Concepciones de los profesores sobre la enseñanza de las ecuaciones diferenciales a estudiantes de química y biología. Estudio de casos

CONCEPCIONES DE LOS PROFESORES SOBRE LA ENSEÑANZA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A ESTUDIANTES DE QUÍMICA Y BIOLOGÍA. ESTUDIO DE CASOS MORENO, M.' y AZCÁRATE, c.2 l Departament de Matemiitica. Universitat de Lleida. Departament de Didiictica de les Matemiitiques i les Ciencies Experimentals. Universitat Autonoma de Barcelona. SUMMARY Intending to quest about the conceptions math teachers hold about how to teach Differential Equations to chemistry and biology students, we have devised a research tool which allows us to derive relevant information. We use different means to collect the adequate data related to the qualitative research, targeting the exploration of what teachers «say they do» and what athey do and would like to do». The use of concept maps and a questionnaire, along with a recorded interview, has revealed itself as an accurate means for the appropriate analysis of data, as shown in the case study we hereby include. La preocupación por la enseñanza de las matemáticas a nivel avanzado y los estudios de Artigue (1989) sobre la importancia que las ecuaciones diferenciales tienen en los contenidos de los primeros cursos universitarios en carreras científico-técnicas y su relación con las nuevas tecnologías, nos han llevado a investigar y reflexionar sobre aspectos ligados directamente con el proceso de enseñanza de las ecuaciones diferenciales, tales como: concepciones de los profesores, actitudes y creencias, discurso del profesor, etc., en estudios científico-experimentales como química y biología. Un estudio preliminar sobre el tema (Moreno, 1995) evidenció ciertas limitaciones desde el punto de vista de la formación del profesor universitario a la hora de hacer una propuesta coherente con los intereses, expectativas y necesidades de los estudiantes de estas carreras científico-experimentales, reconociendo que generalmente la asignatura de ecuaciones diferenciales destinada a ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1997, 15 (l), 21-34 químicos y biólogos difería de la correspondiente para matemáticos y físicos, en tan sólo el grado de exigencia. El carácter interdisciplinar de las ecuaciones diferenciales, así como el hecho de ser no sólo objeto de conocimiento, sino además un instrumento para los futuros químicos y biólogos, nos hizo pensar si realmente no debían tenerse en cuenta, de forma especial, a los destinatarios de la asignatura, así como sus futuras necesidades profesionales. Todas estas consideraciones junto con el aparente «inmovilismo» al que parece estar sujeta la enseñanza de las ecuaciones diferenciales, manteniéndose al margen de las nuevas tecnologías, fueron el principal motor de este estudio que presentamos a continuación. De esta forma diseñamos una investigación que nos permitiera conocer, con cierto detalle, las ideas de los profesores de matemáticas al respecto, así como identi- INVESTIGACI~N Y EXPERIENCIAS DIDÁCTICAS ficar las dificultades y necesidades en relación con la En nuestro estudio todo ello adquiere una importancia enseñanza de las ecuaciones diferenciales en estas licenfundamental, al permitirnos analizar qué tratamiento del ciaturas. Así, los centros de interés particulares en torno concepto matemático «ecuación diferencial)) ponen en a los cuales articulamos el estudio se concretan en estos práctica los profesores de matemáticas participantes en dos puntos: el estudio. a) Indagar acerca de las concepciones de los profesores Además, las concepciones de los profesores están imde matemáticas sobre la enseñanza de las ecuaciones pregnadas de sus ideas personales, creencias, etc. sobre diferenciales en carreras científico-experimentales. su papel como docentes, la materia objeto de enseñanza y los estudiantes a los cuales va dirigida ésta, por lo que b) Detectar y descubrir dificultades relativas al «qué» y no podemos olvidar en el marco teórico del «pensarnien- «cómo» enseñar las ecuaciones diferenciales en dichas to del profesor» un análisis de aspectos tales como: toma titulaciones. de decisiones, planificación, sistema de creencias, actitudes personales. Hemos establecido lo que hemos llamado «estilos docentes», que nos permitirán valorar la influencia de estos factores en su actuación como docentes en el marco de una enseñanza universitaria a estuMARCO TEÓRICO diantes, futuros químicos y biólogos, y que ponen de manifiesto que el profesor está sujeto a influencias externas e internas que condicionan y delimitan si1 Desde la perspectiva del filtro del profesor y atendiendo actuación. a las preguntas: ¿a quién se enseña?, ¿quién enseña? y ¿cómo y qué enseñar?, se configuró un marco teórico como modelo que nos permitiera explicar los hechos Finalmente, y en el caso de un estudio centrado en el detectados, observados y descubiertos. profesor, no debemos olvidar los aspectos directamente ligados con la gestión de aula, qiie son los que regulan las ~1 analizar las concepciones de los profesores de mateinteracciones con el estudiante y con la materia, en cuanto rnáticas sobre el aprendizaje de las ecuaciones diferenal tipo de tarea propuesta, 10s recursos utilizados, etc. ciales, hemos considerado relevante la teoría cognitiva Por lo tanto, situamos nuestro trabajo en el marco de desarrollada Por 10s profesores Tal1 Y Dreyfus en relaestas investigaciones y nos apoyamos en 61 para tratar de ciÓn con y crecimiento pensamiento explicar 10s resultados obtenidos de 10s distintos instrumatemático avanzado. Así, hemos concedido especial mentos usados para la investigación. importancia a la noción de esquema conceptual (concept image) desarrollada por Tal1 y Vinner (1981), posteriorI mente perfilada y matizada por Vinner y Dreyfus (1989), Dreyfus (1990) y revelada útil por las investigaciones de METODOLOGIA DE INVESTIGACI~N Azcárate (1990, 1992) acerca de las nociones de pendiente de la recta y derivada. La de esquema La metodología seguida en el estudio es cualitativa, dt: parece una buena forma de expresar la naturaleza descriptiva, holística y exploratoria. A partir estructura cognitiva del individuo, en cuanto a sus imáde un estudio de cuatro casos hemos abarcado el fenómegenes propiedades* proceno de estudio de las concepciones de 10s profesores y dimientos, ejemplos, contraejemplos, etc., asociados a gestión del aula, sobre la de las ecuaciones un Parte de su en diferenciales, considerando gran parte de 10s aspectos nuestro estudio reside en detectar si el profesor potencia relacionados con éste. el establecimiento de conexiones entre esquemas conceptuales existentes y, con ello, favorece la flexibilidad Teniendo en cuenta que la información a partir de la cual mental, base del éxito del crecimiento cognitivo. hemos reflexionado y sacado conclusiones procede de las opiniones y puntos de vista de los cuatro profesores Asimism0, hemos las de participantes en el estudio, decidimos usar tres instriiDubinsk~ Y Lewin (1986), Sfard (1987), Dre~fus (1990) mentas de recogida de datos, con el fin de «validar» la Y Sfard (19g1) en torno a la idea de dualidad Procesoinformación que nos proporcionaba cada uno de ellos concepto y, sobre todo, en a la noción de procept (Miles y Hubermann, 1987). Así, los datos que hemos desarrollada por Tal1 (1994a, 1994b, 1995). tenido en cuenta para este estudio proceden de los mapas conceptuales elaborados por cada profesor, de un cuesUn ProcePto es la de un Proceso, un tionario con preguntas abiertas y cerradas, y de una concepto relativo a éste y producido por ese proceso y un símbolo que representa ambos, el proceso y el concepto. Un grabada. procepto consiste en una coleccibn de proceptos elementales que tienen el mismo objeto. L...] es una noción cognitiva, no LOS participantes del estudio son cuatro matemáticos de matemática; cualquiera podría estar tentado de definir un distintas universidades de España. El profesor «A» da «precepto» elemental como una tripla ordenada (proceso, clase en la facultad de químicas desde hace diecisCis conceptoysímbolo)yunproceptocomounaclasedeequivalencia años y ha compaginado su actividad docente con su de ternas ordenadas que tienen el mismo objeto. actividad investigadora en temas relacionados con la (Tall, 1994a). matemática aplicada a la industria. El profesor «B» da 22 ENSENANZA DE LAS CIENCIAS, 1997, 15 (1) clase a un grupo de la facultad de químicas y a dos grupos más en la facultad de matemáticas, en asignaturas de geometría y topología; lleva seis años impartiendo docencia en la universidad, aunque durante catorce, aproximadamente, ha sido profesor de enseñanza media. El profesor «C» da igualmente clase en las facultades de química y matemáticas, lleva cuatro años en la universidad y su actividad fundamental está relacionada con topología. Finalmente, el profesor «D» da clases en la facultad de biología, lleva veinte años ligado al mundo universitario y toda su docencia en esta facultad, desde aproximadamente catorce años, es en relación con la estadística y matemáticas para biólogos. Los instrumentos de recogida de datos destinados a los cuatro profesores de la muestra fueron: u) Un mapa conceptual sobre las concepciones de los profesores acerca de la enseñanza de las ecuaciones diferenciales a estudiantes de química o biología. La actividad concreta que se pedía a los participantes del estudio fue construir un mapa conceptual sobre el tema EDO como asignatura para los estudiantes de química o biología. Para facilitar la elaboración de éste, se envió un dossier con información sobre mapas conceptuales y ejemplos provenientes de diferentes áreas del saber (como sociología, historia, biología, etc.), distintas de las matemáticas, con el fin de no condicionar la elaboración del mapa conceptual personal de cada uno de los profesores; además se les propuso, como actividad previa a la elaboración del mapa, la confección de una lista de palabras relacionadas y sugeridas por el tema, de forma que les ayudara a la definitiva elaboración de «su mapa conceptual». b) Un cuestionario con cuatro cuestiones seleccionadas de entre problemas de exámenes proporcionados por los profesores «A» y «B». En estas cuestiones se pide a los profesores reflexionar acerca de un problema de modelización, dos tipos diferentes de ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden, resolubles por métodos diferentes, y un sistema de ecuaciones diferenciales. A su vez, y para guiar la reflexión de los profesores, en cada cuestión se plantearon preguntas abiertas y cerradas sobre aspectos tales como: valorar los diferentes métodos de resolución de ecuaciones y sistemas diferenciales desde el punto de vista matemático y desde el interés científico para un químico y biólogo, valorar la importancia e interés histórico del método del factor integrante para la resolución de determinadas ecuaciones diferenciales, proponer problemas reales del ámbito de la química y biología que pudieran modelizarse a partir de ecuaciones diferenciales de segundo orden y de sistemas de ecuaciones diferenciales no autónomos, valorar otros métodos de resolución distintos a los que se explicitan en el cuestionario y que pudieran resultar más significativos para los estudiantes, etc. c) Una entrevista grabada que se realizó tras la elaboración del mapa conceptual y la entrega del cuestionario. Se trataba de una entrevista cerrada que constaba de tres momentos claramente diferenciados. Uno inicial en el que se pedía a cada profesor explicar su mapa conceptual, ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1997, 15 (1) la estructura general de éste, el significado de ciertas proposiciones no demasiado claras, etc. Otro momento de la entrevista se destinó a matizarlas respuestas del cuestionario y argumentar sus respuestas. Finalmente, se pidió a los profesores su opinión sobre la gestión de clase, el tipo de actividades de aprendizaje, su postura personal frente a las nuevas tecnologías, etc. La entrevista tuvo una duración aproximada de una hora y media. El propósito del mapa conceptual era recoger información de los modelos cognitivos de los profesores sobre la enseñanza de las ecuaciones diferenciales, y tratar de captar el significado y la estructura de los conocimientos que el profesor transmite a los estudiantes. El propósito del cuestionario era conocer el punto de vista de los profesores acerca de aspectos metodológicos, conceptuales y procedimentales de la materia en sí misma; asimismo, consideramos el cuestionario como un complemento del mapa conceptual. El propósito de la entrevista fue matizar y aclarar aspectos del mapa conceptual y del cuestionario, que no quedaron lo suficientemente claros, con el fin de evitar una inadecuada interpretación de los datos recogidos. Estos instrumentos se conjugaron con el análisis de los programas de la asignatura, materiales de aula, enunciados de exámenes y los libros de texto recomendados para el uso de los estudiantes. Este análisis trataba de establecer las posibles relaciones existentes entre lo que cada profesor decía que hacía y cómo concebía la asignatura (datos procedentes principalmente de los tres instrumentos de investigación ya descritos), y lo que en la práctica evidenciaban sus decisiones en relación con el material, ejercicios, etc. ANÁLISIS DE LOS DATOS Análisis en general En el análisis de los datos se tuvo muy en cuenta la entrevista grabada. Por un lado, se realizó un análisis del mapa conceptual de cada profesor apoyado en sus explicaciones grabadas y, por el otro, el análisis de los cuestionarios, pregzinta por pregunta, apoyándonos en la entrevista grabada para explicitar matices que no quedaron claros en las respuestas de aquél. Finalmente, tratamos de hacer un análisis conjunto que pretendía aunar características propias de cada profesor procedentes de todas las fuentes de datos de que disponíamos. El análisis, aunque largo y tedioso, resultó ser muy fructífero y rico en detalles. Análisis en particular a) Análisis del mapa conceptual Dado que nuestro referente en el uso de los mapas conceptuales como instrumento de investigación lo situamos en Novak y Gowin (1988), y debido a que el INVESTIGACIÓN Y EXPERIENCIAS DIDÁCTICAS análisis de los datos que proponen estos autores no nos resultaba válido para nuestro propósito, decidimos diseñar nuestro propio instrumento de análisis cualitativo de los mapas conceptuales, el cual consistió en un análisis apoyado en la entrevista grabada y elaborado en dos niveles: microanálisis y macroanálisis. El microanálisis consiste en un análisis fino y en detalle basado en la interpretación, paso a paso, del mapa conceptual. Así, se pidió a los profesores que explicaran el significado particular que habían otorgado a las proposiciones que aparecían en su mapa conceptual, que justificaran las relaciones cruzadas que establecían entre ¡os conceptos, que explicitaran los nexos entre conceptos que no siempre estaban presentes, que establecieran niveles de jerarquía si es que existían, etc. El macroanálisis trataba de agrupar términos que englobaran conceptos secundarios o derivados de los principales y que no aportaban información nueva a la ya aportada por los primeros. A partir de la estructura conceptual inicial, este análisis nos permitió considerar otras estructuras conceptuales más generales y que proporcionaban una visión más global de las concepciones de cada profesor. b) Análisis del cuestionario Las preguntas cerradas se valoraron de 1 a 5. Para facilitar la interpretación de las respuestas de los profesores se usó una escala como la que sigue: 1-2345 POCO NORMAL MUCHO Para facilitar el análisis de los ítems y relacionarlo con los objetivos específicos del estudio, los agrupamos en cuatro caracteres: métodos de resolución de ecuaciones diferenciales, objetivo y tipo de actividad propuesta, conocimiento y aprovechamiento de la historia, uso de nuevas tecnologías. Las preguntas abiertas permitieron hacernos idea del grado de flexibilidad y capacidad de los profesores para buscar situaciones conflictivas e interesantes que provocaran actitudes de búsqueda en los estudiantes. El análisis de cada pregunta se realizó en dos niveles: descriptivo global y descriptivo particular. En el primero, se explicitan las opiniones de los participantes respecto a los caracteres anteriormente citados. En el particular, se muestran los matices de las respuestas de los participantes a aquellos ítems igualmente valorados y cuyas explicaciones revelan motivos diferentes. Estudio de un caso: mapa conceptual del profesor A Nos parece interesante mostrar, a modo de ejemplo y con cierto detalle, la aplicación de estos instrumentos al análisis de uno de los casos. Presentamos el mapa conceptual integral del profesor «A» el cual nos servirá como punto de partida para el análisis que presentamos a continuación. La tabla siguiente ha sido usada como resumen de los términos que aparecían en el mapa original del profesor «A» y cuyo sentido no era otro que explicitar los términos clave que aparecían en él. Los niveles a los que nos referimos en la tabla son un recurso que nos permite escribir los términos en el orden de lectura, de arriba hacia abajo, tal como fueron escritos inicialmente. Microanálisis Algunos de los aspectos que resaltamos son: -No se observa un orden jerárquico preestablecido, sino más bien una serie de ideas que conectan con la de ecuación diferencial. Relaciona las ecuaciones diferenciales con otras áreas de las matemáticas: análisis, áIgebra, matemática aplicada y modelización. Hice líneas, pero me volví loco ... ¡Claro!, en un momento baja, en otro parece subir ... porque tampoco hay una jerarquía clara ... (Entrevista profesor A) - Establece una conexión entre el «modo de pensar matemático» y el «modo de pensar empírico»: [...] la comprensión de las matemáticas está muy relacionada con la matemática aplicada. Y, por tanto, con el contacto con la situación en concreto. No tanto como algo que uno se abstrae, o sea, eso que llaman matemática pura [...] Pienso que el empirismo es una de las formas del pensamiento matemático. Digamos así, sobre todo cuando viene desde esta cadena descendente: matemática, empirismo y filosofía. (Entrevista profesor A) - El término modelización le lleva a analizar la importancia del papel del especialista que interpreta el modelo y la dificultad de la búsqueda de expresiones matemáticas concretas. El modelo suele ser muy complejo, y eso no hay quien lo aborde. Se deja a los especialistas para que lo interpreten y hagan sugerencias del modelo, que ya tiene una expresión matemática concreta. Puede ser que este especialista no sea un ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1997, 15 (1) Mapa 1 «fino especialista» en la parte de las matemáticas en las que en concreto ha caído ese modelo. En cualquier caso, muchas veces lo que se va haciendo es destacar de todas las intervenciones que hay en ese modelo las que son, por lo menos en unas aproximaciones iniciales, las más fundamentales. Entonces, un especialista en modelización lo que tiene que intentar saber es, de las cosas que influye, digamos así, pues.. .¿qué es lo que en un primer abordaje, en una primera forma de atacarlo, sería más interesante, y luego ... pasar a él. (Entrevista profesor A) -La interpretación del modelo, según se haga desde las matemáticas o desde otros campos del conocimiento, hace variar el discurso del profesor, produciendo situaciones conflictivas e intromisiones, no siempre adecuadas ni deseables, en un campo de conocimiento que no es el de uno mismo. Aquí la motivación se queda en el modelo, aunque ilustramos con algunos modelos la situación matemática que estamos abordando, jmmm.. . !, se quedan ahí.. . porque no podemos desarrollar el modelo estrictamente matemático. Aquí dar el modelo tampoco tiene mucho sentido porque ... ¿cómo sé yo, primero, qué química se ve; o, cómo está de relacionado el modelo concreto con el que yo estoy buscando la ecuación, con los conocimientos que ellos están dando? Además, puede ocumr que, por no meterme en berenjenales, de los que a lo mejor desconozco, resulte que estoy dando un modelo simplificado que ellos en ese momento a lo mejor ya lo saben; y te quedas en una situación un poco perpleja, ¿no? (Entrevista profesor A) ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1997, 15 (1) 25 - La valoración de estas dificultades, añadida a la situación, al ambiente, a los objetivos del curso y a las dificultades de los estudiantes para asimilar la información que se les proporciona en un momento determinado, condiciona la actuación del profesor, lo cual hace desechar de sus programas los aspectos de modelización y centrarse más en un tratamiento procedimental de las ecuaciones diferenciales. l...] aunque tiramos un poquito del modelo, nosotros no podemos tirar mucho; más que nada por el objetivo en el que se enmarca una asignatura como ésta. A este nivel, las matemáticas se toman de forma subsidiaria; los estudiantes hacen acopio de herramientas técnicas y se fuerza el aprendizaje de estas técnicas. (Entrevista profesor A) - Considera muy importante la relación de matemáticas y ciencias experimentales, como reflejan sus palabras: Una ciencia progresa en la medida que se matematiza. Aunque no esta puesta de forma directa esta relación, es evidente que está ahí. El sentido con el que digo eso es porque encauzan algo abstracto o etéreo de una forma más concreta. (Entrevista profesor A) Macroanálisis Una primera mirada al mapa conceptual refleja: Un primer zoom del mapa conceptual nos permitirá aunar «conceptos» y llegar a un «esqueleto» del mapa conceptual con un eje vertebrador central. Por un lado, la conexión cruzada entre matemática aplicada y matemhtica y, por otro, la de álgebra y análisis con matemáticas, permiten considerar un único nivel jerárquico formado por álgebra, análisis y matemática aplicada que confluyen en el término matemática. [...] las ecuaciones han tenido una cierta relación con otras partes, más o menos, de las matemáticas, en particular con el álgebra y el análisis. Estos, al fin y al cabo, provienen de las matemáticas, pero tampoco las matemáticas tienen que ser algo alejado de la matemática aplicada. Lo que ocurre es que separé lo que sería una relación rigurosa o matemática, de una relación en cuanto a su aplicabilidad, en cuanto a los modelos, o uno de los motores que ha tenido. (Entrevista profesor A) A partir de ahí, se continúa la cadena descendente que incluye, entre otras, las ciencias experimentales: [...] la matemática «forma parte» (quizá aquí no lo puse, pero también podrías haber puesto en esta cadena, o quizSs haberlo puesto yo) ... como unaparte del conocimiento empírico y, a su vez, el conocimiento empírico, digamos así ... como una ... de las actividades esenciales de la filosofía. (Entrevista profesor A) En el mapa conceptual se observan dos ramas muy claramente diferenciadas: En virtud de la relación que se establece entre el conocia) una que unifica los conceptos más particulares en miento empírico y las ciencias experimentales, unificatorno u las matemáticas; mos ambos términos en uno s610 que reza estudio de la realidadfisica. Más aún, el término filosofía lo englobab) otra que se diversifica a partir de la matemática mos en uno que diga naturaleza y el mundo; de esta aplicada. forma, el mapa conceptual tendría ahora este aspecto: Mapa 2 ENSEÑANZA DE LAS CIEKCIAS, 1997, 15 (1) Mapa 3 HERRAMIENTAS ÁLGEBRA ANÁLISIS APLICADA h. CONOCIMIENTO < CIENCIAS EMP~ICO EXPERIMENTALES Mapa 4 [...] es dentro del conocimiento un poco de filosofía, «los amigos del saber», de donde viene una genealogía de estas cosas. O sea, que dentro de un motor que sería la curiosidad por el saber, pues está una de las cosas, el encauzar los razonamientos; [...] lo que ocurre es que dentro del saber hay muchas formas de encauzarlo y una de ellas es lo que normalmente es esa argumentación más o menos ngurosade los encadenamientos del pensamiento, pues puede ser el modo este, que va diciendo, de la lógica. El empirismo es una forma de pensar matemáticamente, de encauzar los conocimientos que provienen de situaciones que uno va viendo en la naturaleza. Normalmente todo surge porque hay un problema o una preocupación, un algo que te está moviendo a,.. que te despierta la curiosidad. (Entrevista profesor A) NATURALEZA el En esta tercera aproximación, los conceptos fundamentales son: ecuación diferencial, matemática pura, matemática aplicada, realidad del mundo físico, estudio del mundo y de la naturaleza. Aplicando una vez más un zoorn, observamos que las tres ideas fundamentales que subyacen a todo son: maternática, realidad física y estudio del mundo. Tras este análisis podríamos pensar que su concepción sobre las ecuaciones diferenciales parece estar bastante próxima a la de Newton y Leibniz, y ciertos matemáticos del siglo XVII, los cuales trataban de conjugar dos aspectos muy importantes: las matemáticas y la realidad del mundo físico. De esta forma el mapa conceptual quedaría como sigue: ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1997, 15 (1) 27 INVESTIGACI~N Y EXPERIENCIAS DIDÁCTICAS Mapa 5 utilidad y sus aplicaciones; aquí la motivación se queda en el modelo, y no podemos tirar mucho de él. (Entrevista profesor A) 1 MATEMÁTICA -La práctica docente de este profesor acaba rediiciéndose a un acopio de algoritmos y técnicas de resolución de 1 REALIDADHSICA 1 determinados tipos de ecuaciones diferenciales. [...] a ti te dicen que tienes que dar un sumario de técnicas y de herramientas sin motivarlas y sin encontrar la gracia que tiene todo eso. ESTUDIO DEL MUNDO (Entrevista profesor A) Podríamos pensar, e incluso hipotetizar, que todas las RESULTADOS DEL ANÁLISIS DE LOS ideas contenidas en el mapa conceptual originario queDATOS darían reflejadas en este último. Los mapas conceptuales Conclusiones respecto a las concepciones del El primer análisis de los datos recogidos de los cuatro profesor A profesores de la muestra desvela la existencia de tres concepciones diferentes. Daremos a continuación una relación de los rasgos que caracterizan las concepciones del profesor A, a las que ~omo kmos visto en el apartado anterior, en el mapa hemos llegado tras el análisis del mapa conceptual, la conceptual del profesor A, las ecuaciones diferenciales entrevista y materiales como exámenes y hojas de proaparecen como un bloque difc~ente del de álgebra Y blemas: análisis; y aunque establece relaciones y conexiones entre estos bloques de contenido, luego no las reflejaba - La globalidad y generalidad del mapa conceptual del en el aula. Pro~orciona un enfoque muy conceptual de profesor A es congruente con su interés personal y su las ecuaciones diferenciales y muestra 10 que en SUS curiosidad por las ciencias y las matemáticas, si bien este palabras expresa como ... cierta tendencia al enciclopehecho no encuentra aplicación directa en su propuesta de dismo...; es decir, una especie de inercia a dotar al trabajo a los estudiantes'. estudiante de formalismos matemáticos y determinadas herramientas de trabajo sin importar demasiado cuál -La globalidad y generalidad observados en este profeserá su utilidad. Es como si, de alguna manera, se sor es un arma de doble filo que se vuelve contra él: por Pensara que cuanto más contenidos se expliquen, más un lado, le permite ser flexible y tener una visión de conocimientos tendrá el estudiante. Aunque es consconjunto de las matemáticas dentro de las ciencia~ expeciente de la necesidad de tener en cuenta las expectativas rimentales y, por otro, le lleva a potenciar el enciclopeY necesidades de 10s estudiantes de ciencias experimendismo y mostrar las matemáticas como «objeto de intetales y muestra flexibilidad para hacerlo, en la realidad rks, por y en sí mismo» independiente de otras áreas del cotidiana del aula estos intereses quedan de lado. saber. Los mapas conceptuales de los profesores B y C son muy [...] muchas veces nuestra falta de inteligencia o nuestra falta similares, su estructura refleja un enfoque altamente de comprensión de las cosas, porque no sabes entresacar de procedimental de la materia y, en realidad, sus esquemas entre todas ellas las más relevantes. Muchas veces somos conceptuales responden más a cómo resolver tipos de tercermundistas y queremos dar aquí la enciclopedia británica, ecuaciones diferenciales que a una idea general del jeso no deja de demostrar tu ignorancia! [...] quizás el problema concepto ecuación diferencial. ~~t~~ profesores mueses nuestro y hay que enseñar mostrándoles los productos tal tran un firme convenc~m~ento de la eficacia de la planicual son y mostrándoles las ventajas que tiene para ellos. ficación de los temas: (Entrevista profesor A) [...] EDO de primer orden: son de este tipo ... se resuelven de - El tratamiento de la modelización resulta ser un punto esta forma ... ¡pero seresuelven!, nose «pruebaqueseresuelven». de fricción entre lo que «piensa» y «lo que hace». No A continuación tiene una lista de problemas muy extensa, no sé coincide la importancia concedida a este aspecto de las cuántos, pero, desde luego, 500 seguro. ecuaciones diferenciales en el mapa conceptual con el tratamiento posterior de ello en el aula. Dedican muy poco tiempo a trabajar en problemas que modelizan situaciones reales: Los estudiantes están de aprendices y en este «taller» se les Nosotros lo que hacemos es dar 10s métodos de forma abstracta, dice cómo se maneja el serrucho. Luego, más adelante ya les luego dedicas una 0 dos semanas, ¡nunca más de dos!, a dirán por qué se maneja de esa forma y no de otra, cuál es la explicar problemas como el del tanque que se llena de agua, 28 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1997, 15 (1) calor en una habitación, etc. ¡Pero eso expresamente y dedicado a eso! Justifican esta planificación y diseño de la asignatura como la consecuencia del bajo nivel de conocimiento de los estudiantes y el poco interés por la materia. La práctica docente de los profesores A, B y C no difiere más en los elementos propios que, en lo personal, aporta cada uno de ellos a su aula. En todos ellos se deja sentir claramente la influencia de un discurso elaborado desde las matemáticas y para matemáticos, con total ausencia de elementos que aludan a los estudiantes de ciencias experimentales. El mapa conceptual del profesor D varía considerablemente del de los otros tres participantes en el estudio. Este mapa conceptual refleja todo un planteamiento de la asignatura al servicio de la formación de los estudiantes. Se equilibran los aspectos conceptuales y procedimentales. Los aspectos matemáticos trabajados se consideran los necesarios en cada momento y se justifican, siempre, desde situaciones contextualizadas de interés para este colectivo. [...] puesto que de lo que se trata de abordar elementalmente es el estudio de las EDO y en diferencias como modelos para describir procesos propios de la biología de poblaciones, se hace referencia a ello desde el principio, evitando el tradicional sistema de cargar en formalismos el texto y acudir posteriormente a ejemplos. Por lo tanto, lo importante aquí está en que el individuo tenga la idea clara y sepa usar las matemáticas como instrumento. [...] Para tratar de conseguirlo, se pretende un acercamiento al método de las motivaciones instrumentales, flexibilizando la expresión de referentes a situaciones concretas e inteligibles para poder conseguir un grado razonable de autocontenido. (Entrevista profesor D ) Se intenta tener en cuenta el desarrollo cognitivo del sujeto, más que el desarrollo lógico de la propia materia. Se elabora un discurso para químicos o biólogos teniendo en cuenta sus necesidades futuras y sus expectativas. Desde el punto de vista metodológico, creo que es un disparate empezar con el desarrollo matemático de las EDO para luego acabar poniendo ejemplos; siempre tratamos de presentar una situación en biología y traducirla al lenguaje matemático. En cualquier ciencia experimental hay que enfocarlas matemáticas de manera que se tengan muy claras las ideas y se sepan utilizar tales ideas, pero sin caer en las ortodoxias típicas de las facultades de matemáticas en las que se construye un discurso deductivo valorable en sí mismo y no tiene una intencionalidad exterior a la matemática. Por tanto, lo importante aquí está en que el individuo tenga la idea clara y sepa usar de las matemáticas como instrumento. (Entrevista profesor D) Los cuestionarios Algunos de los resultados relativos a los aspectos más conceptuales, procedimentales y metodológicos provienen, en su mayor parte, del análisis de los cuestionarios. Mostramos algunos de ellos de acuerdo con los caracteres ya enunciados. a) Respecto a los métodos de resolución Todos los participantes en el estudio declararon que el método de resolución de las ecuaciones diferenciales, conceptualmente bueno, era el algebraico o analítico. Sin embargo, los motivos que esgrimieron fueron variados: -El profesor A no desdeña ningún método de resolución y recalca el interés de los métodos gráficos en el tratamiento de los problemas no lineales. No piensa que ninguno de los métodos entrañe una dificultad especial y afirma, por el contrario, que el profesor debería presentar a los estudiantes más situaciones variadas donde emplear diversos métodos de resolución. Estas opiniones se mueven en el terreno teórico, pues en la práctica casi ni hace referencia a los métodos de resolución gráficos. En general el método gráfico es una tontería, pero trae mucha información. Sobre todo tienen interés para los problemas no lineales. Dependiendo del problema, trataría de usar uno u otro método. Veo todos los métodos sencillos. (Entrevista profesor A) -Los profesores B y C consideran que tanto los métodos analíticos como los numéricos son igualmente sencillos, aunque estos últimos casi ni se explican. No comentan nada de los métodos gráficos y además puntualizan que éstos no son lo «suficientemente matemáticos». Sólo vemos los métodos de resolución algebraicos, los numéricos no se ven en esta asignatura y los gráficos ni siquiera decimos que existen. (Profesores B y C) - La línea de trabajo elegida por el profesor D es la algebraica, aunque considera que los métodos numérico y gráfico deben ser un complemento del algebraico en aquellas situaciones donde el uso de los primeros dificulte la solución de un problema o, simplemente, cuando no sea posible resolverlo. En su caso particular, los estudiantes tienen la posibilidad de trabajar con los tres enfoques y en entornos de trabajo muy diferentes que incluyen el uso del ordenador. Conceptualmente creo que el método bueno es el algebraico. El método numérico, si no tienes bien trillado el planteamiento algebraico, creo que sería complicado. Desde el punto de vista metodológico y conceptual, el método numérico debe recurrirse como tal recurso, no como un planteamiento previo. El método gráfico se usa poco, parece que es un complemento para ver las cosas, pero no algo en sí mismo bueno. (Entrevista profesor D) b) Respecto al objetivo y tipo de actividad propuesta Destacaremos los resultados más significativos: -El profesor A es cauto, pues, aunque piensa que es más interesante plantear problemas con más «literatura», en ENSENANZA DE LAS CIENCIAS, 1997, 15 (1)