de la actividad matemática y, asimismo, una noción de lo que es «enseñar y aprender matemáticas)). La explicitación de estos modelos permite que sean cuestionados, contrastados empíricamente y reelaborados, por lo que debería constituir un punto de referencia en toda investigación de didáctica de las matemáticas. Presentamos a continuación un trabajo de investigación realizado durante los cursos 90-91 y 91-92 (este último dentro del programa «Innovació en la docencia universitaria>> del ICE de la UAB) que fue motivado inicialmente por el diseño y experimentación de una nueva actividad docente, las prácticas en matemáticas. El conjunto de la investigación forma parte de un proyecto más amplio en dos sentidos: por una parte, visto como trabajo de ingeniería didáctica1, constituye el primer paso de un proceso que tiende hacia la instauración de los talleres de prácticas en el sistema de enseñanza de las matemáticas; considerado por otra parte como contribución a la teoría de la didáctica de las matemáticas, pretende desarrollar y contrastar parcialmente algunos aspectos del modelo de los momentos didácticos. La construcción de este modelo, que sirve de fundamentación al proyecto, fue iniciada por Yves Chevallard en enero de 199 12. Dividiremos la exposición en tres partes: en la primera enunciaremos de manera esquemática algunas de las tesis relacionadas con el modelo de la actividad matemática que tomamos como referencia; en la segunda utilizaremos los principales elementos teóricos presentados para analizar algunos aspectos de los actuales sistemas de enseñanza de las matemáticas; por último describiremos sucintamente uno de los talleres de prácticas que hemos diseñado y experimentado, a fin de ejemplificar el alcance «tecnológico» (por lo que se refiere a la ingeniería didáctica) de nuestra investigación. ALGUNOS ASPECTOS DE NUESTRO MODELO DE REFERENCIA3 Análisis didáctico de la actividad matemática Postulamos que toda actividad matemática se puede analizar como actividad de estudio de campos de problemas, actividad que se lleva a cabo mediante la producción y utilización de lo que llamamos técnicas matemáENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1994, 12 (3), 314-332 ticas o, más precisamente, técnicas de estudio de campos de problemas4. En lo sucesivo, de acuerdo con este primer postulado, entenderemos que «hacer matemáticas» es producir y utilizar ciertas técnicas de estudio de ciertos campos de problemas. Con ello nos referimos a todos los «tipos» de actividades matemáticas en que se puede pensar, desde las más «teóricas» hasta las más «aplicadas», desde la del alumno de párvulos hasta la del investigador: todas podrán ser interpretadas como producciones o utilizaciones de diferentes técnicas matemáticas destinadas a estudiar diferentes campos de problemas (lo que puede incluir, en particular, su resolución). Esta tesis inicial pone de manifiesto la importancia de la actividad de resolución de problemas dentro de nuestro modelo de la actividad matemática. Pero, dada la gran variedad de sentidos que tiene hoy día la expresión «resolución de problemas» dentro de la enseñanza de las matemáticas (Gascón 1992), debemos añadir algunas puntualizaciones. a) La noción de problema debe entenderse aquí en un sentido muy general, que incluye desde los problemas escolares elementales, como la suma de dos fracciones o la resolución de una ecuación de segundo grado, hasta problemas de investigación que pueden no estar aún bien formulados por falta de una teoría adecuada, sin excluir los problemas considerados «teóricos», como por ejemplo enunciar y demostrar un teorema o axiomatizar una teoría. b) No se conciben los problemas aislados, sino sólo como integrantes de campos de problemas. Los matemáticos no trabajan generalmente para resolver problemas desconectados entre sí; siempre postulan que el problema que están estudiando es un representante de cierto campo de problemas, aunque no conozcan de dicho campo más que algunos problemas emblemáticos. Su trabajo consiste entonces en producir los medios matemáticos (las técnicas) necesarios para llevar a cabo el estudio de este campo, y no sólo la resolución del problema particular considerado. c) Lo que es espec5fico de la actividad matemática no es la mera resolución de problemas sino, como ya hemos dicho, la producción de técnicas de estudio de campos de problemas. Las técnicas a las que nos referimos son «técnicas» en el sentido general de «maneras de hacer» algo, abarcando desde las más algorítmicas y visibles (como el algoritmo de resolución de las ecuaciones de segundo grado) hasta las menos conscientes o explicitables (como las que se utilizan para modelizar matemáticamente cierto sistema dado o para demostrar cierta prop~sición)~. d) El estudio de campos de problemas, esto es, la utilización y producción de técnicas matemáticas, requiere la existencia de desarrollos teóricos y tecnológicos (en el sentido de discursos -1ogossobre las técnicas) cuya principal función es la de explicar, justificar y relacionar entre sílas técnicas manipuladas y los campos de problemas abordados, para asegurar tanto el control de los ENSEÑANZA DE LAS CIBNCIAS, 1994, 12 (3) resultados de la actividad como su presentación y legibilidad. Debemos recalcar que estos elementos justificativos y expiicativos no son «teóricos» por naturaleza, sino por la función que asumen Cjustificativa, explicativa, etc.) respecto al estudio de los campos de problemas que se considera como «núcleo» de la actividad. Así un teorema puede ser considerado como una parte de un problema (en una actividad en la que nos proponemos demostrarlo, por ejemplo) y puede también ser considerado como elemento teórico, si asume el papel de legitimador y justificador de cierto tipo de técnicas que se utilizan para estudiar otros problemas. e) Existe una dependencia mutua entre los diversos productos u objetos de la actividad matemática: de la misma manera que un desarrollo teórico puede generar nuevos campos de problemas y nuevas técnicas de estudio, también el desarrollo interno de las técnicas origina la ampliación de los campos de problemas e incide sobre la teoría asociada, puesto que ésta debe ser capaz de justificar, describir e interpretar las técnicas matemáticas desarrolladas y los campos de problemas ampliados. En este modelo de la actividad matemática no cabe, por tanto, considerar una teoría matemática, ni un campo de problemas, ni siquiera un simple problema o una técnica matemática de manera aislada e independiente del resto de elementos que configuran la actividad. Hablar de un campo de problemas presupone tener en cuenta al mismo tiempo -aunque sólo sea potencialmenteuna o más técnicas de estudio del campo (sin la existencia de las cuales éste no tendría sentido), así como presuponer un entorno teórico donde se definen, justifican e interrelacionan los objetos matemáticos que componen técnicas y problemas. Recíprocamente, cuando hablamos de una teoría matemática, estamos considerando implícitamente los campos de problemas (y las técnicas de estudio) que han cristalizado o que se sintetizan en la teoría considerada, así como aquellos campos de problemas (y aquellas técnicas) que la teoría permite enunciar y fundamentar. Hemos presentado así un esbozo de un modelo epistemológico general de la actividad matemática que enfatiza la interrelación entre los tres elementos siguientes: el desarrollo de las técnicas matemáticas; la evolución que sufren los campos de problemas al ser estudiados con dichas técnicas; y la construcción de las teorías matemáticas asociadas, que permiten describir, interpretar y justificar los distintos elementos que componen técnicas y campos de problemas. Se trata, en síntesis, de un modelo compatible con muchas de la investigaciones contemporáneas en historia y epistemología de la ciencia6 que, aunque defienden modelos distintos de los mecanismos del desarrollo del conocimiento científico, se oponen frontalmente al modelo ingenuo y espontáneo que puede ser descrito como «lineal y acumulativo» (Gascón 1993). Análisis didáctico de la nociónde uenseñar materniiticas~ Uno de los ragos esenciales de la didáctica fundamental, iniciadapor Guy Brousseau en los años setenta, consiste en retrotraer el objeto «primario» de estudio de la didáctica de las matemáticas a la actividad matemática en sí misma y a los modelos implícitos de dicha actividad (y de sus objetos) que se construyen inevitablemente durante el proceso de enseñanza. De esta forma, las características del sujeto que aprende matemáticas y del que las enseña, así como la forma de aprenderlas y enseñarlas, pasan a ser objetos de estudio «secundarios» (no por ello menos importantes) porque su estudio supone un análisis previo de la actividad matemática que los define como enseñante y estudiante. En particular, el significado de «enseñar matemáticas» y «aprender matemáticas~ se vuelve inseparable del modelo epistemológico de la actividad matemática que se asuma o elabore, por lo que tales expresiones dejan de tener el carácter de «noción primitiva» que tenían en la didáctica clásica, en la que su significado sólo dependía de determinados modelos psicológicos o pedagógicos del aprendizaje, independientes de los conocimientos matemáticos involucrados e independientes, por lo tanto, de los fenómenos didácticos correspondientes. Situándonos explícitamente dentro de la didáctica fundamental y apelando al modelo de la actividad matemática que hemos tomado como referencia, consideramos que la enseñanza de las matemáticas debe analizarse en términos de estudio de campos de problemas, técnicas matemáticas y teorías matemáticas asociadas. En otras palabras, postulamos que enseñar matemáticas (o cierto ámbito de la actividad matemática) es posibilitar que los alumnos sean capaces de estudiar de manera autónoma un conjunto seleccionado de campos de problemas, esto es, que lleguen aponer en práctica y desarrollar ciertas técnicas de estudio de dichos campos. Partiremos así de la suposición de que todo proyecto de enseñanza de las matemáticas se establece (aunque no aparezca bajo esta forma) alrededor de un Corpus de campos de problemas, con un conjunto de técnicas de estudio asociadas inicialmente a cada campo y, en cada caso, el entorno teórico necesario para desarrollar la actividad. Dicho proyecto se determina siempre a partir de los distintos elementos que configuran la actividad matemática que se quiere enseñar. En consecuencia, sea cual sea el sistema didáctico observado, y sea cual sea la forma en que el propio sistema describe y presenta lo que en él se enseña (o se quiere enseñar), siempre podremos reformularlo en los términos anteriormente descritos. Es importante insistir en que el modelo general de la actividad matemática que asumimos no determina unívocamente el sentido de la noción «enseñar matemáticas» que hemos adoptado; pero ello no significa que no determine absolutamente nada. Al contrario, cuando lo utilizamos para describir, analizar y explicar el sistema de enseñanza de las matemáticas, el modelo determina nada menos que el tipo de preguntas que nos podemos formular y la forma que pueden tomar las respuestas (aunque no el contenido de éstas). En nuestro caso tendrá sentido plantearse preguntas tales como: ¿Cuáles son los campos de problemas que se enseñan en tal sistema? ¿Qué técnicas se utilizan para la exploración de estos campos? ¿Qué teoría servirá a la clase para justificar la aplicación y alcance de estas técnicas? ¿Cómo (con qué clase de problemas) se puede enseñar una técnica determinada? ¿Hasta qué punto es necesario que el estudiante la domine? ¿Con qué otras técnicas la relacionará el profesor? ¿Cómo se «evalúa» el grado de dominio de una técnica? ¿Qué variaciones de la misma deberá utilizar el estudiante? ¿Qué estatuto se otorga a un determinado objeto matemático: se enseña como parte de una técnica, de una justificación teórica, como componente de un campo de problemas? ¿Qué aspectos del estudio de un campo de problemas se dejan para la gestión personal del alumno? ¿Qué otras son únicamente asunto del profesor? ¿Qué aspecto de la actividad matemática ha sido capaz de realizar el alumno cuando decimos de él que ha entendido o adquirido un concepto determinado? Etcétera. Las respuestas dadas a estas y otras preguntas es lo que nos permite caracterizar los diferentes «contenidos matemáticos» que se enseñan, sus interrelaciones y el estatuto que éstos adquieren en las actividades matemáticas presentes en cualquier sistema de enseñanza. Entre otras cosas, los tipos de preguntas presentados permiten delimitar en cada caso distintos modelos especqicos relativos a cada ámbito (o tema) concreto de la matemática que se enseña o se quiere enseñar. Así, por ejemplo, si nos queremos referir (dentro de la teorización) a la «enseñanza o aprendizaje de la proporcionalidad» en cierto nivel educativo, deberemos especificar en particular qué tipos de problemas aparecen como representantes del campo de problemas de proporcionalidad en el sistema de enseñanza considerado; bajo qué forma se presentan; qué técnicas están en la base de lo que se entiende por «resolver problemas de proporcionalidad» o, simplemente, «utilizar la proporcionalidad»; con qué nociones y desarrollos teóricos se interpretan y justifican; etc. Queremos insistir en que los modelos específicos a los que nos referimos, aunque coherentes con el modelo general adoptado y sólo formulables dentro de él, no están completamente determinados por éste: son fruto de una elección sujeta a muchas restricciones pero que conserva algunos grados de libertad. Un ejemplo de lo que llamamos modelo espec@co es el que elaboró Brousseau para analizar los fenómenos didácticos relativos a la enseñanza de los números decimales (198 1, pp. 40 y SS.) y está en la base de lo que se denomina situación («a-didáctica») fundamental relativa a un saber específico. LOS SISTEMAS ACTUALES DE ENSEÑANZA DE LAS MATEMATICAS Diferentes formas de entender la expresión de «enseñar matemáticas» En los sistemas actuales de enseñanza de las matemáticas a nivel universitario, el principal criterio explícito utilizado para describir lo que se quiere enseñar es un criterio relativo a las teorías matemáticas o a distintos elementos de las mismas. El proyecto de enseñanza se establece entonces a partir de la explicitación inicial de los elementos teóricos que el profesor debe enseñar y el estudiante aprender, quedando en gran parte implícitos 316 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1994, 12 (3) los campos de problemas que se explorarán durante el curso y el tipo de desarrollo de las diversas técnicas matemáticas necesarias para realizar dicha exploración. Notemos sin embargo que estos camposde problemas y estas técnicas no dejan de estar presentes en el proceso de enseñanza: son los problemas que el alumno tiene que aprender a resolver y que se utilizarán, en gran parte, para la evaluación del curso. Lo que decimos es que no están presentes explícitamente como objetivo del curso ni en la estructuración del mismo. Esta situación es característica de lo que hemos denominado paradigma teoricista (Gascón 1992). La actividad de estudio de campos de problemas, en cuanto objetivo explícito del proceso de enseñanza, tampoco aparece en el llamado paradigma modernista (que tiene mayor implantación en los niveles de enseñanza no universitaria), el cual se.caracteriza por la identificación que realiza entre «actividad matemática)) y «exploración de problemas». La principal estrategia de enseñanza consiste entonces en enfrentar al estudiante con diferentes problemas aislados y descontextualizados, dejando implícitos (e incluso «reprimidos») tanto los campos de problemas como las técnicas matemáticas pertinentes para su estudio. Podemos observar en general que, aunque por razones distintas, se evita en ambos casos explicitar suficientemente la materialidad de la actividad matemática que el estudiante debe llegar a realizar por sí mismo al final del proceso de enseñanza. Señalaremos brevemente algunas de las consecuencias más importantes de esta tendencia. A nivel universitario, donde se tiende a identificar «enseñar matemáticas» con «enseñar teorías acabadas)), se da preponderancia a una formación «generalista» en detrimento de una formación más profundizada y especializada. Mientras que en los niveles no universitarios, en la medida en que se identifica «enseñar matemáticas)) con enseñar la actividad de explorar «libremente» (libre también de las teorías y de las técnicas matemáticas) problemas aislados, se descuida la relación entre la resolución de problemas y los elementos teóricos asociados. En ambos paradigmas se ignoran las funciones epistemológicas y didácticas del desarrollo de las técnicas matemáticas en el estudio de campos de problemas (Gascón 1992). Estudio «profundizado» de un campo de problemas matemáticos Utilizando el modelo de la actividad matemática presentado anteriormente, es posible ahora tomar en consideración las funciones del desarrollo potencial de las técnicas matemáticas en el proceso de estudio de un campo de problemas. En este sentido, empezaremos por distinguir entre lo que llamaremos estudio profundizado de un campo de problemas y el estudio exploratorio de problemas inicialmente aislados. Por una parte, y como ya indica el adjetivo «exploratorio», se trata del estudio que se realiza al abordar o entrar en contacto con un campo de problemas del cual sólo se conocen algunos representantes. Es el tipo de actividad que realizamos cuando nos enfrentamos por vez primera a un problema con unas cuantas técnicas preestablecidas, o cuando utilizamos alguna técnica matemática con la que estamos poco familiarizados. Por su parte, el estudio profundizado, que supone necesariamente un estudio exploratorio previo, va más allá de la aplicación puntual de técnicas dadas a problemas prefijados y va más allá incluso de la mera resolución de los problemas abordados: se fundamenta en el dominio y desarrollo de las técnicas matemáticas manipuladas, con la posibilidad de dar origen a nuevas técnicas (debido a modificaciones de las técnicas conocidas) y de que aparezcan nuevos problemas dentro del campo inicial cuyo estudio requerirá a su vez ciertas modificaciones técnicas. Es en este «nivel» de estudio donde aparece la necesidad de elementos teóricos «nuevos» (aunque sólo sean nuevos para los actores de la actividad) destinados a interpretar y justificar las nuevas técnicas y sus interrelaciones. Si entendiésemos el proceso de estudio de campos de problemas únicamente como un estudio exploratorio (cuyo objetivo radicaría en la mera resolución de los problemas abordados), nos sería difícil dar cuenta del porqué la actividad matemática es capaz de evolucionar, plantearse nuevos objetivos y desarrollar sus instrumentos. Al interpretar la actividad matemática como actividad de estudio de campos de problemas matemáticos, debemos prolongar la exploración de problemas (y su resolución) con el trabajo de desarrollo de las técnicas que es productor de técnicas nuevas, «descubridor» de nuevos campos de problemas y elaborador de las nociones teóricas que justifican, sintetizan e interrelacionan los distintos objetos de la actividad. Postulamos que, mientras el estudio exploratorio de problemas cumple un objetivo didáctico fundamental de toma de contacto y familiarización con las teorías, las técnicas matemáticas y los campos de problemas que se quieren enseñar, un estudio profundizado de ciertos campos de problemas constituye un complemento imprescindible en toda formación matemática. Esta tesis coincide aproximadamente con la especificación en el caso de las matemáticas de una idea general expresada por Whitehead en The Aims of Education (1929), según la cual la formación en cualquier disciplina científica debería contemplar, al lado de una visión amplia, general y forzosamente superficial del saber que se enseña, una introducción a lapropia actividad científica en cuestión mediante el estudio especializado y profundo de un parcela reducida de esta ciencia. Esta afirmación se opone a la idea dominante en nuestra cultura escolar según la cual los estudios «profundizados y especializados» son propios de los niveles superiores de formación (por ejemplo, el tercer ciclo universitario) y no deberían integrarse en la formación universitaria básica, y mucho menos en los niveles preuniversitarios7. Mientras que la tesis de Whitehead implica únicamente que ambos aspectos de la formación matemática han de estar unidos en cierta proporción, la nuestra, al especificar la noción de «estudio profundizado de un campo de problemas» y contraponerla al mero «estudio exploratorio», nos permitirá además explicar el porqué y el cómo de esta complementariedad. En lo que sigue de esta sección*expondremos el porqué, dejando el cómo para más adelante. ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1994, 12 (3) 317 Los momentos del didáctico La necesidad de distinguir diferentes dimensiones en la actividad matemática, esto es, en el trabajo llevado a cabo durante el estudio de campos de problemas, nos lleva a aumentar la complejidad del modelo presentado en la sección anterior. Partiendo de la descripción de la actividad matemática como utilización y producción de técnicas de estudio de campos de problemas, pasamos a estructurar y caracterizar este proceso de estudio en, al menos, tres momentos diferentes, que describimos brevemente a continuación. Usamos la palabra «momento» no en el sentido temporal y cronológico, sino en el sentido de «aspecto» o «dimensión» del proceso de estudio de un campo de problemas. Esto significa que no debemos considerar los tres momentos en que se estructura dicho proceso ni como tres formas diferentes de estudiar campos de problemas ni como tres etapas sucesivas en el estudio de cada campo. Se trata de tres ((dimensiones ideales» que se integran de manera compleja en toda actividad matemática concreta, esto es, en todo proceso de estudio de un campo de problemas. Ya hemos dicho que el estudio exploratorio de problemas aislados cumple un importante objetivo didáctico: constituye esa etapa o dimensión del proceso didáctico en la que el estudiante se ve enfrentado a problemas totalmente nuevos para él, y en la que debe manipular por primera vez las técnicas pertinentes para su estudio. Llamaremos momento exploratorio a esa dimensión de la actividad matemática que aparece, reiteradamente, siempre que el actor de la actividad (sea estudiante primerizo o matemático profesional) aborda un problema de un nuevo campo o cada vez que un desarrollo técnico le lleva a plantearse un problema que requiere utilizar una técnica diferente de la habitual. Ahora bien, también hemos visto que para ir más allá de la exploración del campo de problemas abordado es necesario partir de un dominio de las técnicas suficientemente robusto para permitir su desarrollo y variación. Llamaremos trabajo de la técnica al trabajo subyacente de manipulación de las técnicas, y momento de la técnica a la dimensión del proceso de estudio en la que se sitúa este trabajo. Por último, denominamos momento teórico a cada una de las etapas del estudio en las que predomina el trabajo de presentación, descripción, justificación e interpretación de los distintos elementos que configuran las técnicas matemáticas y su entorno; en otras palabras, al trabajo teórico asociado al estudio de un campo de problemas (Chevallard 1992). Cualquier análisis más detallado de la actividad matemática (tenemos un ejemplo en el realizado por James Ritter, en Serres 1989) mostraría que la articulación funcional de estos tres momentos requiere que el momento de la técnica juegue el papel de momento integrador del proceso de estudio de campos de problemas, esto es, que aparezca como desarrollo natural del momento exploratorio y como fuente de nuevas necesidades teóricas. Esta función integradora es la primera razón, y también la más básica, de por qué el estudio profundizado de algunos campos de problemas debe complementar el estudio exploratorio. Gracias a la estructuración del proceso de estudio de campos de problemas en tres momentos diferentes, disponemos ahora de un instrumento teórico suficiente para interpretar algunos fenómenos didácticos muy visibles en los actuales sistemas de enseñanza de las matemáticas y que se mantenían inexplicados hasta la fecha. Estas interpretaciones aportarán razones complementarias para apoyar el postulado de la necesidad del estudio profundizado de ciertos campos de problemas como complemento de toda formación matemática. Trabajo de la técnica y «creatividad matemática» Partimos de la hipótesis de que el estudio profundizado de un campo de problemas sólo se puede llevar a cabo a partir del dominio de algunas técnicas matemáticas pertinentes. No es suficiente, en efecto, la utilización correcta, ni siquiera reiterada de estas técnicas; se necesita además dominarlas hasta el punto de poderlas modificar para adaptarlas a nuevas situaciones (es decir para proseguir con el estudio de nuevos problemas). Quien realmente domina las técnicas, el experto, actúa de tal modo que no es consciente de que las estáusando efectivamente, y esto le permite no sólo usarlas de manera flexible, sino además incluirlas en actividades más amplias y complejas8. Lo anterior puede interpretarse diciendo que sólo el experto es capaz de una actividad matemática creativa, definiendo ésta como aquella actividad que permite, en primer lugar, producir técnicas relativamente nuevas a partir de variaciones de las ya conocidas y, en segundo lugar, sintetizar los diferentes aspectos del conocimiento matemático desarrollado para configurar cierta visión global del mismo. Un estudio únicamente exploratorio de los diferentes aspectos del universo matemático (que comporta forzosamente una utilización rígida de las técnicas) no sólo incapacita al estudiante para dirigir las técnicas manipuladas hacia el estudio de nuevos problemas, también le impide relacionarlas entre sí e interpretarlas como parte de un todo más amplio. Porque es sólo en calidad de experto -aunque sólo sea de una pequeña parcela de las matemáticascomo podrá el estudiante «apreciar la exacta formulación de las ideas generales)) (Whitehead 1929, p. 30). En síntesis, podemos concluir que el trabajo de la técnica es condición imprescindible para llevar a cabo una actividad matemática creativa, tanto en el sentido de «creadora» de nuevas técnicas como en el de «generadora» de nuevas relaciones entre técnicas, teorías y campos de problemas, con la formulación consiguiente de «ideas generales» al respecto. Ausencia institucional del trabajo de la técnica Si nos referimos a las actividades docentes «públicas», por oposición a las privadas que realiza el alumno individualmente fuera del aula, postulamos que en los actuales sistemas de enseñanza de las matemáticas es difícil que la actividad de estudio de campos de problemas se lleve de forma sistemática más allá del nivel 318 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1994, 12 (3) exploratorio. No hay ningún dispositivo didáctico institucionalizado que fomente el trabajo técnico y permita al estudiante pasar de la simple exploración al estudio profundizado de ciertos campos de problemas. Esto no significa que el sistema de enseñanza de las matemáticas ignore absolutamente el trabajo de la técnica. Lo que queremos decir es un poco más complejo. Por una parte, en los niveles superiores de la enseñanza (a nivel de diplomatura o licenciatura), el trabajo de la técnica no tiene suficiente visibilidad y oficialidad, a diferencia de los momentos exploratorios y a diferencia, sobre todo, de los diferentes momentos teóricos. Por otra parte, en los niveles preuniversitarios, el trabajo de la técnica es visto como una amenaza para la exploración «libre» y «creativa» de problemas. Y finalmente, allí donde se ha impuesto el grito defensivo de «ivolver a lo básico!» (especialmente a nivel de enseñanza primaria), se tiende a enfatizar únicamente los aspectos más rudimentarios del momento de la técnica por ser éstos los más algoritmizables y fácilmente evaluables (Gascón 1992). En ningún caso se ha llegado a materializar, mediante un dispositivo didáctico oficial, la conexión entre los diversos momentos del estudio de un campo de problemas; más bien se contrapone el dominio robusto de las técnicas a la actividad matemática creativa, como si fuesen dos aspectos de la actividad matemática incompatibles entre sí. Llamaremos ausencia institucional del trabajo de la técnica a este fenómeno. Esta ausencia proviene, en principio, del hecho de que la cultura tiende a considerar peyorativamente el trabajo de la técnica, trabajo considerado como ((meramente mecánico y repetitivo». Pero una observación más atenta debería hacer patente que esta «represión» de todo lo que pueda parecer rutinario en la enseñanza de las matemáticas (represión que se acentúa en los niveles educativos superiores) proviene en realidad de la necesidad del sistema de enseñanza de dar la impresión (tanto al observador exterior como a sus propios actores) de que el trabajo matemático que se realiza es un trabajo «creativo», en el sentido ingenuo de «no rutinario)). En nuestra cultura se confunde «actividad creativa» con «actividad no rutinaria», siendo quizá el carácter «libre» y «espontáneo» de ésta el que le confiere una cierta apariencia de creatividad. Esta necesidad de creatividad aparente deja al alumno en una situación de incertidumbre permanente, en la que se ve enfrentado constantemente con problemas nuevos que le exigen la utilización de técnicas también nuevas. En tal situación, el alumno sólo puede alcanzar un dominio muy débil de las técnicas que se le presentan, lo que le incapacita, paradójicamente, para una actividad matemática genuinamente «creativa» en el sentido que hemos explicado en la sección anteriorg. La ausencia institucional del trabajo de la técnica origina, por tanto, importantes contradicciones y disfunciones dentro del sistema de enseñanza: por una parte, se otorga gran valor a la «creatividad» en la actividad matemática pero, por otra parte, no se poseen los medios necesarios para hacerla existir en el aula. Estas disfunciones suelen traducirse en una frustración general: en ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1994, 12 (3) unos casos se acaba abandonando explícitamente un objetivo que la fuerza de los hechos presenta cada vez como más inasequible, cambiándolo por otro mucho menos «prestigioso» que consiste en hacer que el alumno domine ciertas técnicas aisladas, sin pretender que sepa desarrollarlas ni ser capaz de delimitar su ámbito de aplicación; en otros casos, aunque se mantenga explícitamente el objetivo inicial de enseñar una actividad matemática «creativa», se observa un repliegue implícito hacia posiciones menos ambiciosas y más acordes con el tipo de actividad matemática efectivamente presente en el aula (fenómeno que se pone especialmente de manifiesto, a la larga, en el proceso de evaluación). EL TALLER DE PRÁCTICAS MATEMÁTICAS Basándonos en los análisis anteriores, hemos diseñado un nuevo dispositivo didáctico, el taller de prácticas matemáticas, donde el estudiante pueda aprender a hacer, de manera oficial, el tipo de trabajo matemático necesario para profundizar en el estudio de algunos campos de problemas concretos. La función principal del taller de prácticas es hacer vivir el momento de la técnica dentro del horario lectivo, con el mismo rango que los demás momentos del proceso didáctico que ya tienen dispositivos institucionalizados propios. Debería parecer lógico que un sistema de enseñanza que valora extraordinariamente la «creatividad» de la actividad matemática (en los dos sentidos indicados) oficialicela enseñanza del trabajo de la técnica como condición imprescindible para el desarrollo creativo de dicha actividad. Pero debemos tener en cuenta los efectos, en la cultura escolar, de la confusión entre «actividad creativa» y «actividad no rutinaria». Lo que proponemos como actividad inicial de los alumnos en el taller de prácticas es aparentemente un tipo de trabajo matemático muy insignificante y humilde, que carece hoy día de suficiente legitimidad cultural para vivir con normalidad en las aulas. Nos tenemos que apoyar pues en su pertinencia epistemológica y didáctica, es decir, en su necesidad para el desarrollo de la actividad matemática en general y del proceso didáctico en particular, si queremos darle cabida en el mundo oficial de la enseñanza, como paso previo para que viva de manera natural en manos del estudiante (primero en las instituciones docentes y luego fuera de ellas). La organización del taller de prácticas parte de la elección de un campo de problemas determinado dentro de los distintos campos que configuran el plan de estudios. Su objetivo es que los estudiantes puedan adquirir, para llevar a cabo el estudio del campo de problemas elegido, un dominio suficiente de ciertas técnicas matemáticas de forma que puedan desarrollarlas y variarlas espontáneamente a medida que se enfrentan con nuevos problemas del campo. Cada taller se estructura en tres o cuatro sesiones; cada sesión tiene una duración de cuatro horas y posee un subobjetivo propio. La última media hora de cada sesión está destinada a la realización de una microprueba individual en la que el estudiante debe resolver de manera ágil y fiable, y en un tiempo relativamente limitado, un problema similar a los estudiados durante la sesiónI0. Al principio de cada sesión se distribuye a los estudiantes el «material de prácticas» del taller. Es este material el que debe dirigir la marcha del trabajo, aunque se podrá ver complementado ocasionalmente con algunas intervenciones del profesor. Dicho material presenta, en cada sesión, algunos problemas del campo escogido que se pueden abordar con una misma técnica (podemos decir que representan un «subcampo» del campo considerado). Los estudiantes deben resolver inicialmente estos problemas mediante la utilización de una técnica conocida y progresar paulatinamente con técnicas originadas por variación de la técnica inicial. El principal objetivo del estudio no debe ser únicamente la resolución de cada problema, ni tampoco el mero dominio de las técnicas utilizadas; se pretende que los estudiantes consigan desarrollarlas y modificarlas a lo largo del estudio, hasta convertirse en «pequeños expertos» en la actividad. En el diseño de un taller de prácticas tiene una importancia capital la elaboración del «material de prácticas». En primer lugar, en su elaboración se realiza el trabajo de explicitación y descripción del campo de problemas que se estudiará en clase, de las técnicas que han de permitir al estudiante llevar a cabo el estudio, de los desarrollos y variaciones técnicas que este estudio requiere, y del entorno teórico necesario. De aquí surge en realidad la explicitación del modelo especfico del ámbito matemático que se pretende generar (modelo al que nos referíamos con anterioridad). En segundo lugar, es este material el que debe hacer aparecer, en manos de los estudiantes, la posibilidad e incluso la necesidad de modificar y generalizar las técnicas utilizadas para poder seguir resolviendo los problemas que se les presentan. En el lenguaje de la teoría de las situaciones didácticas, podría decirse que el ((material de prácticas» debe constituir el núcleo de una situación «a didáctica» espec$ca de la técnica matemática que los estudiantes deben desarrollar. Esta formulación no debe esconder que el elemento central del taller no son las técnicas estructuradoras, sino la actividad matemática más compleja que el desarrollo de estas técnicas posibilita. Los talleres de prácticas se deben concebir siempre como un dispositivo didáctico más, en el que se desarrolla un aspecto o momento de la actividad matemática estrechamente dependiente de los demás. Olvidar esta función, a la vez subordinada y articuladora, nos podría llevar a una excesiva «didactificación» de las técnicas enseñadas, lo que significaría a la larga identificar la función de los talleres de prácticas con la enseñanza de la utilización de técnicas matemáticas. Breve descripción de un taller de prácticas experimentado Presentamos aquí, a título de ejemplo, uno de los talleres de prácticas diseñados y experimentados durante el curso 91-92 con estudiantes de primer curso de Análisis de la licenciatura de matemáticas de la UAB". La experimentación ha sido llevada a cabo por un equipo formado por los tres profesores de la asignatura (un profesor de «teoría» y dos de «problemas») más los autores. Nosotros hemos sido los responsables de la coordinación y los encargados del diseño, el seguimiento y la evaluación de todo el proceso. Este taller ha sido diseñado con el propósito de que los estudiantes lleven a cabo el estudio profundizado de un pequeño campo de problemas situado en el (inmenso) campo de las ecuaciones diferenciales lineales. El primer objetivo del taller es que el estudiante llegue a dominar de una manera robusta las distintas técnicas que aparecen, a fin de que sea capaz de realizar por sí mismo pequeñas variaciones de dichas técnicas. El segundo objetivo consiste en posibilitar, a partir de las variaciones relevantes de las técnicas, que surjan en manos de los estudiantes las consiguientes ampliaciones del campo de problemas y de las necesidades teóricas asociadas. El «material de prácticas» elaborado para este taller lleva por título Series de potencies i equacions diferencials (Bosch 1992). La duración total del taller fue de tres sesiones de cuatro horas cada una. Al principio de la primera sesión cada profesor presentó a los estudiantes de su grupo el campo de problemas de las ecuaciones diferenciales y les propuso encontrar las soluciones analíticas de ciertas ecuaciones a partir de la única técnica que conocían: la del cálculo de los coeficientes de la serie de Taylor de la función solución, derivando sucesivamente la ecuación y evaluando en el punto inicial. Esta será considerada, por lo tanto, la técnica inicial del taller. Detallamos en el anexo 1 las pequeñas variaciones de esta técnica que debe realizar el estudiante para llegar a dominarla. Las limitaciones de esta técnica inicial surgen al encontrarse el estudiante con ecuaciones en las que aumenta rápidamente la dificultad del cálculo de las derivadas sucesivas y, por lo tanto, la imposibilidad de encontrar la expresión general de los coeficientes de la serie. En el anexo 11 se exponen las citadas limitaciones. El hecho de centrarnos en las soluciones analíticas de las ecuaciones permite producir una nueva técnica que consiste en suponer el problema resuelto y la solución expresada como una serie de potencias; al sustituir esta serie en el lugar de la función incógnita de la ecuación diferencial, se obtiene una sucesión recurrente que permite determinar los coeficientes de la serie solución. Denominaremos esta técnica, que puede considerarse obtenida por variación de la técnica inicial, la técnica principal del taller, es decir la técnica que los estudiantes deben conseguir dominar, rutinizar y adaptar, por variación, a las nuevas situaciones problemáticas que se les presentarán. Figuran también en el anexo 111 el proceso de producción de la nueva técnica, la correspondiente ampliación del campo de problemas y las necesidades teóricas que ello comporta. Al intentar rutinizar esta nueva técnica, los estudiantes toparon con numerosas dificultades que tuvieron que superar gradualmente: el cambio de variable o de super y subíndice en la serie solución; la obtención de los ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1994, 12 (3) INVESTIGACIÓN Y EXPERIENCIAS DIDÁCTICAS primeros términos de la serie y de la relación de recurrencia; y, sobre todo, la resolqción de esta recurrencia (simple, pero poco familiar). Estas son, a grandes rasgos, las subtécnicas de que se compone la técnica principal. La segunda sesión tenía por objetivo utilizar la técnica principal del taller para realizar un estudio profundizado de la clase de problemas de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes y con una función polinómica como término independiente. Esto permitió a los estudiantes conseguir un dominio suficientemente robusto de la técnica principal del taller para poderla modificar, estudiar el caso general presentado y conjeturar algún resultado teórico interesante que requerirá una justificación posterior (en la clase de teoría). En el anexo IV figura un esquema de dicho estudio profundizado. El objetivo de la tercera sesión consistió en explorar la clase de problemas cuya incógnita es el desarrollo de Taylor de una función elemental dada, mediante una nueva modificación de la técnica principal del taller. La modificación consiste en lo siguiente: dada una función, se busca una ecuación funcional (diferencial o no) que acepte dicha función como solución; utilizando la unicidad (bajo condiciones iniciales dadas) de la supuesta solución analítica de la ecuación funcional considerada, puede entonces aplicarse la técnica principal del taller para obtener los coeficientes de la serie de Taylor buscada. (Ver los detalles en el anexo V). Entre las posibles direcciones de desarrollo de las técnicas, complementarias de las que se han realizado en el taller, podemos citar las que llevan al estudio de las ecuaciones diferenciales de orden superior y las que ponen de manifiesto las limitaciones de la técnica principal del taller cuando se intenta resolver con ella ecuaciones diferenciales no lineales. (Ver anexo VI.) El estudio relativamente profundizado que se ha llevado a cabo para algunas clases de problemas (dentro del campo virtual inicial) ha puesto de manifiesto, a raíz de las necesidades teóricas que se han generado, hasta qué punto el discurso teórico Cjerarquizador, estructurador y justificador de los objetos matemáticos y de su manipulación) depende estrechamente, en cada momento, de las técnicas utilizadasI2. Ambas cuestiones, las posibles direcciones de desarrollo de las técnicas y la estrecha dependencia entre el discurso teórico y las técnicas utilizadas, enmarcan el ámbito del conocimiento matemático en el que un «experto» en las técnicas de este taller podría desarrollar una actividad matemática autónoma y creativa. Se pone de manifiesto, asimismo, la importancia del momento de la técnica como momento integrador del proceso de estudio de un campo de problemas. Algunos fenómenos emergentes Citaremos esquemáticamente algunos hechos y fenómenos didácticos que han ido emergiendo a lo largo de las experimentaciones de los talleres de prácticas que hemos realizado. Se incluyen aquí los dos talleres realizados durante los cursos 91-92 ya citados, junto al que se llevo a cabo durante el curso 90-91 con estudiantes de segundo curso de licenciatura de matemáticas (Gascón 1991b): a) Se observa una importante ralentización del cambio de los objetos matemáticos manipulados en las sesiones de prácticas, respecto a los restantes dispositivos de enseñanza (clases de teoría y clases de problemas): parece entonces, en un primer momento, que los estudiantes pasan «mucho tiempo» realizando una (en apariencia) «misma actividad» y, por tanto, que progresan muy lentamente. b) Se ha visto también que los estudiantes, como actores principales del taller, aceptan mejor que el propio profesor de prácticas el llevar a cabo de manera «oficial» el trabajo de la técnica, seguramente porque en sus manos la utilización reiterada de una técnica que no dominan tarda más en aparecer como un trabajo rutinario. Dicho de otro modo, la ralentización a la que nos referíamos no tiene un carácter objetivo: el principiante «ve» la novedad allí donde el experto observador sólo vislumbra la utilización de una «misma técnica» en dos «problemas c) Se pone claramente de relieve en los talleres de prácticas que la actividad matemática que el profesor enseña no debe ser una «copia» de la que él mismo llevaría a cabo para estudiar el campo de problemas abordado e, incluso, que el profesor tiene a veces que exigir del estudiante un dominio de algunas técnicas localmente más robusto del que él mismo posee: el estudiante puede tener la necesidad de llegar a ser más experto que el propio profesor por lo que se refiere a la manipulación de las técnicas del taller. d) La institucionalización de los talleres de prácticas pone de manifiesto la necesidad imperiosa de un trabajo de ingeniería matemática, elemento esencial para la ingeniería didáctica, totalmente diferente del que hace normalmente el matemático, tanto en la investigación como en la preparación de las clases. Se trata del trabajo matemático previo a la elaboración del «material de prácticas». e) Las dificultades encontradas para hacer vivir el momento de la técnica dentro del sistema de enseñanza de las matemáticas no provienen únicamente de la peyoración cultural del trabajo de la técnica. Hemos constatado además que el momento exploratorio (considerado cada vez más como el prototipo de actividad matemática por excelencia, incluso a nivel universitario) tiende a invadir el momento de la técnica. Esta «invasión» se manifiesta dentro del propio taller de prácticas y, sobre todo, fuera del mismo. Dentro del taller, en el desarrollo de cada sesión de prácticas, hay que luchar contra la tendencia escolar que llevaría a explorar constantemente problemas nuevos con técnicas nuevas y, por tanto, a minimizar el trabajo de la técnica. Desde fuera, en el diseño del proceso global de enseñanza de las matemáticas (en el caso de un nuevo plan de estudios, por ejemplo), la ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1994, 12 (3) citada invasión puede manifestarse al no verse la necesidad de distinguir entre las clases de problemas y las prácticas matemáticas, lo que significa, en el fondo, negarle una identidad (esto es, una estructura y funciones propias) a la nueva actividad docente. Pensamos que la tendencia del momento exploratorio a invadir la totalidad del proceso didáctico (tendencia dominante en la enseñanza secundaria pero, como hemos dicho, no ajena a la enseñanza universitaria) dificultará la instauración de los talleres de prácticas, perpetuando así muchas de las disfunciones observables en los actuales sistemas de enseñanza de las matemáticas. NOTAS ' La ingeniería didáctica consiste en producir situaciones o medios de enseñanza que respondan a problemas técnicos predeterminados [. . .] donde los efectos se prevén o calculan en función de conocimientos precisos [de didáctica de las matemáticas]» (Brousseau 1989). 'Para más detalles sobre el estado actual de desarrollo de este modelo y su conexión con nuestro trabajo, remitimos achevallard 1991 y 1992, Bosch y Gascón 1992 y 1993, Gascón 1991a y 1992. Los desarrollos presentados en este apartado y el siguiente han sido elaborados a partir de los trabajos de Yves Chevallard citados en la nota anterior. Al nivel de análisis en que nos situamos, tomaremos como primitivas las nociones de «problema», «campo deproblemas», «técnica matemática» y «teoría». Aunque, en otro nivel de análisis, es posible preguntarse, por ejemplo, cuáles son los componentes de una técnica matemática o de un campo de problemas, aquí sólo mostraremos la forma de empleo de estas nociones y sus interrelaciones. Nuestro postulado, al identificar la actividad matemática con la utilización y producción de técnicas matemáticas, es una especificación de un postulado antropológico general según el cual toda actividad humana resulta de la puesta en práctica de una técnica (notaremos pues que la noción de «técnica» tiene aquí un sentido mucho más amplio todavía). 6Veáse Kuhn 1962, Lakatos, 1971 1976, 1978, Feyerabend 1970, Toulmin 1972 y Serres 1989. 'En el caso de la última reforma del currículo de matemáticas de secundaria, aparece una tendencia a reemplazar la práctica de la actividad matemática por la enseñanza de una supuesta «cultura matemática» que forzosamente quedará vacía si no se fundamenta en el dominio y desarrollo de las técnicas matemáticas. Este fenómeno, que se extiende a otras disciplinas, fue notado por Agustín García Calvo, quien interpreta que la tendencia de ir reemplazando sistemáticamente la enseñanza del griego y el latín por una «cultura clásica» en los (sucesivos) «nuevos» planes de estudio se apoya en una idea dominante (falsa, como todas) respecto a las relaciones entre lenguaje y cultura, idea que atribuye a esta última una importancia desmesurada y paradójica al presentarla como independiente de la actividad que la genera (el estudio de las lenguas clásicas en este caso) (García Calvo 1992). Esta característica es común al experto en cualquier tipo de técnicas; ya seaen técnicas aprendidas de manera no consciente Las descripciones anteriores, forzosamente esquemáticas y desligadas, no pretenden en ningún modo asumir el papel de análisis o evaluación prematura de la actividad docente experimentada. Es previsible que el estudio sistemático de estos fenómenos sobrepase ampliamente el ámbito del taller de prácticas para abordar de lleno las interrelaciones de éste con los restantes dispositivos del sistema de enseñanza de las matemáticas. Este estudio se situará, por tanto, en el marco de un nuevo programa de investigación en didáctica de las matemáticas en el que debemos seguir trabajando13. (como ciertas técnicas del equilibrio, las técnicas que nos permiten discriminar las oraciones «bien formadas* en nuestra lengua materna o las técnicas de la orientación espacial), como en técnicas aprendidas de manera más consciente (como las técnicas del juego del ajedrez, las que permiten tocar un instrumento musical o las técnicas matemáticas institucionalizadas). 9A fin de mostrar más claramente este fenómeno, diremos que la represión del trabajo de la técnica no tiene el mismo alcance en las actividades llamadas «manuales», en las actividades deportivas y ni siquiera en las artísticas donde, aunque siempre se considera que la técnica debe estar al «servicio» de la creatividad, no deja de verse como una condición indispensable de ésta. 'O Esta microprueba es un dispositivo didáctico importante debido a su función de objetivización, puesto que da al estudiante una valoración externa de los resultados del trabajo técnico realizado. También ayuda a definir el «contrato didáctico» que se establece a lo largo del taller, al precisar en particular hasta qué punto los estudiantes deben dominar las técnicas utilizadas en cada sesión para proseguir con el estudio del campo de problemas. No es necesario decir que la microprueba también funciona como una importante fuente de información para los profesores (y, en este caso, para los investigadores). "El hecho de haber iniciado la experimentación con estudiantes universitarios es meramente circunstancial: el lector habrá podido observar que el alcance de nuestras formulaciones no depende del nivel educativo considerado. Se verá asimismo que el trabajo de ingeniería realizado se podría extender (con algunas modificaciones) a los niveles preuniversitarios. ''Así, por ejemplo, durante la utilización de la técnica inicial del taller, puede surgir la necesidad de relacionar la unicidad de la solución de las ecuaciones diferenciales estudiadas con la de las relaciones de recurrenciaobtenidas, así como con la unicidad de la serie de Taylor de una función analítica; puede aparecer asimismo lanecesidad de justificar algunas de las manipulaciones (como los cambios de variable de las series de potencias), la de asegurar la convergencia de la serie encontrada; etcétera. I3Agradecemos a G. Brousseau, Y. Chevallard, P. Orús y J.M. Lamarca la lectura de las versiones preliminares de este trabajo, así como sus sugerencias para mejorarlo. Para orientación del lector, queremos hacer constar que en este artículo se describe la teoría de los momentos didácticos y su experimentación en el estado en que se encontraban en abril de 1992, fecha en la que fue elaborado este trabajo. 322 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1994, 12 (3) Neeeidades tebrimir: Hemos utilizndo implícitamente un resultado teórico importante: la unicidad de la expmi6n de una función analitica como serie de potencias. Este resultado es el que justifica el "geaton de igualaci6n de los coeficientes y nos asegura la obtención de una relacidn de recurrencia para cada ecuaci6n. La ecuación tiiferencial ten&& entonces tantas soluciones analíticas como sucesiones verifiquen la relación de recurrencia asociada. Amplio& del pmblema: Se ve muy claramente, con esta técnica, que la condici6n iniciai determina la unicidad de la solución y que, a une condición inicial y(xo) = ya, le corresponde la solución: 'Igmbidn podemos notar, sin necesidad de répetir todo el proceso, que a una ecuación del tipo y' = &a, con a E R le corresponde la relación de recurrencia 4, = $a,+l que determina el tdrmino general de la eerie a, = $yo y pues la solución: Posible variación de la técnica principal: Existe una "variante" de esta técnica que permite controlar (e incluso evitar) la manipulación de los sumatorios. Consiste en escribir las series de potencias en toda su extensión, los dos miembros de la ecuaci6n uno encima del otro, e igualar tbrmino a término: EI tmbajo de la tdcnim principal deberíu proseguir con la resokción de las dernds ecuacioneci, que no detoliaremos en esta presentación. ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1994, 12 (3) 329 INVESTIGACI~N Y EXPERIENCIAS DIDÁCTICAS ANEXO IV. ESTUDIO DEL CASO GENERAL Las "gestcd' realizados en el estudio anterior tienen un alcance mayor que la mera resolucián de Ia ecuación (1): parece que podemos repetir el mimo proceso con cualquier maci6n lineal con ~~~Acientee, constantea y término independiente polindmico del tipo: y' = Cq + P(z) La técnica principal utilizada hace corresponder a cada ecuaci6n una relaci6n de racurrencia, que sertí, en este caso, una recurrencia de primer orden. Como el término independiente de la ecuaci6n sólo afecta a los primeros coeficientm de la serie, podemos prever que, a partir de cierto n, obtendremos siempre una relwi6n de recurrencia del tipo o, = a%-1 que se puede resolwr fácilmente y que dar6 lugar, en la soluci6nI a un término exponencial del tipo eeD. Se podra conjeturar entonces un caso particular del resultado &rico más general según el cual las eoludones de una ecuacidn diferencial lineal son suma de una ecuación particular y de la soluci6n general de la ecuación homogénea asociada. Resumimos a continuGi6n las principales "gestos" del estudio de los primeros casos de esta ecuación general: #'=ay ~(n+l)<h+i~~=a!~<i~~~ a an+l =- n+ian Vn 2 0 a" e a,=-ao Vn2O n! * Y(2)=~~~x~=aoe 00 #'=ag+B e ~(n+l)an+izn=a~<h~n+~ a , an+l = -% Vn> 1 e ai=aao+/3 ' ni-1 an B 0t=aw+/3 ; an=-(<O+;) Vn>1 n! P 'Yn B B ~(~)=(m+-)~-x~+m=(a+~)e~~-- a n! n2 1 a v'=oa+&+~ o x(n+i)a,,+lzn =a~a,,zn+8x+7 a! M al=oao+7; aa=aai+fl; %ti=-a,, Vn>2 n+l ,p-2 al=aiao+~; aa=aal+& %=---a2 Vn>l nl &c. 330 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1994, 12 (3) Aóonkrmmos ahom con la tdmica prrprrncipal la primeni ecuacidn m b que se pusicnn, &mm& de manijiejto los limitaceones de la técnica inicial. Sustitu& de la uolucidn por su desarrollo en serie: Sea y(%) = %xn una soluci6n de la ecuaci6n. Tenemos: - Relación de riemmncia: Obtenemos &a vez una relación de recurrencia de orden 3: 1 -3 m = m; al = O; a2 = O; as = Q(-3~ + 1); a,, = -%-S Vn > 4 n Resolución & kr mmmcia: Ident$&¿n de h solkdn: Las términos no nulos de Ia serie son: I Para a0 = y(0) = O, la ecuación tiene una iínica solución analítica: que identificamos como y(%) = -$(exp(-2) + 1). Amplia& del problema: La solud6n de la ecuación y' + 3x2~ - x1 = O con condici6n inicial ~(xo) = ao ea: Vernos que con la condición inicial p(xo) = 4 la solud6n es y(%) e O. (Formaría parte del tmbajo de la fé& el volver a resolver le ecuación en este caso concrefo para comprobar que se obtiene efectivamente este resultado (ya) conocido.) h técnica prinanapul nos ha pemitido wsolver una ecuación con h que habh fmmmdo la tdcniarr iniciol. Pem ejta mejoni se ha hecho bajo ciertas nstriccioneu, puesto que no Ucontmimoe" todo& el alarme de h nueva técnica. Necrcadarúamos profundizar m& en el estudio p4m paria delimitar la clare de ecuociones diferenciales que la tkmCR1ca prinicipol nos permite estudiar (saber cudles son los tipo8 de txcud que nos pueden aparecer, si son o no nsdublea, etc.). ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1994.12 (3) La t6m-m pnpnmRC)pal no nos pennite tinicanaente wsolver ecuaciones dife~nciales lineales. Con una nueva variación, se puede ampliar el mmpo de problemas estudocrdo, no para resolver ecuaks difendes nuevos, sino pam encontrar la serie de Taylor de um fincidn elemental dada, hallando en Wmer lugar una ecuaadn difemracial o finciomi que la tenga como zínim solución. Ejemplo: Queremos hallar la serie de Taylor de la funcidn f (S) = m. 1 f(z) =m==+ j'(x) = - 2- - '4. + l)f'(z) =' f(4 Por lo tanto f (E) es soluci6n de la ecuación diferencial lineal 2(x + 1)y' = y. Reaolvmo8 esta ecuacidn con la tdcnica principal y obtenemos: 2(r + 1) nanxn-l = C anzn O <2+1 - - '-%& vn20 - n* n+l nlo Aiiadiendo la condición inicial f (O) = 1, tenemos que ao = 1 y pues: 11 f(s)= 1+-a--sa+ ... 2 4.21 que es la serie de aylor de f (z) = m en un entorno de x = 0. )&&ten otrns posibles desan-0110s de la técnica principal. Poderno8 citar en primer lugar su utilización pam resolver ecuaciones lineales de segundo oden con coeficientes p06i~dmicos (como por ejemplo las ecuaciones de Beswl) o ecoccrciones integmles. Se pueden entonea poner muy fádmente en evidencia las limitacione~ de esta técnica con ecuaaones difemciales no limales de primer orden (del tipo a(' = 1 + y2, py' = 1, etc.). ks dificultades ligadas a la resolución de Las ~taciones de ~cumneicl obtenidas nos pueden sughr uno importante variación de la tecnica principal que ampliará en una nueva direccidn el ampo de pmblernos aboniado. Se trata, en cierto modo, de invertir el pmso: en lugar de bwmr las toluciones analíticas de ecuaczones diferenciales mediante la resolución de relaciones mcu~ rentes, se trataría de intentar resolver ciertas mlaaones de mcumncía asociddolas a ecucrciones difemnciales de &s que conocemos la solucibn. Surge entonces una nueva técnica, llamada t6cnica de la función generatriz. Ejemplo: Dada una constante a E R, hallar el termino general de la sucesión: (n + 1) an+l = (a + 4% (*) { *=1 Se muitiplican por xn los dos miembros de la igualdad (n + 1) %+1= (a + n)a, y se suman desde O hasta OO. Queda entonces: C(n .t 1) an+12" = (IIC a,xn + ZC n*Zn-l n>_O n10 nW O, lo que es equivalente: y' (x) = a y(x) + xy' (S). La ecuación diferencial asociada a la relación de recurrencia (*) es: (1 - = ay, con condici6n inicial y (O) = 1. Supongamos que sabemos que la solución de esta ecuación es y(x) = 6 y que cmcemos el des~~~~llo en serie de Taylor de esta función: , &j~=C(~+:-l n'o ) zn. Entonces el termino general de Ia sucesión recurrente es: vnro. 332 ENSERANZA DE LAS CIENCIAS, 1994,12 (3) 1 - -