Concepciones iniciales sobre la asociación estadística

INVESTIGACI~N Y EXPERIENCIAS DIDÁCTICAS CONCEPCIONES INICIALES SOBRE LA ASOCIACI~N ESTADÍSTICA ESTEPA CASTRO, A.' y BATANERO BERNABEU, M.C.Z l Universidad de Jaén. Universidad de Granada. SUMMARY In this paper we make a summary of psychological investigation about statistics association. The results of experimental study about previous conceptions are shown. This study has comprised the students' judgments of association. Using factorial analysis, we have identified five factors, which determine the structure of students' strategies. We also show a qualitative study about students' strategies in 2 x 2 and r x c contingency tables, scatterplots, and comparison of a numerical variable in different samples. Finally we describe four different misconceptions about statistical association and the conclusions of this paper. INTRODUCCI~N Entre las nociones estadísticas fundamentales, cuya enEs parte de un estudio más amplio sobre el efecto de un señanza debe optimizarse, se encuentra la de asociación, experimento de enseñanza basado en la resolución de que extiende la idea de correlación a variables cualesproblemas y el uso del ordenador sobre el aprendizaje de quiera, incluso no numéricas (Hildebrand et al. 1977). este concepto (Estepa 1994) y esperamos que pueda Una comprensión correcta de la misma es un prerrequicontribuir a una mejor planificación de la enseñanza del sito básico para el aprendizaje de un numeroso conjunto tema. de técnicas y métodos estadísticos. Es patente también la conexión entre los conceptos de asociación y causalidad, por lo cual, en el estudio de la asociación se apoya el método científico experimental y la toma de decisiones INVESTIGACIONES PSICOLÓGICAS en situaciones de incertidumbre. Sin embargo, asociaSOBRE ASOCIACION ESTADISTICA EN ción y causalidad no siempre coinciden y, además, la TABLAS DE CONTINGENCIA 2 x 2 detección de la asociación no es una habilidad espontáneamente adquirida. Los sujetos, aún adultos, se guían A pesar de la importancia en estadística del concepto de preferentemente por sus teorías previas sobre las interreasociación y de las dificultades epistemológicas y psicolaciones entre variables, más que por los datos objetivos lógicas ligadas a este concepto, son escasas las investisobre las contingencias empíricas, con el consiguiente gaciones sobre el tema en didáctica de la matemática. La perjuicio en diversas áreas de la actividad humana. mayor parte de los estudios sobre asociación estadística se ha efectuado por psicólogos, que han analizado los En este trabajo presentamos los resultados de un estudio juicios de asociación en tablas de contingencia 2 x 2. experimental sobre las concepciones previas de los alumnos Una tabla de contingencia se usa para presentar, en y las estrategias empleadas en la resolución de probleforma resumida, las frecuencias de casos en una poblamas descriptivos de asociación estadística. El concepto ción o muestra, clasificados respecto a dos variables de asociación es tratado en nuestro trabajo desde el estadísticas. El caso más simple es la tabla de contingenpunto de vista de la estadística descriptiva, sin plantearcia 2 x 2, en la cual las variables presentan sólo dos nos problemas de inferencia a otros datos diferentes de modalidades, con el formato que presentamos en la los que se presentan en cada una de las tareas propuestas. tabla 1. ENSENANZA DE LAS CIENCIAS, 1995,13 (2), 155-170 155 INVESTIGACIÓN Y EXPERIENCIAS DIDÁCTICAS Tabla 1 Esquema de la tabla de contingencia 2 x 2. Total c+d Total a + c b + d a+b+c+d El estudio del razonamiento sobre la asociación estadística fue iniciado por Inhelder y Piaget (1955), quienes consideraron la comprensión de la idea de asociación como el último paso del desarrollo del concepto de probabilidad. Para ellos, los antecedentes evolutivos de los dos conceptos son los mismos, pues la comprensión de la idea de asociación implica las de proporción y probabilidad, y requiere capacidad combinatoria. Por este motivo sólo estudiaron el razonamiento sobre la asociación con sujetos de los estadios IIIa y IIIb correspondientes a las operaciones formales, proponiéndoles el problema de la asociación entre el color de ojos y del pelo, usando un conjunto de tarjetas coloreadas con dibujos de rostros como dispositivo experimental (cabello rubio y moreno, ojos azules y negros). Con objeto de explicar sus resultados, Inhelder y Piaget clasificaron las cuatro posibilidades de combinar el color de pelo y ojos según el esquema presentado en la tabla 1, en el cual a, b, c y d representan las frecuencias absolutas de las cuatro celdas de la tabla (cabello rubio, ojos azules; cabello rubio, ojos negros; cabello moreno, ojos azules y cabello moreno, ojos negros). Según estos autores, para probar una asociación entre las dos variables, el sujeto deberá tener en cuenta los casos favorables (a+d), los casos desfavorables (b+c) y los casos posibles (a+d) + (b+c). Sin embargo, encontraron que, en el estadio IIIa, los adolescentes sólo analizan la relación del caso a (positivo-positivo) al total de datos, sin tener en cuenta el caso d (negativo-negativo), que equivale normativamente al anterior. Otras veces relacionarán a con b o con c, sin percatarse de que los casos de la celda d tienen el mismo valor normativo que los de la celda a. Enuncian así el problema de la asociación: Superadas estas dificultades iniciales, elproblema reside en comprender que la correlación no consiste en una simple probabilidad, es decir,una relación elemental entre los casos favorables (a+d) y el conjunto de los casosposibles (a+d+b+c). Sin duda alguna elproblema verdadero de la correlación reside en este punto, y ello explica por qué la correlación sólo se adquiere en el nivel ZZZb, aunque se posea la probabilidad simple en el nivel ZZZa en su forma multiplicativa (Inhelder y Piaget 1955, p. 198). Estos autores consideran que el sujeto debe emplear la siguiente expresión para evaluar la asociación entre las variables: R = [(a+d)-(b+c)] / [(a+d)+(b+c)]. Opinan también que esta relación sólo se encuentra en el estadio IIIb, aproximadamente a los 15 años de edad. Después de Inhelder y Piaget, numerosos psicólogos han estudiado los juicios de asociación, generalmente en tablas de contingencia 2 x 2, con sujetos adultos, utilizando diferentes tipos de tareas y, como consecuencia, se ha hecho notar la pobre capacidad para establecer un juicio de asociación correcto. Por ejemplo, Smedlund (1863) y Shaklee y Mins (1982) encontraron sujetos adultos que basaban su juicio sólo en la celda a, o comparando a con b. La dificultad de este tipo de tarea se pone de manifiesto por el hecho de que, como hicieron notar Jenkins y Ward (1965), incluso la estrategia de comparar las diagonales de la tabla de contingencia, considerada correcta por Piaget e Inhelder, sólo es válida para tablas con frecuencias marginales iguales para la variable independiente. Sin embargo, esta estrategia es ampliamente usada por adultos en las investigaciones de Allan y Jenkins (1983) y Shaklee y Tucker (1980). Para el caso general, Jenkins y Ward han propuesto como estrategia correcta la comparación de la diferencia entre las dos probabilidades P(B1A) y P(BIA), denominada 6P = [a/(a+b)]-[c/(c+d)]. Pérez Echeverría (1990) resume las estrategias que han sido identificadas en la investigación psicológica y las agrupa en cinco niveles de complejidad, calculando los porcentajes de los mismos en su investigación: Nivel 1. Usar sólo una celda, usualmente la celda [a] (3,7% de uso). Nivel 2. Comparar [a] con [b] o [a] con [c] (30,56%). Nivel 3. Comparar [a] con [b] y [a] con [c] (15,74% de uso). Nivel 4. Usar las cuatro celdas en la tabla, pero efectuando comparaciones aditivas (37,96% de uso). Nivel 5. Deducir la asociación a partir de una relación multiplicativa entre las cuatro celdas de la tabla (12,04% de uso). Otro aspecto de interés en este tema es que Chapman y Chapman (1969) mostraron la existencia de expectativas comunes acerca de las relaciones entre las variables que causan la impresión de contingencias empíricas. Este fenómeno ha sido llamado «correlación ilusoria», porque los sujetos mantienen sus creencias a pesar de la evidencia de la independencia de las variables. La experiencia vital y el entorno cultural de los sujetos contribuyen a la formación de estas teorías que se usan para interpretar los hechos y datos que les rodean. Jennings, Amabile y Ross (1982), Wrigth y Murphy (1984) y Alloy y Tabacnick (1984), entre otros, han estudiado este efecto de las teorías previas sobre el contexto del problema en los juicios de asociación. La conclusión general es que, cuando hay acuerdo entre los datos y las teorías previas, la gente incrementa su confianza en la atribución de la covariación, pero cuando los datos no coinciden con estas teorías se produce un conflicto cognitivo y la precisión de la percepción de la covariación dependerá de la fuerza relativa de las dos fuentes de información. ENSENANZA DE LAS CIENCIAS, 1995,13 (2) METODOLOGÍA DEL ESTUDIO EXPERIMENTAL Objetivos del estudio Las investigaciones que hemos mencionado proporcionan una información necesaria y valiosa para la enseñanza del tema. Sin embargo, como hemos señalado, han estado centradas en tablas de contingencia 2 x 2. El concepto general de asociación lleva, sin embargo, a una clase más amplia de problemas, que intentamos cubrir en nuestra investigación. De este modo, podremos obtener una primera aproximación al estudio de las concepciones previas de los alumnos sobre la asociación estadística. Ello requiere una clasificación, desde el punto de vista matemático, de las estrategias empleadas en estos problemas y el análisis de las interrelaciones entre los juicios de asociación en los diferentes tipos de problemas, con objeto de estudiar la estructura general de los juicios de asociación. Muestra La muestra ha sido tomada intencionalmente y ha estado formada por 213 alumnos del Curso de Orientación Universitaria de tres institutos de bachillerato de la provincia de Jaén, donde 124 (58,2%) pertenecían al COU dirigido a ciencias y 89 (41,8%) al COU orientado a letras. De ellos 113 (53,1%) eran varones y el resto mujeres. Sólo 34 alumnos (16,0%) habían estudiado estadística en cursos anteriores. Unicamente 3 alumnos habían estudiado los conceptos de dependencia funcional y aleatoria. Como conclusión, podemos considerar que el estudio que realizamos respecto a la asociación estadística es una evaluación de las concepciones iniciaCuestionario El cuestionario utilizado consta de diez problemas en los que el alumno ha de dar un juicio sobre la asociación existente entre dos variables, distribuidos en la forma siguiente: cinco problemas presentan los datos en forma de tablas de contingencia (tres tablas 2 x 2, una tabla 2 x 3 y otra 3 x 3); en otros tres se utiliza un diagrama de dispersión y los dos últimos son problemas de comparación de una variable numérica en dos muestras, uno de ellos empleando muestras relacionadas y el otro muestras independientes. El cuestionario se presenta como apéndice. Los ítems sobre tablas 2 x 2 fueron tomados de la investigación de Pérez Echeverría (1990) modificando el formato y las frecuencias de algunas celdas. Los ítems 6 y 7 son datos reales y el resto de los ítems fue construido para esta investigación. En la elaboración del cuestionario se han tenido en cuenta las siguientes variables de tarea (Kilpatrick 1978): V.1. Tipo de dependencia estadística entre las variables: contemplándose los tres posibles casos de dependencia directa, inversa e independencia en las tablas 2 x 2 y en los diagramas de dispersión. En las tablas 2 x 3 y 3 x 3 y en la comparación de muestras el signo de la asociación no es aplicable. V.2. Intensidad de la dependencia. Para m-edir esta variable hemos utilizado el coeficiente de correlación de Pearson para las variables continuas, para las tablas de contingencia 2 x 2 el coeficiente PHI y para las demás tablas utilizamos el coeficiente V de Cramer. Para los dos últimos ítems se ha realizado un contraste de diferencias mediante el test t. les de los alumnos participantes (~rti~uei990, Confrey 1990). Tabla 11 Valores de las variables en los ítems del cuestionario. VATABLAS DE CONTINGENCIA NUBE DE COMPARACI~N DE RIATablas 2 x 2 Tablas r x c PUNTOS MUESTRAS BLES Ítem 1 ítem 2 Ítem 3 Ítem 4 Ítem 5 Ítem 6 ítem 7 Ítem 8 Ítem 9 Ítem 10 V1 IndepenDepenDepenDepenIndepenIndepenDepenDepenp = 0,0092 p = 0,1510 dencia dencia dencia dencia dencia dencia dencia dencia inversa directa directa inversa directa V2 O -0,44 0,67 0,37 0,1 0,11 -0,77 0,55 t = 3,3 t = 1,5 V3 Sí Sí No Sí No Sí Sí No V4 No Sí No hay Sí No hay No Sí No hay Sí No teoría teoría teoría previa previa previa V5 Causal Causal CovariaCausal InterdeInterdeDepenConcorInterdeCovariaunilateral unilateral ción unilateral pendencia pendencia dencia dancia pendencia ción casual indirecta casual ENSENANZA DE LAS CIENCIAS, 1995,13 (2) 157 V.3. Diferenciación de la variable dependiente e independiente. En ciertos problemas de asociación se puede distinguir claramente la variable dependiente de la variable independiente, mientras que en otros esta distinción no es posible. V.4. Concordancia entre los datos y las teorías previas sugerida por el contexto del problema. En las tres categorías de preguntas se han propuesto ítems donde unas veces los datos concuerdan con las teorías previas y otras no. V.5. Tipo de covariación. Se toman las cinco categorías que se contemplan en Barbancho (1973) dependencia causal unilateral, interdependencia, dependencia indirecta, concordancia y covariación casual. En la tabla 11 se muestra un resumen de los valores de las variables de tarea utilizados en cada uno de los ítems. El cuestionario fue probado con una muestra piloto adicional de 51 estudiantes, realizándose un estudio de generalizabilidad (Brennan 1983). Se obtuvo un índice de generalizabilidad Gi = 0,84 como medida de la posibilidad de extensión de nuestras conclusiones a la población de ítems hipotéticos y otro Gs = 0,80 de generalizabilidad a la población de estudiantes. El resto del estudio se ha efectuado sobre la muestra de 213 alumnos que hemos descrito con anterioridad. Las frecuencias de juicios correctos e incorrectos, dados por los alumnos en cada uno de los ítems del cuestionario, se muestra en la tabla 111. En el ítem 2, correspondiente a la dependencia inversa en una tabla 2 x 2, un porcentaje apreciable de alumnos ha considerado que existe independencia entre las variables. Este tipo de respuestas fue también encontrado por Jenkins y Ward (1965) en tareas presentadas a los sujetos en un contexto causal. Para explicarla, observaron la falta de simetría entre las variables que se consideran como causas y las que actúan como efectos. Si existen más casos en que, dándose la causa, no se presenta el efecto, los sujetos concluirán que causa y efecto no se relacionan, esto es, creerán que existe independencia entre las variables. Interpretamos este tipo de respuesta como indicativa de que los estudiantes que la proporcionan tienen una concepción unidireccional de la asociación. Consideran sólo la asociación entre dos variables estadísticas cuando el signo de la misma es directo e interpretan la asociación inversa como independencia. Esta concepción puede ser también identificada en el desarrollo histórico del tema. Como Pearson (1920) señaló, el mismo Galton no fue consciente de la posibilidad de la asociación inversa cuando presentó su definición de correlación ante la Roya1 Society el 5 de diciembre de 1888: dos órganos variables se dicen que están correlacionados cuando la variación de uno de estos órganos es seguida por una variación del otro en la misma dirección (p. 199). Pearson completa esta información exponiendo que el significado de un coeficiente de correlación negativo fue debido a Weldon, quien publicó en 1892 un artículo relacionado con este tema. Otro hecho notable es la diferencia en dificultad en los tres primeros ítems, referidos a tablas de contingencia 2 x 2. En los dos primeros, el contexto puede sugerir al alumno una relación entre la variable diferente a la que se presenta en los datos, especialmente en el ítem 1, correspondiente a la independencia, en el que el contexTabla 111 Frecuencia y porcentaje de respuestas sobre el juicio de asociación. Ítem Juicio correcto Juicio incorrecto No responde Total 1 84 (39,4) 119 (55,7) 10 (4,7) 213 (100) 2 108 (50,7) 90 (42,2) 15 (7,o) 213 (100) 3 194 (91,l) 12 (5,6) 7 (3,3) 213 (100) 4 186 (87,7) 19 (8,9) 8 (3,8) 213 (100) 5 129 (60,6) 23 (10,8) 61 (28,6) 213 (100) 6 177 (83,l) 32 (15,O) 4 (~9) 213 (100) 7 182 (85,4) 30 (14,l) 1 (0~5) 213 (100) 8 46 (21,6) 155 (72,8) 12 (5,6) 213 (100) 9 178 (83,6) 20 (9,4) 15 (7,o) 213 (100) 10 157 (73,7) 44 (20,7) 12 (5,6) 213 (100) 158 ENSENANZA DE LAS CIENCIAS, 1995,13 (2) INVESTIGACION Y EXPERIENCIAS DIDACTICAS to sugiere a los alumnos la dependencia de las variables (fumar y padecer trastornos bronquiales). Como seflala Crocker (1981), detectar la interrelation entre los acontecimientos o valorar las contingencias ambientales es algo mas que un problema matematico. Es una tarea en que se ejercita nuestro conocimiento previo del fen6meno y en el cual influye poderosamente el contexto de la information que estamos empleando. En el item 1 es preciso ademas un empleo correcto del razonamiento proporcional. Este item puede verse tambien como un problema de comparaciOn de dos probabilidades en la que el mimero de casos favorables y desfavorables en los terminos de comparaciOn es proporcional. Para Inhelder y Piaget (1955) corresponde al nivel Mb de razonamiento probabilistico y es la tarea mas dificil dentro de las de comparaciOn de probabilidades. Todos estos aspectos se discuten con mas detalle en Batanero y otros (en prensa). Analisis factorial de respuestas en los juicios de asociaciOn Puesto que las respuestas de cada alumno particular sobre la existencia o no de asociaciOn entre las variables dependera de sus concepciones, cabe esperar una relaciOn entre las respuestas de un mismo alumno. Para determinar la estructura de este conjunto de respuestas se ha efectuado un analisis factorial usando el paquete estadistico BMDP. La extraction initial de factores se ha realizado con el metodo del factor principal y como metodo de rotation se ha empleado la rotation varimax (Cuadras 1991). En la tabla IV se presentan los autovalores y comunalidades obtenidos. De la estructura de los autovalores, puede observarse la multidimensionalidad del juicio de asociaciOn: ninguno de los factores destaca por el porcentaje de inercia respecto a los demas y no se logra reducir la dimension del espacio vectorial subyacente. Tabla IV Autovalores y comunalidades del analisis factorial. Item variable Comunalidad Factor Autovalor Porcentaje de varianza Porcentaje de varianza acumulado 1 - D6 0,52928 1 1,68828 16,9 16,9 2 - E2 0,65924 2 1,27656 12,8 29,6 3 - F2 0,65310 3 1,15154 11,5 41,2 4 - G2 0,65948 4 1,06427 10,6 51,8 5 - H2 0,46009 5 1,02437 10,2 62,1 6 - 13 0,54413 7 - J1 0,53643 8 - K1 0,76092 9 - Ll 0,72373 10 - M1 0,67863 Tabla V Matriz factorial rotada por el metodo varimax. Item  Factor 1 Factor 2 Factor 3 Factor 4 Factor 5 1  0,69014 2 0,80831 3  0,56512 -0,42876 0,36397 4  0,50840 -0,55696 5  0,53138 0,37402 6 0,69078 7 0,36823 0,54935 8 0,83021 9 0,80612 10 0,68755 -0,37770 ENSENANZA DE LAS CIENCIAS, 1995, 13 (2) 159 Hay cinco factores con inercia superior a la unidad y la importancia relativa de los mismos es muy parecida. El conjunto de los cinco sólo explica un 62% de la varianza y cada ítem presenta un porcentaje apreciable de varianza no explicada por el conjunto de factores, lo que indica su fuerte especificidad. Este hecho, a nuestro juicio, confirma los resultados de los diferentes trabajos psicológicos sobre juicios de asociación en tablas de contingencia y los extiende al caso de tareas más complejas. El juicio de asociación no viene determinado por una variable de tarea única; las diferentes variables interaccionan, provocando en el sujeto tanto un cambio de estrategia como un cambio en el juicio proporcionado. En la tabla V presentamos la matriz factorial obtenida tras la rotación varimax, en la que hemos suprimido, para una mejor interpretación, los coeficientes factoriales de magnitud pequeña. A continuación interpretamos los factores obtenidos. Factor 1: Asociación entre variables como variación de las frecuencias relativas condicionales. Agrupa todas las tablas de contingencia, excepto la tabla del ítem 2. Por ello, el primer factor expresa la diferencia del tipo de habilidad requerida en los juicios de asociación en tablas, respecto a los otros ítems, debido al hecho de tener que trabajar con las frecuencias de la tabla, ya que no es posible emplear valores numéricos para intentar relacionar las variables. En estos ítems es preciso concebir la asociación estadística como la variación de las frecuencias relativas condicionales de una de las variables en función de la otra. Factor 2: Asociación entre variables como variación del valor numérico de una de ellas en función de la otra variable. Agrupa el ítem 7 relativo a la dependencia inversa en una nube de puntos en el cual la intensidad de la asociación y la pendiente acusada de la nube de puntos permite apreciar visualmente el decrecimiento de la gráfica y los dos ítems referidos a la comparación de una variable numérica en dos muestras (9 y 10). En estos tres ítems (y sólo en ellos) se observa claramente cómo el valor numérico de la variable dependiente varía en función del valor de la variable independiente. Factor 3: Signo de la asociación cuando no hay teorías en contra. Opone el ítem 3, que tiene una dependencia directa fuerte, frente a los ítems 5,6 (independencia) y 7 (dependencia inversa fuerte). En ninguno de los casos el contexto de los ítems sugiere una asociación diferente a la presentada en los datos. En el resto de los ítems o bien la teoría está en contra de los datos o no tiene sentido considerar el signo de la asociación. Concluimos en consecuencia que este factor representaría el signo de la asociación, que será tenido en cuenta al producir un juicio, diferenciando la asociación de tipo directo frente a la independencia o dependencia inversa, en el caso de que las teorías previas no contradigan los datos y haya una intensidad fuerte en la asociación. Factor 4: Concordancia frente a causalidad (correlación moderada) Aparecen con signos opuestos dos ítems en que la intensidad de la asociación es moderada, diferenciándose por el tipo de relación entre las variables a la que es atribuible la asociación. En el ítem 4 (número de horas y éxito en un examen), el alumno puede atribuir a la variable independiente un papel de causa y a la dependiente el de efecto, pues su experiencia le dice que, en general, un mayor número de horas de estudio aumenta la probabilidad de éxito en un examen. Aunque la correlación sea moderada, al darse la coincidencia entre correlación y causalidad en este contexto, el alumno produce un juicio positivo de asociación. Por el contrario, en el ítem 8 referido a la concordancia en las puntuaciones dadas a una serie de concursantes por dos jueces, no hay una relación de causa-efecto. Aparece una dificultad semántica derivada del hecho de que las palabras que empleamos en el lenguaje matemático pueden tener un sentido distinto en la vida cotidiana. Aunque la pregunta se hace evitando la palabra dependencia en este caso, puede ocurrir que el alumno asocie el término «relación» empleado en la pregunta con la idea de dependencia y ello provoque la confusión mostrada. Factor 5: Asociación como comparación de muestras independientes. En este factor aparecen agrupados, aunque con signo opuesto, las dos tablas de contingencia 2 x 2 y el último ítem que se refiere a la comparación de muestras independientes. En los tres casos se trata de comparar dos muestras independientes y existe asociación. De este modo, interpretamos este factor como correspondiente a una concepción de la asociación entre una variable cualquiera y otra dicotómica como la existencia de diferencias en las frecuencias o valores de la variable en ambas muestras. ESTUDIO CUALITATIVO DE ESTRATEGIAS Para completar nuestro estudio, se han clasificado las estrategias de los 213 estudiantes de la muestra en cada uno de los problemas de asociación atendiendo a su corrección desde el punto de vista de los conceptos matemáticos puestos en juego implícita o explícitamente. Para ello las respuestas escritas de los alumnos fueron sometidas a un proceso de análisis de contenido y categorizadas en función de la información utilizada y el modo en que esta información se combina o compara tras una serie de procesos de comparación de las respuestas similares. Finalmente a partir de las categorías iniciales, la comparación con las estrategias descritas en las investigaciones previas y el asesoramiento de otros investigadores que colaboraron en este proceso se llegó a la ENSENANZA DE LAS CIENCIAS, 1995,13 (2) definición de las estrategias que presentamos en este trabajo. Vergnaud (1990), al discutir la actividad realizada por un alumno durante el proceso de resolución de problemas, distingue dos tipos de situaciones: a) situaciones para las que el sujeto dispone en su repertorio, en un momento dado, de las competencias necesarias para un tratamiento relativamente rápido de la misma; b) situaciones para las cuales el sujeto no dispone de dichas competencias. Este autor llama esquema a la organización invariante de la conducta para una clase de situaciones dadas: lo considera útil en los dos tipos de situaciones descritas. En las primeras el sujeto tendrá una conducta bastante automatizada y tenderá a usar un esquema único. En el segundo tipo de situaciones se observará el empleo sucesivo de varios esquemas que pueden entrar en competición y que deben ser combinados y descombinados para llegar a la solución buscada; si ésta es correcta, se ha producido un aprendizaje. En los esquemas, Vergnaud sitúa los conocimientos en acto del sujeto (conceptos y teoremas en acto). El análisis de estos esquemas latentes tras las estrategias descubre elementos cognitivos implícitos, esto es, conceptos y teoremas en acto, según este autor. Para resolver los problemas propuestos, los estudiantes de nuestra muestra estarían ante el segundo tipo de situaciones descrito por Vergnaud. En las estrategias identificadas en nuestro estudio se han observado coincidencias de grupos importantes de alumnos en su proceso de resolución de un mismo tipo de problemas. En consecuencia, creemos adecuado aplicar el marco conceptual propuesto por Vergnaud para el análisis de estas estrategias. A continuación describimos las estrategias empleadas en los distintos tipos de problemas propuestos y los teoremas en acto identificables en las mismas. Estos teoremas en acto no son propiamente teoremas cuyo enunciado se ajuste exactamente a los que aparecen en los libros de texto, sino propiedades y relaciones de los objetos matemáticos usados implícitamente. Estrategias empleadas en tablas de contingencia Como hemos indicado, la tabla de contingencia ha sido el formato más empleado en las investigaciones sobre juicios de asociación en el campo de la psicología. Aunque en Estepa (1994) se han comparado los resultados obtenidos con los de otras investigaciones, en este trabajo preferimos presentar una clasificación original, que tiene en cuenta los elementos conceptuales matemáticos utilizados implícitamente por los alumnos. Una característica importante de la tabla de contingencia es que el alumno debe trabajar con las frecuencias contenidas en la misma para obtener su juicio de asociación. Al tratarse de variables cualitativas no pueden establecer relaciones numéricas entre las mismas. La clasificación de las estrategias, que ha partido del análisis del modo en que el alumno emplea las distintas frecuencias de la tabla, se presenta a continuación. Estrategias correctas ST.l. Comparación de todas las distribuciones de frecuencias relativas condicionales h(Bj A) de cada valor B en dos o más valores diferentes de A,. En este caso el alumno emplearía implícitamente el siguiente teorema en acto TI: «La dependencia de una variable B respecto a otra variable A implica la variación de las frecuencias relativas condicionales h(Bj 1 Ai) cuando Ai varía». Una interpretación similar tendría el caso en que el alumno intercambiase filas por columnas. ST.2. Comparación de una sola distribución de frecuencias relativas condicionales h(B, 1 A) para un valor fijo j, en cada posible valor deA,, con la frecuencia relativa marginal hj. Estos alumnos usarían implícitamente el teorema en acto T2: «La independencia implica la invarianza de la distribución de B al condicionarla con un valor de A». (Podemos intercambiar filas por columnas.) ST.3. Comparación de posibilidades. Cuando el estudiante, en lugar de calcular las probabilidades, compara las frecuencias de casos a favor y en contra de B (o la razón de estas frecuencias) en cada valor de A. Se emplea implícitamente el teorema T3; «hay una correspondencia unívoca entre la probabilidad de un suceso y la razón de sus posibilidades a favor y en contra». Estrategias parcialmente correctas ST.4. Comparación de dos o más distribuciones de frecuencias absolutas condicionales con la frecuencia absoluta marginal correspondiente. Es similar a la estrategia ST.l, pero no se emplean explícitamente las frecuencias relativas. En lugar de ello se hacen comparaciones aditivas o cualitativas, con lo que no se cuantifican correctamente las probabilidades implicadas. ST.5. Comparación de una única frecuencia absoluta en cada distribución condicional con la correspondiente frecuencia marginal. Es similar a ST.4, aunque se emplea sólo una frecuencia absoluta en cada distribución condicional. Se emplea implícitamente el teorema en acto T4; «es suficiente la variación de la frecuencia relativa de un sólo valor de A cuando B varía, para probar la dependencia». ST.6. Comparación de la suma de frecuencias en las diagonales. Es la estrategia descrita por Inhelder y Piaget, válida sólo cuando la tabla tiene iguales frecuencias marginales para la variable independiente. Algunos estudiantes emplean también esta estrategia en tablas 2 x 3 o 3 x 3, reduciéndola previamente a una tabla 2 x 2 sumando algunas filas o suprimiéndolas. ENSENANZA DE LAS CIENCIAS, 1995,13 (2) 161 Estrategias incorrectas ST.7. Usar sólo una celda de la tabla, en general, la de máxima frecuencia. Hemos relacionado esta estrategia con una concepción que denominaremos localista de la asociación. El estudiante no usa toda la información relevante al problema, sino sólo la más sobresaliente. También puede estar relacionada con la heurística de la representatividad descrita por Kahneman y otros (1982). En el caso de la tabla 2x2, a veces los estudiantes argumentan que no existe dependencia entre las variables porque una de las celdas [b] o [c] no tiene frecuencia nula. Ambos casos indican también una concepción determinista de la asociación, porque exigen que, siempre que se produzca A (causa), se produzca B (efecto), o bien que no pueda producirse B a menos que se produzca A. ST.8. Usar sólo una distribución condicional. Estos estudiantes no conciben el problema de asociación como un problema de comparación de probabilidades, basando su juicio sólo en un valor fijo de la variable A. Por tanto, también indicaría la concepción localista de la asociación. ST.9. Comparar algunas frecuencias dobles con el número total de observaciones, en particular las de máxima frecuencia. Similar al caso ST.7. ST.lO. Comparar frecuencias marginales; algunos estudiantes consideran que no se puede llegar a una conclusión si las frecuencias marginales de la tabla son diferentes. ST.ll. Otros procedimientos. Hemos catalogado aquí otros procedimientos que aparecen esporádicamente y que no se relacionan con las frecuencias de la tabla. Finalmente, en la tabla VI presentamos las frecuencias y porcentajes con que se han usado las estrategias descritas en las tablas de contingencia. Puede observarse la diferenciación de estrategias al pasar de la tabla 2 x 2 a las de dimensión superior (ítems 4 y 5). Asimismo es notable en el ítem 5 la falta de respuesta. Deducimos de ello que, aunque un porcentaje de alumnos apreciable es capaz intuitivamente de usar estrategias correctas o parcialmente correctas en tablas 2 x 2 no siempre son capaces de extenderlas a los casos más complejos. Estrategias empleadas en diagramas de dispersión En un diagrama de dispersión, la información sobre la covariación de las variables se presenta al alumno en forma de diagrama cartesiano de un conjunto de pares de valores (x, y,). No es natural el trabajo directo con las distribuciones condicionales de frecuencias relativas. Por el contrario, a partir de la representación gráfica puede determinarse visualmente la asociación entre las dos variables. A continuación comentamos las estrategias detectadas. Estrategias correctas SN.l. Comparación global. El alumno efectúa una comparación global correcta de la relación entre las dos variables. Generalmente se aplica implícitamente el teorema T2 anteriormente descrito. SN.2. Crecimiento. Se usa como argumento el crecimiento, decrecimiento o constancia de la forma de la nube de puntos para justificar el tipo de dependencia. Se emplea implícitamente el teorema T5: «el crecimiento / decrecimiento de la nube de puntos indica la existencia de una correlación directa 1 inversa de las variables». Tabla VI Distribución de estrategias en tablas de contingencia. Estrategia Ítem 1 Ítem 2 Ítem 3 Ítem 4 Ítem 5 ST.1 8 (38) 16 (7,5) 2 (0,9) 20 ( 9,4) 18 (84) ST.2 33 (15,5) 27 (12,6) 35 (16,4) 21 (9,9) ST.3 13 (61) 39 (18,3) 34 (16,O) 62 (29,l) 5 (23) ST.4 3 (14) 19 (83) 21 (8,9) 15 (7,o) 76 (35,6) ST.5 2 (0~9) 19 (8,9) 17 (8,O) ST.6 5 (23) 11 (52) 18 (8,4) 7 (3,3) 4 (~9) ST.7 29 (13,6) 26 (12,2) 22 (10,3) 6 (23) ST.8 56 (26,3) 28 (13,2) 30 (14,l) 47 (22,l) 24 (11,3) ST.9 1 (0,s) 6 (2,8) 7 (3,3) 2 (0~9) ST.10 8 (33) 1 (OS) 6 ( 23) ST.ll 13 6,l) 2 (0~9) 3 (14) 7 (3,3) 4 (~9) No contesta 42 (19,7) 20 (93) 23 (10,8) 20 (9,4) 82 (38,5) Total 213 (100) 213 (100) 213 (100) 213 (100) 213 (100) ENSENANZA DE LAS CIENCIAS, 1995,13 (2) Estrategias parcialmente correctas SN.3. Comparación con unpatrón. El alumno compara la forma de la nube de punto con una función conocida, por ejemplo, lineal o cuadrática, para argumentar correctamente la relación entre las variables. Se emplea implícitamente el teorema T6: «si es posible ajustar una función no constante a una nube de puntos, en forma en que la aproximación obtenida sea aceptable, existirá una asociación moderada o alta entre las variables». SN.4. Interpretación correcta de puntos aislados. Se citan pares concretos de puntos que cumplen el tipo de relación existente entre las variables. Aunque el alumno los interprete correctamente, es una estrategia incompleta por no emplear toda la información disponible. Estrategias incorrectas SN.5. Interpretación incorrecta de puntos aislados. El alumno emplea pares aislados de valores para interpretar, de forma incorrecta, la relación entre las variables. SN.6. Teoríasprevias. Se usan las teorías previas sobre el contexto para argumentar la asociación, a pesar de la evidencia de los datos; es decir, se manifesta explícitamente la correlación ilusoria. SN.7. Otras variables. Cuando la existencia de otras variables que puedan influir en la dependiente es considerada como motivo para la no existencia de asociación. Estos alumnos interpretan la pregunta sobre la dependencia en términos de relación causa-efecto, manifestando una concepción causalista de la asociación; exigen además la eliminación de otras explicaciones causales del fenómeno para admitir la existencia de relación. SN.8. Uniformidad. Se argumenta que no existe dependencia porque a un solo valor de la variable dependiente pueden corresponder varios de la dependiente, ya que la relación no es de tipo funcional. Consideramos que estos alumnos manifiestan la concepción determinista de la asociación. En particular algunos alumnos exigen la existencia de una expresión algebraica que ligue las variables. SN.9. Causalidad. A pesar de la asociación empírica, se argumenta que no existe asociación entre las variables, ya que la variable, independiente no puede causar una influencia directa sobre la dependiente; es decir no existe relación causa-efecto. Esta estrategia se ha observado con relación al ítem 8 que presenta una correlación debida a la concordancia entre las puntuaciones dadas independientemente por dos jueces a una serie de concursantes a un premio. En consecuencia, estos alumnos manifiestan una concepción causalista de la asociación, identificando asociación y causalidad. SN.lO. Otras. Estrategias no contempladas anteriormente. Finalmente, en la tabla VI1 presentamos la distribución de estrategias en los diagramas de dispersión. Observamos que el estudio del crecimiento de la función ha sido especialmente relevante en el ítem 7 en el que la correlación es intensa. Por el contrario, en el caso de independencia (ítem 6), se han empleado preferentemente estrategias incorrectas, como argumentar la presencia de otras variables que influyan sobre la dependiente, para justificar la falta de asociación entre las variables. Estrategias empleadas en la comparación de muestras En este caso, el alumno puede trabajar con los valores numéricos de la variable dependiente, aunque no posee Tabla VI1 Distribución de las estrategias en diagramas de dispersión. ESTRATEGIAS Ítem 6 Ítem 7 Ítem 8 Correctas SN.l. Comparación global 16 (7,5) 3 (1,4) 28 (13,19) SN.2. Crecimiento 15 (7,o) 134 (62,9) 8 (33) Parcialmente correctas SN.3. Compara con un patrón 24 (11,3) SN.4. Interpretación correcta de puntos aislados 49 (23,O) 27 (12,7) 4 (~9) Estrategias incorrectas SN.5. Interpretación incorrecta de puntos aislados 4 (1,9) 3 (1,4) 25 (11,7) SN.6. Teorías previas 22 (10,3) 15 (7,O) 6 (23) SN.7. Otras variables 68 (31,9) 1 (0,s) SN.8. Uniformidad 14 (6,6) 1 (0,5) 21 (9,9) SN.9. Causalidad 50 (23,s) SN.10. Otras 10 (4,7) 8 (38) 6 (23) Argumento confuso. No contesta 15 (7,O) 21 (9,9) 41 (19,3) ENSENANZA DE LAS CIENCIAS, 1995,13 (2) 163 Ítem 8. En un concurso de belleza clasifican alas 20 concursantes CLASIFICACI~N dos jueces (juez X, juez Y) de acuerdo con sus preferencias. El DEL JUEZ Y puesto obtenido por cada una en la clasificación de cada juez lo hemos representado en el siguiente gráfico: Ítem 9. Al medir la presión sanguínea antes y después de haber efectuado un cierto tratamiento médico a un grupo de 10 mujeres se obtuvieron los valores siguientes: ¿Crees que larelación entre el lugar asignado a cada concursante Presión sanguínea en cada mujer por cada juez es: directa, inversa, ninguna relación? (Elige 15-- una de estas opciones explicando la respuesta.) $O-- 5 Mujer Sra. A Sra. B Sra. C Sra. D Sra. E Sra. F Sra. G Sra. H Sra. 1 Sra. J Antes del tratamiento 115 112 107 119 115 138 126 105 104 115 Después del tratamiento 128 115 106 128 122 145 132 109 102 117 - - - - - - - - -- -. -- - r,~,l,l~l,,,ll,,,,lIl Utilizando estos datos, responde: ¿Depende la presión sanguínea de haber tomado o no el tratamiento? ¿Por qué? (Indica cómo has usado los números de la tabla.) 1 O 15 20 CLASIFICACIÓN DEL JUEZ X Ítem 10. Al medir el nivel de azúcar en la sangre en escolares de ambos sexos se obtuvieron los datos siguientes: Nivel de azúcar en la sangre Alumno ABCDEFGI JKLMNNOP QRS T Sexo VVVVVVVVVVHHHHHH HHH H Nivel de azúcar enlasangre 9 O 9 8 6 7 4 9 8 9 6 O 7 O 8 3 6 7 7 3 V = varón, H = hembra. Utilizando estos datos, responde: ¿Depende el nivel de azúcar en la sangre del sexo de los alumnos? ¿Por qué? (Indica cómo has usado los números de la tabla.) l 170 ENSENANZA DE LAS CIENCIAS, 1995,13 (2)